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Chapitre 3 — Étude de fonctions

Semestre 1

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Cours

Plan du chapitre. I. Branches infinies — II. Concavité et points d’inflexion — III. Éléments de symétrie d’une courbe — IV. Étude et représentation graphique d’une fonction — Résumé.

Dans tout le chapitre, le plan est muni d’un repère orthogonal $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$ et $(C_f)$ désigne la courbe représentative d’une fonction $f$ .

I. Branches infinies

Définition 1 — branche infinie

On dit que la courbe $(C_f)$ admet une branche infinie lorsque l’une au moins des coordonnées d’un point $M(x;f(x))$ de $(C_f)$ tend vers l’infini : $x\to\pm\infty$ , ou $f(x)\to\pm\infty$ quand $x$ tend vers un réel $a$ .

1. Asymptotes verticales et horizontales

Définition 2 — asymptote verticale

On considère un réel $a$ . Si $\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty$ ou $\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty$ , la droite d’équation $x=a$ est une asymptote verticale à $(C_f)$ .

Définition 3 — asymptote horizontale

On considère un réel $b$ . Si $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=b$ (respectivement $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=b$ ), la droite d’équation $y=b$ est une asymptote horizontale à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ (respectivement de $-\infty$ ).

Exemple 1

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$ . Déterminer les asymptotes à $(C_f)$ .

Voir la solution

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$ .

$\lim\limits_{x\to1^+}(2x+1)=3$ et $\lim\limits_{x\to1^+}(x-1)=0^+$ , donc $\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=+\infty$ ; de même $\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=-\infty$ . La droite d’équation $x=1$ est une asymptote verticale à $(C_f)$ .
$\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x}{x}=2$ : la droite d’équation $y=2$ est une asymptote horizontale à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ et de $-\infty$ .

2. Asymptote oblique

Définition 4 — asymptote oblique

On considère deux réels $a$ et $b$ avec $a\neq0$ . La droite $(D)$ d’équation $y=ax+b$ est une asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ lorsque $\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-(ax+b)\big)=0 .$ Définition analogue au voisinage de $-\infty$ .

Propriété 1 — recherche pratique d’une asymptote oblique

La droite d’équation $y=ax+b$ ( $a\neq0$ ) est une asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ si, et seulement si, $\lim_{x\to+\infty}f(x)=\pm\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=a\ (a\in\mathbb{R}^*)\qquad\text{et}\qquad\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-ax\big)=b\ (b\in\mathbb{R}).$

Remarque — position relative

La position de $(C_f)$ par rapport à $(D):y=ax+b$ se déduit du signe de $f(x)-(ax+b)$ : si ce signe est positif sur un intervalle $I$ , $(C_f)$ est au-dessus de $(D)$ sur $I$ ; s’il est négatif, $(C_f)$ est en dessous ; les points communs correspondent aux solutions de $f(x)=ax+b$ .

Exemple 2

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par $f(x)=\dfrac{x^2-x+2}{x-1}$ . Montrer que la droite $(D):y=x$ est une asymptote oblique à $(C_f)$ en $+\infty$ et en $-\infty$ , puis étudier la position relative de $(C_f)$ et $(D)$ .

Voir la solution

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par $f(x)=\dfrac{x^2-x+2}{x-1}$ . Pour $x\neq1$ , la division donne $f(x)=x+\dfrac2{x-1}$ .

Donc $f(x)-x=\dfrac2{x-1}\xrightarrow[x\to\pm\infty]{}0$ : la droite $(D):y=x$ est une asymptote oblique à $(C_f)$ en $+\infty$ et en $-\infty$ . De plus $f(x)-x>0$ pour $x>1$ et $f(x)-x<0$ pour $x<1$ : $(C_f)$ est au-dessus de $(D)$ sur $]1;+\infty[$ et en dessous sur $]-\infty;1[$ .

Application 1 — méthode des deux limites

On considère la fonction $f$ définie sur $D=]-\infty;-2]\cup[0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x^2+2x}$ . Étudier les branches infinies de $(C_f)$ .

Voir la solution

En $+\infty$ . $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ . Pour $x>0$ : $\dfrac{f(x)}x=\sqrt{\dfrac{x^2+2x}{x^2}}=\sqrt{1+\dfrac2x}\to1$ , puis $f(x)-x=\frac{(x^2+2x)-x^2}{\sqrt{x^2+2x}+x}=\frac{2x}{x\left(\sqrt{1+\frac2x}+1\right)}=\frac{2}{\sqrt{1+\frac2x}+1}\to1 .$ La droite d’équation $y=x+1$ est une asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ .

En $-\infty$ . Pour $x<-2$ , $\sqrt{x^2}=|x|=-x$ , donc $\dfrac{f(x)}x=-\sqrt{1+\dfrac2x}\to-1$ et $f(x)+x=\frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}-x}=\frac{2x}{-x\left(\sqrt{1+\frac2x}+1\right)}\to-1 .$ La droite d’équation $y=-x-1$ est une asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $-\infty$ .

3. Branches paraboliques

Propriété 2 — classification au voisinage de $+\infty$ (de même en $-\infty$ )

On suppose $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\pm\infty$ et l’on étudie $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x$ .

Si cette limite vaut $\pm\infty$ : $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.
Si cette limite vaut $0$ : $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l’axe des abscisses.
Si cette limite vaut un réel $a\neq0$ $a \neq = 0$ , on étudie $\lim\limits_{x\to+\infty}\big(f(x)-ax\big)$ $x \to + \infty lim (f (x) - a x)$ :
- si elle vaut un réel $b$ : la droite $y=ax+b$ est une asymptote oblique ;
- si elle vaut $\pm\infty$ : $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction la droite d’équation $y=ax$ .

Exemple 3

Déterminer la nature de la branche infinie en $+\infty$ de la courbe de chacune des fonctions : $f(x)=x^2$ ; $f(x)=\sqrt x$ ( $x\ge0$ ) ; $f(x)=x+\sqrt x$ ( $x\ge0$ ).

Voir la solution

$f(x)=x^2$ : $\dfrac{f(x)}x=x\to+\infty$ : branche parabolique de direction $(Oy)$ en $+\infty$ .
$f(x)=\sqrt x$ ( $x\ge0$ ) : $\dfrac{f(x)}x=\dfrac1{\sqrt x}\to0$ : branche parabolique de direction $(Ox)$ en $+\infty$ .
$f(x)=x+\sqrt x$ ( $x\ge0$ ) : $\dfrac{f(x)}x=1+\dfrac1{\sqrt x}\to1$ et $f(x)-x=\sqrt x\to+\infty$ : branche parabolique de direction la droite $y=x$ .

Remarque

Une branche parabolique « de direction $(Ox)$ » ne signifie pas que la courbe s’approche d’une droite horizontale : $\sqrt x$ tend vers $+\infty$ , mais de plus en plus lentement par rapport à $x$ .

II. Concavité et points d’inflexion

1. Fonction convexe, fonction concave

Définition 5 — concavité

On considère une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$ .

$(C_f)$ est convexe sur $I$ si elle est située au-dessus de chacune de ses tangentes en des points d’abscisse appartenant à $I$ .
$(C_f)$ est concave sur $I$ si elle est située en dessous de chacune de ses tangentes sur $I$ .

Propriété 3 — concavité et dérivées

On considère une fonction $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$ .

Si $f'$ est croissante sur $I$ , autrement dit si $f''(x)\ge0$ pour tout $x\in I$ , alors $(C_f)$ est convexe sur $I$ .
Si $f'$ est décroissante sur $I$ , autrement dit si $f''(x)\le0$ pour tout $x\in I$ , alors $(C_f)$ est concave sur $I$ .

2. Point d’inflexion

Définition 6 — point d’inflexion

On considère une fonction $f$ dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $x_0\in I$ . Le point $A(x_0;f(x_0))$ est un point d’inflexion de $(C_f)$ lorsque la courbe change de concavité en $A$ ; la courbe traverse alors sa tangente en ce point.

Propriété 4 — caractérisation

On considère une fonction $f$ deux fois dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $x_0\in I$ .

Si $f''$ s’annule en $x_0$ en changeant de signe, alors $A(x_0;f(x_0))$ est un point d’inflexion de $(C_f)$ .
Si $f'$ s’annule en $x_0$ sans changer de signe, alors $A(x_0;f(x_0))$ est un point d’inflexion (à tangente horizontale).

Attention

$f''(x_0)=0$ ne suffit pas : pour $f(x)=x^4$ , $f''(0)=0$ mais $f''(x)=12x^2\ge0$ ne change pas de signe ; la courbe est convexe sur $\mathbb{R}$ et n’a pas de point d’inflexion.

Application 2

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-3x^2+1$ . Étudier la concavité de $(C_f)$ et déterminer son point d’inflexion.

Voir la solution

$f'(x)=3x^2-6x$ et $f''(x)=6x-6=6(x-1)$ . Donc $f''(x)<0$ sur $]-\infty;1[$ : $(C_f)$ est concave sur $]-\infty;1]$ ; $f''(x)>0$ sur $]1;+\infty[$ : $(C_f)$ est convexe sur $[1;+\infty[$ . La dérivée seconde s’annule en $1$ en changeant de signe : le point $I(1;f(1))=I(1;-1)$ est un point d’inflexion. La tangente en $I$ a pour équation $y=f'(1)(x-1)+f(1)=-3x+2$ .

III. Éléments de symétrie d’une courbe

1. Axe de symétrie

Propriété 5 — axe de symétrie

On considère une fonction $f$ de domaine $D_f$ et un réel $a$ . La droite d’équation $x=a$ est un axe de symétrie de $(C_f)$ (repère orthogonal) si, et seulement si, pour tout $x\in D_f$ : $2a-x\in D_f\qquad\text{et}\qquad f(2a-x)=f(x).$

Exemple 4

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-4x+1$ . Montrer que la droite d’équation $x=2$ est un axe de symétrie de $(C_f)$ .

Voir la solution

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-4x+1$ . Pour tout réel $x$ , $4-x\in\mathbb{R}$ et $f(4-x)=(4-x)^2-4(4-x)+1=x^2-4x+1=f(x)$ : la droite d’équation $x=2$ est un axe de symétrie de $(C_f)$ .

2. Centre de symétrie

Propriété 6 — centre de symétrie

On considère une fonction $f$ de domaine $D_f$ et un point $\Omega(a;b)$ . Le point $\Omega$ est un centre de symétrie de $(C_f)$ si, et seulement si, pour tout $x\in D_f$ : $2a-x\in D_f\qquad\text{et}\qquad f(2a-x)+f(x)=2b.$

Remarque

Lorsque $a=0$ (respectivement $a=0$ et $b=0$ ), on retrouve les fonctions paires (axe $(Oy)$ ) et impaires (centre $O$ ). Un élément de symétrie permet de réduire le domaine d’étude : on étudie $f$ sur la moitié du domaine, puis on complète la courbe par symétrie.

Application 3

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par $f(x)=x+\dfrac2{x-1}$ . Montrer que le point $\Omega(1;1)$ est un centre de symétrie de $(C_f)$ .

Voir la solution

Si $x\neq1$ , alors $2-x\neq1$ : $2-x\in D_f$ . Et $f(2-x)+f(x)=(2-x)+\frac2{1-x}+x+\frac2{x-1}=2-\frac2{x-1}+\frac2{x-1}=2=2\times1 .$ Donc $\Omega(1;1)$ — qui est le point d’intersection des deux asymptotes $x=1$ et $y=x$ — est un centre de symétrie de $(C_f)$ .

IV. Étude et représentation graphique d’une fonction

1. Plan d’étude

Méthode — étude complète d’une fonction

Déterminer le domaine de définition $D_f$ ; chercher d’éventuels éléments de symétrie (pour réduire le domaine d’étude).
Étudier la continuité, calculer les limites aux bornes de $D_f$ .
Étudier la dérivabilité (en particulier aux points « à problème » : bornes fermées, raccords, racines) et interpréter géométriquement.
Calculer $f'(x)$ , étudier son signe, dresser le tableau de variations.
Étudier les branches infinies (asymptotes, branches paraboliques) et les positions relatives.
Étudier la concavité (signe de $f''$ ) et les points d’inflexion.
Placer les points remarquables (intersections avec les axes, extremums, points d’inflexion), tracer les asymptotes et les tangentes utiles, puis tracer $(C_f)$ .

2. Application corrigée : une étude complète

Application 4

On considère la fonction $f$ définie sur $D=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ par $f(x)=x-1+\dfrac4{x+1}$ .

Calculer les limites de $f$ aux bornes de $D$ et interpréter.
Étudier les variations de $f$ .
Montrer que la droite $(D):y=x-1$ est une asymptote oblique et étudier la position de $(C_f)$ par rapport à $(D)$ .
Montrer que $\Omega(-1;-2)$ est un centre de symétrie de $(C_f)$ .
Étudier la concavité de $(C_f)$ , puis tracer $(C_f)$ .

Voir la solution

1. $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ (car $\frac4{x+1}\to0$ ). $\lim\limits_{x\to-1^+}\frac4{x+1}=+\infty$ , donc $\lim\limits_{x\to-1^+}f(x)=+\infty$ ; de même $\lim\limits_{x\to-1^-}f(x)=-\infty$ . La droite d’équation $x=-1$ est une asymptote verticale.

2. $f'(x)=1-\dfrac4{(x+1)^2}=\dfrac{(x+1)^2-4}{(x+1)^2}=\dfrac{(x-1)(x+3)}{(x+1)^2}$ . Ainsi $f$ est strictement croissante sur $]-\infty;-3]$ et sur $[1;+\infty[$ , strictement décroissante sur $[-3;-1[$ et sur $]-1;1]$ , avec $f(-3)=-6$ et $f(1)=2$ .

3. $f(x)-(x-1)=\dfrac4{x+1}\xrightarrow[x\to\pm\infty]{}0$ : $(D)$ est une asymptote oblique en $+\infty$ et en $-\infty$ . Ce quotient est positif pour $x>-1$ et négatif pour $x<-1$ : $(C_f)$ est au-dessus de $(D)$ sur $]-1;+\infty[$ et en dessous sur $]-\infty;-1[$ .

4. Si $x\neq-1$ , alors $-2-x\neq-1$ et $f(-2-x)+f(x)=(-3-x)+\frac4{-1-x}+(x-1)+\frac4{x+1}=-4=2\times(-2).$

5. $f''(x)=\dfrac8{(x+1)^3}$ : $(C_f)$ est concave sur $]-\infty;-1[$ et convexe sur $]-1;+\infty[$ (pas de point d’inflexion, car $-1\notin D$ ).

3. Résolution graphique et position relative de deux courbes

Propriété 7

On considère deux fonctions $f$ et $g$ définies sur un intervalle $I$ .

Les solutions de l’équation $f(x)=g(x)$ sont les abscisses des points d’intersection de $(C_f)$ et $(C_g)$ ; les solutions de $f(x)=m$ sont les abscisses des points d’intersection de $(C_f)$ avec la droite horizontale $y=m$ .
$(C_f)$ est au-dessus de $(C_g)$ sur $I$ si, et seulement si, $f(x)-g(x)\ge0$ pour tout $x\in I$ .

Exemple 5

Avec la fonction de l’application 4, déterminer, suivant les valeurs du réel $m$ , le nombre de solutions de l’équation $f(x)=m$ .

Voir la solution

Avec la fonction de l’application 4 : l’équation $f(x)=m$ admet deux solutions si $m<-6$ ou $m>2$ , une solution si $m=-6$ ou $m=2$ , et aucune solution si $-6<m<2$ (lecture du tableau de variations ou de la courbe).

Remarque — courbe de la réciproque

Lorsque $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ , la courbe de $f^{-1}$ se déduit de celle de $f$ par la symétrie d’axe la droite $y=x$ (repère orthonormé) : une tangente horizontale devient verticale, une asymptote $y=b$ devient une asymptote $x=b$ , une branche parabolique de direction $(Ox)$ devient une branche parabolique de direction $(Oy)$ .

Résumé : étude de fonctions

À retenir

Situation	Conclusion
$\lim\limits_{x\to a}f(x)=\pm\infty$	asymptote verticale $x=a$
$\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=b$	asymptote horizontale $y=b$
$\lim\limits_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-(ax+b)\big)=0$	asymptote oblique $y=ax+b$
$\frac{f(x)}x\to\pm\infty$	branche parabolique de direction $(Oy)$
$\frac{f(x)}x\to0$	branche parabolique de direction $(Ox)$
$\frac{f(x)}x\to a\neq0$ et $f(x)-ax\to\pm\infty$	branche parabolique de direction $y=ax$
$f''\ge0$ sur $I$ / $f''\le0$ sur $I$	$(C_f)$ convexe / concave sur $I$
$f''$ s’annule en changeant de signe en $x_0$	point d’inflexion d’abscisse $x_0$
$f(2a-x)=f(x)$	axe de symétrie $x=a$
$f(2a-x)+f(x)=2b$	centre de symétrie $\Omega(a;b)$

Série d’exercices

Exercice 1 — Branches infinies, position relative, réciproque Facile ★★☆☆☆

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=2x-2+\sqrt{x-1}$ .

Vérifier que $D_f=[1;+\infty[$ , puis calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ .
Étudier la branche infinie de $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ .
Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $1$ , puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
a. Montrer que, pour tout $x\in]1;+\infty[$ , $f'(x)=\dfrac{4\sqrt{x-1}+1}{2\sqrt{x-1}}$ . b. En déduire le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variations.
a. Montrer que, pour tout $x\in[1;+\infty[$ , $f(x)-(2x-1)=\dfrac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}$ . b. En déduire la position relative de $(C_f)$ et de la droite $(D)$ d’équation $y=2x-1$ .
Tracer $(D)$ et $(C_f)$ dans un repère orthonormé.
a. Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à déterminer. b. Tracer $(C_{f^{-1}})$ dans le même repère, avec une autre couleur.

Voir la solution

1. $f(x)$ existe si, et seulement si, $x-1\ge0$ : $D_f=[1;+\infty[$ . Comme $\lim\limits_{x\to+\infty}(2x-2)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{x-1}=+\infty$ : $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ .

2. Pour $x>1$ : $\dfrac{f(x)}x=2-\dfrac2x+\sqrt{\dfrac{x-1}{x^2}}\xrightarrow[x\to+\infty]{}2$ , puis $f(x)-2x=-2+\sqrt{x-1}\xrightarrow[x\to+\infty]{}+\infty$ . Donc $(C_f)$ admet au voisinage de $+\infty$ une branche parabolique de direction la droite d’équation $y=2x$ .

3. $f(1)=0$ . Pour $x>1$ : $\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{2(x-1)+\sqrt{x-1}}{x-1}=2+\dfrac1{\sqrt{x-1}}\xrightarrow[x\to1^+]{}+\infty$ . $f$ n’est pas dérivable à droite en $1$ : $(C_f)$ admet au point $A(1;0)$ une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.

4. a. Sur $]1;+\infty[$ : $f'(x)=2+\dfrac1{2\sqrt{x-1}}=\dfrac{4\sqrt{x-1}+1}{2\sqrt{x-1}}$ .

4. b. $f'(x)>0$ sur $]1;+\infty[$ : $f$ est strictement croissante sur $[1;+\infty[$ .

5. a. $f(x)-(2x-1)=\sqrt{x-1}-1=\dfrac{(x-1)-1}{\sqrt{x-1}+1}=\dfrac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}$ .

5. b. Le dénominateur est strictement positif, donc le signe est celui de $x-2$ : $(C_f)$ est en dessous de $(D)$ sur $[1;2[$ , au-dessus sur $]2;+\infty[$ , et ils se coupent au point $B(2;3)$ .

6. et 7. b. Voir la figure ci-dessous.

7. a. $f$ est continue et strictement croissante sur $[1;+\infty[$ : elle admet une réciproque définie sur $J=f([1;+\infty[)=[f(1);+\infty[=[0;+\infty[$ . Sa courbe est la symétrique de $(C_f)$ par rapport à la droite $y=x$ .

Exercice 2 — Concavité et réciproque Moyen ★★★☆☆

On considère la fonction $f$ définie sur $[2;+\infty[$ par $f(x)=x\sqrt{x-2}$ .

Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ .
Justifier que $f$ est continue sur $[2;+\infty[$ .
Déterminer la nature de la branche infinie de $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ .
Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $2$ , puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
a. Montrer que, pour tout $x\in]2;+\infty[$ , $f'(x)=\dfrac{3x-4}{2\sqrt{x-2}}$ . b. En déduire le sens de variation de $f$ .
a. Montrer que, pour tout $x\in]2;+\infty[$ , $f''(x)=\dfrac{3x-8}{4\sqrt{(x-2)^3}}$ . b. Étudier la concavité de $(C_f)$ et préciser son point d’inflexion.
Étudier la position relative de $(C_f)$ et de la droite $(\Delta)$ d’équation $y=x$ .
Tracer $(\Delta)$ et $(C_f)$ dans un repère orthonormé.
a. Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à déterminer. b. Montrer que $f^{-1}$ est dérivable en $12$ et calculer $\left(f^{-1}\right)'(12)$ (on remarquera que $f(6)=12$ ).
Tracer $(C_{f^{-1}})$ dans le même repère, avec une autre couleur.

Voir la solution

1. $\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{x-2}=+\infty$ , donc $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ .

2. $x\mapsto x-2$ est continue et positive sur $[2;+\infty[$ , donc $x\mapsto\sqrt{x-2}$ y est continue ; par produit avec $x\mapsto x$ , $f$ est continue sur $[2;+\infty[$ .

3. $\dfrac{f(x)}x=\sqrt{x-2}\xrightarrow[x\to+\infty]{}+\infty$ : branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.

4. $f(2)=0$ ; pour $x>2$ : $\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\dfrac{x\sqrt{x-2}}{x-2}=\dfrac{x}{\sqrt{x-2}}\xrightarrow[x\to2^+]{}+\infty$ . $f$ n’est pas dérivable à droite en $2$ : demi-tangente verticale au point $(2;0)$ .

5. a. $f'(x)=\sqrt{x-2}+\dfrac{x}{2\sqrt{x-2}}=\dfrac{2(x-2)+x}{2\sqrt{x-2}}=\dfrac{3x-4}{2\sqrt{x-2}}$ .

5. b. Pour $x>2$ , $3x-4>2>0$ : $f$ est strictement croissante sur $[2;+\infty[$ .

6. a. $f'(x)=\frac12(3x-4)(x-2)^{-\frac12}$ , donc $f''(x)=\frac32(x-2)^{-\frac12}-\frac14(3x-4)(x-2)^{-\frac32}=\frac{6(x-2)-(3x-4)}{4(x-2)^{\frac32}}=\frac{3x-8}{4\sqrt{(x-2)^3}} .$

6. b. $f''(x)<0$ sur $\left]2;\frac83\right[$ : $(C_f)$ est concave sur $\left[2;\frac83\right]$ ; $f''(x)>0$ sur $\left]\frac83;+\infty\right[$ : $(C_f)$ est convexe sur $\left[\frac83;+\infty\right[$ . $f''$ s’annule en $\frac83$ en changeant de signe : le point $I\left(\frac83;\frac{8\sqrt6}9\right)$ est un point d’inflexion (car $f\left(\frac83\right)=\frac83\sqrt{\frac23}=\frac{8\sqrt6}9$ ).

7. $f(x)-x=x\left(\sqrt{x-2}-1\right)$ avec $x>0$ . Or $\sqrt{x-2}-1<0\iff x-2<1\iff x<3$ . Donc $(C_f)$ est en dessous de $(\Delta)$ sur $[2;3[$ , au-dessus sur $]3;+\infty[$ , et ils se coupent au point $(3;3)$ .

8. et 10. Voir la figure ci-dessous.

9. a. $f$ est continue et strictement croissante sur $[2;+\infty[$ : réciproque définie sur $J=[f(2);+\infty[=[0;+\infty[$ .

9. b. $f(6)=6\times2=12$ ; $f$ est dérivable en $6$ et $f'(6)=\dfrac{14}{4}=\dfrac72\neq0$ . Donc $f^{-1}$ est dérivable en $12$ et $\left(f^{-1}\right)'(12)=\dfrac1{f'(6)}=\dfrac27$ .

Exercice 3 — Lecture graphique de la dérivée Facile ★★☆☆☆

On considère une fonction $f$ deux fois dérivable sur l’intervalle $[-4;4]$ . La courbe $(\Gamma)$ ci-dessous représente sa fonction dérivée $f'$ ; elle coupe l’axe des abscisses aux points d’abscisses $-2\sqrt3$ , $0$ et $2\sqrt3$ , et admet des tangentes horizontales aux points d’abscisses $-2$ et $2$ .

Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-4;4]$ .
Étudier la concavité de $(C_f)$ sur $[-4;4]$ et préciser les abscisses de ses points d’inflexion.

Voir la solution

1. Le signe de $f'(x)$ se lit sur $(\Gamma)$ : $f'(x)\le0$ sur $[-4;-2\sqrt3]$ , $f'(x)\ge0$ sur $[-2\sqrt3;0]$ , $f'(x)\le0$ sur $[0;2\sqrt3]$ et $f'(x)\ge0$ sur $[2\sqrt3;4]$ (s’annulant seulement en $-2\sqrt3$ , $0$ , $2\sqrt3$ ).

2. $(C_f)$ est convexe là où $f'$ est croissante et concave là où $f'$ est décroissante. Sur $(\Gamma)$ : $f'$ est croissante sur $[-4;-2]$ , décroissante sur $[-2;2]$ et croissante sur $[2;4]$ . Donc $(C_f)$ est convexe sur $[-4;-2]$ , concave sur $[-2;2]$ et convexe sur $[2;4]$ . La concavité change en $-2$ et en $2$ : les points d’inflexion ont pour abscisses $-2$ et $2$ .

Exercice 4 — Fonction avec racine carrée et asymptote verticale Moyen ★★★☆☆

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt x-2}$ .

Vérifier que $D_f=[0;4[\,\cup\,]4;+\infty[$ , puis calculer les limites de $f$ aux bornes de $D_f$ .
Déterminer les deux branches infinies de $(C_f)$ .
Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $0$ , puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
a. Montrer que, pour tout $x\in D_f\setminus\{0\}$ , $f'(x)=\dfrac{\sqrt x-4}{2\left(\sqrt x-2\right)^2}$ . b. Dresser le tableau de variations de $f$ .
Montrer que $(C_f)$ coupe la droite d’équation $y=x$ en deux points distincts dont on déterminera les coordonnées.
Tracer $(C_f)$ dans un repère orthonormé. On admet que le point de $(C_f)$ d’abscisse $36$ est un point d’inflexion.
On considère la restriction $g$ de $f$ à l’intervalle $[0;4[$ . On admet que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ . Tracer $(C_{g^{-1}})$ dans le même repère, avec une autre couleur.

Voir la solution

1. $f(x)$ existe si, et seulement si, $x\ge0$ et $\sqrt x\neq2$ , c’est-à-dire $x\ge0$ et $x\neq4$ : $D_f=[0;4[\cup]4;+\infty[$ .

En $4$ : le numérateur tend vers $4$ ; $\sqrt x-2\to0^-$ si $x\to4^-$ et $\to0^+$ si $x\to4^+$ . Donc $\lim\limits_{x\to4^-}f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to4^+}f(x)=+\infty$ .
En $+\infty$ : $f(x)=\dfrac{\sqrt x}{1-\frac2{\sqrt x}}\to+\infty$ .
$f(0)=0$ .

2. La droite d’équation $x=4$ est une asymptote verticale. En $+\infty$ : $\dfrac{f(x)}x=\dfrac1{\sqrt x-2}\to0$ : branche parabolique de direction l’axe des abscisses.

3. Pour $x\in]0;4[$ : $\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\dfrac1{\sqrt x-2}\xrightarrow[x\to0^+]{}-\dfrac12$ . $f$ est dérivable à droite en $0$ et $f'_d(0)=-\frac12$ : $(C_f)$ admet à l’origine une demi-tangente d’équation $y=-\frac12x$ ( $x\ge0$ ).

4. a. Pour $x\in D_f\setminus\{0\}$ : $f'(x)=\frac{\left(\sqrt x-2\right)-x\times\frac1{2\sqrt x}}{\left(\sqrt x-2\right)^2}=\frac{\left(\sqrt x-2\right)-\frac{\sqrt x}2}{\left(\sqrt x-2\right)^2}=\frac{\sqrt x-4}{2\left(\sqrt x-2\right)^2}.$

4. b. $f'(x)$ a le signe de $\sqrt x-4$ : négatif pour $x<16$ , positif pour $x>16$ ; $f(16)=\dfrac{16}2=8$ .

5. $f(x)=x\iff x=x\left(\sqrt x-2\right)$ (avec $x\in D_f$ ) $\iff x\left(\sqrt x-3\right)=0\iff x=0$ ou $x=9$ . Les deux points sont $O(0;0)$ et $E(9;9)$ .

6. et 7. $g$ est continue et strictement décroissante sur $[0;4[$ , de $0$ à $-\infty$ : sa réciproque est définie sur $]-\infty;0]$ et sa courbe est la symétrique de la partie de $(C_f)$ correspondante par rapport à $y=x$ .

Exercice 5 — Fonction auxiliaire et étude Moyen ★★★☆☆

Partie A. On considère la fonction $u$ définie sur $\mathbb{R}$ par $u(x)=7x^3+3x+2$ .

Déterminer $u'(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ .
Dresser le tableau de variations de $u$ (les limites ne sont pas demandées).
En déduire que $u(x)>0$ pour tout $x\in[0;+\infty[$ .

Partie B. On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=(x^3+x+2)\sqrt x-3$ .

Montrer que $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ , puis déterminer la branche infinie de $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ .
Montrer que $f$ est continue sur $[0;+\infty[$ .
Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $0$ , puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
a. Montrer que, pour tout $x\in]0;+\infty[$ , $f'(x)=\dfrac{u(x)}{2\sqrt x}$ . b. En utilisant la question A.3, en déduire que $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$ .
Montrer que $(C_f)$ coupe l’axe des abscisses en un unique point d’abscisse $\alpha$ , puis vérifier que $0{,}8<\alpha<0{,}9$ .
Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(C_f)$ au point d’abscisse $1$ .
Tracer $(T)$ et $(C_f)$ dans un repère orthonormé. On admet que $(C_f)$ possède un point d’inflexion d’abscisse $\beta\simeq0{,}3$ .
a. Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à déterminer. b. Tracer $(C_{f^{-1}})$ dans le même repère, avec une autre couleur.

Voir la solution

A. 1. $u'(x)=21x^2+3$ .

A. 2. $u'(x)>0$ pour tout réel $x$ : $u$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

A. 3. Pour $x\ge0$ , $u(x)\ge u(0)=2>0$ .

B. 1. $\lim\limits_{x\to+\infty}(x^3+x+2)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt x=+\infty$ : $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ . Pour $x>0$ : $\dfrac{f(x)}x=\dfrac{x^3+x+2}{\sqrt x}-\dfrac3x=x^2\sqrt x+\sqrt x+\dfrac2{\sqrt x}-\dfrac3x\to+\infty$ : branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.

B. 2. Produit et somme de fonctions continues sur $[0;+\infty[$ : $f$ est continue sur $[0;+\infty[$ .

B. 3. $f(0)=-3$ ; pour $x>0$ : $\dfrac{f(x)-f(0)}x=\dfrac{(x^3+x+2)\sqrt x}{x}=\dfrac{x^3+x+2}{\sqrt x}\xrightarrow[x\to0^+]{}+\infty$ (numérateur $\to2$ ). Demi-tangente verticale au point $(0;-3)$ .

B. 4. a. $f'(x)=(3x^2+1)\sqrt x+\dfrac{x^3+x+2}{2\sqrt x}=\dfrac{2x(3x^2+1)+x^3+x+2}{2\sqrt x}=\dfrac{7x^3+3x+2}{2\sqrt x}=\dfrac{u(x)}{2\sqrt x}$ .

B. 4. b. D’après A.3, $f'(x)>0$ sur $]0;+\infty[$ ; $f$ étant continue sur $[0;+\infty[$ , elle y est strictement croissante.

B. 5. $f$ est continue, strictement croissante, $f([0;+\infty[)=[-3;+\infty[\ni0$ : l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ . $f(0{,}8)=3{,}312\times\sqrt{0{,}8}-3\approx-0{,}04<0$ et $f(0{,}9)=3{,}629\times\sqrt{0{,}9}-3\approx0{,}44>0$ : $0{,}8<\alpha<0{,}9$ .

B. 6. $f(1)=4-3=1$ et $f'(1)=\dfrac{u(1)}2=\dfrac{12}2=6$ : $(T):y=6(x-1)+1$ , soit $y=6x-5$ .

B. 8. a. $f$ est continue et strictement croissante sur $[0;+\infty[$ : réciproque définie sur $J=[-3;+\infty[$ .

B. 7. et 8. b.

Exercice 6 — Fonction rationnelle et asymptote oblique Moyen ★★★☆☆

Partie A. On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^3+x^2+3x-1$ .

Calculer les limites de $g$ en $+\infty$ et en $-\infty$ .
Étudier les variations de $g$ sur $\mathbb{R}$ .
Montrer que l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$ , et que $0<\alpha<\dfrac12$ .
Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs du réel $x$ .

Partie B. On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x+\dfrac2{x^2+1}$ .

Déterminer $D_f$ , puis calculer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$ .
Étudier la continuité de $f$ sur $D_f$ .
Montrer que, pour tout $x\in D_f$ , $f'(x)=\dfrac{(x-1)\,g(x)}{(x^2+1)^2}$ .
Étudier les variations de $f$ , puis dresser son tableau de variations.
Vérifier que la droite $(\Delta)$ d’équation $y=x$ est une asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $-\infty$ et de $+\infty$ .
Étudier la position relative de $(C_f)$ et de $(\Delta)$ .
On considère la restriction $h$ de $f$ à l’intervalle $I=[1;+\infty[$ . a. Montrer que $h$ admet une fonction réciproque $h^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à déterminer. b. Dresser le tableau de variations de $h^{-1}$ .

Voir la solution

A. 1. $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}x^3=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=-\infty$ .

A. 2. $g'(x)=3x^2+2x+3$ ; discriminant $4-36=-32<0$ , donc $g'(x)>0$ : $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

A. 3. $g$ est continue, strictement croissante et $g(\mathbb{R})=\mathbb{R}$ : unique solution $\alpha$ . $g(0)=-1<0$ et $g\left(\frac12\right)=\frac18+\frac14+\frac32-1=\frac78>0$ : $0<\alpha<\frac12$ .

A. 4. $g(x)<0$ si $x<\alpha$ ; $g(\alpha)=0$ ; $g(x)>0$ si $x>\alpha$ .

B. 1. $x^2+1>0$ pour tout réel $x$ : $D_f=\mathbb{R}$ . $\dfrac2{x^2+1}\to0$ en $\pm\infty$ , donc $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ .

B. 2. $f$ est somme d’une fonction affine et d’une fonction rationnelle définie sur $\mathbb{R}$ : $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

B. 3. $f'(x)=1-\dfrac{2\times2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{x^4+2x^2+1-4x}{(x^2+1)^2}$ . Or $(x-1)(x^3+x^2+3x-1)=x^4+x^3+3x^2-x-x^3-x^2-3x+1=x^4+2x^2-4x+1$ . Donc $f'(x)=\dfrac{(x-1)g(x)}{(x^2+1)^2}$ .

B. 4. Signe de $(x-1)g(x)$ , avec $0<\alpha<1$ : positif sur $]-\infty;\alpha[$ , négatif sur $]\alpha;1[$ , positif sur $]1;+\infty[$ . $f(1)=2$ et $f(\alpha)=\alpha+\dfrac2{\alpha^2+1}$ .

B. 5. $f(x)-x=\dfrac2{x^2+1}\xrightarrow[x\to\pm\infty]{}0$ : $(\Delta):y=x$ est une asymptote oblique en $-\infty$ et en $+\infty$ .

B. 6. $f(x)-x=\dfrac2{x^2+1}>0$ : $(C_f)$ est au-dessus de $(\Delta)$ sur $\mathbb{R}$ .

B. 7. a. $h$ est continue et strictement croissante sur $[1;+\infty[$ : elle admet une réciproque définie sur $J=[h(1);+\infty[=[2;+\infty[$ .

B. 7. b. $h^{-1}$ a le même sens de variation que $h$ :

Exercice 7 — Fonction définie par morceaux — synthèse Difficile ★★★★☆

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x+\sqrt{x^2+4x}\ \text{ si } x\ge0\qquad\text{et}\qquad f(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^2+4}}\ \text{ si } x<0 .$

Montrer que $f$ est continue en $0$ .
a. Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $0$ , puis interpréter géométriquement le résultat obtenu. b. Montrer que $\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{f(x)}x=1$ , puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
Calculer $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)$ , puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
a. Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x$ , puis montrer que $\lim\limits_{x\to+\infty}\big(f(x)-2x\big)=2$ . b. En déduire que $(C_f)$ admet une asymptote oblique au voisinage de $+\infty$ dont on donnera une équation.
a. Montrer que $f'(x)=1+\dfrac{x+2}{\sqrt{x^2+4x}}$ pour $x>0$ et $f'(x)=\dfrac8{(x^2+4)\sqrt{x^2+4}}$ pour $x<0$ . b. Déterminer le signe de $f'(x)$ sur $]0;+\infty[$ et sur $]-\infty;0[$ , puis dresser le tableau de variations de $f$ .
a. Montrer que $f''(x)=\dfrac{-4}{(x^2+4x)\sqrt{x^2+4x}}$ pour $x>0$ et $f''(x)=\dfrac{-24x\sqrt{x^2+4}}{(x^2+4)^3}$ pour $x<0$ . b. En déduire la concavité de $(C_f)$ .
Étudier la position relative de $(C_f)$ et de la droite d’équation $y=x$ .
On considère la restriction $g$ de $f$ à l’intervalle $I=]-\infty;0[$ . a. Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à déterminer. b. Montrer que $g^{-1}(-1)=-\dfrac2{\sqrt3}$ , puis en déduire la valeur de $\left(g^{-1}\right)'(-1)$ . c. Montrer que, pour tout $x\in J$ , $g^{-1}(x)=\dfrac{2x}{\sqrt{4-x^2}}$ . d. Tracer $(C_f)$ et $(C_{g^{-1}})$ dans le même repère orthonormé.

Voir la solution

1. $f(0)=0$ et $\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+4}}=\dfrac02=0=f(0)$ ; $f$ est continue à droite en $0$ (fonction continue sur $[0;+\infty[$ ). Donc $f$ est continue en $0$ .

2. a. Pour $x>0$ : $\dfrac{f(x)-f(0)}x=1+\dfrac{\sqrt{x^2+4x}}x=1+\sqrt{\dfrac{x+4}x}\xrightarrow[x\to0^+]{}+\infty$ . $f$ n’est pas dérivable à droite en $0$ : demi-tangente verticale à l’origine (dirigée vers le haut).

2. b. Pour $x<0$ : $\dfrac{f(x)}x=\dfrac2{\sqrt{x^2+4}}\xrightarrow[x\to0^-]{}1$ . Donc $f$ est dérivable à gauche en $0$ avec $f'_g(0)=1$ : demi-tangente d’équation $y=x$ ( $x\le0$ ) à l’origine.

3. Pour $x<0$ , $\sqrt{x^2+4}=-x\sqrt{1+\frac4{x^2}}$ , donc $f(x)=\dfrac{-2}{\sqrt{1+\frac4{x^2}}}\xrightarrow[x\to-\infty]{}-2$ : la droite d’équation $y=-2$ est une asymptote horizontale au voisinage de $-\infty$ .

4. a. $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ ; $\dfrac{f(x)}x=1+\sqrt{1+\dfrac4x}\to2$ ; et $f(x)-2x=\sqrt{x^2+4x}-x=\frac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x}=\frac4{\sqrt{1+\frac4x}+1}\xrightarrow[x\to+\infty]{}2 .$

4. b. $\lim\limits_{x\to+\infty}\big(f(x)-(2x+2)\big)=0$ : la droite d’équation $y=2x+2$ est une asymptote oblique au voisinage de $+\infty$ .

5. a. Pour $x>0$ : $f'(x)=1+\dfrac{2x+4}{2\sqrt{x^2+4x}}=1+\dfrac{x+2}{\sqrt{x^2+4x}}$ . Pour $x<0$ : $f'(x)=\dfrac{2\sqrt{x^2+4}-2x\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}}{x^2+4}=\dfrac{2(x^2+4)-2x^2}{(x^2+4)\sqrt{x^2+4}}=\dfrac8{(x^2+4)\sqrt{x^2+4}}$ .

5. b. Dans les deux cas $f'(x)>0$ . $f$ étant continue sur $\mathbb{R}$ , elle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

6. a. Pour $x>0$ , en écrivant $f'(x)=1+(x+2)(x^2+4x)^{-\frac12}$ : $f''(x)=(x^2+4x)^{-\frac12}-(x+2)^2(x^2+4x)^{-\frac32}=\frac{x^2+4x-(x+2)^2}{(x^2+4x)^{\frac32}}=\frac{-4}{(x^2+4x)\sqrt{x^2+4x}} .$ Pour $x<0$ , $f'(x)=8(x^2+4)^{-\frac32}$ , donc $f''(x)=8\times\left(-\frac32\right)\times2x\,(x^2+4)^{-\frac52}=\dfrac{-24x}{(x^2+4)^2\sqrt{x^2+4}}=\dfrac{-24x\sqrt{x^2+4}}{(x^2+4)^3}$ .

6. b. Sur $]0;+\infty[$ , $f''(x)<0$ : $(C_f)$ est concave sur $[0;+\infty[$ . Sur $]-\infty;0[$ , $-24x>0$ donc $f''(x)>0$ : $(C_f)$ est convexe sur $]-\infty;0]$ . La concavité change à l’origine.

7. Pour $x\ge0$ : $f(x)-x=\sqrt{x^2+4x}\ge0$ , nul seulement en $0$ . Pour $x<0$ : $f(x)-x=x\left(\dfrac2{\sqrt{x^2+4}}-1\right)=\dfrac{x\left(2-\sqrt{x^2+4}\right)}{\sqrt{x^2+4}}$ ; or $\sqrt{x^2+4}>2$ , donc la parenthèse est négative, et $x<0$ : la différence est positive. Ainsi $(C_f)$ est au-dessus de la droite $y=x$ sur $\mathbb{R}^*$ , et la coupe uniquement en $O$ .

8. a. $g$ est continue et strictement croissante sur $]-\infty;0[$ : réciproque définie sur $J=\left]\lim\limits_{x\to-\infty}g(x);\lim\limits_{x\to0^-}g(x)\right[=]-2;0[$ .

8. b. $g\left(-\frac2{\sqrt3}\right)=\dfrac{-\frac4{\sqrt3}}{\sqrt{\frac43+4}}=\dfrac{-\frac4{\sqrt3}}{\frac4{\sqrt3}}=-1$ , donc $g^{-1}(-1)=-\dfrac2{\sqrt3}$ . Puis $g'\left(-\frac2{\sqrt3}\right)=\dfrac8{\left(\frac{16}3\right)^{\frac32}}=\dfrac8{\frac{64}{3\sqrt3}}=\dfrac{3\sqrt3}8\neq0$ , d’où $\left(g^{-1}\right)'(-1)=\dfrac8{3\sqrt3}=\dfrac{8\sqrt3}9$ .

8. c. Pour $x\in J$ et $y<0$ : $g(y)=x\iff2y=x\sqrt{y^2+4}$ . Les deux membres sont négatifs ; en élevant au carré (équivalence car ils sont de même signe) : $4y^2=x^2(y^2+4)\iff y^2(4-x^2)=4x^2\iff y^2=\dfrac{4x^2}{4-x^2}$ , et comme $y<0$ et $x<0$ : $y=\dfrac{2x}{\sqrt{4-x^2}}$ . Donc $g^{-1}(x)=\dfrac{2x}{\sqrt{4-x^2}}$ .

8. d.

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