Chapitre 3 — Projection

1) On utilise la projection sur $(AC)$ parallèlement à $(BC)$ : $A$ a pour projeté $A$ (car $A\in(AC)$), $B$ a pour projeté $C$ (la droite $(BC)$ coupe $(AC)$ en $C$), et $M$ a pour projeté $M'$.

Comme $\overrightarrow{AM}=\tfrac34\overrightarrow{AB}$, la conservation du coefficient de colinéarité donne $\overrightarrow{AM'}=\tfrac34\overrightarrow{AC}$.

2) $\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AM'}=-\tfrac34\overrightarrow{AB}+\tfrac34\overrightarrow{AC}=\tfrac34\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=\tfrac34\overrightarrow{BC}$.

1) Figure :

2) Projection sur $(AB)$ parallèlement à $(AC)$ : $B\mapsto B$, $C\mapsto A$, $M\mapsto P$. De $\overrightarrow{BM}=\tfrac13\overrightarrow{BC}$ on tire $\overrightarrow{BP}=\tfrac13\overrightarrow{BA}$, donc $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AB}-\tfrac13\overrightarrow{AB}=\tfrac23\overrightarrow{AB}.$ Projection sur $(AC)$ parallèlement à $(AB)$ : $B\mapsto A$, $C\mapsto C$, $M\mapsto Q$. Donc $\overrightarrow{AQ}=\tfrac13\overrightarrow{AC}$.

3) $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\tfrac13\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\tfrac13\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\tfrac23\overrightarrow{AB}+\tfrac13\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}$.

(Le quadrilatère $APMQ$ est donc un parallélogramme.)

1) Figure :

2) Projection sur $(AB)$ parallèlement à $(EC)$ : $A\mapsto A$, $C\mapsto E$, $F\mapsto I$. De $\overrightarrow{AF}=\tfrac23\overrightarrow{AC}$ on tire $\overrightarrow{AI}=\tfrac23\overrightarrow{AE}$.

3) Projection sur $(AC)$ parallèlement à $(BF)$ : $A\mapsto A$, $B\mapsto F$, $E\mapsto J$. De $\overrightarrow{AE}=\tfrac12\overrightarrow{AB}$ on tire $\overrightarrow{AJ}=\tfrac12\overrightarrow{AF}$.

4) $\overrightarrow{AI}=\tfrac23\times\tfrac12\overrightarrow{AB}=\tfrac13\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AJ}=\tfrac12\times\tfrac23\overrightarrow{AC}=\tfrac13\overrightarrow{AC}$.

5) $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ}=-\tfrac13\overrightarrow{AB}+\tfrac13\overrightarrow{AC}=\tfrac13\overrightarrow{BC}$ : les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires, donc $(IJ)\parallel(BC)$.

1) Figure :

2) La parallèle à $(BD)$ passant par $C$ coupe $(AB)$ en $C'$ ; alors $(CC')\parallel(DB)$ et $(DC)\parallel(BC')$, donc $DBC'C$ est un parallélogramme et $\overrightarrow{BC'}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$. D’où $\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC'}=2\overrightarrow{AB}.$

3) Projection sur $(AB)$ parallèlement à $(BD)$ : $A\mapsto A$, $C\mapsto C'$, $M\mapsto N$. De $\overrightarrow{AM}=\tfrac13\overrightarrow{AC}$ on tire $\overrightarrow{AN}=\tfrac13\overrightarrow{AC'}=\tfrac23\overrightarrow{AB},\qquad AN=\tfrac23\times6=4.$

4) $(ME)\perp(DC)$ et $(AD)\perp(DC)$, donc $(ME)\parallel(AD)$. Dans le triangle $CAD$, avec $M\in(CA)$ et $E\in(CD)$, le théorème de Thalès donne $\dfrac{ME}{AD}=\dfrac{CM}{CA}$.

Or $\overrightarrow{AM}=\tfrac13\overrightarrow{AC}$, donc $CM=\tfrac23CA$. Ainsi $ME=\tfrac23\times4=\tfrac83$.

1) Figure :

2) Projection sur $(BC)$ parallèlement à $(AC)$ : $A\mapsto C$, $B\mapsto B$, $M\mapsto N$. Or $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BA}-\tfrac14\overrightarrow{BA}=\tfrac34\overrightarrow{BA}$, donc $\overrightarrow{BN}=\tfrac34\overrightarrow{BC}$.

3) $\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{CB}-\tfrac34\overrightarrow{CB}=\tfrac14\overrightarrow{CB}$.

Projection sur $(CD)$ parallèlement à $(BD)$ : $C\mapsto C$, $B\mapsto D$, $N\mapsto P$. Donc $\overrightarrow{CP}=\tfrac14\overrightarrow{CD}$.

4) On exprime tout en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$, avec $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$ : $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BN}=\tfrac34\overrightarrow{AB}+\tfrac34\overrightarrow{AD}.$ $\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{QD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CP}=\tfrac34\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}-\tfrac14\overrightarrow{AB}=\tfrac34\overrightarrow{AB}+\tfrac34\overrightarrow{AD}.$ Donc $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}$ : $MNPQ$ est un parallélogramme.

1) Figure :

2) $(MN)\parallel(AC)$, avec $N\in(BA)$ et $M\in(BC)$ : d’après le théorème de Thalès dans le triangle $BAC$, $\dfrac{BN}{BA}=\dfrac{BM}{BC}=t$.

3) $(MP)\parallel(AB)$, avec $P\in(CA)$ et $M\in(CB)$ : d’après le théorème de Thalès dans le triangle $CAB$, $\dfrac{CP}{CA}=\dfrac{CM}{CB}$. Comme $M\in[BC]$, $CM=CB-BM$, donc $\dfrac{CM}{CB}=1-t$.

4) $N\in[AB]$ et $P\in[AC]$ (car $M\in[BC]$). Donc : $AN=AB-BN=6-6t=6(1-t)\qquad\text{et}\qquad AP=AC-CP=4-4(1-t)=4t.$

5) $(AN)\parallel(MP)$ et $(AP)\parallel(NM)$, donc $ANMP$ est un parallélogramme. C’est un losange lorsque deux côtés consécutifs sont égaux : $AN=AP$, soit $6-6t=4t$, d’où $t=\tfrac35$.

Le parallélogramme $ANMP$ est un losange lorsque $BM=\tfrac35BC$.

1) On trace le triangle, puis $E$ sur $[AB]$ à $2$ de $A$, et $F$ sur $[AC]$ à $3$ de $A$.

2) a) $\dfrac{AE}{AB}=\dfrac26=\dfrac13$ et $\dfrac{AF}{AC}=\dfrac39=\dfrac13$ : les deux rapports sont égaux.

b) Les points $A$, $E$, $B$ sont dans le même ordre que $A$, $F$, $C$ ($E\in[AB]$, $F\in[AC]$), et les rapports sont égaux. D’après la réciproque du théorème de Thalès, $(EF)\parallel(BC)$.

3) D’après le théorème de Thalès : $\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{AE}{AB}=\dfrac13$, donc $EF=\dfrac83$.