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Chapitre 7 — Polynômes

Semestre 1

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Cours

Plan du chapitre. I. Généralités sur les polynômes — II. Racine d’un polynôme et division par x−ax-a — III. Factorisation d’un polynôme.

I. Généralités sur les polynômes

1. Définitions

Définition 1 : Polynôme

On considère un entier naturel nn et des réels a0a_0, a1a_1, …, ana_n avec an≠0a_n\neq0. La fonction PP définie sur R\mathbb{R} par P(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0 est un polynôme de degré nn ; on note deg⁡P=n\deg P=n.

  • Les réels a0a_0, …, ana_n sont les coefficients de PP ; akxka_k x^k est un monôme.
  • Le polynôme dont tous les coefficients sont nuls est le polynôme nul ; il n’a pas de degré.
  • Un polynôme de degré 11, 22 ou 33 est dit respectivement du premier degré, trinôme du second degré, polynôme du troisième degré.

Exemple 1

Parmi les expressions suivantes, lesquelles sont des polynômes ? Préciser alors leur degré : P(x)=4x3−x+2P(x)=4x^3-x+\sqrt2, Q(x)=(x−1)2−x2Q(x)=(x-1)^2-x^2, R(x)=x2+1xR(x)=x^2+\dfrac1x et S(x)=x+1S(x)=\sqrt x+1.

Voir la solution
  • P(x)=4x3−x+2P(x)=4x^3-x+\sqrt2 est un polynôme de degré 33 ;  Q(x)=(x−1)2−x2=−2x+1\ Q(x)=(x-1)^2-x^2=-2x+1 est de degré 11.
  • R(x)=x2+1xR(x)=x^2+\dfrac1x et S(x)=x+1S(x)=\sqrt x+1 ne sont pas des polynômes.

2. Égalité de deux polynômes

Propriété 1

Deux polynômes sont égaux (c’est-à-dire prennent la même valeur pour tout réel xx) si et seulement s’ils ont le même degré et les mêmes coefficients pour les monômes de même degré.

Application 1

On considère les polynômes P(x)=2x2+7x−4P(x)=2x^2+7x-4 et Q(x)=(x+4)(ax+b)Q(x)=(x+4)(ax+b), où aa et bb sont des réels. Déterminer aa et bb pour que P=QP=Q.

Voir la solution

Q(x)=ax2+(4a+b)x+4bQ(x)=ax^2+(4a+b)x+4b. Par identification : a=2a=2, 4a+b=74a+b=7 et 4b=−44b=-4, soit a=2a=2 et b=−1b=-1 (et 4×2−1=74\times2-1=7 est bien vérifié).

3. Opérations

Propriété 2

On considère deux polynômes non nuls PP et QQ. La somme P+QP+Q et le produit PQPQ sont des polynômes ; si P+QP+Q n’est pas nul, deg⁡(P+Q)≤\deg(P+Q)\le le plus grand des degrés de PP et QQ, et deg⁡(PQ)=deg⁡P+deg⁡Q\deg(PQ)=\deg P+\deg Q.

Exemple 2

On considère les polynômes P(x)=x2−3x+1P(x)=x^2-3x+1 et Q(x)=2x3+xQ(x)=2x^3+x. Déterminer P+QP+Q, puis le degré et le coefficient du terme de plus haut degré de PQPQ.

Voir la solution

(P+Q)(x)=2x3+x2−2x+1(P+Q)(x)=2x^3+x^2-2x+1, de degré 33. Le produit PQPQ est de degré 2+3=52+3=5 ; son terme de plus haut degré est x2×2x3=2x5x^2\times2x^3=2x^5, de coefficient 22.

II. Racine d’un polynôme et division par x−ax-a

1. Racine d’un polynôme

Définition 2

On considère un polynôme PP et un réel aa. On dit que aa est une racine (ou un zéro) de PP lorsque P(a)=0P(a)=0.

Exemple 3

On considère le polynôme P(x)=x3−2x2−5x+6P(x)=x^3-2x^2-5x+6. Calculer P(1)P(1) et P(2)P(2). Les nombres 11 et 22 sont-ils des racines de PP ?

Voir la solution

P(x)=x3−2x2−5x+6P(x)=x^3-2x^2-5x+6 :  P(1)=1−2−5+6=0\ P(1)=1-2-5+6=0, donc 11 est une racine de PP ;  P(2)=8−8−10+6=−4≠0\ P(2)=8-8-10+6=-4\neq0.

2. Divisibilité par x−ax-a

Théorème 1

On considère un polynôme PP de degré n≥1n\ge1 et un réel aa. Le réel aa est une racine de PP si et seulement s’il existe un polynôme QQ de degré n−1n-1 tel que, pour tout réel xx, P(x)=(x−a) Q(x).P(x)=(x-a)\,Q(x). On dit alors que PP est divisible par x−ax-a.

Propriété 3 : Division euclidienne par x−ax-a

Pour tout polynôme PP de degré n≥1n\ge1 et tout réel aa, il existe un unique polynôme QQ de degré n−1n-1 tel que, pour tout réel xx, P(x)=(x−a) Q(x)+P(a).P(x)=(x-a)\,Q(x)+P(a). QQ est le quotient et P(a)P(a) le reste de la division euclidienne de PP par x−ax-a.

3. Méthodes de calcul du quotient

Méthode

Identification. On écrit Q(x)=bx2+cx+dQ(x)=bx^2+cx+d (pour deg⁡P=3\deg P=3), on développe (x−a)Q(x)(x-a)Q(x) et on identifie les coefficients avec ceux de PP.

Méthode de Horner. On dispose les coefficients de PP sur une ligne ; on abaisse le premier, puis chaque nouveau coefficient s’obtient en ajoutant au coefficient de PP le produit de aa par le résultat précédent. Le dernier nombre est le reste P(a)P(a).

Exemple 4

Diviser P(x)=2x3−3x2−11x+6P(x)=2x^3-3x^2-11x+6 par x−3x-3.

Voir la solution

Schéma de Horner avec a=3a=3 :

22−3-3−11-1166
336699−6-6
2233−2-200

Le reste est nul : P(x)=(x−3)(2x2+3x−2)P(x)=(x-3)(2x^2+3x-2).

Application 2

On considère le polynôme P(x)=x3+x2−4x+mP(x)=x^3+x^2-4x+m, où mm est un réel.

  1. Déterminer mm pour que PP soit divisible par x+2x+2.
  2. Pour cette valeur de mm, déterminer le quotient QQ par identification.
Voir la solution
  1. P(−2)=−8+4+8+m=m+4P(-2)=-8+4+8+m=m+4 ; PP est divisible par x+2x+2 si et seulement si m=−4m=-4.
  2. P(x)=x3+x2−4x−4=(x+2)(bx2+cx+d)=bx3+(2b+c)x2+(2c+d)x+2dP(x)=x^3+x^2-4x-4=(x+2)(bx^2+cx+d)=bx^3+(2b+c)x^2+(2c+d)x+2d. Par identification : b=1b=1, c=−1c=-1, d=−2d=-2. Donc Q(x)=x2−x−2Q(x)=x^2-x-2.

III. Factorisation d’un polynôme

1. Principe

Propriété 4

Si aa et bb sont deux racines distinctes de PP, alors PP est divisible par (x−a)(x−b)(x-a)(x-b).

Méthode

Pour factoriser un polynôme : on cherche une racine « évidente » (parmi 00, 11, −1-1, 22, −2-2, 12\frac12…), on divise par x−ax-a, puis on recommence avec le quotient, ou on utilise les identités remarquables.

2. Exemple complet

Application 3

On considère le polynôme P(x)=x3−2x2−5x+6P(x)=x^3-2x^2-5x+6.

  1. Vérifier que 11 et −2-2 sont des racines de PP.
  2. En déduire une factorisation de P(x)P(x) en produit de trois binômes.
Voir la solution
  1. P(1)=0P(1)=0 (exemple 3) et P(−2)=−8−8+10+6=0P(-2)=-8-8+10+6=0.
  2. PP est divisible par (x−1)(x+2)=x2+x−2(x-1)(x+2)=x^2+x-2 ; comme deg⁡P=3\deg P=3, P(x)=(x2+x−2)(ax+b)P(x)=(x^2+x-2)(ax+b). Les coefficients de x3x^3 donnent a=1a=1, les termes constants donnent −2b=6-2b=6, b=−3b=-3. Donc P(x)=(x−1)(x+2)(x−3).P(x)=(x-1)(x+2)(x-3).

Exemple 5

Factoriser le polynôme P(x)=x3−7x−6P(x)=x^3-7x-6.

Voir la solution

P(−1)=−1+7−6=0P(-1)=-1+7-6=0 : −1-1 est une racine évidente. Horner avec a=−1a=-1 : 11 ; 0−1=−10-1=-1 ; −7+1=−6-7+1=-6 ; −6+6=0-6+6=0, donc P(x)=(x+1)(x2−x−6)P(x)=(x+1)(x^2-x-6). Le quotient admet la racine 33 (9−3−6=09-3-6=0), et x2−x−6=(x−3)(x+2)x^2-x-6=(x-3)(x+2). Ainsi P(x)=(x+1)(x+2)(x−3)P(x)=(x+1)(x+2)(x-3).

À retenir — l’essentiel du chapitre

  • Deux polynômes sont égaux si et seulement s’ils ont les mêmes coefficients.
  • aa est racine de PP   ⟺  P(a)=0  ⟺  P(x)=(x−a)Q(x)\iff P(a)=0\iff P(x)=(x-a)Q(x) avec deg⁡Q=deg⁡P−1\deg Q=\deg P-1.
  • Le reste de la division de PP par x−ax-a est P(a)P(a) ; quotient par identification ou par Horner.

Série d’exercices

Exercice 1 — Reconnaître un polynôme Facile ★☆☆☆☆

On considère les fonctions définies sur R\R (ou sur R∗\R^*, ou sur R+\R_+ lorsque c’est nécessaire) par : A(x)=2x4−5x+1 ;B(x)=x2+3x ;C(x)=(2−x)3 ;A(x)=2x^4-\sqrt5x+1\ ;\quad B(x)=x^2+\frac3x\ ;\quad C(x)=(2-x)^3\ ; D(x)=x3+∣x∣ ;E(x)=πx2−x2 ;F(x)=x−x.D(x)=x^3+|x|\ ;\quad E(x)=\pi x^2-\frac x2\ ;\quad F(x)=x-\sqrt x. Déterminer celles qui sont des polynômes, en précisant leur degré.

Voir la solution
  • AA est un polynôme de degré 44.
  • C(x)=−x3+6x2−12x+8C(x)=-x^3+6x^2-12x+8 est un polynôme de degré 33.
  • EE est un polynôme de degré 22 (coefficients π\pi et −12-\frac12).
  • BB, DD et FF ne sont pas des polynômes (présence de 1x\frac1x, de ∣x∣|x| et de x\sqrt x).

Exercice 2 — Égalité de polynômes Facile ★☆☆☆☆

On considère les polynômes P(x)=3x3−4x2−5x+2P(x)=3x^3-4x^2-5x+2 et Q(x)=(x+1)(x−2)(ax+b)Q(x)=(x+1)(x-2)(ax+b), où aa et bb sont des réels. Déterminer aa et bb pour que P=QP=Q.

Voir la solution

(x+1)(x−2)=x2−x−2(x+1)(x-2)=x^2-x-2, donc Q(x)=(x2−x−2)(ax+b)=ax3+(b−a)x2+(−2a−b)x−2bQ(x)=(x^2-x-2)(ax+b)=ax^3+(b-a)x^2+(-2a-b)x-2b.

Par identification : a=3a=3 ; b−a=−4b-a=-4 donc b=−1b=-1 ; on vérifie −2a−b=−6+1=−5-2a-b=-6+1=-5 et −2b=2-2b=2. Donc a=3a=3 et b=−1b=-1.

Exercice 3 — Racine et factorisation Facile ★☆☆☆☆

On considère le polynôme P(x)=3x2+5x−2P(x)=3x^2+5x-2.

  1. Vérifier que 13\dfrac13 est une racine de PP.
  2. Déterminer le polynôme QQ tel que P(x)=(x−13)Q(x)P(x)=\left(x-\dfrac13\right)Q(x).
  3. En déduire l’autre racine de PP.
Voir la solution

1) P(13)=13+53−2=0P\left(\frac13\right)=\frac13+\frac53-2=0.

2) QQ est de degré 11 : Q(x)=ax+bQ(x)=ax+b, et (x−13)(ax+b)=ax2+(b−a3)x−b3\left(x-\frac13\right)(ax+b)=ax^2+\left(b-\frac a3\right)x-\frac b3. Par identification : a=3a=3, −b3=−2-\frac b3=-2 donc b=6b=6 (et 6−1=56-1=5). Q(x)=3x+6Q(x)=3x+6.

3) P(x)=(x−13)(3x+6)P(x)=\left(x-\frac13\right)(3x+6) ; l’autre racine est −2-2.

Exercice 4 — Divisibilité Facile ★☆☆☆☆

On considère le polynôme Q(x)=x3−4x+3Q(x)=x^3-4x+3.

  1. Calculer Q(1)Q(1). Le polynôme QQ est-il divisible par x−1x-1 ?
  2. Déterminer le polynôme RR tel que Q(x)=(x−1)R(x)Q(x)=(x-1)R(x).
Voir la solution

1) Q(1)=1−4+3=0Q(1)=1-4+3=0 : QQ est divisible par x−1x-1.

2) (x−1)(ax2+bx+c)=ax3+(b−a)x2+(c−b)x−c(x-1)(ax^2+bx+c)=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c ; identification : a=1a=1, b=1b=1, c=−3c=-3. R(x)=x2+x−3R(x)=x^2+x-3.

Exercice 5 — Divisibilité Facile ★★☆☆☆

  1. Montrer que PP est divisible par x−ax-a dans chacun des cas suivants : a) P(x)=x3+2x2−5x−6P(x)=x^3+2x^2-5x-6 et a=2a=2. b) P(x)=x4+x3−3x−3P(x)=x^4+x^3-3x-3 et a=−1a=-1. c) P(x)=x3−7x+6P(x)=x^3-7x+6 et a=−3a=-3.
  2. On considère le polynôme P(x)=x4+x3+ax2+bx−6P(x)=x^4+x^3+ax^2+bx-6, où aa et bb sont des réels. Déterminer aa et bb pour que PP soit divisible par x−1x-1 et par x+2x+2.
Voir la solution

1) a) P(2)=8+8−10−6=0P(2)=8+8-10-6=0. b) P(−1)=1−1+3−3=0P(-1)=1-1+3-3=0. c) P(−3)=−27+21+6=0P(-3)=-27+21+6=0. Dans chaque cas P(a)=0P(a)=0, donc PP est divisible par x−ax-a.

2) P(1)=1+1+a+b−6=a+b−4P(1)=1+1+a+b-6=a+b-4 et P(−2)=16−8+4a−2b−6=4a−2b+2P(-2)=16-8+4a-2b-6=4a-2b+2. On résout a+b=4a+b=4 et 2a−b=−12a-b=-1 : en additionnant, 3a=33a=3, donc a=1a=1 et b=3b=3.

Exercice 6 — Division euclidienne, Horner Facile ★★☆☆☆

  1. Déterminer, par identification, le quotient et le reste de la division euclidienne de P(x)P(x) par x−ax-a dans chacun des cas : a) P(x)=x3+2x2−x+5P(x)=x^3+2x^2-x+5 et a=−2a=-2. b) P(x)=2x3−x2+4x−1P(x)=2x^3-x^2+4x-1 et a=12a=\dfrac12. c) P(x)=x3−5x+1P(x)=x^3-5x+1 et a=2a=2.
  2. À l’aide de la méthode de Horner, déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de P(x)P(x) par x−ax-a dans chacun des cas : a) P(x)=3x3−4x2+x−5P(x)=3x^3-4x^2+x-5 et a=2a=2. b) P(x)=x4−2x3+3x−10P(x)=x^4-2x^3+3x-10 et a=−2a=-2. c) P(x)=2x4+x3−3x+7P(x)=2x^4+x^3-3x+7 et a=−1a=-1.
Voir la solution

1) On écrit P(x)=(x−a)(x2+px+q)+rP(x)=(x-a)(x^2+px+q)+r (avec le coefficient dominant convenable) et on identifie.

  • a) P(x)=(x+2)(x2−1)+7P(x)=(x+2)(x^2-1)+7 : quotient x2−1x^2-1, reste 7=P(−2)7=P(-2).
  • b) P(x)=(x−12)(2x2+4)+1P(x)=\left(x-\frac12\right)(2x^2+4)+1 : quotient 2x2+42x^2+4, reste 11.
  • c) P(x)=(x−2)(x2+2x−1)−1P(x)=(x-2)(x^2+2x-1)-1 : quotient x2+2x−1x^2+2x-1, reste −1-1.

2) a)

33−4-411−5-5
2266441010
33225555

Quotient 3x2+2x+53x^2+2x+5, reste 55.

b)

11−2-20033−10-10
−2-2−2-288−16-162626
11−4-488−13-131616

Quotient x3−4x2+8x−13x^3-4x^2+8x-13, reste 1616.

c)

221100−3-377
−1-1−2-211−1-144
22−1-111−4-41111

Quotient 2x3−x2+x−42x^3-x^2+x-4, reste 1111.

Exercice 7 — Polynôme à paramètre Moyen ★★★☆☆

On considère le polynôme P(x)=x3−x2+(m−5)x+3P(x)=x^3-x^2+(m-5)x+3, où mm est un réel.

  1. Déterminer mm pour que −1-1 soit une racine de PP.
  2. Déterminer mm pour que PP soit divisible par x−1x-1.
  3. On suppose que m=2m=2. a) Déterminer le polynôme QQ tel que P(x)=(x−1)Q(x)P(x)=(x-1)Q(x). b) Vérifier que 3\sqrt3 est une racine de QQ, puis factoriser P(x)P(x).
Voir la solution

1) P(−1)=−1−1−(m−5)+3=6−mP(-1)=-1-1-(m-5)+3=6-m : −1-1 est racine si et seulement si m=6m=6.

2) P(1)=1−1+m−5+3=m−2P(1)=1-1+m-5+3=m-2 : PP est divisible par x−1x-1 si et seulement si m=2m=2.

3) a) P(x)=x3−x2−3x+3=x2(x−1)−3(x−1)=(x−1)(x2−3)P(x)=x^3-x^2-3x+3=x^2(x-1)-3(x-1)=(x-1)(x^2-3), donc Q(x)=x2−3Q(x)=x^2-3.

b) Q(3)=3−3=0Q(\sqrt3)=3-3=0.  P(x)=(x−1)(x−3)(x+3)\ P(x)=(x-1)(x-\sqrt3)(x+\sqrt3).

Exercice 8 — Factorisation Facile ★★☆☆☆

On considère le polynôme P(x)=2x3+3x2−11x−6P(x)=2x^3+3x^2-11x-6.

  1. Montrer que −3-3 est une racine de PP.
  2. Déterminer le polynôme QQ tel que P(x)=(x+3)Q(x)P(x)=(x+3)Q(x).
  3. Montrer que QQ est divisible par x−2x-2.
  4. Factoriser Q(x)Q(x).
  5. En déduire une factorisation de P(x)P(x) en produit de trois binômes.
Voir la solution

1) P(−3)=−54+27+33−6=0P(-3)=-54+27+33-6=0.

2) Horner avec a=−3a=-3 : coefficients 22 ; 3−6=−33-6=-3 ; −11+9=−2-11+9=-2 ; −6+6=0-6+6=0. Donc Q(x)=2x2−3x−2Q(x)=2x^2-3x-2.

3) Q(2)=8−6−2=0Q(2)=8-6-2=0 : QQ est divisible par x−2x-2.

4) Q(x)=(x−2)(2x+1)Q(x)=(x-2)(2x+1) (identification : (x−2)(2x+c)=2x2+(c−4)x−2c(x-2)(2x+c)=2x^2+(c-4)x-2c avec c=1c=1).

5) P(x)=(x+3)(x−2)(2x+1)P(x)=(x+3)(x-2)(2x+1).

Exercice 9 — Polynôme symétrique Difficile ★★★★☆

On considère le polynôme P(x)=6x4−35x3+62x2−35x+6P(x)=6x^4-35x^3+62x^2-35x+6.

  1. Montrer que 00 n’est pas une racine de PP.
  2. Montrer que, pour tout réel non nul α\alpha : P(1α)=P(α)α4P\left(\dfrac1\alpha\right)=\dfrac{P(\alpha)}{\alpha^4}. En déduire que, si α\alpha est une racine de PP, alors 1α\dfrac1\alpha est aussi une racine de PP.
  3. a) Montrer que 22 est une racine de PP. b) Déterminer le polynôme QQ tel que P(x)=(x−2)Q(x)P(x)=(x-2)Q(x). c) En déduire que Q(12)=0Q\left(\dfrac12\right)=0.
  4. a) Déterminer, par deux méthodes, les réels aa, bb et cc tels que Q(x)=(x−12)(ax2+bx+c)Q(x)=\left(x-\dfrac12\right)(ax^2+bx+c). b) En déduire une factorisation de P(x)P(x) en produit de quatre binômes.
Voir la solution

1) P(0)=6≠0P(0)=6\neq0.

2) Pour α≠0\alpha\neq0 : P(1α)=6α4−35α3+62α2−35α+6=6−35α+62α2−35α3+6α4α4=P(α)α4.P\left(\frac1\alpha\right)=\frac6{\alpha^4}-\frac{35}{\alpha^3}+\frac{62}{\alpha^2}-\frac{35}\alpha+6=\frac{6-35\alpha+62\alpha^2-35\alpha^3+6\alpha^4}{\alpha^4}=\frac{P(\alpha)}{\alpha^4}. Si α\alpha est une racine (α≠0\alpha\neq0 d’après 1)), alors P(1α)=0P\left(\frac1\alpha\right)=0.

3) a) P(2)=96−280+248−70+6=0P(2)=96-280+248-70+6=0.

b) Horner avec a=2a=2 : 66 ; −35+12=−23-35+12=-23 ; 62−46=1662-46=16 ; −35+32=−3-35+32=-3 ; 6−6=06-6=0. Donc Q(x)=6x3−23x2+16x−3Q(x)=6x^3-23x^2+16x-3.

c) 12\frac12 est racine de PP d’après 2), et P(12)=(12−2)Q(12)P\left(\frac12\right)=\left(\frac12-2\right)Q\left(\frac12\right) avec 12−2≠0\frac12-2\neq0 : donc Q(12)=0Q\left(\frac12\right)=0.

4) a) Identification : (x−12)(ax2+bx+c)=ax3+(b−a2)x2+(c−b2)x−c2\left(x-\frac12\right)(ax^2+bx+c)=ax^3+\left(b-\frac a2\right)x^2+\left(c-\frac b2\right)x-\frac c2 ; d’où a=6a=6, b−3=−23b-3=-23, b=−20b=-20, −c2=−3-\frac c2=-3, c=6c=6 (et 6+10=166+10=16).

Horner avec a=12a=\frac12 : 66 ; −23+3=−20-23+3=-20 ; 16−10=616-10=6 ; −3+3=0-3+3=0. Même résultat : a=6a=6, b=−20b=-20, c=6c=6.

b) 6x2−20x+6=2(3x2−10x+3)6x^2-20x+6=2(3x^2-10x+3) ; 33 en est une racine (27−30+3=027-30+3=0), et 3x2−10x+3=(x−3)(3x−1)3x^2-10x+3=(x-3)(3x-1). Ainsi P(x)=(x−2)(x−12)×2(x−3)(3x−1)=(x−2)(2x−1)(x−3)(3x−1).P(x)=(x-2)\left(x-\tfrac12\right)\times2(x-3)(3x-1)=(x-2)(2x-1)(x-3)(3x-1).

Exercice 10 — Sommes télescopiques Difficile ★★★★☆

On considère un polynôme PP et un entier naturel non nul nn.

  1. Vérifier que (P(2)−P(1))+(P(3)−P(2))+⋯+(P(n+1)−P(n))=P(n+1)−P(1)\big(P(2)-P(1)\big)+\big(P(3)-P(2)\big)+\cdots+\big(P(n+1)-P(n)\big)=P(n+1)-P(1).
  2. a) Déterminer le polynôme QQ de degré 22 tel que Q(0)=0Q(0)=0 et, pour tout réel xx, Q(x+1)−Q(x)=xQ(x+1)-Q(x)=x. b) En déduire que 1+2+⋯+n=Q(n+1)−Q(1)=n(n+1)21+2+\cdots+n=Q(n+1)-Q(1)=\dfrac{n(n+1)}2. c) En déduire la valeur de 1+2+⋯+1001+2+\cdots+100.
Voir la solution

1) Dans la somme, chaque terme P(k)P(k) pour 2≤k≤n2\le k\le n apparaît une fois avec le signe ++ et une fois avec le signe −- ; il reste P(n+1)−P(1)P(n+1)-P(1).

2) a) Q(0)=0Q(0)=0 et deg⁡Q=2\deg Q=2 : Q(x)=ax2+bxQ(x)=ax^2+bx. Alors Q(x+1)−Q(x)=a(2x+1)+b=2ax+a+bQ(x+1)-Q(x)=a(2x+1)+b=2ax+a+b. Par identification avec xx : 2a=12a=1 et a+b=0a+b=0, soit a=12a=\frac12, b=−12b=-\frac12 : Q(x)=x2−x2=x(x−1)2Q(x)=\dfrac{x^2-x}2=\dfrac{x(x-1)}2.

b) 1+2+⋯+n=(Q(2)−Q(1))+⋯+(Q(n+1)−Q(n))=Q(n+1)−Q(1)=(n+1)n2−01+2+\cdots+n=\big(Q(2)-Q(1)\big)+\cdots+\big(Q(n+1)-Q(n)\big)=Q(n+1)-Q(1)=\dfrac{(n+1)n}2-0.

c) 1+2+⋯+100=100×1012=50501+2+\cdots+100=\dfrac{100\times101}2=5050.

Exercice 11 — Exercice d’approfondissement Difficile ★★★★★

On admet que, si un polynôme PP de degré 33 et de coefficient dominant 11 admet trois racines distinctes α\alpha, β\beta et γ\gamma, alors P(x)=(x−α)(x−β)(x−γ)P(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) pour tout réel xx.

On considère le polynôme P(x)=x3−6x2+11x−6P(x)=x^3-6x^2+11x-6, dont on admet qu’il a trois racines distinctes α\alpha, β\beta, γ\gamma. Sans calculer ces racines, montrer que α+β+γ=6\alpha+\beta+\gamma=6,  αβ+βγ+γα=11\ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=11 et αβγ=6\alpha\beta\gamma=6, puis en déduire la valeur de α2+β2+γ2\alpha^2+\beta^2+\gamma^2.

Voir la solution

Pour tout réel xx : (x−α)(x−β)(x−γ)=x3−(α+β+γ)x2+(αβ+βγ+γα)x−αβγ.(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma. Ce polynôme est égal à P(x)=x3−6x2+11x−6P(x)=x^3-6x^2+11x-6 ; par identification des coefficients : α+β+γ=6\alpha+\beta+\gamma=6,  αβ+βγ+γα=11\ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=11 et αβγ=6\alpha\beta\gamma=6.

Enfin α2+β2+γ2=(α+β+γ)2−2(αβ+βγ+γα)=36−22=14\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)=36-22=14.

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