Accueil › TCS › Chapitre 5 — Ordre dans ℝ

Chapitre 5 — Ordre dans ℝ

Semestre 1

Chargement du PDF…

📄 CoursOuvrir le PDF · Télécharger
📄 Série d’exercicesOuvrir le PDF · Télécharger
📄 Corrigé de la sérieOuvrir le PDF · Télécharger

Cours

Plan du chapitre. I. Ordre dans $\mathbb{R}$ — II. Valeur absolue — III. Intervalles de $\mathbb{R}$ — IV. Approximations.

I. Ordre dans $\mathbb{R}$

1. Comparaison de deux réels

Définition 1

On considère deux réels $a$ et $b$ .

On dit que $a$ est inférieur ou égal à $b$ , et on note $a\le b$ , lorsque $b-a$ est positif.
On dit que $a$ est strictement inférieur à $b$ , et on note $a<b$ , lorsque $b-a$ est strictement positif.

Méthode

Pour comparer deux réels $a$ et $b$ , on étudie le signe de la différence $a-b$ .

Exemple 1

On considère un réel $x$ . Comparer $A=x^2+4$ et $B=4x$ .

Voir la solution

$A-B=x^2-4x+4=(x-2)^2$ , qui est positif. Donc $A\ge B$ , avec égalité seulement pour $x=2$ .

2. Ordre et opérations

Propriété 1

On considère des réels $a$ , $b$ , $c$ et $d$ .

Si $a\le b$ et $b\le c$ , alors $a\le c$ .
$a\le b$ si et seulement si $a+c\le b+c$ .
Si $c>0$ : $a\le b$ si et seulement si $ac\le bc$ . Si $c<0$ : $a\le b$ si et seulement si $ac\ge bc$ .
Si $a\le b$ et $c\le d$ , alors $a+c\le b+d$ (on peut additionner membre à membre).
Si $0\le a\le b$ et $0\le c\le d$ , alors $ac\le bd$ (on peut multiplier membre à membre des inégalités entre réels positifs).

Attention

On ne soustrait pas et on ne divise pas des inégalités membre à membre. Pour encadrer $a-b$ , on encadre d’abord $-b$ , puis on additionne ; pour encadrer $\frac ab$ , on encadre $\frac1b$ , puis on multiplie.

Propriété 2 : Inverses, carrés, racines carrées

On considère deux réels $a$ et $b$ .

Si $a$ et $b$ sont strictement positifs, ou strictement négatifs : $a\le b$ si et seulement si $\dfrac1a\ge\dfrac1b$ .
Si $a$ et $b$ sont positifs : $a\le b\iff a^2\le b^2\iff\sqrt a\le\sqrt b$ .

Exemple 2

Comparer $a=\sqrt3+\sqrt5$ et $b=\sqrt{15}$ .

Voir la solution

$a$ et $b$ sont positifs, on compare leurs carrés : $a^2=8+2\sqrt{15}$ et $b^2=15$ . Or $a^2-b^2=2\sqrt{15}-7=\sqrt{60}-\sqrt{49}$ , qui est strictement positif car $60>49$ . Donc $a^2>b^2$ et $a>b$ .

3. Encadrement

Définition 2

On considère des réels $x$ , $a$ et $b$ . Écrire $a\le x\le b$ (ou avec des inégalités strictes), c’est donner un encadrement de $x$ ; le nombre $b-a$ est l’amplitude de cet encadrement.

Application 1

On considère deux réels $x$ et $y$ tels que $2\le x\le3$ et $1\le y\le4$ . Encadrer $x+y$ , $x-y$ , $xy$ et $\dfrac xy$ .

Voir la solution

$3\le x+y\le7$ .
$-4\le-y\le-1$ , donc $-2\le x-y\le2$ .
Les réels sont positifs : $2\le xy\le12$ .
$\dfrac14\le\dfrac1y\le1$ et $2\le x\le3$ , réels positifs : $\dfrac12\le\dfrac xy\le3$ .

II. Valeur absolue

1. Définition

Définition 3

On considère un réel $x$ . La valeur absolue de $x$ , notée $|x|$ , est définie par : $|x|=x\ \ \text{si } x\ge0\qquad\text{et}\qquad|x|=-x\ \ \text{si } x\le0.$

Exemple 3

Calculer $|-7|$ , $|\pi-4|$ et $|\sqrt5-2|$ .

Voir la solution

$|-7|=7$ ; $\ |\pi-4|=4-\pi$ (car $\pi<4$ ) ; $\ |\sqrt5-2|=\sqrt5-2$ (car $5>4$ ).

2. Propriétés

Propriété 3

Pour tous réels $x$ et $y$ :

$|x|\ge0$ ; $\ |-x|=|x|$ ; $\ \sqrt{x^2}=|x|$ ; $\ |x|^2=x^2$ ;
$|xy|=|x|\,|y|$ et, si $y\neq0$ , $\left|\dfrac xy\right|=\dfrac{|x|}{|y|}$ ;
$|x+y|\le|x|+|y|$ (inégalité triangulaire) ;
$|x|=|y|$ si et seulement si $x=y$ ou $x=-y$ .

3. Distance de deux réels

Définition 4

On considère deux réels $a$ et $b$ , de points images $A$ et $B$ sur une droite graduée. La distance entre $a$ et $b$ est le réel $|a-b|=AB$ .

Propriété 4

On considère un réel $a$ et un réel $r$ strictement positif. Pour tout réel $x$ :

$|x-a|=r$ si et seulement si $x=a+r$ ou $x=a-r$ ;
$|x-a|\le r$ si et seulement si $a-r\le x\le a+r$ ;
$|x-a|\ge r$ si et seulement si $x\le a-r$ ou $x\ge a+r$ .

Application 2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $\ |x-3|=5$ ; $\ |2x+1|=|x-4|$ ; $\ |x+2|\le1$ .

Voir la solution

$|x-3|=5\iff x=8$ ou $x=-2$ .
$|2x+1|=|x-4|\iff 2x+1=x-4$ ou $2x+1=-x+4\iff x=-5$ ou $x=1$ .
$|x+2|\le1\iff|x-(-2)|\le1\iff-3\le x\le-1$ .

III. Intervalles de $\mathbb{R}$

1. Définitions

Définition 5

On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $a<b$ . On définit les intervalles :

Intervalle	Ensemble des réels $x$ tels que	Intervalle	Ensemble des réels $x$ tels que
$[a;b]$	$a\le x\le b$	$[a;+\infty[$	$x\ge a$
$]a;b[$	$a<x<b$	$]a;+\infty[$	$x>a$
$[a;b[$	$a\le x<b$	$]-\infty;b]$	$x\le b$
$]a;b]$	$a<x\le b$	$]-\infty;b[$	$x<b$

Remarque

Les symboles $+\infty$ et $-\infty$ ne sont pas des réels : le crochet est toujours ouvert de leur côté. On note $\mathbb{R}=]-\infty;+\infty[$ .
Pour l’intervalle $[a;b]$ : le centre est $\dfrac{a+b}2$ , le rayon est $\dfrac{b-a}2$ et l’amplitude est $b-a$ .

Propriété 5

On considère un réel $a$ et un réel $r$ strictement positif. Pour tout réel $x$ : $|x-a|\le r\iff x\in[a-r;a+r]\qquad\text{et}\qquad|x-a|<r\iff x\in\,]a-r;a+r[.$

2. Intersection et réunion

Définition 6

On considère deux ensembles $E$ et $F$ .

L’intersection de $E$ et $F$ , notée $E\cap F$ , est l’ensemble des éléments qui appartiennent à $E$ et à $F$ .
La réunion de $E$ et $F$ , notée $E\cup F$ , est l’ensemble des éléments qui appartiennent à $E$ ou à $F$ .
L’ensemble qui ne contient aucun élément est l’ensemble vide, noté $\varnothing$ .

Exemple 4

Déterminer $[-2;5]\cap\,]1;8]$ , $\ [-2;5]\cup\,]1;8]$ et $\ ]-\infty;0[\,\cap\,[3;+\infty[$ .

Voir la solution

$[-2;5]\cap\,]1;8]=\,]1;5]$ ; $\ [-2;5]\cup\,]1;8]=[-2;8]$ ; $\ ]-\infty;0[\,\cap\,[3;+\infty[\,=\varnothing$ .

Application 3

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $|2x-1|>3$ et écrire l’ensemble des solutions à l’aide d’intervalles.

Voir la solution

$|2x-1|>3\iff 2x-1<-3$ ou $2x-1>3\iff x<-1$ ou $x>2$ . L’ensemble des solutions est $S=\,]-\infty;-1[\,\cup\,]2;+\infty[$ .

IV. Approximations

1. Valeur approchée à une précision donnée

Définition 7

On considère un réel $x$ et un réel $r$ strictement positif. On dit qu’un réel $a$ est une valeur approchée de $x$ à la précision $r$ (ou à $r$ près) lorsque $|x-a|\le r$ .

Si $a\le x\le a+r$ , on dit que $a$ est une valeur approchée par défaut de $x$ à $r$ près.
Si $a-r\le x\le a$ , on dit que $a$ est une valeur approchée par excès de $x$ à $r$ près.

Exemple 5

Montrer que $1{,}41$ est une valeur approchée par défaut de $\sqrt2$ à $10^{-2}$ près, et que $1{,}42$ en est une valeur approchée par excès.

Voir la solution

Comme $1{,}41\le\sqrt2\le1{,}42$ (car $1{,}41^2=1{,}9881$ et $1{,}42^2=2{,}0164$ ), le nombre $1{,}41$ est une valeur approchée par défaut de $\sqrt2$ à $10^{-2}$ près, et $1{,}42$ une valeur approchée par excès.

2. Approximation à partir d’un encadrement

Propriété 6

On considère des réels $x$ , $a$ et $b$ tels que $a\le x\le b$ . Alors le centre $\dfrac{a+b}2$ est une valeur approchée de $x$ à $\dfrac{b-a}2$ près.

Application 4

On considère un réel $x$ tel que $\dfrac23\le x\le\dfrac34$ . Donner une valeur approchée de $x$ et la précision correspondante.

Voir la solution

Le centre vaut $\dfrac12\left(\dfrac23+\dfrac34\right)=\dfrac{17}{24}$ et le rayon $\dfrac12\left(\dfrac34-\dfrac23\right)=\dfrac1{24}$ . Donc $\dfrac{17}{24}$ est une valeur approchée de $x$ à $\dfrac1{24}$ près.

À retenir — l’essentiel du chapitre

$a\le b$ signifie que $b-a$ est positif : pour comparer, on étudie le signe d’une différence.
On additionne des inégalités de même sens ; on ne multiplie que des inégalités entre positifs.
$|x-a|\le r\iff x\in[a-r;a+r]$ ; $\ |x|=|y|\iff x=y$ ou $x=-y$ .
Si $a\le x\le b$ , alors $\frac{a+b}2$ est une valeur approchée de $x$ à $\frac{b-a}2$ près.

Série d’exercices

Exercice 1 — Comparaison Facile ★★☆☆☆

Comparer les réels $a$ et $b$ dans chacun des cas suivants.

$a=3+\sqrt2$ et $b=\sqrt{11+6\sqrt2}$ .
$a=\sqrt{13}$ et $b=\sqrt6+\sqrt7$ .
$a=4\sqrt3-5\sqrt2$ et $b=\sqrt{98-40\sqrt6}$ .
$a=3+\sqrt5$ et $b=\sqrt3+\sqrt{11}$ .
$a=\dfrac{1}{\sqrt5-2}$ et $b=4{,}2$ .
$a=\dfrac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}$ et $b=5{,}8$ .
$a=x^2+9$ et $b=6x$ , où $x$ est un réel.

Voir la solution

1) $a$ et $b$ sont positifs. $a^2=9+6\sqrt2+2=11+6\sqrt2=b^2$ , donc $a=b$ .

2) $a^2=13$ et $b^2=13+2\sqrt{42}$ , donc $b^2-a^2=2\sqrt{42}>0$ . Les réels étant positifs, $a<b$ .

3) Signe de $a$ : $(4\sqrt3)^2=48<50=(5\sqrt2)^2$ , donc $4\sqrt3<5\sqrt2$ et $a<0$ . Comme $b\ge0$ , on a $a<b$ .

(De plus $a^2=48-40\sqrt6+50=98-40\sqrt6=b^2$ , donc $a=-b$ .)

4) $a^2=14+6\sqrt5=14+\sqrt{180}$ et $b^2=14+2\sqrt{33}=14+\sqrt{132}$ . Comme $180>132$ , $a^2>b^2$ , et les réels sont positifs : $a>b$ .

5) $a=\dfrac{\sqrt5+2}{5-4}=\sqrt5+2$ . Donc $a-b=\sqrt5-2{,}2$ . Or $5>2{,}2^2=4{,}84$ , donc $\sqrt5>2{,}2$ et $a>b$ .

6) $a=\dfrac{(\sqrt2+1)^2}{2-1}=3+2\sqrt2$ , donc $a-b=2\sqrt2-2{,}8=\sqrt8-\sqrt{7{,}84}>0$ : $a>b$ .

7) $a-b=x^2-6x+9=(x-3)^2\ge0$ : $a\ge b$ (égalité pour $x=3$ ).

Exercice 2 — Encadrement Facile ★☆☆☆☆

On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $2\le a\le3$ et $1\le b\le4$ . Encadrer $a+b$ , $a-b$ , $ab$ et $\dfrac ab$ .
On considère deux réels $x$ $x$ et $y$ $y$ tels que $1\le x\le2$ $1 \leq x \leq 2$ et $-3\le y\le-1$ $- 3 \leq y \leq - 1$ . Encadrer :
- $2x-y$ ; $\ x^2+y^2$ ;
- $xy$ ; $\ \dfrac{1}{x-y}$ .

Voir la solution

1) $3\le a+b\le7$ ; $\ -4\le-b\le-1$ , donc $-2\le a-b\le2$ ; $\ 2\le ab\le12$ (réels positifs) ; $\ \dfrac14\le\dfrac1b\le1$ , donc $\dfrac12\le\dfrac ab\le3$ .

$2\le2x\le4$ et $1\le-y\le3$ , donc $3\le2x-y\le7$ .
$1\le x^2\le4$ ; $\ 1\le-y\le3$ donne $1\le y^2\le9$ ; donc $2\le x^2+y^2\le13$ .
$1\le x\le2$ et $1\le-y\le3$ (positifs) : $1\le-xy\le6$ , donc $-6\le xy\le-1$ .
$2\le x-y\le5$ , donc $\dfrac15\le\dfrac1{x-y}\le\dfrac12$ .

Exercice 3 — Encadrement Facile ★★☆☆☆

On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $-1<a<2$ et $1<b<3$ , et on pose $E=a^2-4a+b^2+2b$ . a) En encadrant chaque terme, montrer que $-5<E<23$ . b) Vérifier que $E=(a-2)^2+(b+1)^2-5$ . c) En déduire un encadrement plus précis de $E$ .
On considère deux réels $x$ et $y$ tels que $2<x<y$ . a) Montrer que $x+y-4>0$ . b) Comparer $c=x^2-4x+3$ et $d=y^2-4y+3$ .

Voir la solution

1) a) $0\le a^2<4$ ; $\ -8<-4a<4$ ; $\ 1<b^2<9$ ; $\ 2<2b<6$ . En additionnant : $-5<E<23$ .

b) $(a-2)^2+(b+1)^2-5=a^2-4a+4+b^2+2b+1-5=E$ .

c) $-3<a-2<0$ , donc $0<(a-2)^2<9$ ; $\ 2<b+1<4$ , donc $4<(b+1)^2<16$ . Ainsi $-1<E<20$ : l’amplitude passe de $28$ à $21$ .

2) a) $x>2$ et $y>2$ , donc $x+y>4$ .

b) $c-d=x^2-y^2-4(x-y)=(x-y)(x+y-4)$ . Or $x-y<0$ et $x+y-4>0$ , donc $c-d<0$ : $c<d$ .

Exercice 4 — Valeur absolue Facile ★★☆☆☆

Écrire sans valeur absolue :
- $|2-\sqrt5|$ ; $\ |3\sqrt2-2\sqrt5|$ ;
- $|\sqrt3-2|$ ; $\ \sqrt{\big(3-2\sqrt3\big)^2}$ .
Résoudre dans $\mathbb{R}$ $R$ les équations et inéquations suivantes :
- $|2x-3|=5$ ; $\ |x+1|=-2$ ; $\ |x-2|=|3x+4|$ ;
- $|x-4|\le3$ ; $\ |2x+1|>5$ ; $\ |x+3|<0$ .

Voir la solution

$\sqrt5>2$ (car $5>4$ ) : $|2-\sqrt5|=\sqrt5-2$ .
$(3\sqrt2)^2=18<20=(2\sqrt5)^2$ : $|3\sqrt2-2\sqrt5|=2\sqrt5-3\sqrt2$ .
$\sqrt3<2$ : $|\sqrt3-2|=2-\sqrt3$ .
$\sqrt{(3-2\sqrt3)^2}=|3-2\sqrt3|=2\sqrt3-3$ (car $(2\sqrt3)^2=12>9$ ).

$|2x-3|=5\iff2x-3=5$ ou $2x-3=-5\iff x=4$ ou $x=-1$ : $S=\{-1;4\}$ .
Une valeur absolue est positive : $|x+1|=-2$ n’a pas de solution, $S=\varnothing$ .
$|x-2|=|3x+4|\iff x-2=3x+4$ ou $x-2=-3x-4\iff x=-3$ ou $x=-\dfrac12$ : $S=\left\{-3;-\dfrac12\right\}$ .
$|x-4|\le3\iff1\le x\le7$ : $S=[1;7]$ .
$|2x+1|>5\iff2x+1>5$ ou $2x+1<-5\iff x>2$ ou $x<-3$ : $S=\,]-\infty;-3[\,\cup\,]2;+\infty[$ .
$|x+3|<0$ est impossible : $S=\varnothing$ .

Exercice 5 — Valeur absolue Facile ★★☆☆☆

On considère deux réels $x$ et $y$ tels que $x\ge1$ , $y\le2$ et $x-y=4$ .

Calculer $E=\sqrt{(x-1)^2}+\sqrt{(y-2)^2}$ .
Vérifier que $1\le x\le6$ et que $-3\le y\le2$ .
Calculer $F=|x-7|+|y+4|$ .

Voir la solution

1) $x-1\ge0$ et $y-2\le0$ , donc $E=|x-1|+|y-2|=(x-1)+(2-y)=x-y+1=5$ .

2) $y=x-4$ . De $y\le2$ on tire $x\le6$ , donc $1\le x\le6$ . Alors $-3\le x-4\le2$ , soit $-3\le y\le2$ .

3) $x\le6<7$ , donc $|x-7|=7-x$ ; $\ y\ge-3>-4$ , donc $|y+4|=y+4$ . D’où $F=7-x+y+4=11-(x-y)=7$ .

Exercice 6 — Encadrement et comparaison Moyen ★★★☆☆

On considère deux réels $a$ et $b$ de l’intervalle $[1;3]$ tels que $a>b$ , et on pose $A=ab+a-b$ et $B=ab-a+b$ .

Encadrer $A$ et $B$ , puis comparer $A$ et $B$ .
Montrer que $|A-B|\le4$ .

Voir la solution

1) $1\le ab\le9$ et, comme $1\le b<a\le3$ : $0<a-b\le2$ (car $a\le3$ et $-b\le-1$ ).

$A=ab+(a-b)$ : $1<A\le11$ .
$B=ab-(a-b)$ et $-2\le-(a-b)<0$ : $-1\le B<9$ .

$A-B=2(a-b)>0$ , donc $A>B$ .

2) $|A-B|=2(a-b)$ et $0<a-b\le2$ , donc $|A-B|\le4$ .

Exercice 7 — Équation avec valeurs absolues Moyen ★★★☆☆

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $\ |x-5|+|x+1|=10$ .

Voir la solution

On étudie trois cas selon la position de $x$ par rapport à $-1$ et $5$ .

Si $x\le-1$ : $|x-5|=5-x$ et $|x+1|=-x-1$ ; l’équation devient $4-2x=10$ , soit $x=-3$ , qui vérifie $x\le-1$ .
Si $-1\le x\le5$ : l’équation devient $(5-x)+(x+1)=10$ , soit $6=10$ : impossible.
Si $x\ge5$ : l’équation devient $2x-4=10$ , soit $x=7$ , qui vérifie $x\ge5$ .

$S=\{-3;7\}$ .

Exercice 8 — Intervalles Facile ★☆☆☆☆

Écrire sous forme d’intervalle l’ensemble des réels $x$ $x$ vérifiant chacune des conditions :
- $x\ge-2$ ; $\ x<5$ ;
- $-3<x\le4$ ; $\ x\le1$ .
Écrire, si possible, chacun des ensembles suivants sous forme d’un intervalle : a) $[-2;4]\cap\,]1;6[$ et $[-2;4]\cup\,]1;6[$ . b) $]-\infty;3]\cap[0;+\infty[$ et $]-\infty;3]\cup[5;+\infty[$ . c) $[-4;-1[\,\cap\,]-1;2]$ et $[-4;-1[\,\cup\,]-1;2]$ .
Déterminer le centre, le rayon et l’amplitude de chacun des intervalles $[1;7]$ ; $\ ]-2;6[$ ; $\ [-5;-1]$ .
Déterminer l’intervalle ouvert de centre $3$ et de rayon $2$ .
Déterminer l’intervalle fermé de centre $2$ dont l’une des bornes est $-1$ .

Voir la solution

1) $[-2;+\infty[$ ; $\ ]-\infty;5[$ ; $\ ]-3;4]$ ; $\ ]-\infty;1]$ .

2) a) $[-2;4]\cap\,]1;6[\,=\,]1;4]$ et $[-2;4]\cup\,]1;6[\,=[-2;6[$ .

b) $]-\infty;3]\cap[0;+\infty[\,=[0;3]$ ; $\ ]-\infty;3]\cup[5;+\infty[$ n’est pas un intervalle (il contient $3$ et $5$ mais pas $4$ ).

c) $[-4;-1[\,\cap\,]-1;2]=\varnothing$ ; $\ [-4;-1[\,\cup\,]-1;2]$ n’est pas un intervalle (il ne contient pas $-1$ ).

Intervalle	Centre	Rayon	Amplitude
$[1;7]$	$4$	$3$	$6$
$]-2;6[$	$2$	$4$	$8$
$[-5;-1]$	$-3$	$2$	$4$

4) $]3-2;3+2[\,=\,]1;5[$ .

5) Le rayon est $2-(-1)=3$ : l’intervalle est $[-1;5]$ .

Exercice 9 — Approximations Moyen ★★★☆☆

On considère un réel $a$ tel que $\left|a-\dfrac13\right|<\dfrac1{12}$ .

Montrer que $\dfrac14<a<\dfrac5{12}$ .
Montrer que $\dfrac3{22}<\dfrac{a}{2a+1}<\dfrac5{18}$ .
En déduire que $\dfrac{41}{198}$ est une valeur approchée de $\dfrac a{2a+1}$ à $\dfrac7{99}$ près.

Voir la solution

1) $\left|a-\dfrac13\right|<\dfrac1{12}\iff\dfrac13-\dfrac1{12}<a<\dfrac13+\dfrac1{12}\iff\dfrac14<a<\dfrac5{12}$ .

2) $\dfrac32<2a+1<\dfrac{11}6$ , donc $\dfrac6{11}<\dfrac1{2a+1}<\dfrac23$ . Les réels étant positifs, on multiplie par $\dfrac14<a<\dfrac5{12}$ : $\frac3{22}<\frac a{2a+1}<\frac5{18}.$

3) Le centre de cet encadrement est $\dfrac12\left(\dfrac3{22}+\dfrac5{18}\right)=\dfrac{41}{198}$ et son rayon $\dfrac12\left(\dfrac5{18}-\dfrac3{22}\right)=\dfrac7{99}$ : $\dfrac{41}{198}$ est une valeur approchée de $\dfrac a{2a+1}$ à $\dfrac7{99}$ près.

Exercice 10 — Approximations Difficile ★★★★☆

On considère un réel $x$ , et on pose $E=\sqrt{1+x^2}-1$ .

Montrer que $E=\dfrac{x^2}{\sqrt{1+x^2}+1}$ et que $\sqrt{1+x^2}+1\ge2$ .
a) En déduire que $0\le E\le\dfrac{x^2}2$ . b) En déduire une valeur approchée de $\sqrt{1{,}01}$ à $5\times10^{-3}$ près.

Voir la solution

1) $E=\dfrac{\big(\sqrt{1+x^2}-1\big)\big(\sqrt{1+x^2}+1\big)}{\sqrt{1+x^2}+1}=\dfrac{1+x^2-1}{\sqrt{1+x^2}+1}=\dfrac{x^2}{\sqrt{1+x^2}+1}$ .

Comme $1+x^2\ge1$ , $\sqrt{1+x^2}\ge1$ , donc $\sqrt{1+x^2}+1\ge2$ .

2) a) $x^2\ge0$ et $0<\dfrac1{\sqrt{1+x^2}+1}\le\dfrac12$ , donc $0\le E\le\dfrac{x^2}2$ .

b) Avec $x=0{,}1$ : $1+x^2=1{,}01$ et $0\le\sqrt{1{,}01}-1\le0{,}005$ . Donc $1\le\sqrt{1{,}01}\le1{,}005$ : le nombre $1$ est une valeur approchée (par défaut) de $\sqrt{1{,}01}$ à $5\times10^{-3}$ près.

Exercice 11 — Inégalités classiques Difficile ★★★★★

On considère trois réels strictement positifs $x$ , $y$ et $z$ . Démontrer les inégalités suivantes.

$x^2+y^2\ge2xy$ et $x+\dfrac1x\ge2$ .
$x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx$ .
$(x+y)\left(\dfrac1x+\dfrac1y\right)\ge4$ .
$(x+y)(y+z)(z+x)\ge8xyz$ .
$\dfrac{xy}{x+y}\le\dfrac{x+y}4$ .
$\sqrt{xy}\le\dfrac{x+y}2$ .

Voir la solution

1) $x^2+y^2-2xy=(x-y)^2\ge0$ . Ensuite $x+\dfrac1x-2=\dfrac{x^2-2x+1}{x}=\dfrac{(x-1)^2}x\ge0$ (car $x>0$ ).

2) $2\big(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\big)=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\ge0$ .

3) $(x+y)\left(\dfrac1x+\dfrac1y\right)=2+\dfrac xy+\dfrac yx$ , et $\dfrac xy+\dfrac yx\ge2$ d’après 1) appliqué à $\dfrac xy>0$ . D’où le résultat.

4) Pour des réels positifs, $x+y-2\sqrt{xy}=(\sqrt x-\sqrt y)^2\ge0$ . Donc $x+y\ge2\sqrt{xy}$ , $y+z\ge2\sqrt{yz}$ , $z+x\ge2\sqrt{zx}$ . Ces inégalités portent sur des réels positifs ; on les multiplie : $(x+y)(y+z)(z+x)\ge8\sqrt{x^2y^2z^2}=8xyz.$

5) $\dfrac{x+y}4-\dfrac{xy}{x+y}=\dfrac{(x+y)^2-4xy}{4(x+y)}=\dfrac{(x-y)^2}{4(x+y)}\ge0$ .

6) $\dfrac{x+y}2-\sqrt{xy}=\dfrac{\big(\sqrt x-\sqrt y\big)^2}2\ge0$ .

Quiz — testez-vous

20 questions tirées au hasard parmi 35.

Ton prénom (facultatif)

← Retour aux chapitres TCS

Chapitre 5 — Ordre dans ℝ

Cours

I. Ordre dans R\mathbb{R}R

1. Comparaison de deux réels

2. Ordre et opérations

3. Encadrement

II. Valeur absolue

1. Définition

2. Propriétés

3. Distance de deux réels

III. Intervalles de R\mathbb{R}R

1. Définitions

2. Intersection et réunion

IV. Approximations

1. Valeur approchée à une précision donnée

2. Approximation à partir d’un encadrement

Série d’exercices

Exercice 1 — Comparaison Facile ★★☆☆☆

Exercice 2 — Encadrement Facile ★☆☆☆☆

Exercice 3 — Encadrement Facile ★★☆☆☆

Exercice 4 — Valeur absolue Facile ★★☆☆☆

Exercice 5 — Valeur absolue Facile ★★☆☆☆

Exercice 6 — Encadrement et comparaison Moyen ★★★☆☆

Exercice 7 — Équation avec valeurs absolues Moyen ★★★☆☆

Exercice 8 — Intervalles Facile ★☆☆☆☆

Exercice 9 — Approximations Moyen ★★★☆☆

Exercice 10 — Approximations Difficile ★★★★☆

Exercice 11 — Inégalités classiques Difficile ★★★★★

Quiz — testez-vous

I. Ordre dans $\mathbb{R}$

III. Intervalles de $\mathbb{R}$