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Chapitre 8 — Équations, inéquations et systèmes

Semestre 1

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Plan du chapitre. I. Équations et inéquations du premier degré — II. Systèmes et inéquations à deux inconnues — III. Équations du second degré — IV. Signe du trinôme et inéquations du second degré.

I. Équations et inéquations du premier degré

1. Équations du premier degré à une inconnue

Propriété 1

On considère deux réels $a$ et $b$ et l’équation $(E):\ ax+b=0$ , d’inconnue réelle $x$ .

Si $a\neq0$ : $(E)$ admet une unique solution, $x=-\dfrac ba$ .
Si $a=0$ et $b=0$ : tout réel est solution, $S=\mathbb{R}$ .
Si $a=0$ et $b\neq0$ : $(E)$ n’a pas de solution, $S=\varnothing$ .

Méthode

Équation produit : $A\times B=0\iff A=0$ ou $B=0$ .
Équation quotient : $\dfrac AB=0\iff A=0$ et $B\neq0$ ; on commence par déterminer les valeurs interdites.

Exemple 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $\ (2x-3)(x+5)=0$ et $\ \dfrac{x-1}{x+2}=3$ .

Voir la solution

$(2x-3)(x+5)=0\iff x=\dfrac32$ ou $x=-5$ : $S=\left\{-5;\dfrac32\right\}$ .
Valeur interdite : $-2$ . Pour $x\neq-2$ : $\dfrac{x-1}{x+2}=3\iff x-1=3x+6\iff x=-\dfrac72$ , qui n’est pas interdite : $S=\left\{-\dfrac72\right\}$ .

Application 1

On considère un réel $m$ . Résoudre dans $\mathbb{R}$ , selon les valeurs de $m$ , l’équation $(m-2)x=m^2-4$ .

Voir la solution

Si $m\neq2$ : $x=\dfrac{(m-2)(m+2)}{m-2}=m+2$ , $S=\{m+2\}$ .
Si $m=2$ : l’équation s’écrit $0\times x=0$ , $S=\mathbb{R}$ .

2. Signe de $ax+b$ et inéquations

Propriété 2

On considère deux réels $a\neq0$ et $b$ . Le binôme $ax+b$ s’annule en $x_0=-\dfrac ba$ ; il est du signe de $-a$ avant $x_0$ et du signe de $a$ après $x_0$ :

$x$	$-\infty$		$-\frac ba$		$+\infty$
$ax+b$		signe de $-a$	$0$	signe de $a$

Exemple 2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $\dfrac{2x-4}{3-x}\ge0$ .

Voir la solution

Valeur interdite : $3$ . Tableau de signes :

$x$		$2$		$3$
$2x-4$	$-$	$0$	$+$		$+$
$3-x$	$+$		$+$	$0$	$-$
quotient	$-$	$0$	$+$	$\Vert$	$-$

$S=[2;3[$ .

II. Systèmes et inéquations à deux inconnues

1. Systèmes de deux équations du premier degré

Définition 1

On considère des réels $a$ , $b$ , $c$ , $a'$ , $b'$ , $c'$ et le système $(S):\begin{cases}ax+by=c\\ a'x+b'y=c'\end{cases}$ d’inconnues réelles $x$ et $y$ . Le déterminant de $(S)$ est $D=\begin{vmatrix}a&b\\a'&b'\end{vmatrix}=ab'-a'b$ .

Propriété 3 : Méthode des déterminants

Si $D\neq0$ , le système admet un unique couple solution : $x=\frac{D_x}{D}=\frac{\begin{vmatrix}c&b\\c'&b'\end{vmatrix}}{D}\qquad\text{et}\qquad y=\frac{D_y}{D}=\frac{\begin{vmatrix}a&c\\a'&c'\end{vmatrix}}{D}.$
Si $D=0$ , le système admet soit aucune solution, soit une infinité de solutions.

Remarque

Géométriquement (chapitre 06), chaque équation est celle d’une droite : $D\neq0$ signifie que les droites sont sécantes ; $D=0$ qu’elles sont parallèles (strictement : aucune solution ; confondues : infinité de solutions).

Exemple 3

Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système $\begin{cases}3x-2y=7\\ x+4y=-7\end{cases}$ .

Voir la solution

$D=3\times4-1\times(-2)=14\neq0$ ; $\ D_x=7\times4-(-7)\times(-2)=14$ ; $\ D_y=3\times(-7)-1\times7=-28$ .

Donc $x=1$ et $y=-2$ : $S=\{(1;-2)\}$ .

2. Inéquations du premier degré à deux inconnues

Propriété 4

Le plan est rapporté à un repère. On considère une droite $(D):ax+by+c=0$ . Elle partage le plan en deux demi-plans : l’un est l’ensemble des points $M(x;y)$ tels que $ax+by+c>0$ , l’autre celui des points tels que $ax+by+c<0$ .

Méthode

Pour résoudre graphiquement $ax+by+c\le0$ : on trace $(D)$ , on teste un point hors de $(D)$ (souvent $O$ ) ; si ses coordonnées vérifient l’inéquation, la solution est le demi-plan qui contient ce point (bord compris), sinon c’est l’autre. Pour un système d’inéquations, on prend l’intersection des demi-plans.

Exemple 4

Résoudre graphiquement l’inéquation $x+y-2\le0$ .

Voir la solution

On trace la droite $(D):x+y-2=0$ . Pour $O(0;0)$ : $0+0-2=-2\le0$ , donc l’ensemble des solutions est le demi-plan fermé de bord $(D)$ qui contient $O$ (zone colorée).

III. Équations du second degré

1. Discriminant

Définition 2

On considère des réels $a\neq0$ , $b$ , $c$ . L’équation $ax^2+bx+c=0$ est une équation du second degré ; le réel $\Delta=b^2-4ac$ est son discriminant.

Propriété 5 : Forme canonique

Pour tout réel $x$ : $\ ax^2+bx+c=a\left[\left(x+\dfrac b{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]$ .

2. Résolution

Théorème 1

On considère l’équation $ax^2+bx+c=0$ avec $a\neq0$ et $\Delta=b^2-4ac$ .

Si $\Delta>0$ : deux solutions distinctes $x_1=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$ .
Si $\Delta=0$ : une solution (double) $x_0=-\dfrac b{2a}$ .
Si $\Delta<0$ : aucune solution réelle.

Exemple 5

Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $\ 2x^2-5x-3=0$ ; $\ 4x^2-12x+9=0$ ; $\ x^2+x+1=0$ .

Voir la solution

$\Delta=25+24=49$ : $x_1=\dfrac{5-7}4=-\dfrac12$ et $x_2=\dfrac{5+7}4=3$ ; $S=\left\{-\dfrac12;3\right\}$ .
$\Delta=144-144=0$ : $x_0=\dfrac{12}8=\dfrac32$ ; $S=\left\{\dfrac32\right\}$ .
$\Delta=1-4=-3<0$ : $S=\varnothing$ .

Remarque

Certaines équations se résolvent sans $\Delta$ : $x^2-7x=0\iff x(x-7)=0$ ; $\ x^2=5\iff x=\sqrt5$ ou $x=-\sqrt5$ .

3. Somme et produit des racines

Propriété 6

Si $\Delta\ge0$ , les racines $x_1$ et $x_2$ (éventuellement égales) de $ax^2+bx+c=0$ vérifient $x_1+x_2=-\frac ba\qquad\text{et}\qquad x_1x_2=\frac ca.$

Application 2

Vérifier que $1$ est une solution de $3x^2+4x-7=0$ et en déduire l’autre solution.
Déterminer deux réels dont la somme vaut $5$ et le produit vaut $-14$ .

Voir la solution

$3+4-7=0$ . Le produit des racines vaut $-\dfrac73$ , donc l’autre solution est $-\dfrac73$ .
Ces réels sont les solutions de $t^2-5t-14=0$ : $\Delta=25+56=81$ , $t=\dfrac{5\pm9}2$ , soit $7$ et $-2$ .

4. Factorisation du trinôme

Propriété 7

On considère le trinôme $P(x)=ax^2+bx+c$ ( $a\neq0$ ).

Si $\Delta>0$ : $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ .
Si $\Delta=0$ : $P(x)=a(x-x_0)^2$ .
Si $\Delta<0$ : $P(x)$ ne se factorise pas en produit de binômes du premier degré.

Exemple 6

Déterminer une factorisation des trinômes $2x^2-5x-3$ et $4x^2-12x+9$ .

Voir la solution

$2x^2-5x-3=2\left(x+\frac12\right)(x-3)=(2x+1)(x-3)$ ; $\ 4x^2-12x+9=4\left(x-\frac32\right)^2=(2x-3)^2$ .

IV. Signe du trinôme et inéquations du second degré

1. Signe du trinôme

Propriété 8

On considère le trinôme $P(x)=ax^2+bx+c$ ( $a\neq0$ ).

Si $\Delta<0$ : $P(x)$ est du signe de $a$ pour tout réel $x$ .
Si $\Delta=0$ : $P(x)$ est du signe de $a$ , et s’annule en $x_0$ .
Si $\Delta>0$ (avec $x_1<x_2$ ) : $P(x)$ est du signe de $a$ à l’extérieur des racines, et du signe de $-a$ entre les racines.

$x$	$-\infty$		$x_1$		$x_2$		$+\infty$
$P(x)$		signe de $a$	$0$	signe de $-a$	$0$	signe de $a$

2. Inéquations du second degré

Exemple 7

Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $\ 2x^2-5x-3<0$ ; $\ -x^2+2x-5\ge0$ .

Voir la solution

Racines $-\frac12$ et $3$ , et $a=2>0$ : le trinôme est négatif strictement entre ses racines. $S=\left]-\dfrac12;3\right[$ .
$\Delta=4-20=-16<0$ et $a=-1<0$ : le trinôme est strictement négatif pour tout réel. $S=\varnothing$ .

Application 3

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $\dfrac{x^2-x-6}{x-1}\le0$ .

Voir la solution

Valeur interdite : $1$ . $x^2-x-6=(x+2)(x-3)$ .

$x$		$-2$		$1$		$3$
$x^2-x-6$	$+$	$0$	$-$		$-$	$0$	$+$
$x-1$	$-$		$-$	$0$	$+$		$+$
quotient	$-$	$0$	$+$	$\Vert$	$-$	$0$	$+$

$S=\,]-\infty;-2]\cup\,]1;3]$ .

À retenir — l’essentiel du chapitre

$ax+b$ : signe de $-a$ puis signe de $a$ ; système : $D=ab'-a'b$ , $x=\frac{D_x}D$ , $y=\frac{D_y}D$ .
$\Delta=b^2-4ac$ ; racines $\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}$ ; $x_1+x_2=-\frac ba$ , $x_1x_2=\frac ca$ .
Trinôme : signe de $a$ à l’extérieur des racines, signe de $-a$ entre elles.

Série d’exercices

Exercice 1 — Équations du premier degré Facile ★☆☆☆☆

Résoudre dans $\mathbb{R}$ $R$ les équations suivantes :
- $4x-10=0$ ; $\ 3-2x=\sqrt3(x+1)$ ; $\ \dfrac{x-1}2-\dfrac{2x+1}3=x+1$ ;
- $(2x+1)^2=(x-3)^2$ ; $\ 9x^2=49$ ; $\ x^2+5x=0$ ;
- $\dfrac1{x-2}=\dfrac3{x+4}$ ; $\ (x-1)(2x+3)=(x-1)(x+5)$ ; $\ |x-3|=|2x|$ .
On considère un réel $m$ $m$ . Résoudre dans $\mathbb{R}$ $R$ , selon les valeurs de $m$ $m$ , les équations :
- $(E_1):\ (m+1)x=m^2-1$ ;
- $(E_2):\ mx-3=2x+m$ ;
- $(E_3):\ (m^2-9)x=m-3$ .

Voir la solution

$4x-10=0\iff x=\dfrac52$ .
$3-2x=\sqrt3x+\sqrt3\iff(2+\sqrt3)x=3-\sqrt3\iff x=\dfrac{3-\sqrt3}{2+\sqrt3}=(3-\sqrt3)(2-\sqrt3)=9-5\sqrt3$ .
En multipliant par $6$ : $3(x-1)-2(2x+1)=6x+6\iff-x-5=6x+6\iff x=-\dfrac{11}7$ .
$(2x+1)^2=(x-3)^2\iff2x+1=x-3$ ou $2x+1=-x+3\iff x=-4$ ou $x=\dfrac23$ .
$9x^2=49\iff x=\dfrac73$ ou $x=-\dfrac73$ . $\ x^2+5x=0\iff x(x+5)=0\iff x=0$ ou $x=-5$ .
Valeurs interdites $2$ et $-4$ : $\dfrac1{x-2}=\dfrac3{x+4}\iff x+4=3x-6\iff x=5$ ; $S=\{5\}$ .
$(x-1)(2x+3)-(x-1)(x+5)=0\iff(x-1)(x-2)=0$ : $S=\{1;2\}$ .
$|x-3|=|2x|\iff x-3=2x$ ou $x-3=-2x\iff x=-3$ ou $x=1$ .

$(E_1)$ : si $m\neq-1$ , $x=\dfrac{(m-1)(m+1)}{m+1}=m-1$ ; si $m=-1$ , $0x=0$ et $S=\mathbb{R}$ .
$(E_2)\iff(m-2)x=m+3$ : si $m\neq2$ , $S=\left\{\dfrac{m+3}{m-2}\right\}$ ; si $m=2$ , $0x=5$ et $S=\varnothing$ .
$(E_3)$ : $m^2-9=(m-3)(m+3)$ . Si $m\neq3$ et $m\neq-3$ : $S=\left\{\dfrac1{m+3}\right\}$ ; si $m=3$ : $0x=0$ , $S=\mathbb{R}$ ; si $m=-3$ : $0x=-6$ , $S=\varnothing$ .

Exercice 2 — Inéquations du premier degré Facile ★☆☆☆☆

Résoudre dans $\mathbb{R}$ $R$ les inéquations suivantes :
- $3x-9\le0$ ; $\ -2x+1>x+7$ ; $\ \dfrac{2x-1}3-\dfrac{x+2}4\ge1$ ;
- $|x|<4$ ; $\ |3x-2|\ge1$ .
On considère un réel $m$ $m$ . Résoudre dans $\mathbb{R}$ $R$ , selon les valeurs de $m$ $m$ , les inéquations :
- $(I_1):\ (m^2+1)x\le m-1$ ;
- $(I_2):\ (m-1)x<m^2-1$ ;
- $(I_3):\ (2-m)x\ge2-m$ .

Voir la solution

$3x-9\le0\iff x\le3$ : $S=]-\infty;3]$ . $\ -2x+1>x+7\iff-3x>6\iff x<-2$ : $S=]-\infty;-2[$ .
$\times12$ : $4(2x-1)-3(x+2)\ge12\iff5x\ge22\iff x\ge\dfrac{22}5$ : $S=\left[\dfrac{22}5;+\infty\right[$ .
$|x|<4\iff x\in\,]-4;4[$ . $\ |3x-2|\ge1\iff3x-2\le-1$ ou $3x-2\ge1$ : $S=\left]-\infty;\dfrac13\right]\cup[1;+\infty[$ .

$(I_1)$ : $m^2+1>0$ , donc $S=\left]-\infty;\dfrac{m-1}{m^2+1}\right]$ pour tout $m$ .
$(I_2)$ : $m^2-1=(m-1)(m+1)$ . Si $m>1$ : $x<m+1$ , $S=]-\infty;m+1[$ . Si $m<1$ : on divise par $m-1<0$ , $x>m+1$ , $S=]m+1;+\infty[$ . Si $m=1$ : $0<0$ est faux, $S=\varnothing$ .
$(I_3)$ : si $m<2$ , $x\ge1$ ; si $m>2$ , $x\le1$ ; si $m=2$ , $0\ge0$ et $S=\mathbb{R}$ .

Exercice 3 — Tableaux de signes Facile ★★☆☆☆

Dresser le tableau de signes de chacune des expressions : $\ -3x+6$ ; $\ \dfrac1{2x-1}$ ; $\ \dfrac{-3x+6}{2x-1}$ .
Résoudre dans $\mathbb{R}$ $R$ les inéquations suivantes :
- $(x-2)(3-x)\ge0$ ; $\ (3x+1)(2x-4)<0$ ; $\ \dfrac{x+1}{x-3}\le0$ ;
- $\dfrac{(x-1)(2x+5)}{4-x}\ge0$ ; $\ x^2-3x\le0$ ; $\ (x-2)^2(1-x)\ge0$ .

Voir la solution

$x$		$\frac12$		$2$
$-3x+6$	$+$		$+$	$0$	$-$
$\frac1{2x-1}$	$-$	$\Vert$	$+$		$+$
$\frac{-3x+6}{2x-1}$	$-$	$\Vert$	$+$	$0$	$-$

2) On dresse dans chaque cas un tableau de signes.

$(x-2)(3-x)\ge0$ : $S=[2;3]$ . $\ (3x+1)(2x-4)<0$ : $S=\left]-\dfrac13;2\right[$ . $\ \dfrac{x+1}{x-3}\le0$ : $S=[-1;3[$ .
$\dfrac{(x-1)(2x+5)}{4-x}\ge0$ : racines $-\frac52$ et $1$ , valeur interdite $4$ ; le quotient est positif sur $\left]-\infty;-\frac52\right]$ et sur $[1;4[$ . $S=\left]-\infty;-\dfrac52\right]\cup[1;4[$ .
$x^2-3x=x(x-3)\le0$ : $S=[0;3]$ .
$(x-2)^2\ge0$ s’annule en $2$ ; $1-x\ge0\iff x\le1$ . $S=]-\infty;1]\cup\{2\}$ .

Exercice 4 — Systèmes de deux équations à deux inconnues Moyen ★★★☆☆

A. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ , par la méthode des déterminants, les systèmes : $\text{1) }\begin{cases}2x+3y=8\\ 5x-y=3\end{cases}\quad\text{2) }\begin{cases}x-2y=1\\ -3x+6y=4\end{cases}\quad\text{3) }\begin{cases}4x+y=-2\\ \frac x2-\frac y3=3\end{cases}\quad\text{4) }\begin{cases}2x-y=3\\ -4x+2y=-6\end{cases}$

Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système $(S_1):\begin{cases}x+2y=5\\ 3x-y=1\end{cases}$ .
En déduire les solutions du système $(S_2):\begin{cases}x^2+2|y|=5\\ 3x^2-|y|=1\end{cases}$ .

C. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système $(S):\begin{cases}2\sqrt{x+1}+\sqrt{y-2}=7\\ \sqrt{x+1}-3\sqrt{y-2}=-7\end{cases}$ .

Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système $\begin{cases}x-y=1\\ 2x+y=5\end{cases}$ .
En déduire les solutions des systèmes : a) $\begin{cases}\frac1x-\frac1y=1\\ \frac2x+\frac1y=5\end{cases}$ ; b) $\begin{cases}\sqrt x-\sqrt y=1\\ 2\sqrt x+\sqrt y=5\end{cases}$ .

E. On considère un réel $m$ et le système $(S_m):\begin{cases}mx+y=2\\ x+my=m+1\end{cases}$ .

Montrer que le déterminant de $(S_m)$ est $D=(m-1)(m+1)$ .
Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ , selon les valeurs de $m$ , le système $(S_m)$ .

Voir la solution

A. 1) $D=-2-15=-17$ , $D_x=-8-9=-17$ , $D_y=6-40=-34$ : $S=\{(1;2)\}$ .

2) $D=6-6=0$ . La 2^e^ équation s’écrit $x-2y=-\frac43$ , incompatible avec $x-2y=1$ : $S=\varnothing$ .

3) $D=-\dfrac43-\dfrac12=-\dfrac{11}6$ , $D_x=\dfrac23-3=-\dfrac73$ , $D_y=12+1=13$ : $x=\dfrac{14}{11}$ , $y=-\dfrac{78}{11}$ .

4) $D=4-4=0$ ; la 2^e^ équation est la 1^re^ multipliée par $-2$ : $S=\{(x;2x-3)\ /\ x\in\mathbb{R}\}$ (infinité de solutions).

B. 1) $D=-1-6=-7$ , $D_x=-5-2=-7$ , $D_y=1-15=-14$ : $S_1=\{(1;2)\}$ .

2) On pose $X=x^2$ et $Y=|y|$ (positifs). Le système devient $(S_1)$ en $(X;Y)$ , donc $x^2=1$ et $|y|=2$ . $S_2=\{(1;2);(1;-2);(-1;2);(-1;-2)\}$ .

C. Conditions : $x\ge-1$ et $y\ge2$ . On pose $X=\sqrt{x+1}$ et $Y=\sqrt{y-2}$ : $\begin{cases}2X+Y=7\\ X-3Y=-7\end{cases}$ , $D=-7$ , $D_X=-21+7=-14$ , $D_Y=-14-7=-21$ : $X=2$ , $Y=3$ (positifs). Donc $x+1=4$ , $y-2=9$ : $S=\{(3;11)\}$ .

D. 1) $D=1+2=3$ , $D_x=1+5=6$ , $D_y=5-2=3$ : $S=\{(2;1)\}$ .

2) a) Avec $X=\frac1x$ , $Y=\frac1y$ ( $x$ , $y$ non nuls) : $X=2$ , $Y=1$ , donc $S=\left\{\left(\dfrac12;1\right)\right\}$ .

b) Avec $X=\sqrt x$ , $Y=\sqrt y$ ( $x$ , $y$ positifs) : $\sqrt x=2$ , $\sqrt y=1$ , donc $S=\{(4;1)\}$ .

E. 1) $D=m\times m-1\times1=m^2-1=(m-1)(m+1)$ .

2) $D_x=2m-(m+1)=m-1$ et $D_y=m(m+1)-2=m^2+m-2=(m-1)(m+2)$ .

Si $m\neq1$ et $m\neq-1$ : $x=\dfrac1{m+1}$ , $y=\dfrac{m+2}{m+1}$ .
Si $m=1$ : les deux équations s’écrivent $x+y=2$ : $S=\{(x;2-x)\ /\ x\in\mathbb{R}\}$ .
Si $m=-1$ : $-x+y=2$ et $x-y=0$ sont incompatibles : $S=\varnothing$ .

Exercice 5 — Inéquations à deux inconnues Facile ★★☆☆☆

Le plan est rapporté à un repère orthonormé.

Résoudre graphiquement dans $\mathbb{R}^2$ les inéquations : $\ x-y-1\le0$ ; $\ x+2y-4\ge0$ .
Résoudre graphiquement dans $\mathbb{R}^2$ les systèmes : $(S_1):\begin{cases}x-y-1\le0\\ x+2y-4\ge0\end{cases}\qquad(S_2):\begin{cases}2x+y\le6\\ x-y>-1\end{cases}$

Voir la solution

1) $x-y-1\le0$ : $O$ vérifie $-1\le0$ , donc les solutions forment le demi-plan fermé de bord $x-y-1=0$ contenant $O$ . $x+2y-4\ge0$ : $O$ donne $-4\ge0$ , faux ; les solutions forment le demi-plan fermé de bord $x+2y-4=0$ ne contenant pas $O$ .

2) Les solutions de $(S_1)$ forment l’intersection des deux demi-plans précédents (figure de gauche ; les deux droites se coupent en $(2;1)$ ). Pour $(S_2)$ : $O$ vérifie $0\le6$ et $0>-1$ ; les solutions sont les points du côté de $O$ par rapport aux deux droites, la droite $x-y=-1$ étant exclue (pointillés), figure de droite.

\ \

Exercice 6 — Équations du second degré Facile ★☆☆☆☆

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes sans calculer de discriminant :

$5x^2+3x=0$ .
$3x^2-12=0$ .
$x^2-(m+2)x+2m=0$ , où $m$ est un réel (on pourra développer $(x-2)(x-m)$ ).
$x^2-\big(\sqrt2+\sqrt3\big)x+\sqrt6=0$ .
$(2x-1)^2-5(2x-1)=0$ (on pourra poser $X=2x-1$ ).

Voir la solution

1) $x(5x+3)=0$ : $S=\left\{0;-\dfrac35\right\}$ . 2) $x^2=4$ : $S=\{-2;2\}$ . 3) $(x-2)(x-m)=x^2-(m+2)x+2m$ , donc l’équation équivaut à $(x-2)(x-m)=0$ : si $m\neq2$ , $S=\{2;m\}$ ; si $m=2$ , $S=\{2\}$ .

4) $(x-\sqrt2)(x-\sqrt3)=x^2-(\sqrt2+\sqrt3)x+\sqrt6$ : $S=\{\sqrt2;\sqrt3\}$ . 5) Avec $X=2x-1$ : $X^2-5X=X(X-5)=0$ , donc $2x-1=0$ ou $2x-1=5$ : $S=\left\{\dfrac12;3\right\}$ .

Exercice 7 — Équations du second degré et équations associées Moyen ★★★☆☆

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $3x^2-5x-2=0$ .
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $x^2-10x+25=0$ .
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $2x^2+x+3=0$ .
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $-x^2+2\sqrt3x-3=0$ .
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $x^2-3|x|+2=0$ .
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $x^4-x^2-6=0$ .
Résoudre dans $[0;+\infty[$ l’équation $2x-7\sqrt x+3=0$ .
Résoudre dans $[-1;+\infty[$ l’équation $\sqrt{x+1}=x-1$ .

Voir la solution

1) $\Delta=25+24=49$ : $x=\dfrac{5\pm7}6$ , $S=\left\{-\dfrac13;2\right\}$ .

2) $\Delta=0$ : $S=\{5\}$ . 3) $\Delta=1-24=-23<0$ : $S=\varnothing$ .

4) $-(x^2-2\sqrt3x+3)=-(x-\sqrt3)^2$ : $S=\{\sqrt3\}$ .

5) Avec $X=|x|\ge0$ : $X^2-3X+2=0$ , $X=1$ ou $X=2$ . $S=\{-2;-1;1;2\}$ .

6) Avec $X=x^2\ge0$ : $X^2-X-6=0$ , $X=3$ ou $X=-2$ (rejeté). $S=\{-\sqrt3;\sqrt3\}$ .

7) On travaille dans $[0;+\infty[$ , où $\sqrt x$ est défini. Avec $X=\sqrt x\ge0$ : $2X^2-7X+3=0$ , $\Delta=25$ , $X=3$ ou $X=\frac12$ . $S=\left\{\dfrac14;9\right\}$ .

8) On travaille dans $[-1;+\infty[$ , où $\sqrt{x+1}$ est défini. De plus, une racine carrée étant positive, il faut $x-1\ge0$ , soit $x\ge1$ . Alors $\sqrt{x+1}=x-1\iff x+1=(x-1)^2\iff x^2-3x=0\iff x=0$ ou $x=3$ . Seul $3$ vérifie $x\ge1$ : $S=\{3\}$ .

Exercice 8 — Équation se ramenant au second degré Moyen ★★★☆☆

On considère dans $\mathbb{R}$ l’équation $(E):\ 2x^4-7x^3+9x^2-7x+2=0$ .

Montrer que $0$ n’est pas une solution de $(E)$ .
Pour $x\neq0$ , on pose $t=x+\dfrac1x$ . Montrer que $(E)$ équivaut à $2t^2-7t+5=0$ .
Résoudre l’équation $2t^2-7t+5=0$ et en déduire les solutions de $(E)$ .

Voir la solution

1) Pour $x=0$ : $2\neq0$ .

2) Pour $x\neq0$ , on divise par $x^2$ : $(E)\iff2\left(x^2+\dfrac1{x^2}\right)-7\left(x+\dfrac1x\right)+9=0$ . Or $x^2+\dfrac1{x^2}=t^2-2$ , donc $(E)\iff2t^2-4-7t+9=0\iff2t^2-7t+5=0$ .

3) $\Delta=49-40=9$ : $t=1$ ou $t=\dfrac52$ .

$x+\dfrac1x=1\iff x^2-x+1=0$ : $\Delta=-3$ , pas de solution.
$x+\dfrac1x=\dfrac52\iff2x^2-5x+2=0$ : $\Delta=9$ , $x=2$ ou $x=\dfrac12$ .

$S=\left\{\dfrac12;2\right\}$ .

Exercice 9 — Somme et produit des racines Moyen ★★★☆☆

A. On considère l’équation $(E):\ 3x^2-\sqrt5x-2=0$ .

Montrer que $(E)$ admet deux solutions réelles distinctes $x_1$ et $x_2$ (sans les calculer).
Calculer : $x_1+x_2$ ; $\ x_1x_2$ ; $\ \dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}$ ; $\ x_1^2x_2+x_1x_2^2$ ; $\ x_1^2+x_2^2$ ; $\ \dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}$ ; $\ x_1^3+x_2^3$ .

B. Montrer que l’équation $(E'):\ 25x^2-14x+1=0$ admet deux solutions distinctes $\alpha$ et $\beta$ strictement positives, puis calculer $\dfrac1{\sqrt\alpha}+\dfrac1{\sqrt\beta}$ sans calculer $\alpha$ ni $\beta$ .

Voir la solution

A. 1) $\Delta=5+24=29>0$ : deux solutions distinctes.

2) $S=x_1+x_2=\dfrac{\sqrt5}3$ et $P=x_1x_2=-\dfrac23$ .

$\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}=\dfrac SP=-\dfrac{\sqrt5}2$ ; $\ x_1^2x_2+x_1x_2^2=PS=-\dfrac{2\sqrt5}9$ .
$x_1^2+x_2^2=S^2-2P=\dfrac59+\dfrac43=\dfrac{17}9$ ; $\ \dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{x_1^2+x_2^2}P=-\dfrac{17}6$ .
$x_1^3+x_2^3=S^3-3PS=\dfrac{5\sqrt5}{27}+\dfrac{2\sqrt5}3=\dfrac{23\sqrt5}{27}$ .

B. $\Delta=196-100=96>0$ ; $\alpha\beta=\dfrac1{25}>0$ et $\alpha+\beta=\dfrac{14}{25}>0$ : les deux solutions sont strictement positives.

$\big(\sqrt\alpha+\sqrt\beta\big)^2=\alpha+\beta+2\sqrt{\alpha\beta}=\dfrac{14}{25}+\dfrac25=\dfrac{24}{25}$ , donc $\sqrt\alpha+\sqrt\beta=\dfrac{2\sqrt6}5$ . Ainsi $\frac1{\sqrt\alpha}+\frac1{\sqrt\beta}=\frac{\sqrt\alpha+\sqrt\beta}{\sqrt{\alpha\beta}}=\frac{2\sqrt6/5}{1/5}=2\sqrt6.$

Exercice 10 — Factorisation Facile ★★☆☆☆

Factoriser dans $\mathbb{R}$ , lorsque c’est possible, les polynômes suivants : $P_1(x)=3x^2+5x-2\ ;\quad P_2(x)=-2x^2+5x-3\ ;\quad P_3(x)=9x^2-12x+4\ ;$ $P_4(x)=x^2+2\sqrt2x+3\ ;\quad P_5(x)=-x^2+x-1\ ;\quad P_6(x)=2x^4-5x^2-3.$

Voir la solution

$P_1$ : $\Delta=49$ , racines $\frac13$ et $-2$ : $P_1(x)=(3x-1)(x+2)$ .
$P_2$ : $\Delta=1$ , racines $1$ et $\frac32$ : $P_2(x)=-2(x-1)\left(x-\frac32\right)=-(x-1)(2x-3)$ .
$P_3(x)=(3x-2)^2$ .
$P_4$ : $\Delta=8-12<0$ et $P_5$ : $\Delta=-3<0$ ; ils ne se factorisent pas.
$P_6$ : avec $X=x^2$ , $2X^2-5X-3=(2X+1)(X-3)$ , donc $P_6(x)=(2x^2+1)(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)$ .

Exercice 11 — Inéquations du second degré Moyen ★★★☆☆

A. Étudier le signe de chacun des trinômes :

$P(x)=x^2-5x+6$ .
$P(x)=-x^2+4x-4$ .
$P(x)=-2x^2+x+1$ .
$P(x)=3x^2-2x+1$ .
$P(x)=4x^2+8x$ .

B. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations :

$x^2-5x+6>0$ ; $\ -x^2+4x-4<0$ ; $\ -2x^2+x+1\ge0$ ;
$3x^2-2x+1\le0$ ; $\ \dfrac{x^2-5x+6}{4x^2+8x}\le0$ .

Voir la solution

Racines $2$ et $3$ , $a>0$ : $P(x)>0$ sur $]-\infty;2[\cup]3;+\infty[$ , $P(x)<0$ sur $]2;3[$ .
$P(x)=-(x-2)^2$ : négatif, nul en $2$ .
Racines $-\frac12$ et $1$ , $a<0$ : $P(x)>0$ sur $\left]-\frac12;1\right[$ , $P(x)<0$ à l’extérieur.
$\Delta=-8<0$ , $a>0$ : $P(x)>0$ pour tout réel $x$ .
$P(x)=4x(x+2)$ : positif sur $]-\infty;-2[\cup]0;+\infty[$ , négatif sur $]-2;0[$ .

$S=]-\infty;2[\,\cup\,]3;+\infty[$ ; $\ S=\mathbb{R}\setminus\{2\}=]-\infty;2[\,\cup\,]2;+\infty[$ ; $\ S=\left[-\dfrac12;1\right]$ ; $\ S=\varnothing$ .
Pour le quotient (valeurs interdites $-2$ et $0$ ) :

$x$		$-2$		$0$		$2$		$3$
$x^2-5x+6$	$+$		$+$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$4x^2+8x$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$		$+$		$+$
quotient	$+$	$\Vert$	$-$	$\Vert$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

$S=\,]-2;0[\,\cup[2;3]$ .

Exercice 12 — Équation et inéquation avec racine Difficile ★★★★☆

On considère dans $\mathbb{R}$ l’équation $(E):\ \sqrt{x^2-5x+6}=x$ . a) Déterminer l’ensemble $D$ des réels $x$ pour lesquels $\sqrt{x^2-5x+6}$ est défini. b) Résoudre l’équation $(E)$ dans $D$ , en distinguant les cas $x\ge0$ et $x<0$ .
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $\sqrt{x^2-5x+6}>x$ .

Voir la solution

1) a) $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\ge0\iff x\le2$ ou $x\ge3$ : $D=]-\infty;2]\cup[3;+\infty[$ .

b) Si $x<0$ : une racine carrée est positive, $(E)$ n’a pas de solution. Si $x\ge0$ (et $x\in D$ ) : les deux membres sont positifs, donc $(E)\iff x^2-5x+6=x^2\iff x=\dfrac65$ . Or $\dfrac65\ge0$ et $\dfrac65\le2$ , donc $\dfrac65\in D$ : $S=\left\{\dfrac65\right\}$ .

2) Dans $D$ : si $x<0$ , l’inéquation est vraie (racine positive, $x$ négatif) ; si $x\ge0$ , les deux membres sont positifs et elle équivaut à $x^2-5x+6>x^2$ , soit $x<\dfrac65$ . Comme $]-\infty;0[$ et $\left[0;\dfrac65\right[$ sont contenus dans $D$ : $S=\left]-\infty;\dfrac65\right[$ .

Exercice 13 — Somme et produit : systèmes Difficile ★★★★★

On admet la propriété suivante : on considère deux réels $s$ et $p$ ; le système $\begin{cases}u+v=s\\ uv=p\end{cases}$ admet au moins une solution $(u;v)$ dans $\mathbb{R}^2$ si et seulement si $s^2-4p\ge0$ , et dans ce cas $u$ et $v$ sont les solutions de l’équation $t^2-st+p=0$ .

Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ les systèmes : $\begin{cases}x+y=-7\\ xy=10\end{cases}\ ;\quad\begin{cases}x+y=3\\ xy=-10\end{cases}\ ;\quad\begin{cases}x^2+y^2=13\\ xy=6\end{cases}\ ;$ $\begin{cases}x^3+y^3=35\\ xy=6\end{cases}\ ;\quad\begin{cases}x+y+xy=11\\ x^2y+xy^2=30\end{cases}\ ;\quad\begin{cases}x^2+xy+y^2=7\\ x+y=3\end{cases}$

Voir la solution

$t^2+7t+10=(t+2)(t+5)$ : $S=\{(-2;-5);(-5;-2)\}$ .
$t^2-3t-10=(t-5)(t+2)$ : $S=\{(5;-2);(-2;5)\}$ .
$(x+y)^2=13+12=25$ , donc $x+y=5$ ou $x+y=-5$ , avec $xy=6$ : $t^2-5t+6=0$ ou $t^2+5t+6=0$ . $S=\{(2;3);(3;2);(-2;-3);(-3;-2)\}$ .
On pose $s=x+y$ : $x^3+y^3=s^3-3xys=s^3-18s=35$ . $s=5$ convient et $s^3-18s-35=(s-5)(s^2+5s+7)$ avec $\Delta=25-28<0$ : $s=5$ . $t^2-5t+6=0$ : $S=\{(2;3);(3;2)\}$ .
$s=x+y$ et $p=xy$ : $s+p=11$ et $sp=30$ ; donc $s$ et $p$ sont solutions de $T^2-11T+30=0$ : $(s;p)=(5;6)$ ou $(6;5)$ . Puis $t^2-5t+6=0$ ou $t^2-6t+5=0$ : $S=\{(2;3);(3;2);(1;5);(5;1)\}$ .
$x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy=9-xy=7$ , donc $xy=2$ : $t^2-3t+2=0$ , $S=\{(1;2);(2;1)\}$ .

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20 questions tirées au hasard parmi 40.

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Chapitre 8 — Équations, inéquations et systèmes

Cours

I. Équations et inéquations du premier degré

1. Équations du premier degré à une inconnue

2. Signe de ax+bax+bax+b et inéquations

II. Systèmes et inéquations à deux inconnues

1. Systèmes de deux équations du premier degré

2. Inéquations du premier degré à deux inconnues

III. Équations du second degré

1. Discriminant

2. Résolution

3. Somme et produit des racines

4. Factorisation du trinôme

IV. Signe du trinôme et inéquations du second degré

1. Signe du trinôme

2. Inéquations du second degré

Série d’exercices

Exercice 1 — Équations du premier degré Facile ★☆☆☆☆

Exercice 2 — Inéquations du premier degré Facile ★☆☆☆☆

Exercice 3 — Tableaux de signes Facile ★★☆☆☆

Exercice 4 — Systèmes de deux équations à deux inconnues Moyen ★★★☆☆

Exercice 5 — Inéquations à deux inconnues Facile ★★☆☆☆

Exercice 6 — Équations du second degré Facile ★☆☆☆☆

Exercice 7 — Équations du second degré et équations associées Moyen ★★★☆☆

Exercice 8 — Équation se ramenant au second degré Moyen ★★★☆☆

Exercice 9 — Somme et produit des racines Moyen ★★★☆☆

Exercice 10 — Factorisation Facile ★★☆☆☆

Exercice 11 — Inéquations du second degré Moyen ★★★☆☆

Exercice 12 — Équation et inéquation avec racine Difficile ★★★★☆

Exercice 13 — Somme et produit : systèmes Difficile ★★★★★

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2. Signe de $ax+b$ et inéquations