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Chapitre 4 — Ensembles de nombres

Semestre 1

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Cours

Plan du chapitre. I. Les ensembles de nombres — II. Opérations dans R\mathbb{R} — III. Puissances et écriture scientifique — IV. Racines carrées.

I. Les ensembles de nombres

1. Les entiers naturels et les entiers relatifs

Définition 1 : N\mathbb{N} et Z\mathbb{Z}

  • L’ensemble des entiers naturels est N={0;1;2;3;…}\mathbb{N}=\{0;1;2;3;\ldots\} (chapitre 01).
  • Les entiers naturels et leurs opposés forment l’ensemble des entiers relatifs, noté Z\mathbb{Z} : Z={…;−3;−2;−1;0;1;2;3;…}.\mathbb{Z}=\{\ldots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\ldots\}.
  • On note Z∗\mathbb{Z}^* l’ensemble des entiers relatifs non nuls.

Exemple 1

Préciser si chacun des nombres −7-7, −186\dfrac{-18}{6} et 52\dfrac52 appartient à N\mathbb{N} et à Z\mathbb{Z}.

Voir la solution

−7∈Z-7\in\mathbb{Z} mais −7∉N-7\notin\mathbb{N} ;  −186=−3∈Z\ \dfrac{-18}{6}=-3\in\mathbb{Z} ;  52∉Z\ \dfrac52\notin\mathbb{Z}.

2. Les nombres décimaux

Définition 2 : D\mathbb{D}

Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous la forme a10n\dfrac{a}{10^n}, où a∈Za\in\mathbb{Z} et n∈Nn\in\mathbb{N}. L’ensemble des nombres décimaux est noté D\mathbb{D}.

Exemple 2

Montrer que −3,25-3{,}25 et 38\dfrac38 sont des nombres décimaux, et justifier que 13∉D\dfrac13\notin\mathbb{D}.

Voir la solution
  • −3,25=−325102∈D-3{,}25=\dfrac{-325}{10^2}\in\mathbb{D} ;  38=3751000=375103∈D\ \dfrac38=\dfrac{375}{1000}=\dfrac{375}{10^3}\in\mathbb{D}.
  • 13∉D\dfrac13\notin\mathbb{D} : son écriture décimale 0,333…0{,}333\ldots ne s’arrête pas.

Remarque

Une fraction irréductible ab\dfrac ab (avec a∈Za\in\mathbb{Z} et b∈N∗b\in\mathbb{N}^*) est un nombre décimal si et seulement si la décomposition de bb en facteurs premiers ne contient que des 22 et des 55. Par exemple 740=723×5∈D\dfrac{7}{40}=\dfrac{7}{2^3\times5}\in\mathbb{D}, mais 512=522×3∉D\dfrac{5}{12}=\dfrac{5}{2^2\times3}\notin\mathbb{D}.

3. Les nombres rationnels

Définition 3 : Q\mathbb{Q}

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme ab\dfrac ab, où a∈Za\in\mathbb{Z} et b∈Z∗b\in\mathbb{Z}^*. L’ensemble des nombres rationnels est noté Q\mathbb{Q}.

Exemple 3

Montrer que les nombres −27\dfrac{-2}{7}, 0,60{,}6, 44 et 916\sqrt{\dfrac{9}{16}} sont rationnels.

Voir la solution

−27∈Q\dfrac{-2}{7}\in\mathbb{Q} ;  0,6=35∈Q\ 0{,}6=\dfrac35\in\mathbb{Q} ;  4=41∈Q\ 4=\dfrac41\in\mathbb{Q} ;  916=34∈Q\ \sqrt{\dfrac{9}{16}}=\dfrac34\in\mathbb{Q}.

4. Les nombres réels

Définition 4 : R\mathbb{R}

Tous les nombres rencontrés jusqu’ici (abscisses des points d’une droite graduée) forment l’ensemble des nombres réels, noté R\mathbb{R}. Un réel qui n’est pas rationnel est dit irrationnel.

Exemple 4

On admet que 2\sqrt2, 3\sqrt3, 5\sqrt5 et π\pi sont des nombres irrationnels : 2∈R\sqrt2\in\mathbb{R} mais 2∉Q\sqrt2\notin\mathbb{Q}.

5. Inclusions entre ces ensembles

Définition 5 : Inclusion

On considère deux ensembles EE et FF. On dit que EE est inclus dans FF, et on note E⊂FE\subset F, si tout élément de EE est un élément de FF. Sinon, on note E⊄FE\not\subset F.

Propriété 1

N⊂Z⊂D⊂Q⊂R.\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.

Remarque

  • Ces inclusions sont strictes : −1∈Z-1\in\mathbb{Z} et −1∉N-1\notin\mathbb{N} ;  0,5∈D\ 0{,}5\in\mathbb{D} et 0,5∉Z0{,}5\notin\mathbb{Z} ;  13∈Q\ \frac13\in\mathbb{Q} et 13∉D\frac13\notin\mathbb{D} ;  2∈R\ \sqrt2\in\mathbb{R} et 2∉Q\sqrt2\notin\mathbb{Q}.
  • On note R∗\mathbb{R}^* l’ensemble des réels non nuls, R+\mathbb{R}_+ celui des réels positifs ou nuls et R+∗\mathbb{R}_+^* celui des réels strictement positifs.

Application 1

Compléter par ∈\in ou ∉\notin :  −4 … N\ -4\ \ldots\ \mathbb{N} ;  217 … N\ \dfrac{21}{7}\ \ldots\ \mathbb{N} ;  14 … D\ \dfrac{1}{4}\ \ldots\ \mathbb{D} ;  23 … D\ \dfrac{2}{3}\ \ldots\ \mathbb{D} ;  25 … Z\ \sqrt{25}\ \ldots\ \mathbb{Z} ;  π … Q\ \pi\ \ldots\ \mathbb{Q}.

Voir la solution

−4∉N-4\notin\mathbb{N} ;  217=3∈N\ \dfrac{21}{7}=3\in\mathbb{N} ;  14=0,25∈D\ \dfrac14=0{,}25\in\mathbb{D} ;  23∉D\ \dfrac23\notin\mathbb{D} (dénominateur 33) ;  25=5∈Z\ \sqrt{25}=5\in\mathbb{Z} ;  π∉Q\ \pi\notin\mathbb{Q}.

II. Opérations dans R\mathbb{R}

1. Propriétés de l’addition et de la multiplication

Propriété 2

Pour tous réels aa, bb et cc :

  • a+b=b+aa+b=b+a et ab=baab=ba (commutativité) ;
  • (a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c) et (ab)c=a(bc)(ab)c=a(bc) (associativité) ;
  • a+0=aa+0=a,  a×1=a\ a\times1=a,  a+(−a)=0\ a+(-a)=0 et, si a≠0a\neq0, a×1a=1a\times\dfrac1a=1 ;
  • a(b+c)=ab+aca(b+c)=ab+ac (distributivité) ;
  • ab=0ab=0 si et seulement si a=0a=0 ou b=0b=0.

2. Calculs sur les fractions

Propriété 3

Pour tous réels aa, cc et tous réels non nuls bb, dd : ab+cd=ad+bcbd ;ab×cd=acbd ;ab=cd  ⟺  ad=bc.\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd}\ ;\qquad\frac ab\times\frac cd=\frac{ac}{bd}\ ;\qquad\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\iff ad=bc. Si de plus c≠0c\neq0 :    ab    cd  =ab×dc=adbc\ \dfrac{\;\frac ab\;}{\;\frac cd\;}=\dfrac ab\times\dfrac dc=\dfrac{ad}{bc}.

Exemple 5

Calculer A=56−34×29A=\dfrac56-\dfrac34\times\dfrac{2}{9} et B=  1−25    310  B=\dfrac{\;1-\frac25\;}{\;\frac{3}{10}\;}.

Voir la solution

A=56−636=56−16=46=23A=\dfrac56-\dfrac{6}{36}=\dfrac56-\dfrac16=\dfrac46=\dfrac23.

B=35×103=2B=\dfrac{3}{5}\times\dfrac{10}{3}=2.

3. Identités remarquables

Propriété 4

Pour tous réels aa et bb :

  • (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 ;  (a−b)2=a2−2ab+b2\ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 ;  (a−b)(a+b)=a2−b2\ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 ;
  • (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 ;  (a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3\ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 ;
  • a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) ;  a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)\ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).
Voir la solution

Démonstration de la quatrième identité. (a+b)3=(a+b)(a+b)2=(a+b)(a2+2ab+b2)=a3+2a2b+ab2+a2b+2ab2+b3=a3+3a2b+3ab2+b3.(a+b)^3=(a+b)(a+b)^2=(a+b)(a^2+2ab+b^2)=a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.

Exemple 6

On considère un réel xx.

  1. Développer (2x−3)2(2x-3)^2 et (x+2)3(x+2)^3.
  2. Factoriser 9x2−259x^2-25 et x3−8x^3-8.
Voir la solution
  1. (2x−3)2=4x2−12x+9(2x-3)^2=4x^2-12x+9 ;  (x+2)3=x3+6x2+12x+8\ (x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8.
  2. 9x2−25=(3x−5)(3x+5)9x^2-25=(3x-5)(3x+5) ;  x3−8=x3−23=(x−2)(x2+2x+4)\ x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4).

Application 2

On considère deux réels aa et bb tels que a+b=5a+b=5 et ab=3ab=3. Calculer a2+b2a^2+b^2 et a3+b3a^3+b^3.

Voir la solution

a2+b2=(a+b)2−2ab=25−6=19a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=25-6=19.

a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)=5×(19−3)=80a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=5\times(19-3)=80.

III. Puissances et écriture scientifique

1. Puissance d’un réel

Définition 6

On considère un réel aa et un entier naturel non nul nn.

  • an=a×a×⋯×a⏟n facteursa^n=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n\ \text{facteurs}}, et a0=1a^0=1 si a≠0a\neq0.
  • Si a≠0a\neq0 :  a−n=1an\ a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}.

Propriété 5

Pour tous réels non nuls aa, bb et tous entiers relatifs mm, nn : am×an=am+n ;aman=am−n ;(am)n=amn ;(ab)n=anbn ;(ab)n=anbn.a^m\times a^n=a^{m+n}\ ;\quad\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\ ;\quad(a^m)^n=a^{mn}\ ;\quad(ab)^n=a^nb^n\ ;\quad\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}.

Remarque

  • (−1)n=1(-1)^n=1 si nn est pair et (−1)n=−1(-1)^n=-1 si nn est impair.
  • En général, (a+b)n≠an+bn(a+b)^n\neq a^n+b^n : par exemple (1+1)2=4(1+1)^2=4 et 12+12=21^2+1^2=2.

Exemple 7

Simplifier A=25×3−2×6343×3A=\dfrac{2^5\times3^{-2}\times6^3}{4^3\times3}.

Voir la solution

63=23×336^3=2^3\times3^3 et 43=264^3=2^6, donc A=25+3×3−2+326×3=28−6×31−1=22=4A=\dfrac{2^{5+3}\times3^{-2+3}}{2^6\times3}=2^{8-6}\times3^{1-1}=2^2=4.

2. Écriture scientifique

Définition 7

Tout nombre décimal non nul xx s’écrit de manière unique sous la forme x=a×10p,x=a\times10^p, où p∈Zp\in\mathbb{Z} et aa est un nombre décimal ayant un seul chiffre non nul avant la virgule (au signe près). Cette écriture est l’écriture scientifique de xx.

Exemple 8

  1. Donner l’écriture scientifique des nombres 45 60045\,600, 0,000 720{,}000\,72 et −305-305.
  2. Calculer 1,2×105×5×10−23×10−4\dfrac{1{,}2\times10^{5}\times5\times10^{-2}}{3\times10^{-4}} et donner le résultat en écriture scientifique.
Voir la solution
  • 45 600=4,56×10445\,600=4{,}56\times10^4 ;  0,000 72=7,2×10−4\ 0{,}000\,72=7{,}2\times10^{-4} ;  −305=−3,05×102\ -305=-3{,}05\times10^2.
  • 1,2×105×5×10−23×10−4=6×1033×10−4=2×107\dfrac{1{,}2\times10^{5}\times5\times10^{-2}}{3\times10^{-4}}=\dfrac{6\times10^{3}}{3\times10^{-4}}=2\times10^{7}.

IV. Racines carrées

1. Définition

Définition 8

On considère un réel positif aa. La racine carrée de aa est l’unique réel positif dont le carré est égal à aa ; on la note a\sqrt a. (a)2=aeta est positif.\big(\sqrt a\big)^2=a\qquad\text{et}\qquad\sqrt a\ \text{est positif}.

Exemple 9

Calculer 49\sqrt{49}, 0\sqrt0, 0,09\sqrt{0{,}09} et (−5)2\sqrt{(-5)^2}.

Voir la solution

49=7\sqrt{49}=7 ;  0=0\ \sqrt0=0 ;  0,09=0,3\ \sqrt{0{,}09}=0{,}3 ;  (−5)2=25=5\ \sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5.

Attention

Pour un réel xx quelconque, x2=x\sqrt{x^2}=x si xx est positif, et x2=−x\sqrt{x^2}=-x si xx est négatif. Par exemple (−5)2=5=−(−5)\sqrt{(-5)^2}=5=-(-5).

2. Propriétés

Propriété 6

Pour tous réels positifs aa et bb : ab=a×b ;si b≠0,  ab=ab.\sqrt{ab}=\sqrt a\times\sqrt b\ ;\qquad\text{si } b\neq0,\ \ \sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}.

Attention

En général, a+b≠a+b\sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b : par exemple 9+16=5\sqrt{9+16}=5 alors que 9+16=7\sqrt9+\sqrt{16}=7.

Exemple 10

Simplifier 72\sqrt{72} et C=320−45+80C=3\sqrt{20}-\sqrt{45}+\sqrt{80}.

Voir la solution

72=36×2=62\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt2.

20=25\sqrt{20}=2\sqrt5,  45=35\ \sqrt{45}=3\sqrt5,  80=45\ \sqrt{80}=4\sqrt5 ; donc C=65−35+45=75C=6\sqrt5-3\sqrt5+4\sqrt5=7\sqrt5.

3. Expression conjuguée

Méthode

On considère deux réels positifs aa et bb tels que a≠ba\neq b. Pour supprimer la racine d’un dénominateur de la forme a−b\sqrt a-\sqrt b, on multiplie numérateur et dénominateur par l’expression conjuguée a+b\sqrt a+\sqrt b, car (a−b)(a+b)=a−b.\big(\sqrt a-\sqrt b\big)\big(\sqrt a+\sqrt b\big)=a-b.

Exemple 11

Écrire sans radical au dénominateur :  63\ \dfrac{6}{\sqrt3} et  25−1\ \dfrac{2}{\sqrt5-1}.

Voir la solution

63=633=23\dfrac{6}{\sqrt3}=\dfrac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3.

25−1=2(5+1)(5−1)(5+1)=2(5+1)5−1=5+12\dfrac{2}{\sqrt5-1}=\dfrac{2(\sqrt5+1)}{(\sqrt5-1)(\sqrt5+1)}=\dfrac{2(\sqrt5+1)}{5-1}=\dfrac{\sqrt5+1}{2}.

Application 3

On pose x=3+2x=\sqrt3+\sqrt2 et y=3−2y=\sqrt3-\sqrt2.

  1. Calculer xyxy, x2x^2 et y2y^2.
  2. En déduire que xy+yx=10\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=10.
Voir la solution
  1. xy=3−2=1xy=3-2=1 ;  x2=3+26+2=5+26\ x^2=3+2\sqrt6+2=5+2\sqrt6 ;  y2=5−26\ y^2=5-2\sqrt6.
  2. xy+yx=x2+y2xy=101=10\dfrac xy+\dfrac yx=\dfrac{x^2+y^2}{xy}=\dfrac{10}{1}=10.

À retenir — l’essentiel du chapitre

  • N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R} ;  D\ \mathbb{D} : a10n\frac{a}{10^n} ;  Q\ \mathbb{Q} : ab\frac ab ; 2\sqrt2 et π\pi sont irrationnels.
  • Identités : (a±b)2(a\pm b)^2, (a−b)(a+b)(a-b)(a+b), (a±b)3(a\pm b)^3, a3±b3a^3\pm b^3.
  • Puissances : aman=am+na^ma^n=a^{m+n}, (am)n=amn(a^m)^n=a^{mn}, a−n=1ana^{-n}=\frac1{a^n} ; écriture scientifique a×10pa\times10^p.
  • ab=ab\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b (avec aa, bb positifs) ; conjugué : (a−b)(a+b)=a−b(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)=a-b.

Série d’exercices

Exercice 1 — Ensembles de nombres Facile ★☆☆☆☆

  1. Compléter par ∈\in ou ∉\notin :
    • −9 … N-9\ \ldots\ \mathbb{N} ;  7,2 … Z\ 7{,}2\ \ldots\ \mathbb{Z} ;  720 … D\ \dfrac{7}{20}\ \ldots\ \mathbb{D} ;  −147 … Z\ \dfrac{-14}{7}\ \ldots\ \mathbb{Z} ;
    • 56 … D\dfrac56\ \ldots\ \mathbb{D} ;  36 … N\ \sqrt{36}\ \ldots\ \mathbb{N} ;  8 … Q\ \sqrt8\ \ldots\ \mathbb{Q} ;  0 … Q\ 0\ \ldots\ \mathbb{Q}.
  2. On considère les nombres suivants : 1340 ;29 ;−2135 ;123 ;1+2 ;227 ;502 ;523×7.\frac{13}{40}\ ;\quad\frac29\ ;\quad\frac{-21}{35}\ ;\quad\frac{\sqrt{12}}{\sqrt3}\ ;\quad1+\sqrt2\ ;\quad\frac{22}{7}\ ;\quad\frac{\sqrt{50}}{2}\ ;\quad\frac{5}{2^3\times7}. a) Déterminer ceux qui sont des nombres décimaux. b) Déterminer ceux qui sont rationnels mais non décimaux. c) Déterminer ceux qui sont irrationnels.
Voir la solution

1)

  • −9∉N-9\notin\mathbb{N} ;  7,2∉Z\ 7{,}2\notin\mathbb{Z} ;  720=35100=0,35∈D\ \dfrac7{20}=\dfrac{35}{100}=0{,}35\in\mathbb{D} ;  −147=−2∈Z\ \dfrac{-14}{7}=-2\in\mathbb{Z} ;
  • 56∉D\dfrac56\notin\mathbb{D} (dénominateur 6=2×36=2\times3) ;  36=6∈N\ \sqrt{36}=6\in\mathbb{N} ;  8=22∉Q\ \sqrt8=2\sqrt2\notin\mathbb{Q} ;  0∈Q\ 0\in\mathbb{Q}.

2) On simplifie d’abord :

  • 1340=3251000=0,325\dfrac{13}{40}=\dfrac{325}{1000}=0{,}325 ;  −2135=−35=−0,6\ \dfrac{-21}{35}=\dfrac{-3}{5}=-0{,}6 ;  123=123=4=2\ \dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt3}=\sqrt{\dfrac{12}{3}}=\sqrt4=2 ;
  • 502=522\dfrac{\sqrt{50}}{2}=\dfrac{5\sqrt2}{2} ;  523×7=556\ \dfrac{5}{2^3\times7}=\dfrac5{56}.

a) Décimaux : 1340\dfrac{13}{40} ; −2135\dfrac{-21}{35} ; 123\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt3}.

b) Rationnels non décimaux (fractions irréductibles dont le dénominateur contient un facteur premier autre que 22 et 55) : 29\dfrac29 ; 227\dfrac{22}7 ; 523×7\dfrac{5}{2^3\times7}.

c) Irrationnels : 1+21+\sqrt2 et 522\dfrac{5\sqrt2}{2} (si 1+21+\sqrt2 était rationnel, 2=(1+2)−1\sqrt2=(1+\sqrt2)-1 le serait aussi).

Exercice 2 — Calcul dans R\mathbb{R} Facile ★☆☆☆☆

  1. Calculer et simplifier : A=34−56+13 ;B=23+1274−13 ;C=1−11+12.A=\frac34-\frac56+\frac13\ ;\qquad B=\frac{\frac23+\frac12}{\frac74-\frac13}\ ;\qquad C=1-\frac{1}{1+\frac12}.
  2. On considère un réel xx. Développer et réduire : E=(3x−1)2−(x+2)(x−2) ;F=(x+1)3−x3.E=(3x-1)^2-(x+2)(x-2)\ ;\qquad F=(x+1)^3-x^3.
  3. On considère un réel xx. Factoriser : G=4x2−12x+9 ;H=(x+1)2−9 ;K=x3+27.G=4x^2-12x+9\ ;\qquad H=(x+1)^2-9\ ;\qquad K=x^3+27.
Voir la solution

1) A=912−1012+412=312=14A=\dfrac{9}{12}-\dfrac{10}{12}+\dfrac{4}{12}=\dfrac{3}{12}=\dfrac14.

B=761712=76×1217=1417B=\dfrac{\frac76}{\frac{17}{12}}=\dfrac76\times\dfrac{12}{17}=\dfrac{14}{17}.

C=1−132=1−23=13C=1-\dfrac{1}{\frac32}=1-\dfrac23=\dfrac13.

2) E=9x2−6x+1−(x2−4)=8x2−6x+5E=9x^2-6x+1-(x^2-4)=8x^2-6x+5.

F=x3+3x2+3x+1−x3=3x2+3x+1F=x^3+3x^2+3x+1-x^3=3x^2+3x+1.

3) G=(2x)2−2×2x×3+32=(2x−3)2G=(2x)^2-2\times2x\times3+3^2=(2x-3)^2.

H=(x+1)2−32=(x+1−3)(x+1+3)=(x−2)(x+4)H=(x+1)^2-3^2=(x+1-3)(x+1+3)=(x-2)(x+4).

K=x3+33=(x+3)(x2−3x+9)K=x^3+3^3=(x+3)(x^2-3x+9).

Exercice 3 — Identités remarquables Facile ★★☆☆☆

On considère des réels aa, bb, xx, yy et zz.

  1. Développer et réduire (a−2b)3(a-2b)^3 et (a+b)(a2−ab+b2)(a+b)(a^2-ab+b^2).
  2. Démontrer les identités suivantes :
    • (a+b)2−(a−b)2=4ab(a+b)^2-(a-b)^2=4ab ;
    • (a2+b2)2−4a2b2=(a−b)2(a+b)2(a^2+b^2)^2-4a^2b^2=(a-b)^2(a+b)^2.
  3. On suppose que x+y+z=0x+y+z=0. a) Développer (x+y)3(x+y)^3, puis montrer que x3+y3=(x+y)3−3xy(x+y)x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y). b) En déduire que x3+y3+z3=3xyzx^3+y^3+z^3=3xyz.
Voir la solution

1) (a−2b)3=a3−3a2(2b)+3a(2b)2−(2b)3=a3−6a2b+12ab2−8b3(a-2b)^3=a^3-3a^2(2b)+3a(2b)^2-(2b)^3=a^3-6a^2b+12ab^2-8b^3.

(a+b)(a2−ab+b2)=a3−a2b+ab2+a2b−ab2+b3=a3+b3(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3=a^3+b^3.

2)

  • (a+b)2−(a−b)2=(a2+2ab+b2)−(a2−2ab+b2)=4ab(a+b)^2-(a-b)^2=(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)=4ab.
  • (a2+b2)2−(2ab)2=(a2+b2−2ab)(a2+b2+2ab)=(a−b)2(a+b)2(a^2+b^2)^2-(2ab)^2=(a^2+b^2-2ab)(a^2+b^2+2ab)=(a-b)^2(a+b)^2.

3) a) (x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3=x3+y3+3xy(x+y)(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=x^3+y^3+3xy(x+y), donc x3+y3=(x+y)3−3xy(x+y).x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y).

b) Comme x+y+z=0x+y+z=0, on a x+y=−zx+y=-z. D’après a) : x3+y3=(−z)3−3xy(−z)=−z3+3xyz,x^3+y^3=(-z)^3-3xy(-z)=-z^3+3xyz, donc x3+y3+z3=3xyzx^3+y^3+z^3=3xyz.

Exercice 4 — Puissances, écriture scientifique Facile ★★☆☆☆

  1. Donner l’écriture scientifique des nombres suivants :
    • a=52 000×300a=52\,000\times300 ;  b=0,0004×0,006\ b=0{,}0004\times0{,}006 ;
    • c=4,5×10−3×2×105c=4{,}5\times10^{-3}\times2\times10^{5} ;  d=6×1041,5×10−2\ d=\dfrac{6\times10^4}{1{,}5\times10^{-2}}.
  2. On considère deux réels non nuls xx et yy. Simplifier : P=(x2y3)2x3y4 ;Q=(2x−1y)3×x44y2 ;R=35×2−392×6−1.P=\frac{(x^2y^3)^2}{x^3y^4}\ ;\qquad Q=\frac{(2x^{-1}y)^3\times x^4}{4y^2}\ ;\qquad R=\frac{3^5\times2^{-3}}{9^2\times6^{-1}}.
  3. On considère deux réels non nuls aa et bb, et E=(a3b−2)2×(a−2b)3E=(a^3b^{-2})^2\times(a^{-2}b)^3. a) Simplifier EE. b) Donner l’écriture scientifique de EE pour a=7a=7 et b=0,000 25b=0{,}000\,25.
Voir la solution

1)

  • a=52×103×3×102=156×105=1,56×107a=52\times10^3\times3\times10^2=156\times10^5=1{,}56\times10^7.
  • b=4×10−4×6×10−3=24×10−7=2,4×10−6b=4\times10^{-4}\times6\times10^{-3}=24\times10^{-7}=2{,}4\times10^{-6}.
  • c=9×102c=9\times10^{2}.
  • d=61,5×104−(−2)=4×106d=\dfrac{6}{1{,}5}\times10^{4-(-2)}=4\times10^{6}.

2) P=x4y6x3y4=xy2P=\dfrac{x^4y^6}{x^3y^4}=xy^2.

Q=8x−3y3×x44y2=2x−3+4y3−2=2xyQ=\dfrac{8x^{-3}y^3\times x^4}{4y^2}=2x^{-3+4}y^{3-2}=2xy.

R=35×2−3×634=3×68=94R=\dfrac{3^5\times2^{-3}\times6}{3^4}=3\times\dfrac{6}{8}=\dfrac94.

3) a) E=a6b−4×a−6b3=a0b−1=1bE=a^6b^{-4}\times a^{-6}b^3=a^0b^{-1}=\dfrac1b.

b) E=12,5×10−4=12,5×104=0,4×104=4×103E=\dfrac{1}{2{,}5\times10^{-4}}=\dfrac{1}{2{,}5}\times10^{4}=0{,}4\times10^4=4\times10^3 (la valeur de aa n’intervient pas).

Exercice 5 — Racines carrées Facile ★★☆☆☆

  1. Simplifier : A=48−227+75 ;B=(23−1)2 ;C=17−2+17+2.A=\sqrt{48}-2\sqrt{27}+\sqrt{75}\ ;\qquad B=\big(2\sqrt3-1\big)^2\ ;\qquad C=\frac{1}{\sqrt7-2}+\frac{1}{\sqrt7+2}.
  2. Montrer que (1+2)3=7+52\big(1+\sqrt2\big)^3=7+5\sqrt2.
Voir la solution

1) 48=43\sqrt{48}=4\sqrt3,  27=33\ \sqrt{27}=3\sqrt3,  75=53\ \sqrt{75}=5\sqrt3, donc A=43−63+53=33A=4\sqrt3-6\sqrt3+5\sqrt3=3\sqrt3.

B=(23)2−2×23+1=12−43+1=13−43B=(2\sqrt3)^2-2\times2\sqrt3+1=12-4\sqrt3+1=13-4\sqrt3.

C=(7+2)+(7−2)(7−2)(7+2)=277−4=273C=\dfrac{(\sqrt7+2)+(\sqrt7-2)}{(\sqrt7-2)(\sqrt7+2)}=\dfrac{2\sqrt7}{7-4}=\dfrac{2\sqrt7}{3}.

2) (1+2)3=1+32+3(2)2+(2)3=1+32+6+22=7+52(1+\sqrt2)^3=1+3\sqrt2+3\big(\sqrt2\big)^2+\big(\sqrt2\big)^3=1+3\sqrt2+6+2\sqrt2=7+5\sqrt2.

Exercice 6 — Racines carrées imbriquées Moyen ★★★☆☆

  1. Développer (2+3)2\big(2+\sqrt3\big)^2 et (2−3)2\big(2-\sqrt3\big)^2.
  2. En déduire que 7+43=2+3\sqrt{7+4\sqrt3}=2+\sqrt3 et que 7−43=2−3\sqrt{7-4\sqrt3}=2-\sqrt3.
  3. En déduire la valeur des nombres A=7+43−7−43etB=7+43×7−43.A=\sqrt{7+4\sqrt3}-\sqrt{7-4\sqrt3}\qquad\text{et}\qquad B=\sqrt{7+4\sqrt3}\times\sqrt{7-4\sqrt3}.
Voir la solution

1) (2+3)2=4+43+3=7+43(2+\sqrt3)^2=4+4\sqrt3+3=7+4\sqrt3 ;  (2−3)2=7−43\ (2-\sqrt3)^2=7-4\sqrt3.

2) 2+32+\sqrt3 est positif et son carré vaut 7+437+4\sqrt3 : par définition de la racine carrée, 7+43=2+3\sqrt{7+4\sqrt3}=2+\sqrt3.

Comme 3<43<4, on a 3<2\sqrt3<2, donc 2−32-\sqrt3 est positif ; son carré vaut 7−437-4\sqrt3, donc 7−43=2−3\sqrt{7-4\sqrt3}=2-\sqrt3.

3) A=(2+3)−(2−3)=23A=(2+\sqrt3)-(2-\sqrt3)=2\sqrt3 ;  B=(2+3)(2−3)=4−3=1\ B=(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=4-3=1.

Exercice 7 — Approfondissement Difficile ★★★★☆

  1. On considère un entier naturel nn. Montrer que les nombres (5−2)n\big(\sqrt5-2\big)^n et (5+2)n\big(\sqrt5+2\big)^n sont inverses l’un de l’autre.
  2. On considère deux réels non nuls aa et bb tels que ab+ba=3\dfrac ab+\dfrac ba=3. a) Montrer que a2b2+b2a2=7\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}=7. b) Calculer a3b3+b3a3\dfrac{a^3}{b^3}+\dfrac{b^3}{a^3}.
  3. On considère trois réels xx, yy et zz tels que xyz=1xyz=1 et tels que 1+x+xy1+x+xy, 1+y+yz1+y+yz et 1+z+zx1+z+zx soient non nuls. Montrer que 11+x+xy+11+y+yz+11+z+zx=1.\frac{1}{1+x+xy}+\frac{1}{1+y+yz}+\frac{1}{1+z+zx}=1.
  4. On considère deux réels non nuls aa et bb tels que a2+b2=4aba^2+b^2=4ab. a) Montrer que (a+b)2=6ab(a+b)^2=6ab et que (a−b)2=2ab(a-b)^2=2ab. b) En déduire que a≠ba\neq b, puis déterminer les valeurs possibles de a+ba−b\dfrac{a+b}{a-b}.
Voir la solution

1) (5−2)(5+2)=5−4=1(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)=5-4=1. Donc (5−2)n×(5+2)n=[(5−2)(5+2)]n=1n=1:\big(\sqrt5-2\big)^n\times\big(\sqrt5+2\big)^n=\big[(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)\big]^n=1^n=1 : ces deux nombres sont inverses l’un de l’autre.

2) On pose t=abt=\dfrac ab ; alors ba=1t\dfrac ba=\dfrac1t et t+1t=3t+\dfrac1t=3.

a) t2+1t2=(t+1t)2−2=9−2=7t^2+\dfrac1{t^2}=\left(t+\dfrac1t\right)^2-2=9-2=7.

b) D’après l’identité u3+v3=(u+v)(u2−uv+v2)u^3+v^3=(u+v)(u^2-uv+v^2) avec u=tu=t, v=1tv=\frac1t et uv=1uv=1 : t3+1t3=(t+1t)(t2+1t2−1)=3×6=18.t^3+\frac1{t^3}=\left(t+\frac1t\right)\left(t^2+\frac1{t^2}-1\right)=3\times6=18.

3) Comme xyz=1xyz=1, les réels xx, yy, zz sont non nuls. On transforme les deux dernières fractions pour qu’elles aient le dénominateur 1+x+xy1+x+xy :

  • en multipliant le numérateur et le dénominateur par xx : 11+y+yz=xx+xy+xyz=xx+xy+1\dfrac{1}{1+y+yz}=\dfrac{x}{x+xy+xyz}=\dfrac{x}{x+xy+1} ;
  • en multipliant par xyxy : 11+z+zx=xyxy+xyz+x2yz=xyxy+1+x\dfrac{1}{1+z+zx}=\dfrac{xy}{xy+xyz+x^2yz}=\dfrac{xy}{xy+1+x} (car xyz=1xyz=1 et x2yz=xx^2yz=x).

Donc la somme vaut 1+x+xy1+x+xy=1\dfrac{1+x+xy}{1+x+xy}=1.

4) a) (a+b)2=a2+b2+2ab=4ab+2ab=6ab(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=4ab+2ab=6ab ;  (a−b)2=a2+b2−2ab=2ab\ (a-b)^2=a^2+b^2-2ab=2ab.

b) aa et bb sont non nuls, donc ab≠0ab\neq0 et (a−b)2=2ab≠0(a-b)^2=2ab\neq0 : ainsi a≠ba\neq b. Alors (a+ba−b)2=6ab2ab=3,donca+ba−b=3  ou  a+ba−b=−3.\left(\frac{a+b}{a-b}\right)^2=\frac{6ab}{2ab}=3,\qquad\text{donc}\qquad\frac{a+b}{a-b}=\sqrt3\ \ \text{ou}\ \ \frac{a+b}{a-b}=-\sqrt3. Les deux valeurs sont possibles : avec b=1b=1, a=2+3a=2+\sqrt3 vérifie a2+1=7+43+1=8+43=4aa^2+1=7+4\sqrt3+1=8+4\sqrt3=4a et donne 3+31+3=3\dfrac{3+\sqrt3}{1+\sqrt3}=\sqrt3 ; avec b=1b=1 et a=2−3a=2-\sqrt3, on obtient −3-\sqrt3.

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