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Chapitre 5 — Primitives

Semestre 1

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Cours

Plan du chapitre. I. Notion de primitive — II. Primitives d’une fonction continue — III. Primitives et opérations — IV. Primitives des fonctions usuelles et formules — Résumé.

I. Notion de primitive

1. Définition

Définition 1 — primitive

On considère une fonction ff définie sur un intervalle II. On appelle primitive de ff sur II toute fonction FF dérivable sur II telle que F′(x)=f(x)pour tout x∈I.F'(x)=f(x)\qquad\text{pour tout }x\in I .

2. Exemples

Exemple 1

Dans chaque cas, vérifier que la fonction proposée est une primitive de la fonction donnée :

  • f(x)=3x2+1f(x)=3x^2+1 sur R\mathbb{R}, et F(x)=x3+xF(x)=x^3+x ;
  • g(x)=12xg(x)=\dfrac1{2\sqrt x} sur ]0;+∞[]0;+\infty[, et x↦xx\mapsto\sqrt x ;
  • h(x)=cos⁡xh(x)=\cos x sur R\mathbb{R}, et x↦sin⁡xx\mapsto\sin x, x↦sin⁡x+2x\mapsto\sin x+2 ;
  • k(x)=1−1x2k(x)=1-\dfrac1{x^2} sur ]0;+∞[]0;+\infty[, et K(x)=x+1xK(x)=x+\dfrac1x.
Voir la solution
  • On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=3x2+1f(x)=3x^2+1. La fonction FF définie sur R\mathbb{R} par F(x)=x3+xF(x)=x^3+x est une primitive de ff sur R\mathbb{R}, car F′(x)=3x2+1F'(x)=3x^2+1.
  • On considère la fonction gg définie sur ]0;+∞[]0;+\infty[ par g(x)=12xg(x)=\dfrac1{2\sqrt x}. La fonction x↦xx\mapsto\sqrt x est une primitive de gg sur ]0;+∞[]0;+\infty[.
  • On considère la fonction hh définie sur R\mathbb{R} par h(x)=cos⁡xh(x)=\cos x. Les fonctions x↦sin⁡xx\mapsto\sin x et x↦sin⁡x+2x\mapsto\sin x+2 sont deux primitives de hh sur R\mathbb{R} : une fonction admet donc plusieurs primitives.
  • On considère la fonction kk définie sur ]0;+∞[]0;+\infty[ par k(x)=1−1x2k(x)=1-\dfrac1{x^2}. La fonction KK définie sur ]0;+∞[]0;+\infty[ par K(x)=x+1xK(x)=x+\dfrac1x vérifie K′(x)=1−1x2=k(x)K'(x)=1-\dfrac1{x^2}=k(x) : c’est une primitive de kk.

Attention

On parle toujours d’une primitive sur un intervalle. Sur une réunion d’intervalles disjoints, comme R∗=]−∞;0[∪]0;+∞[\mathbb{R}^*=]-\infty;0[\cup]0;+\infty[, on travaille séparément sur chaque intervalle.

II. Primitives d’une fonction continue

1. Existence

Théorème — existence (admis)

Toute fonction continue sur un intervalle II admet au moins une primitive sur II.

2. Ensemble des primitives

Propriété 1

On considère une fonction ff admettant une primitive FF sur un intervalle II. Alors les primitives de ff sur II sont exactement les fonctions x↦F(x)+c,c∈R.x\mapsto F(x)+c,\qquad c\in\mathbb{R} .

Remarque — idée de la preuve

Si GG est une autre primitive, (G−F)′=f−f=0(G-F)'=f-f=0 sur l’intervalle II, donc G−FG-F est constante sur II. Réciproquement, (F+c)′=F′=f(F+c)'=F'=f.

3. Primitive vérifiant une condition initiale

Propriété 2 — unicité

On considère une fonction ff admettant des primitives sur un intervalle II, un réel x0∈Ix_0\in I et un réel y0y_0. Il existe une unique primitive FF de ff sur II telle que F(x0)=y0F(x_0)=y_0.

Application 1

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=4x3−2x+5f(x)=4x^3-2x+5. Déterminer la primitive FF de ff sur R\mathbb{R} qui s’annule en 11.

Voir la solution

Les primitives de ff sur R\mathbb{R} sont les fonctions x↦x4−x2+5x+cx\mapsto x^4-x^2+5x+c, c∈Rc\in\mathbb{R}. La condition F(1)=0F(1)=0 s’écrit 1−1+5+c=01-1+5+c=0, d’où c=−5c=-5 : F(x)=x4−x2+5x−5F(x)=x^4-x^2+5x-5.

III. Primitives et opérations

Propriété 3 — linéarité

On considère deux fonctions ff et gg de primitives respectives FF et GG sur un intervalle II, et un réel kk.

  • F+GF+G est une primitive de f+gf+g sur II ;
  • kFkF est une primitive de kfkf sur II.

Attention

Il n’existe pas de formule générale pour une primitive d’un produit ou d’un quotient : x2×xx^2\times x n’admet pas x33×x22\frac{x^3}3\times\frac{x^2}2 pour primitive. On cherche à reconnaître une forme du tableau du paragraphe IV.

IV. Primitives des fonctions usuelles et formules

1. Fonctions usuelles

À retenir — primitives usuelles (c∈Rc\in\mathbb{R})

Fonction ffPrimitives FFIntervalle II
aa (constante)ax+cax+cR\mathbb{R}
xnx^n (n∈Nn\in\mathbb{N})xn+1n+1+c\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+cR\mathbb{R}
1xn\dfrac1{x^n} (n≥2n\ge2)−1(n−1)xn−1+c-\dfrac1{(n-1)x^{n-1}}+c]−∞;0[]-\infty;0[ ou ]0;+∞[]0;+\infty[
1x\dfrac1{\sqrt x}2x+c2\sqrt x+c]0;+∞[]0;+\infty[
xrx^r (r∈Q∖{−1}r\in\mathbb{Q}\setminus\{-1\})xr+1r+1+c\dfrac{x^{r+1}}{r+1}+c]0;+∞[]0;+\infty[
cos⁡x\cos xsin⁡x+c\sin x+cR\mathbb{R}
sin⁡x\sin x−cos⁡x+c-\cos x+cR\mathbb{R}
1+tan⁡2x=1cos⁡2x1+\tan^2x=\dfrac1{\cos^2x}tan⁡x+c\tan x+c]−π2+kπ;π2+kπ[\left]-\frac\pi2+k\pi;\frac\pi2+k\pi\right[

2. Formules de composition

Propriété 4 — formules

On considère une fonction uu dérivable sur un intervalle II (u′u' continue), et des réels a≠0a\neq0, bb.

FonctionUne primitiveCondition
u′ unu'\,u^n (n∈Nn\in\mathbb{N})un+1n+1\dfrac{u^{n+1}}{n+1}—
u′u2\dfrac{u'}{u^2}−1u-\dfrac1uu(x)≠0u(x)\neq0 sur II
u′un\dfrac{u'}{u^n} (n≥2n\ge2)−1(n−1)un−1-\dfrac1{(n-1)u^{n-1}}u(x)≠0u(x)\neq0 sur II
u′u\dfrac{u'}{\sqrt u}2u2\sqrt uu(x)>0u(x)>0 sur II
u′ uru'\,u^r (r∈Q∖{−1}r\in\mathbb{Q}\setminus\{-1\})ur+1r+1\dfrac{u^{r+1}}{r+1}u(x)>0u(x)>0 sur II
u′×(v′∘u)u'\times(v'\circ u)v∘uv\circ uvv dérivable sur u(I)u(I)
cos⁡(ax+b)\cos(ax+b)1asin⁡(ax+b)\dfrac1a\sin(ax+b)—
sin⁡(ax+b)\sin(ax+b)−1acos⁡(ax+b)-\dfrac1a\cos(ax+b)—

Exemple 2

Déterminer une primitive FF de ff sur l’intervalle indiqué :

  • f(x)=2x(x2+3)4f(x)=2x(x^2+3)^4 sur R\mathbb{R} ;
  • f(x)=xx2+1f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} sur R\mathbb{R} ;
  • f(x)=3(3x−1)2f(x)=\dfrac{3}{(3x-1)^2} sur ]13;+∞[\left]\frac13;+\infty\right[ ;
  • f(x)=x3f(x)=\sqrt[3]{x} sur ]0;+∞[]0;+\infty[ ;
  • f(x)=sin⁡(2x)cos⁡3(2x)f(x)=\sin(2x)\cos^3(2x) sur R\mathbb{R}.
Voir la solution
  • f(x)=2x(x2+3)4f(x)=2x(x^2+3)^4 sur R\mathbb{R} : avec u(x)=x2+3u(x)=x^2+3, f=u′u4f=u'u^4, donc F(x)=(x2+3)55F(x)=\dfrac{(x^2+3)^5}5.
  • f(x)=xx2+1f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} sur R\mathbb{R} : f=12×u′uf=\dfrac12\times\dfrac{u'}{\sqrt u} avec u(x)=x2+1>0u(x)=x^2+1>0, donc F(x)=x2+1F(x)=\sqrt{x^2+1}.
  • f(x)=3(3x−1)2f(x)=\dfrac{3}{(3x-1)^2} sur ]13;+∞[\left]\frac13;+\infty\right[ : f=u′u2f=\dfrac{u'}{u^2} avec u(x)=3x−1u(x)=3x-1, donc F(x)=−13x−1F(x)=-\dfrac1{3x-1}.
  • f(x)=x3=x13f(x)=\sqrt[3]{x}=x^{\frac13} sur ]0;+∞[]0;+\infty[ : F(x)=34x43=34xx3F(x)=\dfrac34x^{\frac43}=\dfrac34x\sqrt[3]x.
  • f(x)=sin⁡(2x)cos⁡3(2x)f(x)=\sin(2x)\cos^3(2x) sur R\mathbb{R} : avec u(x)=cos⁡(2x)u(x)=\cos(2x), u′(x)=−2sin⁡(2x)u'(x)=-2\sin(2x), donc f=−12u′u3f=-\dfrac12u'u^3 et F(x)=−18cos⁡4(2x)F(x)=-\dfrac18\cos^4(2x).

Méthode — ajuster une constante

Pour reconnaître u′unu'u^n, on écrit f=k×u′unf=k\times u'u^n en faisant apparaître le facteur kk nécessaire : par exemple x(x2−1)3=12×2x(x2−1)3x(x^2-1)^3=\frac12\times2x(x^2-1)^3.

3. Applications corrigées

Application 2 — décomposition d’une fonction rationnelle

On considère la fonction ff définie sur ]1;+∞[]1;+\infty[ par f(x)=2x2−4x+3(x−1)2f(x)=\dfrac{2x^2-4x+3}{(x-1)^2}.

  1. Déterminer deux réels aa et bb tels que, pour tout x>1x>1, f(x)=a+b(x−1)2f(x)=a+\dfrac{b}{(x-1)^2}.
  2. En déduire la primitive FF de ff sur ]1;+∞[]1;+\infty[ telle que F(2)=0F(2)=0.
Voir la solution

1. 2x2−4x+3=2(x−1)2+12x^2-4x+3=2(x-1)^2+1, donc f(x)=2+1(x−1)2f(x)=2+\dfrac1{(x-1)^2} : a=2a=2 et b=1b=1.

2. Les primitives de ff sur ]1;+∞[]1;+\infty[ sont x↦2x−1x−1+cx\mapsto2x-\dfrac1{x-1}+c. F(2)=4−1+c=0F(2)=4-1+c=0 donne c=−3c=-3 : F(x)=2x−1x−1−3F(x)=2x-\dfrac1{x-1}-3.

Application 3 — linéarisation

Déterminer une primitive sur R\mathbb{R} de la fonction ff définie par f(x)=cos⁡2xf(x)=\cos^2x.

Voir la solution

cos⁡2x=1+cos⁡(2x)2\cos^2x=\dfrac{1+\cos(2x)}2, donc une primitive est F(x)=x2+sin⁡(2x)4F(x)=\dfrac x2+\dfrac{\sin(2x)}4.

Application 4 — dérivée puis primitive

On considère les fonctions ff et gg définies sur ]0;+∞[]0;+\infty[ par f(x)=xxf(x)=x\sqrt x et g(x)=xg(x)=\sqrt x.

  1. Calculer f′(x)f'(x). 2. En déduire une primitive de gg sur ]0;+∞[]0;+\infty[.
Voir la solution

1. f(x)=x32f(x)=x^{\frac32}, donc f′(x)=32x12=32xf'(x)=\dfrac32x^{\frac12}=\dfrac32\sqrt x.

2. g=23f′g=\dfrac23f' : une primitive de gg est G(x)=23xxG(x)=\dfrac23x\sqrt x.

Résumé : primitives

À retenir

NotionÀ retenir
DéfinitionFF primitive de ff sur II   ⟺  \iff F′=fF'=f sur II
Existenceff continue sur II ⇒\Rightarrow ff admet des primitives sur II
Ensembletoutes les primitives : F+cF+c, c∈Rc\in\mathbb{R}
Condition initialeune unique primitive vérifie F(x0)=y0F(x_0)=y_0
Formules clésu′un→un+1n+1u'u^n\to\frac{u^{n+1}}{n+1} ; u′u2→−1u\frac{u'}{u^2}\to-\frac1u ; u′u→2u\frac{u'}{\sqrt u}\to2\sqrt u ; u′ur→ur+1r+1u'u^r\to\frac{u^{r+1}}{r+1}

Série d’exercices

Exercice 1 — Vérifier qu’une fonction est une primitive Facile ★☆☆☆☆

On considère les fonctions ff, FF et GG définies sur R∖{0}\mathbb{R}\setminus\{0\} par f(x)=−2x3,F(x)=1x2−4,G(x)=1x2−1.f(x)=-\frac2{x^3},\qquad F(x)=\frac1{x^2}-4,\qquad G(x)=\frac1{x^2}-1 .

  1. Vérifier que ff est continue sur chacun des intervalles ]−∞;0[]-\infty;0[ et ]0;+∞[]0;+\infty[.
  2. Montrer que FF est une primitive de ff sur ]−∞;0[]-\infty;0[, puis déterminer le réel aa de cet intervalle en lequel elle s’annule.
  3. Montrer que GG est une primitive de ff sur ]0;+∞[]0;+\infty[, puis déterminer le réel bb de cet intervalle en lequel elle s’annule.
Voir la solution

1. ff est une fonction rationnelle définie sur R∗\mathbb{R}^* : elle est continue sur ]−∞;0[]-\infty;0[ et sur ]0;+∞[]0;+\infty[.

2. FF est dérivable sur ]−∞;0[]-\infty;0[ et F′(x)=−2x3=f(x)F'(x)=-\dfrac{2}{x^3}=f(x) : FF est une primitive de ff sur cet intervalle. F(x)=0  ⟺  x2=14  ⟺  x=−12F(x)=0\iff x^2=\frac14\iff x=-\frac12 (car x<0x<0) : a=−12a=-\dfrac12.

3. De même G′(x)=−2x3=f(x)G'(x)=-\dfrac2{x^3}=f(x) sur ]0;+∞[]0;+\infty[. G(x)=0  ⟺  x2=1  ⟺  x=1G(x)=0\iff x^2=1\iff x=1 (car x>0x>0) : b=1b=1.

Exercice 2 — Primitive vérifiant une condition initiale Facile ★★☆☆☆

Dans chacun des cas suivants, déterminer la primitive FF de ff vérifiant F(x0)=y0F(x_0)=y_0, sur l’intervalle indiqué (qui contient x0x_0).

  1. f(x)=6x(x2+1)2f(x)=6x(x^2+1)^2 sur R\mathbb{R} ; x0=0x_0=0, y0=1y_0=1.
  2. f(x)=(2x−1)(x2−x+3)3f(x)=(2x-1)(x^2-x+3)^3 sur R\mathbb{R} ; x0=1x_0=1, y0=0y_0=0.
  3. f(x)=3(2x+1)2f(x)=\dfrac3{(2x+1)^2} sur ]−12;+∞[\left]-\frac12;+\infty\right[ ; x0=0x_0=0, y0=1y_0=1.
  4. f(x)=2x−1(x2−x+1)2f(x)=\dfrac{2x-1}{(x^2-x+1)^2} sur R\mathbb{R} ; x0=0x_0=0, y0=2y_0=2.
  5. f(x)=cos⁡(2x+π3)f(x)=\cos\left(2x+\dfrac\pi3\right) sur R\mathbb{R} ; x0=0x_0=0, y0=1y_0=1.
  6. f(x)=x(x2+1)2f(x)=\dfrac{x}{(x^2+1)^2} sur R\mathbb{R} ; x0=0x_0=0, y0=0y_0=0.
  7. f(x)=2x+13f(x)=\sqrt[3]{2x+1} sur ]−12;+∞[\left]-\frac12;+\infty\right[ ; x0=0x_0=0, y0=0y_0=0.
  8. f(x)=3x2−2xf(x)=\dfrac3{x^2}-2x sur ]0;+∞[]0;+\infty[ ; x0=1x_0=1, y0=0y_0=0.
Voir la solution
  1. f=3×u′u2f=3\times u'u^2 avec u(x)=x2+1u(x)=x^2+1 : F(x)=(x2+1)3+cF(x)=(x^2+1)^3+c ; F(0)=1+c=1F(0)=1+c=1 donne c=0c=0. F(x)=(x2+1)3F(x)=(x^2+1)^3.
  2. f=u′u3f=u'u^3 avec u(x)=x2−x+3u(x)=x^2-x+3 : F(x)=(x2−x+3)44+cF(x)=\dfrac{(x^2-x+3)^4}4+c ; F(1)=814+c=0F(1)=\frac{81}4+c=0. F(x)=(x2−x+3)44−814F(x)=\dfrac{(x^2-x+3)^4}4-\dfrac{81}4.
  3. f=32×u′u2f=\dfrac32\times\dfrac{u'}{u^2} avec u(x)=2x+1≠0u(x)=2x+1\neq0 sur l’intervalle : F(x)=−32(2x+1)+cF(x)=-\dfrac3{2(2x+1)}+c ; F(0)=−32+c=1F(0)=-\frac32+c=1. F(x)=−32(2x+1)+52F(x)=-\dfrac3{2(2x+1)}+\dfrac52.
  4. f=u′u2f=\dfrac{u'}{u^2} avec u(x)=x2−x+1=(x−12)2+34>0u(x)=x^2-x+1=\left(x-\frac12\right)^2+\frac34>0 : F(x)=−1x2−x+1+cF(x)=-\dfrac1{x^2-x+1}+c ; F(0)=−1+c=2F(0)=-1+c=2. F(x)=3−1x2−x+1F(x)=3-\dfrac1{x^2-x+1}.
  5. F(x)=12sin⁡(2x+π3)+cF(x)=\dfrac12\sin\left(2x+\dfrac\pi3\right)+c ; F(0)=12×32+c=1F(0)=\frac12\times\frac{\sqrt3}2+c=1. F(x)=12sin⁡(2x+π3)+1−34F(x)=\dfrac12\sin\left(2x+\dfrac\pi3\right)+1-\dfrac{\sqrt3}4.
  6. f=12×u′u2f=\dfrac12\times\dfrac{u'}{u^2} avec u(x)=x2+1u(x)=x^2+1 : F(x)=−12(x2+1)+cF(x)=-\dfrac1{2(x^2+1)}+c ; F(0)=−12+c=0F(0)=-\frac12+c=0. F(x)=12−12(x2+1)=x22(x2+1)F(x)=\dfrac12-\dfrac1{2(x^2+1)}=\dfrac{x^2}{2(x^2+1)}.
  7. Sur ]−12;+∞[\left]-\frac12;+\infty\right[, u(x)=2x+1>0u(x)=2x+1>0 et f=12u′u13f=\dfrac12u'u^{\frac13} : F(x)=12×(2x+1)4343+c=38(2x+1)2x+13+cF(x)=\dfrac12\times\dfrac{(2x+1)^{\frac43}}{\frac43}+c=\dfrac38(2x+1)\sqrt[3]{2x+1}+c ; F(0)=38+c=0F(0)=\frac38+c=0. F(x)=38(2x+1)2x+13−38F(x)=\dfrac38(2x+1)\sqrt[3]{2x+1}-\dfrac38.
  8. F(x)=−3x−x2+cF(x)=-\dfrac3x-x^2+c ; F(1)=−4+c=0F(1)=-4+c=0. F(x)=−3x−x2+4F(x)=-\dfrac3x-x^2+4.

Exercice 3 — Décomposition puis primitive Facile ★★☆☆☆

On considère la fonction ff définie sur ]2;+∞[]2;+\infty[ par f(x)=x3−5x2+8x−3(x−2)2f(x)=\dfrac{x^3-5x^2+8x-3}{(x-2)^2}.

  1. Déterminer les réels aa, bb et cc tels que, pour tout x∈]2;+∞[x\in]2;+\infty[, f(x)=ax+b+c(x−2)2f(x)=ax+b+\dfrac{c}{(x-2)^2}.
  2. En déduire une primitive de ff sur ]2;+∞[]2;+\infty[.
Voir la solution

1. (ax+b)(x−2)2+c=ax3+(b−4a)x2+(4a−4b)x+4b+c\left(ax+b\right)(x-2)^2+c=ax^3+(b-4a)x^2+(4a-4b)x+4b+c. Par identification avec x3−5x2+8x−3x^3-5x^2+8x-3 : a=1a=1, b−4=−5b-4=-5 donc b=−1b=-1, 4a−4b=84a-4b=8 (vérifié), 4b+c=−34b+c=-3 donc c=1c=1. Ainsi f(x)=x−1+1(x−2)2f(x)=x-1+\dfrac1{(x-2)^2}.

2. Une primitive de ff sur ]2;+∞[]2;+\infty[ est F(x)=x22−x−1x−2F(x)=\dfrac{x^2}2-x-\dfrac1{x-2}.

Exercice 4 — Recherche de toutes les primitives Moyen ★★★☆☆

Dans chacun des cas suivants, déterminer toutes les primitives de ff sur l’intervalle II indiqué.

  1. f(x)=2x+1f(x)=\sqrt{2x+1} et I=]−12;+∞[I=\left]-\frac12;+\infty\right[.
  2. f(x)=x2x3+1f(x)=x^2\sqrt{x^3+1} et I=]−1;+∞[I=]-1;+\infty[.
  3. f(x)=x−1x2−2x+5f(x)=\dfrac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+5}} et I=RI=\mathbb{R}.
  4. f(x)=3x(x2+2)5f(x)=3x(x^2+2)^5 et I=RI=\mathbb{R}.
  5. f(x)=1x21+1xf(x)=\dfrac1{x^2}\sqrt{1+\dfrac1x} et I=]0;+∞[I=]0;+\infty[.
  6. f(x)=x(x−1)10f(x)=x(x-1)^{10} et I=RI=\mathbb{R}. On pourra écrire x=(x−1)+1x=(x-1)+1.
  7. f(x)=x+3x+1f(x)=\dfrac{x+3}{\sqrt{x+1}} et I=]−1;+∞[I=]-1;+\infty[. On pourra déterminer deux réels aa et bb tels que f(x)=ax+1+bx+1f(x)=a\sqrt{x+1}+\dfrac{b}{\sqrt{x+1}}.
Voir la solution

Dans chaque cas, cc désigne une constante réelle quelconque.

  1. f=12u′u12f=\dfrac12u'u^{\frac12} avec u(x)=2x+1>0u(x)=2x+1>0 : F(x)=12×23(2x+1)32+c=13(2x+1)2x+1+cF(x)=\dfrac12\times\dfrac23(2x+1)^{\frac32}+c=\dfrac13(2x+1)\sqrt{2x+1}+c.
  2. f=13u′u12f=\dfrac13u'u^{\frac12} avec u(x)=x3+1>0u(x)=x^3+1>0 sur II : F(x)=29(x3+1)x3+1+cF(x)=\dfrac29(x^3+1)\sqrt{x^3+1}+c.
  3. f=12×u′uf=\dfrac12\times\dfrac{u'}{\sqrt u} avec u(x)=x2−2x+5=(x−1)2+4>0u(x)=x^2-2x+5=(x-1)^2+4>0 : F(x)=x2−2x+5+cF(x)=\sqrt{x^2-2x+5}+c.
  4. f=32u′u5f=\dfrac32u'u^5 avec u(x)=x2+2u(x)=x^2+2 : F(x)=32×(x2+2)66+c=(x2+2)64+cF(x)=\dfrac32\times\dfrac{(x^2+2)^6}6+c=\dfrac{(x^2+2)^6}4+c.
  5. Avec u(x)=1+1x>0u(x)=1+\dfrac1x>0 sur II et u′(x)=−1x2u'(x)=-\dfrac1{x^2} : f=−u′u12f=-u'u^{\frac12}, donc F(x)=−23(1+1x)1+1x+cF(x)=-\dfrac23\left(1+\dfrac1x\right)\sqrt{1+\dfrac1x}+c.
  6. f(x)=(x−1)11+(x−1)10f(x)=(x-1)^{11}+(x-1)^{10} : F(x)=(x−1)1212+(x−1)1111+cF(x)=\dfrac{(x-1)^{12}}{12}+\dfrac{(x-1)^{11}}{11}+c.
  7. x+3x+1=(x+1)+2x+1=x+1+2x+1\dfrac{x+3}{\sqrt{x+1}}=\dfrac{(x+1)+2}{\sqrt{x+1}}=\sqrt{x+1}+\dfrac2{\sqrt{x+1}} : a=1a=1, b=2b=2. Donc F(x)=23(x+1)x+1+4x+1+cF(x)=\dfrac23(x+1)\sqrt{x+1}+4\sqrt{x+1}+c.

Exercice 5 — Fonction rationnelle et condition initiale Facile ★★☆☆☆

On considère la fonction ff définie sur Df=R∖{−2}D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2\} par f(x)=x2+4x+3(x+2)2f(x)=\dfrac{x^2+4x+3}{(x+2)^2}.

  1. Déterminer les réels aa et bb tels que, pour tout x∈Dfx\in D_f, f(x)=a+b(x+2)2f(x)=a+\dfrac{b}{(x+2)^2}.
  2. En déduire la primitive FF de ff sur ]−2;+∞[]-2;+\infty[ telle que F(0)=32F(0)=\dfrac32.
Voir la solution

1. x2+4x+3=(x+2)2−1x^2+4x+3=(x+2)^2-1, donc f(x)=1−1(x+2)2f(x)=1-\dfrac1{(x+2)^2} : a=1a=1 et b=−1b=-1.

2. Les primitives de ff sur ]−2;+∞[]-2;+\infty[ sont x↦x+1x+2+cx\mapsto x+\dfrac1{x+2}+c. F(0)=12+c=32F(0)=\frac12+c=\frac32 donne c=1c=1 : F(x)=x+1x+2+1F(x)=x+\dfrac1{x+2}+1.

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