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Chapitre 2 — Dérivation

Semestre 1

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Cours

Plan du chapitre. I. Dérivabilité en un point (rappels) — II. Dérivabilité et continuité — III. Dérivabilité sur un intervalle, fonction dérivée — IV. Applications de la dérivée — V. Dérivée d’une fonction composée — VI. Dérivée de la fonction réciproque — Résumé.

I. Dérivabilité en un point (rappels)

1. Nombre dérivé et tangente

Définition 1 — dérivabilité en un point

On considère une fonction $f$ définie sur un intervalle ouvert $I$ et un réel $a\in I$ . On dit que $f$ est dérivable en $a$ lorsque le taux d’accroissement $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ admet une limite finie $\ell$ quand $x$ tend vers $a$ . Ce réel est le nombre dérivé de $f$ en $a$ , noté $f'(a)$ : $f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$

Propriété 1 — interprétation géométrique

Si $f$ est dérivable en $a$ , la courbe $(C_f)$ admet au point $A(a;f(a))$ une tangente de coefficient directeur $f'(a)$ , d’équation $(T):\ y=f'(a)(x-a)+f(a).$

Exemple 1

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3$ . Montrer que $f$ est dérivable en $2$ , calculer $f'(2)$ et déterminer une équation de la tangente à $(C_f)$ au point d’abscisse $2$ .

Voir la solution

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3$ , et $a=2$ . Pour $x\neq2$ : $\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{x^3-8}{x-2}=x^2+2x+4\xrightarrow[x\to2]{}12 .$ Donc $f$ est dérivable en $2$ , $f'(2)=12$ , et la tangente à $(C_f)$ au point d’abscisse $2$ a pour équation $y=12(x-2)+8$ , soit $y=12x-16$ .

2. Dérivabilité à droite, à gauche

Définition 2 — dérivabilité à droite, à gauche

$f$ est dérivable à droite en $a$ si $\lim\limits_{x\to a^+}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\ell_d$ (réel) ; on note $f'_d(a)=\ell_d$ .
$f$ est dérivable à gauche en $a$ si $\lim\limits_{x\to a^-}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=\ell_g$ (réel) ; on note $f'_g(a)=\ell_g$ .

Propriété 2

$f$ est dérivable en $a$ si, et seulement si, elle est dérivable à droite et à gauche en $a$ avec $f'_d(a)=f'_g(a)$ ; on a alors $f'(a)=f'_d(a)=f'_g(a)$ .

3. Les différentes situations graphiques

Limite du taux d’accroissement	Conclusion	Interprétation graphique
$\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\ell$ (réel)	$f$ dérivable en $a$ , $f'(a)=\ell$	tangente $y=\ell(x-a)+f(a)$
$\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\ell_d$ (réel)	$f$ dérivable à droite, $f'_d(a)=\ell_d$	demi-tangente $y=\ell_d(x-a)+f(a)$ , $x\ge a$
$\lim\limits_{x\to a^-}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\ell_g$ (réel)	$f$ dérivable à gauche, $f'_g(a)=\ell_g$	demi-tangente $y=\ell_g(x-a)+f(a)$ , $x\le a$
$\ell_d\neq\ell_g$ (réels)	$f$ non dérivable en $a$	point anguleux : deux demi-tangentes
limite $\pm\infty$ (à droite ou à gauche)	$f$ non dérivable (à droite ou à gauche)	demi-tangente verticale au point $A(a;f(a))$

Application 1

Étudier la dérivabilité de la fonction $f$ en $a$ , puis interpréter graphiquement le résultat.

$f(x)=|x^2-1|$ et $a=1$ .
$f(x)=\sqrt{x-2}$ (définie sur $[2;+\infty[$ ) et $a=2$ .

Voir la solution

Pour $x>1$ : $f(x)=x^2-1$ et $\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=x+1\to2$ . Pour $-1<x<1$ : $f(x)=1-x^2$ et $\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=-(x+1)\to-2$ . Donc $f'_d(1)=2\neq f'_g(1)=-2$ : $f$ n’est pas dérivable en $1$ ; le point $A(1;0)$ est un point anguleux de $(C_f)$ , avec deux demi-tangentes de coefficients directeurs $2$ et $-2$ .
Pour $x>2$ : $\dfrac{\sqrt{x-2}-0}{x-2}=\dfrac1{\sqrt{x-2}}\xrightarrow[x\to2^+]{}+\infty$ . $f$ n’est pas dérivable à droite en $2$ : $(C_f)$ admet au point $A(2;0)$ une demi-tangente verticale (dirigée vers le haut).

4. Approximation affine

Propriété 3 — approximation affine

Si $f$ est dérivable en $a$ , alors pour $h$ voisin de $0$ : $f(a+h)\approx f(a)+hf'(a).$ La fonction $x\mapsto f(a)+f'(a)(x-a)$ est l’approximation affine de $f$ au voisinage de $a$ ; graphiquement, la tangente « colle » à la courbe près du point de contact.

Exemple 2

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt x$ , et $a=4$ . Calculer $f'(4)$ et en déduire une valeur approchée de $\sqrt{4{,}02}$ .

Voir la solution

Avec $f(x)=\sqrt x$ et $a=4$ : $f'(4)=\frac1{2\sqrt4}=\frac14$ , donc $\sqrt{4{,}02}\approx2+0{,}02\times\frac14=2{,}005$ (la calculatrice donne $2{,}00499\ldots$ ).

II. Dérivabilité et continuité

Propriété 4

Si $f$ est dérivable en $a$ , alors $f$ est continue en $a$ .

Remarque 1

Démonstration. Pour $x\neq a$ : $f(x)=f(a)+(x-a)\times\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ , qui tend vers $f(a)+0\times f'(a)=f(a)$ .
La réciproque est fausse : $x\mapsto|x|$ est continue en $0$ mais non dérivable en $0$ ( $f'_d(0)=1$ , $f'_g(0)=-1$ ).
Par contraposée : une fonction discontinue en $a$ n’est pas dérivable en $a$ .

III. Dérivabilité sur un intervalle, fonction dérivée

1. Définitions

Définition 3

$f$ est dérivable sur un intervalle ouvert $I$ si elle est dérivable en tout point de $I$ .
$f$ est dérivable sur $[a;b]$ si elle est dérivable sur $]a;b[$ , dérivable à droite en $a$ et à gauche en $b$ .
Si $f$ est dérivable sur $I$ , la fonction $f':x\mapsto f'(x)$ est la fonction dérivée de $f$ sur $I$ .

2. Dérivées des fonctions usuelles

Fonction $f$	Fonction dérivée $f'$	Intervalle de dérivabilité
$x\mapsto k$ ( $k$ réel)	$x\mapsto0$	$\mathbb{R}$
$x\mapsto ax+b$	$x\mapsto a$	$\mathbb{R}$
$x\mapsto x^n$ ( $n\in\mathbb{N}^*$ )	$x\mapsto nx^{n-1}$	$\mathbb{R}$
$x\mapsto\dfrac1x$	$x\mapsto-\dfrac1{x^2}$	$]-\infty;0[$ ou $]0;+\infty[$
$x\mapsto\dfrac1{x^n}$ ( $n\in\mathbb{N}^*$ )	$x\mapsto-\dfrac n{x^{n+1}}$	$]-\infty;0[$ ou $]0;+\infty[$
$x\mapsto\sqrt x$	$x\mapsto\dfrac1{2\sqrt x}$	$]0;+\infty[$
$x\mapsto\sin x$	$x\mapsto\cos x$	$\mathbb{R}$
$x\mapsto\cos x$	$x\mapsto-\sin x$	$\mathbb{R}$
$x\mapsto\tan x$	$x\mapsto1+\tan^2x=\dfrac1{\cos^2x}$	$\left]-\frac\pi2+k\pi;\frac\pi2+k\pi\right[$
$x\mapsto\sin(ax+b)$	$x\mapsto a\cos(ax+b)$	$\mathbb{R}$
$x\mapsto\cos(ax+b)$	$x\mapsto-a\sin(ax+b)$	$\mathbb{R}$

3. Opérations sur les fonctions dérivables

Propriété 5 — opérations

On considère deux fonctions $u$ et $v$ dérivables sur un intervalle $I$ et un réel $k$ .

Fonction	Dérivée	Condition
$u+v$	$u'+v'$
$ku$	$ku'$
$uv$	$u'v+uv'$
$u^n$ ( $n\in\mathbb{N}^*$ )	$nu'u^{n-1}$
$\dfrac1v$	$-\dfrac{v'}{v^2}$	$v$ ne s’annule pas sur $I$
$\dfrac uv$	$\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$	$v$ ne s’annule pas sur $I$
$\sqrt u$	$\dfrac{u'}{2\sqrt u}$	$u>0$ sur $I$

Exemple 3

Calculer $f'(x)$ pour la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(2x^2-1)^3$ , et $g'(x)$ pour la fonction $g$ définie sur $]-1;+\infty[$ par $g(x)=\dfrac{x^2}{x+1}$ .

Voir la solution

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(2x^2-1)^3$ : $f'(x)=3\times4x\times(2x^2-1)^2=12x(2x^2-1)^2$ .

On considère la fonction $g$ définie sur $]-1;+\infty[$ par $g(x)=\dfrac{x^2}{x+1}$ : $g'(x)=\dfrac{2x(x+1)-x^2}{(x+1)^2}=\dfrac{x(x+2)}{(x+1)^2}$ .

Remarque 2 — conséquences

Les fonctions polynômes sont dérivables sur $\mathbb{R}$ ; les fonctions rationnelles sont dérivables sur chaque intervalle inclus dans leur ensemble de définition.

4. Dérivées successives

Définition 4

Si $f'$ est elle-même dérivable sur $I$ , sa dérivée est la dérivée seconde de $f$ , notée $f''$ . On définit de même $f'''=f^{(3)}$ et, pour $n\ge1$ , la dérivée $n$ -ième $f^{(n)}$ . En physique, on note aussi $f'(x)=\dfrac{df}{dx}(x)$ et $f''(x)=\dfrac{d^2f}{dx^2}(x)$ .

Exemple 4

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sin(2x)$ . Calculer $f'(x)$ et $f''(x)$ , puis montrer que $f''(x)+4f(x)=0$ pour tout réel $x$ .

Voir la solution

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sin(2x)$ : $f'(x)=2\cos(2x)$ , $f''(x)=-4\sin(2x)$ , donc $f''(x)+4f(x)=0$ pour tout réel $x$ .

IV. Applications de la dérivée

1. Sens de variation

Propriété 6 — signe de la dérivée et monotonie

On considère une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$ .

Si $f'=0$ sur $I$ , alors $f$ est constante sur $I$ .
Si $f'\ge0$ sur $I$ (resp. $f'\le0$ ), alors $f$ est croissante (resp. décroissante) sur $I$ .
Si $f'>0$ sur $I$ sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s’annule, alors $f$ est strictement croissante sur $I$ (de même pour la stricte décroissance avec $f'<0$ ).

2. Extremums

Propriété 7 — extremum

On considère une fonction $f$ dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $a\in I$ .

Si $f$ admet un extremum local en $a$ , alors $f'(a)=0$ .
Si $f'$ s’annule en $a$ en changeant de signe, alors $f(a)$ est un extremum local de $f$ .

Remarque 3

La condition $f'(a)=0$ ne suffit pas : pour $f(x)=x^3$ , $f'(0)=0$ mais $f'(x)=3x^2\ge0$ ne change pas de signe, et $f$ est strictement croissante : $f(0)$ n’est pas un extremum. Graphiquement, la tangente en $O$ est horizontale et la courbe la traverse.

3. Inégalités

Méthode — démontrer une inégalité

Pour démontrer que $u(x)\le v(x)$ sur $I$ , on étudie les variations de la fonction $h=v-u$ et on montre que son minimum sur $I$ est positif.

Application 2

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-2x+5$ . Dresser le tableau de variations de $f$ , puis en déduire que $f(x)\ge4$ pour tout réel $x$ .
On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty[$ par $g(x)=x+\dfrac1x$ . Montrer que $g(x)\ge2$ pour tout $x>0$ .

Voir la solution

$f'(x)=2x-2=2(x-1)$ : $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;1]$ et strictement croissante sur $[1;+\infty[$ . Son minimum sur $\mathbb{R}$ est $f(1)=4$ , donc $f(x)\ge4$ pour tout réel $x$ .
$g'(x)=1-\dfrac1{x^2}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x^2}$ , du signe de $x-1$ sur $]0;+\infty[$ : $g$ est strictement décroissante sur $]0;1]$ et strictement croissante sur $[1;+\infty[$ . Son minimum est $g(1)=2$ : $(\forall x>0)\ x+\dfrac1x\ge2$ .

4. Résolution graphique d’équations et d’inéquations

Propriété 8

On considère deux fonctions $f$ et $g$ définies sur un intervalle $I$ , de courbes $(C_f)$ et $(C_g)$ .

Les solutions de l’équation $f(x)=g(x)$ sont les abscisses des points d’intersection de $(C_f)$ et $(C_g)$ .
Les solutions de l’inéquation $f(x)\le g(x)$ sont les abscisses des points de $(C_f)$ situés au-dessous de $(C_g)$ .

V. Dérivée d’une fonction composée

Propriété 9 — dérivée d’une composée

On considère une fonction $u$ définie sur un intervalle ouvert $I$ et une fonction $v$ définie sur un intervalle ouvert $J$ tel que $u(I)\subset J$ .

Si $u$ est dérivable en $a\in I$ et $v$ dérivable en $u(a)$ , alors $v\circ u$ est dérivable en $a$ et $(v\circ u)'(a)=v'\big(u(a)\big)\times u'(a)$ .
Si $u$ est dérivable sur $I$ et $v$ dérivable sur $J$ , alors $v\circ u$ est dérivable sur $I$ et $(v\circ u)'=(v'\circ u)\times u' .$

Exemple 5

Calculer $f'(x)$ pour la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sin\left(2x-\frac\pi5\right)$ , et $g'(x)$ pour la fonction $g$ définie sur $]1;+\infty[$ par $g(x)=\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}$ .

Voir la solution

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sin\left(2x-\frac\pi5\right)$ : avec $u(x)=2x-\frac\pi5$ et $v=\sin$ , $f'(x)=2\cos\left(2x-\frac\pi5\right)$ .

On considère la fonction $g$ définie sur $]1;+\infty[$ par $g(x)=\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}$ : avec $u(x)=\dfrac{x+1}{x-1}>0$ et $u'(x)=\dfrac{-2}{(x-1)^2}$ , $g'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}=\frac{-1}{(x-1)^2}\sqrt{\frac{x-1}{x+1}} .$

Application 3

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\cos^3(2x)$ . Calculer $f'(x)$ .

Voir la solution

$f=u^3$ avec $u(x)=\cos(2x)$ et $u'(x)=-2\sin(2x)$ , donc $f'(x)=3u'(x)u(x)^2=-6\sin(2x)\cos^2(2x)$ .

VI. Dérivée de la fonction réciproque

1. Dérivabilité en un point

Propriété 10 — dérivée de la réciproque en un point

On considère une fonction $f$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ , et $a\in I$ . Si $f$ est dérivable en $a$ et si $f'(a)\neq0$ , alors $f^{-1}$ est dérivable en $b=f(a)$ et $\left(f^{-1}\right)'(b)=\frac1{f'(a)}=\frac1{f'\big(f^{-1}(b)\big)} .$

Remarque 4

Si $f'(a)=0$ , la courbe $(C_f)$ a une tangente horizontale en $A(a;b)$ ; par symétrie, $(C_{f^{-1}})$ a une tangente verticale au point $B(b;a)$ et $f^{-1}$ n’est pas dérivable en $b$ .
La tangente à $(C_{f^{-1}})$ au point $B(b;a)$ a pour équation $y=\left(f^{-1}\right)'(b)(x-b)+a$ .

Application 4

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=x^3+x+1$ .

Montrer que $f$ admet une fonction réciproque définie sur un intervalle $J$ à déterminer.
Calculer $f(1)$ , puis montrer que $f^{-1}$ est dérivable en $3$ et calculer $\left(f^{-1}\right)'(3)$ .
Donner une équation de la tangente à $(C_{f^{-1}})$ au point d’abscisse $3$ .

Voir la solution

$f$ est continue et $f'(x)=3x^2+1>0$ : $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$ , donc admet une réciproque sur $J=[f(0);+\infty[=[1;+\infty[$ .
$f(1)=3$ , $f$ est dérivable en $1$ et $f'(1)=4\neq0$ : $f^{-1}$ est dérivable en $3$ et $\left(f^{-1}\right)'(3)=\dfrac1{f'(1)}=\dfrac14$ .
$y=\frac14(x-3)+f^{-1}(3)=\frac14(x-3)+1$ , soit $y=\frac14x+\frac14$ .

2. Dérivabilité sur un intervalle

Propriété 11

On considère une fonction $f$ dérivable et strictement monotone sur un intervalle $I$ . Si $f'$ ne s’annule pas sur $I$ , alors $f^{-1}$ est dérivable sur $J=f(I)$ et $(\forall x\in J)\quad\left(f^{-1}\right)'(x)=\frac1{f'\big(f^{-1}(x)\big)} .$

3. Dérivée de la racine $n$ -ième et des puissances rationnelles

Propriété 12

On considère un entier $n\ge2$ et un rationnel $r$ non nul.

La fonction $x\mapsto\sqrt[n]x$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $\left(\sqrt[n]x\right)'=\dfrac1{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$ .
Si $u$ est dérivable et strictement positive sur $I$ , alors $\left(\sqrt[n]{u}\right)'=\dfrac{u'}{n\sqrt[n]{u^{n-1}}}$ .
La fonction $x\mapsto x^r$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $(x^r)'=rx^{r-1}$ ; plus généralement $(u^r)'=ru'u^{r-1}$ si $u>0$ .

Remarque 5

Justification. $x\mapsto x^n$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ de dérivée $nx^{n-1}>0$ . Sa réciproque est donc dérivable sur $]0;+\infty[$ et $\left(\sqrt[n]x\right)'=\dfrac1{n\left(\sqrt[n]x\right)^{n-1}}$ . La racine $n$ -ième n’est pas dérivable en $0$ : sa courbe admet en $O$ une demi-tangente verticale.

Application 5

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes sur l’intervalle indiqué.

$f(x)=\sqrt[3]{x^2+1}$ , sur $\mathbb{R}$ .
$g(x)=x^{\frac34}$ , sur $]0;+\infty[$ .
$h(x)=\sqrt[4]{2x-1}$ , sur $\left]\frac12;+\infty\right[$ .

Voir la solution

$u(x)=x^2+1>0$ : $f'(x)=\dfrac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2+1)^2}}$ .
$g'(x)=\dfrac34x^{-\frac14}=\dfrac3{4\sqrt[4]x}$ .
$u(x)=2x-1>0$ : $h'(x)=\dfrac2{4\sqrt[4]{(2x-1)^3}}=\dfrac1{2\sqrt[4]{(2x-1)^3}}$ .

Résumé : dérivation

À retenir — dérivation

$f'(a)=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ (finie) ; tangente $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ . Limite infinie : demi-tangente verticale ; $f'_d(a)\neq f'_g(a)$ : point anguleux.
Dérivable $\Rightarrow$ continue (réciproque fausse).
$(uv)'=u'v+uv'$ ; $\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ ; $(u^n)'=nu'u^{n-1}$ ; $(\sqrt u)'=\frac{u'}{2\sqrt u}$ ; $(v\circ u)'=(v'\circ u)\,u'$ .
Signe de $f'$ $\Rightarrow$ variations ; $f'$ s’annule en changeant de signe $\Rightarrow$ extremum.
$\left(f^{-1}\right)'(b)=\dfrac1{f'(a)}$ avec $b=f(a)$ , $f'(a)\neq0$ ; $\left(\sqrt[n]u\right)'=\dfrac{u'}{n\sqrt[n]{u^{n-1}}}$ ; $(x^r)'=rx^{r-1}$ .

Série d’exercices

Exercice 1 — Continuité, dérivabilité et réciproque Facile ★★☆☆☆

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=1-x-x^3\ \text{ si } x<1\qquad\text{et}\qquad f(x)=\sqrt{x^2-1}-1\ \text{ si } x\ge1 .$

Étudier la continuité de $f$ en $1$ .
Étudier la dérivabilité de $f$ à droite et à gauche en $1$ , puis interpréter graphiquement les résultats.
Calculer $f'(x)$ pour tout $x\in]-\infty;1[$ .
Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
Montrer que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]-\infty;1[$ , et que $0<\alpha<1$ .
On considère la restriction $g$ de $f$ à l’intervalle $]-\infty;1[$ . Montrer que $g$ admet une fonction réciproque définie sur un intervalle $J$ à préciser.

Voir la solution

1. $f(1)=\sqrt{1-1}-1=-1$ et $\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=1-1-1=-1$ ; à droite, $x\mapsto\sqrt{x^2-1}-1$ est continue sur $[1;+\infty[$ . Donc $\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=f(1)$ : $f$ est continue en $1$ .

2. À gauche ( $x<1$ ) : $\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{2-x-x^3}{x-1}=\dfrac{-(x-1)(x^2+x+2)}{x-1}=-(x^2+x+2)\xrightarrow[x\to1^-]{}-4$ . Donc $f$ est dérivable à gauche en $1$ et $f'_g(1)=-4$ : $(C_f)$ admet au point $A(1;-1)$ une demi-tangente à gauche d’équation $y=-4(x-1)-1=-4x+3$ ( $x\le1$ ).

À droite ( $x>1$ ) : $\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x-1}=\sqrt{\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2}}=\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}\xrightarrow[x\to1^+]{}+\infty$ . $f$ n’est pas dérivable à droite en $1$ : $(C_f)$ admet en $A$ une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.

3. Pour $x<1$ : $f'(x)=-1-3x^2$ .

4. Sur $]-\infty;1[$ , $f'(x)=-1-3x^2<0$ . Sur $]1;+\infty[$ , $f'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}>0$ . Limites : $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}(-x^3)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ .

5. $f$ est continue et strictement décroissante sur $]-\infty;1]$ , donc sur $[0;1]$ , avec $f(0)=1>0$ et $f(1)=-1<0$ : l’équation $f(x)=0$ a une unique solution $\alpha$ dans $]0;1[$ . Sur $]-\infty;0]$ , $f(x)\ge f(0)=1>0$ : pas d’autre solution. Donc l’équation admet une unique solution $\alpha$ dans $]-\infty;1[$ , et $0<\alpha<1$ .

6. $g$ est continue et strictement décroissante sur $]-\infty;1[$ : elle admet une fonction réciproque définie sur $J=g(]-\infty;1[)=\left]\lim\limits_{x\to1^-}g(x);\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)\right[=$ $]-1;+\infty[$ .

Exercice 2 — Fonction avec racine carrée Facile ★★☆☆☆

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=x-6\sqrt x+5$ .

Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ .
Montrer que l’équation $f(x)=x^2$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0;1[$ .
On considère la restriction $g$ de $f$ à l’intervalle $I=]9;+\infty[$ . a. Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ et préciser son ensemble de définition $J$ . b. Déterminer $g^{-1}(x)$ pour tout $x\in J$ .

Voir la solution

1. Pour $x>0$ : $f(x)=\sqrt x\left(\sqrt x-6\right)+5$ , et $\sqrt x\to+\infty$ , $\sqrt x-6\to+\infty$ : $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ .

2. On considère la fonction $\varphi$ définie sur $[0;1]$ par $\varphi(x)=x^2-f(x)=x^2-x+6\sqrt x-5$ . Elle est continue, $\varphi(0)=-5<0$ et $\varphi(1)=1>0$ . Pour $x\in]0;1[$ : $\varphi'(x)=2x-1+\dfrac3{\sqrt x}$ ; or $\dfrac3{\sqrt x}>3$ et $2x-1>-1$ , donc $\varphi'(x)>2>0$ : $\varphi$ est strictement croissante sur $[0;1]$ . L’équation $\varphi(x)=0$ , équivalente à $f(x)=x^2$ , admet une unique solution $\alpha$ dans $]0;1[$ .

3. a. Pour $x>0$ : $f'(x)=1-\dfrac3{\sqrt x}=\dfrac{\sqrt x-3}{\sqrt x}$ , strictement positif pour $x>9$ . $g$ est continue et strictement croissante sur $I$ , donc admet une réciproque définie sur $J=g(I)=\left]\lim\limits_{x\to9^+}g(x);\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)\right[$ . Comme $f(9)=9-18+5=-4$ : $J=]-4;+\infty[$ .

3. b. On remarque que $f(y)=\left(\sqrt y-3\right)^2-4$ . Pour $x\in J$ et $y\in I$ : $g(y)=x\iff\left(\sqrt y-3\right)^2=x+4\iff\sqrt y-3=\sqrt{x+4}$ (car $\sqrt y-3>0$ et $x+4>0$ ). Donc $g^{-1}(x)=\left(3+\sqrt{x+4}\right)^2$ .

Exercice 3 — Étude et réciproque Moyen ★★★☆☆

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=4\sqrt{x-1}-x$ .

Déterminer l’ensemble de définition $D_f$ de $f$ .
Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ .
Étudier la continuité de $f$ sur $D_f$ .
Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $1$ , puis interpréter géométriquement le résultat.
Montrer que, pour tout $x\in]1;+\infty[$ , $f'(x)=\dfrac{5-x}{\sqrt{x-1}\left(\sqrt{x-1}+2\right)}$ , puis en déduire les variations de $f$ .
On considère la restriction $g$ de $f$ à l’intervalle $I=[5;+\infty[$ . a. Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à déterminer. b. Déterminer le sens de variation de $g^{-1}$ sur $J$ . c. Résoudre dans $J$ l’équation $g^{-1}(x)=10$ . d. Exprimer $g^{-1}(x)$ en fonction de $x$ , pour tout $x\in J$ .

Voir la solution

1. $f(x)$ existe si, et seulement si, $x-1\ge0$ : $D_f=[1;+\infty[$ .

2. Pour $x>1$ : $f(x)=x\left(\dfrac{4\sqrt{x-1}}x-1\right)$ et $\dfrac{\sqrt{x-1}}x=\sqrt{\dfrac{x-1}{x^2}}\to0$ , donc $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$ .

3. $x\mapsto\sqrt{x-1}$ est continue sur $[1;+\infty[$ et $x\mapsto x$ sur $\mathbb{R}$ : $f$ est continue sur $D_f$ .

4. $f(1)=-1$ . Pour $x>1$ : $\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{4\sqrt{x-1}-(x-1)}{x-1}=\dfrac4{\sqrt{x-1}}-1\xrightarrow[x\to1^+]{}+\infty$ . $f$ n’est pas dérivable à droite en $1$ : $(C_f)$ admet au point $A(1;-1)$ une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.

5. Pour $x>1$ : $f'(x)=\dfrac4{2\sqrt{x-1}}-1=\dfrac{2-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}}=\dfrac{(2-\sqrt{x-1})(2+\sqrt{x-1})}{\sqrt{x-1}(2+\sqrt{x-1})}=\dfrac{5-x}{\sqrt{x-1}\left(\sqrt{x-1}+2\right)}$ .

Le dénominateur est strictement positif : $f'(x)$ a le signe de $5-x$ . Donc $f$ est strictement croissante sur $[1;5]$ et strictement décroissante sur $[5;+\infty[$ , avec $f(5)=8-5=3$ .

6. a. $g$ est continue et strictement décroissante sur $I=[5;+\infty[$ : elle admet une réciproque définie sur $J=\left]\lim\limits_{x\to+\infty}g(x);g(5)\right]=$ $]-\infty;3]$ .

6. b. $g^{-1}$ a le même sens de variation que $g$ : $g^{-1}$ est strictement décroissante sur $J$ .

6. c. Pour $x\in J$ : $g^{-1}(x)=10\iff x=g(10)$ (car $10\in I$ ). Or $g(10)=4\times3-10=2\in J$ . $S=\{2\}$ .

6. d. Soit $x\in J$ et $y\in I$ ; on pose $t=\sqrt{y-1}$ , donc $t\ge2$ et $y=t^2+1$ . Alors $g(y)=x\iff4t-t^2-1=x\iff(t-2)^2=3-x\iff t-2=\sqrt{3-x}$ (car $t-2\ge0$ et $3-x\ge0$ ). Ainsi $g^{-1}(x)=1+\left(2+\sqrt{3-x}\right)^2$ (contrôle : $g^{-1}(3)=5$ ).

Exercice 4 — Lecture graphique Facile ★★☆☆☆

La courbe $(C_f)$ ci-dessous représente, dans un repère orthonormé $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$ , une fonction $f$ définie et continue sur $[-3;3]$ . Les droites tracées en gris sont des tangentes ou des demi-tangentes à $(C_f)$ .

Déterminer $f(-2)$ , $f'(-2)$ et $f'(-1)$ .
Déterminer graphiquement le nombre dérivé à droite $f'_d(1)$ et le nombre dérivé à gauche $f'_g(1)$ .
En déduire que $f$ n’est pas dérivable en $1$ .
Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-3;3]$ ; on donne $f(3)=5$ .
En déduire le tableau de signe de $f'(x)$ sur $[-3;3]$ .

Voir la solution

1. Lecture : $f(-2)=2$ . La tangente en $(-2;2)$ passe par $(-3;0)$ : $f'(-2)=\dfrac{2-0}{-2-(-3)}=2$ . La tangente au point d’abscisse $-1$ est horizontale : $f'(-1)=0$ .

2. La demi-tangente à droite au point $(1;-1)$ passe par $(2;0)$ : $f'_d(1)=\dfrac{0-(-1)}{2-1}=1$ . La demi-tangente à gauche passe par $(0;3)$ : $f'_g(1)=\dfrac{3-(-1)}{0-1}=-4$ .

3. $f'_d(1)=1\neq f'_g(1)=-4$ : $f$ n’est pas dérivable en $1$ (le point $(1;-1)$ est un point anguleux).

4. On lit $f(-3)=-1$ , $f(-1)=3$ , $f(1)=-1$ et l’on donne $f(3)=5$ .

5. $f'(x)>0$ là où $f$ est strictement croissante, $f'(x)<0$ là où elle est strictement décroissante, $f'(-1)=0$ et $f'(1)$ n’existe pas.

Exercice 5 — Lecture graphique — demi-tangentes Facile ★★☆☆☆

La courbe ci-dessous représente une fonction $f$ définie et continue sur $]-\infty;4]$ , dans un repère orthonormé. Au point $A(1;0)$ , la courbe admet une demi-tangente verticale (à gauche) et une demi-tangente passant par le point $B(4;4)$ (à droite) ; au point d’abscisse $\frac52$ , la tangente est horizontale.

Déterminer $f'\left(\frac52\right)$ . Justifier la réponse.
Déterminer $f'_d(1)$ . Justifier la réponse.
La fonction $f$ est-elle dérivable à gauche en $1$ ? Justifier la réponse.
Calculer $\lim\limits_{x\to1^-}\dfrac{f(x)}{x-1}$ .
Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]-\infty;4]$ .

Voir la solution

1. La tangente au point d’abscisse $\frac52$ est horizontale : $f'\left(\frac52\right)=0$ .

2. La demi-tangente à droite en $A(1;0)$ passe par $B(4;4)$ : $f'_d(1)=\dfrac{4-0}{4-1}=\dfrac43$ .

3. La demi-tangente à gauche en $A$ est verticale : le taux d’accroissement tend vers l’infini quand $x\to1^-$ , donc $f$ n’est pas dérivable à gauche en $1$ .

4. $f(1)=0$ , donc $\dfrac{f(x)}{x-1}=\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}$ . À gauche de $1$ , la courbe descend vers $A$ avec une demi-tangente verticale : $f(x)>0$ et $x-1<0$ , donc $\lim\limits_{x\to1^-}\dfrac{f(x)}{x-1}=-\infty$ .

5. Lecture : $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;1]$ (avec $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$ ), strictement croissante sur $\left[1;\frac52\right]$ et strictement décroissante sur $\left[\frac52;4\right]$ ; $f(1)=0$ , $f\left(\frac52\right)=1$ , $f(4)=0$ .

Exercice 6 — Fonction rationnelle, tangente et réciproque Moyen ★★★☆☆

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x^2+3}{x^2-3x}$ .

Déterminer l’ensemble de définition $D_f$ de $f$ .
Calculer les limites de $f$ aux bornes de $D_f$ .
a. Montrer que, pour tout $x\in D_f$ , $f'(x)=\dfrac{3(1-x)(x+3)}{(x^2-3x)^2}$ . b. Dresser le tableau de variations de $f$ .
Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $(C_f)$ au point d’abscisse $2$ .
On considère la restriction $g$ de $f$ à l’intervalle $I=]3;+\infty[$ . a. Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à déterminer. b. Dresser le tableau de variations de $g^{-1}$ . c. Comparer $g^{-1}(3{,}1234)$ et $g^{-1}(3{,}1324)$ . d. Vérifier que $g^{-1}\left(\dfrac{13}6\right)=6$ , puis calculer $\left(g^{-1}\right)'\left(\dfrac{13}6\right)$ . e. Montrer que $g^{-1}$ est dérivable sur $J$ .

Voir la solution

1. $x^2-3x=x(x-3)$ s’annule en $0$ et $3$ : $D_f=\mathbb{R}\setminus\{0;3\}$ .

2. En $\pm\infty$ : $f(x)=\dfrac{x^2(1+3/x^2)}{x^2(1-3/x)}\to1$ . Le numérateur tend vers $3$ en $0$ et vers $12$ en $3$ ; signe de $x(x-3)$ : positif sur $]-\infty;0[$ et $]3;+\infty[$ , négatif sur $]0;3[$ . D’où : $\lim_{x\to0^-}f(x)=+\infty,\quad\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty,\quad\lim_{x\to3^-}f(x)=-\infty,\quad\lim_{x\to3^+}f(x)=+\infty,\quad\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=1 .$

3. a. $f'(x)=\dfrac{2x(x^2-3x)-(2x-3)(x^2+3)}{(x^2-3x)^2}=\dfrac{-3x^2-6x+9}{(x^2-3x)^2}=\dfrac{-3(x-1)(x+3)}{(x^2-3x)^2}=\dfrac{3(1-x)(x+3)}{(x^2-3x)^2}$ .

3. b. $f'(x)$ a le signe de $(1-x)(x+3)$ : positif sur $]-3;1[$ , négatif sur $]-\infty;-3[$ et $]1;+\infty[$ . $f(-3)=\dfrac{12}{18}=\dfrac23$ et $f(1)=\dfrac4{-2}=-2$ .

4. $f(2)=\dfrac7{-2}=-\dfrac72$ et $f'(2)=\dfrac{3\times(-1)\times5}{(-2)^2}=-\dfrac{15}4$ . $(T):y=-\dfrac{15}4(x-2)-\dfrac72$ , soit $(T):y=-\dfrac{15}4x+4$ .

5. a. $g$ est continue sur $I=]3;+\infty[$ et $g'(x)<0$ : $g$ est strictement décroissante. Elle admet une réciproque définie sur $J=\left]\lim\limits_{x\to+\infty}g(x);\lim\limits_{x\to3^+}g(x)\right[=$ $]1;+\infty[$ .

5. b. $g^{-1}$ est strictement décroissante sur $J$ , avec $\lim\limits_{x\to1^+}g^{-1}(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}g^{-1}(x)=3$ (symétrie des courbes par rapport à $y=x$ ).

5. c. $1<3{,}1234<3{,}1324$ et $g^{-1}$ est strictement décroissante sur $J$ : $g^{-1}(3{,}1234)>g^{-1}(3{,}1324)$ .

5. d. $g(6)=\dfrac{39}{18}=\dfrac{13}6$ avec $6\in I$ , donc $g^{-1}\left(\dfrac{13}6\right)=6$ . $g$ est dérivable en $6$ et $g'(6)=\dfrac{3\times(-5)\times9}{18^2}=-\dfrac5{12}\neq0$ , donc $g^{-1}$ est dérivable en $\frac{13}6$ et $\left(g^{-1}\right)'\left(\dfrac{13}6\right)=\dfrac1{g'(6)}=-\dfrac{12}5$ .

5. e. $g$ est dérivable sur $I$ et, pour $x>3$ , $1-x\neq0$ et $x+3\neq0$ , donc $g'(x)\neq0$ : $g^{-1}$ est dérivable sur $J=g(I)$ .

Exercice 7 — Inégalité et réciproque Moyen ★★★☆☆

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x+2}{\sqrt{x+1}}$ .

Déterminer l’ensemble de définition $D_f$ de $f$ .
Calculer les limites de $f$ aux bornes de $D_f$ .
a. Montrer que, pour tout $x\in D_f$ , $f'(x)=\dfrac{x}{2\left(\sqrt{x+1}\right)^3}$ . b. Dresser le tableau de variations de $f$ . c. En déduire que, pour tout $x\in]-1;+\infty[$ , $\dfrac{(x+2)^2}{x+1}\ge4$ .
Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $(C_f)$ au point d’abscisse $3$ .
On considère la restriction $g$ de $f$ à l’intervalle $I=[3;+\infty[$ . a. Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à déterminer. b. Montrer que $g^{-1}$ est dérivable en $\dfrac{10}3$ , puis calculer $\left(g^{-1}\right)'\left(\dfrac{10}3\right)$ .

Voir la solution

1. $f(x)$ existe si, et seulement si, $x+1>0$ : $D_f=]-1;+\infty[$ .

2. En $-1^+$ : $x+2\to1$ et $\sqrt{x+1}\to0^+$ , donc $\lim\limits_{x\to-1^+}f(x)=+\infty$ . En $+\infty$ : $f(x)=\dfrac{(x+1)+1}{\sqrt{x+1}}=\sqrt{x+1}+\dfrac1{\sqrt{x+1}}\to+\infty$ .

3. a. Avec $f(x)=\sqrt{x+1}+\dfrac1{\sqrt{x+1}}$ : $f'(x)=\dfrac1{2\sqrt{x+1}}-\dfrac{1}{2(x+1)\sqrt{x+1}}=\dfrac{(x+1)-1}{2(x+1)\sqrt{x+1}}=\dfrac{x}{2\left(\sqrt{x+1}\right)^3}$ .

3. b. $f'(x)$ a le signe de $x$ : $f$ est strictement décroissante sur $]-1;0]$ , strictement croissante sur $[0;+\infty[$ ; minimum $f(0)=2$ .

3. c. D’après b., pour tout $x>-1$ : $f(x)\ge2>0$ . La fonction carré étant croissante sur $[0;+\infty[$ : $f(x)^2\ge4$ , c’est-à-dire $\dfrac{(x+2)^2}{x+1}\ge4$ .

4. $f(3)=\dfrac52$ et $f'(3)=\dfrac3{2\times8}=\dfrac3{16}$ . $(T):y=\dfrac3{16}(x-3)+\dfrac52$ , soit $(T):y=\dfrac3{16}x+\dfrac{31}{16}$ .

5. a. $g$ est continue et strictement croissante sur $I=[3;+\infty[$ : elle admet une réciproque définie sur $J=\left[\dfrac52;+\infty\right[$ .

5. b. $g(8)=\dfrac{10}{\sqrt9}=\dfrac{10}3$ ; $g$ est dérivable en $8$ et $g'(8)=\dfrac8{2\times27}=\dfrac4{27}\neq0$ . Donc $g^{-1}$ est dérivable en $\frac{10}3$ et $\left(g^{-1}\right)'\left(\dfrac{10}3\right)=\dfrac{27}4$ .

Exercice 8 — Fonction auxiliaire Moyen ★★★☆☆

Partie 1 — Étude d’une fonction auxiliaire. On considère la fonction $g$ définie sur $[0;+\infty[$ par $g(x)=3x-2x\sqrt x-1$ .

Montrer que, pour tout $x\in]0;+\infty[$ , $g'(x)=3\left(1-\sqrt x\right)$ .
Dresser le tableau de variations de $g$ .
En déduire que $g(x)\le0$ pour tout $x\ge0$ .

Partie 2 — Étude de la fonction $f$ . On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=2(x-1)\sqrt x-x^2+3$ .

Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $0$ , puis interpréter graphiquement le résultat.
Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ .
a. Montrer que, pour tout $x>0$ , $f'(x)=\dfrac{g(x)}{\sqrt x}$ . b. Dresser le tableau de variations de $f$ .

Voir la solution

Partie 1.

1. $x\sqrt x=x^{\frac32}$ a pour dérivée $\frac32\sqrt x$ sur $]0;+\infty[$ , donc $g'(x)=3-2\times\frac32\sqrt x=3\left(1-\sqrt x\right)$ .

2. $g'(x)>0$ sur $]0;1[$ et $g'(x)<0$ sur $]1;+\infty[$ ; $g(0)=-1$ , $g(1)=3-2-1=0$ et $g(x)=x\left(3-2\sqrt x\right)-1\xrightarrow[x\to+\infty]{}-\infty$ .

3. Le maximum de $g$ sur $[0;+\infty[$ est $g(1)=0$ : $g(x)\le0$ pour tout $x\ge0$ .

Partie 2.

1. $f(0)=3$ . Pour $x>0$ : $\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\dfrac{2(x-1)\sqrt x-x^2}x=\dfrac{2(x-1)}{\sqrt x}-x$ . Quand $x\to0^+$ , $2(x-1)\to-2$ et $\sqrt x\to0^+$ : la limite vaut $-\infty$ . $f$ n’est pas dérivable à droite en $0$ : $(C_f)$ admet au point $(0;3)$ une demi-tangente verticale (dirigée vers le bas).

2. Pour $x>0$ : $f(x)=x^2\left(\dfrac{2(x-1)}{x\sqrt x}-1+\dfrac3{x^2}\right)$ , et $\dfrac{2(x-1)}{x\sqrt x}=\dfrac2{\sqrt x}-\dfrac2{x\sqrt x}\to0$ . Donc $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$ .

3. a. $f(x)=2x\sqrt x-2\sqrt x-x^2+3$ , donc pour $x>0$ : $f'(x)=3\sqrt x-\dfrac1{\sqrt x}-2x=\dfrac{3x-1-2x\sqrt x}{\sqrt x}=\dfrac{g(x)}{\sqrt x}$ .

3. b. D’après la partie 1, $f'(x)\le0$ sur $]0;+\infty[$ , avec égalité seulement en $x=1$ : $f$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$ ( $f(1)=2$ , tangente horizontale en ce point).

Exercice 9 — Tangentes et fonction par morceaux Difficile ★★★★☆

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ par $f(x)=x+3+\dfrac4{x-2}$ .

a. Calculer $f'(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}\setminus\{2\}$ . b. Déterminer les points $M\big(a;f(a)\big)$ de la courbe $(C_f)$ en lesquels la tangente est parallèle à l’axe des abscisses.
On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=\begin{cases} f(x) & \text{si } x<0,\\ x^3-3x+1 & \text{si } 0\le x<2,\\ \sqrt{x^2-4}+x+1 & \text{si } x\ge2.\end{cases}$ Étudier la dérivabilité de $h$ en $0$ , puis interpréter graphiquement les résultats.
a. Étudier la dérivabilité de $h$ en $2$ , puis interpréter graphiquement les résultats. b. Montrer que $h$ est dérivable sur $]2;+\infty[$ et calculer $h'(x)$ pour tout $x>2$ . c. Déterminer une équation de la tangente à la courbe $(C_h)$ au point d’abscisse $2\sqrt2$ .

Voir la solution

1. a. $f'(x)=1-\dfrac4{(x-2)^2}=\dfrac{(x-2)^2-4}{(x-2)^2}=\dfrac{x(x-4)}{(x-2)^2}$ .

1. b. La tangente en $M\big(a;f(a)\big)$ est parallèle à l’axe des abscisses si, et seulement si, $f'(a)=0$ , soit $a=0$ ou $a=4$ . Comme $f(0)=3-2=1$ et $f(4)=7+2=9$ : $M_1(0;1)$ et $M_2(4;9)$ .

2. $h(0)=1$ . À gauche : $f(x)-1=x+2+\dfrac4{x-2}=\dfrac{(x+2)(x-2)+4}{x-2}=\dfrac{x^2}{x-2}$ , donc $\dfrac{h(x)-h(0)}{x}=\dfrac{x}{x-2}\xrightarrow[x\to0^-]{}0$ : $h'_g(0)=0$ . À droite : $\dfrac{h(x)-h(0)}x=\dfrac{x^3-3x}x=x^2-3\xrightarrow[x\to0^+]{}-3$ : $h'_d(0)=-3$ .

$h'_g(0)\neq h'_d(0)$ : $h$ n’est pas dérivable en $0$ ; le point $(0;1)$ est un point anguleux de $(C_h)$ , avec une demi-tangente horizontale à gauche et une demi-tangente de coefficient directeur $-3$ à droite.

3. a. $h(2)=0+2+1=3$ et $\lim\limits_{x\to2^-}h(x)=8-6+1=3$ : $h$ est continue en $2$ .

À gauche : $\dfrac{h(x)-3}{x-2}=\dfrac{x^3-3x-2}{x-2}=\dfrac{(x-2)(x+1)^2}{x-2}=(x+1)^2\xrightarrow[x\to2^-]{}9$ : $h'_g(2)=9$ (demi-tangente de coefficient directeur $9$ ).

À droite : $\dfrac{h(x)-3}{x-2}=\dfrac{\sqrt{x^2-4}}{x-2}+1=\sqrt{\dfrac{x+2}{x-2}}+1\xrightarrow[x\to2^+]{}+\infty$ : $h$ n’est pas dérivable à droite en $2$ ; demi-tangente verticale à droite au point $(2;3)$ .

3. b. Sur $]2;+\infty[$ , $x^2-4>0$ : $x\mapsto\sqrt{x^2-4}$ est dérivable, donc $h$ aussi, et $h'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-4}}+1$ .

3. c. $h(2\sqrt2)=\sqrt{8-4}+2\sqrt2+1=3+2\sqrt2$ et $h'(2\sqrt2)=\dfrac{2\sqrt2}2+1=1+\sqrt2$ . La tangente a pour équation $y=(1+\sqrt2)(x-2\sqrt2)+3+2\sqrt2$ , soit $y=(1+\sqrt2)x-1$ .

Exercice 10 — Réciproques des fonctions sinus et cosinus Difficile ★★★★☆

a. Montrer que la fonction $f$ définie sur $\left]-\frac\pi2;\frac\pi2\right[$ par $f(x)=\sin x$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $]-1;1[$ . b. Montrer que, pour tout $x\in]-1;1[$ , $\left(f^{-1}\right)'(x)=\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}$ .
a. Montrer que la fonction $g$ définie sur $]0;\pi[$ par $g(x)=\cos x$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur $]-1;1[$ . b. Montrer que, pour tout $x\in]-1;1[$ , $\left(g^{-1}\right)'(x)=-\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}$ .
En déduire que, pour tout $x\in]-1;1[$ , $f^{-1}(x)+g^{-1}(x)=\dfrac\pi2$ .

Voir la solution

1. a. $f$ est continue sur $\left]-\frac\pi2;\frac\pi2\right[$ et $f'(x)=\cos x>0$ : $f$ est strictement croissante. Elle admet donc une réciproque définie sur $J=\left]\lim\limits_{x\to-\frac\pi2}\sin x;\lim\limits_{x\to\frac\pi2}\sin x\right[=]-1;1[$ .

1. b. $f$ est dérivable et $f'$ ne s’annule pas sur $\left]-\frac\pi2;\frac\pi2\right[$ , donc $f^{-1}$ est dérivable sur $]-1;1[$ et $\left(f^{-1}\right)'(x)=\dfrac1{\cos\left(f^{-1}(x)\right)}$ . Posons $y=f^{-1}(x)\in\left]-\frac\pi2;\frac\pi2\right[$ : $\sin y=x$ et $\cos y>0$ , donc $\cos y=\sqrt{1-\sin^2y}=\sqrt{1-x^2}$ . Ainsi $\left(f^{-1}\right)'(x)=\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}$ .

2. a. $g$ est continue sur $]0;\pi[$ et $g'(x)=-\sin x<0$ : $g$ est strictement décroissante ; $\lim\limits_{x\to0}\cos x=1$ et $\lim\limits_{x\to\pi}\cos x=-1$ , donc $g$ admet une réciproque définie sur $]-1;1[$ .

2. b. $g'$ ne s’annule pas sur $]0;\pi[$ : $g^{-1}$ est dérivable sur $]-1;1[$ et $\left(g^{-1}\right)'(x)=\dfrac1{-\sin\left(g^{-1}(x)\right)}$ . Avec $y=g^{-1}(x)\in]0;\pi[$ : $\sin y>0$ et $\sin y=\sqrt{1-\cos^2y}=\sqrt{1-x^2}$ . Donc $\left(g^{-1}\right)'(x)=-\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}$ .

3. La fonction $\varphi=f^{-1}+g^{-1}$ est dérivable sur l’intervalle $]-1;1[$ et $\varphi'(x)=\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}-\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}=0$ : $\varphi$ est constante. Or $f^{-1}(0)=0$ (car $\sin0=0$ ) et $g^{-1}(0)=\frac\pi2$ (car $\cos\frac\pi2=0$ ), donc $\varphi(0)=\frac\pi2$ . Ainsi, pour tout $x\in]-1;1[$ , $f^{-1}(x)+g^{-1}(x)=\dfrac\pi2$ .

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20 questions tirées au hasard parmi 31.

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Chapitre 2 — Dérivation

Cours

I. Dérivabilité en un point (rappels)

1. Nombre dérivé et tangente

2. Dérivabilité à droite, à gauche

3. Les différentes situations graphiques

4. Approximation affine

II. Dérivabilité et continuité

III. Dérivabilité sur un intervalle, fonction dérivée

1. Définitions

2. Dérivées des fonctions usuelles

3. Opérations sur les fonctions dérivables

4. Dérivées successives

IV. Applications de la dérivée

1. Sens de variation

2. Extremums

3. Inégalités

4. Résolution graphique d’équations et d’inéquations

V. Dérivée d’une fonction composée

VI. Dérivée de la fonction réciproque

1. Dérivabilité en un point

2. Dérivabilité sur un intervalle

3. Dérivée de la racine nnn-ième et des puissances rationnelles

Résumé : dérivation

Série d’exercices

Exercice 1 — Continuité, dérivabilité et réciproque Facile ★★☆☆☆

Exercice 2 — Fonction avec racine carrée Facile ★★☆☆☆

Exercice 3 — Étude et réciproque Moyen ★★★☆☆

Exercice 4 — Lecture graphique Facile ★★☆☆☆

Exercice 5 — Lecture graphique — demi-tangentes Facile ★★☆☆☆

Exercice 6 — Fonction rationnelle, tangente et réciproque Moyen ★★★☆☆

Exercice 7 — Inégalité et réciproque Moyen ★★★☆☆

Exercice 8 — Fonction auxiliaire Moyen ★★★☆☆

Exercice 9 — Tangentes et fonction par morceaux Difficile ★★★★☆

Exercice 10 — Réciproques des fonctions sinus et cosinus Difficile ★★★★☆

Quiz — testez-vous

3. Dérivée de la racine $n$ -ième et des puissances rationnelles