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Chapitre 15 — Vecteurs de l’espace

Semestre 2

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Cours

Plan du chapitre. I. Le vecteur dans l’espace — II. Vecteurs colinéaires, points alignés — III. Vecteurs coplanaires, points coplanaires — Résumé.

Prérequis. Vecteurs du plan, relation de Chasles, translation. Convention pour un cube ABCDEFGHABCDEFGH : ABCDABCD et EFGHEFGH sont deux faces opposées et [AE][AE], [BF][BF], [CG][CG], [DH][DH] sont des arêtes.

I. Le vecteur dans l’espace

1) Rappels : solides usuels et perspective cavalière

Remarque

Cube (6 faces, 8 sommets), pavé droit (6 faces, 8 sommets), tétraèdre (4 faces, 4 sommets), prisme droit à base triangulaire (5 faces, 6 sommets), pyramide à base quadrilatère (5 faces, 5 sommets). En perspective cavalière, la face avant est en vraie grandeur, des arêtes parallèles sont représentées par des segments parallèles et les arêtes cachées sont en pointillés.

2) Définition et égalité de deux vecteurs

Définition 1

Deux points AA et BB de l’espace définissent le vecteur AB→\overrightarrow{AB}, caractérisé (si A≠BA\neq B) par sa direction (celle de la droite (AB)(AB)), son sens (de AA vers BB) et sa norme ∥AB→∥=AB\|\overrightarrow{AB}\|=AB. Le vecteur AA→\overrightarrow{AA} est le vecteur nul 0⃗\vec0.

Propriété 1

Pour tous points A,B,C,DA,B,C,D de l’espace : AB→=CD→  ⟺  ABDC\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\iff ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati)   ⟺  [AD]\iff[AD] et [BC][BC] ont le même milieu. Pour tout point OO et tout vecteur u⃗\vec u, il existe un unique point MM tel que OM→=u⃗\overrightarrow{OM}=\vec u.

3) Opérations

Propriété 2

Les règles de calcul du plan s’étendent à l’espace : relation de Chasles AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} ; règle du parallélogramme AB→+AC→=AD→  ⟺  ABDC\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}\iff ABDC parallélogramme ; pour α,β∈R\alpha,\beta\in\R : α(u⃗+v⃗)=αu⃗+αv⃗\alpha(\vec u+\vec v)=\alpha\vec u+\alpha\vec v, (α+β)u⃗=αu⃗+βu⃗(\alpha+\beta)\vec u=\alpha\vec u+\beta\vec u, α(βu⃗)=(αβ)u⃗\alpha(\beta\vec u)=(\alpha\beta)\vec u ; αu⃗=0⃗  ⟺  (α=0\alpha\vec u=\vec0\iff(\alpha=0 ou u⃗=0⃗)\vec u=\vec0). II est le milieu de [AB]  ⟺  IA→+IB→=0⃗  ⟺  [AB]\iff\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec0\iff pour tout point MM, MA→+MB→=2MI→\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}.

Exemple 1

Dans le cube ABCDEFGHABCDEFGH, simplifier AB→+AD→+AE→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}.

Voir la solution

Dans le cube ABCDEFGHABCDEFGH : AB→+AD→+AE→=AC→+CG→=AG→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AG} (Chasles et AE→=CG→\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{CG}).

II. Vecteurs colinéaires — Points alignés

1) Définition

Définition 2

Deux vecteurs u⃗\vec u et v⃗\vec v sont colinéaires si u⃗=0⃗\vec u=\vec0 ou s’il existe k∈Rk\in\R tel que v⃗=ku⃗\vec v=k\vec u. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

2) Propriétés

Propriété 3

  • Trois points AA, BB, CC sont alignés   ⟺  AB→\iff\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires.
  • Deux droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles   ⟺  AB→\iff\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont colinéaires.
  • Si AA est un point et u⃗≠0⃗\vec u\neq\vec0, la droite D(A;u⃗)D(A;\vec u) passant par AA et dirigée par u⃗\vec u est l’ensemble des points MM tels que AM→=tu⃗\overrightarrow{AM}=t\vec u, t∈Rt\in\R.

Exemple 2

Dans un tétraèdre ABCDABCD, soient II le milieu de [AB][AB] et JJ le milieu de [AC][AC]. Exprimer IJ→\overrightarrow{IJ} en fonction de BC→\overrightarrow{BC} et en déduire la position des droites (IJ)(IJ) et (BC)(BC).

Voir la solution

Dans un tétraèdre ABCDABCD, soient II le milieu de [AB][AB] et JJ le milieu de [AC][AC]. Alors IJ→=IA→+AJ→=12BA→+12AC→=12BC→\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ}=\frac12\overrightarrow{BA}+\frac12\overrightarrow{AC}=\frac12\overrightarrow{BC} : les droites (IJ)(IJ) et (BC)(BC) sont parallèles.

III. Vecteurs coplanaires — Points coplanaires

1) Plan défini par un point et deux vecteurs

Définition 3

Soient AA un point et u⃗\vec u, v⃗\vec v deux vecteurs non colinéaires. L’ensemble des points MM tels que AM→=xu⃗+yv⃗\overrightarrow{AM}=x\vec u+y\vec v, (x;y)∈R2(x;y)\in\R^2, est un plan noté P(A;u⃗;v⃗)P(A;\vec u;\vec v) ; on dit que (u⃗;v⃗)(\vec u;\vec v) est un couple de vecteurs directeurs de ce plan. Si AA, BB, CC ne sont pas alignés, (ABC)=P(A;AB→;AC→)(ABC)=P(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}).

2) Vecteurs coplanaires

Définition 4

Trois vecteurs u⃗=OA→\vec u=\overrightarrow{OA}, v⃗=OB→\vec v=\overrightarrow{OB}, w⃗=OC→\vec w=\overrightarrow{OC} sont coplanaires si les points OO, AA, BB, CC appartiennent à un même plan.

Propriété 4

Si u⃗\vec u et v⃗\vec v ne sont pas colinéaires : u⃗\vec u, v⃗\vec v, w⃗\vec w sont coplanaires   ⟺  \iff il existe (α;β)∈R2(\alpha;\beta)\in\R^2 tel que w⃗=αu⃗+βv⃗\vec w=\alpha\vec u+\beta\vec v. Quatre points A,B,C,DA,B,C,D sont coplanaires   ⟺  AB→\iff\overrightarrow{AB}, AC→\overrightarrow{AC}, AD→\overrightarrow{AD} sont coplanaires.

Exemple 3

Dans le cube ABCDEFGHABCDEFGH, montrer que AA, CC, EE, GG sont coplanaires. Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB}, AD→\overrightarrow{AD}, AE→\overrightarrow{AE} sont-ils coplanaires ?

Voir la solution

Dans le cube ABCDEFGHABCDEFGH : AG→=AC→+AE→\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AE}, donc AC→\overrightarrow{AC}, AE→\overrightarrow{AE}, AG→\overrightarrow{AG} sont coplanaires : AA, CC, EE, GG sont coplanaires (plan (ACGE)(ACGE)). En revanche AB→\overrightarrow{AB}, AD→\overrightarrow{AD}, AE→\overrightarrow{AE} ne sont pas coplanaires.

3) Parallélisme droite–plan et plan–plan

Propriété 5

  • Une droite D(A;w⃗)D(A;\vec w) est parallèle au plan P(B;u⃗;v⃗)P(B;\vec u;\vec v)   ⟺  u⃗\iff\vec u, v⃗\vec v, w⃗\vec w sont coplanaires.
  • Deux plans P(A;u⃗;v⃗)P(A;\vec u;\vec v) et P(B;u⃗′;v⃗′)P(B;\vec u';\vec v') sont parallèles   ⟺  u⃗′\iff\vec u' et v⃗′\vec v' sont chacun combinaison linéaire de u⃗\vec u et v⃗\vec v.

Méthode

Montrer que trois points sont alignés : exprimer AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} dans une même base (par exemple (AB→;AD→;AE→)(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AE})) puis exhiber kk avec AC→=kAB→\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}. Montrer que quatre points sont coplanaires : écrire l’un des vecteurs comme combinaison linéaire des deux autres.

Résumé

À retenir

u⃗,v⃗\vec u,\vec v colinéaires   ⟺  v⃗=ku⃗\iff\vec v=k\vec u (ou u⃗=0⃗\vec u=\vec0) ; A,B,CA,B,C alignés   ⟺  AB→,AC→\iff\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} colinéaires ; u⃗,v⃗,w⃗\vec u,\vec v,\vec w coplanaires (u⃗,v⃗\vec u,\vec v non colinéaires)   ⟺  w⃗=αu⃗+βv⃗\iff\vec w=\alpha\vec u+\beta\vec v ; A,B,C,DA,B,C,D coplanaires   ⟺  AB→,AC→,AD→\iff\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} coplanaires.

Série d’exercices

Remarque — méthodes utilisées

  • Chasles et égalités de vecteurs tirées des parallélogrammes (faces du cube, du pavé, du prisme).
  • Décomposition dans une base : dans un cube ou un pavé, on exprime tout vecteur en fonction de b⃗=AB→\vec b=\overrightarrow{AB}, d⃗=AD→\vec d=\overrightarrow{AD}, e⃗=AE→\vec e=\overrightarrow{AE} (non coplanaires) ; dans un tétraèdre, de b⃗=AB→\vec b=\overrightarrow{AB}, c⃗=AC→\vec c=\overrightarrow{AC}, d⃗=AD→\vec d=\overrightarrow{AD}. Deux décompositions égales ont les mêmes coefficients : c’est ce qui permet d’obtenir des contradictions.
  • Tous les résultats ont été contrôlés par calcul exact en coordonnées (Python/sympy, build/verif_lot4.py).

Cadre. Toute réponse doit être justifiée. Pour un cube ou un pavé ABCDEFGHABCDEFGH, ABCDABCD et EFGHEFGH sont des faces opposées et [AE][AE], [BF][BF], [CG][CG], [DH][DH] sont des arêtes. Pour un prisme ABCDEFABCDEF, ABCABC et DEFDEF sont les bases et [AD][AD], [BE][BE], [CF][CF] les arêtes latérales. Difficulté : de ★\bigstar à ★★★★★\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar.

Exercice 1 — Calcul vectoriel dans un prisme Facile ★☆☆☆☆

Soit ABCDEFABCDEF un prisme à base triangulaire et II le milieu de [DF][DF].

  1. Simplifier AC→+AD→\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}.
  2. Simplifier AE→+BC→\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BC}.
  3. Soit GG le point défini par BG→=BE→+BC→+BA→\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}. Montrer que II est le milieu de [GE][GE].
Voir la solution

Dans le prisme, ADFCADFC, ADEBADEB et BEFCBEFC sont des parallélogrammes, donc AD→=BE→=CF→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{CF}, BC→=EF→\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{EF} et BA→=ED→\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{ED}.

1. AC→+AD→=AC→+CF→=AF→\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AF} (Chasles).

2. AE→+BC→=AE→+EF→=AF→\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}.

3. Soit KK le milieu de [GE][GE] : BK→=12(BG→+BE→)=BE→+12(BC→+BA→)\overrightarrow{BK}=\frac12(\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{BE})=\overrightarrow{BE}+\frac12(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}). Donc EK→=BK→−BE→=12(EF→+ED→)=EI→\overrightarrow{EK}=\overrightarrow{BK}-\overrightarrow{BE}=\frac12(\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{ED})=\overrightarrow{EI} car II est le milieu de [DF][DF]. Ainsi K=IK=I : II est le milieu de [GE][GE].

Exercice 2 — Coplanarité dans un pavé Facile ★★☆☆☆

Soit ABCDEFGHABCDEFGH un pavé droit et II le milieu de [BF][BF].

  1. Les vecteurs CA→\overrightarrow{CA}, DG→\overrightarrow{DG} et DE→\overrightarrow{DE} sont-ils coplanaires ? Justifier.
  2. Les vecteurs AI→\overrightarrow{AI}, DF→\overrightarrow{DF} et HE→\overrightarrow{HE} sont-ils coplanaires ? Justifier.
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1. EGCAEGCA est un parallélogramme (rectangle diagonal du pavé), donc EG→=AC→=−CA→\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{CA}. Par Chasles, DG→=DE→+EG→=DE→−CA→\overrightarrow{DG}=\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{DE}-\overrightarrow{CA}. Le vecteur DG→\overrightarrow{DG} est combinaison linéaire de DE→\overrightarrow{DE} et CA→\overrightarrow{CA} (non colinéaires) : les trois vecteurs sont coplanaires.

2. Dans la base (b⃗;d⃗;e⃗)(\vec b;\vec d;\vec e) : AI→=b⃗+12e⃗\overrightarrow{AI}=\vec b+\frac12\vec e ; DF→=DA→+AB→+BF→=b⃗−d⃗+e⃗\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=\vec b-\vec d+\vec e ; HE→=−d⃗\overrightarrow{HE}=-\vec d. Raisonnons par l’absurde : supposons qu’il existe α,β∈R\alpha,\beta\in\R tels que AI→=αDF→+βHE→\overrightarrow{AI}=\alpha\overrightarrow{DF}+\beta\overrightarrow{HE}. Alors b⃗+12e⃗=αb⃗−(α+β)d⃗+αe⃗\vec b+\frac12\vec e=\alpha\vec b-(\alpha+\beta)\vec d+\alpha\vec e, et par unicité des coefficients : α=1\alpha=1 et α=12\alpha=\frac12 : contradiction. Comme DF→\overrightarrow{DF} et HE→\overrightarrow{HE} ne sont pas colinéaires, les trois vecteurs ne sont pas coplanaires.

Exercice 3 — Construction de points, alignement Moyen ★★★☆☆

Soit ABCDEFGHABCDEFGH un cube.

  1. Identifier les points MM, NN et RR définis par : AM→=EF→+CH→\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{CH} ; AN→=AG→−BF→\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{BF} ; HR→=12(AG→+HB→)\overrightarrow{HR}=\frac12\big(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{HB}\big).
  2. Soient PP et QQ les points définis par EP→=13EH→\overrightarrow{EP}=\frac13\overrightarrow{EH} et AQ→=13AC→\overrightarrow{AQ}=\frac13\overrightarrow{AC}, et soient II et KK les milieux respectifs de [AE][AE] et [PQ][PQ]. a. Montrer que QP→=−13AB→+AE→\overrightarrow{QP}=-\frac13\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}. b. Soit JJ le milieu de [DG][DG]. Exprimer IJ→\overrightarrow{IJ} et IK→\overrightarrow{IK} en fonction de AB→\overrightarrow{AB} et AD→\overrightarrow{AD}. c. En déduire que II, JJ et KK sont alignés.
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1. EF→=b⃗\overrightarrow{EF}=\vec b et CH→=−b⃗+e⃗\overrightarrow{CH}=-\vec b+\vec e, donc AM→=e⃗=AE→\overrightarrow{AM}=\vec e=\overrightarrow{AE} : M=EM=E. AN→=(b⃗+d⃗+e⃗)−e⃗=b⃗+d⃗=AC→\overrightarrow{AN}=(\vec b+\vec d+\vec e)-\vec e=\vec b+\vec d=\overrightarrow{AC} : N=CN=C. AG→+HB→=(b⃗+d⃗+e⃗)+(b⃗−d⃗−e⃗)=2b⃗\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{HB}=(\vec b+\vec d+\vec e)+(\vec b-\vec d-\vec e)=2\vec b, donc HR→=b⃗=HG→\overrightarrow{HR}=\vec b=\overrightarrow{HG} : R=GR=G.

2. a. QP→=QA→+AE→+EP→=−13(b⃗+d⃗)+e⃗+13d⃗=−13AB→+AE→\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{QA}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EP}=-\frac13(\vec b+\vec d)+\vec e+\frac13\vec d=-\frac13\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}.

2. b. AI→=12e⃗\overrightarrow{AI}=\frac12\vec e, AJ→=12(AD→+AG→)=12b⃗+d⃗+12e⃗\overrightarrow{AJ}=\frac12(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AG})=\frac12\vec b+\vec d+\frac12\vec e, donc IJ→=12AB→+AD→\overrightarrow{IJ}=\frac12\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}. AK→=12(AP→+AQ→)=12(13d⃗+e⃗+13b⃗+13d⃗)=16b⃗+13d⃗+12e⃗\overrightarrow{AK}=\frac12(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ})=\frac12\big(\tfrac13\vec d+\vec e+\tfrac13\vec b+\tfrac13\vec d\big)=\frac16\vec b+\frac13\vec d+\frac12\vec e, donc IK→=16AB→+13AD→\overrightarrow{IK}=\frac16\overrightarrow{AB}+\frac13\overrightarrow{AD}.

2. c. IK→=13(12AB→+AD→)=13IJ→\overrightarrow{IK}=\frac13\big(\frac12\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\big)=\frac13\overrightarrow{IJ} : les vecteurs sont colinéaires, donc II, JJ, KK sont alignés.

Exercice 4 — Point défini par une relation Facile ★★☆☆☆

Soit ABCDEFGHABCDEFGH un cube, II le milieu de [HF][HF] et MM le point tel que 2IM→=MA→2\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{MA}.

  1. Montrer que AM→=23AI→\overrightarrow{AM}=\frac23\overrightarrow{AI}.
  2. Montrer que EM→=13EC→\overrightarrow{EM}=\frac13\overrightarrow{EC}. Que peut-on dire des points EE, MM, CC ?
  3. Soient JJ et KK les milieux respectifs de [EF][EF] et [BC][BC]. Montrer que JK→=−12CE→−12CG→\overrightarrow{JK}=-\frac12\overrightarrow{CE}-\frac12\overrightarrow{CG}.
Voir la solution

1. 2IM→=MA→  ⟺  2(IA→+AM→)=−AM→  ⟺  3AM→=−2IA→=2AI→  ⟺  AM→=23AI→2\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{MA}\iff2(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AM})=-\overrightarrow{AM}\iff3\overrightarrow{AM}=-2\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{AI}\iff\overrightarrow{AM}=\frac23\overrightarrow{AI}.

2. AI→=12(AH→+AF→)=12b⃗+12d⃗+e⃗\overrightarrow{AI}=\frac12(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{AF})=\frac12\vec b+\frac12\vec d+\vec e, donc AM→=13b⃗+13d⃗+23e⃗\overrightarrow{AM}=\frac13\vec b+\frac13\vec d+\frac23\vec e et EM→=AM→−e⃗=13(b⃗+d⃗−e⃗)\overrightarrow{EM}=\overrightarrow{AM}-\vec e=\frac13(\vec b+\vec d-\vec e). Or EC→=b⃗+d⃗−e⃗\overrightarrow{EC}=\vec b+\vec d-\vec e. Donc EM→=13EC→\overrightarrow{EM}=\frac13\overrightarrow{EC} : EE, MM, CC sont alignés (MM est au tiers de [EC][EC] à partir de EE).

3. AJ→=12b⃗+e⃗\overrightarrow{AJ}=\frac12\vec b+\vec e, AK→=b⃗+12d⃗\overrightarrow{AK}=\vec b+\frac12\vec d, donc JK→=12b⃗+12d⃗−e⃗\overrightarrow{JK}=\frac12\vec b+\frac12\vec d-\vec e. Or CE→=−b⃗−d⃗+e⃗\overrightarrow{CE}=-\vec b-\vec d+\vec e et CG→=e⃗\overrightarrow{CG}=\vec e : −12CE→−12CG→=12b⃗+12d⃗−12e⃗−12e⃗=JK→-\frac12\overrightarrow{CE}-\frac12\overrightarrow{CG}=\frac12\vec b+\frac12\vec d-\frac12\vec e-\frac12\vec e=\overrightarrow{JK}.

Exercice 5 — Droites définies par un point et un vecteur Moyen ★★★☆☆

Soit ABCDEFGHABCDEFGH un cube ; II, JJ, OO sont les milieux respectifs de [AE][AE], [GH][GH] et [CH][CH].

  1. a. Montrer que IJ→=AO→\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AO}. b. En déduire que la droite (IJ)(IJ) est parallèle au plan (ACH)(ACH).
  2. Exprimer IJ→\overrightarrow{IJ} en fonction de AC→\overrightarrow{AC} et AH→\overrightarrow{AH}.
  3. Identifier les droites D(O;IJ→)D(O;\overrightarrow{IJ}) et D(G;IJ→+OF→)D(G;\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{OF}).
Voir la solution

1. a. AI→=12e⃗\overrightarrow{AI}=\frac12\vec e, AJ→=12(AG→+AH→)=12b⃗+d⃗+e⃗\overrightarrow{AJ}=\frac12(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AH})=\frac12\vec b+\vec d+\vec e, donc IJ→=12b⃗+d⃗+12e⃗\overrightarrow{IJ}=\frac12\vec b+\vec d+\frac12\vec e. Et AO→=12(AC→+AH→)=12(b⃗+d⃗+d⃗+e⃗)=12b⃗+d⃗+12e⃗\overrightarrow{AO}=\frac12(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AH})=\frac12(\vec b+\vec d+\vec d+\vec e)=\frac12\vec b+\vec d+\frac12\vec e. Donc IJ→=AO→\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AO}.

1. b. O∈(CH)⊂(ACH)O\in(CH)\subset(ACH) et A∈(ACH)A\in(ACH) donc (AO)⊂(ACH)(AO)\subset(ACH) ; (IJ)(IJ) est dirigée par AO→\overrightarrow{AO}, vecteur du plan (ACH)(ACH) : (IJ)(IJ) est parallèle au plan (ACH)(ACH).

2. D’après 1.a, IJ→=AO→=12AC→+12AH→\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AO}=\frac12\overrightarrow{AC}+\frac12\overrightarrow{AH}.

3. D(O;IJ→)=D(O;AO→)D(O;\overrightarrow{IJ})=D(O;\overrightarrow{AO}) est la droite (AO)(AO). IJ→+OF→=AO→+OF→=AF→\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{AF}, et AF→=DG→\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{DG} (ADGFADGF parallélogramme) : D(G;AF→)D(G;\overrightarrow{AF}) est la droite (DG)(DG).

Exercice 6 — Plans définis par un point et deux vecteurs Facile ★★☆☆☆

Soit ABCDEFGHABCDEFGH un cube.

  1. Identifier le plan passant par GG et dirigé par GF→\overrightarrow{GF} et GH→\overrightarrow{GH}.
  2. Déterminer l’ensemble des points MM de l’espace tels que AM→=xAC→+yAE→\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AC}+y\overrightarrow{AE}, avec (x;y)∈R2(x;y)\in\R^2.
Voir la solution

1. GF→\overrightarrow{GF} et GH→\overrightarrow{GH} ne sont pas colinéaires ; le plan P(G;GF→;GH→)P(G;\overrightarrow{GF};\overrightarrow{GH}) contient GG, FF et HH : c’est le plan (FGH)(FGH), c’est-à-dire le plan de la face EFGHEFGH.

2. AC→\overrightarrow{AC} et AE→\overrightarrow{AE} ne sont pas colinéaires ; l’ensemble cherché est le plan P(A;AC→;AE→)=(ACE)P(A;\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AE})=(ACE), qui contient aussi GG (AG→=AC→+AE→\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AE}) : c’est le plan (ACGE)(ACGE).

Exercice 7 — Coplanarité Facile ★★☆☆☆

Soit ABCDEFGHABCDEFGH un cube ; II et JJ sont définis par EI→=13EF→\overrightarrow{EI}=\frac13\overrightarrow{EF} et GJ→=23GC→\overrightarrow{GJ}=\frac23\overrightarrow{GC}.

  1. Faire une figure.
  2. Montrer que IJ→=23EC→+13FG→\overrightarrow{IJ}=\frac23\overrightarrow{EC}+\frac13\overrightarrow{FG}.
  3. En déduire que IJ→\overrightarrow{IJ}, EC→\overrightarrow{EC} et FG→\overrightarrow{FG} sont coplanaires.
Voir la solution

1. Figure : II sur [EF][EF] au tiers à partir de EE, JJ sur [GC][GC] aux deux tiers à partir de GG.

2. AI→=13b⃗+e⃗\overrightarrow{AI}=\frac13\vec b+\vec e ; AJ→=AG→+23GC→=b⃗+d⃗+13e⃗\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{AG}+\frac23\overrightarrow{GC}=\vec b+\vec d+\frac13\vec e ; donc IJ→=23b⃗+d⃗−23e⃗\overrightarrow{IJ}=\frac23\vec b+\vec d-\frac23\vec e. Or 23EC→+13FG→=23(b⃗+d⃗−e⃗)+13d⃗=23b⃗+d⃗−23e⃗=IJ→\frac23\overrightarrow{EC}+\frac13\overrightarrow{FG}=\frac23(\vec b+\vec d-\vec e)+\frac13\vec d=\frac23\vec b+\vec d-\frac23\vec e=\overrightarrow{IJ}.

3. IJ→\overrightarrow{IJ} est combinaison linéaire de EC→\overrightarrow{EC} et FG→\overrightarrow{FG} (non colinéaires) : les trois vecteurs sont coplanaires.

Exercice 8 — Quatre points coplanaires dans un tétraèdre Moyen ★★★☆☆

Soit ABCDABCD un tétraèdre et II, JJ, KK, LL définis par : AI→=23AB→\overrightarrow{AI}=\frac23\overrightarrow{AB} ; BJ→=13BC→\overrightarrow{BJ}=\frac13\overrightarrow{BC} ; CK→=23CD→\overrightarrow{CK}=\frac23\overrightarrow{CD} ; DL→=13DA→\overrightarrow{DL}=\frac13\overrightarrow{DA}.

  1. Faire une figure.
  2. a. Exprimer IJ→\overrightarrow{IJ} et KL→\overrightarrow{KL} en fonction de AC→\overrightarrow{AC}. b. En déduire que II, JJ, KK, LL sont coplanaires et préciser la nature de IJKLIJKL.
  3. Montrer que (BD)(BD) est parallèle au plan (IJK)(IJK).
Voir la solution

1. Figure laissée au lecteur.

2. a. AI→=23b⃗\overrightarrow{AI}=\frac23\vec b, AJ→=b⃗+13(c⃗−b⃗)=23b⃗+13c⃗\overrightarrow{AJ}=\vec b+\frac13(\vec c-\vec b)=\frac23\vec b+\frac13\vec c, donc IJ→=13AC→\overrightarrow{IJ}=\frac13\overrightarrow{AC}. AK→=c⃗+23(d⃗−c⃗)=13c⃗+23d⃗\overrightarrow{AK}=\vec c+\frac23(\vec d-\vec c)=\frac13\vec c+\frac23\vec d, AL→=d⃗−13d⃗=23d⃗\overrightarrow{AL}=\vec d-\frac13\vec d=\frac23\vec d, donc KL→=−13AC→\overrightarrow{KL}=-\frac13\overrightarrow{AC}.

2. b. KL→=−IJ→\overrightarrow{KL}=-\overrightarrow{IJ}, c’est-à-dire IJ→=LK→\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{LK} : les droites (IJ)(IJ) et (KL)(KL) sont parallèles, donc I,J,K,LI,J,K,L sont coplanaires, et IJKLIJKL est un parallélogramme (non aplati car L∉(IJ)L\notin(IJ) : IL→\overrightarrow{IL} ci-dessous n’est pas colinéaire à c⃗\vec c).

3. IL→=23d⃗−23b⃗=23BD→\overrightarrow{IL}=\frac23\vec d-\frac23\vec b=\frac23\overrightarrow{BD}. La droite (BD)(BD) est dirigée par un vecteur du plan (IJK)(IJK) : elle est parallèle à ce plan.

Exercice 9 — Intersection de deux droites Difficile ★★★★☆

Soit ABCDABCD un tétraèdre. On définit EE, FF, GG par AE→=AB→+12AC→\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AC}, AF→=23AD→−12AC→\overrightarrow{AF}=\frac23\overrightarrow{AD}-\frac12\overrightarrow{AC} et AG→=49AD→\overrightarrow{AG}=\frac49\overrightarrow{AD}.

  1. Justifier que EE appartient au plan (ABC)(ABC).
  2. Les points EE, CC et DD sont-ils alignés ? Justifier.
  3. Justifier que les droites (FC)(FC) et (AD)(AD) sont coplanaires.
  4. Exprimer CG→\overrightarrow{CG} et CF→\overrightarrow{CF} en fonction de AC→\overrightarrow{AC} et AD→\overrightarrow{AD}.
  5. En déduire que GG est le point d’intersection des droites (AD)(AD) et (FC)(FC).
Voir la solution

1. AE→=AB→+12AC→\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AC} est combinaison linéaire de AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} : E∈P(A;AB→;AC→)=(ABC)E\in P(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})=(ABC).

2. CE→=b⃗−12c⃗\overrightarrow{CE}=\vec b-\frac12\vec c et CD→=d⃗−c⃗\overrightarrow{CD}=\vec d-\vec c. Par l’absurde, si CE→=kCD→\overrightarrow{CE}=k\overrightarrow{CD}, alors b⃗−12c⃗=kd⃗−kc⃗\vec b-\frac12\vec c=k\vec d-k\vec c ; par unicité des coefficients, le coefficient de b⃗\vec b donne 1=01=0 : contradiction. Donc EE, CC, DD ne sont pas alignés.

3. AF→=23AD→−12AC→\overrightarrow{AF}=\frac23\overrightarrow{AD}-\frac12\overrightarrow{AC}, donc F∈(ACD)F\in(ACD) ; ainsi A,C,D,FA,C,D,F sont coplanaires et les droites (FC)(FC) et (AD)(AD) sont contenues dans le plan (ACD)(ACD) : elles sont coplanaires.

4. CG→=CA→+AG→=−AC→+49AD→\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AG}=-\overrightarrow{AC}+\frac49\overrightarrow{AD} ; CF→=−AC→+23AD→−12AC→=−32AC→+23AD→\overrightarrow{CF}=-\overrightarrow{AC}+\frac23\overrightarrow{AD}-\frac12\overrightarrow{AC}=-\frac32\overrightarrow{AC}+\frac23\overrightarrow{AD}.

5. 32CG→=−32AC→+23AD→=CF→\frac32\overrightarrow{CG}=-\frac32\overrightarrow{AC}+\frac23\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CF} : C,F,GC,F,G sont alignés, donc G∈(FC)G\in(FC). Et AG→=49AD→\overrightarrow{AG}=\frac49\overrightarrow{AD} donne G∈(AD)G\in(AD). Les droites (AD)(AD) et (FC)(FC) ne sont pas parallèles (CF→\overrightarrow{CF} a un coefficient non nul sur AC→\overrightarrow{AC}) ; elles ont donc au plus un point commun : c’est GG.

Exercice 10 — Plans parallèles dans une pyramide Difficile ★★★★☆

Soit PABCDPABCD une pyramide de sommet PP dont la base ABCDABCD est un parallélogramme. On définit MM, NN, SS par BM→=13BP→\overrightarrow{BM}=\frac13\overrightarrow{BP}, CN→=13CP→\overrightarrow{CN}=\frac13\overrightarrow{CP} et AS→=23AB→\overrightarrow{AS}=\frac23\overrightarrow{AB}.

  1. Montrer que MN→\overrightarrow{MN} et AD→\overrightarrow{AD} sont colinéaires.
  2. En déduire que la droite (MN)(MN) est parallèle au plan (PAD)(PAD).
  3. Montrer que les plans (MNS)(MNS) et (PAD)(PAD) sont parallèles.
Voir la solution

On travaille dans la base (b⃗;d⃗;p⃗)=(AB→;AD→;AP→)(\vec b;\vec d;\vec p)=(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AP}) ; AC→=b⃗+d⃗\overrightarrow{AC}=\vec b+\vec d.

1. MN→=MP→+PN→=23BP→+23PC→=23BC→=23AD→\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PN}=\frac23\overrightarrow{BP}+\frac23\overrightarrow{PC}=\frac23\overrightarrow{BC}=\frac23\overrightarrow{AD} : colinéaires.

2. (MN)(MN) est dirigée par AD→\overrightarrow{AD}, vecteur du plan (PAD)(PAD) : (MN)(MN) est parallèle au plan (PAD)(PAD).

3. AM→=b⃗+13(p⃗−b⃗)=23b⃗+13p⃗\overrightarrow{AM}=\vec b+\frac13(\vec p-\vec b)=\frac23\vec b+\frac13\vec p et AS→=23b⃗\overrightarrow{AS}=\frac23\vec b, donc SM→=13AP→\overrightarrow{SM}=\frac13\overrightarrow{AP}. Le plan (MNS)(MNS) est dirigé par MN→=23AD→\overrightarrow{MN}=\frac23\overrightarrow{AD} et SM→=13AP→\overrightarrow{SM}=\frac13\overrightarrow{AP}, deux vecteurs non colinéaires dirigeant aussi (PAD)(PAD) : les plans (MNS)(MNS) et (PAD)(PAD) sont parallèles (strictement, car S∉(PAD)S\notin(PAD) : AS→=23b⃗\overrightarrow{AS}=\frac23\vec b n’est pas combinaison de d⃗\vec d et p⃗\vec p).

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