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Chapitre 7 — Suites numériques

Semestre 1

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Cours

Plan du chapitre. I. Suites numériques : définition, raisonnement par récurrence, suites majorées, minorées, bornées — II. Monotonie d’une suite numérique — III. Suites arithmétiques (définition, terme général, somme de termes consécutifs, propriété caractéristique) — IV. Suites géométriques (définition, terme général, somme de termes consécutifs, propriété caractéristique) — V. Exercices de synthèse — Résumé.

Cadre. II désigne une partie de N\N de la forme {n∈N∣n≥p}\{n\in\N\mid n\ge p\} (p∈Np\in\N). Les suites étudiées sont à valeurs réelles. Dans les solutions, le symbole   ⟺  \iff n’est écrit que lorsque chaque étape est réversible ; sinon on écrit ⟹\Longrightarrow.

I. Suites numériques : définition et bornes

1. Activité d’introduction

Activité 1

On considère la fonction ff définie sur N\N par f(x)=6x+13f(x)=6x+\frac13 (la variable ne prend que des valeurs entières naturelles).

  1. Calculer, lorsque c’est possible, f(0)f(0), f(2)f(2), f ⁣(16)f\!\left(\frac16\right), f(−3)f(-3).
  2. Exprimer f(n)f(n) pour n∈Nn\in\N, puis f(n+1)−f(n)f(n+1)-f(n).
Voir la solution
  1. f(0)=13f(0)=\frac13 et f(2)=12+13=373f(2)=12+\frac13=\frac{37}3. En revanche 16∉N\frac16\notin\N et −3∉N-3\notin\N : f ⁣(16)f\!\left(\frac16\right) et f(−3)f(-3) ne sont pas définis, car ff n’est définie que sur N\N.
  2. Pour tout n∈Nn\in\N, f(n)=6n+13f(n)=6n+\frac13 et f(n+1)−f(n)=6(n+1)−6n=6f(n+1)-f(n)=6(n+1)-6n=6.

2. Définition d’une suite numérique

Définition 1 : suite numérique

  • On appelle suite numérique toute fonction uu définie sur N\N, ou sur une partie II de N\N, et à valeurs dans R\R.
  • L’image d’un entier n∈In\in I par uu est notée unu_n (lire « uu indice nn ») plutôt que u(n)u(n) ; unu_n est le terme général (ou terme de rang nn) de la suite.

Remarque 1 : notations

  • La suite uu définie sur II est notée (un)n∈I(u_n)_{n\in I} ; si I=NI=\N, on écrit (un)n∈N(u_n)_{n\in\N}, (un)n≥0(u_n)_{n\ge0} ou simplement (un)(u_n) ; si I=N∗I=\N^*, on écrit (un)n≥1(u_n)_{n\ge1}.
  • Il ne faut pas confondre un+1u_{n+1} (terme de rang n+1n+1) et un+1u_n+1 (terme de rang nn augmenté de 11), ni u2nu_{2n} et 2un2u_n.

Exemple 1 : suite définie par une formule explicite

On considère la suite (un)(u_n) définie sur N\N par un=3n+24n+1u_n=\dfrac{3n+2}{4n+1}.

  1. Calculer u0u_0, u1u_1, u2u_2 et u3u_3.
  2. Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de nn, pour n∈Nn\in\N.
  3. Montrer que, pour tout n∈Nn\in\N, 0<un≤20<u_n\le2.
Voir la solution
  1. u0=21=2u_0=\frac21=2, u1=55=1u_1=\frac55=1, u2=89u_2=\frac89, u3=1113u_3=\frac{11}{13}.
  2. Pour tout n∈Nn\in\N : un+1=3(n+1)+24(n+1)+1=3n+54n+5u_{n+1}=\dfrac{3(n+1)+2}{4(n+1)+1}=\dfrac{3n+5}{4n+5}.
  3. Soit n∈Nn\in\N. On a 3n+2>03n+2>0 et 4n+1>04n+1>0, donc un>0u_n>0. De plus 2−un=2(4n+1)−(3n+2)4n+1=5n4n+1≥02-u_n=\dfrac{2(4n+1)-(3n+2)}{4n+1}=\dfrac{5n}{4n+1}\ge0, donc un≤2u_n\le2.

Exemple 2 : suite définie par récurrence

On considère la suite (un)(u_n) définie par u0=3u_0=3 et, pour tout n∈Nn\in\N, un+1=4−4unu_{n+1}=4-\dfrac4{u_n}.

  1. Calculer u1u_1, u2u_2, u3u_3 et u4u_4 (on admet provisoirement que les termes sont non nuls).
  2. Montrer par récurrence que, pour tout n∈Nn\in\N, un≥2u_n\ge2 (ce qui justifie que un+1u_{n+1} est bien défini).
Voir la solution
  1. u1=4−43=83u_1=4-\frac43=\frac83 ; u2=4−32=52u_2=4-\frac32=\frac52 ; u3=4−85=125u_3=4-\frac85=\frac{12}5 ; u4=4−53=73u_4=4-\frac53=\frac73.
  2. Initialisation : u0=3≥2u_0=3\ge2. Hérédité : soit n∈Nn\in\N tel que un≥2u_n\ge2. Alors un>0u_n>0, un+1u_{n+1} est défini et un+1−2=2−4un=2(un−2)un≥0u_{n+1}-2=2-\dfrac4{u_n}=\dfrac{2(u_n-2)}{u_n}\ge0 (numérateur ≥0\ge0, dénominateur >0>0). Donc un+1≥2u_{n+1}\ge2. Conclusion : pour tout n∈Nn\in\N, un≥2u_n\ge2.
Figure

Remarque 2 : modes de définition d’une suite

Une suite (un)n∈I(u_n)_{n\in I} peut être définie :

  • par une formule explicite : un=f(n)u_n=f(n), où ff est une fonction définie (au moins) sur II ; on calcule directement n’importe quel terme ;
  • par récurrence : on donne le (ou les) premier(s) terme(s) et une relation qui permet de calculer chaque terme à partir du (ou des) précédent(s), par exemple un+1=g(un)u_{n+1}=g(u_n) ou un+2=aun+1+bunu_{n+2}=au_{n+1}+bu_n. Pour calculer u10u_{10}, il faut en général calculer les termes précédents. Il faut aussi s’assurer que chaque terme est bien défini (dénominateur non nul, radicande positif…).

3. Raisonnement par récurrence

Propriété — principe de récurrence

Soient p∈Np\in\N et P(n)P(n) une proposition qui dépend de l’entier n≥pn\ge p. Si

  • (initialisation) P(p)P(p) est vraie, et
  • (hérédité) pour tout entier n≥pn\ge p, P(n)⟹P(n+1)P(n)\Longrightarrow P(n+1),

alors P(n)P(n) est vraie pour tout entier n≥pn\ge p.

Méthode — rédiger une récurrence

  1. Énoncer clairement la proposition P(n)P(n) et l’ensemble des entiers concernés.
  2. Vérifier P(p)P(p).
  3. Fixer un entier n≥pn\ge p, supposer P(n)P(n) (hypothèse de récurrence) et démontrer P(n+1)P(n+1).
  4. Conclure : « d’après le principe de récurrence, pour tout n≥pn\ge p, P(n)P(n) ».

Exemple 3

  1. Montrer que, pour tout n∈Nn\in\N, 7n−17^n-1 est divisible par 66.
  2. Montrer que, pour tout n∈N∗n\in\N^*, ∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6.
  3. Soit aa un réel positif. Montrer que, pour tout n∈Nn\in\N, (1+a)n≥1+na(1+a)^n\ge1+na (inégalité de Bernoulli).
Voir la solution
  1. P(n)P(n) : « 66 divise 7n−17^n-1 ». P(0)P(0) : 70−1=0=6×07^0-1=0=6\times0. Soit n∈Nn\in\N tel que 7n−1=6q7^n-1=6q avec q∈Nq\in\N. Alors 7n+1−1=7(7n−1)+6=6(7q+1)7^{n+1}-1=7(7^n-1)+6=6(7q+1) : P(n+1)P(n+1) est vraie. Conclusion : pour tout n∈Nn\in\N, 6∣7n−16\mid 7^n-1.
  2. Pour n=1n=1 : 1=1×2×361=\frac{1\times2\times3}6. Soit n∈N∗n\in\N^* tel que l’égalité soit vraie. Alors ∑k=1n+1k2=n(n+1)(2n+1)6+(n+1)2=(n+1)(2n2+7n+6)6=(n+1)(n+2)(2n+3)6\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6+(n+1)^2=\frac{(n+1)\big(2n^2+7n+6\big)}6=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}6, qui est l’égalité au rang n+1n+1.
  3. Pour n=0n=0 : 1≥11\ge1. Soit n∈Nn\in\N tel que (1+a)n≥1+na(1+a)^n\ge1+na. Comme 1+a>01+a>0 : (1+a)n+1≥(1+na)(1+a)=1+(n+1)a+na2≥1+(n+1)a(1+a)^{n+1}\ge(1+na)(1+a)=1+(n+1)a+na^2\ge1+(n+1)a.

4. Suites majorées, minorées, bornées

Définition 2

Soit (un)n∈I(u_n)_{n\in I} une suite numérique.

  • (un)n∈I(u_n)_{n\in I} est majorée s’il existe un réel MM tel que : (∀n∈I) un≤M(\forall n\in I)\ u_n\le M (MM est un majorant).
  • (un)n∈I(u_n)_{n\in I} est minorée s’il existe un réel mm tel que : (∀n∈I) un≥m(\forall n\in I)\ u_n\ge m (mm est un minorant).
  • (un)n∈I(u_n)_{n\in I} est bornée si elle est à la fois majorée et minorée, c’est-à-dire s’il existe un réel K≥0K\ge0 tel que (∀n∈I) ∣un∣≤K(\forall n\in I)\ |u_n|\le K.

Exemple 4

Étudier si la suite de l’exemple 1 est bornée, si la suite de l’exemple 2 est minorée, et si la suite (wn)(w_n) définie sur N\N par wn=(−1)n nw_n=(-1)^n\,n est majorée ou minorée.

Voir la solution
  • La suite de l’exemple 1 est bornée : (∀n∈N) 0<un≤2(\forall n\in\N)\ 0<u_n\le2.
  • La suite de l’exemple 2 est minorée par 22.
  • La suite (wn)(w_n) définie sur N\N par wn=(−1)n nw_n=(-1)^n\,n n’est ni majorée ni minorée : w2n=2nw_{2n}=2n dépasse tout réel donné et w2n+1=−(2n+1)w_{2n+1}=-(2n+1) devient inférieur à tout réel donné.

Remarque 3

Un majorant (resp. minorant) n’est pas unique : si MM majore (un)(u_n), tout réel M′≥MM'\ge M la majore aussi. Pour montrer que (un)(u_n) est majorée par MM, on étudie le signe de M−unM-u_n, ou l’on procède par récurrence (suites récurrentes), ou l’on utilise des encadrements.

Application 1

On considère la suite (vn)(v_n) définie sur N\N par vn=5n−1n+2v_n=\dfrac{5n-1}{n+2}.

  1. Montrer que, pour tout n∈Nn\in\N, vn=5−11n+2v_n=5-\dfrac{11}{n+2}.
  2. En déduire que (vn)(v_n) est bornée, en précisant un majorant et un minorant.
Voir la solution
  1. Pour tout n∈Nn\in\N : 5−11n+2=5n+10−11n+2=5n−1n+2=vn5-\frac{11}{n+2}=\frac{5n+10-11}{n+2}=\frac{5n-1}{n+2}=v_n.
  2. Soit n∈Nn\in\N : n+2≥2n+2\ge2, donc 0<11n+2≤1120<\frac{11}{n+2}\le\frac{11}2, puis 5−112≤vn<55-\frac{11}2\le v_n<5. Ainsi (∀n∈N) −12≤vn<5(\forall n\in\N)\ -\frac12\le v_n<5 : la suite est majorée par 55, minorée par −12-\frac12 (atteint pour n=0n=0), donc bornée.

II. Monotonie d’une suite numérique

1. Définitions

Définition 3

Soit (un)n∈I(u_n)_{n\in I} une suite numérique.

  • (un)n∈I(u_n)_{n\in I} est croissante si : (∀n,m∈I)  n>m⟹un≥um(\forall n,m\in I)\ \ n>m\Longrightarrow u_n\ge u_m ; strictement croissante si n>m⟹un>umn>m\Longrightarrow u_n>u_m.
  • (un)n∈I(u_n)_{n\in I} est décroissante si : (∀n,m∈I)  n>m⟹un≤um(\forall n,m\in I)\ \ n>m\Longrightarrow u_n\le u_m ; strictement décroissante si n>m⟹un<umn>m\Longrightarrow u_n<u_m.
  • (un)n∈I(u_n)_{n\in I} est constante si : (∀n,m∈I) un=um(\forall n,m\in I)\ u_n=u_m.
  • Une suite croissante ou décroissante est dite monotone.

Remarque 4

  • Si (un)n≥p(u_n)_{n\ge p} est croissante, alors (∀n≥p) un≥up(\forall n\ge p)\ u_n\ge u_p : elle est minorée par son premier terme.
  • Si (un)n≥p(u_n)_{n\ge p} est décroissante, alors (∀n≥p) un≤up(\forall n\ge p)\ u_n\le u_p : elle est majorée par son premier terme.
  • Une suite peut n’être ni croissante ni décroissante : c’est le cas de ((−1)n)n∈N\big((-1)^n\big)_{n\in\N}.

2. Caractérisation et méthodes

Propriété 1

Soit (un)n∈I(u_n)_{n\in I} une suite numérique.

  • (un)n∈I(u_n)_{n\in I} est croissante   ⟺  (∀n∈I) un+1≥un\iff(\forall n\in I)\ u_{n+1}\ge u_n ;
  • (un)n∈I(u_n)_{n\in I} est décroissante   ⟺  (∀n∈I) un+1≤un\iff(\forall n\in I)\ u_{n+1}\le u_n ;
  • (un)n∈I(u_n)_{n\in I} est constante   ⟺  (∀n∈I) un+1=un\iff(\forall n\in I)\ u_{n+1}=u_n.

Les mêmes équivalences sont vraies avec des inégalités strictes pour la stricte monotonie.

Remarque — démonstration du premier point

Le sens direct s’obtient avec m=nm=n et n+1>nn+1>n. Réciproquement, si uk+1≥uku_{k+1}\ge u_k pour tout k∈Ik\in I, alors pour n>mn>m dans II : un−um=∑k=mn−1(uk+1−uk)≥0u_n-u_m=\sum_{k=m}^{n-1}(u_{k+1}-u_k)\ge0.

Méthode — étudier la monotonie

  1. Signe de la différence : étudier le signe de un+1−unu_{n+1}-u_n pour tout n∈In\in I.
  2. Comparaison du quotient à 1 : si tous les termes sont strictement positifs, comparer un+1un\dfrac{u_{n+1}}{u_n} à 11 (≥1\ge1 : croissante ; ≤1\le1 : décroissante).
  3. Formule explicite : si un=f(n)u_n=f(n) avec ff monotone sur [p;+∞[[p;+\infty[ (variations connues par le chapitre sur les fonctions), alors (un)n≥p(u_n)_{n\ge p} a la même monotonie que ff.
  4. Suite récurrente : on démontre souvent l’inégalité un+1≤unu_{n+1}\le u_n (ou ≥\ge) par récurrence, ou l’on factorise un+1−unu_{n+1}-u_n après avoir encadré unu_n.

Exemple 5

Étudier la monotonie des suites suivantes :

  1. (un)(u_n) définie sur N\N par un=−4n+7u_n=-4n+7 ;
  2. (vn)n≥1(v_n)_{n\ge1} définie sur N∗\N^* par vn=3n−2nv_n=\dfrac{3n-2}n ;
  3. (wn)n≥1(w_n)_{n\ge1} définie sur N∗\N^* par wn=n2nw_n=\dfrac n{2^n}.
Voir la solution
  1. Pour tout n∈Nn\in\N, un+1−un=−4<0u_{n+1}-u_n=-4<0 : (un)(u_n) est strictement décroissante.
  2. Pour tout n∈N∗n\in\N^*, vn=3−2nv_n=3-\frac2n, donc vn+1−vn=2n−2n+1=2n(n+1)>0v_{n+1}-v_n=\frac2n-\frac2{n+1}=\frac2{n(n+1)}>0 : (vn)n≥1(v_n)_{n\ge1} est strictement croissante.
  3. Pour tout n∈N∗n\in\N^*, wn>0w_n>0 et wn+1wn=n+12n\dfrac{w_{n+1}}{w_n}=\dfrac{n+1}{2n}. Or n+12n≤1  ⟺  n+1≤2n  ⟺  n≥1\frac{n+1}{2n}\le1\iff n+1\le2n\iff n\ge1 : c’est vrai pour tout n∈N∗n\in\N^*. Donc (wn)n≥1(w_n)_{n\ge1} est décroissante (elle n’est pas strictement décroissante car w1=w2=12w_1=w_2=\frac12).

Exemple 6

On considère la suite (vn)(v_n) définie par v0=18v_0=\frac18 et, pour tout n∈Nn\in\N, vn+1=2vn2+12vnv_{n+1}=2v_n^2+\frac12v_n.

  1. Calculer v1v_1 et v2v_2.
  2. Montrer par récurrence que, pour tout n∈Nn\in\N, 0<vn<140<v_n<\frac14.
  3. Vérifier que, pour tout n∈Nn\in\N, vn+1−vn=2vn(vn−14)v_{n+1}-v_n=2v_n\left(v_n-\frac14\right).
  4. En déduire la monotonie de (vn)(v_n).
Voir la solution
  1. v1=2×164+116=332v_1=2\times\frac1{64}+\frac1{16}=\frac3{32} ; v2=2×91024+364=661024=33512v_2=2\times\frac9{1024}+\frac3{64}=\frac{66}{1024}=\frac{33}{512}.
  2. P(0)P(0) : 0<18<140<\frac18<\frac14. Soit n∈Nn\in\N tel que 0<vn<140<v_n<\frac14. On a vn+1=vn(2vn+12)v_{n+1}=v_n\left(2v_n+\frac12\right) avec vn>0v_n>0 et 12<2vn+12<1\frac12<2v_n+\frac12<1. Donc vn+1>0v_{n+1}>0 et vn+1<vn×1<14v_{n+1}<v_n\times1<\frac14.
  3. vn+1−vn=2vn2−12vn=2vn(vn−14)v_{n+1}-v_n=2v_n^2-\frac12v_n=2v_n\left(v_n-\frac14\right).
  4. D’après 2, vn>0v_n>0 et vn−14<0v_n-\frac14<0 : vn+1−vn<0v_{n+1}-v_n<0 pour tout n∈Nn\in\N. La suite (vn)(v_n) est strictement décroissante.

Application 2

On considère la suite (an)(a_n) définie sur N\N par an=n+1−na_n=\sqrt{n+1}-\sqrt n.

  1. Montrer que, pour tout n∈Nn\in\N, an=1n+1+na_n=\dfrac1{\sqrt{n+1}+\sqrt n}.
  2. En déduire que (an)(a_n) est strictement décroissante et que, pour tout n∈Nn\in\N, 0<an≤10<a_n\le1.
Voir la solution
  1. an=(n+1−n)(n+1+n)n+1+n=(n+1)−nn+1+na_n=\dfrac{(\sqrt{n+1}-\sqrt n)(\sqrt{n+1}+\sqrt n)}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\dfrac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}.
  2. La suite (n+1+n)\big(\sqrt{n+1}+\sqrt n\big) est strictement croissante et à termes strictement positifs (somme de deux suites strictement croissantes, la racine carrée étant strictement croissante sur R+\R_+) ; son inverse (an)(a_n) est donc strictement décroissante. Ainsi 0<an≤a0=10<a_n\le a_0=1.

III. Suites arithmétiques

1. Définition

Définition 4

Une suite (un)n∈I(u_n)_{n\in I} est arithmétique s’il existe un réel rr tel que : (∀n∈I) un+1−un=r(\forall n\in I)\ u_{n+1}-u_n=r, c’est-à-dire un+1=un+ru_{n+1}=u_n+r. Le réel rr est la raison de la suite.

Exemple 7

  1. On considère la suite (un)(u_n) définie sur N\N par un=7−3nu_n=7-3n. Montrer que (un)(u_n) est arithmétique et préciser sa raison et son premier terme.
  2. On considère la suite (sn)(s_n) définie sur N\N par sn=n2s_n=n^2. Montrer que (sn)(s_n) n’est pas arithmétique.
Voir la solution
  1. Pour tout n∈Nn\in\N, un+1−un=7−3(n+1)−7+3n=−3u_{n+1}-u_n=7-3(n+1)-7+3n=-3 : suite arithmétique de raison r=−3r=-3 et de premier terme u0=7u_0=7.
  2. s1−s0=1s_1-s_0=1 et s2−s1=3s_2-s_1=3 : la différence de deux termes consécutifs n’est pas constante.

2. Terme général

Propriété 2

Si (un)n∈I(u_n)_{n\in I} est arithmétique de raison rr, alors pour tous n,p∈In,p\in I : un=up+(n−p)ru_n=u_p+(n-p)r. En particulier un=u0+nru_n=u_0+nr (n∈Nn\in\N) et un=u1+(n−1)ru_n=u_1+(n-1)r (n∈N∗n\in\N^*).

Remarque — démonstration

Pour n≥pn\ge p : un−up=∑k=pn−1(uk+1−uk)=(n−p)ru_n-u_p=\sum_{k=p}^{n-1}(u_{k+1}-u_k)=(n-p)r. Pour n<pn<p, on échange les rôles de nn et pp.

Exemple 8

On considère une suite arithmétique (un)(u_n) telle que u3=10u_3=10 et u8=25u_8=25. Déterminer sa raison rr, son premier terme u0u_0 et l’expression de unu_n en fonction de n∈Nn\in\N.

Voir la solution

u8=u3+5ru_8=u_3+5r, donc 5r=155r=15 et r=3r=3. Puis u0=u3−3r=1u_0=u_3-3r=1 et, pour tout n∈Nn\in\N, un=1+3nu_n=1+3n.

3. Somme de termes consécutifs

Propriété 3

Si (un)n∈I(u_n)_{n\in I} est arithmétique et p∈Ip\in I, alors pour tout n≥pn\ge p : ∑k=pnuk=up+up+1+⋯+un=(n−p+1)×up+un2,\sum_{k=p}^{n}u_k=u_p+u_{p+1}+\cdots+u_n=(n-p+1)\times\frac{u_p+u_n}2 , c’est-à-dire (nombre de termes) ×\times premier terme+dernier terme2\dfrac{\text{premier terme}+\text{dernier terme}}2. En particulier 1+2+⋯+n=n(n+1)21+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}2.

Remarque — démonstration (méthode de Gauss)

On note SS la somme et on l’écrit dans les deux sens : 2S=∑k=pn(uk+un+p−k)2S=\sum_{k=p}^{n}(u_k+u_{n+p-k}). Or uk+un+p−k=up+(k−p)r+up+(n−k)r=up+unu_k+u_{n+p-k}=u_p+(k-p)r+u_p+(n-k)r=u_p+u_n : chacun des n−p+1n-p+1 termes vaut up+unu_p+u_n.

Exemple 9

On reprend la suite (un)(u_n) définie sur N\N par un=7−3nu_n=7-3n. Calculer ∑k=09uk\displaystyle\sum_{k=0}^{9}u_k.

Voir la solution

Il y a 1010 termes, u0=7u_0=7 et u9=−20u_9=-20 : ∑k=09uk=10×7−202=−65\displaystyle\sum_{k=0}^{9}u_k=10\times\frac{7-20}2=-65.

Exemple 10 : suite homographique et suite arithmétique auxiliaire

On considère la suite (un)(u_n) définie par u0=3u_0=3 et, pour tout n∈Nn\in\N, un+1=3un−4un−1u_{n+1}=\dfrac{3u_n-4}{u_n-1}.

  1. Montrer par récurrence que, pour tout n∈Nn\in\N, un>2u_n>2 (donc un≠1u_n\neq1 et un+1u_{n+1} est défini). Calculer u1u_1 et u2u_2.
  2. On considère la suite (vn)(v_n) définie sur N\N par vn=1un−2v_n=\dfrac1{u_n-2}. a. Montrer que (vn)(v_n) est arithmétique et préciser sa raison. b. Exprimer vnv_n, puis unu_n, en fonction de nn. c. Exprimer en fonction de nn la somme Sn=∑k=0nvkS_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}v_k.
Voir la solution
  1. u0=3>2u_0=3>2. Si un>2u_n>2, alors un−1>0u_n-1>0 et un+1−2=3un−4−2un+2un−1=un−2un−1>0u_{n+1}-2=\dfrac{3u_n-4-2u_n+2}{u_n-1}=\dfrac{u_n-2}{u_n-1}>0. Donc un>2u_n>2 pour tout n∈Nn\in\N. Puis u1=52u_1=\frac52 et u2=7/23/2=73u_2=\frac{7/2}{3/2}=\frac73.
  2. a. vn+1=1un+1−2=un−1un−2=(un−2)+1un−2=1+vnv_{n+1}=\dfrac1{u_{n+1}-2}=\dfrac{u_n-1}{u_n-2}=\dfrac{(u_n-2)+1}{u_n-2}=1+v_n : (vn)(v_n) est arithmétique de raison 11, et v0=13−2=1v_0=\frac1{3-2}=1. b. vn=1+nv_n=1+n ; de un−2=1vnu_n-2=\frac1{v_n} on tire un=2+1n+1=2n+3n+1u_n=2+\dfrac1{n+1}=\dfrac{2n+3}{n+1}. c. Sn=(n+1)×v0+vn2=(n+1)(n+2)2S_n=(n+1)\times\dfrac{v_0+v_n}2=\dfrac{(n+1)(n+2)}2.

4. Propriété caractéristique

Propriété 4

Soit (un)n∈I(u_n)_{n\in I} une suite numérique. (un)n∈I(u_n)_{n\in I} est arithmétique   ⟺  (∀n∈I)  2un+1=un+un+2\iff(\forall n\in I)\ \ 2u_{n+1}=u_n+u_{n+2}.

En particulier, trois réels aa, bb, cc sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d’une suite arithmétique si et seulement si 2b=a+c2b=a+c.

Remarque — démonstration

2un+1=un+un+2  ⟺  un+2−un+1=un+1−un2u_{n+1}=u_n+u_{n+2}\iff u_{n+2}-u_{n+1}=u_{n+1}-u_n. Si cette égalité est vraie pour tout nn, la différence un+1−unu_{n+1}-u_n est constante (égale à up+1−upu_{p+1}-u_p) ; la réciproque est immédiate.

Exemple 11

  1. Soit (un)(u_n) une suite arithmétique telle que u2+u3+u4=27u_2+u_3+u_4=27. Calculer u3u_3.
  2. Déterminer trois réels aa, bb, cc, termes consécutifs (dans cet ordre) d’une suite arithmétique, tels que a+b+c=12a+b+c=12 et abc=28abc=28.
Voir la solution
  1. u2+u4=2u3u_2+u_4=2u_3, donc 3u3=273u_3=27 et u3=9u_3=9.
  2. a+c=2ba+c=2b donne 3b=123b=12, b=4b=4. On note rr la raison : a=4−ra=4-r, c=4+rc=4+r et abc=4(16−r2)=28  ⟺  r2=9  ⟺  r∈{−3;3}abc=4(16-r^2)=28\iff r^2=9\iff r\in\{-3;3\}. Solutions : (a;b;c)=(1;4;7)(a;b;c)=(1;4;7) ou (7;4;1)(7;4;1).

IV. Suites géométriques

1. Définition

Définition 5

Une suite (un)n∈I(u_n)_{n\in I} est géométrique s’il existe un réel qq tel que : (∀n∈I) un+1=q un(\forall n\in I)\ u_{n+1}=q\,u_n. Le réel qq est la raison de la suite.

Exemple 12

  1. On considère la suite (un)(u_n) définie sur N\N par un=3n+12nu_n=\dfrac{3^{n+1}}{2^n}. Montrer que (un)(u_n) est géométrique.
  2. On considère la suite (tn)(t_n) définie sur N\N par tn=n 2nt_n=n\,2^n. Montrer que (tn)(t_n) n’est pas géométrique.
Voir la solution
  1. Pour tout n∈Nn\in\N : un+1=3n+22n+1=32×3n+12n=32unu_{n+1}=\dfrac{3^{n+2}}{2^{n+1}}=\dfrac32\times\dfrac{3^{n+1}}{2^n}=\dfrac32u_n : raison q=32q=\frac32, premier terme u0=3u_0=3.
  2. t0=0t_0=0, t1=2t_1=2 : si (tn)(t_n) était géométrique de raison qq, on aurait t1=q t0=0t_1=q\,t_0=0, ce qui est faux.

2. Terme général

Propriété 5

Si (un)n∈I(u_n)_{n\in I} est géométrique de raison qq, alors pour tous n,p∈In,p\in I avec n≥pn\ge p : un=up×q n−pu_n=u_p\times q^{\,n-p}. En particulier un=u0 qnu_n=u_0\,q^n (n∈Nn\in\N) et un=u1 qn−1u_n=u_1\,q^{n-1} (n∈N∗n\in\N^*).

Exemple 13

On considère une suite géométrique (vn)(v_n) telle que v2=12v_2=12 et v5=−96v_5=-96. Déterminer sa raison qq, son premier terme v0v_0 et l’expression de vnv_n en fonction de n∈Nn\in\N.

Voir la solution

v5=v2 q3v_5=v_2\,q^3, donc q3=−8q^3=-8 et q=−2q=-2 (un réel a une unique racine cubique). Puis v2=v0 q2=4v0v_2=v_0\,q^2=4v_0 donne v0=3v_0=3 ; pour tout n∈Nn\in\N, vn=3(−2)nv_n=3(-2)^n.

3. Somme de termes consécutifs

Propriété 6

Si (un)n∈I(u_n)_{n\in I} est géométrique de raison q≠1q\neq1 et p∈Ip\in I, alors pour tout n≥pn\ge p : ∑k=pnuk=up×1−q n−p+11−q,\sum_{k=p}^{n}u_k=u_p\times\frac{1-q^{\,n-p+1}}{1-q}, c’est-à-dire (premier terme) ×1−qnombre de termes1−q\times\dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}. Si q=1q=1, la somme vaut (n−p+1) up(n-p+1)\,u_p.

Remarque — démonstration

Pour q≠1q\neq1 et m∈Nm\in\N : (1−q)(1+q+⋯+qm)=1−qm+1(1-q)(1+q+\cdots+q^{m})=1-q^{m+1} (les termes se compensent). Il suffit de factoriser upu_p : ∑k=pnuk=up∑j=0n−pqj\sum_{k=p}^{n}u_k=u_p\sum_{j=0}^{n-p}q^j.

Exemple 14

On considère les suites (un)(u_n) et (vn)(v_n) définies par u0=2u_0=2, un+1=23un+1u_{n+1}=\frac23u_n+1 et vn=un−3v_n=u_n-3 pour tout n∈Nn\in\N.

  1. Calculer u1u_1, u2u_2, v0v_0 et v1v_1.
  2. Montrer que (vn)(v_n) est géométrique de raison 23\frac23.
  3. Exprimer vnv_n, puis unu_n, en fonction de nn.
  4. Montrer que ∑k=010vk=−3(1−(23)11)\displaystyle\sum_{k=0}^{10}v_k=-3\left(1-\left(\frac23\right)^{11}\right) et que ∑k=010uk=30+3(23)11\displaystyle\sum_{k=0}^{10}u_k=30+3\left(\frac23\right)^{11}.
Voir la solution
  1. u1=43+1=73u_1=\frac43+1=\frac73, u2=149+1=239u_2=\frac{14}9+1=\frac{23}9, v0=−1v_0=-1, v1=−23v_1=-\frac23.
  2. vn+1=23un+1−3=23(un−3)=23vnv_{n+1}=\frac23u_n+1-3=\frac23(u_n-3)=\frac23v_n.
  3. vn=−(23)nv_n=-\left(\frac23\right)^n et un=3−(23)nu_n=3-\left(\frac23\right)^n.
  4. ∑k=010vk=v0×1−(2/3)111−2/3=−3(1−(23)11)\sum_{k=0}^{10}v_k=v_0\times\dfrac{1-(2/3)^{11}}{1-2/3}=-3\left(1-\left(\frac23\right)^{11}\right). Puis ∑k=010uk=∑k=010(vk+3)=−3+3(23)11+33=30+3(23)11\sum_{k=0}^{10}u_k=\sum_{k=0}^{10}(v_k+3)=-3+3\left(\frac23\right)^{11}+33=30+3\left(\frac23\right)^{11}.

4. Propriété caractéristique

Propriété 7

Soit (un)n∈I(u_n)_{n\in I} une suite à termes non nuls. (un)n∈I(u_n)_{n\in I} est géométrique   ⟺  (∀n∈I)  un+12=un un+2\iff(\forall n\in I)\ \ u_{n+1}^2=u_n\,u_{n+2}. En particulier, trois réels non nuls aa, bb, cc sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d’une suite géométrique si et seulement si b2=acb^2=ac.

Remarque — démonstration

Les termes étant non nuls, un+12=unun+2  ⟺  un+2un+1=un+1unu_{n+1}^2=u_nu_{n+2}\iff\dfrac{u_{n+2}}{u_{n+1}}=\dfrac{u_{n+1}}{u_n} : le quotient de deux termes consécutifs est constant.

Exemple 15

Déterminer trois réels aa, bb, cc, termes consécutifs (dans cet ordre) d’une suite géométrique, tels que a+b+c=21a+b+c=21 et abc=216abc=216.

Voir la solution

b2=acb^2=ac donne b3=abc=216b^3=abc=216, donc b=6b=6. Avec la raison q≠0q\neq0 : a=6qa=\frac6q, c=6qc=6q, et 6q+6+6q=21  ⟺  6q2−15q+6=0  ⟺  2q2−5q+2=0  ⟺  q∈{2;12}\frac6q+6+6q=21\iff6q^2-15q+6=0\iff2q^2-5q+2=0\iff q\in\left\{2;\frac12\right\}. Solutions : (3;6;12)(3;6;12) ou (12;6;3)(12;6;3).

V. Exercices de synthèse

Exercice d’application 1

On considère la suite (un)(u_n) définie par u0=3u_0=3 et, pour tout n∈Nn\in\N, un+1=3un+2un+2u_{n+1}=\dfrac{3u_n+2}{u_n+2}.

  1. Montrer que, pour tout n∈Nn\in\N, un>2u_n>2.
  2. a. Montrer que, pour tout n∈Nn\in\N, un+1−un=(2−un)(un+1)un+2u_{n+1}-u_n=\dfrac{(2-u_n)(u_n+1)}{u_n+2}. b. En déduire la monotonie de (un)(u_n).
  3. On considère la suite (vn)(v_n) définie sur N\N par vn=un−2un+1v_n=\dfrac{u_n-2}{u_n+1}. a. Montrer que (vn)(v_n) est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. b. Exprimer vnv_n, puis unu_n, en fonction de nn. c. Soit n∈N∗n\in\N^*. Exprimer en fonction de nn la somme Sn=∑k=0n−1vkS_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}v_k. d. En déduire l’expression, en fonction de nn, de Tn=∑k=0n−13uk+1T_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\frac3{u_k+1}.
Voir la solution
  1. u0=3>2u_0=3>2 ; si un>2u_n>2, alors un+2>0u_n+2>0 et un+1−2=un−2un+2>0u_{n+1}-2=\dfrac{u_n-2}{u_n+2}>0. Par récurrence, un>2u_n>2 pour tout n∈Nn\in\N.
  2. a. un+1−un=3un+2−un2−2unun+2=−un2+un+2un+2=(2−un)(un+1)un+2u_{n+1}-u_n=\dfrac{3u_n+2-u_n^2-2u_n}{u_n+2}=\dfrac{-u_n^2+u_n+2}{u_n+2}=\dfrac{(2-u_n)(u_n+1)}{u_n+2}. b. 2−un<02-u_n<0, un+1>0u_n+1>0, un+2>0u_n+2>0 : un+1−un<0u_{n+1}-u_n<0. La suite est strictement décroissante.
  3. a. un+1+1=4un+4un+2u_{n+1}+1=\dfrac{4u_n+4}{u_n+2}, donc vn+1=un−2un+2×un+24(un+1)=14vnv_{n+1}=\dfrac{u_n-2}{u_n+2}\times\dfrac{u_n+2}{4(u_n+1)}=\frac14v_n : raison 14\frac14, premier terme v0=14v_0=\frac14. b. vn=(14)n+1v_n=\left(\frac14\right)^{n+1}. De vn(un+1)=un−2v_n(u_n+1)=u_n-2 : un(1−vn)=2+vnu_n(1-v_n)=2+v_n, et vn≠1v_n\neq1, donc un=2+vn1−vn=2×4n+1+14n+1−1u_n=\dfrac{2+v_n}{1-v_n}=\dfrac{2\times4^{n+1}+1}{4^{n+1}-1}. c. Sn=14×1−(1/4)n1−1/4=13(1−14n)S_n=\frac14\times\dfrac{1-(1/4)^n}{1-1/4}=\dfrac13\left(1-\dfrac1{4^n}\right). d. 1−vk=(uk+1)−(uk−2)uk+1=3uk+11-v_k=\dfrac{(u_k+1)-(u_k-2)}{u_k+1}=\dfrac3{u_k+1}, donc Tn=∑k=0n−1(1−vk)=n−Sn=n−13(1−14n)T_n=\sum_{k=0}^{n-1}(1-v_k)=n-S_n=n-\dfrac13\left(1-\dfrac1{4^n}\right).

Exercice d’application 2

On considère la suite (un)(u_n) définie par u0=52u_0=\frac52 et, pour tout n∈Nn\in\N, un+1=65−unu_{n+1}=\dfrac6{5-u_n}.

  1. Montrer que, pour tout n∈Nn\in\N, 2<un<32<u_n<3.
  2. Étudier la monotonie de (un)(u_n).
  3. On considère la suite (vn)(v_n) définie sur N\N par vn=un−2un−3v_n=\dfrac{u_n-2}{u_n-3}. a. Montrer que (vn)(v_n) est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. b. Exprimer vnv_n, puis unu_n, en fonction de nn. c. Calculer la somme T=∑k=1101uk−3T=\displaystyle\sum_{k=1}^{10}\frac1{u_k-3}.
Voir la solution
  1. 2<52<32<\frac52<3. Si 2<un<32<u_n<3, alors 5−un>05-u_n>0, un+1−2=2(un−2)5−un>0u_{n+1}-2=\dfrac{2(u_n-2)}{5-u_n}>0 et un+1−3=3(un−3)5−un<0u_{n+1}-3=\dfrac{3(u_n-3)}{5-u_n}<0. Par récurrence, 2<un<32<u_n<3 pour tout nn.
  2. un+1−un=6−5un+un25−un=(un−2)(un−3)5−un<0u_{n+1}-u_n=\dfrac{6-5u_n+u_n^2}{5-u_n}=\dfrac{(u_n-2)(u_n-3)}{5-u_n}<0 : (un)(u_n) est strictement décroissante.
  3. a. vn+1=2(un−2)5−un×5−un3(un−3)=23vnv_{n+1}=\dfrac{2(u_n-2)}{5-u_n}\times\dfrac{5-u_n}{3(u_n-3)}=\frac23v_n ; v0=1/2−1/2=−1v_0=\dfrac{1/2}{-1/2}=-1. b. vn=−(23)nv_n=-\left(\frac23\right)^n ; de vn(un−3)=un−2v_n(u_n-3)=u_n-2 : un=3vn−2vn−1=2+3(2/3)n1+(2/3)nu_n=\dfrac{3v_n-2}{v_n-1}=\dfrac{2+3(2/3)^n}{1+(2/3)^n}. c. vk=1+1uk−3v_k=1+\dfrac1{u_k-3}, donc 1uk−3=vk−1\dfrac1{u_k-3}=v_k-1 et T=∑k=110vk−10=−23×1−(2/3)101/3−10=−12+2(23)10T=\sum_{k=1}^{10}v_k-10=-\frac23\times\dfrac{1-(2/3)^{10}}{1/3}-10=-12+2\left(\frac23\right)^{10}.

Exercice d’application 3

On considère les suites (an)(a_n) et (bn)(b_n) définies sur N\N par an=∑k=02n+1(−1)kk+1a_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{2n+1}\frac{(-1)^k}{k+1} et bn=∑k=02n(−1)kk+1b_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{2n}\frac{(-1)^k}{k+1}.

  1. Montrer que la suite (an)(a_n) est croissante.
  2. Montrer que la suite (bn)(b_n) est décroissante.
  3. Montrer que, pour tout n∈Nn\in\N, an<bna_n<b_n.
  4. En déduire que (an)(a_n) est majorée et que (bn)(b_n) est minorée.
Voir la solution
  1. an+1−an=(−1)2n+22n+3+(−1)2n+32n+4=12n+3−12n+4=1(2n+3)(2n+4)>0a_{n+1}-a_n=\dfrac{(-1)^{2n+2}}{2n+3}+\dfrac{(-1)^{2n+3}}{2n+4}=\dfrac1{2n+3}-\dfrac1{2n+4}=\dfrac1{(2n+3)(2n+4)}>0.
  2. bn+1−bn=−12n+2+12n+3=−1(2n+2)(2n+3)<0b_{n+1}-b_n=-\dfrac1{2n+2}+\dfrac1{2n+3}=-\dfrac1{(2n+2)(2n+3)}<0.
  3. bn−an=−(−1)2n+12n+2=12n+2>0b_n-a_n=-\dfrac{(-1)^{2n+1}}{2n+2}=\dfrac1{2n+2}>0.
  4. an<bn≤b0=1a_n<b_n\le b_0=1 : (an)(a_n) est majorée par 11. bn>an≥a0=1−12=12b_n>a_n\ge a_0=1-\frac12=\frac12 : (bn)(b_n) est minorée par 12\frac12.

Exercice d’application 4

On considère la suite (un)n≥1(u_n)_{n\ge1} définie sur N∗\N^* par un=∑k=n2n1ku_n=\displaystyle\sum_{k=n}^{2n}\frac1k.

  1. Vérifier que, pour tout k∈{n;…;2n}k\in\{n;\ldots;2n\}, 12n≤1k≤1n\dfrac1{2n}\le\dfrac1k\le\dfrac1n, et en déduire que, pour tout n∈N∗n\in\N^*, n+12n≤un≤n+1n\dfrac{n+1}{2n}\le u_n\le\dfrac{n+1}n.
  2. Montrer que, pour tout n∈N∗n\in\N^*, un+1−un=−3n+2n(2n+1)(2n+2)u_{n+1}-u_n=-\dfrac{3n+2}{n(2n+1)(2n+2)}, et en déduire que (un)n≥1(u_n)_{n\ge1} est décroissante.
Voir la solution
  1. Pour n≤k≤2nn\le k\le2n : 12n≤1k≤1n\frac1{2n}\le\frac1k\le\frac1n. La somme comporte 2n−n+1=n+12n-n+1=n+1 termes : (n+1)12n≤un≤(n+1)1n(n+1)\frac1{2n}\le u_n\le(n+1)\frac1n.
  2. un+1=∑k=n+12n+21ku_{n+1}=\sum_{k=n+1}^{2n+2}\frac1k, donc un+1−un=12n+1+12n+2−1n=n(2n+2)+n(2n+1)−(2n+1)(2n+2)n(2n+1)(2n+2)=−3n−2n(2n+1)(2n+2)<0u_{n+1}-u_n=\dfrac1{2n+1}+\dfrac1{2n+2}-\dfrac1n=\dfrac{n(2n+2)+n(2n+1)-(2n+1)(2n+2)}{n(2n+1)(2n+2)}=\dfrac{-3n-2}{n(2n+1)(2n+2)}<0.

Exercice d’application 5

On considère la suite (un)n≥1(u_n)_{n\ge1} définie par u1=1u_1=1, u2=2u_2=2 et, pour tout n∈N∗n\in\N^*, un+2=4un+1−3unu_{n+2}=4u_{n+1}-3u_n. On admet que un>0u_n>0 pour tout n∈N∗n\in\N^* et on pose vn=un+1unv_n=\dfrac{u_{n+1}}{u_n}.

  1. Calculer u3u_3, u4u_4 et v1v_1.
  2. Vérifier que, pour tout n∈N∗n\in\N^*, vn+1=4−3vnv_{n+1}=4-\dfrac3{v_n}.
  3. Montrer par récurrence que, pour tout n∈N∗n\in\N^*, 1<vn<31<v_n<3.
  4. Montrer que la suite (vn)n≥1(v_n)_{n\ge1} est croissante.
  5. On considère la suite (tn)n≥1(t_n)_{n\ge1} définie sur N∗\N^* par tn=vn−3vn−1t_n=\dfrac{v_n-3}{v_n-1}. a. Montrer que (tn)n≥1(t_n)_{n\ge1} est géométrique de raison 13\frac13. b. Montrer que, pour tout n∈N∗n\in\N^*, vn=3n+13n−1+1v_n=\dfrac{3^n+1}{3^{n-1}+1}.
  6. Montrer par récurrence que, pour tout n∈N∗n\in\N^*, un=1+3n−12u_n=\dfrac{1+3^{n-1}}2.
Voir la solution
  1. u3=8−3=5u_3=8-3=5, u4=20−6=14u_4=20-6=14, v1=u2u1=2v_1=\frac{u_2}{u_1}=2.
  2. vn+1=un+2un+1=4un+1−3unun+1=4−3unun+1=4−3vnv_{n+1}=\dfrac{u_{n+2}}{u_{n+1}}=\dfrac{4u_{n+1}-3u_n}{u_{n+1}}=4-3\dfrac{u_n}{u_{n+1}}=4-\dfrac3{v_n}.
  3. 1<v1=2<31<v_1=2<3. Si 1<vn<31<v_n<3 : vn+1−1=3(vn−1)vn>0v_{n+1}-1=\dfrac{3(v_n-1)}{v_n}>0 et vn+1−3=vn−3vn<0v_{n+1}-3=\dfrac{v_n-3}{v_n}<0.
  4. vn+1−vn=4vn−3−vn2vn=(vn−1)(3−vn)vn>0v_{n+1}-v_n=\dfrac{4v_n-3-v_n^2}{v_n}=\dfrac{(v_n-1)(3-v_n)}{v_n}>0.
  5. a. vn+1−3=vn−3vnv_{n+1}-3=\dfrac{v_n-3}{v_n} et vn+1−1=3(vn−1)vnv_{n+1}-1=\dfrac{3(v_n-1)}{v_n}, donc tn+1=13tnt_{n+1}=\frac13t_n. b. t1=2−32−1=−1t_1=\frac{2-3}{2-1}=-1, tn=−(13)n−1t_n=-\left(\frac13\right)^{n-1} ; de tn(vn−1)=vn−3t_n(v_n-1)=v_n-3 : vn=3−tn1−tn=3+31−n1+31−n=3n+13n−1+1v_n=\dfrac{3-t_n}{1-t_n}=\dfrac{3+3^{1-n}}{1+3^{1-n}}=\dfrac{3^n+1}{3^{n-1}+1}.
  6. u1=1+12=1u_1=\frac{1+1}2=1. Si un=1+3n−12u_n=\frac{1+3^{n-1}}2, alors un+1=vnun=3n+13n−1+1×1+3n−12=1+3n2u_{n+1}=v_nu_n=\dfrac{3^n+1}{3^{n-1}+1}\times\dfrac{1+3^{n-1}}2=\dfrac{1+3^n}2.

Résumé : suites numériques

NotionDéfinitionMéthode / formule
Suite majorée par MM(∀n∈I) un≤M(\forall n\in I)\ u_n\le Msigne de M−unM-u_n, récurrence
Suite minorée par mm(∀n∈I) un≥m(\forall n\in I)\ u_n\ge msigne de un−mu_n-m, récurrence
Suite bornéemajorée et minorée(∃K≥0)(∀n) ∣un∣≤K(\exists K\ge0)(\forall n)\ \lvert u_n\rvert\le K
Croissante(∀n) un+1≥un(\forall n)\ u_{n+1}\ge u_nsigne de un+1−unu_{n+1}-u_n ; un+1un≥1\frac{u_{n+1}}{u_n}\ge1 si un>0u_n>0
Décroissante(∀n) un+1≤un(\forall n)\ u_{n+1}\le u_nsigne de un+1−unu_{n+1}-u_n ; un+1un≤1\frac{u_{n+1}}{u_n}\le1 si un>0u_n>0
Arithmétique de raison rrun+1−un=ru_{n+1}-u_n=run=up+(n−p)ru_n=u_p+(n-p)r ; ∑k=pnuk=(n−p+1)up+un2\sum_{k=p}^nu_k=(n-p+1)\frac{u_p+u_n}2
Géométrique de raison qqun+1=q unu_{n+1}=q\,u_nun=up qn−pu_n=u_p\,q^{n-p} ; ∑k=pnuk=up1−qn−p+11−q\sum_{k=p}^nu_k=u_p\frac{1-q^{n-p+1}}{1-q} (q≠1q\neq1)
Trois termes consécutifs a,b,ca,b,carithmétique : 2b=a+c2b=a+cgéométrique (non nuls) : b2=acb^2=ac

Série d’exercices

Remarque — méthodes utilisées

  • Récurrence pour les encadrements de suites récurrentes ; on factorise un+1−au_{n+1}-a pour faire apparaître un−au_n-a.
  • Monotonie : signe de un+1−unu_{n+1}-u_n (forme factorisée) ou comparaison de un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n} à 11.
  • Suites auxiliaires : on calcule vn+1v_{n+1} en fonction de unu_n, puis on reconnaît vn+rv_n+r ou q vnq\,v_n ; on « inverse » la relation vn=g(un)v_n=g(u_n) pour exprimer unu_n.
  • Sommes : (n−p+1)up+un2(n-p+1)\frac{u_p+u_n}2 (arithmétique), up1−qn−p+11−qu_p\frac{1-q^{n-p+1}}{1-q} (géométrique, q≠1q\neq1).
  • Tous les calculs ont été contrôlés avec Python/sympy (build/verif_lot4.py).

Cadre. Toute réponse doit être justifiée ; le symbole   ⟺  \iff n’est employé que si chaque étape est réversible. Lorsqu’une suite est définie par récurrence, on vérifiera que chaque terme est bien défini. Difficulté : de ★\bigstar à ★★★★★\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar.

Exercice 1 — Suite homographique — suite arithmétique auxiliaire Facile ★★☆☆☆

On considère la suite (un)(u_n) définie par u0=3u_0=3 et, pour tout n∈Nn\in\N, un+1=5un−4un+1u_{n+1}=\dfrac{5u_n-4}{u_n+1}.

  1. Calculer u1u_1 et u2u_2.
  2. Montrer par récurrence que, pour tout n∈Nn\in\N, un>2u_n>2.
  3. a. Montrer que, pour tout n∈Nn\in\N, un+1−un=−(un−2)2un+1u_{n+1}-u_n=-\dfrac{(u_n-2)^2}{u_n+1}. b. En déduire le sens de variation de la suite (un)(u_n). c. En déduire que (un)(u_n) est majorée par 33.
  4. On considère la suite (vn)(v_n) définie sur N\N par vn=1un−2v_n=\dfrac1{u_n-2}. a. Calculer v0v_0 et v1v_1. b. Montrer que (vn)(v_n) est arithmétique ; préciser sa raison et son premier terme. c. Exprimer vnv_n, puis unu_n, en fonction de nn. d. Montrer que, pour tout n∈Nn\in\N, ∑k=0nvk=(n+1)(n+6)6\displaystyle\sum_{k=0}^{n}v_k=\frac{(n+1)(n+6)}6.
Voir la solution

1. u1=15−44=114u_1=\dfrac{15-4}{4}=\dfrac{11}4 ; u2=55/4−415/4=3915=135u_2=\dfrac{55/4-4}{15/4}=\dfrac{39}{15}=\dfrac{13}5.

2. P(n)P(n) : « un>2u_n>2 ». Initialisation : u0=3>2u_0=3>2. Hérédité : soit n∈Nn\in\N tel que un>2u_n>2. Alors un+1>0u_n+1>0 (donc un+1u_{n+1} est défini) et un+1−2=5un−4−2un−2un+1=3(un−2)un+1>0.u_{n+1}-2=\frac{5u_n-4-2u_n-2}{u_n+1}=\frac{3(u_n-2)}{u_n+1}>0 . Conclusion : pour tout n∈Nn\in\N, un>2u_n>2.

3. a. Pour tout n∈Nn\in\N : un+1−un=5un−4−un2−unun+1=−(un2−4un+4)un+1=−(un−2)2un+1u_{n+1}-u_n=\dfrac{5u_n-4-u_n^2-u_n}{u_n+1}=\dfrac{-(u_n^2-4u_n+4)}{u_n+1}=-\dfrac{(u_n-2)^2}{u_n+1}.

3. b. (un−2)2>0(u_n-2)^2>0 (car un≠2u_n\neq2) et un+1>0u_n+1>0 : un+1−un<0u_{n+1}-u_n<0. La suite (un)(u_n) est strictement décroissante.

3. c. Une suite décroissante est majorée par son premier terme : (∀n∈N) un≤u0=3(\forall n\in\N)\ u_n\le u_0=3. Avec 2 : (∀n∈N) 2<un≤3(\forall n\in\N)\ 2<u_n\le3.

4. a. v0=13−2=1v_0=\dfrac1{3-2}=1 ; v1=111/4−2=43v_1=\dfrac1{11/4-2}=\dfrac43.

4. b. Pour tout n∈Nn\in\N (un≠2u_n\neq2) : un+1−2=3(un−2)un+1u_{n+1}-2=\dfrac{3(u_n-2)}{u_n+1}, donc vn+1=un+13(un−2)=(un−2)+33(un−2)=13+1un−2=vn+13.v_{n+1}=\frac{u_n+1}{3(u_n-2)}=\frac{(u_n-2)+3}{3(u_n-2)}=\frac13+\frac1{u_n-2}=v_n+\frac13 . (vn)(v_n) est arithmétique de raison r=13r=\frac13 et de premier terme v0=1v_0=1.

4. c. vn=1+n3=n+33v_n=1+\dfrac n3=\dfrac{n+3}3. Comme un−2=1vnu_n-2=\dfrac1{v_n} : un=2+3n+3=2n+9n+3u_n=2+\dfrac3{n+3}=\dfrac{2n+9}{n+3}. (Contrôle : u1=114u_1=\frac{11}4.)

4. d. Somme de n+1n+1 termes consécutifs d’une suite arithmétique : ∑k=0nvk=(n+1)v0+vn2=(n+1)1+n+332=(n+1)(n+6)6\displaystyle\sum_{k=0}^{n}v_k=(n+1)\frac{v_0+v_n}2=(n+1)\frac{1+\frac{n+3}3}2=\frac{(n+1)(n+6)}6.

Exercice 2 — Suite homographique — suite géométrique auxiliaire Moyen ★★★☆☆

On considère la suite (un)(u_n) définie par u0=3u_0=3 et, pour tout n∈Nn\in\N, un+1=6un−4un+1u_{n+1}=\dfrac{6u_n-4}{u_n+1}.

  1. Calculer u1u_1 et u2u_2.
  2. Montrer par récurrence que, pour tout n∈Nn\in\N, 1<un<41<u_n<4.
  3. a. Montrer que, pour tout n∈Nn\in\N, un+1−un=−(un−1)(un−4)un+1u_{n+1}-u_n=-\dfrac{(u_n-1)(u_n-4)}{u_n+1}. b. En déduire le sens de variation de la suite (un)(u_n).
  4. On considère la suite (vn)(v_n) définie sur N\N par vn=un−4un−1v_n=\dfrac{u_n-4}{u_n-1}. a. Montrer que (vn)(v_n) est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. b. Exprimer vnv_n, puis unu_n, en fonction de nn. c. Montrer que, pour tout entier n≥2n\ge2, ∑k=2nvk=−215(1−(25)n−1)\displaystyle\sum_{k=2}^{n}v_k=-\frac2{15}\left(1-\left(\frac25\right)^{n-1}\right).
Voir la solution

1. u1=18−44=72u_1=\dfrac{18-4}{4}=\dfrac72 ; u2=21−49/2=349u_2=\dfrac{21-4}{9/2}=\dfrac{34}9.

2. 1<3<41<3<4. Soit n∈Nn\in\N tel que 1<un<41<u_n<4 ; alors un+1>0u_n+1>0 et un+1−1=5(un−1)un+1>0,un+1−4=6un−4−4un−4un+1=2(un−4)un+1<0.u_{n+1}-1=\frac{5(u_n-1)}{u_n+1}>0,\qquad u_{n+1}-4=\frac{6u_n-4-4u_n-4}{u_n+1}=\frac{2(u_n-4)}{u_n+1}<0 . Par récurrence : (∀n∈N) 1<un<4(\forall n\in\N)\ 1<u_n<4.

3. a. un+1−un=6un−4−un2−unun+1=−(un2−5un+4)un+1=−(un−1)(un−4)un+1u_{n+1}-u_n=\dfrac{6u_n-4-u_n^2-u_n}{u_n+1}=\dfrac{-(u_n^2-5u_n+4)}{u_n+1}=-\dfrac{(u_n-1)(u_n-4)}{u_n+1}.

3. b. un−1>0u_n-1>0, un−4<0u_n-4<0, un+1>0u_n+1>0 : un+1−un>0u_{n+1}-u_n>0. La suite est strictement croissante.

4. a. D’après 2 (un≠1u_n\neq1) : vn+1=un+1−4un+1−1=2(un−4)un+1×un+15(un−1)=25vnv_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}-4}{u_{n+1}-1}=\dfrac{2(u_n-4)}{u_n+1}\times\dfrac{u_n+1}{5(u_n-1)}=\dfrac25v_n. (vn)(v_n) est géométrique de raison q=25q=\frac25, de premier terme v0=3−43−1=−12v_0=\frac{3-4}{3-1}=-\frac12.

4. b. vn=−12(25)nv_n=-\dfrac12\left(\dfrac25\right)^n. De vn(un−1)=un−4v_n(u_n-1)=u_n-4 : un(vn−1)=vn−4u_n(v_n-1)=v_n-4 ; or vn<0v_n<0, donc vn≠1v_n\neq1 et un=4−vn1−vn=8+(2/5)n2+(2/5)n=8×5n+2n2×5n+2n.u_n=\frac{4-v_n}{1-v_n}=\frac{8+(2/5)^n}{2+(2/5)^n}=\frac{8\times5^n+2^n}{2\times5^n+2^n}.

4. c. Pour n≥2n\ge2, la somme comporte n−1n-1 termes, le premier étant v2=−12×425=−225v_2=-\frac12\times\frac4{25}=-\frac2{25} : ∑k=2nvk=−225×1−(2/5)n−11−2/5=−225×53(1−(25)n−1)=−215(1−(25)n−1).\sum_{k=2}^{n}v_k=-\frac2{25}\times\frac{1-(2/5)^{n-1}}{1-2/5}=-\frac2{25}\times\frac53\left(1-\left(\frac25\right)^{n-1}\right)=-\frac2{15}\left(1-\left(\frac25\right)^{n-1}\right).

Exercice 3 — Point fixe double — somme à partir d’un rang Facile ★★☆☆☆

On considère la suite (un)(u_n) définie par u0=1u_0=1 et, pour tout n∈Nn\in\N, un+1=un−4un+5u_{n+1}=\dfrac{u_n-4}{u_n+5}.

  1. Montrer que u1=−12u_1=-\frac12 et u2=−1u_2=-1.
  2. Montrer par récurrence que, pour tout n∈Nn\in\N, un>−2u_n>-2.
  3. a. Montrer que, pour tout n∈Nn\in\N, un+1−un=−(un+2)2un+5u_{n+1}-u_n=-\dfrac{(u_n+2)^2}{u_n+5}. b. En déduire le sens de variation de la suite (un)(u_n).
  4. On considère la suite (vn)(v_n) définie sur N\N par vn=1un+2v_n=\dfrac1{u_n+2}. a. Calculer v0v_0, puis montrer que (vn)(v_n) est arithmétique de raison 13\frac13. b. Exprimer vnv_n, puis unu_n, en fonction de nn. c. Montrer que, pour tout entier n≥3n\ge3, ∑k=3nvk=(n−2)(n+5)6\displaystyle\sum_{k=3}^{n}v_k=\frac{(n-2)(n+5)}6.
Voir la solution

1. u1=1−41+5=−12u_1=\dfrac{1-4}{1+5}=-\dfrac12 ; u2=−1/2−4−1/2+5=−9/29/2=−1u_2=\dfrac{-1/2-4}{-1/2+5}=\dfrac{-9/2}{9/2}=-1.

2. u0=1>−2u_0=1>-2. Si un>−2u_n>-2, alors un+5>3>0u_n+5>3>0 et un+1+2=un−4+2un+10un+5=3(un+2)un+5>0u_{n+1}+2=\dfrac{u_n-4+2u_n+10}{u_n+5}=\dfrac{3(u_n+2)}{u_n+5}>0. Par récurrence, un>−2u_n>-2 pour tout n∈Nn\in\N.

3. a. un+1−un=un−4−un2−5unun+5=−(un2+4un+4)un+5=−(un+2)2un+5u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n-4-u_n^2-5u_n}{u_n+5}=\dfrac{-(u_n^2+4u_n+4)}{u_n+5}=-\dfrac{(u_n+2)^2}{u_n+5}.

3. b. (un+2)2>0(u_n+2)^2>0 et un+5>0u_n+5>0 : (un)(u_n) est strictement décroissante.

4. a. v0=11+2=13v_0=\frac1{1+2}=\frac13. Pour tout n∈Nn\in\N : vn+1=un+53(un+2)=(un+2)+33(un+2)=13+vnv_{n+1}=\dfrac{u_n+5}{3(u_n+2)}=\dfrac{(u_n+2)+3}{3(u_n+2)}=\dfrac13+v_n. (vn)(v_n) est arithmétique de raison 13\frac13.

4. b. vn=13+n3=n+13v_n=\dfrac13+\dfrac n3=\dfrac{n+1}3, puis un=1vn−2=3n+1−2=1−2nn+1u_n=\dfrac1{v_n}-2=\dfrac3{n+1}-2=\dfrac{1-2n}{n+1}. (Contrôle : u2=−1u_2=-1.)

4. c. Pour n≥3n\ge3, il y a n−2n-2 termes, de v3=43v_3=\frac43 à vn=n+13v_n=\frac{n+1}3 : ∑k=3nvk=(n−2)43+n+132=(n−2)(n+5)6\displaystyle\sum_{k=3}^{n}v_k=(n-2)\frac{\frac43+\frac{n+1}3}2=\frac{(n-2)(n+5)}6.

Exercice 4 — Suite à termes négatifs Moyen ★★★☆☆

On considère la suite (un)(u_n) définie par u0=−1u_0=-1 et, pour tout n∈Nn\in\N, un+1=un4−3unu_{n+1}=\dfrac{u_n}{4-3u_n}.

  1. Montrer que, pour tout n∈Nn\in\N, un<0u_n<0.
  2. Étudier le sens de variation de la suite (un)(u_n).
  3. On considère la suite (vn)(v_n) définie sur N\N par vn=unun−1v_n=\dfrac{u_n}{u_n-1}. a. Montrer que (vn)(v_n) est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. b. Exprimer vnv_n, puis unu_n, en fonction de nn. c. Calculer, en fonction de nn, la somme Sn=∑i=0nviS_n=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}v_i.
Voir la solution

1. u0=−1<0u_0=-1<0. Si un<0u_n<0, alors 4−3un>4>04-3u_n>4>0 (un+1u_{n+1} est défini) et un+1=un4−3un<0u_{n+1}=\dfrac{u_n}{4-3u_n}<0. Par récurrence, (∀n∈N) un<0(\forall n\in\N)\ u_n<0.

2. un+1−un=un−4un+3un24−3un=3un(un−1)4−3unu_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n-4u_n+3u_n^2}{4-3u_n}=\dfrac{3u_n(u_n-1)}{4-3u_n}. Or un<0u_n<0, un−1<0u_n-1<0 et 4−3un>04-3u_n>0 : un+1−un>0u_{n+1}-u_n>0. La suite (un)(u_n) est strictement croissante.

3. a. un−1<0u_n-1<0, donc vnv_n est défini. un+1−1=un−4+3un4−3un=4(un−1)4−3unu_{n+1}-1=\dfrac{u_n-4+3u_n}{4-3u_n}=\dfrac{4(u_n-1)}{4-3u_n}, d’où vn+1=un4−3un×4−3un4(un−1)=14vn.v_{n+1}=\frac{u_n}{4-3u_n}\times\frac{4-3u_n}{4(u_n-1)}=\frac14v_n . (vn)(v_n) est géométrique de raison 14\frac14 et de premier terme v0=−1−2=12v_0=\frac{-1}{-2}=\frac12.

3. b. vn=12(14)n=12×4nv_n=\dfrac12\left(\dfrac14\right)^n=\dfrac1{2\times4^n}. De vn(un−1)=unv_n(u_n-1)=u_n : un(vn−1)=vnu_n(v_n-1)=v_n, et vn≠1v_n\neq1, donc un=vnvn−1=11−2×4nu_n=\dfrac{v_n}{v_n-1}=\dfrac1{1-2\times4^n}. (Contrôle : u0=−1u_0=-1, u1=−17u_1=-\frac17.)

3. c. Sn=12×1−(1/4)n+11−1/4=23(1−(14)n+1)S_n=\dfrac12\times\dfrac{1-(1/4)^{n+1}}{1-1/4}=\dfrac23\left(1-\left(\dfrac14\right)^{n+1}\right).

Exercice 5 — Suites arithmétiques — calculs de termes Facile ★☆☆☆☆

On considère une suite arithmétique (un)(u_n) de raison rr.

  1. On suppose que u0=7u_0=7 et r=−3r=-3. Calculer u10u_{10} et u15u_{15}, puis déterminer l’entier nn tel que un=−98u_n=-98.
  2. On suppose que u2=4u_2=4 et u14=10u_{14}=10. Calculer rr, puis u0u_0.
  3. On suppose que u30=52u_{30}=52 et r=32r=\frac32. Calculer u0u_0, puis exprimer unu_n en fonction de nn et calculer ∑k=030uk\displaystyle\sum_{k=0}^{30}u_k.
Voir la solution

1. un=u0+nr=7−3nu_n=u_0+nr=7-3n : u10=−23u_{10}=-23 et u15=−38u_{15}=-38. Puis 7−3n=−98  ⟺  3n=105  ⟺  n=357-3n=-98\iff3n=105\iff n=35.

2. u14=u2+12ru_{14}=u_2+12r, donc 12r=612r=6 et r=12r=\frac12 ; u0=u2−2r=3u_0=u_2-2r=3.

3. u0=u30−30r=52−45=7u_0=u_{30}-30r=52-45=7 ; pour tout n∈Nn\in\N, un=7+32nu_n=7+\dfrac32n. Enfin ∑k=030uk=31×7+522=18292\displaystyle\sum_{k=0}^{30}u_k=31\times\frac{7+52}2=\frac{1829}2.

Exercice 6 — Suites géométriques — calculs de termes Facile ★☆☆☆☆

On considère une suite géométrique (vn)(v_n) de raison qq.

  1. On suppose que v0=81v_0=81 et q=13q=\frac13. Calculer v4v_4 et v6v_6.
  2. On suppose que v4=18v_4=18 et v7=23v_7=\frac23. Calculer qq, puis v0v_0.
  3. On suppose que v3=−116v_3=-\frac1{16} et q=2q=2. Calculer v0v_0, puis exprimer vnv_n en fonction de nn.
Voir la solution

1. vn=81(13)nv_n=81\left(\frac13\right)^n : v4=1v_4=1 et v6=19v_6=\frac19.

2. v7=v4 q3v_7=v_4\,q^3, donc q3=2/318=127q^3=\dfrac{2/3}{18}=\dfrac1{27} et q=13q=\dfrac13 (unique racine cubique réelle). Puis v0=v4q4=18×81=1458v_0=\dfrac{v_4}{q^4}=18\times81=1458.

3. v3=v0 q3=8v0v_3=v_0\,q^3=8v_0, donc v0=−1128v_0=-\dfrac1{128} et, pour tout n∈Nn\in\N, vn=−2n128=−2 n−7v_n=-\dfrac{2^n}{128}=-2^{\,n-7}.

Exercice 7 — Trois termes d’une suite géométrique Facile ★★☆☆☆

Les réels aa, bb et cc sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d’une suite géométrique et vérifient a+b+c=19a+b+c=19 et abc=216abc=216. Déterminer aa, bb et cc.

Voir la solution

Le réel bb est non nul (sinon abc=0abc=0), donc aa, bb, cc sont non nuls et, en notant qq la raison, a=bqa=\frac bq et c=bqc=bq. Alors abc=b3=216abc=b^3=216, d’où b=6b=6. Puis 6q+6+6q=19  ⟺  6q2−13q+6=0  ⟺  q∈{32;23}\frac6q+6+6q=19\iff6q^2-13q+6=0\iff q\in\left\{\frac32;\frac23\right\} (on a multiplié par q≠0q\neq0 ; discriminant 169−144=25169-144=25). Pour q=32q=\frac32 : (a;b;c)=(4;6;9)(a;b;c)=(4;6;9) ; pour q=23q=\frac23 : (a;b;c)=(9;6;4)(a;b;c)=(9;6;4). Réciproquement, ces deux triplets conviennent.

Exercice 8 — Trois termes d’une suite arithmétique Facile ★★☆☆☆

Les réels aa, bb et cc sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison rr et vérifient a+b+c=24eta−2b+3c=28.a+b+c=24\qquad\text{et}\qquad a-2b+3c=28 . Déterminer aa, bb, cc et rr.

Voir la solution

a+c=2ba+c=2b, donc 3b=243b=24 et b=8b=8 ; puis a=8−ra=8-r, c=8+rc=8+r. La seconde condition s’écrit (8−r)−16+3(8+r)=28  ⟺  16+2r=28  ⟺  r=6(8-r)-16+3(8+r)=28\iff16+2r=28\iff r=6. Ainsi a=2a=2, b=8b=8, c=14c=14 et r=6r=6 (vérification : 2−16+42=282-16+42=28).

Exercice 9 — Rang d’un terme et somme Facile ★★☆☆☆

On considère une suite arithmétique (un)n≥2(u_n)_{n\ge2} de raison r=−3r=-3 telle que u4=5u_4=5 et up=−40u_p=-40, où pp est un entier, p≥2p\ge2.

  1. Déterminer l’entier pp.
  2. Calculer ∑k=4puk\displaystyle\sum_{k=4}^{p}u_k.
Voir la solution

1. up=u4+(p−4)r=5−3(p−4)u_p=u_4+(p-4)r=5-3(p-4). Donc up=−40  ⟺  3(p−4)=45  ⟺  p=19u_p=-40\iff3(p-4)=45\iff p=19.

2. La somme comporte 19−4+1=1619-4+1=16 termes : ∑k=419uk=16×5+(−40)2=−280\displaystyle\sum_{k=4}^{19}u_k=16\times\frac{5+(-40)}2=-280.

Exercice 10 — Suite géométrique — rang et somme Facile ★★☆☆☆

On considère une suite géométrique (un)(u_n) de raison 22 telle que u3=5u_3=5 et up=160u_p=160, où p∈Np\in\N. Déterminer l’entier pp, puis calculer, pour tout entier n≥3n\ge3, la somme ∑k=3nuk\displaystyle\sum_{k=3}^{n}u_k en fonction de nn.

Voir la solution

Pour tout n∈Nn\in\N, un=u0 2nu_n=u_0\,2^n et u3=8u0=5u_3=8u_0=5, donc u0=58u_0=\frac58 et un=5×2n−3u_n=5\times2^{n-3}. Ainsi up=160  ⟺  2p−3=32=25  ⟺  p=8u_p=160\iff2^{p-3}=32=2^5\iff p=8. Pour n≥3n\ge3, la somme comporte n−2n-2 termes : ∑k=3nuk=5×1−2n−21−2=5(2n−2−1).\sum_{k=3}^{n}u_k=5\times\frac{1-2^{n-2}}{1-2}=5\left(2^{n-2}-1\right).

Exercice 11 — Somme géométrique sans récurrence Facile ★★☆☆☆

On considère, pour n∈Nn\in\N, la somme Sn=∑k=0n(−2)kS_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}(-2)^k. Montrer, sans utiliser de raisonnement par récurrence (on pourra calculer Sn−(−2)SnS_n-(-2)S_n en décalant les indices), que : (∀n∈N)  Sn=1−(−2)n+13(\forall n\in\N)\ \ S_n=\dfrac{1-(-2)^{n+1}}3.

Voir la solution

On a −2Sn=∑k=0n(−2)k+1=∑j=1n+1(−2)j-2S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}(-2)^{k+1}=\sum_{j=1}^{n+1}(-2)^j. Par différence, tous les termes d’indice 11 à nn se compensent : Sn−(−2)Sn=(−2)0−(−2)n+1,soit3Sn=1−(−2)n+1,S_n-(-2)S_n=(-2)^0-(-2)^{n+1},\quad\text{soit}\quad3S_n=1-(-2)^{n+1}, d’où Sn=1−(−2)n+13S_n=\dfrac{1-(-2)^{n+1}}3 pour tout n∈Nn\in\N.

Exercice 12 — Calcul de sommes Facile ★★☆☆☆

Calculer les sommes suivantes :

  1. S1=11+18+25+⋯+704S_1=11+18+25+\cdots+704 ;
  2. S2=14+1+74+52+⋯+314S_2=\frac14+1+\frac74+\frac52+\cdots+\frac{31}4.
Voir la solution

1. Les termes forment une suite arithmétique de premier terme 1111 et de raison 77 ; 704=11+7k  ⟺  k=99704=11+7k\iff k=99 : il y a 100100 termes. S1=100×11+7042=35 750S_1=100\times\dfrac{11+704}2=35\,750.

2. Suite arithmétique de premier terme 14\frac14 et de raison 34\frac34 ; 314=14+34k  ⟺  k=10\frac{31}4=\frac14+\frac34k\iff k=10 : 1111 termes. S2=11×14+3142=11×4=44S_2=11\times\dfrac{\frac14+\frac{31}4}2=11\times4=44.

Exercice 13 — Suite homographique — seuil Difficile ★★★★☆

On considère la suite (un)(u_n) définie par u0=0u_0=0 et, pour tout n∈Nn\in\N, un+1=3un+2un+4u_{n+1}=\dfrac{3u_n+2}{u_n+4}.

  1. Montrer par récurrence que, pour tout n∈Nn\in\N, 0≤un≤10\le u_n\le1.
  2. Étudier le sens de variation de la suite (un)(u_n).
  3. On considère la suite (vn)(v_n) définie sur N\N par vn=un−1un+2v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+2}. a. Montrer que (vn)(v_n) est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. b. Exprimer vnv_n, puis unu_n, en fonction de nn.
  4. Déterminer un entier naturel NN tel que, pour tout entier n>Nn>N, un>0,99u_n>0{,}99.
Voir la solution

1. u0=0∈[0;1]u_0=0\in[0;1]. Si 0≤un≤10\le u_n\le1, alors un+4>0u_n+4>0, un+1=3un+2un+4≥0u_{n+1}=\dfrac{3u_n+2}{u_n+4}\ge0 et un+1−1=2(un−1)un+4≤0u_{n+1}-1=\dfrac{2(u_n-1)}{u_n+4}\le0. Par récurrence : (∀n∈N) 0≤un≤1(\forall n\in\N)\ 0\le u_n\le1.

2. un+1−un=3un+2−un2−4unun+4=−(un2+un−2)un+4=(1−un)(un+2)un+4≥0u_{n+1}-u_n=\dfrac{3u_n+2-u_n^2-4u_n}{u_n+4}=\dfrac{-(u_n^2+u_n-2)}{u_n+4}=\dfrac{(1-u_n)(u_n+2)}{u_n+4}\ge0 : (un)(u_n) est croissante.

3. a. un+1+2=5(un+2)un+4u_{n+1}+2=\dfrac{5(u_n+2)}{u_n+4}, donc vn+1=2(un−1)un+4×un+45(un+2)=25vnv_{n+1}=\dfrac{2(u_n-1)}{u_n+4}\times\dfrac{u_n+4}{5(u_n+2)}=\dfrac25v_n : raison 25\frac25, premier terme v0=−12v_0=-\frac12.

3. b. vn=−12(25)nv_n=-\dfrac12\left(\dfrac25\right)^n. De vn(un+2)=un−1v_n(u_n+2)=u_n-1 : un=1+2vn1−vnu_n=\dfrac{1+2v_n}{1-v_n} (vn≠1v_n\neq1), soit un=2×5n−2×2n2×5n+2nu_n=\dfrac{2\times5^n-2\times2^n}{2\times5^n+2^n}.

4. 1−un=−3vn1−vn=32(25)n1+12(25)n1-u_n=\dfrac{-3v_n}{1-v_n}=\dfrac{\frac32\left(\frac25\right)^n}{1+\frac12\left(\frac25\right)^n}. Pour n=5n=5 : 1−u5=3×252×55+25=966282>11001-u_5=\dfrac{3\times2^5}{2\times5^5+2^5}=\dfrac{96}{6282}>\dfrac1{100} ; pour n=6n=6 : 1−u6=3×262×56+26=19231314<11001-u_6=\dfrac{3\times2^6}{2\times5^6+2^6}=\dfrac{192}{31314}<\dfrac1{100}. La suite (un)(u_n) étant croissante, pour tout n≥6n\ge6, un≥u6>0,99u_n\ge u_6>0{,}99. On peut donc prendre N=5N=5 (et N=5N=5 est le plus petit entier convenable, puisque u5<0,99u_5<0{,}99).

Exercice 14 — Encadrement d’une somme Moyen ★★★☆☆

On considère la suite (un)n≥1(u_n)_{n\ge1} définie sur N∗\N^* par un=∑k=1n1n2+ku_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac1{\sqrt{n^2+k}}.

  1. Calculer u1u_1 et u2u_2.
  2. Montrer que la suite (un)n≥1(u_n)_{n\ge1} est majorée par 11 et minorée par 22\dfrac{\sqrt2}2.
Voir la solution

1. u1=12=22u_1=\dfrac1{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}2 ; u2=15+16u_2=\dfrac1{\sqrt5}+\dfrac1{\sqrt6}.

2. Soient n∈N∗n\in\N^* et k∈{1;…;n}k\in\{1;\ldots;n\} : n2+1≤n2+k≤n2+nn^2+1\le n^2+k\le n^2+n, et la fonction racine carrée est croissante sur R+\R_+, donc 1n2+n≤1n2+k≤1n2+1\dfrac1{\sqrt{n^2+n}}\le\dfrac1{\sqrt{n^2+k}}\le\dfrac1{\sqrt{n^2+1}}. En sommant les nn inégalités : nn2+n≤un≤nn2+1.\frac n{\sqrt{n^2+n}}\le u_n\le\frac n{\sqrt{n^2+1}} . D’une part nn2+1<nn2=1\dfrac n{\sqrt{n^2+1}}<\dfrac n{\sqrt{n^2}}=1. D’autre part nn2+n=nn+1\dfrac n{\sqrt{n^2+n}}=\sqrt{\dfrac n{n+1}} et nn+1≥12  ⟺  2n≥n+1  ⟺  n≥1\dfrac n{n+1}\ge\dfrac12\iff2n\ge n+1\iff n\ge1. Ainsi (∀n∈N∗) 22≤un<1(\forall n\in\N^*)\ \dfrac{\sqrt2}2\le u_n<1.

Exercice 15 — Propriétés caractéristiques généralisées Moyen ★★★☆☆

  1. Soit (un)(u_n) une suite arithmétique définie sur N\N. Montrer que, pour tous entiers naturels nn et pp tels que p≤np\le n : un−p+un+p=2unu_{n-p}+u_{n+p}=2u_n.
  2. Soit (vn)(v_n) une suite géométrique définie sur N\N, à termes strictement positifs. Montrer que, pour tous entiers naturels nn et pp tels que p≤np\le n : vn−p×vn+p=vn2v_{n-p}\times v_{n+p}=v_n^2.
Voir la solution

1. Notons rr la raison. un−p=u0+(n−p)ru_{n-p}=u_0+(n-p)r et un+p=u0+(n+p)ru_{n+p}=u_0+(n+p)r, donc un−p+un+p=2u0+2nr=2unu_{n-p}+u_{n+p}=2u_0+2nr=2u_n. (Pour p=1p=1, on retrouve la propriété caractéristique.)

2. Notons q>0q>0 la raison (q=v1v0>0q=\frac{v_1}{v_0}>0). vn−pvn+p=v0qn−p×v0qn+p=v02q2n=(v0qn)2=vn2v_{n-p}v_{n+p}=v_0q^{n-p}\times v_0q^{n+p}=v_0^2q^{2n}=\left(v_0q^n\right)^2=v_n^2.

Exercice 16 — Problème — suite de Pell et nombre d’argent Difficile ★★★★★

On considère la suite (Pn)n≥1(P_n)_{n\ge1} définie par P1=1P_1=1, P2=2P_2=2 et, pour tout n∈N∗n\in\N^*, Pn+2=2Pn+1+PnP_{n+2}=2P_{n+1}+P_n (suite de Pell). On admet que Pn>0P_n>0 pour tout n∈N∗n\in\N^*.

  1. Calculer P10P_{10}.
  2. Montrer que l’équation x2−2x−1=0x^2-2x-1=0 admet une unique solution positive, notée ω\omega (le « nombre d’argent »).
  3. Montrer les égalités :  ω2=2ω+1\ \omega^2=2\omega+1,  ω=2+1ω\ \omega=2+\dfrac1\omega,  1ω=2−1\ \dfrac1\omega=\sqrt2-1 et  ω1+ω2=24\ \dfrac\omega{1+\omega^2}=\dfrac{\sqrt2}4.
  4. Soient α\alpha et β\beta deux réels. Pour tout n∈N∗n\in\N^*, on pose Vn=α ωn+β(−1ω)nV_n=\alpha\,\omega^n+\beta\left(-\dfrac1\omega\right)^n. a. Vérifier que, pour tout n∈N∗n\in\N^*, Vn+2=2Vn+1+VnV_{n+2}=2V_{n+1}+V_n. b. Déterminer α\alpha et β\beta de sorte que V1=1V_1=1 et V2=2V_2=2. On admet alors que Vn=PnV_n=P_n pour tout n∈N∗n\in\N^*. c. Vérifier que 1−2=−1ω1-\sqrt2=-\dfrac1\omega. En déduire que, pour tout n∈N∗n\in\N^*, Pn=(1+2)n−(1−2)n22P_n=\dfrac{\left(1+\sqrt2\right)^n-\left(1-\sqrt2\right)^n}{2\sqrt2}. d. Calculer (1+2)3\left(1+\sqrt2\right)^3, puis (1+2)6\left(1+\sqrt2\right)^6, et retrouver P6P_6 sans calculatrice.
  5. On considère la suite (Wn)n≥1(W_n)_{n\ge1} définie sur N∗\N^* par Wn=Pn+1PnW_n=\dfrac{P_{n+1}}{P_n}. a. Vérifier que, pour tout n∈N∗n\in\N^*, Wn=ω−(−1)n+1ω−(2n+1)1−(−1)nω−2nW_n=\dfrac{\omega-(-1)^{n+1}\omega^{-(2n+1)}}{1-(-1)^n\omega^{-2n}}. b. En déduire que, pour tout n∈N∗n\in\N^*, Wn−ω=(−1)n 22ω2n−(−1)nW_n-\omega=\dfrac{(-1)^n\,2\sqrt2}{\omega^{2n}-(-1)^n}, puis comparer WnW_n et ω\omega selon la parité de nn.
Voir la solution

1. P3=5P_3=5, P4=12P_4=12, P5=29P_5=29, P6=70P_6=70, P7=169P_7=169, P8=408P_8=408, P9=985P_9=985, P10=2×985+408=2378P_{10}=2\times985+408=2378.

2. x2−2x−1=0  ⟺  (x−1)2=2  ⟺  x∈{1−2;1+2}x^2-2x-1=0\iff(x-1)^2=2\iff x\in\{1-\sqrt2;1+\sqrt2\}. Seule 1+21+\sqrt2 est positive : ω=1+2\omega=1+\sqrt2.

3. ω\omega est solution, donc ω2=2ω+1\omega^2=2\omega+1 ; en divisant par ω≠0\omega\neq0 : ω=2+1ω\omega=2+\frac1\omega, d’où 1ω=ω−2=2−1\frac1\omega=\omega-2=\sqrt2-1. Enfin 1+ω2=2+2ω=2(1+ω)1+\omega^2=2+2\omega=2(1+\omega) et ω1+ω2=1+22(2+2)=1+222(2+1)=122=24\dfrac\omega{1+\omega^2}=\dfrac{1+\sqrt2}{2(2+\sqrt2)}=\dfrac{1+\sqrt2}{2\sqrt2(\sqrt2+1)}=\dfrac1{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}4.

4. a. On pose ω′=−1ω=1−2\omega'=-\frac1\omega=1-\sqrt2 : c’est l’autre solution de x2=2x+1x^2=2x+1. Donc ωn+2=2ωn+1+ωn\omega^{n+2}=2\omega^{n+1}+\omega^n et ω′ n+2=2ω′ n+1+ω′ n\omega'^{\,n+2}=2\omega'^{\,n+1}+\omega'^{\,n} ; en multipliant par α\alpha et β\beta puis en additionnant : Vn+2=2Vn+1+VnV_{n+2}=2V_{n+1}+V_n.

4. b. Avec ω2=3+22\omega^2=3+2\sqrt2 et ω′2=3−22\omega'^2=3-2\sqrt2, les conditions V1=1V_1=1 et V2=2V_2=2 s’écrivent {α(1+2)+β(1−2)=1α(3+22)+β(3−22)=2\begin{cases}\alpha(1+\sqrt2)+\beta(1-\sqrt2)=1\\ \alpha(3+2\sqrt2)+\beta(3-2\sqrt2)=2\end{cases} Comme ω2=2ω+1\omega^2=2\omega+1 et ω′2=2ω′+1\omega'^2=2\omega'+1, la seconde ligne moins deux fois la première donne α+β=0\alpha+\beta=0. Puis α((1+2)−(1−2))=1\alpha\big((1+\sqrt2)-(1-\sqrt2)\big)=1 : α=122\alpha=\dfrac1{2\sqrt2} et β=−122\beta=-\dfrac1{2\sqrt2} (on vérifie que ce couple convient). Les suites (Vn)(V_n) et (Pn)(P_n) ont les deux mêmes premiers termes et la même relation de récurrence : une récurrence (à deux termes) donne Vn=PnV_n=P_n pour tout n∈N∗n\in\N^*.

4. c. −1ω=−(2−1)=1−2-\frac1\omega=-(\sqrt2-1)=1-\sqrt2. Donc Pn=122(ωn−ω′ n)=(1+2)n−(1−2)n22P_n=\dfrac1{2\sqrt2}\left(\omega^n-\omega'^{\,n}\right)=\dfrac{(1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n}{2\sqrt2}.

4. d. (1+2)2=3+22(1+\sqrt2)^2=3+2\sqrt2 et (1+2)3=(3+22)(1+2)=7+52(1+\sqrt2)^3=(3+2\sqrt2)(1+\sqrt2)=7+5\sqrt2, puis (1+2)6=(7+52)2=99+702(1+\sqrt2)^6=(7+5\sqrt2)^2=99+70\sqrt2. De même (1−2)6=99−702(1-\sqrt2)^6=99-70\sqrt2. Donc P6=140222=70P_6=\dfrac{140\sqrt2}{2\sqrt2}=70.

5. a. Wn=ωn+1−ω′ n+1ωn−ω′ nW_n=\dfrac{\omega^{n+1}-\omega'^{\,n+1}}{\omega^n-\omega'^{\,n}} avec ω′=−ω−1\omega'=-\omega^{-1}. En divisant numérateur et dénominateur par ωn≠0\omega^n\neq0 : ω′ n+1/ωn=(−1)n+1ω−(2n+1)\omega'^{\,n+1}/\omega^n=(-1)^{n+1}\omega^{-(2n+1)} et ω′ n/ωn=(−1)nω−2n\omega'^{\,n}/\omega^n=(-1)^n\omega^{-2n}, d’où la formule.

5. b. On note D=1−(−1)nω−2nD=1-(-1)^n\omega^{-2n} (D>0D>0 car ω−2n<1\omega^{-2n}<1). Alors Wn−ω=ω−(−1)n+1ω−2n−1−ω+(−1)nω1−2nD=(−1)nω−2n(ω+1ω)D=(−1)n(ω+1ω)ω2n−(−1)n,W_n-\omega=\frac{\omega-(-1)^{n+1}\omega^{-2n-1}-\omega+(-1)^n\omega^{1-2n}}{D}=\frac{(-1)^n\omega^{-2n}\left(\omega+\frac1\omega\right)}{D}=\frac{(-1)^n\left(\omega+\frac1\omega\right)}{\omega^{2n}-(-1)^n}, et ω+1ω=(1+2)+(2−1)=22\omega+\frac1\omega=(1+\sqrt2)+(\sqrt2-1)=2\sqrt2. Comme ω2n−(−1)n>0\omega^{2n}-(-1)^n>0 : si nn est pair, Wn>ωW_n>\omega ; si nn est impair, Wn<ωW_n<\omega. (Exemples : W1=2<ω≈2,414<W2=52W_1=2<\omega\approx2{,}414<W_2=\frac52.)

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