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Chapitre 17 — Produit scalaire dans l’espace

Semestre 2

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Cours

Plan du chapitre. I. Produit scalaire dans l’espace et applications — II. Plan défini par un point et un vecteur normal, distances — III. Étude analytique d’une sphère — IV. Produit vectoriel — Résumé.

Prérequis. Produit scalaire dans le plan, analytique de l’espace (Ch. 16). Sauf mention contraire, l’espace est rapporté à un repère orthonormé (O;i⃗;j⃗;k⃗)(O;\vec i;\vec j;\vec k).

I. Produit scalaire dans l’espace

1) Définition

Définition 1

Soient u⃗=AB→\vec u=\overrightarrow{AB} et v⃗=AC→\vec v=\overrightarrow{AC}. Les points AA, BB, CC appartiennent à un même plan (P)(P) ; le produit scalaire u⃗⋅v⃗\vec u\cdot\vec v est le produit scalaire de AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} calculé dans (P)(P) : u⃗⋅v⃗=AB×AC×cos⁡BAC^\vec u\cdot\vec v=AB\times AC\times\cos\widehat{BAC} (si u⃗,v⃗≠0⃗\vec u,\vec v\neq\vec0), et u⃗⋅v⃗=0\vec u\cdot\vec v=0 sinon. u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2.

2) Propriétés et expression analytique

Propriété 1

Le produit scalaire est symétrique et bilinéaire. u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0. Dans un repère orthonormé, si u⃗(x;y;z)\vec u(x;y;z) et v⃗(x′;y′;z′)\vec v(x';y';z') : u⃗⋅v⃗=xx′+yy′+zz′\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz', ∥u⃗∥=x2+y2+z2\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2} et AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}.

Exemple 1

Les vecteurs u⃗(1;2;−1)\vec u(1;2;-1) et v⃗(3;−1;1)\vec v(3;-1;1) sont-ils orthogonaux ?

Voir la solution

u⃗(1;2;−1)\vec u(1;2;-1), v⃗(3;−1;1)\vec v(3;-1;1) : u⃗⋅v⃗=3−2−1=0\vec u\cdot\vec v=3-2-1=0, donc u⃗⊥v⃗\vec u\perp\vec v.

3) Ensemble des points MM tels que MA→⋅MB→=0\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0

Propriété 2

Si A≠BA\neq B, l’ensemble des points MM tels que MA→⋅MB→=0\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 est la sphère de diamètre [AB][AB].

II. Vecteur normal à un plan — distances

1) Vecteur normal

Définition 2

Un vecteur n⃗≠0⃗\vec n\neq\vec0 est normal au plan (P)(P) s’il est orthogonal à deux vecteurs directeurs (non colinéaires) de (P)(P). Une droite est orthogonale à (P)(P) si elle est dirigée par un vecteur normal à (P)(P).

Théorème 1

L’ensemble des points MM tels que AM→⋅n⃗=0\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0 est le plan passant par AA de vecteur normal n⃗\vec n. Le plan d’équation ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 admet n⃗(a;b;c)\vec n(a;b;c) pour vecteur normal.

Propriété 3

Soient (P)(P) et (P′)(P') de vecteurs normaux n⃗\vec n et n⃗′\vec n' : (P)⊥(P′)  ⟺  n⃗⋅n⃗′=0(P)\perp(P')\iff\vec n\cdot\vec n'=0 ; (P)∥(P′)  ⟺  n⃗,n⃗′(P)\parallel(P')\iff\vec n,\vec n' colinéaires. Le plan médiateur de [AB][AB] est l’ensemble des points équidistants de AA et BB : il passe par le milieu de [AB][AB] et admet AB→\overrightarrow{AB} pour vecteur normal.

2) Distance d’un point à un plan

Théorème 2

La distance du point A(xA;yA;zA)A(x_A;y_A;z_A) au plan (P): ax+by+cz+d=0(P):\ ax+by+cz+d=0 est d(A;(P))=∣axA+byA+czA+d∣a2+b2+c2d(A;(P))=\dfrac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} ; elle est atteinte au projeté orthogonal HH de AA sur (P)(P).

Exemple 2

Calculer la distance du point OO au plan d’équation 2x−y+2z−6=02x-y+2z-6=0.

Voir la solution

d(O; 2x−y+2z−6=0)=∣−6∣9=2d\big(O;\ 2x-y+2z-6=0\big)=\frac{|-6|}{\sqrt{9}}=2.

III. Étude analytique d’une sphère

1) Équation cartésienne

Définition 3

La sphère S(Ω;R)S(\Omega;R) de centre Ω(a;b;c)\Omega(a;b;c) et de rayon R>0R>0 est l’ensemble des points MM tels que ΩM=R\Omega M=R. Une équation est (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2.

Propriété 4

L’ensemble (S)(S) des points M(x;y;z)M(x;y;z) tels que x2+y2+z2+αx+βy+γz+δ=0x^2+y^2+z^2+\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta=0 s’écrit (x+α2)2+(y+β2)2+(z+γ2)2=k\left(x+\frac\alpha2\right)^2+\left(y+\frac\beta2\right)^2+\left(z+\frac\gamma2\right)^2=k avec k=α2+β2+γ24−δk=\frac{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}4-\delta : si k>0k>0, (S)(S) est la sphère de centre Ω(−α2;−β2;−γ2)\Omega\left(-\frac\alpha2;-\frac\beta2;-\frac\gamma2\right) et de rayon k\sqrt k ; si k=0k=0, (S)={Ω}(S)=\{\Omega\} ; si k<0k<0, (S)=∅(S)=\varnothing.

2) Positions relatives

Propriété 5

Soient S(Ω;R)S(\Omega;R), (P)(P) un plan, d=d(Ω;(P))d=d(\Omega;(P)) et HH le projeté orthogonal de Ω\Omega sur (P)(P). Si d>Rd>R : (S)∩(P)=∅(S)\cap(P)=\varnothing. Si d=Rd=R : (P)(P) est tangent à (S)(S) en HH. Si d<Rd<R : (S)∩(P)(S)\cap(P) est le cercle de centre HH et de rayon r=R2−d2r=\sqrt{R^2-d^2}. De même, une droite (D)(D) coupe (S)(S) en 00, 11 ou 22 points selon que d(Ω;(D))>Rd(\Omega;(D))>R, =R=R ou <R<R.

Propriété 6

Le plan tangent à S(Ω;R)S(\Omega;R) en A∈(S)A\in(S) est le plan passant par AA de vecteur normal ΩA→\overrightarrow{\Omega A}.

IV. Produit vectoriel

1) Définition

Définition 4

L’espace est orienté (règle du bonhomme d’Ampère) et le repère (O;i⃗;j⃗;k⃗)(O;\vec i;\vec j;\vec k) est orthonormé direct. Le produit vectoriel de u⃗=OA→\vec u=\overrightarrow{OA} et v⃗=OB→\vec v=\overrightarrow{OB} est le vecteur u⃗∧v⃗\vec u\wedge\vec v nul si u⃗,v⃗\vec u,\vec v sont colinéaires et, sinon, orthogonal à u⃗\vec u et v⃗\vec v, tel que (u⃗;v⃗;u⃗∧v⃗)(\vec u;\vec v;\vec u\wedge\vec v) soit direct et ∥u⃗∧v⃗∥=∥u⃗∥ ∥v⃗∥ sin⁡AOB^\|\vec u\wedge\vec v\|=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\sin\widehat{AOB}.

2) Propriétés (admises) et coordonnées

Propriété 7

v⃗∧u⃗=−u⃗∧v⃗\vec v\wedge\vec u=-\vec u\wedge\vec v ; le produit vectoriel est bilinéaire ; u⃗∧v⃗=0⃗  ⟺  u⃗,v⃗\vec u\wedge\vec v=\vec0\iff\vec u,\vec v colinéaires. Si u⃗(x;y;z)\vec u(x;y;z), v⃗(x′;y′;z′)\vec v(x';y';z') : u⃗∧v⃗=∣yy′zz′∣i⃗−∣xx′zz′∣j⃗+∣xx′yy′∣k⃗\vec u\wedge\vec v=\begin{vmatrix}y&y'\\z&z'\end{vmatrix}\vec i-\begin{vmatrix}x&x'\\z&z'\end{vmatrix}\vec j+\begin{vmatrix}x&x'\\y&y'\end{vmatrix}\vec k.

3) Applications

Propriété 8

  • AA, BB, CC sont alignés   ⟺  AB→∧AC→=0⃗\iff\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\vec0 ; sinon AB→∧AC→\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC} est normal au plan (ABC)(ABC).
  • Aire du triangle ABCABC : A=12∥AB→∧AC→∥\mathcal A=\frac12\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|.
  • Distance d’un point MM à la droite D(A;u⃗)D(A;\vec u) : d(M;D)=∥AM→∧u⃗∥∥u⃗∥d(M;D)=\dfrac{\|\overrightarrow{AM}\wedge\vec u\|}{\|\vec u\|}.

Exemple 3

Soient A(1;0;0)A(1;0;0), B(0;1;0)B(0;1;0) et C(0;0;1)C(0;0;1). Calculer AB→∧AC→\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}, puis donner une équation du plan (ABC)(ABC) et l’aire du triangle ABCABC.

Voir la solution

A(1;0;0)A(1;0;0), B(0;1;0)B(0;1;0), C(0;0;1)C(0;0;1) : AB→(−1;1;0)\overrightarrow{AB}(-1;1;0), AC→(−1;0;1)\overrightarrow{AC}(-1;0;1), AB→∧AC→=(1;1;1)\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(1;1;1) ; (ABC): x+y+z−1=0(ABC):\ x+y+z-1=0 et A=32\mathcal A=\frac{\sqrt3}2.

Résumé

À retenir

u⃗⋅v⃗=xx′+yy′+zz′\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz' ; ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 a pour normal (a;b;c)(a;b;c) ; d(A;P)=∣axA+byA+czA+d∣a2+b2+c2d(A;P)=\frac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} ; sphère : compléter les carrés, comparer d(Ω;P)d(\Omega;P) à RR ; AB→∧AC→\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC} normal à (ABC)(ABC), aire =12∥AB→∧AC→∥=\frac12\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|.

Série d’exercices

Remarque — méthodes et corrections du livre

  • Plan : vecteur normal n⃗(a;b;c)\vec n(a;b;c) puis ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0, dd obtenu avec un point. Sphère : on complète les carrés. Position plan/sphère : on compare d(Ω;P)d(\Omega;P) et RR.
  • Erreur du livre (exercice 5) : avec B(1;−2;−1)B(1;-2;-1) et C(−3;1;2)C(-3;1;2), on trouve AB→∧AC→=−3i⃗−7j⃗+3k⃗\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=-3\vec i-7\vec j+3\vec k et ni BB ni CC ne vérifient 2x+2y+z+6=02x+2y+z+6=0. Les points ont été remplacés par B(1;−2;−4)B(1;-2;-4), C(−3;1;−2)C(-3;1;-2), qui rendent l’énoncé cohérent.
  • Doublon du livre : l’exercice 8 reprenait les données de l’exercice 1 ; il a été réécrit avec d’autres données.
  • Tous les résultats ont été contrôlés par calcul exact (Python/sympy, build/verif_lot4.py).

Cadre. Dans toute la série, l’espace est rapporté à un repère orthonormé direct (O;i⃗;j⃗;k⃗)(O;\vec i;\vec j;\vec k). Les paramètres t,α,βt,\alpha,\beta décrivent R\R ; mm désigne un réel. Difficulté : de ★\bigstar à ★★★★★\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar.

Exercice 1 — Vecteur normal, équation d’un plan Facile ★☆☆☆☆

On considère les points A(1;1;2)A(1;1;2), B(0;1;1)B(0;1;1) et le vecteur n⃗=i⃗+j⃗−k⃗\vec n=\vec i+\vec j-\vec k.

  1. Vérifier que les points OO, AA et BB ne sont pas alignés.
  2. Montrer de deux façons (produit scalaire, puis produit vectoriel) que n⃗\vec n est orthogonal à OA→\overrightarrow{OA} et à OB→\overrightarrow{OB}.
  3. En déduire, de deux façons, une équation cartésienne du plan (OAB)(OAB).
  4. Donner une représentation paramétrique de la droite passant par AA et orthogonale au plan (OAB)(OAB).
Voir la solution

1. OA→(1;1;2)\overrightarrow{OA}(1;1;2), OB→(0;1;1)\overrightarrow{OB}(0;1;1) : ∣1011∣=1≠0\begin{vmatrix}1&0\\1&1\end{vmatrix}=1\neq0, donc non colinéaires : OO, AA, BB non alignés.

2. Produit scalaire : n⃗⋅OA→=1+1−2=0\vec n\cdot\overrightarrow{OA}=1+1-2=0 et n⃗⋅OB→=0+1−1=0\vec n\cdot\overrightarrow{OB}=0+1-1=0. Produit vectoriel : OA→∧OB→=(1−2; 0−1; 1−0)=(−1;−1;1)=−n⃗\overrightarrow{OA}\wedge\overrightarrow{OB}=(1-2;\ 0-1;\ 1-0)=(-1;-1;1)=-\vec n, vecteur orthogonal à OA→\overrightarrow{OA} et OB→\overrightarrow{OB} par définition.

3. n⃗\vec n est normal à (OAB)(OAB) et O∈(OAB)O\in(OAB) : (OAB): x+y−z=0(OAB):\ x+y-z=0. Autre méthode : M∈(OAB)  ⟺  det⁡(OM→;OA→;OB→)=0  ⟺  x+y−z=0M\in(OAB)\iff\det(\overrightarrow{OM};\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB})=0\iff x+y-z=0 (même résultat).

4. Dirigée par n⃗\vec n : x=1+tx=1+t, y=1+ty=1+t, z=2−tz=2-t (t∈R)(t\in\R).

Exercice 2 — Droite orthogonale, droite parallèle à un plan Facile ★★☆☆☆

On considère A(−1;0;1)A(-1;0;1), B(1;2;−1)B(1;2;-1), C(1;−1;2)C(1;-1;2) et le plan (P): x+y−z=0(P):\ x+y-z=0.

  1. a. Donner une représentation paramétrique de la droite (AB)(AB). b. Vérifier que (AB)(AB) est orthogonale à (P)(P). c. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de (AB)(AB) et (P)(P).
  2. Montrer que la droite (AC)(AC) est strictement parallèle à (P)(P).
  3. Donner une équation cartésienne du plan (Q)(Q) passant par BB et parallèle à (P)(P).
Voir la solution

1. a. AB→(2;2;−2)\overrightarrow{AB}(2;2;-2) ; on prend u⃗(1;1;−1)\vec u(1;1;-1) : x=−1+tx=-1+t, y=ty=t, z=1−tz=1-t (t∈R)(t\in\R).

1. b. n⃗(1;1;−1)\vec n(1;1;-1) normal à (P)(P) et u⃗=n⃗\vec u=\vec n : (AB)⊥(P)(AB)\perp(P).

1. c. (−1+t)+t−(1−t)=0  ⟺  3t=2  ⟺  t=23(-1+t)+t-(1-t)=0\iff3t=2\iff t=\frac23 : point (−13;23;13)\left(-\frac13;\frac23;\frac13\right).

2. AC→(2;−1;1)\overrightarrow{AC}(2;-1;1) : n⃗⋅AC→=2−1−1=0\vec n\cdot\overrightarrow{AC}=2-1-1=0, donc (AC)∥(P)(AC)\parallel(P) ; A∉(P)A\notin(P) car −1+0−1=−2≠0-1+0-1=-2\neq0 : strictement parallèle.

3. (Q): x+y−z+d=0(Q):\ x+y-z+d=0 avec B∈(Q)B\in(Q) : 1+2+1+d=0  ⟺  d=−41+2+1+d=0\iff d=-4 : (Q): x+y−z−4=0(Q):\ x+y-z-4=0.

Exercice 3 — Sphère et plans Moyen ★★★☆☆

Soit (P): 2x−2y−5=0(P):\ 2x-2y-5=0 et (S)(S) l’ensemble des points M(x;y;z)M(x;y;z) tels que x2+y2+z2−2x+4y+6z+11=0x^2+y^2+z^2-2x+4y+6z+11=0.

  1. Montrer que (S)(S) est une sphère dont on déterminera le centre Ω\Omega et le rayon RR.
  2. Montrer que (P)(P) coupe (S)(S) selon un cercle (C)(C) dont on déterminera le centre HH et le rayon rr.
  3. Déterminer une équation cartésienne de chacun des deux plans tangents à (S)(S) et parallèles à (P)(P).
  4. Soit (Q): x+y+z+1=0(Q):\ x+y+z+1=0. Vérifier que (Q)(Q) est tangent à (S)(S) et déterminer le point de contact.
  5. a. Vérifier que (P)⊥(Q)(P)\perp(Q). b. Donner une représentation paramétrique de la droite (Δ)=(P)∩(Q)(\Delta)=(P)\cap(Q).
  6. a. Vérifier que A(0;−1;−2)A(0;-1;-2) appartient à (S)(S). b. Déterminer une équation cartésienne du plan (Q′)(Q') tangent à (S)(S) en AA.
Voir la solution

1. (x−1)2+(y+2)2+(z+3)2=1+4+9−11=3>0(x-1)^2+(y+2)^2+(z+3)^2=1+4+9-11=3>0 : sphère de centre Ω(1;−2;−3)\Omega(1;-2;-3), de rayon R=3R=\sqrt3.

2. d(Ω;(P))=∣2+4−5∣8=24<3d(\Omega;(P))=\frac{|2+4-5|}{\sqrt8}=\frac{\sqrt2}4<\sqrt3 : cercle. H=Ω+λ(2;−2;0)∈(P)  ⟺  8λ+1=0  ⟺  λ=−18H=\Omega+\lambda(2;-2;0)\in(P)\iff8\lambda+1=0\iff\lambda=-\frac18 : H(34;−74;−3)H\left(\frac34;-\frac74;-3\right) ; r=3−18=464r=\sqrt{3-\frac18}=\frac{\sqrt{46}}4.

3. Plans 2x−2y+d=02x-2y+d=0 avec ∣6+d∣8=3  ⟺  ∣6+d∣=26  ⟺  d=−6±26\frac{|6+d|}{\sqrt8}=\sqrt3\iff|6+d|=2\sqrt6\iff d=-6\pm2\sqrt6 : x−y−3+6=0x-y-3+\sqrt6=0 et x−y−3−6=0x-y-3-\sqrt6=0.

4. d(Ω;(Q))=∣1−2−3+1∣3=3=Rd(\Omega;(Q))=\frac{|1-2-3+1|}{\sqrt3}=\sqrt3=R : tangent. Contact : Ω+λ(1;1;1)∈(Q)  ⟺  3λ−3=0  ⟺  λ=1\Omega+\lambda(1;1;1)\in(Q)\iff3\lambda-3=0\iff\lambda=1 : point (2;−1;−2)(2;-1;-2).

5. a. (2;−2;0)⋅(1;1;1)=0(2;-2;0)\cdot(1;1;1)=0 : (P)⊥(Q)(P)\perp(Q).

5. b. Direction (2;−2;0)∧(1;1;1)=(−2;−2;4)(2;-2;0)\wedge(1;1;1)=(-2;-2;4), soit (1;1;−2)(1;1;-2) ; point avec z=0z=0 : (34;−74;0)\left(\frac34;-\frac74;0\right). (Δ): x=34+t(\Delta):\ x=\frac34+t, y=−74+ty=-\frac74+t, z=−2tz=-2t (t∈R)(t\in\R).

6. a. 0+1+4−0−4−12+11=00+1+4-0-4-12+11=0 : A∈(S)A\in(S).

6. b. Normal ΩA→(−1;1;1)\overrightarrow{\Omega A}(-1;1;1) : −x+(y+1)+(z+2)=0-x+(y+1)+(z+2)=0, soit (Q′): x−y−z−3=0(Q'):\ x-y-z-3=0.

Exercice 4 — Sphère et droites Moyen ★★★☆☆

Soit (S)(S) la sphère de centre Ω(1;−1;0)\Omega(1;-1;0) et de rayon R=3R=\sqrt3.

  1. Donner une équation cartésienne de (S)(S).
  2. On considère (D1): x=2, y=2+4t, z=5+4t(D_1):\ x=2,\ y=2+4t,\ z=5+4t ; (D2): x=2−t, y=−2+t, z=1−t(D_2):\ x=2-t,\ y=-2+t,\ z=1-t ; (D3): x=−2+6t, y=4t, z=t(D_3):\ x=-2+6t,\ y=4t,\ z=t (t∈R)(t\in\R). Calculer d(Ω;(D1))d(\Omega;(D_1)), d(Ω;(D2))d(\Omega;(D_2)), d(Ω;(D3))d(\Omega;(D_3)) puis étudier les positions relatives de (S)(S) et de chacune des droites (préciser les points communs).
Voir la solution

1. (S): (x−1)2+(y+1)2+z2=3(S):\ (x-1)^2+(y+1)^2+z^2=3, soit x2+y2+z2−2x+2y−1=0x^2+y^2+z^2-2x+2y-1=0.

2. On utilise d(Ω;D(A;u⃗))=∥AΩ→∧u⃗∥∥u⃗∥d(\Omega;D(A;\vec u))=\frac{\|\overrightarrow{A\Omega}\wedge\vec u\|}{\|\vec u\|}.

  • (D1)(D_1) : A1(2;2;5)A_1(2;2;5), u⃗1(0;4;4)\vec u_1(0;4;4) : d=3=Rd=\sqrt3=R : tangente ; le point de contact correspond à t=−1t=-1 : (2;−2;1)(2;-2;1).
  • (D2)(D_2) : A2(2;−2;1)A_2(2;-2;1), u⃗2(−1;1;−1)\vec u_2(-1;1;-1) : d=0<Rd=0<R ((D2)(D_2) passe par Ω\Omega, pour t=1t=1) : deux points, t=0t=0 et t=2t=2 : (2;−2;1)(2;-2;1) et (0;0;−1)(0;0;-1).
  • (D3)(D_3) : A3(−2;0;0)A_3(-2;0;0), u⃗3(6;4;1)\vec u_3(6;4;1) : d=33453≈2,51>3d=\sqrt{\frac{334}{53}}\approx2{,}51>\sqrt3 : aucun point commun.

Exercice 5 — Sphère coupée par un plan Moyen ★★★☆☆

On considère A(0;−2;−2)A(0;-2;-2), B(1;−2;−4)B(1;-2;-4) et C(−3;1;−2)C(-3;1;-2).

  1. a. Montrer que AB→∧AC→=6i⃗+6j⃗+3k⃗\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=6\vec i+6\vec j+3\vec k. b. En déduire que 2x+2y+z+6=02x+2y+z+6=0 est une équation cartésienne de (ABC)(ABC).
  2. Soit (S): x2+y2+z2−2x−2z−23=0(S):\ x^2+y^2+z^2-2x-2z-23=0. Montrer que (S)(S) est la sphère de centre Ω(1;0;1)\Omega(1;0;1) et de rayon R=5R=5.
  3. a. Vérifier que x=1+2tx=1+2t, y=2ty=2t, z=1+tz=1+t (t∈R)(t\in\R) est une représentation paramétrique de la droite (D)(D) passant par Ω\Omega et orthogonale à (ABC)(ABC). b. Déterminer les coordonnées du point HH intersection de (D)(D) et (ABC)(ABC).
  4. Vérifier que d(Ω;(ABC))=3d(\Omega;(ABC))=3, puis montrer que (ABC)(ABC) coupe (S)(S) selon un cercle de rayon 44 dont on précisera le centre.
Voir la solution

1. a. AB→(1;0;−2)\overrightarrow{AB}(1;0;-2), AC→(−3;3;0)\overrightarrow{AC}(-3;3;0) : AB→∧AC→=(0+6; 6−0; 3−0)=(6;6;3)\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(0+6;\ 6-0;\ 3-0)=(6;6;3).

1. b. Non nul, donc A,B,CA,B,C non alignés et (2;2;1)(2;2;1) est normal à (ABC)(ABC) : 2x+2y+z+d=02x+2y+z+d=0, AA donne −4−2+d=0-4-2+d=0, d=6d=6.

2. (x−1)2+y2+(z−1)2=23+1+1=25(x-1)^2+y^2+(z-1)^2=23+1+1=25 : Ω(1;0;1)\Omega(1;0;1), R=5R=5.

3. a. t=0t=0 donne Ω\Omega, et le vecteur directeur (2;2;1)(2;2;1) est normal à (ABC)(ABC).

3. b. 2(1+2t)+4t+(1+t)+6=0  ⟺  9t+9=0  ⟺  t=−12(1+2t)+4t+(1+t)+6=0\iff9t+9=0\iff t=-1 : H(−1;−2;0)H(-1;-2;0).

4. d=∣2+0+1+6∣3=3<5d=\frac{|2+0+1+6|}3=3<5 : cercle de centre H(−1;−2;0)H(-1;-2;0) et de rayon 25−9=4\sqrt{25-9}=4.

Exercice 6 — Sphère, plan et droite Moyen ★★★☆☆

Soit (S): x2+y2+z2−2x−2y−2z−1=0(S):\ x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z-1=0 et (P): y−z=0(P):\ y-z=0.

  1. a. Montrer que (S)(S) a pour centre Ω(1;1;1)\Omega(1;1;1) et pour rayon R=2R=2. b. Calculer d(Ω;(P))d(\Omega;(P)) et en déduire que (P)(P) coupe (S)(S) selon un cercle (C)(C). c. Déterminer le centre et le rayon de (C)(C).
  2. Soit (D)(D) la droite passant par A(1;−2;2)A(1;-2;2) et orthogonale à (P)(P). a. Montrer que u⃗(0;1;−1)\vec u(0;1;-1) dirige (D)(D). b. Montrer que ΩA→∧u⃗=2i⃗\overrightarrow{\Omega A}\wedge\vec u=2\vec i ; en déduire que (D)(D) coupe (S)(S) en deux points. c. Déterminer les coordonnées de ces deux points.
Voir la solution

1. a. (x−1)2+(y−1)2+(z−1)2=1+3=4(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=1+3=4 : Ω(1;1;1)\Omega(1;1;1), R=2R=2.

1. b. d(Ω;(P))=∣1−1∣2=0<2d(\Omega;(P))=\frac{|1-1|}{\sqrt2}=0<2 : (P)(P) passe par Ω\Omega ; intersection : un cercle.

1. c. (C)(C) est un grand cercle : centre Ω(1;1;1)\Omega(1;1;1), rayon 22.

2. a. u⃗(0;1;−1)\vec u(0;1;-1) est un vecteur normal de (P)(P) : il dirige (D)(D).

2. b. ΩA→(0;−3;1)\overrightarrow{\Omega A}(0;-3;1) : ΩA→∧u⃗=((−3)(−1)−1⋅1; 1⋅0−0⋅(−1); 0⋅1−(−3)⋅0)=(2;0;0)\overrightarrow{\Omega A}\wedge\vec u=\big((-3)(-1)-1\cdot1;\ 1\cdot0-0\cdot(-1);\ 0\cdot1-(-3)\cdot0\big)=(2;0;0). Donc d(Ω;(D))=22=2<2d(\Omega;(D))=\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2<2 : deux points d’intersection.

2. c. M(1;−2+t;2−t)∈(S)  ⟺  (t−3)2+(1−t)2=4  ⟺  2t2−8t+6=0  ⟺  t∈{1;3}M(1;-2+t;2-t)\in(S)\iff(t-3)^2+(1-t)^2=4\iff2t^2-8t+6=0\iff t\in\{1;3\} : (1;−1;1)(1;-1;1) et (1;1;−1)(1;1;-1).

Exercice 7 — Produit vectoriel, intersection de plans, sphère Moyen ★★★☆☆

On donne A(−1;2;1)A(-1;2;1), B(1;−6;−1)B(1;-6;-1), C(2;2;2)C(2;2;2) et I(0;1;−1)I(0;1;-1).

  1. a. Calculer AB→∧AC→\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}. b. En déduire une équation du plan (ABC)(ABC).
  2. Soit (Q): x+y−3z+2=0(Q):\ x+y-3z+2=0 et (Q′)(Q') le plan (O;i⃗;k⃗)(O;\vec i;\vec k). a. Montrer que (Q)(Q) et (Q′)(Q') sont sécants. (Que remarque-t-on pour (Q)(Q) ?) b. Donner une représentation paramétrique de leur droite d’intersection (Δ)(\Delta).
  3. Écrire une équation cartésienne de la sphère (S)(S) de centre II et de rayon 22.
  4. Soient J(−2;0;0)J(-2;0;0) et K(1;0;1)K(1;0;1). Déterminer l’intersection de (S)(S) et de la droite (JK)(JK).
Voir la solution

1. a. AB→(2;−8;−2)\overrightarrow{AB}(2;-8;-2), AC→(3;0;1)\overrightarrow{AC}(3;0;1) : AB→∧AC→=(−8;−8;24)\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(-8;-8;24).

1. b. Normal (1;1;−3)(1;1;-3) : x+y−3z+d=0x+y-3z+d=0 ; AA : −1+2−3+d=0-1+2-3+d=0, d=2d=2 : (ABC): x+y−3z+2=0(ABC):\ x+y-3z+2=0.

2. a. (Q′)(Q') a pour équation y=0y=0, normal (0;1;0)(0;1;0), non colinéaire à (1;1;−3)(1;1;-3) : sécants. On remarque que (Q)=(ABC)(Q)=(ABC).

2. b. y=0y=0 et x=3z−2x=3z-2 : (Δ): x=−2+3t(\Delta):\ x=-2+3t, y=0y=0, z=tz=t (t∈R)(t\in\R).

3. (S): x2+(y−1)2+(z+1)2=4(S):\ x^2+(y-1)^2+(z+1)^2=4.

4. (JK)(JK) : x=−2+3tx=-2+3t, y=0y=0, z=tz=t (c’est (Δ)(\Delta) !). (3t−2)2+1+(t+1)2=4  ⟺  10t2−10t+2=0  ⟺  t=12±510(3t-2)^2+1+(t+1)^2=4\iff10t^2-10t+2=0\iff t=\frac12\pm\frac{\sqrt5}{10}. Deux points : (−12±3510;0;12±510)\left(-\frac12\pm\frac{3\sqrt5}{10};0;\frac12\pm\frac{\sqrt5}{10}\right) (signes correspondants).

Exercice 8 — Plan, distance et plan médiateur Moyen ★★★☆☆

On considère A(2;1;1)A(2;1;1), B(1;0;1)B(1;0;1) et n⃗=i⃗−j⃗−k⃗\vec n=\vec i-\vec j-\vec k.

  1. Montrer que OO, AA et BB ne sont pas alignés.
  2. Montrer que n⃗\vec n est orthogonal à OA→\overrightarrow{OA} et à OB→\overrightarrow{OB}.
  3. En déduire une équation du plan (OAB)(OAB).
  4. Soit (P): x+y+z=0(P):\ x+y+z=0. a. Donner une représentation paramétrique de la droite (Δ)(\Delta) passant par AA et orthogonale à (P)(P). b. Déterminer les points MM de (Δ)(\Delta) tels que d(M;(P))=1d(M;(P))=1.
  5. a. Donner une équation cartésienne du plan médiateur (Q)(Q) du segment [AB][AB]. b. Montrer que (Q)(Q) et (P)(P) sont sécants.
Voir la solution

1. OA→∧OB→=(2;1;1)∧(1;0;1)=(1;−1;−1)≠0⃗\overrightarrow{OA}\wedge\overrightarrow{OB}=(2;1;1)\wedge(1;0;1)=(1;-1;-1)\neq\vec0 : non alignés.

2. n⃗⋅OA→=2−1−1=0\vec n\cdot\overrightarrow{OA}=2-1-1=0, n⃗⋅OB→=1−0−1=0\vec n\cdot\overrightarrow{OB}=1-0-1=0.

3. (OAB): x−y−z=0(OAB):\ x-y-z=0.

4. a. (Δ): x=2+t(\Delta):\ x=2+t, y=1+ty=1+t, z=1+tz=1+t (t∈R)(t\in\R).

4. b. d(M;(P))=∣4+3t∣3=1  ⟺  4+3t=±3  ⟺  t=−4±33d(M;(P))=\frac{|4+3t|}{\sqrt3}=1\iff4+3t=\pm\sqrt3\iff t=\frac{-4\pm\sqrt3}3 : M(2±33;−1±33;−1±33)M\left(\frac{2\pm\sqrt3}3;\frac{-1\pm\sqrt3}3;\frac{-1\pm\sqrt3}3\right) (signes correspondants).

5. a. Milieu (32;12;1)\left(\frac32;\frac12;1\right), normal AB→(−1;−1;0)\overrightarrow{AB}(-1;-1;0) : (Q): x+y−2=0(Q):\ x+y-2=0.

5. b. (1;1;0)(1;1;0) et (1;1;1)(1;1;1) non colinéaires : sécants.

Exercice 9 — Distance à une droite, sphère tangente Difficile ★★★★☆

On considère A(1;1;0)A(1;1;0), B(1;−1;1)B(1;-1;1), C(0;1;1)C(0;1;1) et le plan (P): x+2y−2z+1=0(P):\ x+2y-2z+1=0.

  1. Calculer AB→∧AC→\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC} et en déduire que AA, BB, CC ne sont pas alignés.
  2. Montrer que (ABC): 2x+y+2z−3=0(ABC):\ 2x+y+2z-3=0.
  3. Vérifier que (P)⊥(ABC)(P)\perp(ABC).
  4. Donner une représentation paramétrique de la droite (D)=(P)∩(ABC)(D)=(P)\cap(ABC).
  5. Soit I(2;1;1)I(2;1;1) et MM un point de (D)(D). Déterminer MM pour que IMIM soit minimale et en déduire d(I;(D))d(I;(D)).
  6. Calculer d(I;(ABC))d(I;(ABC)).
  7. Soit (S)(S) l’ensemble des points M(x;y;z)M(x;y;z) tels que x2+y2+z2−4x−2y−2z+389=0x^2+y^2+z^2-4x-2y-2z+\frac{38}9=0. a. Montrer que (S)(S) est une sphère de centre II, tangente au plan (ABC)(ABC). b. Déterminer une équation du plan (Q)(Q) tangent à (S)(S) et strictement parallèle à (ABC)(ABC).
Voir la solution

1. AB→(0;−2;1)\overrightarrow{AB}(0;-2;1), AC→(−1;0;1)\overrightarrow{AC}(-1;0;1) : AB→∧AC→=(−2;−1;−2)≠0⃗\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(-2;-1;-2)\neq\vec0 : non alignés.

2. Normal (2;1;2)(2;1;2) et AA : 2+1+0+d=02+1+0+d=0, d=−3d=-3.

3. (1;2;−2)⋅(2;1;2)=2+2−4=0(1;2;-2)\cdot(2;1;2)=2+2-4=0 : (P)⊥(ABC)(P)\perp(ABC).

4. Direction (1;2;−2)∧(2;1;2)=(6;−6;−3)(1;2;-2)\wedge(2;1;2)=(6;-6;-3), soit (−2;2;1)(-2;2;1) ; point z=0z=0 : x+2y=−1x+2y=-1, 2x+y=32x+y=3, d’où (73;−53;0)\left(\frac73;-\frac53;0\right). (D): x=73−2t(D):\ x=\frac73-2t, y=−53+2ty=-\frac53+2t, z=tz=t (t∈R)(t\in\R).

5. IMIM minimale   ⟺  IM→⊥u⃗\iff\overrightarrow{IM}\perp\vec u : (13−2t)(−2)+(−83+2t)2+(t−1)=0  ⟺  9t−7=0  ⟺  t=79\big(\frac13-2t\big)(-2)+\big(-\frac83+2t\big)2+(t-1)=0\iff9t-7=0\iff t=\frac79 : M(79;−19;79)M\left(\frac79;-\frac19;\frac79\right) et d(I;(D))=IM=53d(I;(D))=IM=\frac53.

6. d(I;(ABC))=∣4+1+2−3∣3=43d(I;(ABC))=\frac{|4+1+2-3|}3=\frac43.

7. a. (x−2)2+(y−1)2+(z−1)2=6−389=169(x-2)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=6-\frac{38}9=\frac{16}9 : sphère de centre II et de rayon 43=d(I;(ABC))\frac43=d(I;(ABC)) : tangente.

7. b. (Q): 2x+y+2z+d=0(Q):\ 2x+y+2z+d=0 avec ∣7+d∣3=43  ⟺  d∈{−3;−11}\frac{|7+d|}3=\frac43\iff d\in\{-3;-11\} ; d=−3d=-3 redonne (ABC)(ABC), donc (Q): 2x+y+2z−11=0(Q):\ 2x+y+2z-11=0.

Exercice 10 — Famille de sphères Difficile ★★★★★

On considère A(−1;3;0)A(-1;3;0), B(−3;0;−1)B(-3;0;-1), C(1;5;−1)C(1;5;-1) et (S): x2+y2+z2−2x−6y+z−10=0(S):\ x^2+y^2+z^2-2x-6y+z-10=0.

  1. a. Montrer que AB→∧AC→=5i⃗−4j⃗+2k⃗\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=5\vec i-4\vec j+2\vec k et en déduire l’aire du triangle ABCABC. b. Donner une équation du plan (ABC)(ABC).
  2. Déterminer (S)∩(ABC)(S)\cap(ABC).
  3. Calculer la distance d(B;(AC))d(B;(AC)).
  4. Soit (P): 2x−2z−17=0(P):\ 2x-2z-17=0. a. Montrer que (P)(P) et (ABC)(ABC) sont sécants selon une droite (D)(D) dont on donnera un vecteur directeur. b. Montrer que E(0;0;−172)E\left(0;0;-\frac{17}2\right) appartient à (P)(P) et à (ABC)(ABC). c. En déduire une représentation paramétrique de (D)(D).
  5. Pour m∈Rm\in\R, on note (Sm)(S_m) l’ensemble des points M(x;y;z)M(x;y;z) tels que x2+y2+z2−2mx−2my−2(m+3)z+5m−10=0x^2+y^2+z^2-2mx-2my-2(m+3)z+5m-10=0. a. Montrer que (Sm)(S_m) est une sphère de centre Ωm(m;m;m+3)\Omega_m(m;m;m+3) et de rayon Rm=3m2+m+19R_m=\sqrt{3m^2+m+19}. b. Quel ensemble décrit Ωm\Omega_m lorsque mm décrit R\R ? c. Discuter, selon mm, la position relative de (Sm)(S_m) et (P)(P).
Voir la solution

1. a. AB→(−2;−3;−1)\overrightarrow{AB}(-2;-3;-1), AC→(2;2;−1)\overrightarrow{AC}(2;2;-1) : AB→∧AC→=(3+2; −2−2; −4+6)=(5;−4;2)\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(3+2;\ -2-2;\ -4+6)=(5;-4;2). Aire =1225+16+4=352=\frac12\sqrt{25+16+4}=\frac{3\sqrt5}2.

1. b. (ABC): 5x−4y+2z+17=0(ABC):\ 5x-4y+2z+17=0.

2. (S)(S) : (x−1)2+(y−3)2+(z+12)2=814(x-1)^2+(y-3)^2+\left(z+\frac12\right)^2=\frac{81}4 : Ω(1;3;−12)\Omega\left(1;3;-\frac12\right), R=92R=\frac92. d(Ω;(ABC))=∣5−12−1+17∣45=35<92d(\Omega;(ABC))=\frac{|5-12-1+17|}{\sqrt{45}}=\frac3{\sqrt5}<\frac92 : cercle de centre H(0;195;−910)H\left(0;\frac{19}5;-\frac9{10}\right) (projeté de Ω\Omega) et de rayon 814−95=320510\sqrt{\frac{81}4-\frac95}=\frac{3\sqrt{205}}{10}.

3. d(B;(AC))=∥AB→∧AC→∥AC=453=5d(B;(AC))=\frac{\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|}{AC}=\frac{\sqrt{45}}3=\sqrt5.

4. a. (2;0;−2)(2;0;-2) et (5;−4;2)(5;-4;2) non colinéaires : sécants ; direction (2;0;−2)∧(5;−4;2)=(−8;−14;−8)(2;0;-2)\wedge(5;-4;2)=(-8;-14;-8), soit u⃗(4;7;4)\vec u(4;7;4).

4. b. 0−2(−172)−17=00-2\left(-\frac{17}2\right)-17=0 et 0−0−17+17=00-0-17+17=0.

4. c. (D): x=4t(D):\ x=4t, y=7ty=7t, z=−172+4tz=-\frac{17}2+4t (t∈R)(t\in\R).

5. a. (x−m)2+(y−m)2+(z−m−3)2=m2+m2+(m+3)2−5m+10=3m2+m+19(x-m)^2+(y-m)^2+(z-m-3)^2=m^2+m^2+(m+3)^2-5m+10=3m^2+m+19, et 3m2+m+19>03m^2+m+19>0 (discriminant 1−228<01-228<0).

5. b. Ωm=(0;0;3)+m(1;1;1)\Omega_m=(0;0;3)+m(1;1;1) : la droite passant par (0;0;3)(0;0;3) dirigée par (1;1;1)(1;1;1).

5. c. d(Ωm;(P))=∣2m−2m−6−17∣8=2322d(\Omega_m;(P))=\frac{|2m-2m-6-17|}{\sqrt8}=\frac{23}{2\sqrt2}, constante. On compare Rm2R_m^2 et 5298\frac{529}8 : 3m2+m+19−5298=24m2+8m−37783m^2+m+19-\frac{529}8=\frac{24m^2+8m-377}8, de racines m1,2=−2∓226612m_{1,2}=\frac{-2\mp\sqrt{2266}}{12}. Si m<m1m<m_1 ou m>m2m>m_2 : cercle ; si m∈{m1;m2}m\in\{m_1;m_2\} : (P)(P) tangent ; si m1<m<m2m_1<m<m_2 : intersection vide.

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