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Chapitre 1 — Notions de logique

Semestre 1

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Cours

Plan du chapitre. I. Propositions, fonctions propositionnelles et quantificateurs — II. Négation d’une proposition — III. Opérations sur deux propositions — IV. Lois logiques — V. Raisonnements mathématiques (contre-exemple, direct, contraposée, équivalence, disjonction des cas, absurde, récurrence).

Notations. La négation d’une proposition $P$ est notée $\non{P}$ (lire « non $P$ »). V signifie « vrai » et F « faux ». $\R$ , $\Q$ , $\D$ , $\Z$ , $\N$ désignent les ensembles usuels de nombres ; $\N^*=\N\setminus\{0\}$ .

I. Propositions, fonctions propositionnelles et quantificateurs

1. Proposition

Définition 1 : Proposition

On appelle proposition (ou assertion) tout énoncé mathématique qui a un sens et qui est soit vrai, soit faux, jamais les deux à la fois.

Remarque

La valeur de vérité d’une proposition vraie est notée V (ou 1) ; celle d’une proposition fausse est notée F (ou 0).
On note les propositions par des lettres majuscules : $P$ , $Q$ , $R$ , …
Le tableau de vérité d’une proposition $P$ donne ses deux valeurs possibles :

$P$
V
F

Exemple 1

Déterminer la valeur de vérité de chacune des propositions suivantes.

$P_1$ : « $\sqrt{36}+\sqrt{64}=\sqrt{100}$ ».
$P_2$ : « $-3$ est un entier naturel ».
$P_3$ : « $\dfrac{7}{4}$ est un nombre décimal ».
$P_4$ : « Tout losange est un parallélogramme ».
$P_5$ : « $91$ est un nombre premier ».

Voir la solution

$\sqrt{36}+\sqrt{64}=6+8=14$ et $\sqrt{100}=10$ ; or $14\neq 10$ , donc $P_1$ est fausse.
$-3<0$ , donc $-3\notin\N$ : $P_2$ est fausse.
$\dfrac74=1{,}75=\dfrac{175}{10^2}$ , donc $\dfrac74\in\D$ : $P_3$ est vraie.
Un losange a ses côtés opposés parallèles : $P_4$ est vraie.
$91=7\times 13$ : $P_5$ est fausse.

2. Fonction propositionnelle

Définition 2 : Fonction propositionnelle

On appelle fonction propositionnelle tout énoncé contenant une ou plusieurs variables, chacune appartenant à un ensemble donné, et qui devient une proposition dès qu’on remplace chaque variable par un élément de son ensemble.

Selon le nombre de variables, on la note $P(x)$ , $Q(x;y)$ , $R(x;y;z)$ , …

Exemple 2

Préciser si chacun des énoncés suivants est une proposition ou une fonction propositionnelle.

$P$ : « $\pi<\dfrac{22}{7}$ » ; $\quad Q$ : « $(\sqrt5-\sqrt2)(\sqrt5+\sqrt2)\in\N$ » ; $\quad A(x)$ : « $x\in\R,\ x^2\ge 2x$ » ;

$R$ : « $\sqrt3\in\Q$ » ; $\quad C(n)$ : « $n\in\N,\ n^2+n+41$ est premier » ; $\quad D(n;m)$ : « $(n;m)\in\N^2,\ n+2m=7$ ».

Voir la solution

$P$ , $Q$ et $R$ ne contiennent aucune variable : ce sont des propositions ( $P$ est vraie car $\pi\approx 3{,}1416<3{,}1428\approx\frac{22}{7}$ ; $Q$ est vraie car $(\sqrt5-\sqrt2)(\sqrt5+\sqrt2)=5-2=3$ ; $R$ est fausse).
$A(x)$ , $C(n)$ et $D(n;m)$ contiennent des variables : ce sont des fonctions propositionnelles. Par exemple, $A(3)$ : « $9\ge 6$ » est vraie et $A(1)$ : « $1\ge 2$ » est fausse ; $D(1;3)$ : « $1+6=7$ » est vraie.

3. Les quantificateurs

Exemple 3 (activité)

Résoudre dans $\R$ l’inéquation $x^2-2x-8<0$ .
En déduire la valeur de vérité de : $P_1$ : « Pour tout $x$ de $]-1;3[$ , on a $x^2-2x-8<0$ » ; $\ P_2$ : « Il existe au moins un réel $x$ tel que $x^2-2x-8<0$ » ; $\ P_3$ : « Pour tout réel $x$ , $x^2-2x-8<0$ » ; $\ P_4$ : « Il existe un unique réel $x$ tel que $x^2-2x-8=0$ ».

Voir la solution

Pour tout $x\in\R$ : $x^2-2x-8=(x-4)(x+2)$ . Ce produit est strictement négatif si et seulement si ses facteurs sont de signes contraires, c’est-à-dire $-2<x<4$ . Donc $S=\,]-2;4[$ .
$]-1;3[\,\subset\,]-2;4[$ , donc $P_1$ est vraie. $0\in\,]-2;4[$ , donc $P_2$ est vraie. Pour $x=5$ : $25-10-8=7\ge 0$ , donc $P_3$ est fausse. L’équation $(x-4)(x+2)=0$ admet deux solutions $-2$ et $4$ , donc $P_4$ est fausse.

Définition 3 : Quantificateurs

Le quantificateur universel, noté $\forall$ , se lit « pour tout » ou « quel que soit ».
Le quantificateur existentiel, noté $\exists$ , se lit « il existe au moins un ».
Le symbole $\exists!$ se lit « il existe un unique ».
Lorsque toutes les variables d’une fonction propositionnelle sont liées par des quantificateurs, on obtient une proposition.

Exemple 4

Lire puis donner la valeur de vérité de : $\ P:(\exists!x\in\R)\ x^3=8$ ; $\ Q:(\forall x\in\R)\ x^2-4x+5>0$ ; $\ R:(\exists x\in\R)\ x^2+2x+3=0$ ; $\ S:(\forall x\in\R)\ 1\le x\le 2$ .

Voir la solution

$P$ : « il existe un unique réel dont le cube vaut $8$ » : vraie ( $x=2$ est le seul, car pour $x<2$ , $x^3<8$ et pour $x>2$ , $x^3>8$ ).
$Q$ : pour tout $x\in\R$ , $x^2-4x+5=(x-2)^2+1\ge 1>0$ : vraie.
$R$ : $x^2+2x+3=(x+1)^2+2\ge 2>0$ , l’équation n’a pas de solution réelle : fausse.
$S$ : pour $x=0$ , $1\le 0$ est faux : fausse.

Exemple 5

Écrire à l’aide des quantificateurs, puis donner la valeur de vérité :

$P$ : « L’équation $x^2-5x+6=0$ admet au moins une solution réelle. »
$Q$ : « Le carré de tout entier relatif est un entier naturel. »
$R$ : « Certains réels ne sont pas des décimaux. »
$S$ : « L’équation $3x-2=0$ admet une unique solution réelle. »
$T$ : « Pour tous entiers naturels $n$ et $m$ , on a $n=m+1$ . »
$U$ : « Pour tout réel $x$ , il existe un réel $y$ tel que $y<x$ . »
$V$ : « Il existe un réel $y$ tel que, pour tout réel $x$ , $y<x$ . »

Voir la solution

$P:(\exists x\in\R)\ x^2-5x+6=0$ : vraie ( $x=2$ ).
$Q:(\forall n\in\Z)\ n^2\in\N$ : vraie.
$R:(\exists x\in\R)\ x\notin\D$ : vraie ( $\frac13\notin\D$ ).
$S:(\exists! x\in\R)\ 3x-2=0$ : vraie ( $3x-2=0\iff x=\frac23$ ).
$T:(\forall n\in\N)(\forall m\in\N)\ n=m+1$ : fausse ( $n=m=0$ ).
$U:(\forall x\in\R)(\exists y\in\R)\ y<x$ : vraie (on prend $y=x-1$ , qui dépend de $x$ ).
$V:(\exists y\in\R)(\forall x\in\R)\ y<x$ : fausse (pour $x=y$ , on aurait $y<y$ ).

Remarque

On peut permuter deux quantificateurs consécutifs de même nature : $(\forall x)(\forall y)\iff(\forall y)(\forall x)$ et $(\exists x)(\exists y)\iff(\exists y)(\exists x)$ .
En général, on ne peut pas permuter deux quantificateurs de natures différentes sans changer le sens (comparer $U$ et $V$ ci-dessus).
Dans $(\exists x\in E)(\forall y\in F)\ P(x;y)$ , le même $x$ convient pour tous les $y$ : $x$ ne dépend pas de $y$ . Dans $(\forall y\in F)(\exists x\in E)\ P(x;y)$ , $x$ est choisi après $y$ et peut en dépendre. Illustration : « chaque élève de la classe a une place assise » ne signifie pas « il existe une place sur laquelle sont assis tous les élèves ».
On admet (et on démontrera au paragraphe V) que $\sqrt2\notin\Q$ .
Tout rationnel s’écrit $\frac ab$ avec $\pgcd(a;b)=1$ : $x\in\Q\iff(\exists(a;b)\in\Z\times\N^*)\ \Big(x=\dfrac ab\ \text{ et }\ \pgcd(a;b)=1\Big)$ .

Exemple 6

Valeur de vérité de : $P_1:(\exists!x\in\R)\ x^2=9$ ; $P_2:(\forall x\in\R)\ x^2-x+1>0$ ; $P_3:(\exists n\in\N)\ 2n+1=0$ ; $P_4:(\forall x\in\R)\ \sqrt{x^2}=x$ ; $P_5:(\exists n\in\N)(\exists m\in\N)\ n-m=5$ ; $P_6:(\forall n\in\N)(\forall m\in\N)\ n-m=5$ ; $P_7:(\forall n\in\N)(\exists m\in\N)\ n+m=5$ ; $P_8:(\exists n\in\N)(\forall m\in\N)\ n\le m$ .

Voir la solution

$P_1$ fausse ( $3$ et $-3$ ) ; $P_2$ vraie ( $x^2-x+1=(x-\frac12)^2+\frac34>0$ ) ; $P_3$ fausse ( $2n+1\ge 1$ ) ; $P_4$ fausse ( $\sqrt{(-2)^2}=2\neq-2$ ) ; $P_5$ vraie ( $n=5$ , $m=0$ ) ; $P_6$ fausse ( $n=m=0$ ) ; $P_7$ fausse (pour $n=6$ , $m=-1\notin\N$ ) ; $P_8$ vraie ( $n=0$ convient pour tout $m\in\N$ ).

Application 1

Écrire à l’aide de quantificateurs : (a) « Tout réel positif est le carré d’un réel » ; (b) « Il existe un entier naturel pair et premier » ; (c) « Le produit de deux réels non nuls est non nul ».

Voir la solution

(a) $(\forall x\in\R_+)(\exists y\in\R)\ x=y^2$ (vraie : $y=\sqrt x$ ). (b) $(\exists n\in\N)\ (n \text{ pair et } n \text{ premier})$ (vraie : $n=2$ ). (c) $(\forall (a;b)\in(\R^*)^2)\ ab\neq 0$ (vraie).

II. Négation d’une proposition

Définition 4 : Négation

La négation d’une proposition $P$ est la proposition notée $\non{P}$ , qui est vraie lorsque $P$ est fausse et fausse lorsque $P$ est vraie.

$P$	$\non{P}$
V	F
F	V

Propriété

Négation des symboles usuels :

Symbole	$\forall$	$\exists$	$=$	$\in$	$\le$	$\ge$	$<$	$>$	et	ou
Négation	$\exists$	$\forall$	$\neq$	$\notin$	$>$	$<$	$\ge$	$\le$	ou	et

Négation d’une proposition quantifiée. Soit $P(x)$ une fonction propositionnelle, $x$ appartenant à un ensemble non vide $E$ : $\overline{(\forall x\in E)\ P(x)}\ \text{ est }\ (\exists x\in E)\ \overline{P(x)}\qquad\text{et}\qquad\overline{(\exists x\in E)\ P(x)}\ \text{ est }\ (\forall x\in E)\ \overline{P(x)}.$ L’ensemble $E$ ne change pas ; seuls le quantificateur et la propriété sont niés.

Exemple 7

Écrire la négation et donner la valeur de vérité : $P_1$ : $\sqrt{9+16}=7$ ; $P_2$ : $\pi<3{,}15$ ; $P_3$ : $\sqrt7\in[2;3]$ ; $P_4:(\exists x\in\R)\ x^2=49$ ; $P_5:(\forall x\in\R)\ x^3\ge x$ .

Voir la solution

$\non{P_1}$ : $\sqrt{9+16}\neq 7$ ; vraie car $\sqrt{25}=5$ . Donc $P_1$ est fausse.
$\non{P_2}$ : $\pi\ge 3{,}15$ ; $P_2$ est vraie ( $\pi\approx3{,}1416$ ), donc $\non{P_2}$ est fausse.
$\non{P_3}$ : $\sqrt7\notin[2;3]$ ; comme $4\le 7\le 9$ , $2\le\sqrt7\le 3$ : $P_3$ vraie.
$\non{P_4}:(\forall x\in\R)\ x^2\neq 49$ ; $P_4$ est vraie ( $x=7$ ), $\non{P_4}$ fausse.
$\non{P_5}:(\exists x\in\R)\ x^3<x$ ; pour $x=\frac12$ : $\frac18<\frac12$ , donc $\non{P_5}$ est vraie et $P_5$ est fausse.

Exemple 8

Valeur de vérité et négation de : $P_1:(\forall n\in\N)(\exists m\in\N)\ m=3n$ ; $P_2:(\forall n\in\N)(\exists m\in\N)\ n=3m$ ; $P_3:(\forall x\in\R_+)(\exists y\in\R_+)\ y^2=x$ ; $P_4:(\exists n\in\N)(\forall m\in\N)\ m\ge n$ .

Voir la solution

$\non{P_1}:(\exists n\in\N)(\forall m\in\N)\ m\neq 3n$ . $P_1$ est vraie : pour $n\in\N$ , $m=3n\in\N$ convient.
$\non{P_2}:(\exists n\in\N)(\forall m\in\N)\ n\neq 3m$ . Pour $n=1$ : $3m=1\iff m=\frac13\notin\N$ , donc $\non{P_2}$ est vraie et $P_2$ fausse.
$\non{P_3}:(\exists x\in\R_+)(\forall y\in\R_+)\ y^2\neq x$ . $P_3$ est vraie ( $y=\sqrt x$ ).
$\non{P_4}:(\forall n\in\N)(\exists m\in\N)\ m<n$ . $P_4$ est vraie ( $n=0$ ) ; d’ailleurs $\non{P_4}$ est fausse pour $n=0$ .

Application 2

Écrire la négation de : $A$ : « Tous les élèves de la classe ont la moyenne » ; $B:(\forall x\in\R)(\exists n\in\N)\ n>x$ ; $C:(\exists M\in\R)(\forall n\in\N)\ n\le M$ . Préciser la valeur de vérité de $B$ et $C$ .

Voir la solution

$\non{A}$ : « Au moins un élève de la classe n’a pas la moyenne ». $\non{B}:(\exists x\in\R)(\forall n\in\N)\ n\le x$ ; $B$ est vraie (tout réel est strictement inférieur à au moins un entier naturel : propriété admise, dite d’Archimède). $\non{C}:(\forall M\in\R)(\exists n\in\N)\ n>M$ ; c’est exactement $B$ (à la lettre près), donc $\non{C}$ est vraie et $C$ est fausse.

III. Opérations sur deux propositions

Définition 5 : Connecteurs logiques

Soient $P$ et $Q$ deux propositions.

La conjonction « $P$ et $Q$ » (notée aussi $P\wedge Q$ ) est vraie si et seulement si $P$ et $Q$ sont toutes deux vraies.
La disjonction « $P$ ou $Q$ » (notée aussi $P\vee Q$ ) est vraie si et seulement si au moins l’une des deux est vraie (« ou » inclusif).
L’implication $P\Longrightarrow Q$ est la proposition « $\non{P}$ ou $Q$ ». Elle est fausse uniquement lorsque $P$ est vraie et $Q$ fausse.
L’équivalence $P\iff Q$ est vraie si et seulement si $P$ et $Q$ ont la même valeur de vérité.

$P$	$Q$	$P$ et $Q$	$P$ ou $Q$	$P\Longrightarrow Q$	$P\iff Q$
V	V	V	V	V	V
V	F	F	V	F	F
F	V	F	V	V	F
F	F	F	F	V	V

Exemple 9

Déterminer la valeur de vérité de : (1) « $3<8$ et $12=6$ » ; (2) « $3<8$ ou $12=6$ » ; (3) « $\sqrt2\in\Q\Longrightarrow 2>5$ » ; (4) « $2=3\Longrightarrow 5=7$ » ; (5) « $7$ est premier $\Longrightarrow(\forall x\in\R)\ x^2+1>0$ » ; (6) « $|-6|=6\iff 2\ge 9$ » ; (7) « $(\sqrt5)^2+4=9\iff 18=2\times 3^2$ ».

Voir la solution

(1) F (car « $12=6$ » est fausse) ; (2) V ; (3) V (la prémisse est fausse) ; (4) V (F $\Longrightarrow$ F est vraie) ; (5) V (V $\Longrightarrow$ V) ; (6) F (V et F) ; (7) V (les deux sont vraies : $5+4=9$ et $2\times9=18$ ).

Remarque

$P\Longrightarrow Q$ se lit : « $P$ implique $Q$ », « si $P$ alors $Q$ », « $P$ est une condition suffisante pour $Q$ », « $Q$ est une condition nécessaire pour $P$ ».
$P\Longrightarrow Q$ et $Q\Longrightarrow P$ n’ont pas la même table (ligne 2 et ligne 3) : l’implication n’est pas commutative.
$Q\Longrightarrow P$ s’appelle l’implication réciproque de $P\Longrightarrow Q$ .
$P\iff Q$ se lit « $P$ équivaut à $Q$ », « $P$ si et seulement si $Q$ » ; elle signifie « $P\Longrightarrow Q$ et $Q\Longrightarrow P$ ». L’équivalence est commutative.

Exemple 10

Valeur de vérité de : (1) « $(\exists x\in\R)\ x-3=0$ et $(\exists x\in\R)\ x+5=0$ » ; (2) « $(\exists x\in\R)\ (x-3=0$ et $x+5=0)$ » ; (3) « $(\forall x\in\R)\ x\ge 1$ ou $(\forall x\in\R)\ x<1$ » ; (4) « $(\forall x\in\R)\ (x\ge 1$ ou $x<1)$ ».

Voir la solution

(1) V ( $x=3$ pour la première, $x=-5$ pour la seconde). (2) F (un même réel ne peut valoir $3$ et $-5$ ). (3) F (les deux propositions sont fausses : $x=0$ , puis $x=2$ ). (4) V (tout réel vérifie l’une des deux inégalités).

Remarque

Deux propositions sont dites équivalentes si elles ont la même valeur de vérité.
« et » et « ou » sont commutatifs et associatifs : $(P\text{ et }Q)\iff(Q\text{ et }P)$ , $\big[(P\text{ ou }Q)\text{ ou }R\big]\iff\big[P\text{ ou }(Q\text{ ou }R)\big]$ , etc.
Pour deux fonctions propositionnelles $P(x)$ $P (x)$ et $Q(x)$ $Q (x)$ sur $E$ $E$ non vide :
- $(\forall x\in E)\ \big(P(x)\text{ et }Q(x)\big)\iff\big[(\forall x\in E)\ P(x)\big]\text{ et }\big[(\forall x\in E)\ Q(x)\big]$ ;
- $(\exists x\in E)\ \big(P(x)\text{ ou }Q(x)\big)\iff\big[(\exists x\in E)\ P(x)\big]\text{ ou }\big[(\exists x\in E)\ Q(x)\big]$ ;
- mais « $\forall$ / ou » et « $\exists$ / et » ne se distribuent pas en général (exemple 10).

IV. Lois logiques

Exemple 11 (activité)

Compléter le tableau de vérité de la proposition $(P\text{ et }Q)\Longrightarrow P$ .

Voir la solution

$P$	$Q$	$P$ et $Q$	$(P$ et $Q)\Longrightarrow P$
V	V	V	V
V	F	F	V
F	V	F	V
F	F	F	V

La proposition est vraie dans tous les cas.

Définition 6 : Loi logique

Une loi logique (ou tautologie) est une proposition composée à l’aide de connecteurs logiques qui est vraie quelles que soient les valeurs de vérité des propositions qui la composent.

Méthode

Pour montrer qu’une proposition est une loi logique, il suffit de dresser son tableau de vérité et de constater que sa dernière colonne ne contient que des V. On peut aussi utiliser des lois logiques déjà établies.

Exemple 12

Montrer que les propositions suivantes sont des lois logiques : (1) $(P\text{ et }\non{P})\Longrightarrow Q$ ; (2) $\big[P\text{ et }(Q\text{ ou }R)\big]\iff\big[(P\text{ et }Q)\text{ ou }(P\text{ et }R)\big]$ .

Voir la solution

(1) « $P$ et $\non{P}$ » est toujours fausse (si $P$ est V, $\non{P}$ est F et inversement), donc l’implication « F $\Longrightarrow Q$ » est toujours vraie : c’est une loi logique.

(2) Notons $L$ le membre de gauche et $M$ celui de droite :

$P$	$Q$	$R$	$Q$ ou $R$	$L$	$P$ et $Q$	$P$ et $R$	$M$	$L\iff M$
V	V	V	V	V	V	V	V	V
V	V	F	V	V	V	F	V	V
V	F	V	V	V	F	V	V	V
V	F	F	F	F	F	F	F	V
F	V	V	V	F	F	F	F	V
F	V	F	V	F	F	F	F	V
F	F	V	V	F	F	F	F	V
F	F	F	F	F	F	F	F	V

Les colonnes $L$ et $M$ sont identiques, donc $L\iff M$ est toujours vraie : c’est une loi logique.

Propriété : négation des connecteurs

Quelles que soient les propositions $P$ et $Q$ , les propositions suivantes sont des lois logiques :

Lois de Morgan : $\ \overline{P\text{ et }Q}\iff(\non{P}\text{ ou }\non{Q})\$ et $\ \overline{P\text{ ou }Q}\iff(\non{P}\text{ et }\non{Q})$ .
Négation de l’implication : $\ \overline{P\Longrightarrow Q}\iff(P\text{ et }\non{Q})$ .
Négation de l’équivalence : $\ \overline{P\iff Q}\iff(\non{P}\iff Q)\iff(P\iff\non{Q})\iff\big[(P\text{ et }\non{Q})\text{ ou }(\non{P}\text{ et }Q)\big]$ .

Voir la solution

Justification de la négation de l’implication. Par définition $P\Longrightarrow Q$ est « $\non{P}$ ou $Q$ » ; d’après Morgan, sa négation est « $\overline{\non{P}}$ et $\non{Q}$ », c’est-à-dire « $P$ et $\non{Q}$ » (car $\overline{\non{P}}\iff P$ ).

Exemple 13

Soient $a,b,c,x\in\R$ . Écrire la négation de :
$P$ : « $x\ge 3\Longrightarrow x<7$ » ;
$Q$ : « $a=b$ ou $a=c$ » ;
$R$ : « $x\in\Z\iff x^2\in\Z$ » ;
$S$ : « $a\le b$ et $b\le c$ ».

Voir la solution

$\non{P}$ : « $x\ge 3$ et $x\ge 7$ » ; $\non{Q}$ : « $a\neq b$ et $a\neq c$ » ; $\non{R}$ : « $(x\in\Z$ et $x^2\notin\Z)$ ou $(x\notin\Z$ et $x^2\in\Z)$ » ; $\non{S}$ : « $a>b$ ou $b>c$ ».

Remarque : négation de $\exists!$

$(\exists!x\in E)\ P(x)$ signifie : $\big[(\exists x\in E)\ P(x)\big]$ et $\big[(\forall (x;y)\in E^2)\ (P(x)\text{ et }P(y))\Longrightarrow x=y\big]$ . Sa négation est donc : $\big[(\forall x\in E)\ \overline{P(x)}\big]\ \text{ ou }\ \big[(\exists (x;y)\in E^2)\ P(x)\text{ et }P(y)\text{ et }x\neq y\big]$ (« aucun élément ne convient, ou au moins deux éléments distincts conviennent »).

Propriété : lois logiques usuelles

Pour toutes propositions $P$ , $Q$ , $R$ :

$\overline{\non{P}}\iff P$ ; $\ (P\text{ ou }\non{P})$ (tiers exclu) ; $\ (P\Longrightarrow Q)\iff(\non{P}\text{ ou }Q)$ ; $\ (P\iff Q)\iff\big[(P\Longrightarrow Q)\text{ et }(Q\Longrightarrow P)\big]$ ; $\ (P\iff Q)\iff(\non{P}\iff\non{Q})$ .
Commutativité : $(P\text{ et }Q)\iff(Q\text{ et }P)$ ; $(P\text{ ou }Q)\iff(Q\text{ ou }P)$ ; $(P\iff Q)\iff(Q\iff P)$ .
Associativité : $\big[(P\text{ et }Q)\text{ et }R\big]\iff\big[P\text{ et }(Q\text{ et }R)\big]$ ; $\big[(P\text{ ou }Q)\text{ ou }R\big]\iff\big[P\text{ ou }(Q\text{ ou }R)\big]$ .
Distributivité : $\big[P\text{ et }(Q\text{ ou }R)\big]\iff\big[(P\text{ et }Q)\text{ ou }(P\text{ et }R)\big]$ ; $\big[P\text{ ou }(Q\text{ et }R)\big]\iff\big[(P\text{ ou }Q)\text{ et }(P\text{ ou }R)\big]$ .
Transitivité : $\big[(P\Longrightarrow Q)\text{ et }(Q\Longrightarrow R)\big]\Longrightarrow(P\Longrightarrow R)$ .

Application 3

Montrer, par un tableau de vérité, que $\big[(P\Longrightarrow Q)\text{ et }(Q\Longrightarrow R)\big]\Longrightarrow(P\Longrightarrow R)$ est une loi logique.
Sans tableau, montrer que $(P\Longrightarrow Q)\iff(\non{Q}\Longrightarrow\non{P})$ est une loi logique.

Voir la solution

Notons $T$ : « $(P\Rightarrow Q)$ et $(Q\Rightarrow R)$ ».

$P$	$Q$	$R$	$P\Rightarrow Q$	$Q\Rightarrow R$	$T$	$P\Rightarrow R$	$T\Rightarrow(P\Rightarrow R)$
V	V	V	V	V	V	V	V
V	V	F	V	F	F	F	V
V	F	V	F	V	F	V	V
V	F	F	F	V	F	F	V
F	V	V	V	V	V	V	V
F	V	F	V	F	F	V	V
F	F	V	V	V	V	V	V
F	F	F	V	V	V	V	V

La dernière colonne ne contient que des V : c’est une loi logique.

$(\non{Q}\Longrightarrow\non{P})\iff(\overline{\non{Q}}\text{ ou }\non{P})\iff(Q\text{ ou }\non{P})\iff(\non{P}\text{ ou }Q)\iff(P\Longrightarrow Q)$ , en utilisant successivement la définition de l’implication, $\overline{\non{Q}}\iff Q$ , la commutativité de « ou » et de nouveau la définition. Chaque étape étant une loi logique, l’équivalence est une loi logique.

V. Raisonnements mathématiques

Chaque type de raisonnement repose sur une loi logique : c’est elle qui garantit que la démonstration est correcte.

1. Raisonnement par contre-exemple

Loi logique (contre-exemple)

$\overline{(\forall x\in E)\ P(x)}\iff(\exists x\in E)\ \overline{P(x)}$ Pour montrer qu’une proposition de la forme $(\forall x\in E)\ P(x)$ est fausse, il suffit d’exhiber un élément $x_0\in E$ tel que $P(x_0)$ soit fausse. $x_0$ s’appelle un contre-exemple.

Exemple 14

Montrer que les propositions suivantes sont fausses : (1) $(\forall x\in\R)\ x^2-3x+2=0$ ; (2) $(\forall(x;y)\in\R^2)\ 2x-y=1$ ; (3) $(\forall n\in\N)\ n^2+n+11$ est premier ; (4) $(\forall x\in\R)(\exists y\in\R)\ \dfrac{2xy}{1+y^2}>1$ .

Voir la solution

(1) Pour $x=0$ : $0-0+2=2\neq 0$ . (2) Pour $(x;y)=(0;0)$ : $0\neq 1$ . (3) Pour $n=10$ : $100+10+11=121=11^2$ , qui n’est pas premier. (4) La négation est $(\exists x\in\R)(\forall y\in\R)\ \frac{2xy}{1+y^2}\le 1$ ; pour $x=0$ , $\frac{0}{1+y^2}=0\le1$ pour tout $y\in\R$ : la négation est vraie, donc la proposition est fausse.

Application 4

Montrer que les propositions suivantes sont fausses : $A:(\forall (a;b)\in\R^2)\ \sqrt{a^2+b^2}=a+b$ ; $B:(\forall x\in\R)\ |x-1|=x-1$ .

Voir la solution

$A$ : pour $(a;b)=(1;1)$ , $\sqrt2\neq 2$ . $B$ : pour $x=0$ , $|0-1|=1\neq-1$ .

2. Raisonnement direct (déductif)

Loi logique (raisonnement direct)

$\big[(P\Longrightarrow R)\text{ et }(R\Longrightarrow Q)\big]\Longrightarrow(P\Longrightarrow Q)$ Pour démontrer $P\Longrightarrow Q$ , on suppose $P$ vraie et, par une chaîne d’implications $P\Longrightarrow R_1\Longrightarrow R_2\Longrightarrow\cdots\Longrightarrow Q$ justifiées par des propriétés connues, on établit que $Q$ est vraie.

Exemple 15

Montrer que $(\forall x\in\R)\ \ |x-1|\le 2\Longrightarrow|2x+3|\le 9$ .
Montrer que $(\forall (a;b)\in(\R_+^*)^2)\ \ \dfrac ab+\dfrac ba\ge 2$ .

Voir la solution

Soit $x\in\R$ tel que $|x-1|\le 2$ . Alors $-2\le x-1\le 2$ , donc $-1\le x\le 3$ , donc $-2\le 2x\le 6$ , donc $1\le 2x+3\le 9$ . Ainsi $-9\le 2x+3\le 9$ , c’est-à-dire $|2x+3|\le 9$ .
Soient $a>0$ et $b>0$ . On a $\dfrac ab+\dfrac ba-2=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\dfrac{(a-b)^2}{ab}$ . Or $(a-b)^2\ge0$ et $ab>0$ , donc $\dfrac ab+\dfrac ba-2\ge 0$ .

Application 5

Montrer que $(\forall x\in\R)\ \ x\ge 2\Longrightarrow x^2-x-2\ge 0$ .

Voir la solution

Soit $x\ge 2$ . On a $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$ ; or $x-2\ge 0$ et $x+1\ge 3>0$ , donc le produit est positif : $x^2-x-2\ge 0$ .

3. Raisonnement par contraposée

Loi logique (contraposée)

$(P\Longrightarrow Q)\iff(\non{Q}\Longrightarrow\non{P})$ Pour démontrer $P\Longrightarrow Q$ , on peut démontrer sa contraposée $\non{Q}\Longrightarrow\non{P}$ : c’est le raisonnement par contraposée. Il est particulièrement adapté lorsque $P$ et $Q$ contiennent le symbole $\neq$ .

Exemple 16

Soit $n\in\N$ . Montrer que si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair.
Soient $x,y\in\R$ . Montrer que $(x\neq y$ et $x+y\neq 3)\Longrightarrow x^2-3x\neq y^2-3y$ .
Soit $x\in\R\setminus\{-1\}$ . Montrer que $x\neq 1\Longrightarrow\dfrac{2x}{x+1}\neq 1$ .

Voir la solution

Contraposée : « $n$ pair $\Longrightarrow n^2$ pair ». Si $n$ est pair, il existe $k\in\N$ tel que $n=2k$ , donc $n^2=4k^2=2(2k^2)$ avec $2k^2\in\N$ : $n^2$ est pair.
Contraposée : $x^2-3x=y^2-3y\Longrightarrow(x=y$ ou $x+y=3)$ . Supposons $x^2-3x=y^2-3y$ . Alors $x^2-y^2-3(x-y)=0$ , soit $(x-y)(x+y-3)=0$ , donc $x-y=0$ ou $x+y-3=0$ , c’est-à-dire $x=y$ ou $x+y=3$ .
Contraposée : $\dfrac{2x}{x+1}=1\Longrightarrow x=1$ . Si $\dfrac{2x}{x+1}=1$ , comme $x+1\neq 0$ , on a $2x=x+1$ , donc $x=1$ .

Remarque

Il ne faut pas confondre, pour l’implication $P\Longrightarrow Q$ :

Négation	Réciproque	Contraposée
$P$ et $\non{Q}$	$Q\Longrightarrow P$	$\non{Q}\Longrightarrow\non{P}$

Seule la contraposée est équivalente à l’implication de départ. Conséquence de l’exemple 16 : pour tout $n\in\N$ , $n^2$ pair $\Longrightarrow n$ pair (contraposée de « $n$ impair $\Longrightarrow n^2$ impair »), donc $n$ et $n^2$ ont la même parité.

Application 6

Soient $a,b\in\R_+$ . Montrer que $a\neq b\Longrightarrow\dfrac{a}{1+a}\neq\dfrac{b}{1+b}$ .

Voir la solution

Contraposée : $\dfrac{a}{1+a}=\dfrac{b}{1+b}\Longrightarrow a=b$ . Si $\frac{a}{1+a}=\frac{b}{1+b}$ , comme $1+a>0$ et $1+b>0$ , on obtient $a(1+b)=b(1+a)$ , soit $a+ab=b+ab$ , donc $a=b$ .

4. Raisonnement par équivalences successives

Loi logique (équivalences successives)

$\big[(P\iff R)\text{ et }(R\iff Q)\big]\Longrightarrow(P\iff Q)$ Pour démontrer $P\iff Q$ , on écrit $P\iff R_1\iff R_2\iff\cdots\iff Q$ , chaque équivalence étant justifiée dans les deux sens. Pour démontrer qu’une proposition $P$ est vraie, il suffit de trouver une proposition $Q$ vraie telle que $P\iff Q$ .

Attention

On n’écrit $\iff$ que si l’étape est réversible. Exemples : multiplier par un nombre non nul, ajouter un même nombre, passer à l’inverse de deux nombres de même signe strict, élever au carré deux nombres positifs. Sinon, on écrit $\Longrightarrow$ .

Exemple 17

Montrer que $(\forall x\in\R)\ \ |x-2|<\dfrac13\iff\dfrac{3}{10}<\dfrac{1}{x+1}<\dfrac38$ .
Montrer que $(\forall x\in\R_+)\ \ \sqrt{x+1}\le 1+\dfrac x2$ .

Voir la solution

Soit $x\in\R$ . $|x-2|<\frac13\iff\frac53<x<\frac73\iff\frac83<x+1<\frac{10}{3}$ . Les trois membres étant strictement positifs, le passage à l’inverse est réversible et renverse l’ordre : $\frac83<x+1<\frac{10}3\iff\frac{3}{10}<\frac1{x+1}<\frac38$ .
Soit $x\ge 0$ . Les nombres $\sqrt{x+1}$ et $1+\frac x2$ sont positifs, donc $\sqrt{x+1}\le1+\frac x2\iff x+1\le\left(1+\frac x2\right)^2\iff x+1\le 1+x+\frac{x^2}4\iff 0\le\frac{x^2}{4}$ . La dernière proposition est vraie, donc la première l’est aussi.

Remarque : raisonnement par double implication

$(P\iff Q)\iff\big[(P\Longrightarrow Q)\text{ et }(Q\Longrightarrow P)\big]$ Pour démontrer $P\iff Q$ , on peut démontrer séparément $P\Longrightarrow Q$ puis $Q\Longrightarrow P$ .

Exemple 18

Montrer que $(\forall(x;y)\in\R^2)\ \ (x-1)^2+|y+2|=0\iff(x=1\text{ et }y=-2)$ .
Montrer que pour tous $x\in[2;+\infty[$ et $y\in[1;+\infty[$ : $\ x+y+2=2\sqrt{x-2}+4\sqrt{y-1}\iff(x=3\text{ et }y=5)$ .

Voir la solution

( $\Longleftarrow$ ) Si $x=1$ et $y=-2$ : $0+0=0$ . ( $\Longrightarrow$ ) Si $(x-1)^2+|y+2|=0$ : comme $(x-1)^2\ge0$ et $|y+2|\ge 0$ , on a $0\le(x-1)^2=-|y+2|\le 0$ , donc $(x-1)^2=0$ , puis $|y+2|=0$ ; d’où $x=1$ et $y=-2$ .
Pour $x\ge2$ , $y\ge1$ : $\big(\sqrt{x-2}-1\big)^2+\big(\sqrt{y-1}-2\big)^2=(x-1-2\sqrt{x-2})+(y+3-4\sqrt{y-1})=x+y+2-2\sqrt{x-2}-4\sqrt{y-1}$ . ( $\Longrightarrow$ ) Si $x+y+2=2\sqrt{x-2}+4\sqrt{y-1}$ , la somme des deux carrés est nulle, donc chacun est nul : $\sqrt{x-2}=1$ et $\sqrt{y-1}=2$ , d’où $x=3$ et $y=5$ . ( $\Longleftarrow$ ) Pour $x=3$ , $y=5$ : $3+5+2=10$ et $2\sqrt1+4\sqrt4=10$ .

Application 7

Montrer que $(\forall (a;b)\in\R^2)\ \ a^2+b^2=2ab\iff a=b$ .

Voir la solution

Soient $a,b\in\R$ . $a^2+b^2=2ab\iff a^2-2ab+b^2=0\iff(a-b)^2=0\iff a-b=0\iff a=b$ (chaque étape est réversible : on ajoute $-2ab$ , on factorise, et un carré est nul si et seulement si le nombre est nul).

5. Raisonnement par disjonction des cas

Loi logique (disjonction des cas)

$\big[(R\Longrightarrow P)\text{ et }(Q\Longrightarrow P)\big]\Longrightarrow\big[(R\text{ ou }Q)\Longrightarrow P\big]$ Pour démontrer $(\forall x\in E)\ P(x)$ , on partage $E$ en cas qui couvrent toutes les valeurs possibles de $x$ et on démontre $P(x)$ dans chaque cas. Méthode adaptée aux valeurs absolues, à la parité, aux signes.

Exemple 19

Montrer que $(\forall x\in\R)\ \ x^2+x+1\ge|x+1|$ .
Montrer que $(\forall n\in\N)\ \ n(n+3)$ est pair.

Voir la solution

Soit $x\in\R$ . Cas 1 : $x\ge-1$ . Alors $|x+1|=x+1$ et $x^2+x+1-(x+1)=x^2\ge0$ . Cas 2 : $x<-1$ . Alors $|x+1|=-x-1$ et $x^2+x+1-(-x-1)=x^2+2x+2=(x+1)^2+1>0$ . Dans les deux cas, $x^2+x+1\ge|x+1|$ .
Soit $n\in\N$ . Cas 1 : $n$ pair, $n=2k$ ( $k\in\N$ ) : $n(n+3)=2\,k(2k+3)$ est pair. Cas 2 : $n$ impair, $n=2k+1$ : $n+3=2(k+2)$ , donc $n(n+3)=2(2k+1)(k+2)$ est pair.

Application 8

Résoudre dans $\R$ l’équation $|x-3|=2x$ .

Voir la solution

Cas 1 : $x\ge3$ . L’équation devient $x-3=2x$ , soit $x=-3$ , qui ne vérifie pas $x\ge3$ : pas de solution. Cas 2 : $x<3$ . L’équation devient $3-x=2x$ , soit $x=1$ , qui vérifie $x<3$ . Donc $S=\{1\}$ (vérification : $|1-3|=2=2\times1$ ).

6. Raisonnement par l’absurde

Loi logique (absurde)

$\big[(\non{P}\Longrightarrow Q)\text{ et }(\non{P}\Longrightarrow\non{Q})\big]\Longrightarrow P$ Pour démontrer $P$ , on suppose $\non{P}$ vraie et on en déduit une contradiction (une proposition et sa négation). Méthode adaptée aux énoncés « n’est pas », « n’appartient pas », « n’admet pas », « $\neq$ ».

Exemple 20

Montrer que $\sqrt2\notin\Q$ .
Soit $n\in\N$ . Montrer que $\dfrac{n+2}{n+4}\neq 1$ .
Soit $a>0$ et $ABC$ un triangle tel que $AB=4a$ , $BC=5a$ et $CA=7a$ . Montrer que $ABC$ n’est pas rectangle.

Voir la solution

Supposons $\sqrt2\in\Q$ . Comme $\sqrt2>0$ , on peut écrire $\sqrt2=\dfrac ab$ avec $a,b\in\N^*$ et $\pgcd(a;b)=1$ . Alors $a^2=2b^2$ , donc $a^2$ est pair, donc $a$ est pair (remarque du §3) : $a=2k$ , $k\in\N^*$ . Il vient $4k^2=2b^2$ , soit $b^2=2k^2$ : $b^2$ est pair, donc $b$ est pair. Alors $2$ divise $a$ et $b$ , ce qui contredit $\pgcd(a;b)=1$ . Donc $\sqrt2\notin\Q$ .
Supposons $\dfrac{n+2}{n+4}=1$ . Comme $n+4\neq0$ , on obtient $n+2=n+4$ , soit $2=4$ : contradiction. Donc $\dfrac{n+2}{n+4}\neq1$ .
Supposons $ABC$ rectangle. Son hypoténuse serait le plus grand côté $[CA]$ , et d’après Pythagore $CA^2=AB^2+BC^2$ , soit $49a^2=16a^2+25a^2=41a^2$ , donc $8a^2=0$ et $a=0$ , ce qui contredit $a>0$ . Donc $ABC$ n’est pas rectangle.

Application 9

Montrer que, pour tout $n\in\N^*$ , $\sqrt{n^2+1}\notin\N$ .

Voir la solution

Soit $n\in\N^*$ et supposons $\sqrt{n^2+1}=m$ avec $m\in\N$ . Alors $m^2=n^2+1$ , donc $n^2<m^2$ ; comme $n,m\ge0$ , $n<m$ , donc $m\ge n+1$ et $m^2\ge n^2+2n+1>n^2+1$ (car $n\ge1$ ). Contradiction avec $m^2=n^2+1$ . Donc $\sqrt{n^2+1}\notin\N$ .

7. Raisonnement par récurrence

Loi logique : principe de récurrence

Soit $P(n)$ une fonction propositionnelle définie sur $\N$ et $n_0\in\N$ : $\Big[P(n_0)\ \text{ et }\ (\forall n\ge n_0)\ \big(P(n)\Longrightarrow P(n+1)\big)\Big]\Longrightarrow(\forall n\ge n_0)\ P(n).$ Initialisation : on vérifie que $P(n_0)$ est vraie. Hérédité : on fixe un entier $n\ge n_0$ , on suppose $P(n)$ vraie (hypothèse de récurrence) et on démontre $P(n+1)$ . Conclusion : d’après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n\ge n_0$ .

Exemple 21

Montrer que $(\forall n\in\N^*)\ \ 1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$ .
Montrer que $(\forall n\in\N,\ n\ge4)\ \ 2^n\ge n^2$ .
Montrer que $(\forall n\in\N)\ \ 7$ divise $3^{2n+1}+2^{n+2}$ .

Voir la solution

Notons $P(n)$ : « $1+3+\cdots+(2n-1)=n^2$ ». Initialisation : pour $n=1$ , $1=1^2$ . Hérédité : soit $n\in\N^*$ tel que $P(n)$ . Alors $1+3+\cdots+(2n-1)+(2n+1)=n^2+2n+1=(n+1)^2$ : $P(n+1)$ est vraie. Conclusion : $P(n)$ est vraie pour tout $n\in\N^*$ .
Initialisation : $2^4=16=4^2$ . Hérédité : soit $n\ge4$ tel que $2^n\ge n^2$ . Alors $2^{n+1}=2\cdot 2^n\ge 2n^2$ . Or $2n^2-(n+1)^2=n^2-2n-1=(n-1)^2-2\ge 9-2>0$ car $n-1\ge3$ . Donc $2^{n+1}\ge 2n^2>(n+1)^2$ . Conclusion : $(\forall n\ge 4)\ 2^n\ge n^2$ .
Posons $u_n=3^{2n+1}+2^{n+2}$ . Initialisation : $u_0=3+4=7$ . Hérédité : supposons $u_n=7k$ avec $k\in\N$ . Alors $u_{n+1}=3^{2n+3}+2^{n+3}=9\cdot3^{2n+1}+2\cdot2^{n+2}=9\,u_n-7\cdot2^{n+2}=7\,(9k-2^{n+2})$ , avec $9k-2^{n+2}\in\Z$ ; donc $7\mid u_{n+1}$ . Conclusion : $7\mid u_n$ pour tout $n\in\N$ .

Remarque : symboles $\sum$ et $\prod$

Pour écrire une somme ou un produit de façon compacte : $a_1+a_2+\cdots+a_n=\sum_{k=1}^{n}a_k\qquad\text{et}\qquad a_1\times a_2\times\cdots\times a_n=\prod_{k=1}^{n}a_k.$ Exemples : $\displaystyle 1+2+\cdots+n=\sum_{k=1}^{n}k$ ; $\displaystyle 1\times2\times\cdots\times n=\prod_{k=1}^{n}k$ ; $\displaystyle 1+3+\cdots+(2n+1)=\sum_{k=0}^{n}(2k+1)$ .

Règles : $\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}a_k=\Big(\sum_{k=0}^{n}a_k\Big)+a_{n+1}$ ; $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_k=a_0+\sum_{k=1}^{n}a_k$ ; si $\alpha$ ne dépend pas de $k$ , $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\alpha a_k=\alpha\sum_{k=0}^{n}a_k$ et $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\alpha=n\alpha$ .

Application 10

Montrer que $(\forall n\in\N)\ \ \displaystyle\sum_{k=0}^{n}2^k=2^{n+1}-1$ .

Voir la solution

Initialisation : pour $n=0$ , $\sum_{k=0}^{0}2^k=1=2^1-1$ . Hérédité : soit $n\in\N$ tel que $\sum_{k=0}^{n}2^k=2^{n+1}-1$ . Alors $\sum_{k=0}^{n+1}2^k=2^{n+1}-1+2^{n+1}=2\cdot2^{n+1}-1=2^{n+2}-1$ . Conclusion : la formule est vraie pour tout $n\in\N$ .

Synthèse : quel raisonnement choisir ?

Objectif	Raisonnement conseillé	Loi logique
Montrer que $(\forall x\in E)\ P(x)$ est fausse	Contre-exemple	$\overline{(\forall x)P(x)}\iff(\exists x)\overline{P(x)}$
Montrer $P\Longrightarrow Q$ (sans $\neq$ )	Direct	$[(P\Rightarrow R)\text{ et }(R\Rightarrow Q)]\Rightarrow(P\Rightarrow Q)$
Montrer $P\Longrightarrow Q$ (avec $\neq$ )	Contraposée	$(P\Rightarrow Q)\iff(\overline{Q}\Rightarrow\overline{P})$
Montrer $P\iff Q$	Équivalences ou double implication	$(P\Leftrightarrow Q)\iff[(P\Rightarrow Q)\text{ et }(Q\Rightarrow P)]$
Valeurs absolues, parité, signe	Disjonction des cas	$[(R\Rightarrow P)\text{ et }(Q\Rightarrow P)]\Rightarrow[(R\text{ ou }Q)\Rightarrow P]$
« n’est pas », « $\notin$ », « $\neq$ »	Absurde	$[(\overline{P}\Rightarrow Q)\text{ et }(\overline{P}\Rightarrow\overline{Q})]\Rightarrow P$
Montrer $(\forall n\ge n_0)\ P(n)$	Récurrence	Principe de récurrence

Série d’exercices

Remarque — règles de rédaction utilisées

La négation de $P$ est notée $\non{P}$ ; $\overline{(\forall x\in E)\,P(x)}$ est $(\exists x\in E)\,\overline{P(x)}$ et $\overline{(\exists x\in E)\,P(x)}$ est $(\forall x\in E)\,\overline{P(x)}$ (l’ensemble $E$ ne change pas).
On écrit $A\iff B$ seulement si chaque étape est réversible (et on le justifie : multiplication par un réel non nul, carrés de deux réels positifs, inverses de deux réels de même signe strict…). Sinon on écrit $A\Longrightarrow B$ et on vérifie la réciproque ou les solutions obtenues.
V = vrai, F = faux.

Consignes. Sauf mention contraire, $a,b,c,x,y,z$ désignent des réels et $n$ , $m$ des entiers naturels ; l’ensemble de chaque variable est précisé dans l’énoncé. La négation de $P$ est notée $\non{P}$ . Difficulté : de $\bigstar$ (application directe) à $\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar$ (niveau olympiade). Les exercices 1 à 17 suivent l’ordre du cours ; les exercices 18 à 30 sont des exercices de synthèse de haut niveau.

Exercice 1 — Quantificateurs Facile ★☆☆☆☆

Écrire les propositions suivantes à l’aide des quantificateurs et des connecteurs logiques :

$P$ : « Pour tout entier naturel $n$ , il existe un entier naturel $m$ tel que $m-n=4$ . »
$Q$ : « Il existe un réel $m$ tel que, pour tout réel $x$ , on ait $x\ge m$ . »
$R$ : « Il existe un entier relatif dont le carré vaut $3$ . »
$S$ : « L’équation $x^2=3$ n’admet aucune solution rationnelle. »
$T$ : « Entre deux réels distincts, il existe toujours un nombre décimal. »

Voir la solution

$P:(\forall n\in\N)(\exists m\in\N)\ \ m-n=4$ (vraie : $m=n+4$ ).
$Q:(\exists m\in\R)(\forall x\in\R)\ \ x\ge m$ (fausse : pour tout $m$ , $x=m-1$ ne convient pas).
$R:(\exists n\in\Z)\ \ n^2=3$ (fausse).
$S:(\forall x\in\Q)\ \ x^2\neq 3$ , c’est-à-dire $\overline{(\exists x\in\Q)\ x^2=3}$ .
$T:(\forall (x;y)\in\R^2)\ \ x<y\Longrightarrow(\exists d\in\D)\ \ x<d<y$ .

Exercice 2 — Négation Facile ★★☆☆☆

Pour chacune des propositions suivantes, écrire sa négation puis préciser si la proposition initiale est vraie ou fausse (justifier) :

$P_1:(\forall x\in\R)\ \sqrt{(x-1)^2}=x-1$ ; $\quad P_2:(\forall x\in\R_+)\ x^2-2x-3\le 0$ ; $\quad P_3:(\exists x\in\R)(\forall y\in\R)\ y>x+1$ ;

$P_4:(\forall x\in\R)(\exists y\in\R)\ y>x+1$ ; $\quad P_5:(\forall x\in\R^*)(\forall y\in\R^*)\ x^2+y^2\neq 2$ ; $\quad P_6:(\exists y\in\R)(\forall x\in\R)\ y\neq\cos(x)$ .

Voir la solution

$P_1$ . $\non{P_1}:(\exists x\in\R)\ \sqrt{(x-1)^2}\neq x-1$ . Pour $x=0$ : $\sqrt{1}=1\neq-1$ . Donc $\non{P_1}$ est vraie et $P_1$ est fausse (en fait $\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|$ ).

$P_2$ . $\non{P_2}:(\exists x\in\R_+)\ x^2-2x-3>0$ . Pour $x=4\in\R_+$ : $16-8-3=5>0$ . $P_2$ est fausse.

$P_3$ . $\non{P_3}:(\forall x\in\R)(\exists y\in\R)\ y\le x+1$ . Soit $x\in\R$ ; $y=x+1$ convient. Donc $\non{P_3}$ est vraie, $P_3$ est fausse.

$P_4$ . $\non{P_4}:(\exists x\in\R)(\forall y\in\R)\ y\le x+1$ . Soit $x\in\R$ ; $y=x+2$ vérifie $y>x+1$ . $P_4$ est vraie. ( $P_3$ et $P_4$ ne diffèrent que par l’ordre des quantificateurs.)

$P_5$ . $\non{P_5}:(\exists x\in\R^*)(\exists y\in\R^*)\ x^2+y^2=2$ . Pour $x=y=1$ : $1+1=2$ . $P_5$ est fausse.

$P_6$ . $\non{P_6}:(\forall y\in\R)(\exists x\in\R)\ y=\cos(x)$ . Pour $y=3$ : pour tout $x$ , $\cos(x)\le 1<3$ , donc $\cos(x)\neq 3$ . $P_6$ est vraie.

	$P_1$	$P_2$	$P_3$	$P_4$	$P_5$	$P_6$
Valeur	F	F	F	V	F	V

Exercice 3 — Négation d’un énoncé Facile ★☆☆☆☆

Écrire en français la négation de chacune des propositions suivantes :

$P$ : « Tous les élèves de la classe ont rendu leur devoir. »
$Q$ : « Certains nombres réels sont négatifs. »
$R$ : « Tout entier naturel divisible par $4$ est divisible par $8$ . »

Voir la solution

$\non{P}$ : « Au moins un élève de la classe n’a pas rendu son devoir. »
$Q:(\exists x\in\R)\ x<0$ ; $\ \non{Q}$ : « Aucun réel n’est négatif », c’est-à-dire $(\forall x\in\R)\ x\ge 0$ .
$R:(\forall n\in\N)\ (4\mid n\Longrightarrow 8\mid n)$ ; $\ \non{R}:(\exists n\in\N)\ (4\mid n\text{ et }8\nmid n)$ : « Il existe un entier naturel divisible par $4$ et non divisible par $8$ » (vraie : $n=4$ ).

Exercice 4 — Négation Facile ★★☆☆☆

Déterminer la négation de chacune des propositions suivantes :

$P:(\forall x\in\R)\ (x=1\ \text{ ou }\ x>20)$ ;
$Q:(\exists x\in\R)\ (x^2<30\ \text{ et }\ x\in\N)$ ;
$R:(\forall y\in\R)(\exists x\in\R)\ \big[x>y+2\iff(x-y)^2\ge x^2+y^2\big]$ ;
$S$ : « $a<b\Longrightarrow a\ge c$ », où $a,b,c\in\R$ .

Voir la solution

$\non{P}:(\exists x\in\R)\ (x\neq 1\text{ et }x\le 20)$ .
$\non{Q}:(\forall x\in\R)\ (x^2\ge 30\text{ ou }x\notin\N)$ .
Avec $\overline{A\iff B}\iff\big[(A\text{ et }\non{B})\text{ ou }(\non{A}\text{ et }B)\big]$ : $\non{R}:(\exists y\in\R)(\forall x\in\R)\ \Big[\big(x>y+2\text{ et }(x-y)^2<x^2+y^2\big)\text{ ou }\big(x\le y+2\text{ et }(x-y)^2\ge x^2+y^2\big)\Big].$
Avec $\overline{A\Longrightarrow B}\iff(A\text{ et }\non{B})$ : $\ \non{S}$ : « $a<b$ et $a<c$ ».

Exercice 5 — Lois logiques Facile ★★☆☆☆

Soient $P$ , $Q$ et $R$ trois propositions. Dresser le tableau de vérité de chacune des propositions suivantes, puis montrer que ce sont des lois logiques :

$\overline{P\text{ et }Q}\iff(\non{P}\text{ ou }\non{Q})$
$\overline{P\text{ ou }Q}\iff(\non{P}\text{ et }\non{Q})$
$\overline{P\Longrightarrow Q}\iff(P\text{ et }\non{Q})$
$(P\iff Q)\iff(\non{P}\iff\non{Q})$
$\overline{P\iff Q}\iff(\non{P}\iff Q)$
$\big[(P\Longrightarrow Q)\text{ et }\non{Q}\big]\Longrightarrow\non{P}$
$\big[(P\Longrightarrow Q)\text{ et }(P\Longrightarrow R)\big]\iff\big[P\Longrightarrow(Q\text{ et }R)\big]$

Voir la solution

On note $L$ et $M$ les deux membres ; on montre que les colonnes $L$ et $M$ coïncident (donc $L\iff M$ est toujours vraie), ou que la dernière colonne ne contient que des V.

1) et 2) Lois de Morgan.

$P$	$Q$	$\overline{P\text{ et }Q}$	$\non{P}\text{ ou }\non{Q}$	$\overline{P\text{ ou }Q}$	$\non{P}\text{ et }\non{Q}$
V	V	F	F	F	F
V	F	V	V	F	F
F	V	V	V	F	F
F	F	V	V	V	V

Les colonnes 3 et 4 sont identiques, ainsi que les colonnes 5 et 6 : 1) et 2) sont des lois logiques.

3) et 4) et 5).

$P$	$Q$	$\overline{P\Rightarrow Q}$	$P\text{ et }\non{Q}$	$P\Leftrightarrow Q$	$\non{P}\Leftrightarrow\non{Q}$	$\overline{P\Leftrightarrow Q}$	$\non{P}\Leftrightarrow Q$
V	V	F	F	V	V	F	F
V	F	V	V	F	F	V	V
F	V	F	F	F	F	V	V
F	F	F	F	V	V	F	F

Les colonnes (3 ; 4), (5 ; 6) et (7 ; 8) sont deux à deux identiques : 3), 4) et 5) sont des lois logiques.

6) Notons $T$ : « $(P\Rightarrow Q)$ et $\non{Q}$ ».

$P$	$Q$	$P\Rightarrow Q$	$\non{Q}$	$T$	$\non{P}$	$T\Rightarrow\non{P}$
V	V	V	F	F	F	V
V	F	F	V	F	F	V
F	V	V	F	F	V	V
F	F	V	V	V	V	V

7) $L$ : « $(P\Rightarrow Q)$ et $(P\Rightarrow R)$ », $M$ : « $P\Rightarrow(Q\text{ et }R)$ ».

$P$	$Q$	$R$	$P\Rightarrow Q$	$P\Rightarrow R$	$L$	$Q\text{ et }R$	$M$
V	V	V	V	V	V	V	V
V	V	F	V	F	F	F	F
V	F	V	F	V	F	F	F
V	F	F	F	F	F	F	F
F	V	V	V	V	V	V	V
F	V	F	V	V	V	F	V
F	F	V	V	V	V	F	V
F	F	F	V	V	V	F	V

Les colonnes $L$ et $M$ sont identiques : 7) est une loi logique.

Exercice 6 — Négation Facile ★★☆☆☆

Soient $a$ , $b$ et $c$ des réels. Donner la négation de chacune des propositions suivantes :

$R_1$ : $a\le b\Longrightarrow a>c$ ;
$R_2$ : $a=b=c$ ;
$R_3$ : $a<b\le c$ ;
$R_4:(\forall (x;y)\in\R^2)\ \ 0\le x-y\le 3\Longrightarrow|x-y|\le 3$ ;
$R_5:(\forall x\in\R^*)(\forall y\in\R^*)\ \ x+y=2\iff y<1$ ;
$R_6:(\forall x\in\R)\ \ x\ge 1\ \text{ ou }\ x\le 1$ ;
$R_7:(\forall (a;b)\in\R^2\setminus\{(0;0)\})(\exists x\in\R)\ \ \cos(x)=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\ \text{ et }\ \sin(x)=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ .

Voir la solution

$\non{R_1}$ : $a\le b$ et $a\le c$ .
$R_2$ signifie « $a=b$ et $b=c$ », donc $\non{R_2}$ : $a\neq b$ ou $b\neq c$ .
$R_3$ signifie « $a<b$ et $b\le c$ », donc $\non{R_3}$ : $a\ge b$ ou $b>c$ .
$\non{R_4}:(\exists(x;y)\in\R^2)\ \ 0\le x-y\le 3\ \text{ et }\ |x-y|>3$ .
$\non{R_5}:(\exists x\in\R^*)(\exists y\in\R^*)\ \ \big(x+y=2\text{ et }y\ge 1\big)\text{ ou }\big(x+y\neq 2\text{ et }y<1\big)$ .
$\non{R_6}:(\exists x\in\R)\ \ x<1\text{ et }x>1$ (qui est fausse : $R_6$ est vraie).
$\non{R_7}:(\exists(a;b)\in\R^2\setminus\{(0;0)\})(\forall x\in\R)\ \ \cos(x)\neq\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\ \text{ ou }\ \sin(x)\neq\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ .

Exercice 7 — Rais. par contre-exemple Facile ★★☆☆☆

Déterminer la valeur de vérité de chacune des propositions suivantes, en justifiant :

Tout nombre premier impair s’écrit sous la forme $4k+1$ , avec $k\in\N$ .
Tout entier naturel dont l’écriture décimale se termine par $7$ est premier.
Pour tout $n\in\N$ , l’entier $n^2-n+17$ est premier.
$(\forall (x;y)\in\R^2)\ \ 2x-3y=5$
$(\forall (x;y)\in\R^2)\ \ |x-y|=|x|-|y|$
$(\forall (x;y)\in\R^2)\ \ \cos(x-y)=\cos(x)-\cos(y)$
$(\forall (x;y)\in\R^2)\ \ \sin(x-y)=\sin(x)-\sin(y)$
$(\forall x\in\R)(\exists y\in\R)\ \ x^2+2xy+2y^2=0$

Voir la solution

Pour montrer qu’une proposition « pour tout… » est fausse, il suffit d’un contre-exemple.

Fausse : $3$ est premier impair et $3=4k+1\iff k=\frac12\notin\N$ .
Fausse : $27$ se termine par $7$ et $27=3\times 9$ .
Fausse : pour $n=17$ : $17^2-17+17=289=17^2$ n’est pas premier.
Fausse : pour $(x;y)=(0;0)$ : $0\neq 5$ .
Fausse : pour $(x;y)=(0;1)$ : $|0-1|=1$ et $|0|-|1|=-1$ .
Fausse : pour $x=y=0$ : $\cos 0=1$ et $\cos0-\cos0=0$ .
Fausse : pour $x=\frac\pi2$ , $y=-\frac\pi2$ : $\sin(\pi)=0$ et $\sin\frac\pi2-\sin\left(-\frac\pi2\right)=1+1=2$ .
Fausse. Sa négation est $(\exists x\in\R)(\forall y\in\R)\ x^2+2xy+2y^2\neq 0$ . Pour $x=1$ : $2y^2+2y+1=0$ a pour discriminant $4-8=-4<0$ , donc aucun réel $y$ ne convient : la négation est vraie.

Exercice 8 — Rais. direct Facile ★★☆☆☆

Démontrer les implications suivantes par un raisonnement direct :

$(\forall x\in\R)\ \ |x|\le 1\Longrightarrow|2x-3|\le 5$
$(\forall x\in\R)\ \ x>0\Longrightarrow x+\dfrac4x\ge 4$
$(\forall x\in\R)\ \ x>2\Longrightarrow x^2-x-2>0$
$(\forall (x;y)\in\R^2)\ \ xy+2=2x+y\Longrightarrow(x=1\ \text{ ou }\ y=2)$
$(\forall (a;b)\in\R^2)\ \ (a\in\Q\ \text{ et }\ b\in\Q)\Longrightarrow ab\in\Q$
$(\forall a\in\R^*)(\forall (b;c)\in\R^2)\ \ ac<0\Longrightarrow$ l’équation $ax^2+bx+c=0$ admet deux solutions réelles distinctes.

Voir la solution

Soit $x\in\R$ tel que $|x|\le 1$ . Alors $-1\le x\le 1$ , donc $-2\le 2x\le 2$ , donc $-5\le 2x-3\le -1$ . Ainsi $-5\le 2x-3\le 5$ , c’est-à-dire $|2x-3|\le 5$ .
Soit $x>0$ . $x+\dfrac4x-4=\dfrac{x^2-4x+4}{x}=\dfrac{(x-2)^2}{x}\ge 0$ car $(x-2)^2\ge0$ et $x>0$ . Donc $x+\dfrac4x\ge 4$ .
Soit $x>2$ . $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$ avec $x-2>0$ et $x+1>3>0$ , donc $x^2-x-2>0$ .
Soient $x,y\in\R$ tels que $xy+2=2x+y$ . Alors $xy-2x-y+2=0$ , soit $x(y-2)-(y-2)=0$ , c’est-à-dire $(x-1)(y-2)=0$ . Donc $x-1=0$ ou $y-2=0$ : $x=1$ ou $y=2$ .
Soient $a,b\in\Q$ : $a=\frac pq$ et $b=\frac rs$ avec $p,r\in\Z$ , $q,s\in\N^*$ . Alors $ab=\frac{pr}{qs}$ avec $pr\in\Z$ et $qs\in\N^*$ , donc $ab\in\Q$ .
Soient $a\in\R^*$ et $b,c\in\R$ tels que $ac<0$ . Le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$ ; or $b^2\ge 0$ et $-4ac>0$ , donc $\Delta>0$ : l’équation admet deux solutions réelles distinctes.

Exercice 9 — Rais. par contraposée Moyen ★★★☆☆

Démontrer les implications suivantes par contraposée :

$(\forall (x;y)\in\R^2)\ \ x\neq y\Longrightarrow(x+2)(y-2)\neq(x-2)(y+2)$
$(\forall x\in\R_+)\ \ x\neq 0\Longrightarrow\sqrt{1+2x}\neq 1+x$
$(\forall (x;y)\in\R_+^2)\ \ x\neq y\Longrightarrow\dfrac{x-1}{x+1}\neq\dfrac{y-1}{y+1}$
$(\forall (x;y)\in\R^2)\ \ (x\neq y\ \text{ et }\ xy\neq 1)\Longrightarrow\dfrac{x}{x^2+1}\neq\dfrac{y}{y^2+1}$
$(\forall x\in\R)\ \ x^2-3x+2<0\Longrightarrow x<2$
$(\forall n\in\N)\ \ n^3$ est impair $\Longrightarrow n$ est impair
$(\forall (x;y)\in\R^2)\ \ (x\neq y\ \text{ et }\ x+y\neq -4)\Longrightarrow x^2+4x\neq y^2+4y$
$(\forall (x;y;z)\in\R^3)\ \ x+2y\le 3z\Longrightarrow(x\le z\ \text{ ou }\ y\le z)$

Voir la solution

Pour chaque implication, on démontre la contraposée $\non{Q}\Longrightarrow\non{P}$ .

Contraposée : $(x+2)(y-2)=(x-2)(y+2)\Longrightarrow x=y$ . On a $(x+2)(y-2)-(x-2)(y+2)=(xy-2x+2y-4)-(xy+2x-2y-4)=4(y-x)$ . Si les deux produits sont égaux, $4(y-x)=0$ , donc $x=y$ .
Contraposée : $\sqrt{1+2x}=1+x\Longrightarrow x=0$ (pour $x\ge0$ ). Si $\sqrt{1+2x}=1+x$ , en élevant au carré : $1+2x=1+2x+x^2$ , donc $x^2=0$ , d’où $x=0$ .
Contraposée : $\dfrac{x-1}{x+1}=\dfrac{y-1}{y+1}\Longrightarrow x=y$ (avec $x+1>0$ , $y+1>0$ ). Si l’égalité a lieu : $(x-1)(y+1)=(y-1)(x+1)$ , soit $xy+x-y-1=xy+y-x-1$ , donc $2x=2y$ et $x=y$ .
Contraposée : $\dfrac{x}{x^2+1}=\dfrac{y}{y^2+1}\Longrightarrow(x=y\text{ ou }xy=1)$ . Si l’égalité a lieu (dénominateurs $>0$ ) : $x(y^2+1)=y(x^2+1)$ , soit $xy^2-x^2y+x-y=0$ , c’est-à-dire $-xy(x-y)+(x-y)=0$ , d’où $(x-y)(1-xy)=0$ : $x=y$ ou $xy=1$ .
Contraposée : $x\ge 2\Longrightarrow x^2-3x+2\ge 0$ . Si $x\ge 2$ : $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ avec $x-1\ge1>0$ et $x-2\ge 0$ , donc le produit est positif.
Contraposée : $n$ pair $\Longrightarrow n^3$ pair. Si $n=2k$ ( $k\in\N$ ), alors $n^3=8k^3=2(4k^3)$ est pair.
Contraposée : $x^2+4x=y^2+4y\Longrightarrow(x=y\text{ ou }x+y=-4)$ . Si $x^2+4x=y^2+4y$ : $(x^2-y^2)+4(x-y)=0$ , soit $(x-y)(x+y+4)=0$ , donc $x=y$ ou $x+y=-4$ .
Contraposée : $(x>z\text{ et }y>z)\Longrightarrow x+2y>3z$ . Si $x>z$ et $y>z$ , alors $2y>2z$ et, en additionnant, $x+2y>3z$ .

Exercice 10 — Rais. par équivalences Moyen ★★★☆☆

Montrer que, pour tout $x\in\R_+$ : $\ \sqrt{x+5}=1+\sqrt{x}\iff x=4$ .
Montrer que, pour tout $x\in[2;+\infty[$ : $\ \dfrac{\sqrt{x-2}}{x}\le\dfrac{\sqrt2}{4}$ .
Montrer que, pour tous $x,y\in\R$ : $\ |x-y|=|x|+|y|\iff xy\le 0$ .
Montrer que, pour tout $x\in[-3;3]$ : $\ \sqrt{9-x^2}\le x+3\sqrt2$ .

Voir la solution

Soit $x\in\R_+$ . Les deux membres $\sqrt{x+5}$ et $1+\sqrt x$ sont positifs, donc $\sqrt{x+5}=1+\sqrt x\iff x+5=1+2\sqrt x+x\iff 2\sqrt x=4\iff\sqrt x=2\iff x=4$ (la dernière équivalence car $\sqrt x\ge0$ et $2\ge 0$ ).
Soit $x\ge 2$ (donc $x>0$ ). $\dfrac{\sqrt{x-2}}{x}\le\dfrac{\sqrt2}{4}\iff 4\sqrt{x-2}\le\sqrt2\,x$ (multiplication par $4x>0$ ). Les deux membres étant positifs : $\iff 16(x-2)\le 2x^2\iff 2x^2-16x+32\ge 0\iff 2(x-4)^2\ge 0$ , ce qui est vrai. Donc l’inégalité est vraie pour tout $x\ge2$ .
Soient $x,y\in\R$ . Les deux membres étant positifs : $|x-y|=|x|+|y|\iff(x-y)^2=(|x|+|y|)^2\iff x^2-2xy+y^2=x^2+2|xy|+y^2\iff -xy=|xy|\iff xy\le 0$ (car $|u|=-u\iff u\le0$ ).
Soit $x\in[-3;3]$ . On a $x+3\sqrt2\ge -3+3\sqrt2>0$ (car $\sqrt2>1$ ) et $\sqrt{9-x^2}\ge0$ . Donc $\sqrt{9-x^2}\le x+3\sqrt2\iff 9-x^2\le x^2+6\sqrt2\,x+18\iff 0\le 2x^2+6\sqrt2\,x+9\iff 0\le(\sqrt2\,x+3)^2$ , ce qui est vrai.

Exercice 11 — Rais. par disjonction des cas Moyen ★★★☆☆

Résoudre dans $\R$ l’équation : $\ -x^2+|x-2|+4=0$ .
Montrer que, pour tout $x\in\R$ : $\ \sqrt{x^2+4}+x>0$ .
Montrer que, pour tout $n\in\N$ , l’entier $n(5n+3)$ est pair.
Résoudre dans $\R$ l’inéquation : $\ \sqrt{x^2-3x+2}>x+1$ .
Soit $m\in\R^*$ . Résoudre dans $\R$ l’équation : $\ mx^2-2(m-1)x+m-3=0$ .
Soit $n\in\N$ . Montrer que $n(n^2+2)$ est divisible par $3$ .

Voir la solution

1) Cas $x\ge 2$ : $|x-2|=x-2$ et l’équation devient $-x^2+x+2=0\iff(x-2)(x+1)=0\iff x\in\{2;-1\}$ ; seul $2$ vérifie $x\ge2$ . Cas $x<2$ : $|x-2|=2-x$ et l’équation devient $-x^2-x+6=0\iff(x-2)(x+3)=0\iff x\in\{2;-3\}$ ; seul $-3$ vérifie $x<2$ . Donc $S=\{-3;2\}$ .

2) Soit $x\in\R$ . Cas $x\ge 0$ : $\sqrt{x^2+4}\ge 2>0$ et $x\ge 0$ , donc la somme est $>0$ . Cas $x<0$ : $x^2+4>x^2$ donc $\sqrt{x^2+4}>\sqrt{x^2}=|x|=-x$ , d’où $\sqrt{x^2+4}+x>0$ .

3) Cas $n$ pair : $n=2k$ , $n(5n+3)=2\,k(10k+3)$ est pair. Cas $n$ impair : $n=2k+1$ , $5n+3=10k+8=2(5k+4)$ , donc $n(5n+3)=2(2k+1)(5k+4)$ est pair.

4) Domaine : $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\ge 0\iff x\in D=\,]-\infty;1]\cup[2;+\infty[$ . Cas $x\in D$ et $x<-1$ : $x+1<0\le\sqrt{x^2-3x+2}$ : tout $x<-1$ est solution. Cas $x\in D$ et $x\ge-1$ : les deux membres sont positifs, donc $\sqrt{x^2-3x+2}>x+1\iff x^2-3x+2>x^2+2x+1\iff x<\frac15$ . Avec $x\ge -1$ et $x\in D$ : $x\in\left[-1;\frac15\right[$ . Donc $S=\,]-\infty;-1[\,\cup\left[-1;\frac15\right[\,=\,\left]-\infty;\frac15\right[$ .

5) $m\neq0$ : équation du second degré, de discriminant réduit $\Delta'=(m-1)^2-m(m-3)=m+1$ .

Si $m<-1$ : $\Delta'<0$ , $S=\varnothing$ .
Si $m=-1$ : $\Delta'=0$ , une solution double $x=\dfrac{m-1}{m}=2$ ; $S=\{2\}$ .
Si $m>-1$ et $m\neq0$ : $\Delta'>0$ , $S=\left\{\dfrac{m-1-\sqrt{m+1}}{m}\ ;\ \dfrac{m-1+\sqrt{m+1}}{m}\right\}$ .

6) Tout entier $n$ s’écrit $3k$ , $3k+1$ ou $3k+2$ ( $k\in\N$ ). $n=3k$ : $n(n^2+2)=3\,k(n^2+2)$ . $n=3k+1$ : $n^2+2=9k^2+6k+3=3(3k^2+2k+1)$ . $n=3k+2$ : $n^2+2=9k^2+12k+6=3(3k^2+4k+2)$ . Dans tous les cas, $3\mid n(n^2+2)$ .

Exercice 12 — Rais. par l’absurde Moyen ★★★☆☆

Soit $a>0$ et soit $ABC$ un triangle tel que $AB=5a$ , $BC=6a$ et $CA=8a$ . Montrer que $ABC$ n’est pas rectangle.
Soient $a,b\in\R_+^*$ tels que $ab=4$ . Montrer que $a\le 2$ ou $b\le 2$ .
Soient $a,b\in\Q$ tels que $2a+3b\sqrt2=0$ . Montrer que $a=0$ et $b=0$ .
Montrer que, pour tout $n\in\N$ , $\sqrt{\dfrac{n+1}{n+2}}\notin\Q$ . On admet que : si $\pgcd(p;q)=1$ , alors $\pgcd(p^2;q^2)=1$ ; si $p\mid qr$ et $\pgcd(p;q)=1$ , alors $p\mid r$ ; et $\pgcd(n+1;n+2)=1$ .

Voir la solution

Supposons $ABC$ rectangle. L’hypoténuse est le plus grand côté $[CA]$ , donc $CA^2=AB^2+BC^2$ : $64a^2=25a^2+36a^2=61a^2$ , d’où $3a^2=0$ et $a=0$ , ce qui contredit $a>0$ . Donc $ABC$ n’est pas rectangle.
Supposons $a>2$ et $b>2$ . Comme $a,b>0$ , on obtient $ab>2\times2=4$ , ce qui contredit $ab=4$ . Donc $a\le2$ ou $b\le 2$ .
Supposons $b\neq 0$ . Alors $\sqrt2=-\dfrac{2a}{3b}\in\Q$ (quotient de rationnels, $3b\neq0$ ), ce qui contredit $\sqrt2\notin\Q$ . Donc $b=0$ , puis $2a=0$ , soit $a=0$ .
Soit $n\in\N$ et supposons $\sqrt{\frac{n+1}{n+2}}=\frac ab$ avec $a,b\in\N^*$ , $\pgcd(a;b)=1$ . Alors $(n+1)b^2=(n+2)a^2$ . Comme $\pgcd(a^2;b^2)=1$ et $a^2\mid(n+1)b^2$ , on a $a^2\mid n+1$ ; de même $b^2\mid n+2$ . Écrivons $n+1=pa^2$ ; en reportant, $pa^2b^2=(n+2)a^2$ , donc $n+2=pb^2$ . Ainsi $p$ divise $n+1$ et $n+2$ , donc $p\mid\pgcd(n+1;n+2)=1$ et $p=1$ : $n+1=a^2$ et $n+2=b^2$ . Alors $b^2-a^2=1$ , soit $(b-a)(b+a)=1$ avec $b+a\ge 2$ : contradiction. Donc $\sqrt{\frac{n+1}{n+2}}\notin\Q$ .

Exercice 13 — Rais. par récurrence Moyen ★★★☆☆

Démontrer par récurrence les propriétés suivantes :

$(\forall n\in\N^*)\ \ \displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2k-1)^2=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$
$(\forall n\in\N)\ \ \displaystyle\sum_{k=0}^{n}5^k=\frac{5^{n+1}-1}{4}$
$(\forall n\in\N^*)\ \ \displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2k-1)^3=n^2(2n^2-1)$
$(\forall n\in\N)\ \ \displaystyle\sum_{k=0}^{n}(4k+1)=(n+1)(2n+1)$
$(\forall n\in\N)\ \ 3^n>2n$
$(\forall n\in\N^*)\ \ 4^n\ge 3n+1$
$(\forall n\in\N^*)\ \ \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{n}{2n+1}$ . Donner aussi une démonstration sans récurrence.
$(\forall n\in\N)\ \ \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\Big(-\frac12\Big)^k=\frac23+\frac{(-1)^n}{3\times 2^n}$
$(\forall n\in\N^*)\ \ \displaystyle\sum_{k=1}^{n}k(k+2)=\frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$
$(\forall n\in\N)\ \ \Big(\dfrac43\Big)^n\ge 1+\dfrac n3$
Pour tout $n\in\N$ , l’entier $7^n-1$ est divisible par $6$ .

Voir la solution

Dans chaque cas : initialisation, puis hérédité (on suppose la propriété vraie au rang $n$ et on la démontre au rang $n+1$ ), puis conclusion par le principe de récurrence.

1) $n=1$ : $1=\frac{1\cdot1\cdot3}{3}$ . Hérédité : $\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}(2k-1)^2=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}+(2n+1)^2=\frac{(2n+1)\big(2n^2-n+6n+3\big)}{3}=\frac{(2n+1)(2n^2+5n+3)}{3}=\frac{(n+1)(2n+1)(2n+3)}{3}$ , qui est la formule au rang $n+1$ .

2) $n=0$ : $1=\frac{5-1}{4}$ . Hérédité : $\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}5^k=\frac{5^{n+1}-1}{4}+5^{n+1}=\frac{5\cdot5^{n+1}-1}{4}=\frac{5^{n+2}-1}{4}$ .

3) $n=1$ : $1=1\cdot(2-1)$ . Hérédité : $n^2(2n^2-1)+(2n+1)^3=2n^4+8n^3+11n^2+6n+1$ et $(n+1)^2\big(2(n+1)^2-1\big)=(n^2+2n+1)(2n^2+4n+1)=2n^4+8n^3+11n^2+6n+1$ . Égalité.

4) $n=0$ : $1=1\times1$ . Hérédité : $(n+1)(2n+1)+(4n+5)=2n^2+7n+6=(n+2)(2n+3)$ , formule au rang $n+1$ .

5) $n=0$ : $1>0$ . Hérédité : si $3^n>2n$ , alors $3^{n+1}=3\cdot3^n>6n\ge 2n+2$ dès que $n\ge\frac12$ , i.e. $n\ge1$ ; pour $n=0$ : $3^1=3>2$ . Donc $3^{n+1}>2(n+1)$ .

6) $n=1$ : $4\ge4$ . Hérédité : si $4^n\ge 3n+1$ , alors $4^{n+1}\ge 12n+4=3(n+1)+1+9n\ge 3(n+1)+1$ .

7) $n=1$ : $\frac13=\frac{1}{3}$ . Hérédité : $\frac{n}{2n+1}+\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{2n^2+3n+1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{(n+1)(2n+1)}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{n+1}{2n+3}.$ Sans récurrence : pour tout $k\ge 1$ , $\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\dfrac12\Big(\dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k+1}\Big)$ , donc la somme est télescopique : $\dfrac12\Big(1-\dfrac{1}{2n+1}\Big)=\dfrac{n}{2n+1}$ .

8) $n=0$ : $1=\frac23+\frac13$ . Hérédité : $\dfrac23+\dfrac{(-1)^n}{3\cdot2^n}+\Big(-\dfrac12\Big)^{n+1}=\dfrac23+\dfrac{(-1)^n}{3\cdot 2^{n}}-\dfrac{(-1)^{n}}{2^{n+1}}=\dfrac23+\dfrac{(-1)^n(2-3)}{3\cdot2^{n+1}}=\dfrac23+\dfrac{(-1)^{n+1}}{3\cdot2^{n+1}}$ .

9) $n=1$ : $3=\frac{1\cdot2\cdot9}{6}$ . Hérédité : $\frac{n(n+1)(2n+7)}{6}+(n+1)(n+3)=\frac{(n+1)(2n^2+13n+18)}{6}=\frac{(n+1)(n+2)(2n+9)}{6},$ formule au rang $n+1$ .

10) $n=0$ : $1\ge1$ . Hérédité : si $\left(\frac43\right)^n\ge1+\frac n3$ , alors $\left(\frac43\right)^{n+1}\ge\frac43\Big(1+\frac n3\Big)=1+\frac{n+1}{3}+\frac{4n}{9}\ge 1+\frac{n+1}{3}$ .

11) $n=0$ : $7^0-1=0=6\times0$ . Hérédité : si $7^n-1=6q$ ( $q\in\N$ ), alors $7^{n+1}-1=7(7^n-1)+6=6(7q+1)$ .

Exercice 14 — Absurde / contraposée Moyen ★★★☆☆

Montrer que le polynôme $P(x)=x^3+x^2+x+3$ n’admet aucune racine dans $\Z$ .
Montrer que, pour tout $x\in\R^*$ : $\ \sqrt{4+x^2}\neq 2+\dfrac{x^2}{4}$ .
Soient $x,y,z\in\R$ tels que $x+y+z>\dfrac32$ . Montrer que $x>\dfrac12$ ou $y>\dfrac12$ ou $z>\dfrac12$ .
Soient $x,y\in\R_+^*$ . Montrer que : $\ \left|\sqrt{\dfrac xy}-\sqrt{\dfrac yx}\right|\neq 2\Longrightarrow\sqrt{\dfrac xy}+\sqrt{\dfrac yx}\neq 2\sqrt2$ .
Sachant que $\sqrt{15}\notin\Q$ , montrer que $\sqrt3+\sqrt5\notin\Q$ .

Voir la solution

Supposons qu’il existe $n\in\Z$ tel que $P(n)=0$ . Alors $n(n^2+n+1)=-3$ , donc $n$ divise $3$ : $n\in\{-3;-1;1;3\}$ . Or $P(1)=6$ , $P(-1)=2$ , $P(3)=42$ , $P(-3)=-18$ : aucune n’est nulle. Contradiction : $P$ n’a pas de racine entière.
Contraposée : $\sqrt{4+x^2}=2+\dfrac{x^2}4\Longrightarrow x=0$ . En élevant au carré : $4+x^2=4+x^2+\dfrac{x^4}{16}$ , donc $x^4=0$ et $x=0$ .
Par l’absurde : si $x\le\frac12$ , $y\le\frac12$ et $z\le\frac12$ , alors $x+y+z\le\frac32$ , ce qui contredit l’hypothèse.
Posons $u=\sqrt{\frac xy}+\sqrt{\frac yx}$ et $v=\sqrt{\frac xy}-\sqrt{\frac yx}$ ; on a $u^2-v^2=4\sqrt{\frac xy}\sqrt{\frac yx}=4$ . Contraposée : si $u=2\sqrt2$ , alors $v^2=u^2-4=4$ , donc $|v|=2$ .
Supposons $r=\sqrt3+\sqrt5\in\Q$ . Alors $r^2=8+2\sqrt{15}$ , donc $\sqrt{15}=\dfrac{r^2-8}{2}\in\Q$ : contradiction. Donc $\sqrt3+\sqrt5\notin\Q$ .

Exercice 15 — Raisonnements variés Moyen ★★★☆☆

Montrer que la proposition $(\forall x\in\R^*)\ \ x+\dfrac4x\ge 4$ est fausse.
Soient $a$ et $b$ deux réels positifs ou nuls. a. Montrer que $\dfrac{a}{\sqrt{a^2+4}}<\dfrac{b}{\sqrt{b^2+4}}\iff a<b$ . b. Montrer que $a\sqrt{a^2+4}=b\sqrt{b^2+4}\iff a=b$ .
Montrer que, pour tous $x,y\in\R$ : $\ |x^2+3xy+2y^2|\le 4\Longrightarrow\big(|x+y|\le 2\ \text{ ou }\ |x+2y|\le 2\big)$ .
a. Montrer que tout entier naturel $n$ non divisible par $3$ s’écrit $n=3k+1$ ou $n=3k+2$ , avec $k\in\N$ . b. En déduire que, si l’entier $n^2-1$ n’est pas divisible par $3$ , alors $n$ est divisible par $3$ .
Montrer que, pour tout $n\in\N^*$ : $\ \sqrt{n^2+4n}\notin\N$ et $\sqrt{\dfrac{n}{n+4}}\notin\Q$ . On admet que si $\dfrac ab$ est irréductible, alors $\dfrac{a^2}{b^2}$ est irréductible.

Voir la solution

1) Contre-exemple : $x=-1\in\R^*$ donne $-1-4=-5<4$ .

2) a) Les deux quotients sont positifs, donc (carrés de réels positifs, puis multiplication par $(a^2+4)(b^2+4)>0$ ) : $\dfrac{a}{\sqrt{a^2+4}}<\dfrac{b}{\sqrt{b^2+4}}\iff\dfrac{a^2}{a^2+4}<\dfrac{b^2}{b^2+4}\iff a^2(b^2+4)<b^2(a^2+4)\iff 4a^2<4b^2\iff a<b$ (car $a,b\ge 0$ ).

2) b) Les deux membres sont positifs : $a\sqrt{a^2+4}=b\sqrt{b^2+4}\iff a^2(a^2+4)=b^2(b^2+4)\iff(a^2-b^2)(a^2+b^2+4)=0\iff a^2=b^2$ (car $a^2+b^2+4>0$ ) $\iff a=b$ (car $a,b\ge0$ ).

3) On a $x^2+3xy+2y^2=(x+y)(x+2y)$ . Contraposée : si $|x+y|>2$ et $|x+2y|>2$ , alors $|x^2+3xy+2y^2|=|x+y|\cdot|x+2y|>4$ .

4) a) La division euclidienne de $n$ par $3$ donne $n=3k+r$ avec $r\in\{0;1;2\}$ ; si $3\nmid n$ , $r\neq0$ , donc $n=3k+1$ ou $n=3k+2$ .

4) b) Contraposée : si $3\nmid n$ , alors $3\mid n^2-1$ . Si $n=3k+1$ : $n^2-1=9k^2+6k=3(3k^2+2k)$ ; si $n=3k+2$ : $n^2-1=9k^2+12k+3=3(3k^2+4k+1)$ .

5) Pour $n\ge1$ : $(n+1)^2=n^2+2n+1<n^2+4n$ (car $2n>1$ ) et $n^2+4n<n^2+4n+4=(n+2)^2$ . Si $\sqrt{n^2+4n}=m\in\N$ , alors $n+1<m<n+2$ : impossible. Donc $\sqrt{n^2+4n}\notin\N$ . Supposons $\sqrt{\frac{n}{n+4}}=\frac ab\in\Q$ , $\frac ab$ avec $\pgcd(a;b)=1$ , $a,b\in\N^*$ . Alors $\sqrt{n^2+4n}=(n+4)\frac ab$ est rationnel ; écrivons-le $\frac pq$ avec $\pgcd(p;q)=1$ ( $p,q\in\N^*$ ). Alors $n^2+4n=\frac{p^2}{q^2}$ et $\pgcd(p^2;q^2)=1$ (admis) ; comme c’est un entier, $q^2=1$ , donc $\sqrt{n^2+4n}=p\in\N$ : contradiction avec ce qui précède.

Exercice 16 — Raisonnements variés Difficile ★★★★☆

Montrer que, pour tout $n\in\N$ , l’entier $3^{2n+2}+2^{6n+1}$ est divisible par $11$ .
a. Montrer que, pour tout $n\in\N$ : $\ 5\mid n^2\Longrightarrow 5\mid n$ . b. En déduire que $\sqrt5\notin\Q$ .
Soient $a,b\in\R$ tels que $a^2+b^2=2$ . Montrer que $|a+b|\le 2$ .
Soient $a$ et $b$ des réels. a. Montrer que $a^2+b^2+1\ge ab+a+b$ . b. Montrer que $a^3+2a=b^3+2b\iff a=b$ .
Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $(\forall\varepsilon\in\R_+^*)\ \ a\le b+\varepsilon$ . Montrer par l’absurde que $a\le b$ .

Voir la solution

1) Posons $u_n=3^{2n+2}+2^{6n+1}$ . $u_0=9+2=11$ . Si $u_n=11q$ : $u_{n+1}=9\cdot3^{2n+2}+64\cdot2^{6n+1}=9u_n+55\cdot2^{6n+1}=11\big(9q+5\cdot2^{6n+1}\big)$ . Par récurrence, $11\mid u_n$ pour tout $n\in\N$ .

2) a) Contraposée : $5\nmid n\Longrightarrow 5\nmid n^2$ . Si $5\nmid n$ , $n=5k+r$ avec $r\in\{1;2;3;4\}$ et $n^2=5(5k^2+2kr)+r^2$ , avec $r^2\in\{1;4;9;16\}$ , soit $r^2=5q'+s$ avec $s\in\{1;4;4;1\}$ . Le reste de $n^2$ par $5$ vaut $1$ ou $4$ : $5\nmid n^2$ .

2) b) Supposons $\sqrt5=\frac ab$ , $a,b\in\N^*$ , $\pgcd(a;b)=1$ . Alors $a^2=5b^2$ , donc $5\mid a^2$ , donc $5\mid a$ : $a=5c$ . Alors $25c^2=5b^2$ , $b^2=5c^2$ , donc $5\mid b$ . Contradiction avec $\pgcd(a;b)=1$ .

3) $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab\le a^2+b^2+(a^2+b^2)=4$ car $2ab\le a^2+b^2\iff(a-b)^2\ge0$ . Donc $|a+b|=\sqrt{(a+b)^2}\le 2$ .

4) a) $a^2+b^2+1-ab-a-b=\frac12\big[(a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2\big]\ge 0$ .

4) b) ( $\Longleftarrow$ ) évident. ( $\Longrightarrow$ ) $a^3+2a=b^3+2b\Longrightarrow(a-b)(a^2+ab+b^2+2)=0$ . Or $a^2+ab+b^2=\left(a+\frac b2\right)^2+\frac{3b^2}{4}\ge0$ , donc $a^2+ab+b^2+2>0$ , d’où $a-b=0$ .

5) Supposons $a>b$ et posons $\varepsilon=\dfrac{a-b}{2}>0$ . L’hypothèse donne $a\le b+\frac{a-b}{2}$ , soit $\frac{a-b}{2}\le 0$ , donc $a\le b$ : contradiction. Donc $a\le b$ .

Exercice 17 — Loi logique sans tableau Moyen ★★★☆☆

Sans utiliser de tableau de vérité, montrer que la proposition $\big[(P\text{ ou }Q)\Longrightarrow R\big]\iff\big[(P\Longrightarrow R)\text{ et }(Q\Longrightarrow R)\big]$ est une loi logique.

Voir la solution

En utilisant $(A\Rightarrow B)\iff(\non{A}\text{ ou }B)$ , les lois de Morgan et la distributivité : $\begin{aligned}\big[(P\text{ ou }Q)\Rightarrow R\big]&\iff\big[\overline{P\text{ ou }Q}\text{ ou }R\big]\iff\big[(\non{P}\text{ et }\non{Q})\text{ ou }R\big]\\&\iff\big[(\non{P}\text{ ou }R)\text{ et }(\non{Q}\text{ ou }R)\big]\iff\big[(P\Rightarrow R)\text{ et }(Q\Rightarrow R)\big].\end{aligned}$ Chaque étape est une loi logique, donc l’équivalence est vraie quelles que soient les valeurs de $P,Q,R$ : c’est une loi logique.

Exercice 18 — Récurrence (synthèse) Difficile ★★★★☆

Démontrer les propriétés suivantes pour tout $n\in\N^*$ :

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$
$2^{5n+3}+17\times 7^n$ est divisible par $25$ .
$2\times 3^{2n}+2^{6n-4}$ est divisible par $11$ .
$3^{3n+1}+2^{3n+4}$ est divisible par $19$ .
$\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\Big(1+\frac{1}{k^2}\Big)\le 4-\frac{4}{n+1}$
$\displaystyle 2\sqrt{n+1}-2\le\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt k}\le 2\sqrt n-1$
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(-1)^k k^2=\frac{(-1)^n\,n(n+1)}{2}$
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(k-1)k^2=\frac{(n-1)n(n+1)(3n+2)}{12}$

Voir la solution

1) $n=1$ : $6=\frac{1\cdot2\cdot3\cdot4}{4}$ . Hérédité : $\dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}+(n+1)(n+2)(n+3)=\dfrac{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{4}$ .

2) $u_n=2^{5n+3}+17\cdot7^n$ . $u_1=256+119=375=25\times15$ . Si $u_n=25q$ : $u_{n+1}=32\cdot2^{5n+3}+7\cdot17\cdot7^n=7u_n+25\cdot2^{5n+3}=25(7q+2^{5n+3})$ .

3) $u_n=2\cdot3^{2n}+2^{6n-4}$ . $u_1=18+4=22$ . Si $u_n=11q$ : $u_{n+1}=9\cdot2\cdot3^{2n}+64\cdot2^{6n-4}=9u_n+55\cdot2^{6n-4}=11(9q+5\cdot2^{6n-4})$ .

4) $u_n=3^{3n+1}+2^{3n+4}$ . $u_1=81+128=209=19\times11$ . Si $u_n=19q$ : $u_{n+1}=27\cdot3^{3n+1}+8\cdot2^{3n+4}=8u_n+19\cdot3^{3n+1}=19(8q+3^{3n+1})$ .

5) $n=1$ : $2\le 4-2$ . Hérédité : supposons $\prod_{k=1}^{n}\big(1+\frac1{k^2}\big)\le\frac{4n}{n+1}$ . Alors $\displaystyle\prod_{k=1}^{n+1}\Big(1+\frac1{k^2}\Big)\le\frac{4n}{n+1}\cdot\frac{(n+1)^2+1}{(n+1)^2}=\frac{4n(n^2+2n+2)}{(n+1)^3}$ . Or $\dfrac{4(n+1)}{n+2}-\dfrac{4n(n^2+2n+2)}{(n+1)^3}=\dfrac{4\big[(n+1)^4-n(n+2)(n^2+2n+2)\big]}{(n+1)^3(n+2)}=\dfrac{4}{(n+1)^3(n+2)}>0$ . Donc le produit est $\le\frac{4(n+1)}{n+2}=4-\frac{4}{n+2}$ .

6) Notons $S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt k}$ . $n=1$ : $2\sqrt2-2\approx0{,}83\le1\le1$ . Hérédité (majoration) : $S_{n+1}\le 2\sqrt n-1+\frac1{\sqrt{n+1}}$ et $2\sqrt{n+1}-2\sqrt n=\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}\ge\frac{2}{2\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}}$ , donc $S_{n+1}\le 2\sqrt{n+1}-1$ . Hérédité (minoration) : $S_{n+1}\ge 2\sqrt{n+1}-2+\frac{1}{\sqrt{n+1}}$ et $2\sqrt{n+2}-2\sqrt{n+1}=\frac{2}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}\le\frac{2}{2\sqrt{n+1}}=\frac1{\sqrt{n+1}}$ , donc $S_{n+1}\ge 2\sqrt{n+2}-2$ .

7) $n=1$ : $\frac16=\frac{4}{4\cdot2\cdot3}$ . Hérédité : $\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}=\frac{n(n+3)^2+4}{4(n+1)(n+2)(n+3)}=\frac{(n+1)^2(n+4)}{4(n+1)(n+2)(n+3)}=\frac{(n+1)(n+4)}{4(n+2)(n+3)},$ car $n^3+6n^2+9n+4=(n+1)^2(n+4)$ .

8) $n=1$ : $-1=\frac{-1\cdot2}{2}$ . Hérédité : $\dfrac{(-1)^n n(n+1)}{2}+(-1)^{n+1}(n+1)^2=\dfrac{(-1)^{n+1}(n+1)\big(2(n+1)-n\big)}{2}=\dfrac{(-1)^{n+1}(n+1)(n+2)}{2}$ .

9) $n=1$ : $0=0$ . Hérédité : $\dfrac{(n-1)n(n+1)(3n+2)}{12}+n(n+1)^2=\dfrac{n(n+1)\big[(n-1)(3n+2)+12(n+1)\big]}{12}=\dfrac{n(n+1)(3n^2+11n+10)}{12}=\dfrac{n(n+1)(n+2)(3n+5)}{12}$ , formule au rang $n+1$ .

Exercice 19 — Récurrence Moyen ★★★☆☆

Montrer par récurrence que : $(\forall n\in\N^*)(\exists (a_n;b_n)\in\N^2)\ \ (1+\sqrt3)^n=a_n+b_n\sqrt3$ .
Exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et de $b_n$ .
Calculer $(1+\sqrt3)^5$ .

Voir la solution

$n=1$ : $(a_1;b_1)=(1;1)$ . Si $(1+\sqrt3)^n=a_n+b_n\sqrt3$ avec $a_n,b_n\in\N$ , alors $(1+\sqrt3)^{n+1}=(a_n+b_n\sqrt3)(1+\sqrt3)=(a_n+3b_n)+(a_n+b_n)\sqrt3$ , avec $a_n+3b_n\in\N$ et $a_n+b_n\in\N$ .
On peut choisir $a_{n+1}=a_n+3b_n$ et $b_{n+1}=a_n+b_n$ (ces nombres sont d’ailleurs uniques car $\sqrt3\notin\Q$ ).
$(a_2;b_2)=(4;2)$ , $(a_3;b_3)=(10;6)$ , $(a_4;b_4)=(28;16)$ , $(a_5;b_5)=(76;44)$ : $(1+\sqrt3)^5=76+44\sqrt3$ .

Exercice 20 — Inégalité d’olympiade Difficile ★★★★☆

Soient $a,b\in\R$ . Montrer que, pour tout $n\in\N^*$ : $\ a^n-b^n=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}\right)=(a-b)\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a^{n-k}b^{k-1}$ .
Soient $x,y\in\R_+^*$ . Montrer que, pour tout $n\in\N$ : $\ x^{n+2}+y^{n+2}\ge x^ny^2+x^2y^n$ .

Voir la solution

Récurrence. $n=1$ : $a-b=(a-b)\cdot1$ . Si la formule est vraie au rang $n$ : $a^{n+1}-b^{n+1}=a(a^n-b^n)+b^n(a-b)=(a-b)\Big[\sum_{k=1}^{n}a^{n+1-k}b^{k-1}+b^{n}\Big]=(a-b)\sum_{k=1}^{n+1}a^{n+1-k}b^{k-1}$ .
$x^{n+2}+y^{n+2}-x^ny^2-x^2y^n=x^n(x^2-y^2)-y^n(x^2-y^2)=(x^n-y^n)(x^2-y^2)$ . Pour $n\ge1$ , d’après 1), $x^n-y^n=(x-y)S$ avec $S>0$ (somme de termes strictement positifs), et $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ . Donc la différence vaut $(x-y)^2(x+y)S\ge0$ . Pour $n=0$ : la différence est nulle.

Exercice 21 — Récurrence / inégalités Difficile ★★★★☆

Soient $x,y\in\R_+^*$ .

Montrer que, pour tout $n\in\N^*$ : $\ 2^{n-1}(x^n+y^n)\ge(x+y)^n$ .
On suppose que $x+y=2$ . a. Montrer que $xy\le 1$ et que, pour tout $n\in\N^*$ , $x^n+y^n\ge 2$ . b. En déduire que, pour tout $n\in\N^*$ : $\ \Big(1+\dfrac{1}{x^n}\Big)\Big(1+\dfrac{1}{y^n}\Big)\ge 4$ .

Voir la solution

1) $n=1$ : $x+y\ge x+y$ . Hérédité : si $2^{n-1}(x^n+y^n)\ge(x+y)^n$ , alors $(x+y)^{n+1}\le 2^{n-1}(x^n+y^n)(x+y)$ et $2(x^{n+1}+y^{n+1})-(x^n+y^n)(x+y)=x^{n+1}+y^{n+1}-x^ny-xy^n=(x^n-y^n)(x-y)\ge0$ (même signe, exercice 20). D’où $(x+y)^{n+1}\le 2^{n}(x^{n+1}+y^{n+1})$ .

2) a) $1-xy=\frac{(x+y)^2}{4}-xy=\frac{(x-y)^2}{4}\ge0$ , donc $xy\le1$ . D’après 1) : $x^n+y^n\ge\frac{(x+y)^n}{2^{n-1}}=\frac{2^n}{2^{n-1}}=2$ .

2) b) $\Big(1+\frac1{x^n}\Big)\Big(1+\frac1{y^n}\Big)=1+\frac{x^n+y^n}{(xy)^n}+\frac{1}{(xy)^n}$ . Comme $0<xy\le1$ , $0<(xy)^n\le1$ , donc $\frac{1}{(xy)^n}\ge 1$ et $\frac{x^n+y^n}{(xy)^n}\ge x^n+y^n\ge 2$ . Le produit est donc $\ge 1+2+1=4$ .

Exercice 22 — Rais. par l’absurde Difficile ★★★★☆

Montrer que, pour tout $n\in\N^*$ , l’entier $n(n+2)$ n’est pas le carré d’un entier, puis que $\sqrt{\dfrac{n+2}{n}}\notin\Q$ (on pourra utiliser l’admis de l’exercice 15).
En déduire que, si $a,b\in\N$ vérifient $a>2b>0$ , alors $\dfrac{a^2+4b^2}{a^2-4b^2}\notin\N$ .

Voir la solution

1) $n^2<n^2+2n<(n+1)^2$ pour $n\ge1$ , donc $n(n+2)$ n’est pas un carré parfait. Si $\sqrt{\frac{n+2}{n}}\in\Q$ , alors $\sqrt{n(n+2)}=n\sqrt{\frac{n+2}{n}}\in\Q$ ; en l’écrivant $\frac pq$ avec $\pgcd(p;q)=1$ , $n(n+2)=\frac{p^2}{q^2}$ irréductible et entier, donc $q=1$ et $n(n+2)=p^2$ : contradiction.

2) Supposons $\dfrac{a^2+4b^2}{a^2-4b^2}=k\in\N$ ( $a^2-4b^2>0$ ). Comme $a^2+4b^2>a^2-4b^2>0$ , $k\ge 2$ . Alors $a^2+4b^2=k(a^2-4b^2)$ , soit $(k+1)\,4b^2=(k-1)a^2$ , donc $\dfrac{k+1}{k-1}=\Big(\dfrac{a}{2b}\Big)^2$ et $\sqrt{\dfrac{(k-1)+2}{k-1}}=\dfrac{a}{2b}\in\Q$ , avec $n=k-1\in\N^*$ : contradiction avec 1).

Exercice 23 — Rais. par l’absurde Difficile ★★★★☆

Montrer que, pour tout $n\in\N$ , $\dfrac{n+3}{n+5}\notin\N$ .
Soient $a$ et $b$ deux rationnels tels que $a\neq 2b$ . Montrer que $\dfrac{a+b\sqrt2}{2+\sqrt2}\notin\Q$ .
Montrer que, pour tout $n\in\N$ , $\sqrt{n^2+3n+3}\notin\N$ .
Soit $a\in\N$ . Montrer que $\sqrt{a^2+\sqrt{9a^2+\sqrt{36a^2+12a+2}}}\notin\N$ .

Voir la solution

Pour $n\in\N$ : $0<n+3<n+5$ , donc $0<\frac{n+3}{n+5}<1$ : ce n’est pas un entier naturel.
$\dfrac{a+b\sqrt2}{2+\sqrt2}=\dfrac{(a+b\sqrt2)(2-\sqrt2)}{2}=(a-b)+\dfrac{2b-a}{2}\sqrt2$ . Supposons ce nombre égal à $r\in\Q$ ; comme $2b-a\neq 0$ : $\sqrt2=\dfrac{2(r-a+b)}{2b-a}\in\Q$ , contradiction.
$(n+1)^2<n^2+3n+3<(n+2)^2$ (car $n+2>0$ et $n+1>0$ ) : $\sqrt{n^2+3n+3}$ est strictement compris entre deux entiers consécutifs, donc n’est pas entier.
$(6a+1)^2=36a^2+12a+1<36a^2+12a+2<36a^2+24a+4=(6a+2)^2$ , donc $u=\sqrt{36a^2+12a+2}\notin\N$ , donc $u\notin\Z$ ( $u>0$ ). Alors $9a^2+u\notin\Z$ ; si $v=\sqrt{9a^2+u}$ était entier, $9a^2+u=v^2$ serait entier : absurde. Donc $v\notin\N$ , puis de même $a^2+v\notin\Z$ et $\sqrt{a^2+v}\notin\N$ .

Exercice 24 — Double implication Moyen ★★★☆☆

Soient $a$ , $b$ et $c$ des réels.

Montrer que : $\ |a+b|+|a-b|\le 2c\Longrightarrow\big(|a|\le c\ \text{ et }\ |b|\le c\big)$ .
Montrer que : $\ \big(|a|\le c\ \text{ et }\ |b|\le c\big)\Longrightarrow|a+b|+|a-b|\le 2c$ .

Voir la solution

$2|a|=|(a+b)+(a-b)|\le|a+b|+|a-b|\le 2c$ , donc $|a|\le c$ ; de même $2|b|=|(a+b)-(a-b)|\le 2c$ .
On a $c\ge|a|\ge0$ . Les deux membres étant positifs : $\big(|a+b|+|a-b|\big)^2=2a^2+2b^2+2|a^2-b^2|$ . Si $a^2\ge b^2$ , cela vaut $4a^2\le 4c^2$ ; sinon $4b^2\le 4c^2$ . Donc $|a+b|+|a-b|\le 2c$ .

Exercice 25 — Synthèse Difficile ★★★★★

Soient $a,b,c\in\R$ tels que, pour tout $x\in[-2;2]$ , $\ |ax^2+bx+c|\le 1$ .

Montrer que $|c|\le 1$ , $\ |4a+2b+c|\le 1$ et $\ |4a-2b+c|\le 1$ .
En déduire que $|4a+c|\le 1$ et $|a|\le\dfrac12$ .
a. Montrer que : $\ 2(16a^2+4b^2+c^2)\le(4a+2b+c)^2+(4a-2b+c)^2+16|ac|$ . b. En déduire que $16a^2+4b^2+c^2\le 5$ .

Voir la solution

Pour $x=0$ , $x=2$ , $x=-2$ (qui sont dans $[-2;2]$ ) : $|c|\le1$ , $|4a+2b+c|\le1$ , $|4a-2b+c|\le1$ .
$2(4a+c)=(4a+2b+c)+(4a-2b+c)$ , donc $2|4a+c|\le 1+1$ et $|4a+c|\le 1$ . Puis $4|a|=|(4a+c)-c|\le 1+1$ , donc $|a|\le\frac12$ .
a. $(4a+2b+c)^2+(4a-2b+c)^2=32a^2+8b^2+2c^2+16ac$ . Donc le second membre moins le premier vaut $16ac+16|ac|\ge0$ . b. D’après 1) et 2) : $2(16a^2+4b^2+c^2)\le 1+1+16\cdot\frac12\cdot1=10$ , donc $16a^2+4b^2+c^2\le 5$ .

Exercice 26 — Contraposée / absurde Difficile ★★★★☆

Soient $a$ , $b$ et $c$ des entiers relatifs, tous différents de $2$ . Montrer que : $\begin{cases}2(a+b)\le ab+3\\ 2(b+c)\le bc+3\end{cases}\Longrightarrow 2(c+a)\le ca+3.$

Voir la solution

Pour des entiers : $2(a+b)\le ab+3\iff ab-2a-2b+4\ge1\iff(a-2)(b-2)\ge1$ . Les hypothèses donnent $(a-2)(b-2)\ge1$ et $(b-2)(c-2)\ge1$ : donc $a-2$ et $c-2$ ont le même signe (strict) que $b-2$ , d’où $(a-2)(c-2)>0$ . Comme c’est un entier, $(a-2)(c-2)\ge1$ , c’est-à-dire $2(c+a)\le ca+3$ .

Exercice 27 — Raisonnement au choix Moyen ★★★☆☆

Soient $a,b,c\in\N^*$ tels que $a^2b<c$ . Montrer que $a+b\le c$ .

Voir la solution

Comme $a\ge1$ : $a^2b\ge ab$ . Et $ab-(a+b-1)=(a-1)(b-1)\ge 0$ . Donc $c>a^2b\ge ab\ge a+b-1$ , soit $c>a+b-1$ ; les nombres étant entiers, $c\ge a+b$ .

Exercice 28 — Inégalités Difficile ★★★★☆

Soient $a$ , $b$ et $c$ les longueurs des côtés d’un triangle, avec $a+b+c=2$ . Montrer que $\dfrac43\le a^2+b^2+c^2<2$ .

Voir la solution

Minoration : $3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge0$ , donc $a^2+b^2+c^2\ge\frac43$ . Majoration : inégalité triangulaire stricte : $a<b+c$ , donc $a^2<a(b+c)$ ; de même $b^2<b(a+c)$ , $c^2<c(a+b)$ . En sommant, $S=a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2-S=4-S$ , donc $S<2$ .

Exercice 29 — Équivalence en géométrie Moyen ★★★☆☆

Soit $EFG$ un triangle isocèle en $F$ . Soient $M$ un point du segment $[FE]$ et $N$ un point du segment $[EG]$ tels que $(MN)\parallel(FG)$ . Soit $P$ un point du segment $[FG]$ . Montrer que $(NP)\parallel(EF)\iff EM=FP$ .

Voir la solution

Posons $t=\frac{EM}{EF}$ ( $0\le t\le 1$ ). Comme $(MN)\parallel(FG)$ , Thalès dans $EFG$ donne $\frac{EN}{EG}=t$ , donc $\frac{GN}{GE}=1-t$ . $(NP)\parallel(EF)$ $\iff$ (Thalès et sa réciproque dans le triangle $GEF$ , $N\in[GE]$ , $P\in[GF]$ ) $\frac{GP}{GF}=\frac{GN}{GE}=1-t$ $\iff FP=t\cdot FG$ $\iff FP=t\cdot FE$ (car $FG=FE$ ) $\iff FP=EM$ .

Exercice 30 — Inégalité d’olympiade Difficile ★★★★★

Soient $n\in\N^*$ et $x_1,x_2,\ldots,x_n\in\R_+$ . On admet l’inégalité : $\ \displaystyle\Big(\sum_{i=1}^{n}x_i\Big)^n\ge n^n\prod_{i=1}^{n}x_i$ .

En déduire que, pour tous $x,y,z,t\in\R_+$ : $\ (x+y+z+t)^4\ge 256\,xyzt$ .
En déduire que, pour tout $n\in\N^*$ : $\ \displaystyle\prod_{k=1}^{n}(2k-1)\le n^n$ .

Voir la solution

Avec $n=4$ et $(x_1;x_2;x_3;x_4)=(x;y;z;t)$ : $(x+y+z+t)^4\ge4^4xyzt=256\,xyzt$ .
Avec $x_k=2k-1\ge0$ : $\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2$ (exercice du cours), donc $(n^2)^n\ge n^n\prod_{k=1}^{n}(2k-1)$ , d’où $\prod_{k=1}^{n}(2k-1)\le\frac{n^{2n}}{n^n}=n^n$ .

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Ton prénom (facultatif)

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$P$	$Q$	$R$	$Q$ ou $R$	$L$	$P$ et $Q$	$P$ et $R$	$M$	$L\iff M$
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$P$	$Q$	$R$	$P\Rightarrow Q$	$Q\Rightarrow R$	$T$	$P\Rightarrow R$	$T\Rightarrow(P\Rightarrow R)$
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$P$	$Q$	$R$	$P\Rightarrow Q$	$P\Rightarrow R$	$L$	$Q\text{ et }R$	$M$
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