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Chapitre 4 — Fonctions numériques

Semestre 1

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Cours

Plan du chapitre. Introduction — 1. Ensemble de définition — 2. Fonctions paires, fonctions impaires — 3. Variations d’une fonction — 4. Fonctions majorées, minorées, bornées ; extremums — 5. Fonctions polynômes du second degré — 6. Fonctions homographiques — 7. Résolution graphique et algébrique d’équations et d’inéquations — 8. Fonctions x↦x+ax\mapsto\sqrt{x+a}, x↦ax3x\mapsto ax^3, f+cf+c, c fc\,f — 9. Image d’un intervalle — 10. Composée de deux fonctions — 11. Fonctions périodiques — 12. Fonction partie entière — Résumé.

Cadre. Ce chapitre prolonge le tronc commun ; il n’utilise ni dérivées ni limites : les variations s’étudient avec la définition ou le taux de variation, et les tableaux de variations ne portent aucune valeur aux bornes infinies. Les résultats du chapitre 03 (images, composition, bijection) sont réinvestis.

Introduction

Une fonction numérique ff associe à chaque réel xx de son ensemble de définition DfD_f un unique réel noté f(x)f(x), appelé image de xx ; on note f:x↦f(x)f:x\mapsto f(x). Tout réel xx tel que f(x)=bf(x)=b est un antécédent de bb : pour trouver les antécédents de bb, on résout l’équation f(x)=bf(x)=b. Une fonction numérique est donc une application de DfD_f vers R\R (chapitre 03).

I. Généralités sur les fonctions numériques

1. Ensemble de définition d’une fonction numérique

Définition 1 : Ensemble de définition

L’ensemble de définition (ou domaine) de ff, noté DfD_f, est l’ensemble des réels xx pour lesquels f(x)f(x) existe dans R\R.

Remarque

  • En pratique : tout dénominateur doit être non nul, toute expression sous une racine carrée doit être positive ou nulle.
  • On dit que ff est définie sur II lorsque I⊂DfI\subset D_f.

Propriété

Soient PP et QQ deux fonctions polynômes.

FonctionEnsemble de définition
ff polynômeDf=RD_f=\R
f(x)=P(x)Q(x)f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}Df={x∈R / Q(x)≠0}D_f=\{x\in\R\ /\ Q(x)\neq0\}
f(x)=P(x)f(x)=\sqrt{P(x)}Df={x∈R / P(x)≥0}D_f=\{x\in\R\ /\ P(x)\ge0\}
f(x)=P(x)Q(x)f(x)=\dfrac{P(x)}{\sqrt{Q(x)}}Df={x∈R / Q(x)>0}D_f=\{x\in\R\ /\ Q(x)>0\}

Exemple 1

Déterminer DfD_f dans chacun des cas suivants : f1(x)=x+3f_1(x)=\sqrt{x+3} ;  f2(x)=1x+3\ f_2(x)=\dfrac1{x+3} ;  f3(x)=1x+3\ f_3(x)=\dfrac1{\sqrt{x+3}} ;  f4(x)=x−4x2+x−6\ f_4(x)=\dfrac{x-4}{x^2+x-6} ;  f5(x)=x2+x−6\ f_5(x)=\sqrt{x^2+x-6} ;  f6(x)=x+3x−2\ f_6(x)=\dfrac{\sqrt{x+3}}{x-2} ;  f7(x)=x2+5\ f_7(x)=\sqrt{x^2+5} ;  f8(x)=2x+1x2+4\ f_8(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+4} ;  f9(x)=5−2x\ f_9(x)=\sqrt{5-2x} ;  f10(x)=x+1x−2\ f_{10}(x)=\sqrt{\dfrac{x+1}{x-2}}.

Voir la solution

Df1=[−3;+∞[D_{f_1}=[-3;+\infty[ ; Df2=R∖{−3}D_{f_2}=\R\setminus\{-3\} ; Df3= ]−3;+∞[D_{f_3}=\,]-3;+\infty[. Comme x2+x−6=(x+3)(x−2)x^2+x-6=(x+3)(x-2) : Df4=R∖{−3;2}D_{f_4}=\R\setminus\{-3;2\} et Df5= ]−∞;−3]∪[2;+∞[D_{f_5}=\,]{-\infty};-3]\cup[2;+\infty[ (le trinôme est positif à l’extérieur des racines). Df6={x / x≥−3 et x≠2}=[−3;2[ ∪ ]2;+∞[D_{f_6}=\{x\ /\ x\ge-3\text{ et }x\neq2\}=[-3;2[\,\cup\,]2;+\infty[. x2+5>0x^2+5>0 et x2+4>0x^2+4>0 : Df7=Df8=RD_{f_7}=D_{f_8}=\R. 5−2x≥0  ⟺  x≤525-2x\ge0\iff x\le\frac52 : Df9=]−∞;52]D_{f_9}=\left]{-\infty};\frac52\right]. Enfin x+1x−2≥0\frac{x+1}{x-2}\ge0 avec x≠2x\neq2 : tableau de signes, Df10= ]−∞;−1]∪ ]2;+∞[D_{f_{10}}=\,]{-\infty};-1]\cup\,]2;+\infty[.

Remarque — égalité de deux fonctions

Deux fonctions ff et gg sont égales (f=gf=g) si Df=DgD_f=D_g et f(x)=g(x)f(x)=g(x) pour tout x∈Dfx\in D_f. Par exemple x↦x2−1x−1x\mapsto\frac{x^2-1}{x-1} et x↦x+1x\mapsto x+1 ne sont pas égales (domaines R∖{1}\R\setminus\{1\} et R\R).

Remarque — courbe représentative

  • Dans un repère (O;ı⃗;ȷ⃗)(O;\vec\imath;\vec\jmath), la courbe (Cf)(C_f) est l’ensemble des points M(x;f(x))M(x;f(x)) avec x∈Dfx\in D_f :  M(x;y)∈(Cf)  ⟺  (x∈Df\ M(x;y)\in(C_f)\iff\big(x\in D_f et y=f(x))y=f(x)\big).
  • Les points d’intersection de (Cf)(C_f) avec l’axe des abscisses sont les points M(x;0)M(x;0) tels que f(x)=0f(x)=0 ; si 0∈Df0\in D_f, (Cf)(C_f) coupe l’axe des ordonnées en B(0;f(0))B(0;f(0)).

2. Fonctions paires et fonctions impaires

Définition 2 : Partie symétrique par rapport à 0

Une partie DD de R\R est symétrique par rapport à zéro si : (∀x∈D)  −x∈D(\forall x\in D)\ \ -x\in D.

Exemple 2

Parmi les parties suivantes, lesquelles sont symétriques par rapport à zéro ? [−3;3][-3;3] ; [−3;2][-3;2] ; [−4;−1]∪[1;4][-4;-1]\cup[1;4] ; ]1;5[]1;5[ ; R\R ; {−3;4;6;3;−6;−4;0}\{-3;4;6;3;-6;-4;0\} ; R∖{3}\R\setminus\{3\} ; R∖{−3;3}\R\setminus\{-3;3\} ; R∗\R^* ; [−4;−1]∪[1;3][-4;-1]\cup[1;3] ; ]−2;2[]-2;2[ ; ]−∞;0]]{-\infty};0] ; {−3;4;6;3;−6;0}\{-3;4;6;3;-6;0\}.

Voir la solution

Symétriques : [−3;3][-3;3], [−4;−1]∪[1;4][-4;-1]\cup[1;4], R\R, {−3;4;6;3;−6;−4;0}\{-3;4;6;3;-6;-4;0\}, R∖{−3;3}\R\setminus\{-3;3\}, R∗\R^*, ]−2;2[]-2;2[. Non symétriques (contre-exemple) : [−3;2][-3;2] (−3-3 y est, pas 33) ; ]1;5[]1;5[ (22 y est, pas −2-2) ; R∖{3}\R\setminus\{3\} (−3-3 y est, pas 33) ; [−4;−1]∪[1;3][-4;-1]\cup[1;3] (−4-4 y est, pas 44) ; ]−∞;0]]{-\infty};0] (−1-1 y est, pas 11) ; {−3;4;6;3;−6;0}\{-3;4;6;3;-6;0\} (44 y est, pas −4-4).

Définition 3 : Parité

Soit ff une fonction d’ensemble de définition DfD_f.

  1. ff est paire si DfD_f est symétrique par rapport à zéro et si (∀x∈Df) f(−x)=f(x)(\forall x\in D_f)\ f(-x)=f(x).
  2. ff est impaire si DfD_f est symétrique par rapport à zéro et si (∀x∈Df) f(−x)=−f(x)(\forall x\in D_f)\ f(-x)=-f(x).

Exemple 3

Étudier la parité de : f1(x)=3x2−2f_1(x)=3x^2-2 ;  f2(x)=x−2x\ f_2(x)=x-\dfrac2x ;  f3(x)=∣x∣−2\ f_3(x)=|x|-2 ;  f4(x)=x3−x+2\ f_4(x)=x^3-x+2 ;  f5(x)=x+1\ f_5(x)=\sqrt{x+1}.

Voir la solution
  • Df1=RD_{f_1}=\R symétrique et f1(−x)=3x2−2=f1(x)f_1(-x)=3x^2-2=f_1(x) : f1f_1 est paire.
  • Df2=R∗D_{f_2}=\R^* symétrique et f2(−x)=−x+2x=−f2(x)f_2(-x)=-x+\frac2x=-f_2(x) : f2f_2 est impaire.
  • Df3=RD_{f_3}=\R et ∣−x∣=∣x∣|-x|=|x| : f3f_3 est paire.
  • Df4=RD_{f_4}=\R ; f4(2)=8f_4(2)=8 et f4(−2)=−4f_4(-2)=-4 : f4(−2)≠f4(2)f_4(-2)\neq f_4(2) et f4(−2)≠−f4(2)f_4(-2)\neq-f_4(2), donc f4f_4 n’est ni paire ni impaire (remarque : x=1x=1 ne suffit pas, car f4(−1)=f4(1)=2f_4(-1)=f_4(1)=2).
  • Df5=[−1;+∞[D_{f_5}=[-1;+\infty[ n’est pas symétrique (2∈Df52\in D_{f_5}, −2∉Df5-2\notin D_{f_5}) : f5f_5 n’est ni paire ni impaire.

Remarque

  • cos⁡\cos est paire ; sin⁡\sin et tan⁡\tan sont impaires.
  • Dans un repère orthogonal, la courbe d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ; celle d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.

3. Variations d’une fonction numérique

Définition 4 : Sens de variation

Soient ff une fonction et II un intervalle inclus dans DfD_f. Pour tous x,y∈Ix,y\in I :

  • ff est croissante sur II si x<y⟹f(x)≤f(y)x<y\Longrightarrow f(x)\le f(y) ; strictement croissante si x<y⟹f(x)<f(y)x<y\Longrightarrow f(x)<f(y) ;
  • ff est décroissante sur II si x<y⟹f(x)≥f(y)x<y\Longrightarrow f(x)\ge f(y) ; strictement décroissante si x<y⟹f(x)>f(y)x<y\Longrightarrow f(x)>f(y) ;
  • ff est constante sur II si f(x)=f(y)f(x)=f(y).

Remarque

  • ff est monotone (resp. strictement monotone) sur II si elle est croissante ou décroissante (resp. strictement) sur II.
  • On résume les variations dans un tableau de variations : une flèche montante indique que ff est croissante, une flèche descendante qu’elle est décroissante.
Figure

Définition 5 : Taux de variation

Pour deux réels distincts xx et yy de DfD_f, le taux de variation de ff entre xx et yy est  T(x;y)=f(x)−f(y)x−y\ T(x;y)=\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}.

Propriété

Soit ff définie sur un intervalle II. Si, pour tous x≠yx\neq y de II : T(x;y)≥0T(x;y)\ge0 (resp. >0>0, ≤0\le0, <0<0, =0=0), alors ff est croissante (resp. strictement croissante, décroissante, strictement décroissante, constante) sur II.

Propriété — variations et parité

Soit ff une fonction dont le domaine est symétrique par rapport à 00, I⊂R+I\subset\R_+ un intervalle inclus dans DfD_f et J={−x / x∈I}J=\{-x\ /\ x\in I\} son symétrique.

  • Si ff est paire : ff croissante sur I  ⟺  fI\iff f décroissante sur JJ (et inversement).
  • Si ff est impaire : ff a le même sens de variation sur II et sur JJ.

Exemple 4

Soit f(x)=x+9xf(x)=x+\dfrac9x.

  1. Déterminer DfD_f.
  2. Vérifier que ff est impaire.
  3. Montrer que, pour tous x≠yx\neq y de DfD_f : f(x)−f(y)x−y=1−9xy\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}=1-\dfrac{9}{xy}.
  4. Étudier les variations de ff sur [3;+∞[[3;+\infty[ et sur ]0;3]]0;3].
  5. En déduire les variations de ff sur ]−∞;−3]]{-\infty};-3] et sur [−3;0[[-3;0[.
  6. Dresser le tableau de variations de ff.
Voir la solution
  1. Df=R∗D_f=\R^*.
  2. R∗\R^* est symétrique et f(−x)=−x−9x=−f(x)f(-x)=-x-\frac9x=-f(x) : ff est impaire.
  3. f(x)−f(y)=(x−y)+9 y−xxy=(x−y)(1−9xy)f(x)-f(y)=(x-y)+9\,\dfrac{y-x}{xy}=(x-y)\left(1-\dfrac9{xy}\right) ; on divise par x−y≠0x-y\neq0.
  4. Si x,y≥3x,y\ge3 distincts, xy>9xy>9, donc T>0T>0 : ff est strictement croissante sur [3;+∞[[3;+\infty[. Si x,y∈ ]0;3]x,y\in\,]0;3] distincts, 0<xy<90<xy<9, donc 9xy>1\frac9{xy}>1 et T<0T<0 : ff est strictement décroissante sur ]0;3]]0;3].
  5. ff étant impaire, elle est strictement croissante sur ]−∞;−3]]{-\infty};-3] et strictement décroissante sur [−3;0[[-3;0[.
  6. f(3)=6f(3)=6 et f(−3)=−6f(-3)=-6 :
Figure

Remarque

Pour une fonction paire ou impaire, il suffit d’étudier ses variations sur DE=Df∩R+D_E=D_f\cap\R_+, appelé domaine d’étude, puis de conclure par symétrie.

4. Fonctions majorées, minorées, bornées — Extremums

Activité 1

Soient f(x)=x+4xf(x)=x+\dfrac4x et g(x)=x2−4x+1g(x)=x^2-4x+1.

  1. a. Montrer que (∀x∈ ]−∞;0[)  f(x)≤−4(\forall x\in\,]{-\infty};0[)\ \ f(x)\le-4 (on dit que ff est majorée par −4-4 sur ]−∞;0[]{-\infty};0[). b. En déduire que ff est majorée par −3-3 sur ]−∞;0[]{-\infty};0[.
  2. a. Montrer que (∀x∈R) g(x)≥−3(\forall x\in\R)\ g(x)\ge-3, puis que (∀x∈R) g(x)≥−5(\forall x\in\R)\ g(x)\ge-5. b. Résoudre dans R\R les équations g(x)=−3g(x)=-3 et g(x)=−5g(x)=-5. c. En déduire que −3-3 est la valeur minimale de gg sur R\R.
Voir la solution
  1. a. Pour x<0x<0 : f(x)+4=x2+4x+4x=(x+2)2x≤0f(x)+4=\dfrac{x^2+4x+4}{x}=\dfrac{(x+2)^2}{x}\le0 (numérateur positif, dénominateur négatif). b. f(x)≤−4≤−3f(x)\le-4\le-3.
  2. a. g(x)=(x−2)2−3≥−3≥−5g(x)=(x-2)^2-3\ge-3\ge-5. b. g(x)=−3  ⟺  (x−2)2=0  ⟺  x=2g(x)=-3\iff(x-2)^2=0\iff x=2 ; g(x)=−5  ⟺  (x−2)2=−2g(x)=-5\iff(x-2)^2=-2 : pas de solution. c. g(x)≥−3g(x)\ge-3 pour tout xx et g(2)=−3g(2)=-3 : −3-3 est la valeur minimale de gg ; −5-5 est un minorant qui n’est pas atteint.

Définition 6 : Fonction majorée, minorée, bornée

Soit ff définie sur un intervalle II.

  • ff est majorée sur II s’il existe un réel MM tel que (∀x∈I) f(x)≤M(\forall x\in I)\ f(x)\le M ;
  • ff est minorée sur II s’il existe un réel mm tel que (∀x∈I) f(x)≥m(\forall x\in I)\ f(x)\ge m ;
  • ff est bornée sur II si elle est majorée et minorée sur II.

Exemple 5

Soient f(x)=2−3−xf(x)=2-\sqrt{3-x} et g(x)=x2+9g(x)=\sqrt{x^2+9}.

  1. Déterminer DfD_f et DgD_g.
  2. Montrer que ff est majorée par 22 sur DfD_f.
  3. Montrer que gg est minorée par 33 sur DgD_g.
Voir la solution
  1. Df= ]−∞;3]D_f=\,]{-\infty};3] ; Dg=RD_g=\R (car x2+9>0x^2+9>0).
  2. 3−x≥0\sqrt{3-x}\ge0, donc f(x)≤2f(x)\le2 pour tout x∈Dfx\in D_f.
  3. x2+9≥9x^2+9\ge9 et la racine carrée est croissante sur R+\R_+ : g(x)≥9=3g(x)\ge\sqrt9=3.

Remarque

  • ff est bornée sur I  ⟺  (∃m,M∈R)(∀x∈I) m≤f(x)≤M  ⟺  (∃K∈R+)(∀x∈I) ∣f(x)∣≤KI\iff(\exists m,M\in\R)(\forall x\in I)\ m\le f(x)\le M\iff(\exists K\in\R_+)(\forall x\in I)\ |f(x)|\le K.
  • Si ff est majorée par MM sur II, (Cf)(C_f) est au-dessous de la droite y=My=M sur II ; si ff est minorée par mm, (Cf)(C_f) est au-dessus de la droite y=my=m.
Figure

Définition 7 : Extremums

Soient ff définie sur un intervalle II et a∈Ia\in I.

  • f(a)f(a) est la valeur maximale (le maximum) de ff sur II si (∀x∈I) f(x)≤f(a)(\forall x\in I)\ f(x)\le f(a) ;
  • f(a)f(a) est la valeur minimale (le minimum) de ff sur II si (∀x∈I) f(x)≥f(a)(\forall x\in I)\ f(x)\ge f(a) ;
  • un extremum est un maximum ou un minimum.

Propriété

  • MM est le maximum de ff sur II   ⟺  \iff [(∀x∈I) f(x)≤M]\big[(\forall x\in I)\ f(x)\le M\big] et l’équation f(x)=Mf(x)=M a au moins une solution dans II.
  • mm est le minimum de ff sur II   ⟺  \iff [(∀x∈I) f(x)≥m]\big[(\forall x\in I)\ f(x)\ge m\big] et l’équation f(x)=mf(x)=m a au moins une solution dans II.

Remarque

  • Lecture d’un tableau de variations sur I=[a;b]I=[a;b] (à gauche : f(c)f(c) est le minimum ; à droite : f(c)f(c) est le maximum) :

Figure Figure

  • Un extremum sur tout DfD_f est dit global ; un extremum atteint en cc est local s’il ne l’est que pour les xx de DfD_f assez proches de cc.
  • ff est positive sur II (f≥0f\ge0) si (∀x∈I) f(x)≥0(\forall x\in I)\ f(x)\ge0 ; négative si (∀x∈I) f(x)≤0(\forall x\in I)\ f(x)\le0.

II. Fonctions usuelles et résolution graphique

1. Fonctions polynômes du second degré

Activité 2

Soit f(x)=−x2+4x−3f(x)=-x^2+4x-3.

  1. Déterminer DfD_f.
  2. Montrer que ff n’est ni paire ni impaire.
  3. Dresser le tableau de variations de ff ; en déduire un extremum et préciser sa valeur.
  4. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de (Cf)(C_f).
  5. Tracer (Cf)(C_f) dans un repère orthonormé.
Voir la solution
  1. Df=RD_f=\R (polynôme).
  2. f(1)=0f(1)=0 et f(−1)=−8f(-1)=-8 : f(−1)≠f(1)f(-1)\neq f(1) et f(−1)≠−f(1)f(-1)\neq-f(1).
  3. Pour x≠yx\neq y : T=−(x2−y2)+4(x−y)x−y=−(x+y)+4T=\dfrac{-(x^2-y^2)+4(x-y)}{x-y}=-(x+y)+4. Si x,y≤2x,y\le2 distincts, x+y<4x+y<4 et T>0T>0 ; si x,y≥2x,y\ge2 distincts, T<0T<0. Ainsi ff est strictement croissante sur ]−∞;2]]{-\infty};2] et strictement décroissante sur [2;+∞[[2;+\infty[ ; f(2)=1f(2)=1 est le maximum de ff sur R\R (en effet f(x)=1−(x−2)2≤1f(x)=1-(x-2)^2\le1).
Figure
  1. f(x)=−(x−2)2+1f(x)=-(x-2)^2+1 : (Cf)(C_f) est la parabole de sommet Ω(2;1)\Omega(2;1), d’axe de symétrie la droite x=2x=2, tournée vers le bas (a=−1<0a=-1<0). Elle coupe (Ox)(Ox) en (1;0)(1;0) et (3;0)(3;0), et (Oy)(Oy) en (0;−3)(0;-3).
  2. Voir la figure.
Figure

Propriété

Soient a,b,c∈Ra,b,c\in\R avec a≠0a\neq0, α=−b2a\alpha=-\dfrac b{2a} et β=f(α)\beta=f(\alpha). Dans un repère, la courbe de f:x↦ax2+bx+cf:x\mapsto ax^2+bx+c est une parabole de sommet Ω(α;β)\Omega(\alpha;\beta) et d’axe la droite x=αx=\alpha, car f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta.

  • Si a>0a>0 : ff est décroissante sur ]−∞;α]]{-\infty};\alpha], croissante sur [α;+∞[[\alpha;+\infty[ ; β\beta est le minimum de ff sur R\R.
  • Si a<0a<0 : ff est croissante sur ]−∞;α]]{-\infty};\alpha], décroissante sur [α;+∞[[\alpha;+\infty[ ; β\beta est le maximum de ff sur R\R.

Figure Figure Figure Figure

Remarque

(Cf)(C_f) est symétrique par rapport à la droite (Δ):x=α(\Delta):x=\alpha : il suffit de la tracer pour x∈[α;+∞[x\in[\alpha;+\infty[, puis de compléter par la symétrie d’axe (Δ)(\Delta).

2. Fonctions homographiques

Activité 3

Soit g(x)=3x−3x+1g(x)=\dfrac{3x-3}{x+1}.

  1. Déterminer DgD_g.
  2. Dresser le tableau de variations de gg.
  3. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de (Cg)(C_g).
  4. Tracer (Cg)(C_g) dans un repère orthonormé.
Voir la solution
  1. Dg=R∖{−1}D_g=\R\setminus\{-1\}.
  2. g(x)=3−6x+1g(x)=3-\dfrac{6}{x+1}. Pour x≠yx\neq y dans DgD_g : T=6(x+1)(y+1)T=\dfrac{6}{(x+1)(y+1)}. Si x,yx,y sont dans le même intervalle ]−∞;−1[]{-\infty};-1[ ou ]−1;+∞[]{-1};+\infty[, (x+1)(y+1)>0(x+1)(y+1)>0 et T>0T>0 : gg est strictement croissante sur chacun de ces intervalles.
Figure
  1. (Cg)(C_g) est l’hyperbole de centre Ω(−1;3)\Omega(-1;3), associée aux droites d’équations x=−1x=-1 et y=3y=3 ; Ω\Omega est un centre de symétrie de (Cg)(C_g). Elle passe par (1;0)(1;0) et (0;−3)(0;-3).
  2. Voir la figure.
Figure

Propriété

Soient a,b,c,d∈Ra,b,c,d\in\R avec c≠0c\neq0 et Δ=ad−bc≠0\Delta=ad-bc\neq0. La fonction f:x↦ax+bcx+df:x\mapsto\dfrac{ax+b}{cx+d} est dite homographique ; Df=R∖{−dc}D_f=\R\setminus\left\{-\frac dc\right\} et, pour x∈Dfx\in D_f, f(x)=ac−Δc2(x+dc)f(x)=\dfrac ac-\dfrac{\Delta}{c^2\left(x+\frac dc\right)}. Sa courbe est l’hyperbole de centre Ω(−dc;ac)\Omega\left(-\frac dc;\frac ac\right), associée aux droites d’équations x=−dcx=-\frac dc et y=acy=\frac ac.

  • Si Δ>0\Delta>0 : ff est strictement croissante sur ]−∞;−dc[\left]{-\infty};-\frac dc\right[ et sur ]−dc;+∞[\left]-\frac dc;+\infty\right[.
  • Si Δ<0\Delta<0 : ff est strictement décroissante sur chacun de ces intervalles.

Figure Figure Figure Figure

Remarque

(Cf)(C_f) est symétrique par rapport à son centre Ω(−dc;ac)\Omega\left(-\frac dc;\frac ac\right). Attention : ff n’est pas monotone sur DfD_f tout entier (ce n’est pas un intervalle).

3. Équations et inéquations : résolution graphique et algébrique

Activité 4

Les fonctions ff et gg définies sur R\R sont représentées ci-dessous.

  1. Résoudre graphiquement : f(x)=3f(x)=3 ; f(x)=0f(x)=0 ; f(x)=g(x)f(x)=g(x).
  2. Résoudre graphiquement : f(x)<3f(x)<3 ; g(x)≥2g(x)\ge2 ; f(x)>g(x)f(x)>g(x).
Figure
Voir la solution
  1. f(x)=3f(x)=3 : S={0;4}S=\{0;4\} ; f(x)=0f(x)=0 : S={1;3}S=\{1;3\} ; f(x)=g(x)f(x)=g(x) : S={1;4}S=\{1;4\} (abscisses des points communs).
  2. f(x)<3f(x)<3 : S= ]0;4[S=\,]0;4[ ; g(x)≥2g(x)\ge2 : S=[3;+∞[S=[3;+\infty[ ; f(x)>g(x)f(x)>g(x) : (Cf)(C_f) strictement au-dessus de (Cg)(C_g), S= ]−∞;1[ ∪ ]4;+∞[S=\,]{-\infty};1[\,\cup\,]4;+\infty[. (Ici f(x)=x2−4x+3f(x)=x^2-4x+3 et g(x)=x−1g(x)=x-1 : on peut contrôler par le calcul.)

Propriété

Soient ff, gg représentées par (Cf)(C_f), (Cg)(C_g) dans un même repère, et m∈Rm\in\R.

  • Les solutions de f(x)=mf(x)=m sont les abscisses des points d’intersection de (Cf)(C_f) et de la droite y=my=m.
  • Les solutions de f(x)≥mf(x)\ge m (resp. ≤m\le m) sont les abscisses des points de (Cf)(C_f) situés sur ou au-dessus (resp. au-dessous) de la droite y=my=m.
  • Les solutions de f(x)=g(x)f(x)=g(x) sont les abscisses des points d’intersection de (Cf)(C_f) et (Cg)(C_g).
  • Les solutions de f(x)≥g(x)f(x)\ge g(x) (resp. ≤\le) sont les x∈Df∩Dgx\in D_f\cap D_g pour lesquels (Cf)(C_f) est au-dessus (resp. au-dessous) de (Cg)(C_g), points d’intersection compris.

Exemple 6

  1. Avec la fonction f(x)=−x2+4x−3f(x)=-x^2+4x-3 de l’activité 2 : a. Résoudre graphiquement puis algébriquement f(x)=−3f(x)=-3 et f(x)=0f(x)=0. b. Résoudre graphiquement puis algébriquement f(x)≤−3f(x)\le-3 et f(x)>0f(x)>0.
  2. a. Représenter (Cf)(C_f) et (Cg)(C_g) dans un même repère, gg étant la fonction de l’activité 3. b. Résoudre graphiquement f(x)=g(x)f(x)=g(x) et f(x)≥g(x)f(x)\ge g(x).
  3. Montrer que (∀x∈R∖{−1})  f(x)−g(x)=−x(x−1)(x−2)x+1(\forall x\in\R\setminus\{-1\})\ \ f(x)-g(x)=\dfrac{-x(x-1)(x-2)}{x+1}.
  4. Résoudre algébriquement f(x)=g(x)f(x)=g(x) et f(x)≥g(x)f(x)\ge g(x).
Voir la solution
  1. a. Graphiquement (figure de l’activité 2), la droite y=−3y=-3 coupe (Cf)(C_f) aux abscisses 00 et 44. Algébriquement : −x2+4x−3=−3  ⟺  x(4−x)=0  ⟺  x∈{0;4}-x^2+4x-3=-3\iff x(4-x)=0\iff x\in\{0;4\}. De même f(x)=0  ⟺  −(x−1)(x−3)=0  ⟺  x∈{1;3}f(x)=0\iff-(x-1)(x-3)=0\iff x\in\{1;3\}. b. f(x)≤−3  ⟺  x(4−x)≤0  ⟺  x∈ ]−∞;0]∪[4;+∞[f(x)\le-3\iff x(4-x)\le0\iff x\in\,]{-\infty};0]\cup[4;+\infty[ ;  f(x)>0  ⟺  (x−1)(x−3)<0  ⟺  x∈ ]1;3[\ f(x)>0\iff(x-1)(x-3)<0\iff x\in\,]1;3[.
  2. a. Voir la figure. b. Les courbes se coupent aux points d’abscisses 00, 11 et 22 ; (Cf)(C_f) est au-dessus de (Cg)(C_g) pour x∈ ]−1;0]∪[1;2]x\in\,]{-1};0]\cup[1;2].
  3. f(x)−g(x)=(−x2+4x−3)(x+1)−(3x−3)x+1=−x3+3x2−2xx+1=−x(x−1)(x−2)x+1f(x)-g(x)=\dfrac{(-x^2+4x-3)(x+1)-(3x-3)}{x+1}=\dfrac{-x^3+3x^2-2x}{x+1}=\dfrac{-x(x-1)(x-2)}{x+1}.
  4. f(x)=g(x)  ⟺  x(x−1)(x−2)=0f(x)=g(x)\iff x(x-1)(x-2)=0 (avec x≠−1x\neq-1) : S={0;1;2}S=\{0;1;2\}. Tableau de signes de −x(x−1)(x−2)x+1\dfrac{-x(x-1)(x-2)}{x+1} (racines −1-1, 00, 11, 22) : f(x)≥g(x)  ⟺  x∈ ]−1;0]∪[1;2]f(x)\ge g(x)\iff x\in\,]{-1};0]\cup[1;2], conforme à la lecture graphique.
Figure

4. Fonctions x↦x+ax\mapsto\sqrt{x+a}, x↦ax3x\mapsto ax^3, x↦f(x)+cx\mapsto f(x)+c, x↦c f(x)x\mapsto c\,f(x)

Activité 5

Soient f(x)=x+4f(x)=\sqrt{x+4} et g(x)=3x3g(x)=3x^3.

  1. Déterminer DfD_f et DgD_g.
  2. a. Montrer que le taux de variation de ff entre deux réels distincts xx, yy de DfD_f est T1=1x+4+y+4T_1=\dfrac{1}{\sqrt{x+4}+\sqrt{y+4}}. b. En déduire que ff est strictement croissante sur DfD_f.
  3. a. Montrer que le taux de variation de gg entre x≠yx\neq y est T2=3[(x+y2)2+34y2]T_2=3\left[\left(x+\dfrac y2\right)^2+\dfrac34y^2\right]. b. En déduire que gg est strictement croissante sur R\R.
  4. Soient h(x)=f(x)−2h(x)=f(x)-2 et k(x)=−13g(x)k(x)=-\frac13g(x). a. Montrer que le taux de variation de hh est T3=T1T_3=T_1. b. Montrer que le taux de variation de kk est T4=−13T2T_4=-\frac13T_2. c. En déduire les variations de hh et kk.
Voir la solution
  1. Df=[−4;+∞[D_f=[-4;+\infty[, Dg=RD_g=\R.
  2. a. x+4−y+4x−y=(x+4)−(y+4)(x−y)(x+4+y+4)=T1\dfrac{\sqrt{x+4}-\sqrt{y+4}}{x-y}=\dfrac{(x+4)-(y+4)}{(x-y)(\sqrt{x+4}+\sqrt{y+4})}=T_1 (le dénominateur x+4+y+4\sqrt{x+4}+\sqrt{y+4} est non nul car x≠yx\neq y). b. T1>0T_1>0.
  3. a. 3x3−3y3x−y=3(x2+xy+y2)=3[(x+y2)2+34y2]\dfrac{3x^3-3y^3}{x-y}=3(x^2+xy+y^2)=3\left[\left(x+\frac y2\right)^2+\frac34y^2\right]. b. Ce nombre est >0>0 : il serait nul seulement si y=0y=0 et x=0x=0, ce qui contredit x≠yx\neq y.
  4. a. (f(x)−2)−(f(y)−2)x−y=T1\dfrac{(f(x)-2)-(f(y)-2)}{x-y}=T_1. b. −13g(x)+13g(y)x−y=−13T2\dfrac{-\frac13g(x)+\frac13g(y)}{x-y}=-\frac13T_2. c. hh est strictement croissante sur [−4;+∞[[-4;+\infty[ ; kk est strictement décroissante sur R\R.

Propriété

  1. Fonction x↦x+ax\mapsto\sqrt{x+a} (a∈Ra\in\R) : Df=[−a;+∞[D_f=[-a;+\infty[ et ff est strictement croissante sur DfD_f, de minimum f(−a)=0f(-a)=0. Sa courbe est l’image de celle de x↦xx\mapsto\sqrt x par la translation de vecteur −a ı⃗-a\,\vec\imath.
  2. Fonction x↦ax3x\mapsto ax^3 (a≠0a\neq0) : Df=RD_f=\R, ff est impaire ; elle est strictement croissante sur R\R si a>0a>0, strictement décroissante si a<0a<0.

Figure Figure

Figure Figure Figure Figure

Exemple 7

Soient f(x)=x+5f(x)=\sqrt{x+5} et g(x)=−2x3g(x)=-2x^3.

  1. Étudier les variations de ff et de gg.
  2. Construire (Cf)(C_f) et (Cg)(C_g) dans un repère orthonormé.
  3. Résoudre graphiquement l’inéquation x+5+2x3<0\sqrt{x+5}+2x^3<0 sur [−5;+∞[[-5;+\infty[.
Voir la solution
  1. ff est strictement croissante sur [−5;+∞[[-5;+\infty[ (cas a=5a=5) ; gg est strictement décroissante sur R\R (cas a=−2<0a=-2<0).
  2. Voir la figure : les courbes se coupent en A(−1;2)A(-1;2) (f(−1)=4=2f(-1)=\sqrt4=2 et g(−1)=2g(-1)=2).
  3. x+5+2x3<0  ⟺  f(x)<g(x)\sqrt{x+5}+2x^3<0\iff f(x)<g(x) : (Cf)(C_f) est strictement au-dessous de (Cg)(C_g) à gauche de AA. Comme ff croît et gg décroît, AA est le seul point commun, et S=[−5;−1[S=[-5;-1[.
Figure

Remarque — fonctions f+cf+c et c fc\,f

Soient ff une fonction et cc un réel.

  • h:x↦f(x)+ch:x\mapsto f(x)+c : Dh=DfD_h=D_f et hh a le même sens de variation que ff sur tout intervalle où ff est monotone ; (Ch)(C_h) est l’image de (Cf)(C_f) par la translation de vecteur c ȷ⃗c\,\vec\jmath.
  • k:x↦c f(x)k:x\mapsto c\,f(x) : Dk=DfD_k=D_f ; si c>0c>0, kk et ff ont le même sens de variation ; si c<0c<0, des sens contraires ; si c=0c=0, kk est nulle.

Exemple 8

À l’aide des tableaux de variations de f(x)=−x2+4x−3f(x)=-x^2+4x-3 et g(x)=3x−3x+1g(x)=\dfrac{3x-3}{x+1} (activités 2 et 3), dresser les tableaux de variations de h(x)=f(x)+2h(x)=f(x)+2 et k(x)=−6x+6x+1k(x)=\dfrac{-6x+6}{x+1}.

Voir la solution

h=f+2h=f+2 a les variations de ff, avec h(2)=3h(2)=3. Et k(x)=−2 g(x)k(x)=-2\,g(x) avec −2<0-2<0 : kk est strictement décroissante sur ]−∞;−1[]{-\infty};-1[ et sur ]−1;+∞[]{-1};+\infty[.

Figure Figure

III. Image d’un intervalle et composée de fonctions

1. Image d’un intervalle par une fonction

Définition 8 : Image d’un intervalle

Soit ff définie sur un intervalle II. L’image de II par ff est l’ensemble des valeurs prises par f(x)f(x) lorsque xx parcourt II :  f(I)={f(x) / x∈I}\ f(I)=\{f(x)\ /\ x\in I\} (image directe, chapitre 03).

Propriété (admise)

Pour les fonctions étudiées dans ce chapitre (polynômes, fonctions homographiques, fonctions racines et leurs composées), si ff admet sur un intervalle fermé borné II un minimum mm et un maximum MM, alors f(I)=[m;M]f(I)=[m;M]. En particulier, si ff est croissante sur [a;b][a;b], f([a;b])=[f(a);f(b)]f([a;b])=[f(a);f(b)] ; si elle est décroissante, f([a;b])=[f(b);f(a)]f([a;b])=[f(b);f(a)].

Exemple 9

La figure représente une fonction ff définie sur [−3;3][-3;3]. Déterminer f([−1;1])f([-1;1]), f([1;3])f([1;3]), f([−3;−1])f([-3;-1]) et f(]−1;2[)f(]{-1};2[).

Figure
Voir la solution

f([−1;1])=[−1;3]f([-1;1])=[-1;3] ;  f([1;3])=[−1;2]\ f([1;3])=[-1;2] ;  f([−3;−1])=[1;3]\ f([-3;-1])=[1;3] ;  f(]−1;2[)=[−1;3[\ f(]{-1};2[)=[-1;3[ (la valeur −1-1 est atteinte en 11, la valeur 33 n’est atteinte qu’en −1-1, exclu).

Remarque

  • On détermine f(I)f(I) à partir de la courbe, du tableau de variations ou par une méthode algébrique.
  • Méthode algébrique : f(I)=J  ⟺  [(∀x∈I) f(x)∈J]f(I)=J\iff\big[(\forall x\in I)\ f(x)\in J\big] et [\big[tout élément de JJ a au moins un antécédent dans I]I\big].

Exemple 10

  1. On reprend f(x)=−x2+4x−3f(x)=-x^2+4x-3 (activité 2). Déterminer par deux méthodes f(I)f(I) pour I=[0;1]I=[0;1], I=[−1;4]I=[-1;4], I=[3;+∞[I=[3;+\infty[ et I=RI=\R.
  2. Déterminer par deux méthodes l’image de I=[1;+∞[I=[1;+\infty[ par la fonction gg de l’activité 3.
Voir la solution
  1. Par le tableau. ff croît sur ]−∞;2]]{-\infty};2] et décroît sur [2;+∞[[2;+\infty[, f(0)=−3f(0)=-3, f(1)=0f(1)=0, f(−1)=−8f(-1)=-8, f(2)=1f(2)=1, f(3)=0f(3)=0, f(4)=−3f(4)=-3. Donc f([0;1])=[−3;0]f([0;1])=[-3;0] ; sur [−1;4][-1;4] le minimum est −8-8 et le maximum 11 : f([−1;4])=[−8;1]f([-1;4])=[-8;1] ; f([3;+∞[)= ]−∞;0]f([3;+\infty[)=\,]{-\infty};0] ; f(R)= ]−∞;1]f(\R)=\,]{-\infty};1]. Algébriquement. f(x)=y  ⟺  (x−2)2=1−yf(x)=y\iff(x-2)^2=1-y. Pour y≤1y\le1, les solutions sont 2±1−y2\pm\sqrt{1-y}. Par exemple pour I=[3;+∞[I=[3;+\infty[ : si x≥3x\ge3, (x−2)2≥1(x-2)^2\ge1 donc f(x)≤0f(x)\le0 ; réciproquement, pour y≤0y\le0, x=2+1−y≥3x=2+\sqrt{1-y}\ge3 convient. De même pour [0;1][0;1] : x∈[0;1]  ⟺  x−2∈[−2;−1]  ⟺  (x−2)2∈[1;4]x\in[0;1]\iff x-2\in[-2;-1]\iff(x-2)^2\in[1;4] (sur R−\R_- le carré est décroissant), d’où f(x)∈[−3;0]f(x)\in[-3;0], chaque valeur étant atteinte par x=2−1−yx=2-\sqrt{1-y}.
  2. Par le tableau : gg croît sur [1;+∞[[1;+\infty[, g(1)=0g(1)=0, et g(x)=3−6x+1<3g(x)=3-\frac6{x+1}<3 : g([1;+∞[)=[0;3[g([1;+\infty[)=[0;3[. Algébriquement : pour y≠3y\neq3, g(x)=y  ⟺  x=y+33−yg(x)=y\iff x=\dfrac{y+3}{3-y}, et y+33−y≥1  ⟺  2y3−y≥0  ⟺  0≤y<3\dfrac{y+3}{3-y}\ge1\iff\dfrac{2y}{3-y}\ge0\iff0\le y<3. Donc g([1;+∞[)=[0;3[g([1;+\infty[)=[0;3[.

Exemple 11

Une fonction ff définie sur [−2;3][-2;3], strictement monotone sur chaque intervalle du tableau, a le tableau de variations suivant :

Figure
  1. Déterminer les extremums de ff sur [−2;3][-2;3].
  2. Comparer f(12)f\left(\frac12\right) et f(1)f(1).
  3. Déterminer f([−2;0])f([-2;0]), f([−2;2])f([-2;2]) et f([0;3])f([0;3]).
  4. Prolonger la restriction de ff à [0;3][0;3] en une fonction paire hh sur [−3;3][-3;3] et dresser le tableau de variations de hh.
Voir la solution
  1. Maximum 33 (atteint en 22), minimum −4-4 (atteint en 00).
  2. 0<12<1≤20<\frac12<1\le2 et ff est strictement croissante sur [0;2][0;2] : f(12)<f(1)f\left(\frac12\right)<f(1).
  3. f([−2;0])=[−4;1]f([-2;0])=[-4;1] ; f([−2;2])=[−4;3]f([-2;2])=[-4;3] ; f([0;3])=[−4;3]f([0;3])=[-4;3].
  4. On pose h(x)=f(x)h(x)=f(x) pour x∈[0;3]x\in[0;3] et h(x)=f(−x)h(x)=f(-x) pour x∈[−3;0[x\in[-3;0[ : hh est paire et prolonge f∣[0;3]f_{|[0;3]}. Par symétrie :
Figure

2. Composée de deux fonctions

Définition 9 : Composée

Soient ff définie sur II et gg définie sur JJ, avec f(I)⊂Jf(I)\subset J. La composée de ff suivie de gg est la fonction g∘fg\circ f définie sur II par (g∘f)(x)=g(f(x))(g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big).

Remarque

  • Dg∘f={x∈R / x∈Df et f(x)∈Dg}D_{g\circ f}=\{x\in\R\ /\ x\in D_f\text{ et }f(x)\in D_g\} ;  Df∘g={x∈R / x∈Dg et g(x)∈Df}\ D_{f\circ g}=\{x\in\R\ /\ x\in D_g\text{ et }g(x)\in D_f\}.
  • En général g∘f≠f∘gg\circ f\neq f\circ g.

Exemple 12

Soient f(x)=x2−3f(x)=x^2-3, g(x)=3x+2g(x)=3x+2, h(x)=(3x+2)2−3h(x)=(3x+2)^2-3 et k(x)=cos⁡(3x−1)k(x)=\cos(3x-1).

  1. Déterminer (g∘f)(x)(g\circ f)(x) et (f∘g)(x)(f\circ g)(x) pour tout x∈Rx\in\R.
  2. Écrire hh comme la composée de deux fonctions.
  3. Écrire kk comme la composée de deux fonctions.
Voir la solution
  1. (g∘f)(x)=3(x2−3)+2=3x2−7(g\circ f)(x)=3(x^2-3)+2=3x^2-7 ; (f∘g)(x)=(3x+2)2−3=9x2+12x+1(f\circ g)(x)=(3x+2)^2-3=9x^2+12x+1.
  2. h=f∘gh=f\circ g.
  3. k=cos⁡∘uk=\cos\circ u avec u(x)=3x−1u(x)=3x-1.

Exemple 13

Soient f(x)=1xf(x)=\dfrac1x et g(x)=x+22x−1g(x)=\dfrac{x+2}{2x-1}.

  1. Déterminer DfD_f, DgD_g et Dg∘fD_{g\circ f}.
  2. Donner l’expression de g∘fg\circ f.
Voir la solution
  1. Df=R∗D_f=\R^*, Dg=R∖{12}D_g=\R\setminus\left\{\frac12\right\}. x∈Dg∘f  ⟺  x≠0x\in D_{g\circ f}\iff x\neq0 et 1x≠12  ⟺  x∉{0;2}\frac1x\neq\frac12\iff x\notin\{0;2\} : Dg∘f=R∖{0;2}D_{g\circ f}=\R\setminus\{0;2\}.
  2. Pour x∈Dg∘fx\in D_{g\circ f} : (g∘f)(x)=1x+22x−1=1+2x2−x(g\circ f)(x)=\dfrac{\frac1x+2}{\frac2x-1}=\dfrac{1+2x}{2-x}.

Propriété — variations d’une composée

Soient ff monotone sur un intervalle II et gg monotone sur un intervalle JJ contenant f(I)f(I).

  • Si ff et gg ont le même sens de variation (sur II et JJ), g∘fg\circ f est croissante sur II.
  • Si elles ont des sens contraires, g∘fg\circ f est décroissante sur II.
Voir la solution

Preuve (cas ff croissante, gg décroissante). Soient x<yx<y dans II : f(x)≤f(y)f(x)\le f(y), ces deux réels sont dans JJ et gg y est décroissante, donc g(f(x))≥g(f(y))g(f(x))\ge g(f(y)). Les autres cas sont analogues.

Exemple 14

Soient f(x)=−x2+4x−3f(x)=-x^2+4x-3 et g(x)=3x−3x+1g(x)=\dfrac{3x-3}{x+1}.

  1. Déterminer (g∘f)(x)(g\circ f)(x) pour tout x∈Dg∘fx\in D_{g\circ f}.
  2. À l’aide des tableaux de variations de ff et gg, déterminer les variations de g∘fg\circ f sur I=[2;3]I=[2;3].
Voir la solution
  1. x∈Dg∘f  ⟺  f(x)≠−1  ⟺  x2−4x+2≠0  ⟺  x∉{2−2;2+2}x\in D_{g\circ f}\iff f(x)\neq-1\iff x^2-4x+2\neq0\iff x\notin\{2-\sqrt2;2+\sqrt2\}. Alors (g∘f)(x)=3f(x)−3f(x)+1=−3(x−2)2−x2+4x−2=3(x−2)2x2−4x+2(g\circ f)(x)=\dfrac{3f(x)-3}{f(x)+1}=\dfrac{-3(x-2)^2}{-x^2+4x-2}=\dfrac{3(x-2)^2}{x^2-4x+2}.
  2. I=[2;3]⊂Dg∘fI=[2;3]\subset D_{g\circ f} (car 2+2>32+\sqrt2>3). ff est décroissante sur [2;3][2;3] et f([2;3])=[f(3);f(2)]=[0;1]⊂ ]−1;+∞[f([2;3])=[f(3);f(2)]=[0;1]\subset\,]{-1};+\infty[, intervalle où gg est croissante. Les sens sont contraires : g∘fg\circ f est décroissante sur [2;3][2;3].

Exemple 15

Soient f(x)=x2+2x−2f(x)=x^2+2x-2 et g(x)=x−1x+3g(x)=\dfrac{x-1}{x+3}.

  1. Donner DfD_f, DgD_g et Dg∘fD_{g\circ f}.
  2. Déterminer (g∘f)(x)(g\circ f)(x) pour tout x∈Dg∘fx\in D_{g\circ f}.
  3. Dresser les tableaux de variations de ff et de gg.
  4. Déterminer f(]−∞;−1])f(]{-\infty};-1]) et f([−1;+∞[)f([-1;+\infty[).
  5. Étudier les variations de g∘fg\circ f sur ]−∞;−1[]{-\infty};-1[ et sur ]−1;+∞[]{-1};+\infty[.
Voir la solution
  1. Df=RD_f=\R, Dg=R∖{−3}D_g=\R\setminus\{-3\}. f(x)=−3  ⟺  (x+1)2=0  ⟺  x=−1f(x)=-3\iff(x+1)^2=0\iff x=-1, donc Dg∘f=R∖{−1}D_{g\circ f}=\R\setminus\{-1\}.
  2. (g∘f)(x)=x2+2x−3x2+2x+1=(x+3)(x−1)(x+1)2(g\circ f)(x)=\dfrac{x^2+2x-3}{x^2+2x+1}=\dfrac{(x+3)(x-1)}{(x+1)^2}.
  3. f(x)=(x+1)2−3f(x)=(x+1)^2-3 : décroissante sur ]−∞;−1]]{-\infty};-1], croissante sur [−1;+∞[[-1;+\infty[, minimum −3-3. g(x)=1−4x+3g(x)=1-\dfrac4{x+3} (Δ=1×3−(−1)×1=4>0\Delta=1\times3-(-1)\times1=4>0) : croissante sur ]−∞;−3[]{-\infty};-3[ et sur ]−3;+∞[]-3;+\infty[.

Figure Figure

  1. Pour y≥−3y\ge-3, f(x)=y  ⟺  x=−1±y+3f(x)=y\iff x=-1\pm\sqrt{y+3}, et −1−y+3≤−1≤−1+y+3-1-\sqrt{y+3}\le-1\le-1+\sqrt{y+3} : f(]−∞;−1])=f([−1;+∞[)=[−3;+∞[f(]{-\infty};-1])=f([-1;+\infty[)=[-3;+\infty[.
  2. Sur ]−∞;−1[]{-\infty};-1[ : ff est décroissante et f(]−∞;−1[)= ]−3;+∞[f(]{-\infty};-1[)=\,]-3;+\infty[, où gg est croissante ; donc g∘fg\circ f est décroissante. Sur ]−1;+∞[]{-1};+\infty[ : ff croissante, f(]−1;+∞[)= ]−3;+∞[f(]{-1};+\infty[)=\,]-3;+\infty[, gg croissante : g∘fg\circ f est croissante.

IV. Fonctions périodiques et fonction partie entière

1. Fonctions périodiques

Activité 6

La figure représente une fonction ff définie sur R\R.

  1. Vérifier que f(−2)=f(1)f(-2)=f(1), f(0)=f(3)f(0)=f(3) et f(1)=f(4)f(1)=f(4).
  2. Pour x∈Rx\in\R, quelle relation semble lier f(x+3)f(x+3) et f(x)f(x) ?
Figure
Voir la solution
  1. Par lecture : f(−2)=f(1)=2f(-2)=f(1)=2, f(0)=f(3)=−1f(0)=f(3)=-1, f(1)=f(4)=2f(1)=f(4)=2.
  2. La courbe se reproduit identique tous les 33 unités : f(x+3)=f(x)f(x+3)=f(x) pour tout xx.

Définition 10 : Fonction périodique

Soient ff définie sur DD et T>0T>0. ff est périodique de période TT (ou TT-périodique) si :

  • pour tout x∈Dx\in D : x+T∈Dx+T\in D et x−T∈Dx-T\in D ;
  • pour tout x∈Dx\in D : f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x).

Exemple 16 — fonctions trigonométriques

Montrer que cos⁡\cos et sin⁡\sin sont 2π2\pi-périodiques, et que tan⁡\tan est π\pi-périodique sur D=R∖{π2+kπ / k∈Z}D=\R\setminus\left\{\frac\pi2+k\pi\ /\ k\in\Z\right\}.

Voir la solution
  • cos⁡\cos et sin⁡\sin sont 2π2\pi-périodiques : pour tout x∈Rx\in\R, x±2π∈Rx\pm2\pi\in\R, cos⁡(x+2π)=cos⁡x\cos(x+2\pi)=\cos x et sin⁡(x+2π)=sin⁡x\sin(x+2\pi)=\sin x.
  • tan⁡\tan est π\pi-périodique : pour x∈D=R∖{π2+kπ / k∈Z}x\in D=\R\setminus\left\{\frac\pi2+k\pi\ /\ k\in\Z\right\}, x±π∈Dx\pm\pi\in D et tan⁡(x+π)=tan⁡x\tan(x+\pi)=\tan x.

Exemple 17

Montrer que f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin^2x et g(x)=cos⁡(πx2)g(x)=\cos\left(\dfrac{\pi x}{2}\right), définies sur R\R, sont périodiques de périodes respectives π\pi et 44.

Voir la solution

D=RD=\R convient. f(x+π)=(sin⁡(x+π))2=(−sin⁡x)2=sin⁡2xf(x+\pi)=\big(\sin(x+\pi)\big)^2=(-\sin x)^2=\sin^2x.  g(x+4)=cos⁡(πx2+2π)=cos⁡(πx2)=g(x)\ g(x+4)=\cos\left(\frac{\pi x}2+2\pi\right)=\cos\left(\frac{\pi x}2\right)=g(x).

Remarque

Si ff est TT-périodique : pour tout entier k≥1k\ge1, kTkT est aussi une période ; (Cf)(C_f) est invariante par toute translation de vecteur kT ı⃗kT\,\vec\imath (k∈Zk\in\Z). Il suffit donc d’étudier ff sur un intervalle de longueur TT, souvent [0;T][0;T] ou [−T2;T2]\left[-\frac T2;\frac T2\right].

2. Fonction partie entière

Définition 11 : Partie entière

Pour x∈Rx\in\R, la partie entière de xx, notée E(x)E(x) (ou [x][x]), est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à xx : E(x)≤x<E(x)+1etE(x)=m  ⟺  {m∈Zm≤x<m+1.E(x)\le x<E(x)+1\qquad\text{et}\qquad E(x)=m\iff\begin{cases}m\in\Z\\m\le x<m+1.\end{cases}

Exemple 18

Calculer E(3)E(\sqrt3), E(−π)E(-\pi), E(7,2)E(7{,}2), E(−7,2)E(-7{,}2) et E(−4)E(-4).

Voir la solution

1≤3<21\le\sqrt3<2 : E(3)=1E(\sqrt3)=1. −4≤−π<−3-4\le-\pi<-3 : E(−π)=−4E(-\pi)=-4. E(7,2)=7E(7{,}2)=7. −8≤−7,2<−7-8\le-7{,}2<-7 : E(−7,2)=−8E(-7{,}2)=-8 (et non −7-7). E(−4)=−4E(-4)=-4.

Exemple 19

  1. Montrer que (∀x∈R)  x−1<E(x)≤x(\forall x\in\R)\ \ x-1<E(x)\le x.
  2. Montrer que (∀x∈R)(∀n∈Z)  E(x+n)=E(x)+n(\forall x\in\R)(\forall n\in\Z)\ \ E(x+n)=E(x)+n.
  3. Montrer que (∀x∈R)(∃r∈[0;1[)  x=E(x)+r(\forall x\in\R)(\exists r\in[0;1[)\ \ x=E(x)+r.
  4. Tracer la courbe de x↦E(x)x\mapsto E(x) sur [−3;3[[-3;3[.
Voir la solution
  1. De E(x)≤x<E(x)+1E(x)\le x<E(x)+1 on tire E(x)≤xE(x)\le x et x−1<E(x)x-1<E(x).
  2. E(x)+n∈ZE(x)+n\in\Z et E(x)+n≤x+n<E(x)+n+1E(x)+n\le x+n<E(x)+n+1 ; par caractérisation, E(x+n)=E(x)+nE(x+n)=E(x)+n.
  3. r=x−E(x)r=x-E(x) vérifie 0≤r<10\le r<1 et x=E(x)+rx=E(x)+r.
  4. Sur chaque [k;k+1[[k;k+1[, E(x)=kE(x)=k : la courbe est un « escalier » (point plein à gauche, creux à droite).
Figure

Propriété

  • (∀x∈Z) E(x)=x(\forall x\in\Z)\ E(x)=x ;  (∀x∈R) x−1<E(x)≤x\ (\forall x\in\R)\ x-1<E(x)\le x ;  (∀x∈R)(∀n∈Z) E(x+n)=E(x)+n\ (\forall x\in\R)(\forall n\in\Z)\ E(x+n)=E(x)+n.
  • (∀x∈R)(∀k∈Z)  x∈[k;k+1[  ⟺  E(x)=k(\forall x\in\R)(\forall k\in\Z)\ \ x\in[k;k+1[\iff E(x)=k ; la fonction EE est constante sur chaque intervalle [k;k+1[[k;k+1[, k∈Zk\in\Z.

Exemple 20

Résoudre dans R\R l’équation E(x+23)=x−12E\left(\dfrac{x+2}{3}\right)=\dfrac{x-1}{2}.

Voir la solution

Si xx est solution, k=x−12k=\frac{x-1}2 est un entier et x=2k+1x=2k+1. L’équation devient E(2k+33)=kE\left(\frac{2k+3}{3}\right)=k, soit k≤2k+33<k+1  ⟺  3k≤2k+3<3k+3  ⟺  0<k≤3k\le\frac{2k+3}3<k+1\iff3k\le2k+3<3k+3\iff0<k\le3. Donc k∈{1;2;3}k\in\{1;2;3\} et, réciproquement, ces valeurs conviennent : S={3;5;7}S=\{3;5;7\}. (Contrôle : E(73)=2=5−12E\left(\frac73\right)=2=\frac{5-1}2.)

Résumé : fonctions numériques

NotionÀ retenir
Domainedénominateurs ≠0\neq0, radicandes ≥0\ge0
ParitéDfD_f symétrique ; paire : f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) ; impaire : f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)
VariationsT(x;y)=f(x)−f(y)x−yT(x;y)=\frac{f(x)-f(y)}{x-y} : signe de TT ⇒\Rightarrow sens de variation
Majorée / minoréef≤Mf\le M / f≥mf\ge m sur II ; extremum : borne atteinte
ax2+bx+cax^2+bx+cparabole de sommet (−b2a;f(−b2a))\left(-\frac b{2a};f\left(-\frac b{2a}\right)\right)
ax+bcx+d\frac{ax+b}{cx+d}hyperbole de centre (−dc;ac)\left(-\frac dc;\frac ac\right), sens donné par le signe de ad−bcad-bc
x+a\sqrt{x+a} ; ax3ax^3croissante sur [−a;+∞[[-a;+\infty[ ; impaire, sens de variation = signe de aa
f+cf+c ; c fc\,fmêmes variations ; variations identiques (c>0c>0) ou contraires (c<0c<0)
Résolution graphiquef(x)=mf(x)=m : intersections avec y=my=m ; f(x)≥g(x)f(x)\ge g(x) : (Cf)(C_f) au-dessus de (Cg)(C_g)
ComposéeDg∘f={x∈Df / f(x)∈Dg}D_{g\circ f}=\{x\in D_f\ /\ f(x)\in D_g\} ; même sens ⇒\Rightarrow croissante
Périodiquef(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x) et x±T∈Dx\pm T\in D
Partie entièreE(x)=m  ⟺  m∈ZE(x)=m\iff m\in\Z et m≤x<m+1m\le x<m+1

Série d’exercices

Remarque — méthodes utilisées

  • Variations : on calcule le taux de variation T(x;y)=f(x)−f(y)x−yT(x;y)=\frac{f(x)-f(y)}{x-y} pour x≠yx\neq y dans l’intervalle et on étudie son signe ; ou bien on écrit ff comme composée de fonctions de référence.
  • Extremum : MM est le maximum de ff sur II si f(x)≤Mf(x)\le M pour tout x∈Ix\in I et MM est atteint ; un majorant non atteint n’est pas un maximum.
  • Image d’un intervalle : lecture du tableau de variations (propriété admise du cours), confirmée si besoin par la résolution de f(x)=yf(x)=y.
  • Tous les calculs ont été contrôlés avec sympy (développements, factorisations, solutions d’équations, signes).

Consignes. Le plan est muni d’un repère orthonormé (O;ı⃗;ȷ⃗)(O;\vec\imath;\vec\jmath). Les variations s’étudient à l’aide de la définition ou du taux de variation (ni dérivées, ni limites) ; les tableaux de variations ne portent pas de valeurs aux bornes infinies. EE désigne la fonction partie entière. Toute réponse doit être justifiée ; le symbole   ⟺  \iff n’est employé que si chaque étape est réversible. Difficulté : de ★\bigstar à ★★★★★\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar.

Exercice 1 — Ensemble de définition Facile ★☆☆☆☆

Déterminer l’ensemble de définition de la fonction ff dans chacun des cas suivants :

a. f(x)=3−xf(x)=\sqrt{3-x} ; b. f(x)=1∣x2−2∣−7f(x)=\dfrac{1}{|x^2-2|-7} ; c. f(x)=12−∣x+1∣f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2-|x+1|}} ; d. f(x)=x2−4+19−x2f(x)=\sqrt{x^2-4}+\dfrac{1}{\sqrt{9-x^2}}.

Voir la solution

a. f(x)f(x) existe   ⟺  3−x≥0  ⟺  x≤3\iff3-x\ge0\iff x\le3 : Df= ]−∞;3]D_f=\,]{-\infty};3].

b. f(x)f(x) existe   ⟺  ∣x2−2∣≠7\iff|x^2-2|\neq7. Or ∣x2−2∣=7  ⟺  x2−2=7|x^2-2|=7\iff x^2-2=7 ou x2−2=−7  ⟺  x2=9x^2-2=-7\iff x^2=9 ou x2=−5x^2=-5 ; la seconde est impossible. Donc Df=R∖{−3;3}D_f=\R\setminus\{-3;3\}.

c. f(x)f(x) existe   ⟺  2−∣x+1∣>0  ⟺  ∣x+1∣<2  ⟺  −2<x+1<2  ⟺  −3<x<1\iff2-|x+1|>0\iff|x+1|<2\iff-2<x+1<2\iff-3<x<1 : Df= ]−3;1[D_f=\,]-3;1[.

d. f(x)f(x) existe   ⟺  x2−4≥0\iff x^2-4\ge0 et 9−x2>0  ⟺  ∣x∣≥29-x^2>0\iff|x|\ge2 et ∣x∣<3|x|<3 : Df= ]−3;−2]∪[2;3[D_f=\,]-3;-2]\cup[2;3[.

Exercice 2 — Lecture graphique Facile ★☆☆☆☆

La courbe ci-dessous représente une fonction ff.

Figure
  1. Déterminer l’ensemble de définition DfD_f.
  2. Déterminer graphiquement les extremums de ff sur DfD_f et préciser où ils sont atteints.
  3. Déterminer graphiquement f([−2;1])f([-2;1]), f([−2;3])f([-2;3]), f([1;5])f([1;5]) et f([3;5])f([3;5]).
  4. Dresser le tableau de variations de ff.
Voir la solution

1) La courbe est tracée pour xx allant de −2-2 à 55 : Df=[−2;5]D_f=[-2;5].

2) Le point le plus haut est (1;4)(1;4) et le plus bas (3;−2)(3;-2) : le maximum de ff est 44, atteint en 11 ; le minimum est −2-2, atteint en 33.

3) f([−2;1])=[1;4]f([-2;1])=[1;4] ;  f([−2;3])=[−2;4]\ f([-2;3])=[-2;4] ;  f([1;5])=[−2;4]\ f([1;5])=[-2;4] ;  f([3;5])=[−2;2]\ f([3;5])=[-2;2].

4)

Figure

Exercice 3 — Tableau de variations, parité Facile ★★☆☆☆

Une fonction ff définie sur [−2;3][-2;3], strictement monotone sur chacun des intervalles [−2;0][-2;0], [0;2][0;2] et [2;3][2;3], a pour tableau de variations :

Figure
  1. Déterminer les extremums de ff sur [−2;3][-2;3].
  2. Comparer f(1)f(1) et f(32)f\left(\frac32\right).
  3. Déterminer f([2;3])f([2;3]), f([0;2])f([0;2]) et f([−2;3])f([-2;3]).
  4. On note hh la fonction paire définie sur [−3;3][-3;3] qui coïncide avec ff sur [0;3][0;3]. Dresser le tableau de variations de hh.
Voir la solution

1) D’après le tableau, −1≤f(x)≤4-1\le f(x)\le4 pour tout x∈[−2;3]x\in[-2;3], avec f(0)=4f(0)=4 et f(−2)=f(2)=−1f(-2)=f(2)=-1 : le maximum est 44 (en 00) et le minimum est −1-1 (en −2-2 et en 22).

2) 11 et 32\frac32 appartiennent à [0;2][0;2], où ff est strictement décroissante, et 1<321<\frac32 : donc f(1)>f(32)f(1)>f\left(\frac32\right).

3) ff est croissante sur [2;3][2;3] : f([2;3])=[f(2);f(3)]=[−1;2]f([2;3])=[f(2);f(3)]=[-1;2]. ff est décroissante sur [0;2][0;2] : f([0;2])=[−1;4]f([0;2])=[-1;4]. Enfin f([−2;3])=[−1;4]f([-2;3])=[-1;4] d’après la question 1.

4) Pour x∈[−3;0[x\in[-3;0[, h(x)=f(−x)h(x)=f(-x). Une fonction paire a des sens de variation contraires sur deux intervalles symétriques : ff est croissante sur [2;3][2;3], donc hh est décroissante sur [−3;−2][-3;-2] ; ff est décroissante sur [0;2][0;2], donc hh est croissante sur [−2;0][-2;0] ; enfin h=fh=f sur [0;3][0;3]. Avec h(−3)=f(3)=2h(-3)=f(3)=2 et h(−2)=f(2)=−1h(-2)=f(2)=-1 :

Figure

Exercice 4 — Bornes, extremums, variations Facile ★★☆☆☆

Soit ff la fonction définie sur R\R par f(x)=x2−2x2+1f(x)=\dfrac{x^2-2}{x^2+1}.

  1. Vérifier que (∀x∈R)  f(x)=1−3x2+1(\forall x\in\R)\ \ f(x)=1-\dfrac{3}{x^2+1}.
  2. Montrer que ff est majorée par 11 sur R\R. Le réel 11 est-il le maximum de ff ?
  3. Montrer que ff est minorée par −2-2 sur R\R, et que −2-2 est le minimum de ff.
  4. Montrer que, pour tous réels distincts xx et yy : f(x)−f(y)x−y=3(x+y)(x2+1)(y2+1)\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}=\dfrac{3(x+y)}{(x^2+1)(y^2+1)}.
  5. En déduire les variations de ff sur R+\R_+ puis sur R−\R_-, et dresser son tableau de variations.
Voir la solution

1) 1−3x2+1=x2+1−3x2+1=f(x)1-\dfrac3{x^2+1}=\dfrac{x^2+1-3}{x^2+1}=f(x) (et x2+1>0x^2+1>0, donc Df=RD_f=\R).

2) 3x2+1>0\dfrac3{x^2+1}>0, donc f(x)<1f(x)<1 pour tout xx : ff est majorée par 11. L’équation f(x)=1f(x)=1 équivaut à 3x2+1=0\frac3{x^2+1}=0, impossible : 11 n’est pas atteint, ce n’est pas le maximum de ff.

3) x2+1≥1x^2+1\ge1, donc 0<3x2+1≤30<\dfrac3{x^2+1}\le3 et f(x)≥1−3=−2f(x)\ge1-3=-2. De plus f(0)=−2f(0)=-2 : −2-2 est le minimum de ff sur R\R.

4) f(x)−f(y)=3y2+1−3x2+1=3(x2−y2)(x2+1)(y2+1)=3(x−y)(x+y)(x2+1)(y2+1)f(x)-f(y)=\dfrac3{y^2+1}-\dfrac3{x^2+1}=\dfrac{3(x^2-y^2)}{(x^2+1)(y^2+1)}=\dfrac{3(x-y)(x+y)}{(x^2+1)(y^2+1)} ; on divise par x−y≠0x-y\neq0.

5) Si x,y∈R+x,y\in\R_+ sont distincts, x+y>0x+y>0 et T>0T>0 : ff est strictement croissante sur R+\R_+. Si x,y∈R−x,y\in\R_- sont distincts, x+y<0x+y<0 et T<0T<0 : ff est strictement décroissante sur R−\R_- (ce qui est cohérent avec la parité de ff).

Figure

Exercice 5 — Étude et composition Moyen ★★★☆☆

Soient f(x)=x+3f(x)=\sqrt{x+3} et g(x)=x2−4xg(x)=x^2-4x.

  1. Déterminer DfD_f et DgD_g.
  2. Dresser les tableaux de variations de ff et de gg.
  3. Montrer que gg admet un minimum global que l’on précisera.
  4. Déterminer les points d’intersection de (Cf)(C_f) avec les axes du repère.
  5. Déterminer les points d’intersection de (Cg)(C_g) avec les axes du repère.
  6. Soit φ(x)=x2−4∣x∣\varphi(x)=x^2-4|x|. Montrer que φ\varphi est paire et que φ(x)=g(x)\varphi(x)=g(x) pour x≥0x\ge0 ; tracer (Cf)(C_f), (Cg)(C_g) et (Cφ)(C_\varphi) dans le même repère.
  7. Résoudre graphiquement l’inéquation g(x)≥0g(x)\ge0.
  8. Discuter graphiquement, suivant les valeurs du réel mm, le nombre de solutions de l’équation g(x)=mg(x)=m.
  9. Soit h=g∘fh=g\circ f. Déterminer DhD_h et h(x)h(x), puis étudier les variations de hh sur [−3;1][-3;1] et sur [1;+∞[[1;+\infty[.
Voir la solution

1) Df=[−3;+∞[D_f=[-3;+\infty[ ; Dg=RD_g=\R.

2) ff est strictement croissante sur [−3;+∞[[-3;+\infty[ (fonction x↦x+ax\mapsto\sqrt{x+a}). g(x)=(x−2)2−4g(x)=(x-2)^2-4 est un trinôme avec a=1>0a=1>0 : décroissant sur ]−∞;2]]{-\infty};2], croissant sur [2;+∞[[2;+\infty[.

Figure Figure

3) g(x)=(x−2)2−4≥−4g(x)=(x-2)^2-4\ge-4 pour tout réel xx, et g(2)=−4g(2)=-4 : −4-4 est le minimum global de gg.

4) f(x)=0  ⟺  x+3=0  ⟺  x=−3f(x)=0\iff x+3=0\iff x=-3 : (Cf)(C_f) coupe l’axe des abscisses en (−3;0)(-3;0). f(0)=3f(0)=\sqrt3 : elle coupe l’axe des ordonnées en (0;3)(0;\sqrt3).

5) g(x)=0  ⟺  x(x−4)=0  ⟺  x∈{0;4}g(x)=0\iff x(x-4)=0\iff x\in\{0;4\} : points (0;0)(0;0) et (4;0)(4;0) ; g(0)=0g(0)=0 : (Cg)(C_g) coupe l’axe des ordonnées en OO.

6) Dφ=RD_\varphi=\R est symétrique et φ(−x)=x2−4∣x∣=φ(x)\varphi(-x)=x^2-4|x|=\varphi(x) : φ\varphi est paire. Pour x≥0x\ge0, ∣x∣=x|x|=x donc φ(x)=x2−4x=g(x)\varphi(x)=x^2-4x=g(x). On trace (Cφ)(C_\varphi) en gardant (Cg)(C_g) pour x≥0x\ge0 et en la complétant par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.

Figure

7) (Cg)(C_g) est au-dessus de l’axe des abscisses (ou sur cet axe) pour x≤0x\le0 ou x≥4x\ge4 : S= ]−∞;0]∪[4;+∞[S=\,]{-\infty};0]\cup[4;+\infty[ (en accord avec le signe de x(x−4)x(x-4)).

8) Les solutions de g(x)=mg(x)=m sont les abscisses des points communs à (Cg)(C_g) et à la droite y=my=m :

  • si m<−4m<-4 : aucune solution ;
  • si m=−4m=-4 : une solution (x=2x=2) ;
  • si m>−4m>-4 : deux solutions (symétriques par rapport à 22).

9) x∈Dh  ⟺  x∈Dfx\in D_h\iff x\in D_f et f(x)∈Dg=Rf(x)\in D_g=\R : Dh=[−3;+∞[D_h=[-3;+\infty[, et h(x)=(x+3)2−4x+3=x+3−4x+3h(x)=\left(\sqrt{x+3}\right)^2-4\sqrt{x+3}=x+3-4\sqrt{x+3}. Sur [−3;1][-3;1] : ff est croissante et f([−3;1])=[0;2]⊂ ]−∞;2]f([-3;1])=[0;2]\subset\,]{-\infty};2], où gg est décroissante ; donc hh est décroissante sur [−3;1][-3;1]. Sur [1;+∞[[1;+\infty[ : ff est croissante et f([1;+∞[)=[2;+∞[f([1;+\infty[)=[2;+\infty[, où gg est croissante ; donc hh est croissante sur [1;+∞[[1;+\infty[. (h(−3)=0h(-3)=0, h(1)=−4h(1)=-4.)

Figure

Exercice 6 — Second degré, fonction impaire Moyen ★★★☆☆

Partie A. Soit f(x)=x2−2x−8f(x)=x^2-2x-8.

  1. Factoriser f(x)f(x) et résoudre l’équation f(x)=0f(x)=0.
  2. Déterminer les points d’intersection de (Cf)(C_f) avec les axes du repère.
  3. Montrer que le taux de variation de ff entre deux réels distincts xx et yy est x+y−2x+y-2.
  4. En déduire les variations de ff sur ]−∞;1]]{-\infty};1] et sur [1;+∞[[1;+\infty[.
  5. Déterminer le minimum de ff sur R\R.
  6. Préciser la nature de (Cf)(C_f) et ses éléments caractéristiques.

Partie B. Soit g(x)=3x∣x∣+2g(x)=\dfrac{3x}{|x|+2}.

  1. Déterminer DgD_g.
  2. Montrer que gg est impaire.
  3. Écrire g(x)g(x) sans valeur absolue pour x∈R+x\in\R_+, puis vérifier que g(x)=3−6x+2g(x)=3-\dfrac{6}{x+2} sur R+\R_+.
  4. Étudier les variations de gg sur R+\R_+.
  5. En déduire les variations de gg sur R−\R_-, puis dresser son tableau de variations sur R\R.
  6. Tracer (Cf)(C_f) et (Cg)(C_g) dans le même repère.
  7. Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l’équation f(x)=g(x)f(x)=g(x).
Voir la solution

Partie A.

1) f(x)=(x−1)2−9=(x−1−3)(x−1+3)=(x+2)(x−4)f(x)=(x-1)^2-9=(x-1-3)(x-1+3)=(x+2)(x-4) ;  f(x)=0  ⟺  x∈{−2;4}\ f(x)=0\iff x\in\{-2;4\}.

2) Axe des abscisses : (−2;0)(-2;0) et (4;0)(4;0) ; axe des ordonnées : f(0)=−8f(0)=-8, point (0;−8)(0;-8).

3) f(x)−f(y)=(x2−y2)−2(x−y)=(x−y)(x+y−2)f(x)-f(y)=(x^2-y^2)-2(x-y)=(x-y)(x+y-2), d’où T=x+y−2T=x+y-2.

4) Si x,y≤1x,y\le1 distincts : x+y<2x+y<2, T<0T<0 : ff est strictement décroissante sur ]−∞;1]]{-\infty};1]. Si x,y≥1x,y\ge1 distincts : x+y>2x+y>2, T>0T>0 : ff est strictement croissante sur [1;+∞[[1;+\infty[.

5) f(x)=(x−1)2−9≥−9f(x)=(x-1)^2-9\ge-9 et f(1)=−9f(1)=-9 : le minimum de ff sur R\R est −9-9.

Figure

6) (Cf)(C_f) est une parabole tournée vers le haut, de sommet Ω(1;−9)\Omega(1;-9) et d’axe de symétrie la droite d’équation x=1x=1.

Partie B.

1) ∣x∣+2≥2>0|x|+2\ge2>0 : Dg=RD_g=\R.

2) R\R est symétrique et g(−x)=−3x∣x∣+2=−g(x)g(-x)=\dfrac{-3x}{|x|+2}=-g(x) : gg est impaire.

3) Pour x≥0x\ge0 : g(x)=3xx+2g(x)=\dfrac{3x}{x+2}, et 3−6x+2=3x+6−6x+2=g(x)3-\dfrac6{x+2}=\dfrac{3x+6-6}{x+2}=g(x).

4) Pour x≠yx\neq y dans R+\R_+ : g(x)−g(y)=6y+2−6x+2=6(x−y)(x+2)(y+2)g(x)-g(y)=\dfrac6{y+2}-\dfrac6{x+2}=\dfrac{6(x-y)}{(x+2)(y+2)}, donc T=6(x+2)(y+2)>0T=\dfrac6{(x+2)(y+2)}>0 : gg est strictement croissante sur R+\R_+.

5) gg étant impaire, elle a le même sens de variation sur R−\R_- : strictement croissante. Ainsi gg est strictement croissante sur R\R (avec g(0)=0g(0)=0 ; pour x<0x<0, g(x)<0g(x)<0).

Figure

6) Voir la figure.

Figure

7) Les courbes ont exactement deux points communs : l’un d’abscisse comprise entre −2-2 et −1-1, l’autre d’abscisse comprise entre 44 et 55. L’équation f(x)=g(x)f(x)=g(x) admet donc deux solutions (valeurs approchées obtenues par calcul : x≈−1,76x\approx-1{,}76 et x≈4,32x\approx4{,}32).

Exercice 7 — Périodicité Facile ★☆☆☆☆

Montrer que la fonction f:x↦sin⁡(4x−1)f:x\mapsto\sin(4x-1) est périodique de période π2\dfrac\pi2.

Voir la solution

Df=RD_f=\R ; pour tout x∈Rx\in\R, x±π2∈Rx\pm\frac\pi2\in\R et f(x+π2)=sin⁡(4x+2π−1)=sin⁡(4x−1)=f(x),f\left(x+\tfrac\pi2\right)=\sin\left(4x+2\pi-1\right)=\sin(4x-1)=f(x), car sin⁡\sin est 2π2\pi-périodique. Donc ff est périodique de période π2\frac\pi2.

Exercice 8 — Homographique et cube Moyen ★★★☆☆

Soient f(x)=7x+102x−1f(x)=\dfrac{7x+10}{2x-1} et g(x)=x3g(x)=x^3.

  1. Déterminer DfD_f et vérifier que f(x)=72+272(2x−1)f(x)=\dfrac72+\dfrac{27}{2(2x-1)} ; préciser la nature et les éléments caractéristiques de (Cf)(C_f).
  2. Dresser le tableau de variations de ff.
  3. Dresser le tableau de variations de gg.
  4. Vérifier que les points A(−1;−1)A(-1;-1) et B(2;8)B(2;8) appartiennent à (Cf)(C_f) et à (Cg)(C_g).
  5. Montrer que (∀x∈Df)  f(x)−g(x)=−(x+1)(x−2)(2x2+x+5)2x−1(\forall x\in D_f)\ \ f(x)-g(x)=\dfrac{-(x+1)(x-2)(2x^2+x+5)}{2x-1}.
  6. Résoudre dans DfD_f l’inéquation f(x)≤−1f(x)\le-1.
  7. Déterminer f(]−∞;12[)f\left(\left]{-\infty};\frac12\right[\right) et f(]12;+∞[)f\left(\left]\frac12;+\infty\right[\right).
  8. Tracer (Cf)(C_f) et (Cg)(C_g) dans le même repère.
  9. Résoudre graphiquement, puis algébriquement, l’inéquation f(x)≥g(x)f(x)\ge g(x).
  10. Soit h(x)=(7x+102x−1)3h(x)=\left(\dfrac{7x+10}{2x-1}\right)^3. Écrire hh comme la composée de deux fonctions et déterminer DhD_h.
  11. Étudier les variations de hh sur ]−∞;12[\left]{-\infty};\frac12\right[ et sur ]12;+∞[\left]\frac12;+\infty\right[.
Voir la solution

1) Df=R∖{12}D_f=\R\setminus\left\{\frac12\right\}.  72+272(2x−1)=7(2x−1)+272(2x−1)=14x+202(2x−1)=f(x)\ \dfrac72+\dfrac{27}{2(2x-1)}=\dfrac{7(2x-1)+27}{2(2x-1)}=\dfrac{14x+20}{2(2x-1)}=f(x). (Cf)(C_f) est l’hyperbole de centre Ω(12;72)\Omega\left(\frac12;\frac72\right), associée aux droites d’équations x=12x=\frac12 et y=72y=\frac72 (Ω\Omega est centre de symétrie de (Cf)(C_f)).

2) Δ=ad−bc=7×(−1)−10×2=−27<0\Delta=ad-bc=7\times(-1)-10\times2=-27<0 : ff est strictement décroissante sur ]−∞;12[\left]{-\infty};\frac12\right[ et sur ]12;+∞[\left]\frac12;+\infty\right[.

Figure

3) g:x↦ax3g:x\mapsto ax^3 avec a=1>0a=1>0 : gg est strictement croissante sur R\R.

Figure

4) f(−1)=3−3=−1=g(−1)f(-1)=\frac{3}{-3}=-1=g(-1) et f(2)=243=8=g(2)f(2)=\frac{24}3=8=g(2) : AA et BB sont sur les deux courbes.

5) f(x)−g(x)=7x+10−x3(2x−1)2x−1=−2x4+x3+7x+102x−1f(x)-g(x)=\dfrac{7x+10-x^3(2x-1)}{2x-1}=\dfrac{-2x^4+x^3+7x+10}{2x-1}. Or (x+1)(x−2)=x2−x−2(x+1)(x-2)=x^2-x-2 et (x2−x−2)(2x2+x+5)=2x4−x3−7x−10(x^2-x-2)(2x^2+x+5)=2x^4-x^3-7x-10. D’où l’égalité.

6) Pour x≠12x\neq\frac12 : f(x)+1=9x+92x−1=9(x+1)2x−1f(x)+1=\dfrac{9x+9}{2x-1}=\dfrac{9(x+1)}{2x-1}. Tableau de signes (racines −1-1 et 12\frac12) : f(x)≤−1  ⟺  x∈[−1;12[f(x)\le-1\iff x\in\left[-1;\frac12\right[.

7) Pour y≠72y\neq\frac72 et x≠12x\neq\frac12 : f(x)=y  ⟺  7x+10=y(2x−1)  ⟺  x(2y−7)=y+10  ⟺  x=y+102y−7f(x)=y\iff7x+10=y(2x-1)\iff x(2y-7)=y+10\iff x=\dfrac{y+10}{2y-7}, et ce réel est bien différent de 12\frac12 ; la valeur 72\frac72 n’est jamais prise (question 1). De plus y+102y−7−12=272(2y−7)\dfrac{y+10}{2y-7}-\dfrac12=\dfrac{27}{2(2y-7)} est négatif si et seulement si y<72y<\frac72. Donc f(]−∞;12[)=]−∞;72[f\left(\left]{-\infty};\frac12\right[\right)=\left]{-\infty};\frac72\right[ et f(]12;+∞[)=]72;+∞[f\left(\left]\frac12;+\infty\right[\right)=\left]\frac72;+\infty\right[.

8) Voir la figure.

Figure

9) Graphiquement : (Cf)(C_f) est au-dessus de (Cg)(C_g) à gauche de AA, et entre la droite d’équation x=12x=\frac12 et BB : S= ]−∞;−1]∪]12;2]S=\,]{-\infty};-1]\cup\left]\frac12;2\right]. Algébriquement : 2x2+x+5>02x^2+x+5>0 (discriminant 1−40<01-40<0), donc f(x)−g(x)f(x)-g(x) a le signe de −(x+1)(x−2)2x−1\dfrac{-(x+1)(x-2)}{2x-1}.

xx−∞-\infty−1-112\frac1222+∞+\infty
−(x+1)(x−2)-(x+1)(x-2)−-00++++00−-
2x−12x-1−-−-00++++
f(x)−g(x)f(x)-g(x)++00−-∥\Vert++00−-

Donc f(x)≥g(x)  ⟺  x∈ ]−∞;−1]∪]12;2]f(x)\ge g(x)\iff x\in\,]{-\infty};-1]\cup\left]\frac12;2\right].

10) h(x)=(f(x))3=g(f(x))h(x)=\big(f(x)\big)^3=g\big(f(x)\big) : h=g∘fh=g\circ f et Dh={x∈Df / f(x)∈R}=R∖{12}D_h=\{x\in D_f\ /\ f(x)\in\R\}=\R\setminus\left\{\frac12\right\}.

11) Sur ]−∞;12[\left]{-\infty};\frac12\right[ : ff est décroissante et gg est croissante sur R⊃f(]−∞;12[)\R\supset f\left(\left]{-\infty};\frac12\right[\right) : hh est décroissante. De même sur ]12;+∞[\left]\frac12;+\infty\right[, hh est décroissante.

Exercice 9 — Racine, inverse, composée Facile ★★☆☆☆

Soient f(x)=1x+3f(x)=\dfrac1{x+3} et g(x)=x+3g(x)=\sqrt{x+3}.

  1. Déterminer DfD_f et DgD_g, puis les variations de ff et de gg.
  2. Vérifier que (Cf)(C_f) et (Cg)(C_g) se coupent au point A(−2;1)A(-2;1).
  3. Tracer (Cf)(C_f) et (Cg)(C_g) dans le même repère.
  4. Résoudre dans [−3;+∞[[-3;+\infty[ l’inéquation (x+3)x+3≤1(x+3)\sqrt{x+3}\le1.
  5. Soit h=f∘gh=f\circ g. Déterminer DhD_h et h(x)h(x).
  6. Étudier les variations de hh ; montrer que hh est minorée par 00 et admet un maximum que l’on déterminera.
Voir la solution

1) Df=R∖{−3}D_f=\R\setminus\{-3\}, Dg=[−3;+∞[D_g=[-3;+\infty[. f(x)=0⋅x+1x+3f(x)=\frac{0\cdot x+1}{x+3} est homographique avec Δ=0×3−1×1=−1<0\Delta=0\times3-1\times1=-1<0 : ff est strictement décroissante sur ]−∞;−3[]{-\infty};-3[ et sur ]−3;+∞[]-3;+\infty[. gg est strictement croissante sur [−3;+∞[[-3;+\infty[.

2) f(−2)=1f(-2)=1 et g(−2)=1=1g(-2)=\sqrt1=1 : A(−2;1)A(-2;1) appartient aux deux courbes.

3) Voir la figure.

Figure

4) Pour x≥−3x\ge-3, posons t=x+3≥0t=\sqrt{x+3}\ge0 : l’inéquation s’écrit t3≤1t^3\le1. La fonction cube est strictement croissante, donc t3≤1  ⟺  t≤1  ⟺  x+3≤1  ⟺  x≤−2t^3\le1\iff t\le1\iff x+3\le1\iff x\le-2. Ainsi S=[−3;−2]S=[-3;-2]. (Graphiquement, pour x>−3x>-3 l’inéquation équivaut à g(x)≤f(x)g(x)\le f(x) : (Cg)(C_g) est au-dessous de (Cf)(C_f) à gauche de AA.)

5) x∈Dh  ⟺  x≥−3x\in D_h\iff x\ge-3 et x+3≠−3\sqrt{x+3}\neq-3, toujours vrai : Dh=[−3;+∞[D_h=[-3;+\infty[ et h(x)=1x+3+3h(x)=\dfrac1{\sqrt{x+3}+3}.

6) gg est croissante sur [−3;+∞[[-3;+\infty[ et g([−3;+∞[)=[0;+∞[⊂ ]−3;+∞[g([-3;+\infty[)=[0;+\infty[\subset\,]-3;+\infty[, intervalle où ff est décroissante : hh est décroissante sur [−3;+∞[[-3;+\infty[. Pour tout x∈Dhx\in D_h, h(x)>0h(x)>0 (minorée par 00) et, hh étant décroissante, h(x)≤h(−3)=13h(x)\le h(-3)=\frac13 : le maximum de hh est 13\frac13, atteint en −3-3.

Exercice 10 — Changement d’écriture Facile ★★☆☆☆

Soit f(x)=x−4x+2+6f(x)=x-4\sqrt{x+2}+6.

  1. Déterminer DfD_f.
  2. Vérifier que (∀x∈Df)  f(x)=(x+2−2)2(\forall x\in D_f)\ \ f(x)=\left(\sqrt{x+2}-2\right)^2.
  3. Étudier les variations de ff sur [−2;2][-2;2] et sur [2;+∞[[2;+\infty[ ; en déduire le minimum de ff.
Voir la solution

1) Df=[−2;+∞[D_f=[-2;+\infty[.

2) (x+2−2)2=(x+2)−4x+2+4=x−4x+2+6=f(x)\left(\sqrt{x+2}-2\right)^2=(x+2)-4\sqrt{x+2}+4=x-4\sqrt{x+2}+6=f(x).

3) f=v∘uf=v\circ u avec u(x)=x+2u(x)=\sqrt{x+2} (croissante sur DfD_f) et v(t)=(t−2)2v(t)=(t-2)^2 (décroissante sur ]−∞;2]]{-\infty};2], croissante sur [2;+∞[[2;+\infty[). Sur [−2;2][-2;2] : u([−2;2])=[0;2]⊂ ]−∞;2]u([-2;2])=[0;2]\subset\,]{-\infty};2] : sens contraires, ff est décroissante. Sur [2;+∞[[2;+\infty[ : u([2;+∞[)=[2;+∞[u([2;+\infty[)=[2;+\infty[ : même sens, ff est croissante. Comme f(x)≥0f(x)\ge0 et f(2)=0f(2)=0, le minimum de ff est 00, atteint en 22.

Figure

Exercice 11 — Problème de synthèse Difficile ★★★★☆

Partie 1. Soit f(x)=x2−2x+4x2+2x+4f(x)=\dfrac{x^2-2x+4}{x^2+2x+4}.

  1. Déterminer DfD_f.
  2. Montrer que (∀x∈Df) f(x)≤3(\forall x\in D_f)\ f(x)\le3 et que 33 est le maximum de ff.
  3. Montrer que (∀x∈Df) f(x)≥13(\forall x\in D_f)\ f(x)\ge\frac13 et que 13\frac13 est le minimum de ff.
  4. Vérifier que (∀x∈Df)  f(x)=1−4xx2+2x+4(\forall x\in D_f)\ \ f(x)=1-\dfrac{4x}{x^2+2x+4}.
  5. Montrer que, pour x≠yx\neq y : f(x)−f(y)x−y=4(xy−4)(x2+2x+4)(y2+2y+4)\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}=\dfrac{4(xy-4)}{(x^2+2x+4)(y^2+2y+4)}.
  6. En déduire les variations de ff sur [−2;2][-2;2] et sur [2;+∞[[2;+\infty[.
  7. Dresser le tableau de variations de ff sur [−2;+∞[[-2;+\infty[.

Partie 2. Soient g(x)=x+2g(x)=\sqrt{x+2} et (D)(D) la droite d’équation y=12x+1y=\frac12x+1.

  1. Calculer g(−2)g(-2) et g(2)g(2).
  2. Déterminer g([−2;−1])g([-2;-1]) et g([2;+∞[)g([2;+\infty[).
  3. Tracer (Cg)(C_g) et (D)(D) dans le même repère.
  4. Résoudre dans [−2;+∞[[-2;+\infty[ l’équation g(x)=12x+1g(x)=\frac12x+1.
  5. Étudier la position relative de (Cg)(C_g) et (D)(D) sur [−2;2][-2;2].

Partie 3. Soit h(x)=x+6−2x+2x+6+2x+2h(x)=\dfrac{x+6-2\sqrt{x+2}}{x+6+2\sqrt{x+2}}.

  1. Déterminer DhD_h et montrer que h=f∘gh=f\circ g.
  2. En déduire les variations de hh sur [−2;2][-2;2] et sur [2;+∞[[2;+\infty[.
Voir la solution

Partie 1.

1) x2+2x+4=(x+1)2+3>0x^2+2x+4=(x+1)^2+3>0 : Df=RD_f=\R.

2) 3−f(x)=3(x2+2x+4)−(x2−2x+4)x2+2x+4=2(x+2)2x2+2x+4≥03-f(x)=\dfrac{3(x^2+2x+4)-(x^2-2x+4)}{x^2+2x+4}=\dfrac{2(x+2)^2}{x^2+2x+4}\ge0 ; et f(−2)=124=3f(-2)=\frac{12}4=3 : 33 est le maximum de ff.

3) f(x)−13=3(x2−2x+4)−(x2+2x+4)3(x2+2x+4)=2(x−2)23(x2+2x+4)≥0f(x)-\dfrac13=\dfrac{3(x^2-2x+4)-(x^2+2x+4)}{3(x^2+2x+4)}=\dfrac{2(x-2)^2}{3(x^2+2x+4)}\ge0 ; et f(2)=412=13f(2)=\frac4{12}=\frac13 : 13\frac13 est le minimum de ff.

4) 1−4xx2+2x+4=x2+2x+4−4xx2+2x+4=f(x)1-\dfrac{4x}{x^2+2x+4}=\dfrac{x^2+2x+4-4x}{x^2+2x+4}=f(x).

5) Notons A=x2+2x+4A=x^2+2x+4, B=y2+2y+4B=y^2+2y+4. xA−yB=x(y2+2y+4)−y(x2+2x+4)AB=xy(y−x)+4(x−y)AB=(x−y)(4−xy)AB\dfrac xA-\dfrac yB=\dfrac{x(y^2+2y+4)-y(x^2+2x+4)}{AB}=\dfrac{xy(y-x)+4(x-y)}{AB}=\dfrac{(x-y)(4-xy)}{AB}. Donc f(x)−f(y)=−4(xA−yB)=4(x−y)(xy−4)ABf(x)-f(y)=-4\left(\dfrac xA-\dfrac yB\right)=\dfrac{4(x-y)(xy-4)}{AB}, d’où le résultat.

6) AB>0AB>0. Si x≠yx\neq y sont dans [−2;2][-2;2] : ∣xy∣≤4|xy|\le4, et xy=4xy=4 imposerait x=y=2x=y=2 ou x=y=−2x=y=-2 ; donc xy<4xy<4 et T<0T<0 : ff est strictement décroissante sur [−2;2][-2;2]. Si x≠yx\neq y sont dans [2;+∞[[2;+\infty[, l’un d’eux est >2>2, donc xy>4xy>4 et T>0T>0 : ff est strictement croissante sur [2;+∞[[2;+\infty[.

7)

Figure

Partie 2.

1) g(−2)=0g(-2)=0 ; g(2)=2g(2)=2.

2) gg est croissante sur [−2;+∞[[-2;+\infty[ : g([−2;−1])=[g(−2);g(−1)]=[0;1]g([-2;-1])=[g(-2);g(-1)]=[0;1]. Pour y≥2y\ge2, g(x)=y  ⟺  x=y2−2g(x)=y\iff x=y^2-2, et y2−2≥2y^2-2\ge2 ; réciproquement x≥2⇒g(x)≥2x\ge2\Rightarrow g(x)\ge2 : g([2;+∞[)=[2;+∞[g([2;+\infty[)=[2;+\infty[.

Figure

3) Voir la figure.

Figure

4) Pour x≥−2x\ge-2, les deux membres sont positifs (12x+1=x+22≥0\frac12x+1=\frac{x+2}2\ge0), donc x+2=x+22  ⟺  x+2=(x+2)24  ⟺  (x+2)(x+2−4)=0  ⟺  x∈{−2;2}\sqrt{x+2}=\dfrac{x+2}2\iff x+2=\dfrac{(x+2)^2}4\iff(x+2)(x+2-4)=0\iff x\in\{-2;2\}.

5) Pour x∈[−2;2]x\in[-2;2] : g(x)−x+22=x+2(1−x+22)=x+2 (2−x+2)2≥0g(x)-\dfrac{x+2}2=\sqrt{x+2}\left(1-\dfrac{\sqrt{x+2}}2\right)=\dfrac{\sqrt{x+2}\,\big(2-\sqrt{x+2}\big)}{2}\ge0, car 0≤x+2≤20\le\sqrt{x+2}\le2. Donc (Cg)(C_g) est au-dessus de (D)(D) sur [−2;2][-2;2] (points communs en −2-2 et 22).

Partie 3.

1) Df=RD_f=\R, donc Df∘g=Dg=[−2;+∞[D_{f\circ g}=D_g=[-2;+\infty[. Pour x≥−2x\ge-2, avec t=x+2t=\sqrt{x+2}, t2=x+2t^2=x+2 : f(t)=t2−2t+4t2+2t+4=x+6−2x+2x+6+2x+2=h(x)f(t)=\dfrac{t^2-2t+4}{t^2+2t+4}=\dfrac{x+6-2\sqrt{x+2}}{x+6+2\sqrt{x+2}}=h(x). Le dénominateur est >0>0 : Dh=[−2;+∞[D_h=[-2;+\infty[ et h=f∘gh=f\circ g.

2) Sur [−2;2][-2;2] : gg est croissante et g([−2;2])=[0;2]⊂[−2;2]g([-2;2])=[0;2]\subset[-2;2], où ff est décroissante : hh est décroissante. Sur [2;+∞[[2;+\infty[ : g([2;+∞[)=[2;+∞[g([2;+\infty[)=[2;+\infty[, où ff est croissante : hh est croissante.

Exercice 12 — Bornes et composition Facile ★★☆☆☆

Soit f(x)=3x+1x+3f(x)=\dfrac{3\sqrt x+1}{\sqrt x+3}.

  1. Déterminer DfD_f et vérifier que f(x)=3−8x+3f(x)=3-\dfrac{8}{\sqrt x+3}.
  2. Montrer que ff est majorée par 33 et minorée par 13\frac13 sur DfD_f.
  3. Soit v(x)=3x+1x+3v(x)=\dfrac{3x+1}{x+3}. Écrire ff à l’aide de vv et étudier les variations de ff.
Voir la solution

1) Df=R+D_f=\R_+ (x+3>0\sqrt x+3>0).  3−8x+3=3x+9−8x+3=f(x)\ 3-\dfrac8{\sqrt x+3}=\dfrac{3\sqrt x+9-8}{\sqrt x+3}=f(x).

2) 8x+3>0\dfrac8{\sqrt x+3}>0 donc f(x)<3f(x)<3. Et x+3≥3\sqrt x+3\ge3 donne 8x+3≤83\dfrac8{\sqrt x+3}\le\dfrac83, donc f(x)≥3−83=13f(x)\ge3-\frac83=\frac13.

3) f(x)=v(x)f(x)=v(\sqrt x) : f=v∘rf=v\circ r avec r(x)=xr(x)=\sqrt x. rr est croissante sur R+\R_+ et r(R+)=R+⊂ ]−3;+∞[r(\R_+)=\R_+\subset\,]-3;+\infty[ ; vv est homographique avec Δ=3×3−1×1=8>0\Delta=3\times3-1\times1=8>0, donc croissante sur ]−3;+∞[]-3;+\infty[. Même sens : ff est croissante sur R+\R_+.

Exercice 13 — Expression conjuguée Facile ★★☆☆☆

Soit f(x)=x+5−x−3f(x)=\sqrt{x+5}-\sqrt{x-3}.

  1. Déterminer DfD_f.
  2. Montrer que (∀x∈Df)  f(x)=8x+5+x−3(\forall x\in D_f)\ \ f(x)=\dfrac{8}{\sqrt{x+5}+\sqrt{x-3}}.
  3. En déduire que f(x)>0f(x)>0 pour tout x∈Dfx\in D_f.
  4. Le réel 00 est-il le minimum de ff sur DfD_f ? Justifier.
  5. Montrer que ff admet un maximum sur DfD_f que l’on déterminera.
Voir la solution

1) x+5≥0x+5\ge0 et x−3≥0  ⟺  x≥3x-3\ge0\iff x\ge3 : Df=[3;+∞[D_f=[3;+\infty[.

2) f(x)=(x+5)−(x−3)x+5+x−3=8x+5+x−3f(x)=\dfrac{(x+5)-(x-3)}{\sqrt{x+5}+\sqrt{x-3}}=\dfrac8{\sqrt{x+5}+\sqrt{x-3}} (dénominateur ≥8>0\ge\sqrt8>0).

3) Numérateur et dénominateur sont strictement positifs : f(x)>0f(x)>0.

4) 00 est un minorant de ff, mais l’équation f(x)=0f(x)=0 n’a pas de solution (question 3) : 00 n’est pas le minimum de ff.

5) Pour x≥3x\ge3 : x+5≥22\sqrt{x+5}\ge2\sqrt2 et x−3≥0\sqrt{x-3}\ge0, donc x+5+x−3≥22\sqrt{x+5}+\sqrt{x-3}\ge2\sqrt2 et f(x)≤822=22f(x)\le\dfrac8{2\sqrt2}=2\sqrt2. Or f(3)=8=22f(3)=\sqrt8=2\sqrt2 : le maximum de ff est 222\sqrt2, atteint en 33.

Exercice 14 — Étude complète, bijection Difficile ★★★★☆

Soit f(x)=4xx2+4f(x)=\dfrac{4x}{x^2+4}.

  1. Déterminer DfD_f et étudier la parité de ff.
  2. Montrer que (∀x∈R) f(x)≤1(\forall x\in\R)\ f(x)\le1.
  3. Montrer que (∀x∈R∗)  f(4x)=f(x)(\forall x\in\R^*)\ \ f\left(\dfrac4x\right)=f(x).
  4. L’application f:R→Rf:\R\to\R est-elle injective ? surjective ?
  5. Montrer que, pour x≠yx\neq y : f(x)−f(y)x−y=4(4−xy)(x2+4)(y2+4)\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}=\dfrac{4(4-xy)}{(x^2+4)(y^2+4)}.
  6. Étudier les variations de ff sur [0;2][0;2] et sur [2;+∞[[2;+\infty[, puis dresser son tableau de variations sur R\R.
  7. Soient aa et bb deux réels strictement positifs tels que a+b≥23a+b\ge2\sqrt3. Montrer que (a+b)2+4a+b≥833\dfrac{(a+b)^2+4}{a+b}\ge\dfrac{8\sqrt3}{3}.
  8. Soit gg la restriction de ff à [2;+∞[[2;+\infty[. Montrer que gg est une bijection de [2;+∞[[2;+\infty[ vers ]0;1]]0;1] et déterminer g−1(y)g^{-1}(y) pour y∈ ]0;1]y\in\,]0;1].
Voir la solution

1) x2+4>0x^2+4>0 : Df=RD_f=\R, symétrique, et f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x) : ff est impaire.

2) 1−f(x)=x2−4x+4x2+4=(x−2)2x2+4≥01-f(x)=\dfrac{x^2-4x+4}{x^2+4}=\dfrac{(x-2)^2}{x^2+4}\ge0.

3) Pour x≠0x\neq0 : f(4x)=16x16x2+4=16x16+4x2=4xx2+4=f(x)f\left(\frac4x\right)=\dfrac{\frac{16}x}{\frac{16}{x^2}+4}=\dfrac{16x}{16+4x^2}=\dfrac{4x}{x^2+4}=f(x).

4) f(1)=f(4)=45f(1)=f(4)=\frac45 (question 3 avec x=1x=1) et 1≠41\neq4 : ff n’est pas injective. Le réel 22 n’a pas d’antécédent puisque f(x)≤1f(x)\le1 : ff n’est pas surjective.

5) f(x)−f(y)=4x(y2+4)−4y(x2+4)(x2+4)(y2+4)=4(x−y)(4−xy)(x2+4)(y2+4)f(x)-f(y)=\dfrac{4x(y^2+4)-4y(x^2+4)}{(x^2+4)(y^2+4)}=\dfrac{4(x-y)(4-xy)}{(x^2+4)(y^2+4)} ; on divise par x−yx-y.

6) Si x≠yx\neq y sont dans [0;2][0;2] : 0≤xy<40\le xy<4, donc T>0T>0 : ff est strictement croissante sur [0;2][0;2]. Si x≠yx\neq y sont dans [2;+∞[[2;+\infty[ : xy>4xy>4, T<0T<0 : ff est strictement décroissante sur [2;+∞[[2;+\infty[. Par imparité : croissante sur [−2;0][-2;0], décroissante sur ]−∞;−2]]{-\infty};-2]. f(2)=1f(2)=1, f(−2)=−1f(-2)=-1 :

Figure

7) Posons t=a+b≥23>0t=a+b\ge2\sqrt3>0. Alors t2+4t=4f(t)\dfrac{t^2+4}{t}=\dfrac4{f(t)}. Comme 2≤23≤t2\le2\sqrt3\le t et ff est décroissante sur [2;+∞[[2;+\infty[ : 0<f(t)≤f(23)=8316=320<f(t)\le f(2\sqrt3)=\dfrac{8\sqrt3}{16}=\dfrac{\sqrt3}2. Donc 4f(t)≥83=833\dfrac{4}{f(t)}\ge\dfrac{8}{\sqrt3}=\dfrac{8\sqrt3}3.

8) Pour x≥2x\ge2 : g(x)>0g(x)>0 et g(x)≤1g(x)\le1, donc gg est à valeurs dans ]0;1]]0;1]. Soit y∈ ]0;1]y\in\,]0;1] : g(x)=y  ⟺  yx2−4x+4y=0g(x)=y\iff yx^2-4x+4y=0. Le discriminant réduit est 4−4y2≥04-4y^2\ge0 ; les racines sont x1=2−21−y2yx_1=\dfrac{2-2\sqrt{1-y^2}}y et x2=2+21−y2yx_2=\dfrac{2+2\sqrt{1-y^2}}y, de produit x1x2=4x_1x_2=4. On a x2≥2y≥2x_2\ge\frac2y\ge2, donc x1=4x2≤2x_1=\frac4{x_2}\le2, avec égalité seulement si y=1y=1, cas où x1=x2=2x_1=x_2=2. Ainsi l’équation a une unique solution dans [2;+∞[[2;+\infty[ : gg est bijective et g−1: ]0;1]→[2;+∞[,g−1(y)=2+21−y2y.g^{-1}:\,]0;1]\to[2;+\infty[,\qquad g^{-1}(y)=\dfrac{2+2\sqrt{1-y^2}}{y}.

Exercice 15 — Fonctions bornées Facile ★★☆☆☆

  1. Soit f(x)=4x−3x+2f(x)=\dfrac{4\sqrt x-3}{\sqrt x+2}. Déterminer DfD_f et vérifier que f(x)=4−11x+2f(x)=4-\dfrac{11}{\sqrt x+2}.
  2. Montrer que ff est minorée par −32-\frac32 et majorée par 44 sur DfD_f.
  3. Soit g(x)=xcos⁡xx2+4g(x)=\dfrac{x\cos x}{x^2+4}. Montrer que (∀x∈R) ∣xx2+4∣≤14(\forall x\in\R)\ \left|\dfrac{x}{x^2+4}\right|\le\dfrac14, puis que gg est bornée sur R\R.
Voir la solution

1) Df=R+D_f=\R_+ ; 4−11x+2=4x+8−11x+2=f(x)4-\dfrac{11}{\sqrt x+2}=\dfrac{4\sqrt x+8-11}{\sqrt x+2}=f(x).

2) 11x+2>0\frac{11}{\sqrt x+2}>0 donc f(x)<4f(x)<4. x+2≥2\sqrt x+2\ge2 donne 11x+2≤112\frac{11}{\sqrt x+2}\le\frac{11}2, donc f(x)≥4−112=−32f(x)\ge4-\frac{11}2=-\frac32 (atteint en 00).

3) 14−∣x∣x2+4=x2−4∣x∣+44(x2+4)=(∣x∣−2)24(x2+4)≥0\dfrac14-\dfrac{|x|}{x^2+4}=\dfrac{x^2-4|x|+4}{4(x^2+4)}=\dfrac{(|x|-2)^2}{4(x^2+4)}\ge0. Donc ∣g(x)∣=∣x∣x2+4 ∣cos⁡x∣≤14×1|g(x)|=\dfrac{|x|}{x^2+4}\,|\cos x|\le\dfrac14\times1 : −14≤g(x)≤14-\frac14\le g(x)\le\frac14, gg est bornée sur R\R.

Exercice 16 — Extremums Facile ★★☆☆☆

Soit f(x)=x−1x2+3f(x)=\dfrac{x-1}{x^2+3}.

  1. Déterminer DfD_f.
  2. Montrer que −12-\frac12 est le minimum de ff sur DfD_f.
  3. Montrer que 16\frac16 est le maximum de ff sur DfD_f.
  4. En déduire que (∀x∈Df) ∣f(x)∣≤12(\forall x\in D_f)\ |f(x)|\le\frac12.
  5. Interpréter graphiquement le résultat de la question 4.
Voir la solution

1) x2+3>0x^2+3>0 : Df=RD_f=\R.

2) f(x)+12=2x−2+x2+32(x2+3)=(x+1)22(x2+3)≥0f(x)+\dfrac12=\dfrac{2x-2+x^2+3}{2(x^2+3)}=\dfrac{(x+1)^2}{2(x^2+3)}\ge0, et f(−1)=−24=−12f(-1)=\frac{-2}4=-\frac12 : −12-\frac12 est le minimum de ff.

3) 16−f(x)=x2+3−6x+66(x2+3)=(x−3)26(x2+3)≥0\dfrac16-f(x)=\dfrac{x^2+3-6x+6}{6(x^2+3)}=\dfrac{(x-3)^2}{6(x^2+3)}\ge0, et f(3)=212=16f(3)=\frac2{12}=\frac16 : 16\frac16 est le maximum de ff.

4) −12≤f(x)≤16≤12-\frac12\le f(x)\le\frac16\le\frac12, donc ∣f(x)∣≤12|f(x)|\le\frac12.

5) (Cf)(C_f) est entièrement située dans la bande comprise entre les droites d’équations y=−12y=-\frac12 et y=12y=\frac12 ; elle touche la première au point (−1;−12)(-1;-\frac12).

Exercice 17 — Partie entière, domaine Facile ★★☆☆☆

Déterminer l’ensemble de définition de chacune des fonctions :

  1. f(x)=1E(x)+2f(x)=\dfrac{1}{E(x)+2} ;
  2. g(x)=1x−E(x)g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x-E(x)}}.
Voir la solution

1) f(x)f(x) existe   ⟺  E(x)≠−2  ⟺  x∉[−2;−1[\iff E(x)\neq-2\iff x\notin[-2;-1[ : Df= ]−∞;−2[ ∪[−1;+∞[D_f=\,]{-\infty};-2[\,\cup[-1;+\infty[.

2) g(x)g(x) existe   ⟺  x−E(x)>0\iff x-E(x)>0. Comme x−E(x)≥0x-E(x)\ge0, avec égalité si et seulement si xx est entier : Dg=R∖ZD_g=\R\setminus\Z.

Exercice 18 — Équation avec partie entière Moyen ★★★☆☆

Résoudre dans R\R l’équation E(x+34)=x+13E\left(\dfrac{x+3}{4}\right)=\dfrac{x+1}{3}.

Voir la solution

Si xx est solution, k=x+13k=\frac{x+1}3 est un entier et x=3k−1x=3k-1. L’équation devient E(3k+24)=kE\left(\frac{3k+2}4\right)=k, soit k≤3k+24<k+1  ⟺  4k≤3k+2<4k+4  ⟺  −2<k≤2k\le\frac{3k+2}4<k+1\iff4k\le3k+2<4k+4\iff-2<k\le2. Donc k∈{−1;0;1;2}k\in\{-1;0;1;2\} ; réciproquement, ces valeurs conviennent. S={−4;−1;2;5}S=\{-4;-1;2;5\}. (Contrôle : x=5x=5 : E(2)=2=63E(2)=2=\frac63.)

Exercice 19 — Partie entière, encadrements Moyen ★★★☆☆

  1. Montrer que la fonction x↦x−E(x)x\mapsto x-E(x) est bornée sur R\R.
  2. Soit g(x)=x−E(x)x+1g(x)=\dfrac{x-E(x)}{\sqrt{x+1}}. Déterminer DgD_g.
  3. Montrer que (∀x∈Dg)  0≤g(x)<1(\forall x\in D_g)\ \ 0\le g(x)<1.
  4. Calculer, pour n∈Nn\in\N : E(2n+1n+1)E\left(\dfrac{2n+1}{n+1}\right) et E(n2n+1)E\left(\dfrac{n}{2n+1}\right).
Voir la solution

1) E(x)≤x<E(x)+1E(x)\le x<E(x)+1 donne 0≤x−E(x)<10\le x-E(x)<1 : la fonction est bornée.

2) g(x)g(x) existe   ⟺  x+1>0\iff x+1>0 : Dg= ]−1;+∞[D_g=\,]{-1};+\infty[.

3) g(x)≥0g(x)\ge0 car numérateur ≥0\ge0 et dénominateur >0>0. Si x∈ ]−1;0[x\in\,]{-1};0[ : E(x)=−1E(x)=-1 et g(x)=x+1x+1=x+1<1g(x)=\dfrac{x+1}{\sqrt{x+1}}=\sqrt{x+1}<1. Si x≥0x\ge0 : x+1≥1\sqrt{x+1}\ge1, donc g(x)≤x−E(x)<1g(x)\le x-E(x)<1. Ainsi 0≤g(x)<10\le g(x)<1 sur DgD_g.

4) 2n+1n+1=2−1n+1\dfrac{2n+1}{n+1}=2-\dfrac1{n+1} et 0<1n+1≤10<\dfrac1{n+1}\le1, donc 1≤2n+1n+1<21\le\dfrac{2n+1}{n+1}<2 : E(2n+1n+1)=1E\left(\dfrac{2n+1}{n+1}\right)=1. Et 0≤n2n+1<12<10\le\dfrac n{2n+1}<\dfrac12<1 : E(n2n+1)=0E\left(\dfrac n{2n+1}\right)=0.

Exercice 20 — Partie entière, périodicité Moyen ★★★☆☆

Soit f(x)=E(x)−x+2x−E(x)+1f(x)=\dfrac{E(x)-x+2}{x-E(x)+1}.

  1. Déterminer DfD_f.
  2. Montrer que ff est périodique de période 11.
  3. Écrire f(x)f(x) sans partie entière pour x∈[0;1[x\in[0;1[.
  4. Tracer (Cf)(C_f) sur [−1;3[[-1;3[.
Voir la solution

1) x−E(x)+1≥1>0x-E(x)+1\ge1>0 : Df=RD_f=\R.

2) Pour tout xx, x±1∈Rx\pm1\in\R et E(x+1)=E(x)+1E(x+1)=E(x)+1, donc E(x+1)−(x+1)=E(x)−xE(x+1)-(x+1)=E(x)-x et (x+1)−E(x+1)=x−E(x)(x+1)-E(x+1)=x-E(x) : f(x+1)=f(x)f(x+1)=f(x).

3) Pour x∈[0;1[x\in[0;1[, E(x)=0E(x)=0 : f(x)=2−xx+1f(x)=\dfrac{2-x}{x+1}.

4) On trace l’arc d’hyperbole y=2−xx+1y=\frac{2-x}{x+1} sur [0;1[[0;1[ (de (0;2)(0;2) inclus à (1;12)(1;\frac12) exclu), puis on le translate de −1-1, 11 et 22 unités horizontalement.

Figure

Exercice 21 — Partie entière, tracé Facile ★★☆☆☆

Soit f(x)=E(x)+1−xf(x)=E(x)+1-x.

  1. Montrer que ff est périodique de période 11.
  2. Écrire f(x)f(x) sans partie entière pour x∈[0;1[x\in[0;1[.
  3. Tracer (Cf)(C_f) sur [−1;2][-1;2].
Voir la solution

1) f(x+1)=E(x)+1+1−(x+1)=E(x)+1−x=f(x)f(x+1)=E(x)+1+1-(x+1)=E(x)+1-x=f(x).

2) Pour x∈[0;1[x\in[0;1[ : f(x)=1−xf(x)=1-x.

3) Segments de pente −1-1 allant de (k;1)(k;1) (inclus) à (k+1;0)(k+1;0) (exclu) :

Figure

Exercice 22 — Fonction « dents de scie » Difficile ★★★★☆

Soit f(x)=(−1)E(x)(2x−2E(x)−1)+1f(x)=(-1)^{E(x)}\big(2x-2E(x)-1\big)+1.

  1. Montrer que ff est périodique de période 22.
  2. Écrire f(x)f(x) sans partie entière pour x∈[0;1[x\in[0;1[, puis pour x∈[1;2[x\in[1;2[.
  3. Tracer (Cf)(C_f) sur [−3;5][-3;5].
Voir la solution

1) E(x+2)=E(x)+2E(x+2)=E(x)+2, donc (−1)E(x+2)=(−1)E(x)(-1)^{E(x+2)}=(-1)^{E(x)} et 2(x+2)−2E(x+2)−1=2x−2E(x)−12(x+2)-2E(x+2)-1=2x-2E(x)-1 : f(x+2)=f(x)f(x+2)=f(x).

2) Pour x∈[0;1[x\in[0;1[ : E(x)=0E(x)=0, f(x)=2x−1+1=2xf(x)=2x-1+1=2x. Pour x∈[1;2[x\in[1;2[ : E(x)=1E(x)=1, f(x)=−(2x−3)+1=4−2xf(x)=-(2x-3)+1=4-2x.

3) Sur [0;2][0;2] on obtient un « triangle » joignant (0;0)(0;0), (1;2)(1;2) et (2;0)(2;0) ; par périodicité, la courbe est une ligne brisée en dents de scie.

Figure

Exercice 23 — Fonction bornée : caractérisation Moyen ★★★☆☆

  1. Soit ff une fonction définie sur une partie DD de R\R. Montrer que ff est bornée sur DD si et seulement s’il existe un réel K≥0K\ge0 tel que (∀x∈D) ∣f(x)∣≤K(\forall x\in D)\ |f(x)|\le K.
  2. Montrer que la fonction g:x↦x2−6x+1g:x\mapsto x^2-6x+1 est minorée mais n’est pas bornée sur R\R.
Voir la solution

1) (⇒\Rightarrow) Si m≤f(x)≤Mm\le f(x)\le M sur DD, posons K=max⁡(∣m∣;∣M∣)≥0K=\max(|m|;|M|)\ge0 : −K≤m≤f(x)≤M≤K-K\le m\le f(x)\le M\le K, donc ∣f(x)∣≤K|f(x)|\le K. (⇐\Leftarrow) Si ∣f(x)∣≤K|f(x)|\le K, alors −K≤f(x)≤K-K\le f(x)\le K : ff est minorée par −K-K et majorée par KK.

2) g(x)=(x−3)2−8≥−8g(x)=(x-3)^2-8\ge-8 : gg est minorée. Supposons gg majorée par un réel MM. Pour x=3+∣M∣+9x=3+\sqrt{|M|+9} : g(x)=∣M∣+9−8=∣M∣+1>Mg(x)=|M|+9-8=|M|+1>M, contradiction. Donc gg n’est pas majorée, donc pas bornée.

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