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Chapitre 12 — Étude de fonctions

Semestre 2

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Cours

Plan du chapitre. I. Branches infinies d’une courbe (asymptotes verticales et horizontales, asymptote oblique, branches paraboliques) — II. Concavité d’une courbe, points d’inflexion — III. Éléments de symétrie, périodicité — IV. Construction d’une courbe — Résumé.

Prérequis. Limites (Ch. 09), dérivation (Ch. 11). Dans tout le chapitre, $f$ est une fonction numérique, $D_f$ son domaine de définition et $(\mathcal C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O;\vec i;\vec j)$ .

I. Branches infinies d’une courbe

1) Notion de branche infinie

Définition 1

On dit que $(\mathcal C_f)$ admet une branche infinie lorsque l’une au moins des coordonnées d’un point $M(x;f(x))$ de $(\mathcal C_f)$ tend vers l’infini, c’est-à-dire lorsque $\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty$ , ou $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell$ , ou $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty$ . Les branches infinies apparaissent donc aux bornes de $D_f$ ; ce sont des asymptotes ou des branches paraboliques.

2) Asymptote verticale, asymptote horizontale

Définition 2

Si $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty$ (ou seulement à droite, ou à gauche, de $a$ ), la droite d’équation $x=a$ est une asymptote verticale à $(\mathcal C_f)$ .
Si $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=b$ (resp. $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ ), $b\in\R$ , la droite d’équation $y=b$ est une asymptote horizontale à $(\mathcal C_f)$ au voisinage de $+\infty$ (resp. $-\infty$ ).

Exemple 1

Soit $f(x)=\dfrac{3x+1}{x-2}$ . Étudier les branches infinies de $(\mathcal C_f)$ .

Voir la solution

$D_f=\R\setminus\{2\}$ . $\lim_{\pm\infty}f(x)=\lim_{\pm\infty}\frac{3x}{x}=3$ : la droite $y=3$ est asymptote horizontale au voisinage de $\pm\infty$ . En $2$ : le numérateur tend vers $7$ et $x-2\to0^\pm$ , donc $\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty$ et $\lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty$ : la droite $x=2$ est asymptote verticale.

3) Asymptote oblique

Définition 3

Soient $a\in\R^*$ et $b\in\R$ . Si $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-(ax+b)\big)=0$ (resp. en $-\infty$ ), on dit que la droite $(D):\ y=ax+b$ est une asymptote oblique à $(\mathcal C_f)$ au voisinage de $+\infty$ (resp. $-\infty$ ).

Propriété 1 : recherche de l’asymptote

Supposons $\lim_{x\to+\infty}f(x)=\pm\infty$ . Si $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=a$ avec $a\in\R^*$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-ax\big)=b$ avec $b\in\R$ , alors la droite $y=ax+b$ est une asymptote oblique à $(\mathcal C_f)$ au voisinage de $+\infty$ (de même en $-\infty$ ).

Propriété 2 : position relative

La position de $(\mathcal C_f)$ par rapport à $(D):\ y=ax+b$ s’obtient par le signe de $f(x)-(ax+b)$ : si $f(x)-(ax+b)>0$ sur $I$ , $(\mathcal C_f)$ est au-dessus de $(D)$ sur $I$ ; si $f(x)-(ax+b)<0$ , elle est au-dessous ; si $f(x)-(ax+b)=0$ , elles se coupent au point d’abscisse $x$ .

Exemple 2

Soit $f(x)=\dfrac{x^2-2x+2}{x-1}$ sur $D_f=\R\setminus\{1\}$ . Montrer que $(D):\ y=x-1$ est asymptote oblique à $(\mathcal C_f)$ au voisinage de $\pm\infty$ , et étudier la position relative.

Voir la solution

$x^2-2x+2=(x-1)^2+1$ , donc $f(x)=x-1+\frac1{x-1}$ et $f(x)-(x-1)=\frac1{x-1}\to0$ en $\pm\infty$ : $(D)$ est asymptote oblique au voisinage de $\pm\infty$ . $\frac1{x-1}>0\iff x>1$ : $(\mathcal C_f)$ est au-dessus de $(D)$ sur $]1;+\infty[$ et au-dessous sur $]-\infty;1[$ .

4) Branches paraboliques

Définition 4

Supposons $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\pm\infty$ (même chose en $-\infty$ ).

Si $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=\pm\infty$ : $(\mathcal C_f)$ admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage de $+\infty$ .
Si $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=0$ : $(\mathcal C_f)$ admet une branche parabolique de direction l’axe des abscisses.
Si $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=a\neq0$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-ax\big)=\pm\infty$ : $(\mathcal C_f)$ admet une branche parabolique de direction la droite $y=ax$ .

Remarque 1

Le calcul de $\lim\frac{f(x)}{x}$ n’a de sens pour classer une branche que si l’on a d’abord vérifié que $\lim f(x)=\pm\infty$ . Par exemple pour $f(x)=\frac{\sin x}x$ , $\lim_{+\infty}\frac{f(x)}x=0$ mais $\lim_{+\infty}f(x)=0$ : il n’y a pas de branche parabolique (asymptote horizontale $y=0$ ).

Exemple 3

Étudier la branche infinie de $(\mathcal C_f)$ au voisinage de $+\infty$ pour $f(x)=x^2+1$ , $g(x)=\sqrt{x+1}$ et $h(x)=2x+\sqrt x$ .

Voir la solution

$\lim f=+\infty$ et $\frac{f(x)}x=x+\frac1x\to+\infty$ : direction l’axe des ordonnées.
$\lim g=+\infty$ et $\frac{g(x)}x=\frac{\sqrt{x+1}}{x}=\sqrt{\frac1x+\frac1{x^2}}\to0$ : direction l’axe des abscisses.
$\lim h=+\infty$ , $\frac{h(x)}x=2+\frac1{\sqrt x}\to2$ et $h(x)-2x=\sqrt x\to+\infty$ : branche parabolique de direction la droite $y=2x$ .

II. Concavité d’une courbe — points d’inflexion

1) Définitions

Définition 5

Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ .

$(\mathcal C_f)$ est convexe sur $I$ si elle est située au-dessus de chacune de ses tangentes en des points d’abscisses dans $I$ .
$(\mathcal C_f)$ est concave sur $I$ si elle est située au-dessous de chacune de ses tangentes.
Un point $A(a;f(a))$ où $(\mathcal C_f)$ admet une tangente et change de concavité s’appelle un point d’inflexion ; en ce point la tangente traverse la courbe.

2) Concavité et dérivée seconde

Propriété 3 (admise)

Soit $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$ et $a\in I$ .

$(\mathcal C_f)$ est convexe sur $I$ $\iff(\forall x\in I)\ f''(x)\ge0$ .
$(\mathcal C_f)$ est concave sur $I$ $\iff(\forall x\in I)\ f''(x)\le0$ .
Si $f''$ s’annule en $a$ en changeant de signe, alors $A(a;f(a))$ est un point d’inflexion de $(\mathcal C_f)$ .
Si $f'$ s’annule en $a$ sans changer de signe (et $f'$ garde le même signe autour de $a$ ), alors $A(a;f(a))$ est un point d’inflexion, à tangente horizontale.

Remarque 2

$f''(a)=0$ ne suffit pas : pour $f(x)=x^4$ , $f''(0)=0$ mais $f''(x)=12x^2\ge0$ ne change pas de signe, donc $O$ n’est pas un point d’inflexion (la courbe est convexe sur $\R$ ).

Exemple 4

Étudier la concavité de $(\mathcal C_f)$ pour $f(x)=x^3-6x^2+9x+1$ .

Voir la solution

$f'(x)=3x^2-12x+9$ et $f''(x)=6x-12=6(x-2)$ .

$x$	$-\infty$		$2$		$+\infty$
$f''(x)$		$-$	$0$	$+$
$(\mathcal C_f)$		concave	$I(2;3)$	convexe

$f''$ s’annule en $2$ en changeant de signe : $I(2;f(2))=I(2;3)$ est un point d’inflexion.

III. Éléments de symétrie — périodicité

1) Centre et axe de symétrie

Propriété 4

Le point $\Omega(a;b)$ est un centre de symétrie de $(\mathcal C_f)$ si et seulement si, pour tout $x\in D_f$ : $2a-x\in D_f$ et $f(2a-x)=2b-f(x)$ .
La droite d’équation $x=a$ est un axe de symétrie de $(\mathcal C_f)$ si et seulement si, pour tout $x\in D_f$ : $2a-x\in D_f$ et $f(2a-x)=f(x)$ .

Remarque 3 : cas particuliers

$f$ impaire : $O$ est centre de symétrie ; $f$ paire : l’axe des ordonnées est axe de symétrie.
La courbe d’une fonction homographique $x\mapsto\frac{ax+b}{cx+d}$ ( $c\neq0$ , $ad-bc\neq0$ ) admet le centre de symétrie $\Omega\left(-\frac dc;\frac ac\right)$ ; celle de $x\mapsto ax^2+bx+c$ ( $a\neq0$ ) admet l’axe $x=-\frac{b}{2a}$ .
Un élément de symétrie permet de réduire l’intervalle d’étude.

Exemple 5

Montrer que $\Omega(1;0)$ est centre de symétrie de la courbe de $f(x)=\dfrac{x^2-2x+2}{x-1}$ (exemple 2).

Voir la solution

Si $x\neq1$ alors $2-x\neq1$ , donc $2-x\in D_f$ . Et $f(2-x)=(2-x)-1+\frac1{(2-x)-1}=1-x-\frac1{x-1}=-f(x)=2\times0-f(x)$ .

2) Fonction périodique

Définition 6

$f$ est périodique de période $T>0$ si, pour tout $x\in D_f$ : $x+T\in D_f$ , $x-T\in D_f$ et $f(x+T)=f(x)$ . Il suffit alors d’étudier $f$ sur un intervalle de longueur $T$ ; la courbe s’obtient par translations de vecteurs $kT\,\vec i$ ( $k\in\Z$ ).

Exemple 6

Soit $f(x)=\sin(2x)$ . Déterminer une période de $f$ , étudier sa parité, et en déduire un intervalle d’étude réduit.

Voir la solution

$f(x)=\sin(2x)$ est périodique de période $\pi$ ; elle est impaire, donc on peut l’étudier sur $\left[0;\frac\pi2\right]$ , compléter par symétrie de centre $O$ sur $\left[-\frac\pi2;\frac\pi2\right]$ , puis par translations.

IV. Construction d’une courbe

Méthode plan d’étude d’une fonction

Domaine de définition, réduction éventuelle (parité, périodicité, symétrie).
Limites aux bornes et branches infinies (asymptotes, branches paraboliques, positions relatives).
Dérivabilité (points particuliers, demi-tangentes), calcul de $f'$ , tableau de variations.
Dérivée seconde, concavité, points d’inflexion.
Points remarquables : intersections avec les axes, tangentes utiles.
Tracé : repère et unités, asymptotes, tangentes, points remarquables, puis la courbe en respectant le tableau de variations et la concavité.

Exemple 7 : étude complète

Construire la courbe de $f(x)=\dfrac{x^2-2x+2}{x-1}=x-1+\dfrac1{x-1}$ .

Voir la solution

$D_f=\R\setminus\{1\}$ ; centre de symétrie $\Omega(1;0)$ ; asymptote verticale $x=1$ ( $\lim_{1^+}f=+\infty$ , $\lim_{1^-}f=-\infty$ ), asymptote oblique $y=x-1$ en $\pm\infty$ .
$f'(x)=1-\frac1{(x-1)^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$ : $f$ croît sur $]-\infty;0]$ , décroît sur $[0;1[$ et sur $]1;2]$ , croît sur $[2;+\infty[$ ; $f(0)=-2$ (maximum local), $f(2)=2$ (minimum local).
$f''(x)=\frac2{(x-1)^3}$ : concave sur $]-\infty;1[$ , convexe sur $]1;+\infty[$ ; pas de point d’inflexion ( $1\notin D_f$ ).

Remarque 4 : utilisation graphique

Le nombre de solutions de l’équation $f(x)=m$ est le nombre de points d’intersection de $(\mathcal C_f)$ avec la droite horizontale $y=m$ ; les solutions de $f(x)\le g(x)$ sont les abscisses des points de $(\mathcal C_f)$ situés au-dessous de $(\mathcal C_g)$ .

Résumé

À retenir

$\lim_{a}f=\pm\infty$ : asymptote verticale $x=a$ ; $\lim_{\pm\infty}f=b$ : asymptote horizontale $y=b$ .
$\lim_{\pm\infty}\big(f(x)-(ax+b)\big)=0$ : asymptote oblique $y=ax+b$ ; on cherche $a=\lim\frac{f(x)}x$ puis $b=\lim(f(x)-ax)$ .
Si $\lim f=\pm\infty$ : $\frac{f(x)}x\to\pm\infty$ (direction $(Oy)$ ), $\to0$ (direction $(Ox)$ ), $\to a\neq0$ et $f(x)-ax\to\pm\infty$ (direction $y=ax$ ).
Position relative : signe de $f(x)-(ax+b)$ . Concavité : signe de $f''$ ; inflexion : $f''$ s’annule en changeant de signe.
Centre $\Omega(a;b)$ : $f(2a-x)=2b-f(x)$ ; axe $x=a$ : $f(2a-x)=f(x)$ (avec $2a-x\in D_f$ ).

Série d’exercices

Remarque — méthodes utilisées

Asymptotes : $\lim_a f=\pm\infty$ donne $x=a$ ; $\lim_{\pm\infty}f=b$ donne $y=b$ ; $\lim_{\pm\infty}\big(f(x)-(ax+b)\big)=0$ donne $y=ax+b$ .
Branches paraboliques (quand $\lim f=\pm\infty$ ) : on calcule $\lim\frac{f(x)}x$ , puis éventuellement $\lim\big(f(x)-ax\big)$ .
Position relative : signe de $f(x)-(ax+b)$ ; concavité : signe de $f''$ ; symétries : $f(2a-x)=2b-f(x)$ ou $f(2a-x)=f(x)$ .
Tous les résultats ont été contrôlés avec Python/sympy (build/verif_lot2.py) ; les courbes sont tracées à partir des expressions exactes.

Cadre. Toute réponse doit être justifiée. $(\mathcal C_f)$ désigne la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O;\vec i;\vec j)$ (sauf mention contraire) ; « interpréter graphiquement » signifie préciser les asymptotes (verticales, horizontales, obliques) ou les branches paraboliques correspondantes. Difficulté : de $\bigstar$ à $\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar$ .

Exercice 1 — Droites asymptotes Facile ★☆☆☆☆

Déterminer $D_f$ , puis calculer les limites de $f$ aux bornes de $D_f$ et interpréter graphiquement les résultats lorsque c’est possible, dans les cas suivants :

$f(x)=\dfrac{x^4}{x^2-9}$ ;
$f(x)=\dfrac{x+2}{x^2}$ ;
$f(x)=\dfrac{x-3}{\sqrt{x-2}}$ ;
$f(x)=\dfrac{3x^2}{x^2-x-6}$ ;
$f(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+4}}{x}$ ;
$f(x)=\dfrac{2x-1}{x+4}$ .

Voir la solution

1. $D_f=\R\setminus\{-3;3\}$ . En $\pm\infty$ : $f(x)\sim\frac{x^4}{x^2}=x^2$ , donc $\lim_{\pm\infty}f=+\infty$ (et $\frac{f(x)}x\to\pm\infty$ : branches paraboliques de direction $(Oy)$ ). En $3$ : le numérateur tend vers $81$ et $x^2-9=(x-3)(x+3)\to0^+$ si $x\to3^+$ , $0^-$ si $x\to3^-$ : $\lim_{3^+}f=+\infty$ , $\lim_{3^-}f=-\infty$ . En $-3$ : $x^2-9\to0^+$ si $x\to-3^-$ et $0^-$ si $x\to-3^+$ : $\lim_{-3^-}f=+\infty$ , $\lim_{-3^+}f=-\infty$ . Interprétation : les droites $x=3$ et $x=-3$ sont asymptotes verticales.

2. $D_f=\R^*$ . $\lim_{\pm\infty}\frac{x+2}{x^2}=\lim_{\pm\infty}\frac1x=0$ : asymptote horizontale $y=0$ au voisinage de $\pm\infty$ . En $0$ : numérateur $\to2$ , $x^2\to0^+$ : $\lim_{0^\pm}f=+\infty$ : asymptote verticale $x=0$ .

3. $D_f=]2;+\infty[$ . $\lim_{2^+}f$ : forme $\frac{-1}{0^+}$ , donc $-\infty$ : asymptote verticale $x=2$ . En $+\infty$ : $f(x)=\sqrt{x-2}-\frac1{\sqrt{x-2}}\to+\infty$ (branche infinie étudiée à l’exercice 5 : $\frac{f(x)}x\to0$ , direction $(Ox)$ ).

4. $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$ , $D_f=\R\setminus\{-2;3\}$ . $\lim_{\pm\infty}f=\frac31=3$ : asymptote horizontale $y=3$ . En $3$ : numérateur $\to27$ ; $(x-3)(x+2)\to0^\pm$ quand $x\to3^\pm$ : $\lim_{3^+}f=+\infty$ , $\lim_{3^-}f=-\infty$ . En $-2$ : numérateur $\to12$ ; $(x-3)(x+2)\to0^+$ si $x\to-2^-$ (deux facteurs négatifs) et $0^-$ si $x\to-2^+$ : $\lim_{-2^-}f=+\infty$ , $\lim_{-2^+}f=-\infty$ . Asymptotes verticales $x=3$ et $x=-2$ .

5. $D_f=\R^*$ . Pour $x\neq0$ : $\sqrt{x^2+4}=|x|\sqrt{1+\frac4{x^2}}$ , donc $f(x)=\frac{|x|}{x}\sqrt{1+\frac4{x^2}}$ : $\lim_{+\infty}f=1$ et $\lim_{-\infty}f=-1$ : asymptotes horizontales $y=1$ (en $+\infty$ ) et $y=-1$ (en $-\infty$ ). En $0$ : forme $\frac2{0^\pm}$ : $\lim_{0^+}f=+\infty$ , $\lim_{0^-}f=-\infty$ : asymptote verticale $x=0$ .

6. $D_f=\R\setminus\{-4\}$ . $\lim_{\pm\infty}f=2$ : asymptote $y=2$ . En $-4$ : numérateur $\to-9$ ; $\lim_{-4^+}f=-\infty$ , $\lim_{-4^-}f=+\infty$ : asymptote verticale $x=-4$ .

Exercice 2 — Lecture graphique d’asymptotes Facile ★☆☆☆☆

La courbe $(\mathcal C_f)$ ci-dessous est celle d’une fonction $f$ ; les droites en pointillés sont des asymptotes à $(\mathcal C_f)$ .

Déterminer $D_f$ , le domaine de définition de $f$ .
Déterminer les limites de $f$ aux bornes de $D_f$ .
Interpréter graphiquement ces résultats.

Voir la solution

1. La courbe n’a pas de point d’abscisse $-2$ ni $2$ : $D_f=\R\setminus\{-2;2\}=]-\infty;-2[\cup]-2;2[\cup]2;+\infty[$ .

2. $\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}f(x)=1$ ; $\lim_{x\to-2^-}f(x)=+\infty$ , $\lim_{x\to-2^+}f(x)=-\infty$ ; $\lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty$ , $\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty$ .

3. La droite $y=1$ est asymptote horizontale à $(\mathcal C_f)$ au voisinage de $-\infty$ et de $+\infty$ ; les droites $x=-2$ et $x=2$ sont asymptotes verticales.

Exercice 3 — Asymptote oblique (vérification) Facile ★☆☆☆☆

Montrer que la droite $(D)$ est une asymptote oblique à $(\mathcal C_f)$ au voisinage de $+\infty$ dans les cas suivants :

$f(x)=x-2+\dfrac3x$ et $(D):\ y=x-2$ ;
$f(x)=3x-1+\dfrac{2}{x+3}$ et $(D):\ y=3x-1$ .

Voir la solution

1. $f(x)-(x-2)=\frac3x\xrightarrow[x\to+\infty]{}0$ : $(D):\ y=x-2$ est asymptote oblique au voisinage de $+\infty$ .

2. $f(x)-(3x-1)=\frac2{x+3}\xrightarrow[x\to+\infty]{}0$ : $(D):\ y=3x-1$ est asymptote oblique au voisinage de $+\infty$ .

Exercice 4 — Recherche d’une asymptote oblique Facile ★★☆☆☆

Déterminer l’équation de l’asymptote oblique à $(\mathcal C_f)$ au voisinage de $+\infty$ dans les cas suivants :

$f(x)=\dfrac{3x^2-x+2}{x-1}$ ;
$f(x)=\dfrac{2x^2}{3-x}$ ;
$f(x)=\dfrac{4x^2-3x+2}{2x+1}$ ;
$f(x)=\dfrac{x^3}{(x+1)^2}$ ;
$f(x)=1-x+\dfrac{4x^2+x+3}{2x}$ ;
$f(x)=\sqrt{x^2+4x}$ .

Voir la solution

On écrit $f(x)=ax+b+r(x)$ avec $\lim_{+\infty}r(x)=0$ (division euclidienne), ou on calcule $a=\lim\frac{f(x)}x$ puis $b=\lim\big(f(x)-ax\big)$ .

1. $3x^2-x+2=(x-1)(3x+2)+4$ , donc $f(x)=3x+2+\frac4{x-1}$ : asymptote $y=3x+2$ .

2. $2x^2=(3-x)(-2x-6)+18$ , donc $f(x)=-2x-6+\frac{18}{3-x}$ : asymptote $y=-2x-6$ .

3. $4x^2-3x+2=(2x+1)\left(2x-\frac52\right)+\frac92$ , donc $f(x)=2x-\frac52+\frac{9}{2(2x+1)}$ : asymptote $y=2x-\frac52$ .

4. $x^3=(x+1)^2(x-2)+3x+2$ , donc $f(x)=x-2+\frac{3x+2}{(x+1)^2}$ et $\frac{3x+2}{(x+1)^2}\to0$ : asymptote $y=x-2$ .

5. $f(x)=1-x+2x+\frac12+\frac3{2x}=x+\frac32+\frac3{2x}$ : asymptote $y=x+\frac32$ .

6. Pour $x>0$ : $\frac{f(x)}x=\sqrt{1+\frac4x}\to1=a$ ; $f(x)-x=\frac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x}=\frac{4}{\sqrt{1+\frac4x}+1}\to2=b$ : asymptote $y=x+2$ .

Exercice 5 — Branches paraboliques Facile ★★☆☆☆

Déterminer la nature de la branche infinie de $(\mathcal C_f)$ au voisinage de $+\infty$ dans les cas suivants :

$f(x)=-2x^3+x^2$ ;
$f(x)=x^2-3x+5$ ;
$f(x)=3x-2+\dfrac{x\sqrt x}{x+1}$ ;
$f(x)=x+\sqrt{2x+1}$ ;
$f(x)=4x+\sqrt x+\sqrt{x+3}$ ;
$f(x)=-2x+1+\sqrt{x+5}$ ;
$f(x)=1+\sqrt{3x+2}$ ;
$f(x)=x\sqrt{x^2+x+1}$ .

Voir la solution

1. $\lim f=-\infty$ et $\frac{f(x)}x=-2x^2+x\to-\infty$ : branche parabolique de direction $(Oy)$ .

2. $\lim f=+\infty$ et $\frac{f(x)}x=x-3+\frac5x\to+\infty$ : direction $(Oy)$ .

3. $\frac{x\sqrt x}{x+1}=\sqrt x\cdot\frac x{x+1}\to+\infty$ , donc $\lim f=+\infty$ ; $\frac{f(x)}x=3-\frac2x+\frac{\sqrt x}{x+1}\to3$ ; $f(x)-3x=-2+\frac{x\sqrt x}{x+1}\to+\infty$ : branche parabolique de direction la droite $y=3x$ .

4. $\lim f=+\infty$ ; $\frac{f(x)}x=1+\sqrt{\frac2x+\frac1{x^2}}\to1$ ; $f(x)-x=\sqrt{2x+1}\to+\infty$ : direction $y=x$ .

5. $\frac{f(x)}x=4+\frac1{\sqrt x}+\sqrt{\frac1x+\frac3{x^2}}\to4$ ; $f(x)-4x=\sqrt x+\sqrt{x+3}\to+\infty$ : direction $y=4x$ .

6. $f(x)=x\left(-2+\frac1x+\sqrt{\frac1x+\frac5{x^2}}\right)\to-\infty$ ; $\frac{f(x)}x\to-2$ ; $f(x)+2x=1+\sqrt{x+5}\to+\infty$ : direction $y=-2x$ .

7. $\lim f=+\infty$ ; $\frac{f(x)}x=\frac1x+\sqrt{\frac3x+\frac2{x^2}}\to0$ : direction $(Ox)$ .

8. $\lim f=+\infty$ ; $\frac{f(x)}x=\sqrt{x^2+x+1}\to+\infty$ : direction $(Oy)$ .

Exercice 6 — Étude d’une fonction rationnelle Moyen ★★★☆☆

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{2x^2}{2x+1}$ .

Déterminer $D_f$ .
a. Déterminer les limites de $f$ aux bornes de $D_f$ . b. En déduire l’équation de l’asymptote verticale de $(\mathcal C_f)$ .
a. Montrer que, pour tout $x\in D_f$ : $f(x)=x-\dfrac12+\dfrac1{4x+2}$ . b. Montrer par deux méthodes que la droite $(D):\ y=x-\dfrac12$ est une asymptote oblique à $(\mathcal C_f)$ au voisinage de $+\infty$ et de $-\infty$ . c. Étudier les positions relatives de $(D)$ et $(\mathcal C_f)$ .
Montrer que le point $A\left(-\frac12;-1\right)$ est un centre de symétrie de $(\mathcal C_f)$ .
a. Montrer que, pour tout $x\in D_f$ : $f'(x)=\dfrac{4x(x+1)}{(2x+1)^2}$ . b. Dresser le tableau de variations de $f$ .
Déterminer l’équation de la tangente $(T)$ à $(\mathcal C_f)$ au point d’abscisse $1$ .
Construire $(\mathcal C_f)$ et $(T)$ .
Soit $m\in\R$ . Déterminer graphiquement, suivant les valeurs de $m$ , le nombre de solutions de l’équation $f(x)=m$ .

Voir la solution

1. $2x+1\neq0\iff x\neq-\frac12$ : $D_f=\R\setminus\left\{-\frac12\right\}$ .

2. a. $\lim_{\pm\infty}f=\lim_{\pm\infty}\frac{2x^2}{2x}=\lim_{\pm\infty}x=\pm\infty$ . En $-\frac12$ : numérateur $\to\frac12$ , $2x+1\to0^\pm$ quand $x\to\left(-\frac12\right)^\pm$ : $\lim_{(-\frac12)^+}f=+\infty$ , $\lim_{(-\frac12)^-}f=-\infty$ .

b. La droite $x=-\frac12$ est asymptote verticale.

3. a. $x-\frac12+\frac1{4x+2}=\frac{\left(x-\frac12\right)(4x+2)+1}{4x+2}=\frac{4x^2+2x-2x-1+1}{4x+2}=\frac{4x^2}{4x+2}=\frac{2x^2}{2x+1}=f(x)$ .

b. Méthode 1 : $f(x)-\left(x-\frac12\right)=\frac1{4x+2}\to0$ en $\pm\infty$ . Méthode 2 : $\frac{f(x)}x=\frac{2x}{2x+1}\to1$ et $f(x)-x=\frac{-x}{2x+1}\to-\frac12$ . Dans les deux cas, $(D):\ y=x-\frac12$ est asymptote oblique au voisinage de $\pm\infty$ .

c. $\frac1{4x+2}>0\iff x>-\frac12$ : $(\mathcal C_f)$ est au-dessus de $(D)$ sur $\left]-\frac12;+\infty\right[$ et au-dessous sur $\left]-\infty;-\frac12\right[$ .

4. Soit $x\in D_f$ : $2\times\left(-\frac12\right)-x=-1-x$ et $-1-x=-\frac12\iff x=-\frac12$ , donc $-1-x\in D_f$ . De plus $f(-1-x)=-1-x-\frac12+\frac1{-4-4x+2}=-x-\frac32-\frac1{4x+2}$ et $2\times(-1)-f(x)=-2-x+\frac12-\frac1{4x+2}=-x-\frac32-\frac1{4x+2}.$ Donc $f(-1-x)=-2-f(x)$ : $A\left(-\frac12;-1\right)$ est centre de symétrie.

5. a. $f'(x)=1-\frac{4}{(4x+2)^2}=1-\frac1{(2x+1)^2}=\frac{(2x+1)^2-1}{(2x+1)^2}=\frac{4x^2+4x}{(2x+1)^2}=\frac{4x(x+1)}{(2x+1)^2}$ .

b. $f(-1)=-2$ , $f(0)=0$ .

$x$	$-\infty$		$-1$		$-\frac12$		$0$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	‖	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$-\infty$	$\nearrow$	$-2$	$\searrow$	$-\infty$ ‖ $+\infty$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$	$+\infty$

6. $f(1)=\frac23$ , $f'(1)=\frac89$ : $(T):\ y=\frac89(x-1)+\frac23=\frac89x-\frac29$ .

7. Construction (asymptotes en pointillés, $(T)$ en rouge) :

8. Les solutions de $f(x)=m$ sont les abscisses des points d’intersection de $(\mathcal C_f)$ avec la droite $y=m$ . D’après le tableau : si $m<-2$ : deux solutions (une dans $]-\infty;-1[$ , une dans $\left]-1;-\frac12\right[$ ) ; si $m=-2$ : une solution ( $x=-1$ ) ; si $-2<m<0$ : aucune solution ; si $m=0$ : une solution ( $x=0$ ) ; si $m>0$ : deux solutions (une dans $\left]-\frac12;0\right[$ , une dans $]0;+\infty[$ ).

Exercice 7 — Étude d’une fonction rationnelle Moyen ★★★☆☆

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{x^2-x-2}{2(x-3)}$ .

Déterminer $D_f$ .
a. Déterminer les limites de $f$ aux bornes de $D_f$ . b. En déduire l’équation de l’asymptote verticale de $(\mathcal C_f)$ .
a. Montrer que, pour tout $x\in D_f$ : $f(x)=\dfrac12x+1+\dfrac2{x-3}$ . b. En déduire que $(D):\ y=\dfrac12x+1$ est une asymptote oblique à $(\mathcal C_f)$ au voisinage de $\pm\infty$ . c. Étudier les positions relatives de $(D)$ et $(\mathcal C_f)$ .
a. Montrer que, pour tout $x\in D_f$ : $f'(x)=\dfrac{(x-1)(x-5)}{2(x-3)^2}$ . b. Dresser le tableau de variations de $f$ .
Étudier la concavité de $(\mathcal C_f)$ .
Montrer que le point $A\left(3;\frac52\right)$ est un centre de symétrie de $(\mathcal C_f)$ .
Déterminer les points d’intersection de $(\mathcal C_f)$ avec les axes du repère.
Construire $(\mathcal C_f)$ .
Soit $(\Delta)$ la droite d’équation $y=\dfrac15x$ . a. Vérifier que $(\Delta)$ coupe $(\mathcal C_f)$ aux points d’abscisses $-2$ et $\frac53$ . b. Résoudre graphiquement l’inéquation $x\in D_f$ : $f(x)\le\dfrac15x$ .

Voir la solution

1. $D_f=\R\setminus\{3\}$ .

2. a. $\lim_{\pm\infty}f=\lim_{\pm\infty}\frac{x^2}{2x}=\pm\infty$ . En $3$ : numérateur $\to4$ ; $\lim_{3^+}f=+\infty$ , $\lim_{3^-}f=-\infty$ .

b. Asymptote verticale $x=3$ .

3. a. $\left(\frac12x+1\right)\cdot2(x-3)+4=(x+2)(x-3)+4=x^2-x-2$ , donc $f(x)=\frac12x+1+\frac4{2(x-3)}=\frac12x+1+\frac2{x-3}$ .

b. $f(x)-\left(\frac12x+1\right)=\frac2{x-3}\to0$ en $\pm\infty$ : $(D)$ est asymptote oblique au voisinage de $\pm\infty$ .

c. $\frac2{x-3}>0\iff x>3$ : $(\mathcal C_f)$ est au-dessus de $(D)$ sur $]3;+\infty[$ , au-dessous sur $]-\infty;3[$ .

4. a. $f'(x)=\frac12-\frac2{(x-3)^2}=\frac{(x-3)^2-4}{2(x-3)^2}=\frac{(x-5)(x-1)}{2(x-3)^2}$ .

b. $f(1)=\frac12$ , $f(5)=\frac92$ .

$x$	$-\infty$		$1$		$3$		$5$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	‖	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$-\infty$	$\nearrow$	$\frac12$	$\searrow$	$-\infty$ ‖ $+\infty$	$\searrow$	$\frac92$	$\nearrow$	$+\infty$

5. $f''(x)=\left(-2(x-3)^{-2}\right)'=\frac{4}{(x-3)^3}$ : $f''<0$ sur $]-\infty;3[$ ( $(\mathcal C_f)$ concave) et $f''>0$ sur $]3;+\infty[$ (convexe). Il n’y a pas de point d’inflexion ( $3\notin D_f$ ).

6. Si $x\neq3$ alors $6-x\neq3$ . $f(6-x)=3-\frac x2+1+\frac2{3-x}=4-\frac x2-\frac2{x-3}$ et $5-f(x)=5-\frac x2-1-\frac2{x-3}=4-\frac x2-\frac2{x-3}$ . Donc $f(6-x)=2\times\frac52-f(x)$ : $A\left(3;\frac52\right)$ est centre de symétrie.

7. Axe $(Ox)$ : $f(x)=0\iff x^2-x-2=0\iff x=-1$ ou $x=2$ : points $(-1;0)$ et $(2;0)$ . Axe $(Oy)$ : $f(0)=\frac{-2}{-6}=\frac13$ : point $\left(0;\frac13\right)$ .

8. Construction (en violet, la droite $(\Delta)$ de la question 9) :

9. a. $f(-2)=\frac{4}{-10}=-\frac25=\frac15\times(-2)$ et $f\left(\frac53\right)=\frac{-\frac89}{-\frac83}=\frac13=\frac15\times\frac53$ : $(\Delta)$ coupe $(\mathcal C_f)$ aux points d’abscisses $-2$ et $\frac53$ .

b. Graphiquement, $(\mathcal C_f)$ est au-dessous de $(\Delta)$ pour $x\le-2$ et pour $\frac53\le x<3$ . (Contrôle algébrique : $f(x)-\frac x5=\frac{(x+2)(3x-5)}{10(x-3)}$ .) Donc l’ensemble des solutions : $S=]-\infty;-2]\cup\left[\frac53;3\right[$ .

Exercice 8 — Étude d’une fonction polynomiale Facile ★★☆☆☆

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^3+3x^2-2$ .

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$ .
Étudier les branches infinies de $(\mathcal C_f)$ au voisinage de $+\infty$ et de $-\infty$ .
Dresser le tableau de variations de $f$ .
Dresser le tableau de concavité de $(\mathcal C_f)$ et en déduire qu’elle admet un unique point d’inflexion $\Omega$ , que l’on déterminera.
Vérifier que $\Omega$ est un centre de symétrie de $(\mathcal C_f)$ .
Donner l’équation de la tangente $(T)$ à $(\mathcal C_f)$ en $\Omega$ .
Construire $(\mathcal C_f)$ et $(T)$ .

Voir la solution

1. $\lim_{+\infty}f=\lim_{+\infty}x^3=+\infty$ ; $\lim_{-\infty}f=-\infty$ .

2. $\frac{f(x)}x=x^2+3x-\frac2x\to+\infty$ en $\pm\infty$ : branches paraboliques de direction $(Oy)$ au voisinage de $+\infty$ et de $-\infty$ .

3. $f'(x)=3x^2+6x=3x(x+2)$ ; $f(-2)=2$ , $f(0)=-2$ .

$x$	$-\infty$		$-2$		$0$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$-\infty$	$\nearrow$	$2$	$\searrow$	$-2$	$\nearrow$	$+\infty$

4. $f''(x)=6x+6=6(x+1)$ .

$x$	$-\infty$		$-1$		$+\infty$
$f''(x)$		$-$	$0$	$+$
$(\mathcal C_f)$		concave	$\Omega(-1;0)$	convexe

$f''$ s’annule uniquement en $-1$ , en changeant de signe : $\Omega(-1;f(-1))=\Omega(-1;0)$ est l’unique point d’inflexion.

5. Pour $x\in\R$ : $-2-x\in\R$ et $f(-2-x)=-(x+2)^3+3(x+2)^2-2=-x^3-3x^2+2=-f(x)=2\times0-f(x)$ : $\Omega$ est centre de symétrie.

6. $f'(-1)=-3$ : $(T):\ y=-3(x+1)=-3x-3$ .

7. $f(x)=(x+1)(x^2+2x-2)$ s’annule en $-1$ et $-1\pm\sqrt3$ .

Exercice 9 — Étude d’une fonction irrationnelle Moyen ★★★☆☆

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\sqrt{x^2+2x-8}$ .

Déterminer $D_f$ .
Montrer que la droite d’équation $x=-1$ est un axe de symétrie de $(\mathcal C_f)$ .
a. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ . b. Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(f(x)+x+1\right)=0$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-x-1\right)=0$ . c. En déduire que $(\mathcal C_f)$ admet deux asymptotes obliques $(D)$ au voisinage de $-\infty$ et $(D')$ au voisinage de $+\infty$ .
a. Vérifier que : $(\forall x\in]-\infty;-4])\ f(x)=\sqrt{-(x+4)}\times\sqrt{-(x-2)}$ et $(\forall x\in[2;+\infty[)\ f(x)=\sqrt{x+4}\times\sqrt{x-2}$ . b. Étudier la dérivabilité de $f$ à gauche en $-4$ et à droite en $2$ , puis interpréter graphiquement les résultats.
a. Montrer que, pour tout $x\in D_f\setminus\{-4;2\}$ : $f'(x)=\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+2x-8}}$ . b. Dresser le tableau de variations de $f$ .
Tracer $(D)$ , $(D')$ et $(\mathcal C_f)$ .

Voir la solution

1. $x^2+2x-8=(x+4)(x-2)\ge0\iff x\in]-\infty;-4]\cup[2;+\infty[=D_f$ .

2. Soit $x\in D_f$ : $(-2-x+4)(-2-x-2)=(2-x)(-x-4)=(x-2)(x+4)\ge0$ , donc $-2-x\in D_f$ et $f(-2-x)=\sqrt{(x-2)(x+4)}=f(x)$ . La droite $x=-1$ est axe de symétrie.

3. a. $x^2+2x-8\to+\infty$ en $\pm\infty$ , donc $\lim_{\pm\infty}f=+\infty$ .

b. Expression conjuguée : $f(x)-(x+1)=\frac{x^2+2x-8-(x+1)^2}{f(x)+x+1}=\frac{-9}{f(x)+x+1}\xrightarrow[x\to+\infty]{}0$ ; et $f(x)+x+1=f(x)-(-x-1)=\frac{-9}{f(x)-x-1}\xrightarrow[x\to-\infty]{}0$ (car $f(x)\to+\infty$ et $-x-1\to+\infty$ ).

c. $(D):\ y=-x-1$ est asymptote oblique au voisinage de $-\infty$ et $(D'):\ y=x+1$ au voisinage de $+\infty$ .

4. a. Si $x\le-4$ : $x+4\le0$ et $x-2<0$ , donc $-(x+4)\ge0$ , $-(x-2)>0$ et $(x+4)(x-2)=\big(-(x+4)\big)\big(-(x-2)\big)$ , d’où $f(x)=\sqrt{-(x+4)}\sqrt{-(x-2)}$ . Si $x\ge2$ : les deux facteurs sont positifs, $f(x)=\sqrt{x+4}\sqrt{x-2}$ .

b. À gauche en $-4$ : pour $x<-4$ , $\frac{f(x)-f(-4)}{x+4}=\frac{\sqrt{-(x+4)}\sqrt{2-x}}{-\big(-(x+4)\big)}=-\frac{\sqrt{2-x}}{\sqrt{-(x+4)}}\to-\infty$ (forme $\frac{-\sqrt6}{0^+}$ ) : $f$ n’est pas dérivable à gauche en $-4$ ; demi-tangente verticale (dirigée vers le haut) au point $(-4;0)$ . À droite en $2$ : $\frac{f(x)}{x-2}=\frac{\sqrt{x+4}}{\sqrt{x-2}}\to+\infty$ : non dérivable à droite en $2$ ; demi-tangente verticale (vers le haut) au point $(2;0)$ .

5. a. Sur $]-\infty;-4[\cup]2;+\infty[$ , $x^2+2x-8>0$ : $f'(x)=\frac{2x+2}{2\sqrt{x^2+2x-8}}=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x-8}}$ .

b. $f'<0$ sur $]-\infty;-4[$ ( $x+1<0$ ) et $f'>0$ sur $]2;+\infty[$ .

$x$	$-\infty$		$-4$		$2$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$				$+$
$f(x)$	$+\infty$	$\searrow$	$0$	(non défini)	$0$	$\nearrow$	$+\infty$

Exercice 10 — Étude d’une fonction trigonométrique Difficile ★★★★☆

Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)=\dfrac{1+\cos x}{\sin x}$ si $x\neq k\pi$ , et $f\big((2k+1)\pi\big)=0$ , où $k\in\Z$ .

Montrer que $D_f=\R\setminus\{2k\pi\ /\ k\in\Z\}$ .
Montrer que $f$ est impaire.
Montrer que $f$ est périodique de période $2\pi$ .
En déduire qu’il suffit d’étudier $f$ sur $D_E=]0;\pi]$ .
Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to\pi}f(x)=f(\pi)$ .
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)$ et interpréter graphiquement le résultat.
a. Montrer que, pour tout $x\in]0;\pi[$ : $f'(x)=\dfrac{-1}{1-\cos x}$ . b. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $D_E$ .
Construire $(\mathcal C_f)$ sur $]-2\pi;2\pi[\setminus\{0\}$ .

Voir la solution

1. $\sin x=0\iff x=k\pi$ ( $k\in\Z$ ). Pour $x\neq k\pi$ , $f(x)$ est donné par la formule ; pour $x=(2k+1)\pi$ , $f(x)=0$ ; pour $x=2k\pi$ , $f(x)$ n’est pas défini. Donc $D_f=\R\setminus\{2k\pi\ /\ k\in\Z\}$ .

2. $x\in D_f\iff-x\in D_f$ . Si $x\neq k\pi$ : $f(-x)=\frac{1+\cos x}{-\sin x}=-f(x)$ . Si $x=(2k+1)\pi$ : $-x=(2(-k-1)+1)\pi$ et $f(-x)=0=-f(x)$ . Donc $f$ est impaire.

3. $x\in D_f\iff x+2\pi\in D_f$ et, $\cos$ et $\sin$ étant $2\pi$ -périodiques, $f(x+2\pi)=f(x)$ (y compris aux points $(2k+1)\pi$ ). $f$ est périodique de période $2\pi$ .

4. Par périodicité, il suffit d’étudier $f$ sur $]-\pi;\pi]\setminus\{0\}$ (intervalle de longueur $2\pi$ ) ; par imparité (symétrie de centre $O$ ), il suffit de l’étudier sur $]0;\pi]$ : $D_E=]0;\pi]$ .

5. Pour $x$ voisin de $\pi$ , $x\neq\pi$ : $\frac{1+\cos x}{\sin x}=\frac{(1+\cos x)(1-\cos x)}{\sin x(1-\cos x)}=\frac{\sin^2x}{\sin x(1-\cos x)}=\frac{\sin x}{1-\cos x}\to\frac02=0=f(\pi)$ .

6. Quand $x\to0^+$ : $1+\cos x\to2$ et $\sin x\to0^+$ : $\lim_{0^+}f=+\infty$ . La droite $x=0$ (l’axe des ordonnées) est asymptote verticale ; par périodicité, les droites $x=2k\pi$ le sont aussi.

7. a. Pour $x\in]0;\pi[$ : $f'(x)=\frac{-\sin x\sin x-(1+\cos x)\cos x}{\sin^2x}=\frac{-(\sin^2x+\cos^2x)-\cos x}{\sin^2x}=\frac{-(1+\cos x)}{(1-\cos x)(1+\cos x)}=\frac{-1}{1-\cos x}.$

b. $f'(x)<0$ sur $]0;\pi[$ : $f$ est strictement décroissante sur $]0;\pi]$ , de $+\infty$ à $f(\pi)=0$ (on peut vérifier que $f'(\pi)=-\frac12$ ).

$x$	$0$		$\pi$
$f'(x)$	‖	$-$
$f(x)$	‖ $+\infty$	$\searrow$	$0$

8. On trace sur $]0;\pi]$ , on complète par symétrie de centre $O$ sur $[-\pi;0[$ , puis par translation de vecteur $\pm2\pi\vec i$ :

Exercice 11 — Lecture d’une courbe Moyen ★★★☆☆

Dans la figure ci-dessous, $(\mathcal C_f)$ est la courbe représentative, dans un repère orthonormé, d’une fonction $f$ définie sur $\R$ . La droite $(\Delta):\ y=-x$ est asymptote à $(\mathcal C_f)$ au voisinage de $-\infty$ ; la droite rouge $(T)$ est la tangente à $(\mathcal C_f)$ au point $A(-1;2)$ . La courbe admet une tangente horizontale aux points d’abscisses $1$ et $4$ , et un point anguleux d’abscisse $2$ (demi-tangentes de coefficients directeurs $3$ à gauche et $-2$ à droite). Au voisinage de $+\infty$ , $(\mathcal C_f)$ admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.

Déterminer $D_f$ , puis déterminer les limites de $f$ aux bornes de $D_f$ .
Déterminer : $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}x$ ; $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(f(x)+x\right)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x$ .
Donner le tableau de variations de la fonction $f$ en précisant le signe de $f'$ .
Déterminer : $f'(1)$ ; $f'_g(2)$ ; $f'_d(2)$ et $\displaystyle\lim_{x\to4}\frac{f(x)}{x-4}$ .
Dresser le tableau de concavité de $(\mathcal C_f)$ en précisant le signe de $f''$ (là où elle existe).
Donner l’équation de la tangente $(T)$ au point d’abscisse $-1$ .
Discuter, suivant les valeurs du paramètre réel $m$ , le nombre des solutions de l’équation $f(x)=m$ (on admettra que $f(6)=2$ ).

Voir la solution

1. $D_f=\R$ ; $\lim_{-\infty}f=+\infty$ et $\lim_{+\infty}f=+\infty$ .

2. $(\Delta):\ y=-x$ étant asymptote au voisinage de $-\infty$ : $\lim_{-\infty}\frac{f(x)}x=-1$ et $\lim_{-\infty}\big(f(x)+x\big)=0$ . La branche parabolique de direction $(Oy)$ en $+\infty$ donne $\lim_{+\infty}\frac{f(x)}x=+\infty$ .

3. Lecture : $f(1)=1$ , $f(2)=2$ , $f(4)=0$ .

$x$	$-\infty$		$1$		$2$		$4$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$	‖	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$+\infty$	$\searrow$	$1$	$\nearrow$	$2$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$	$+\infty$

4. $f'(1)=0$ (tangente horizontale) ; $f'_g(2)=3$ et $f'_d(2)=-2$ (demi-tangentes) ; comme $f(4)=0$ : $\displaystyle\lim_{x\to4}\frac{f(x)}{x-4}=\lim_{x\to4}\frac{f(x)-f(4)}{x-4}=f'(4)=0$ .

5. La courbe est au-dessus de ses tangentes sur $]-\infty;2[$ et sur $]2;+\infty[$ :

$x$	$-\infty$		$2$		$+\infty$
$f''(x)$		$+$	‖	$+$
$(\mathcal C_f)$		convexe		convexe

Il n’y a pas de point d’inflexion (en $2$ , la courbe n’a pas de tangente).

6. $(T)$ passe par $A(-1;2)$ et par le point $(3;-1)$ : coefficient directeur $\frac{-1-2}{3+1}=-\frac34$ , donc $f'(-1)=-\frac34$ et $(T):\ y=-\frac34(x+1)+2=-\frac34x+\frac54$ .

7. On compte les points d’intersection de $(\mathcal C_f)$ et de la droite $y=m$ (avec $f(-1)=2$ et $f(6)=2$ ) :

$m$	$m<0$	$m=0$	$0<m<1$	$m=1$	$1<m<2$	$m=2$	$m>2$
nombre de solutions	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$3$	$2$

(Par exemple, pour $m=2$ : $x=-1$ , $x=2$ et $x=6$ .)

Exercice 12 — Fonction définie par morceaux Difficile ★★★★☆

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f(x)=\sqrt x+\dfrac4{\sqrt x}-5$ si $x\ge1$ et $f(x)=\dfrac{x^2-x}{x-2}$ si $x<1$ .

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x$ , puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\big(f(x)-(x+1)\big)$ , puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
Étudier les positions relatives de $(\mathcal C_f)$ et de la droite $(D)$ d’équation $y=x+1$ sur $]-\infty;1[$ .
Étudier la dérivabilité de $f$ à droite et à gauche en $1$ et interpréter graphiquement les résultats obtenus.
Montrer que : $(\forall x\in]1;+\infty[)\ f'(x)=\dfrac{x-4}{2x\sqrt x}$ et $(\forall x\in]-\infty;1[)\ f'(x)=\dfrac{(x-2)^2-2}{(x-2)^2}$ .
Dresser le tableau de variations de $f$ .
Montrer que : $(\forall x\in]1;+\infty[)\ f''(x)=\dfrac{12-x}{4x^2\sqrt x}$ et $(\forall x\in]-\infty;1[)\ f''(x)=\dfrac4{(x-2)^3}$ .
Étudier la concavité de $(\mathcal C_f)$ et montrer que $(\mathcal C_f)$ admet un unique point d’inflexion $I$ .
Calculer $f(4)$ et déterminer les points d’intersection de $(\mathcal C_f)$ et de l’axe $(Ox)$ .
Construire $(\mathcal C_f)$ .

Voir la solution

1. $\lim_{+\infty}\left(\sqrt x+\frac4{\sqrt x}-5\right)=+\infty$ ; $\frac{f(x)}x=\frac1{\sqrt x}+\frac4{x\sqrt x}-\frac5x\to0$ : branche parabolique de direction l’axe des abscisses au voisinage de $+\infty$ .

2. Pour $x<1$ : $x^2-x=(x-2)(x+1)+2$ , donc $f(x)=x+1+\frac2{x-2}$ . $\lim_{-\infty}f=-\infty$ et $f(x)-(x+1)=\frac2{x-2}\to0$ : la droite $(D):\ y=x+1$ est asymptote oblique au voisinage de $-\infty$ .

3. Sur $]-\infty;1[$ , $x-2<0$ , donc $f(x)-(x+1)<0$ : $(\mathcal C_f)$ est au-dessous de $(D)$ .

4. $f(1)=1+4-5=0$ .

À droite : pour $x>1$ , $\frac{f(x)}{x-1}=\frac{x-5\sqrt x+4}{\sqrt x(x-1)}=\frac{(\sqrt x-1)(\sqrt x-4)}{\sqrt x(\sqrt x-1)(\sqrt x+1)}=\frac{\sqrt x-4}{\sqrt x(\sqrt x+1)}\to-\frac32$ : $f'_d(1)=-\frac32$ .
À gauche : $\frac{f(x)}{x-1}=\frac{x(x-1)}{(x-2)(x-1)}=\frac x{x-2}\to-1$ : $f'_g(1)=-1$ .

$f'_d(1)\neq f'_g(1)$ : $f$ n’est pas dérivable en $1$ ; le point $(1;0)$ est un point anguleux (demi-tangentes $y=-\frac32(x-1)$ , $x\ge1$ , et $y=-(x-1)$ , $x\le1$ ).

5. Pour $x>1$ : $f'(x)=\frac1{2\sqrt x}-\frac{4}{2x\sqrt x}=\frac{x-4}{2x\sqrt x}$ . Pour $x<1$ : $f'(x)=1-\frac2{(x-2)^2}=\frac{(x-2)^2-2}{(x-2)^2}$ .

6. Sur $]-\infty;1[$ : $(x-2)^2-2=\left(x-2-\sqrt2\right)\left(x-2+\sqrt2\right)$ ; comme $x-2-\sqrt2<0$ , $f'(x)$ a le signe contraire de $x-(2-\sqrt2)$ . $f(2-\sqrt2)=3-2\sqrt2$ . Sur $]1;+\infty[$ : signe de $x-4$ ; $f(4)=-1$ .

$x$	$-\infty$		$2-\sqrt2$		$1$		$4$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	‖	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$-\infty$	$\nearrow$	$3-2\sqrt2$	$\searrow$	$0$	$\searrow$	$-1$	$\nearrow$	$+\infty$

7. Pour $x>1$ , on écrit $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt x}-\frac{2}{x\sqrt x}$ ; or $\left(\frac1{\sqrt x}\right)'=-\frac1{2x\sqrt x}$ et $\left(\frac1{x\sqrt x}\right)'=-\frac{3}{2x^2\sqrt x}$ , donc $f''(x)=-\frac1{4x\sqrt x}+\frac{3}{x^2\sqrt x}=\frac{-x+12}{4x^2\sqrt x}$ . Pour $x<1$ : $f'(x)=1-2(x-2)^{-2}$ , donc $f''(x)=4(x-2)^{-3}=\frac4{(x-2)^3}$ .

8. Sur $]-\infty;1[$ : $f''<0$ , $(\mathcal C_f)$ concave. Sur $]1;12[$ : $f''>0$ , convexe ; sur $]12;+\infty[$ : $f''<0$ , concave. $f''$ s’annule en $12$ en changeant de signe : $I\left(12;\frac{8\sqrt3}3-5\right)$ est un point d’inflexion. En $1$ , la courbe change aussi de concavité mais n’y admet pas de tangente (point anguleux) : ce n’est pas un point d’inflexion. $I$ est donc l’unique point d’inflexion.

9. $f(4)=2+2-5=-1$ . Sur $]-\infty;1[$ : $f(x)=0\iff x(x-1)=0\iff x=0$ . Sur $[1;+\infty[$ : $f(x)=0\iff x-5\sqrt x+4=0\iff(\sqrt x-1)(\sqrt x-4)=0\iff x=1$ ou $x=16$ . Points d’intersection : $(0;0)$ , $(1;0)$ et $(16;0)$ .

10. (Repère orthogonal : unité verticale double de l’unité horizontale.)

Exercice 13 — Fonction irrationnelle Difficile ★★★★☆

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x\sqrt{\dfrac{x}{x+2}}$ .

Déterminer $D_f$ .
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$ .
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-2^-}f(x)$ et interpréter graphiquement le résultat obtenu.
Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $0$ et interpréter graphiquement le résultat obtenu.
a. Montrer que, pour tout $x\in D_f\setminus\{0\}$ : $f'(x)=\dfrac{x+3}{x+2}\sqrt{\dfrac{x}{x+2}}$ . b. Dresser le tableau de variations de $f$ .
a. Montrer que, pour tout $x\in D_f\setminus\{0\}$ : $f(x)-x=\dfrac{-2x}{(x+2)\left(\sqrt{\frac{x}{x+2}}+1\right)}$ . b. En déduire que la droite $(D)$ d’équation $y=x-1$ est une asymptote oblique à $(\mathcal C_f)$ au voisinage de $\pm\infty$ .
Construire $(\mathcal C_f)$ .

Voir la solution

1. $x\in D_f\iff x+2\neq0$ et $\frac x{x+2}\ge0\iff x\in]-\infty;-2[\cup[0;+\infty[$ (tableau de signe du quotient).

2. $\frac x{x+2}\to1$ en $\pm\infty$ , donc $\sqrt{\frac x{x+2}}\to1$ : $\lim_{+\infty}f=+\infty$ et $\lim_{-\infty}f=-\infty$ .

3. Quand $x\to-2^-$ : $x\to-2$ et $x+2\to0^-$ , donc $\frac x{x+2}\to+\infty$ et $\sqrt{\frac x{x+2}}\to+\infty$ ; $\lim_{-2^-}f=-\infty$ . La droite $x=-2$ est asymptote verticale.

4. Pour $x>0$ : $\frac{f(x)-f(0)}{x}=\sqrt{\frac x{x+2}}\to0$ : $f$ est dérivable à droite en $0$ , $f'_d(0)=0$ : demi-tangente horizontale à l’origine.

5. a. On pose $u(x)=\frac x{x+2}$ ( $>0$ sur $D_f\setminus\{0\}$ ), $u'(x)=\frac2{(x+2)^2}$ . Alors $f'(x)=\sqrt{u}+x\frac{u'}{2\sqrt u}=\sqrt u+\frac{x}{(x+2)^2\sqrt u}$ . Or $x=u(x)\,(x+2)$ , donc $\frac x{\sqrt u}=\sqrt u\,(x+2)$ et $f'(x)=\sqrt u\left(1+\frac1{x+2}\right)=\frac{x+3}{x+2}\sqrt{\frac x{x+2}}.$

b. $f'$ a le signe de $\frac{x+3}{x+2}$ : positif sur $]-\infty;-3[$ , négatif sur $]-3;-2[$ , positif sur $]0;+\infty[$ . $f(-3)=-3\sqrt3$ .

$x$	$-\infty$		$-3$		$-2$		$0$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	‖		$0$	$+$
$f(x)$	$-\infty$	$\nearrow$	$-3\sqrt3$	$\searrow$	$-\infty$ ‖		$0$	$\nearrow$	$+\infty$

6. a. $f(x)-x=x(\sqrt u-1)=\frac{x(u-1)}{\sqrt u+1}$ et $u-1=\frac{x-(x+2)}{x+2}=\frac{-2}{x+2}$ , d’où $f(x)-x=\dfrac{-2x}{(x+2)\left(\sqrt{\frac x{x+2}}+1\right)}$ .

b. En $\pm\infty$ : $\frac{-2x}{x+2}\to-2$ et $\sqrt u+1\to2$ , donc $f(x)-x\to-1$ , c’est-à-dire $f(x)-(x-1)\to0$ : $(D):\ y=x-1$ est asymptote oblique au voisinage de $+\infty$ et de $-\infty$ .

Exercice 14 — Fonction impaire Moyen ★★★☆☆

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x-\dfrac{\sqrt{x^2+2}}x$ et $(\mathcal C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec i;\vec j)$ .

Déterminer $D_f$ , puis montrer que la fonction $f$ est impaire.
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)$ puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
a. Montrer que : $(\forall x\in\R^{*+})\ f(x)-(x-1)=\dfrac{-2}{x\left(x+\sqrt{x^2+2}\right)}$ . b. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ , puis déduire que la droite $(D):\ y=x-1$ est une asymptote oblique de $(\mathcal C_f)$ au voisinage de $+\infty$ .
Étudier la position relative de la droite $(D)$ et de $(\mathcal C_f)$ sur $\R^{*+}$ .
a. Montrer que : $(\forall x\in\R^{*+})\ f'(x)=1+\dfrac{2}{x^2\sqrt{x^2+2}}$ . b. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R^*$ .
a. Déterminer le point d’intersection de $(\mathcal C_f)$ avec l’axe des abscisses sur $\R^{*+}$ . b. Écrire l’équation de la tangente $(T)$ en ce point.
Calculer $f''(x)$ pour tout $x$ de $\R^{*+}$ , puis étudier la concavité de $(\mathcal C_f)$ sur $\R^{*+}$ .
Construire $(\mathcal C_f)$ et $(T)$ .

Voir la solution

1. $D_f=\R^*$ , symétrique par rapport à $0$ , et $f(-x)=-x-\frac{\sqrt{x^2+2}}{-x}=-\left(x-\frac{\sqrt{x^2+2}}x\right)=-f(x)$ : $f$ est impaire.

2. Quand $x\to0^+$ : $\frac{\sqrt{x^2+2}}x\to+\infty$ (forme $\frac{\sqrt2}{0^+}$ ), donc $\lim_{0^+}f=-\infty$ : l’axe des ordonnées ( $x=0$ ) est asymptote verticale (et, par imparité, $\lim_{0^-}f=+\infty$ ).

3. a. Pour $x>0$ : $f(x)-(x-1)=1-\frac{\sqrt{x^2+2}}x=\frac{x-\sqrt{x^2+2}}{x}=\frac{x^2-(x^2+2)}{x\left(x+\sqrt{x^2+2}\right)}=\frac{-2}{x\left(x+\sqrt{x^2+2}\right)}$ .

b. $\frac{\sqrt{x^2+2}}x=\sqrt{1+\frac2{x^2}}\to1$ , donc $\lim_{+\infty}f=+\infty$ ; et $f(x)-(x-1)\to0$ : $(D):\ y=x-1$ est asymptote oblique au voisinage de $+\infty$ (par imparité, $y=x+1$ l’est au voisinage de $-\infty$ ).

4. Sur $\R^{*+}$ , $f(x)-(x-1)<0$ : $(\mathcal C_f)$ est au-dessous de $(D)$ .

5. a. $\left(\frac{\sqrt{x^2+2}}x\right)'=\frac{\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}\cdot x-\sqrt{x^2+2}}{x^2}=\frac{x^2-(x^2+2)}{x^2\sqrt{x^2+2}}=\frac{-2}{x^2\sqrt{x^2+2}}$ , donc $f'(x)=1+\frac2{x^2\sqrt{x^2+2}}$ .

b. $f'>0$ sur $\R^{*+}$ ; $f$ étant impaire, $f'$ est paire, donc $f'>0$ aussi sur $\R^{*-}$ .

$x$	$-\infty$		$0$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	‖	$+$
$f(x)$	$-\infty$	$\nearrow$	$+\infty$ ‖ $-\infty$	$\nearrow$	$+\infty$

6. a. Pour $x>0$ : $f(x)=0\iff x^2=\sqrt{x^2+2}\iff x^4=x^2+2$ (les deux membres étant positifs) $\iff(x^2-2)(x^2+1)=0\iff x=\sqrt2$ . Point d’intersection : $(\sqrt2;0)$ .

b. $f'(\sqrt2)=1+\frac2{2\times2}=\frac32$ : $(T):\ y=\frac32\left(x-\sqrt2\right)$ .

7. $f'(x)=1+2x^{-2}(x^2+2)^{-\frac12}$ , donc $f''(x)=-4x^{-3}(x^2+2)^{-\frac12}-2x^{-1}(x^2+2)^{-\frac32}=\frac{-2(3x^2+4)}{x^3(x^2+2)\sqrt{x^2+2}}$ . Sur $\R^{*+}$ , $f''(x)<0$ : $(\mathcal C_f)$ est concave sur $\R^{*+}$ (et convexe sur $\R^{*-}$ par symétrie).

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