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Chapitre 2 — Les ensembles

Semestre 1

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Cours

Plan du chapitre. 1. Extension et compréhension — 2. Inclusion et égalité — 3. Ensemble des parties — 4. Complémentaire — 5. Intersection — 6. Réunion — 7. Règles de calcul — 8. Différence — 9. Différence symétrique — 10. Produit cartésien — Exercice de révision.

Lien avec le chapitre 01. Chaque opération sur les ensembles traduit un connecteur logique : « et » ↔∩\leftrightarrow\cap, « ou » ↔∪\leftrightarrow\cup, négation ↔\leftrightarrow complémentaire, implication ↔⊂\leftrightarrow\subset, équivalence ↔=\leftrightarrow=. Les démonstrations utilisent donc les lois logiques et les raisonnements du chapitre 01.

I. Généralités sur les ensembles

1. Écriture en extension et en compréhension

Définition 1 : Ensemble, élément

Un ensemble EE est une collection d’objets appelés éléments. Si xx est un élément de EE, on écrit x∈Ex\in E (« xx appartient à EE ») ; sinon on écrit x∉Ex\notin E. L’ensemble qui ne contient aucun élément est l’ensemble vide, noté ∅\varnothing.

On décrit un ensemble :

  • en extension : en énumérant ses éléments entre accolades, par exemple {1;3;5}\{1;3;5\} ;
  • en compréhension : par une propriété caractéristique de ses éléments, A={x∈E / P(x)}A=\{x\in E\ /\ P(x)\}, ce qui signifie : (∀x∈E)  x∈A  ⟺  P(x)(\forall x\in E)\ \ x\in A\iff P(x).

Un diagramme de Venn représente un ensemble par une région du plan limitée par une courbe fermée.

Exemple 1

  1. Écrire en extension :  A={x∈Z / −73≤x≤52}\ A=\left\{x\in\Z\ /\ -\dfrac73\le x\le\dfrac52\right\} ;  B={x∈R / x2+2x+5=0}\ B=\{x\in\R\ /\ x^2+2x+5=0\} ;  C={x∈Z / x(x−2)(x2−3)=0}\ C=\{x\in\Z\ /\ x(x-2)(x^2-3)=0\}.
  2. Écrire en compréhension :  E={1;4;7;10;…}\ E=\{1;4;7;10;\ldots\} ;  F={2;6;10;14;…}\ F=\{2;6;10;14;\ldots\} ;  G={1;8;27;64;…}\ G=\{1;8;27;64;\ldots\}.
Voir la solution
  1. −73≈−2,33-\frac73\approx-2{,}33 et 52=2,5\frac52=2{,}5, donc A={−2;−1;0;1;2}A=\{-2;-1;0;1;2\}. Le discriminant de x2+2x+5x^2+2x+5 est 4−20=−16<04-20=-16<0, donc B=∅B=\varnothing. x(x−2)(x2−3)=0  ⟺  x∈{0;2;−3;3}x(x-2)(x^2-3)=0\iff x\in\{0;2;-\sqrt3;\sqrt3\} et ±3∉Z\pm\sqrt3\notin\Z, donc C={0;2}C=\{0;2\}.
  2. E={3k+1 / k∈N}E=\{3k+1\ /\ k\in\N\} ; F={4k+2 / k∈N}F=\{4k+2\ /\ k\in\N\} ; G={n3 / n∈N∗}G=\{n^3\ /\ n\in\N^*\}.

2. Inclusion et égalité

Définition 2 : Inclusion, égalité

Soient AA et BB deux parties d’un ensemble EE.

  • AA est incluse dans BB, et on note A⊂BA\subset B, si tout élément de AA appartient à BB :  A⊂B  ⟺  (∀x∈E)  (x∈A⟹x∈B)\ A\subset B\iff(\forall x\in E)\ \ (x\in A\Longrightarrow x\in B).
  • Par négation :  A⊄B  ⟺  (∃x∈E)  (x∈A et x∉B)\ A\not\subset B\iff(\exists x\in E)\ \ (x\in A\text{ et }x\notin B).
  • A=B  ⟺  (∀x∈E)  (x∈A  ⟺  x∈B)A=B\iff(\forall x\in E)\ \ (x\in A\iff x\in B), c’est-à-dire  A=B  ⟺  (A⊂B et B⊂A)\ A=B\iff(A\subset B\text{ et }B\subset A) (double inclusion).
  • Transitivité : si A⊂BA\subset B et B⊂CB\subset C, alors A⊂CA\subset C.

Remarque

  • Pour tout ensemble AA : ∅⊂A\varnothing\subset A et A⊂AA\subset A.
  • Pour montrer A⊂BA\subset B, on prend un élément quelconque xx de AA et on montre que x∈Bx\in B (raisonnement direct). Pour montrer A⊄BA\not\subset B, il suffit d’un contre-exemple : un élément de AA qui n’est pas dans BB.

Exemple 2

On considère A={−5;−1;0;2}A=\{-5;-1;0;2\},  B={x∈Z / 6∣x∣+1∈Z}\ B=\left\{x\in\Z\ /\ \dfrac{6}{|x|+1}\in\Z\right\},  C={6k+1 / k∈Z}\ C=\{6k+1\ /\ k\in\Z\} et D={2k′+13 / k′∈Z}D=\left\{\dfrac{2k'+1}{3}\ /\ k'\in\Z\right\}. Montrer que A⊂BA\subset B, que C⊂DC\subset D et que D⊄CD\not\subset C.

Voir la solution
  • Pour x∈Zx\in\Z, ∣x∣+1∈N∗|x|+1\in\N^* ; donc 6∣x∣+1∈Z  ⟺  ∣x∣+1\frac{6}{|x|+1}\in\Z\iff|x|+1 divise 6  ⟺  ∣x∣+1∈{1;2;3;6}  ⟺  ∣x∣∈{0;1;2;5}6\iff|x|+1\in\{1;2;3;6\}\iff|x|\in\{0;1;2;5\}. Ainsi B={−5;−2;−1;0;1;2;5}B=\{-5;-2;-1;0;1;2;5\} et chaque élément de AA est dans BB : A⊂BA\subset B.
  • Soit x∈Cx\in C : x=6k+1x=6k+1 avec k∈Zk\in\Z. Alors x=18k+33=2(9k+1)+13x=\dfrac{18k+3}{3}=\dfrac{2(9k+1)+1}{3} avec k′=9k+1∈Zk'=9k+1\in\Z, donc x∈Dx\in D. Ainsi C⊂DC\subset D.
  • 13∈D\frac13\in D (avec k′=0k'=0) mais 13∉Z\frac13\notin\Z, donc 13∉C\frac13\notin C : D⊄CD\not\subset C.

Exemple 3

Soit A={x∈R / ∣x3−1∣<2}A=\left\{x\in\R\ /\ \left|\dfrac x3-1\right|<2\right\} et B= ]−3;9[B=\,]-3;9[. Montrer que A=BA=B.

Voir la solution

Pour tout x∈Rx\in\R : x∈A  ⟺  −2<x3−1<2  ⟺  −1<x3<3  ⟺  −3<x<9  ⟺  x∈Bx\in A\iff-2<\dfrac x3-1<2\iff-1<\dfrac x3<3\iff-3<x<9\iff x\in B (on ajoute 11, puis on multiplie par 3>03>0 : étapes réversibles). Donc A=BA=B.

3. Ensemble des parties d’un ensemble

Définition 3 : Ensemble des parties

L’ensemble de toutes les parties (sous-ensembles) d’un ensemble EE est noté P(E)\mathcal{P}(E).

  • A∈P(E)  ⟺  A⊂EA\in\mathcal{P}(E)\iff A\subset E ; en particulier ∅∈P(E)\varnothing\in\mathcal{P}(E) et E∈P(E)E\in\mathcal{P}(E).
  • a∈E  ⟺  {a}∈P(E)  ⟺  {a}⊂Ea\in E\iff\{a\}\in\mathcal{P}(E)\iff\{a\}\subset E.
  • Si EE est fini à nn éléments, alors P(E)\mathcal{P}(E) possède 2n2^n éléments.

Attention

Ne pas confondre ∈\in (relation entre un élément et un ensemble) et ⊂\subset (relation entre deux ensembles). Par exemple a∈Ea\in E, {a}⊂E\{a\}\subset E, {a}∈P(E)\{a\}\in\mathcal{P}(E), mais « a⊂Ea\subset E » n’a pas de sens si aa n’est pas un ensemble.

Exemple 4

Soient E={1;2}E=\{1;2\} et F={1;2;3}F=\{1;2;3\}. Déterminer P(E)\mathcal{P}(E) et P(F)\mathcal{P}(F).

Voir la solution

P(E)={∅;{1};{2};{1;2}}\mathcal{P}(E)=\big\{\varnothing;\{1\};\{2\};\{1;2\}\big\} (22=42^2=4 éléments). P(F)={∅;{1};{2};{3};{1;2};{1;3};{2;3};{1;2;3}}\mathcal{P}(F)=\big\{\varnothing;\{1\};\{2\};\{3\};\{1;2\};\{1;3\};\{2;3\};\{1;2;3\}\big\} (23=82^3=8 éléments).

4. Complémentaire d’une partie

Définition 4 : Complémentaire

Soit AA une partie de EE. Le complémentaire de AA dans EE, noté ∁EA\complement_E A ou A‾\overline{A}, est l’ensemble des éléments de EE qui n’appartiennent pas à AA : A‾={x∈E / x∉A}et(∀x∈E)  x∈A‾  ⟺  x∉A.\overline{A}=\{x\in E\ /\ x\notin A\}\qquad\text{et}\qquad(\forall x\in E)\ \ x\in\overline A\iff x\notin A.

  • E‾=∅\overline{E}=\varnothing,  ∅‾=E\ \overline{\varnothing}=E,  A‾‾=A\ \overline{\overline{A}}=A.
  • Si A={x∈E / P(x)}A=\{x\in E\ /\ P(x)\}, alors A‾={x∈E / P(x)‾}\overline{A}=\{x\in E\ /\ \overline{P(x)}\}.
Figure

La partie colorée représente A‾\overline{A}.

Exemple 5

  1. Soient A= ]−∞;2]A=\,]-\infty;2] et B={x∈N / x2−5x>0}B=\{x\in\N\ /\ x^2-5x>0\}. Déterminer ∁RA\complement_{\R}A et ∁NB\complement_{\N}B.
  2. Soient AA et BB deux parties de EE. Montrer que A⊂B  ⟺  B‾⊂A‾A\subset B\iff\overline{B}\subset\overline{A}.
Voir la solution
  1. ∁RA= ]2;+∞[\complement_{\R}A=\,]2;+\infty[. Pour x∈Nx\in\N : x2−5x=x(x−5)>0  ⟺  x>5x^2-5x=x(x-5)>0\iff x>5 (car x≥0x\ge0 et pour x=0x=0 le produit est nul). Donc B={x∈N / x≥6}B=\{x\in\N\ /\ x\ge 6\} et ∁NB={0;1;2;3;4;5}\complement_{\N}B=\{0;1;2;3;4;5\}.
  2. A⊂B  ⟺  (∀x∈E) (x∈A⇒x∈B)  ⟺  (∀x∈E) (x∉B⇒x∉A)A\subset B\iff(\forall x\in E)\ (x\in A\Rightarrow x\in B)\iff(\forall x\in E)\ (x\notin B\Rightarrow x\notin A) (contraposée)   ⟺  (∀x∈E) (x∈B‾⇒x∈A‾)  ⟺  B‾⊂A‾\iff(\forall x\in E)\ (x\in\overline B\Rightarrow x\in\overline A)\iff\overline B\subset\overline A.

II. Opérations sur les ensembles

1. Intersection

Définition 5 : Intersection

L’intersection de deux parties AA et BB de EE est l’ensemble des éléments qui appartiennent à AA et à BB : A∩B={x∈E / x∈A et x∈B};x∈A∩B  ⟺  (x∈A et x∈B).A\cap B=\{x\in E\ /\ x\in A\text{ et }x\in B\}\qquad;\qquad x\in A\cap B\iff(x\in A\text{ et }x\in B). Si A∩B=∅A\cap B=\varnothing, on dit que AA et BB sont disjointes.

Figure

La partie colorée représente A∩BA\cap B.

Propriété

Pour toutes parties AA, BB, CC de EE : A∩B=B∩AA\cap B=B\cap A ;  A∩A=A\ A\cap A=A ;  A∩A‾=∅\ A\cap\overline A=\varnothing ;  A∩E=A\ A\cap E=A ;  A∩∅=∅\ A\cap\varnothing=\varnothing ;  A∩B⊂A\ A\cap B\subset A et A∩B⊂BA\cap B\subset B ;  A⊂B  ⟺  A∩B=A\ A\subset B\iff A\cap B=A ;  A∩(B∩C)=(A∩B)∩C\ A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C (associativité).

Voir la solution

Preuve de A⊂B  ⟺  A∩B=AA\subset B\iff A\cap B=A. (⇒\Rightarrow) On a toujours A∩B⊂AA\cap B\subset A. Si A⊂BA\subset B et x∈Ax\in A, alors x∈Bx\in B, donc x∈A∩Bx\in A\cap B : A⊂A∩BA\subset A\cap B. D’où l’égalité. (⇐\Leftarrow) Si A∩B=AA\cap B=A, alors A=A∩B⊂BA=A\cap B\subset B.

Exemple 6

Soient A={x∈R / ∣x+1∣<4}A=\{x\in\R\ /\ |x+1|<4\} et B={x∈Z / x≥−1}B=\{x\in\Z\ /\ x\ge-1\}. Déterminer A∩BA\cap B en extension.

Voir la solution

∣x+1∣<4  ⟺  −4<x+1<4  ⟺  −5<x<3|x+1|<4\iff-4<x+1<4\iff-5<x<3, donc A= ]−5;3[A=\,]-5;3[. Ainsi A∩B={x∈Z / −1≤x<3}={−1;0;1;2}A\cap B=\{x\in\Z\ /\ -1\le x<3\}=\{-1;0;1;2\}.

2. Réunion

Définition 6 : Réunion

La réunion de AA et BB est l’ensemble des éléments qui appartiennent à AA ou à BB (éventuellement aux deux) : A∪B={x∈E / x∈A ou x∈B};x∈A∪B  ⟺  (x∈A ou x∈B).A\cup B=\{x\in E\ /\ x\in A\text{ ou }x\in B\}\qquad;\qquad x\in A\cup B\iff(x\in A\text{ ou }x\in B).

Figure

La partie colorée représente A∪BA\cup B.

Propriété

A∪B=B∪AA\cup B=B\cup A ;  A∪A=A\ A\cup A=A ;  A∪A‾=E\ A\cup\overline A=E ;  A∪E=E\ A\cup E=E ;  A∪∅=A\ A\cup\varnothing=A ;  A⊂A∪B\ A\subset A\cup B et B⊂A∪BB\subset A\cup B ;  A⊂B  ⟺  A∪B=B\ A\subset B\iff A\cup B=B ;  A∪(B∪C)=(A∪B)∪C\ A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C (associativité).

Exemple 7

Soient A={x∈N / x2<30}A=\{x\in\N\ /\ x^2<30\} et B={x∈Z / ∣x−2∣≤3}B=\{x\in\Z\ /\ |x-2|\le 3\}. Déterminer A∪BA\cup B en extension, puis en compréhension.

Voir la solution

x∈Nx\in\N et x2<30  ⟺  x∈{0;1;2;3;4;5}x^2<30\iff x\in\{0;1;2;3;4;5\} (car 52=25<30≤36=625^2=25<30\le 36=6^2). ∣x−2∣≤3  ⟺  −1≤x≤5|x-2|\le3\iff-1\le x\le 5, donc B={−1;0;1;2;3;4;5}B=\{-1;0;1;2;3;4;5\}. Ainsi A∪B={−1;0;1;2;3;4;5}={x∈Z / −1≤x≤5}A\cup B=\{-1;0;1;2;3;4;5\}=\{x\in\Z\ /\ -1\le x\le 5\}.

3. Règles de calcul

Propriété

Pour toutes parties AA, BB, CC de EE :

  • Lois de Morgan :  A∩B‾=A‾∪B‾ \ \overline{A\cap B}=\overline A\cup\overline B\ et  A∪B‾=A‾∩B‾\ \overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B.
  • Distributivité :  A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) \ A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\ et  A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)\ A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C).
  • (A⊂B et A⊂C)  ⟺  A⊂B∩C (A\subset B\text{ et }A\subset C)\iff A\subset B\cap C\ ;  (A⊂C et B⊂C)  ⟺  A∪B⊂C\ (A\subset C\text{ et }B\subset C)\iff A\cup B\subset C.
  • (A⊂B ou A⊂C)⟹A⊂B∪C(A\subset B\text{ ou }A\subset C)\Longrightarrow A\subset B\cup C (la réciproque est fausse).

Méthode

Pour démontrer une égalité d’ensembles, on traduit l’appartenance par une proposition logique et on applique la loi logique correspondante : Morgan pour les complémentaires, distributivité de « et » / « ou » pour ∩\cap / ∪\cup.

Voir la solution

Morgan. Pour x∈Ex\in E : x∈A∩B‾  ⟺  x∈A et x∈B‾  ⟺  (x∉A ou x∉B)  ⟺  x∈A‾∪B‾x\in\overline{A\cap B}\iff\overline{x\in A\text{ et }x\in B}\iff(x\notin A\text{ ou }x\notin B)\iff x\in\overline A\cup\overline B. De même pour l’autre loi.

Distributivité. x∈A∩(B∪C)  ⟺  [x∈A et (x∈B ou x∈C)]  ⟺  [(x∈A et x∈B) ou (x∈A et x∈C)]  ⟺  x∈(A∩B)∪(A∩C)x\in A\cap(B\cup C)\iff\big[x\in A\text{ et }(x\in B\text{ ou }x\in C)\big]\iff\big[(x\in A\text{ et }x\in B)\text{ ou }(x\in A\text{ et }x\in C)\big]\iff x\in(A\cap B)\cup(A\cap C).

Inclusions. (A⊂B et A⊂C)  ⟺  (∀x)[(x∈A⇒x∈B) et (x∈A⇒x∈C)]  ⟺  (∀x)[x∈A⇒(x∈B et x∈C)]  ⟺  A⊂B∩C(A\subset B\text{ et }A\subset C)\iff(\forall x)\big[(x\in A\Rightarrow x\in B)\text{ et }(x\in A\Rightarrow x\in C)\big]\iff(\forall x)\big[x\in A\Rightarrow(x\in B\text{ et }x\in C)\big]\iff A\subset B\cap C (loi logique de l’exercice 5.7 de la série 01). De même (A⊂C et B⊂C)  ⟺  A∪B⊂C(A\subset C\text{ et }B\subset C)\iff A\cup B\subset C (exercice 17 de la série 01).

Contre-exemple pour la réciproque. E={1;2}E=\{1;2\}, A={1;2}A=\{1;2\}, B={1}B=\{1\}, C={2}C=\{2\} : A⊂B∪CA\subset B\cup C mais A⊄BA\not\subset B et A⊄CA\not\subset C.

Application 1

Soient AA, BB deux parties de EE. Montrer que A‾∪B‾=A∩B‾\overline{\overline A\cup B}=A\cap\overline B et que (A∪B)∩A‾=B∩A‾(A\cup B)\cap\overline A=B\cap\overline A.

Voir la solution

Par Morgan : A‾∪B‾=A‾‾∩B‾=A∩B‾\overline{\overline A\cup B}=\overline{\overline A}\cap\overline B=A\cap\overline B. Par distributivité : (A∪B)∩A‾=(A∩A‾)∪(B∩A‾)=∅∪(B∩A‾)=B∩A‾(A\cup B)\cap\overline A=(A\cap\overline A)\cup(B\cap\overline A)=\varnothing\cup(B\cap\overline A)=B\cap\overline A.

4. Différence de deux ensembles

Définition 7 : Différence

La différence de AA et BB (dans cet ordre), notée A∖BA\setminus B (« AA privé de BB »), est l’ensemble des éléments de AA qui n’appartiennent pas à BB : A∖B={x∈E / x∈A et x∉B};A∖B=A∩B‾;E∖A=A‾.A\setminus B=\{x\in E\ /\ x\in A\text{ et }x\notin B\}\qquad;\qquad A\setminus B=A\cap\overline B\qquad;\qquad E\setminus A=\overline A.

Figure

La partie colorée représente A∖BA\setminus B.

Exemple 8

Soient AA, BB deux parties de EE. Montrer que : (1) A∖B‾=A‾∪B\overline{A\setminus B}=\overline A\cup B ; (2) A=(A∖B)∪(A∩B)A=(A\setminus B)\cup(A\cap B) ; (3) A⊂B  ⟺  A∖B=∅A\subset B\iff A\setminus B=\varnothing.

Voir la solution
  1. A∖B‾=A∩B‾‾=A‾∪B‾‾=A‾∪B\overline{A\setminus B}=\overline{A\cap\overline B}=\overline A\cup\overline{\overline B}=\overline A\cup B (Morgan).
  2. (A∖B)∪(A∩B)=(A∩B‾)∪(A∩B)=A∩(B‾∪B)=A∩E=A(A\setminus B)\cup(A\cap B)=(A\cap\overline B)\cup(A\cap B)=A\cap(\overline B\cup B)=A\cap E=A (distributivité).
  3. (⇒\Rightarrow) Supposons A⊂BA\subset B et, par l’absurde, A∖B≠∅A\setminus B\neq\varnothing : il existe x∈Ax\in A avec x∉Bx\notin B, ce qui contredit A⊂BA\subset B. (⇐\Leftarrow) Supposons A∖B=∅A\setminus B=\varnothing et soit x∈Ax\in A ; si x∉Bx\notin B, alors x∈A∖B=∅x\in A\setminus B=\varnothing, absurde ; donc x∈Bx\in B, et A⊂BA\subset B.

5. Différence symétrique

Définition 8 : Différence symétrique

La différence symétrique de AA et BB est  A Δ B=(A∖B)∪(B∖A)\ A\,\Delta\,B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A) : c’est l’ensemble des éléments qui appartiennent à un seul des deux ensembles.

Figure

La partie colorée représente A Δ BA\,\Delta\,B.

Exemple 9

  1. Pour E={1;2;…;8}E=\{1;2;\ldots;8\}, A={1;2;3;5}A=\{1;2;3;5\} et B={2;4;5;6}B=\{2;4;5;6\}, déterminer A Δ BA\,\Delta\,B.
  2. Montrer que A Δ B=(A∪B)∖(A∩B)A\,\Delta\,B=(A\cup B)\setminus(A\cap B) et que A‾ Δ B‾=A Δ B\overline A\,\Delta\,\overline B=A\,\Delta\,B.
Voir la solution
  1. A∖B={1;3}A\setminus B=\{1;3\} et B∖A={4;6}B\setminus A=\{4;6\}, donc A Δ B={1;3;4;6}A\,\Delta\,B=\{1;3;4;6\}.
  2. (A∪B)∖(A∩B)=(A∪B)∩(A‾∪B‾)=[A∩(A‾∪B‾)]∪[B∩(A‾∪B‾)]=(A∩B‾)∪(B∩A‾)=A Δ B(A\cup B)\setminus(A\cap B)=(A\cup B)\cap(\overline A\cup\overline B)=\big[A\cap(\overline A\cup\overline B)\big]\cup\big[B\cap(\overline A\cup\overline B)\big]=(A\cap\overline B)\cup(B\cap\overline A)=A\,\Delta\,B (car A∩A‾=B∩B‾=∅A\cap\overline A=B\cap\overline B=\varnothing). Puis A‾ Δ B‾=(A‾∩B‾‾)∪(B‾∩A‾‾)=(A‾∩B)∪(B‾∩A)=A Δ B\overline A\,\Delta\,\overline B=(\overline A\cap\overline{\overline B})\cup(\overline B\cap\overline{\overline A})=(\overline A\cap B)\cup(\overline B\cap A)=A\,\Delta\,B.

Remarque

A Δ B=B Δ AA\,\Delta\,B=B\,\Delta\,A ;  A Δ ∅=A\ A\,\Delta\,\varnothing=A ;  A Δ A=∅\ A\,\Delta\,A=\varnothing ;  A Δ B=∅  ⟺  A=B\ A\,\Delta\,B=\varnothing\iff A=B.

III. Produit cartésien

Définition 9 : Produit cartésien

Soient EE et FF deux ensembles. Le produit cartésien E×FE\times F est l’ensemble des couples (x;y)(x;y) tels que x∈Ex\in E et y∈Fy\in F : E×F={(x;y) / x∈E et y∈F};(x;y)∈E×F  ⟺  (x∈E et y∈F).E\times F=\{(x;y)\ /\ x\in E\text{ et }y\in F\}\qquad;\qquad(x;y)\in E\times F\iff(x\in E\text{ et }y\in F). On note E2=E×EE^2=E\times E. Deux couples sont égaux si et seulement si (x;y)=(x′;y′)  ⟺  (x=x′ et y=y′)(x;y)=(x';y')\iff(x=x'\text{ et }y=y') ; en général (x;y)≠(y;x)(x;y)\neq(y;x).

Remarque

  • R2=R×R\R^2=\R\times\R s’identifie au plan muni d’un repère : le point M(x;y)M(x;y) correspond au couple (x;y)(x;y).
  • Si EE a nn éléments et FF en a pp, alors E×FE\times F a npnp éléments.
  • Le produit cartésien se représente par un diagramme cartésien (quadrillage).

Exemple 10

Soient E={1;2;3}E=\{1;2;3\} et F={a;b}F=\{a;b\}. Déterminer E×FE\times F et F2F^2, puis construire le diagramme cartésien de E×FE\times F.

Voir la solution

E×F={(1;a);(1;b);(2;a);(2;b);(3;a);(3;b)}E\times F=\{(1;a);(1;b);(2;a);(2;b);(3;a);(3;b)\} (3×2=63\times2=6 couples) ;  F2={(a;a);(a;b);(b;a);(b;b)}\ F^2=\{(a;a);(a;b);(b;a);(b;b)\}.

Figure

Diagramme cartésien de E×FE\times F : chaque point du quadrillage représente un couple.

Exercice de révision (avec solution)

Exercice d’application

On considère A={n∈N / n2−7n+10<0}A=\{n\in\N\ /\ n^2-7n+10<0\},  B={n∈N / 10n+1∈N}\ B=\left\{n\in\N\ /\ \dfrac{10}{n+1}\in\N\right\} et C={x∈R / ∣x−3∣≤1}C=\{x\in\R\ /\ |x-3|\le 1\}.

  1. Déterminer AA et BB en extension.
  2. Déterminer A∪BA\cup B et A∩BA\cap B en extension.
  3. Montrer que A⊂CA\subset C.
  4. Représenter B×CB\times C dans un repère orthonormé.
Voir la solution
  1. n2−7n+10=(n−2)(n−5)<0  ⟺  2<n<5n^2-7n+10=(n-2)(n-5)<0\iff 2<n<5, donc A={3;4}A=\{3;4\}. Pour n∈Nn\in\N, n+1∈N∗n+1\in\N^* et 10n+1∈N  ⟺  n+1\frac{10}{n+1}\in\N\iff n+1 divise 10  ⟺  n+1∈{1;2;5;10}10\iff n+1\in\{1;2;5;10\}, donc B={0;1;4;9}B=\{0;1;4;9\}.
  2. A∪B={0;1;3;4;9}A\cup B=\{0;1;3;4;9\} et A∩B={4}A\cap B=\{4\}.
  3. ∣x−3∣≤1  ⟺  2≤x≤4|x-3|\le1\iff 2\le x\le 4, donc C=[2;4]C=[2;4]. Comme 3∈[2;4]3\in[2;4] et 4∈[2;4]4\in[2;4], A⊂CA\subset C.
  4. B×C={(x;y) / x∈{0;1;4;9} et 2≤y≤4}B\times C=\{(x;y)\ /\ x\in\{0;1;4;9\}\text{ et }2\le y\le 4\} : quatre segments verticaux.
Figure

Résumé : dictionnaire logique — ensembles

LogiqueEnsemblesDéfinition
P(x)P(x)A={x∈E / P(x)}A=\{x\in E\ /\ P(x)\}x∈A  ⟺  P(x)x\in A\iff P(x)
P(x)‾\overline{P(x)}A‾\overline Ax∈A‾  ⟺  x∉Ax\in\overline A\iff x\notin A
P(x)P(x) et Q(x)Q(x)A∩BA\cap Bx∈Ax\in A et x∈Bx\in B
P(x)P(x) ou Q(x)Q(x)A∪BA\cup Bx∈Ax\in A ou x∈Bx\in B
P(x)P(x) et Q(x)‾\overline{Q(x)}A∖BA\setminus Bx∈Ax\in A et x∉Bx\notin B
(∀x) P(x)⇒Q(x)(\forall x)\ P(x)\Rightarrow Q(x)A⊂BA\subset Btout élément de AA est dans BB
(∀x) P(x)⇔Q(x)(\forall x)\ P(x)\Leftrightarrow Q(x)A=BA=BA⊂BA\subset B et B⊂AB\subset A
Lois de MorganA∩B‾=A‾∪B‾\overline{A\cap B}=\overline A\cup\overline B, A∪B‾=A‾∩B‾\overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B

Série d’exercices

Remarque — méthodes utilisées

  • Pour montrer X⊂YX\subset Y : on prend x∈Xx\in X quelconque et on montre x∈Yx\in Y. Pour montrer X=YX=Y : double inclusion, ou équivalences x∈X  ⟺  ⋯  ⟺  x∈Yx\in X\iff\cdots\iff x\in Y (chaque étape étant une loi logique).
  • Règles de calcul : A∖B=A∩B‾A\setminus B=A\cap\overline B ; Morgan A∩B‾=A‾∪B‾\overline{A\cap B}=\overline A\cup\overline B, A∪B‾=A‾∩B‾\overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B ; distributivité ; x∈A Δ B  ⟺  x\in A\,\Delta\,B\iff (xx appartient à exactement un des deux ensembles).
  • Les résultats de cet exercice ont été vérifiés par programme (force brute sur toutes les parties d’un ensemble à 4 éléments).

Consignes. Dans les exercices 7, 8 et 15 à 20, EE désigne un ensemble non vide et les complémentaires sont pris dans EE (notés A‾\overline{A}). On note A Δ B=(A∖B)∪(B∖A)A\,\Delta\,B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A). Difficulté : de ★\bigstar à ★★★★★\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar ; les exercices 16 à 20 sont de haut niveau.

Exercice 1 — Extension / compréhension Facile ★★☆☆☆

  1. Écrire en extension les ensembles suivants :
    A={x∈Z / ∣3x−2∣≤5}A=\{x\in\Z\ /\ |3x-2|\le 5\} ;
    B={x∈Q / (x2−3)(∣x∣−4)=0}B=\{x\in\Q\ /\ (x^2-3)(|x|-4)=0\} ;
    C={(x;y)∈N2 / x2−y2=15}C=\{(x;y)\in\N^2\ /\ x^2-y^2=15\} ;
    D={(x;y)∈N2 / 4≤x2+y2≤9}D=\{(x;y)\in\N^2\ /\ 4\le x^2+y^2\le 9\}.
  2. Écrire en compréhension les ensembles suivants :
    E={1;3;9;27;81;…}E=\{1;3;9;27;81;\ldots\} ;
    F={…;14;12;1;2;4;…}F=\left\{\ldots;\dfrac14;\dfrac12;1;2;4;\ldots\right\} ;
    GG = ensemble des entiers relatifs multiples de 77.
Voir la solution

1) ∣3x−2∣≤5  ⟺  −5≤3x−2≤5  ⟺  −1≤x≤73|3x-2|\le5\iff-5\le 3x-2\le 5\iff-1\le x\le\frac73 ; avec x∈Zx\in\Z : A={−1;0;1;2}A=\{-1;0;1;2\}.

(x2−3)(∣x∣−4)=0  ⟺  x2=3(x^2-3)(|x|-4)=0\iff x^2=3 ou ∣x∣=4  ⟺  x∈{−3;3;−4;4}|x|=4\iff x\in\{-\sqrt3;\sqrt3;-4;4\} ; comme 3∉Q\sqrt3\notin\Q : B={−4;4}B=\{-4;4\}.

x2−y2=15  ⟺  (x−y)(x+y)=15x^2-y^2=15\iff(x-y)(x+y)=15. Avec x,y∈Nx,y\in\N : x+y≥0x+y\ge0, donc x−y>0x-y>0 et x−y≤x+yx-y\le x+y ; les couples de diviseurs sont (x−y;x+y)∈{(1;15);(3;5)}(x-y;x+y)\in\{(1;15);(3;5)\}, ce qui donne (x;y)=(8;7)(x;y)=(8;7) ou (4;1)(4;1). C={(4;1);(8;7)}C=\{(4;1);(8;7)\}.

4≤x2+y2≤94\le x^2+y^2\le 9 impose x,y∈{0;1;2;3}x,y\in\{0;1;2;3\} ; on teste : D={(0;2);(0;3);(1;2);(2;0);(2;1);(2;2);(3;0)}D=\{(0;2);(0;3);(1;2);(2;0);(2;1);(2;2);(3;0)\}.

2) E={3n / n∈N}E=\{3^n\ /\ n\in\N\} ;  F={2n / n∈Z}\ F=\{2^n\ /\ n\in\Z\} ;  G={7k / k∈Z}\ G=\{7k\ /\ k\in\Z\}.

Exercice 2 — Égalité d’ensembles Facile ★★☆☆☆

On pose A={4n+1 / n∈Z}A=\{4n+1\ /\ n\in\Z\} et B={4n′−7 / n′∈Z}B=\{4n'-7\ /\ n'\in\Z\}. Montrer que A=BA=B.

Voir la solution

A⊂BA\subset B : soit x∈Ax\in A, x=4n+1x=4n+1 (n∈Zn\in\Z). Alors x=4(n+2)−7x=4(n+2)-7 avec n′=n+2∈Zn'=n+2\in\Z, donc x∈Bx\in B. B⊂AB\subset A : soit x∈Bx\in B, x=4n′−7x=4n'-7. Alors x=4(n′−2)+1x=4(n'-2)+1 avec n=n′−2∈Zn=n'-2\in\Z, donc x∈Ax\in A. Par double inclusion, A=BA=B.

Exercice 3 — Opérations Facile ★★☆☆☆

On considère E={1;2;3;…;30}E=\{1;2;3;\ldots;30\} et ses parties A={x∈E / (∃k∈E) x=2k}A=\{x\in E\ /\ (\exists k\in E)\ x=2k\} et B={x∈E / (∃k∈E) x=5k}B=\{x\in E\ /\ (\exists k\in E)\ x=5k\}.

  1. Écrire EE en compréhension, puis AA et BB en extension.
  2. Déterminer en extension A‾\overline A, A∪BA\cup B, A∩BA\cap B et A∪B‾\overline{A\cup B}.
  3. Déterminer P(A∩B)\mathcal{P}(A\cap B).
Voir la solution
  1. E={n∈N / 1≤n≤30}E=\{n\in\N\ /\ 1\le n\le 30\}. AA est l’ensemble des nombres pairs de EE (si x=2k≤30x=2k\le30 avec k∈Ek\in E, alors k≤15k\le 15) : A={2;4;6;…;30}A=\{2;4;6;\ldots;30\} ; B={5;10;15;20;25;30}B=\{5;10;15;20;25;30\}.
  2. A‾={1;3;5;…;29}\overline A=\{1;3;5;\ldots;29\} (impairs) ; A∪B={2;4;5;6;8;10;12;14;15;16;18;20;22;24;25;26;28;30}A\cup B=\{2;4;5;6;8;10;12;14;15;16;18;20;22;24;25;26;28;30\} ; A∩B={10;20;30}A\cap B=\{10;20;30\} ; A∪B‾={1;3;7;9;11;13;17;19;21;23;27;29}\overline{A\cup B}=\{1;3;7;9;11;13;17;19;21;23;27;29\}.
  3. P(A∩B)={∅;{10};{20};{30};{10;20};{10;30};{20;30};{10;20;30}}\mathcal{P}(A\cap B)=\big\{\varnothing;\{10\};\{20\};\{30\};\{10;20\};\{10;30\};\{20;30\};\{10;20;30\}\big\}.

Exercice 4 — Appartenance / inclusion Facile ★★☆☆☆

Soit E={a;b;c}E=\{a;b;c\}. Parmi les propositions suivantes, déterminer celles qui sont vraies (justifier brièvement) :

b∈Eb\in E ;  b⊂E\ b\subset E ;  {b}∈E\ \{b\}\in E ;  {b}⊂E\ \{b\}\subset E ;  {b}⊂P(E)\ \{b\}\subset\mathcal{P}(E) ;  {b}∈P(E)\ \{b\}\in\mathcal{P}(E) ;  ∅∈E\ \varnothing\in E ;  ∅⊂E\ \varnothing\subset E ;  ∅∈P(E)\ \varnothing\in\mathcal{P}(E) ;  {∅}⊂P(E)\ \{\varnothing\}\subset\mathcal{P}(E) ;  E∈P(E)\ E\in\mathcal{P}(E) ;  E⊂E\ E\subset E ;  {a;c}∈P(E)\ \{a;c\}\in\mathcal{P}(E) ; « b∈Eb\in E et c∉Ec\notin E » ;  (a;c)∈E×E\ (a;c)\in E\times E.

Voir la solution
PropositionValeurJustification
b∈Eb\in EVbb est un élément de EE
b⊂Eb\subset EFbb est un élément, pas une partie
{b}∈E\{b\}\in EFles éléments de EE sont aa, bb, cc
{b}⊂E\{b\}\subset EVcar b∈Eb\in E
{b}⊂P(E)\{b\}\subset\mathcal{P}(E)Fil faudrait b∈P(E)b\in\mathcal{P}(E)
{b}∈P(E)\{b\}\in\mathcal{P}(E)Vcar {b}⊂E\{b\}\subset E
∅∈E\varnothing\in EF∅\varnothing n’est pas l’un de a,b,ca,b,c
∅⊂E\varnothing\subset EVle vide est inclus dans tout ensemble
∅∈P(E)\varnothing\in\mathcal{P}(E)Vcar ∅⊂E\varnothing\subset E
{∅}⊂P(E)\{\varnothing\}\subset\mathcal{P}(E)Vcar ∅∈P(E)\varnothing\in\mathcal{P}(E)
E∈P(E)E\in\mathcal{P}(E)Vcar E⊂EE\subset E
E⊂EE\subset EVtoujours
{a;c}∈P(E)\{a;c\}\in\mathcal{P}(E)Vcar {a;c}⊂E\{a;c\}\subset E
« b∈Eb\in E et c∉Ec\notin E »Fc∈Ec\in E
(a;c)∈E×E(a;c)\in E\times EVa∈Ea\in E et c∈Ec\in E

Exercice 5 — Opérations Facile ★☆☆☆☆

On considère l’ensemble E={1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12}E=\{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12\} et ses parties :
A={2;3;5;6;8;11;12}A=\{2;3;5;6;8;11;12\},
B={1;3;4;6;7;8;10}B=\{1;3;4;6;7;8;10\}
et C={2;3;10}C=\{2;3;10\}.
Déterminer les ensembles suivants :

A∩BA\cap B ; A∩CA\cap C ; A∪BA\cup B ; A∖BA\setminus B ; B∖AB\setminus A ; P(C)\mathcal{P}(C) ; ∁EA\complement_E A ; ∁EB\complement_E B ; ∁E(A∩B)\complement_E(A\cap B) ; ∁EA∪∁EB\complement_E A\cup\complement_E B ; ∁E(A∪B)\complement_E(A\cup B) ; ∁EA∩∁EB\complement_E A\cap\complement_E B ; B∪CB\cup C ; A∩(B∪C)A\cap(B\cup C) ; (A∩B)∪(A∩C)(A\cap B)\cup(A\cap C). Que constate-t-on ?

Voir la solution
EnsembleRésultatEnsembleRésultat
A∩BA\cap B{3;6;8}\{3;6;8\}∁E(A∩B)\complement_E(A\cap B){1;2;4;5;7;9;10;11;12}\{1;2;4;5;7;9;10;11;12\}
A∩CA\cap C{2;3}\{2;3\}∁EA∪∁EB\complement_E A\cup\complement_E B{1;2;4;5;7;9;10;11;12}\{1;2;4;5;7;9;10;11;12\}
A∪BA\cup B{1;2;3;4;5;6;7;8;10;11;12}\{1;2;3;4;5;6;7;8;10;11;12\}∁E(A∪B)\complement_E(A\cup B){9}\{9\}
A∖BA\setminus B{2;5;11;12}\{2;5;11;12\}∁EA∩∁EB\complement_E A\cap\complement_E B{9}\{9\}
B∖AB\setminus A{1;4;7;10}\{1;4;7;10\}B∪CB\cup C{1;2;3;4;6;7;8;10}\{1;2;3;4;6;7;8;10\}
∁EA\complement_E A{1;4;7;9;10}\{1;4;7;9;10\}A∩(B∪C)A\cap(B\cup C){2;3;6;8}\{2;3;6;8\}
∁EB\complement_E B{2;5;9;11;12}\{2;5;9;11;12\}(A∩B)∪(A∩C)(A\cap B)\cup(A\cap C){2;3;6;8}\{2;3;6;8\}

P(C)={∅;{2};{3};{10};{2;3};{2;10};{3;10};{2;3;10}}\mathcal{P}(C)=\big\{\varnothing;\{2\};\{3\};\{10\};\{2;3\};\{2;10\};\{3;10\};\{2;3;10\}\big\} (23=82^3=8 éléments).

Constat. On a obtenu ∁E(A∩B)=∁EA∪∁EB\complement_E(A\cap B)=\complement_E A\cup\complement_E B et ∁E(A∪B)=∁EA∩∁EB\complement_E(A\cup B)=\complement_E A\cap\complement_E B (lois de Morgan), ainsi que A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C) (distributivité de ∩\cap par rapport à ∪\cup). Ces égalités, constatées ici sur un exemple, sont vraies pour toutes parties AA, BB, CC de EE (voir le cours) ; un exemple ne suffit pas à les démontrer.

Exercice 6 — Déduction Facile ★★☆☆☆

Soient E={p;q;r;s;t;u}E=\{p;q;r;s;t;u\} et AA, BB deux parties de EE telles que : A∩B={p;q}A\cap B=\{p;q\} ;  A∖B={r;s}\ A\setminus B=\{r;s\} ;  A∪B={p;q;r;s;t}\ A\cup B=\{p;q;r;s;t\}. Déterminer AA, BB, B∖AB\setminus A, A Δ BA\,\Delta\,B et A‾ Δ B‾\overline A\,\Delta\,\overline B.

Voir la solution

A=(A∖B)∪(A∩B)={p;q;r;s}A=(A\setminus B)\cup(A\cap B)=\{p;q;r;s\}. B∖A=(A∪B)∖A={t}B\setminus A=(A\cup B)\setminus A=\{t\}, donc B=(B∖A)∪(A∩B)={p;q;t}B=(B\setminus A)\cup(A\cap B)=\{p;q;t\}. A Δ B=(A∖B)∪(B∖A)={r;s;t}A\,\Delta\,B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)=\{r;s;t\}. Enfin A‾={t;u}\overline A=\{t;u\} et B‾={r;s;u}\overline B=\{r;s;u\}, donc A‾ Δ B‾={r;s;t}=A Δ B\overline A\,\Delta\,\overline B=\{r;s;t\}=A\,\Delta\,B (résultat général, exercice 7.9 et cours).

Exercice 7 — Classique — double implication Moyen ★★★☆☆

Soient AA, BB, CC et DD des parties de EE. Montrer les propriétés suivantes :

  1. A⊂B‾  ⟺  B⊂A‾A\subset\overline B\iff B\subset\overline A
  2. A∪B⊂A∩B  ⟺  A=BA\cup B\subset A\cap B\iff A=B
  3. A∩B=E  ⟺  (A=E et B=E)A\cap B=E\iff(A=E\text{ et }B=E)
  4. A∩B=A∪C  ⟺  C⊂A⊂BA\cap B=A\cup C\iff C\subset A\subset B
  5. A∖B=A  ⟺  A∩B=∅A\setminus B=A\iff A\cap B=\varnothing
  6. a. A‾∪B=E  ⟺  A⊂B\overline A\cup B=E\iff A\subset B ; \quad b. A∩B‾=∅  ⟺  A⊂BA\cap\overline B=\varnothing\iff A\subset B
  7. {A‾∪B=A‾∪CA‾∩B=A‾∩C  ⟺  B=C\begin{cases}\overline A\cup B=\overline A\cup C\\ \overline A\cap B=\overline A\cap C\end{cases}\iff B=C
  8. a. A∪B=A∪C  ⟺  A∪B‾=A∪C‾A\cup B=A\cup C\iff A\cup\overline B=A\cup\overline C ; \quad b. A∩B=A∩C  ⟺  A‾∪B=A‾∪CA\cap B=A\cap C\iff\overline A\cup B=\overline A\cup C
  9. B∩(A Δ B)=B∖AB\cap(A\,\Delta\,B)=B\setminus A et A‾ Δ B=A Δ B‾\overline A\,\Delta\,B=A\,\Delta\,\overline B
  10. A Δ C=B Δ C  ⟺  A=BA\,\Delta\,C=B\,\Delta\,C\iff A=B (on pourra utiliser X Δ X=∅X\,\Delta\,X=\varnothing, X Δ ∅=XX\,\Delta\,\varnothing=X et le résultat admis ici : Δ\Delta est associative, c’est-à-dire (X Δ Y) Δ Z=X Δ (Y Δ Z)(X\,\Delta\,Y)\,\Delta\,Z=X\,\Delta\,(Y\,\Delta\,Z) ; il sera démontré à l’exercice 8)
  11. A Δ B=A∪B  ⟺  A∩B=∅A\,\Delta\,B=A\cup B\iff A\cap B=\varnothing
  12. A Δ B=E  ⟺  B=A‾A\,\Delta\,B=E\iff B=\overline A
  13. {B⊂AC=A∖B⟹B=A∖C\begin{cases}B\subset A\\ C=A\setminus B\end{cases}\Longrightarrow B=A\setminus C
  14. {(A∖B)⊂D(B∖C)⊂D⟹(A∖C)⊂D\begin{cases}(A\setminus B)\subset D\\ (B\setminus C)\subset D\end{cases}\Longrightarrow(A\setminus C)\subset D
  15. Si B≠∅B\neq\varnothing, alors A×B⊂C×B⟹A⊂CA\times B\subset C\times B\Longrightarrow A\subset C.
  16. A×B=B×A  ⟺  (A=B ou A=∅ ou B=∅)A\times B=B\times A\iff(A=B\text{ ou }A=\varnothing\text{ ou }B=\varnothing)
Voir la solution

1) A⊂B‾  ⟺  (∀x) (x∈A⇒x∉B)  ⟺  (∀x) (x∈B⇒x∉A)A\subset\overline B\iff(\forall x)\ (x\in A\Rightarrow x\notin B)\iff(\forall x)\ (x\in B\Rightarrow x\notin A) (contraposée)   ⟺  B⊂A‾\iff B\subset\overline A.

2) (⇐\Leftarrow) si A=BA=B, A∪B=A=A∩BA\cup B=A=A\cap B. (⇒\Rightarrow) A⊂A∪B⊂A∩B⊂BA\subset A\cup B\subset A\cap B\subset B et de même B⊂A∪B⊂A∩B⊂AB\subset A\cup B\subset A\cap B\subset A, donc A=BA=B.

3) (⇐\Leftarrow) évident. (⇒\Rightarrow) E=A∩B⊂A⊂EE=A\cap B\subset A\subset E, donc A=EA=E ; de même B=EB=E.

4) (⇒\Rightarrow) C⊂A∪C=A∩B⊂AC\subset A\cup C=A\cap B\subset A et A⊂A∪C=A∩B⊂BA\subset A\cup C=A\cap B\subset B, donc C⊂A⊂BC\subset A\subset B. (⇐\Leftarrow) Si C⊂A⊂BC\subset A\subset B : A∩B=AA\cap B=A et A∪C=AA\cup C=A, d’où l’égalité.

5) (⇒\Rightarrow) Si A∖B=AA\setminus B=A et x∈A∩Bx\in A\cap B, alors x∈A=A∖Bx\in A=A\setminus B, donc x∉Bx\notin B : contradiction ; donc A∩B=∅A\cap B=\varnothing. (⇐\Leftarrow) Si A∩B=∅A\cap B=\varnothing, tout x∈Ax\in A vérifie x∉Bx\notin B, donc A⊂A∖B⊂AA\subset A\setminus B\subset A.

6) a) A‾∪B=E  ⟺  (∀x∈E) (x∉A ou x∈B)  ⟺  (∀x∈E) (x∈A⇒x∈B)  ⟺  A⊂B\overline A\cup B=E\iff(\forall x\in E)\ (x\notin A\text{ ou }x\in B)\iff(\forall x\in E)\ (x\in A\Rightarrow x\in B)\iff A\subset B. b) A∩B‾=∅  ⟺  A∩B‾‾=E  ⟺  A‾∪B=E  ⟺  A⊂BA\cap\overline B=\varnothing\iff\overline{A\cap\overline B}=E\iff\overline A\cup B=E\iff A\subset B (Morgan et a).

7) (⇐\Leftarrow) évident. (⇒\Rightarrow) Soit x∈Bx\in B. Si x∈A‾x\in\overline A : x∈A‾∩B=A‾∩Cx\in\overline A\cap B=\overline A\cap C, donc x∈Cx\in C. Si x∈Ax\in A : x∉A‾x\notin\overline A et x∈B⊂A‾∪B=A‾∪Cx\in B\subset\overline A\cup B=\overline A\cup C, donc x∈Cx\in C. Ainsi B⊂CB\subset C ; par symétrie C⊂BC\subset B.

8) a) A∪B=A∪C  ⟺  B∖A=C∖AA\cup B=A\cup C\iff B\setminus A=C\setminus A (car A∪X=A∪(X∖A)A\cup X=A\cup(X\setminus A), union disjointe)   ⟺  A‾∩B=A‾∩C  ⟺  A‾∩B‾=A‾∩C‾\iff\overline A\cap B=\overline A\cap C\iff\overline A\cap\overline B=\overline A\cap\overline C (complémentaires dans A‾\overline A : A‾∩X‾=A‾∖(A‾∩X)\overline A\cap\overline X=\overline A\setminus(\overline A\cap X))   ⟺  A∪B‾=A∪C‾\iff A\cup\overline B=A\cup\overline C (même raisonnement qu’au début, avec B‾,C‾\overline B,\overline C). b) En passant aux complémentaires (bijection X↦X‾X\mapsto\overline X) : A‾∪B=A‾∪C  ⟺  A‾∪B‾=A‾∪C‾  ⟺  A∩B‾=A∩C‾\overline A\cup B=\overline A\cup C\iff\overline{\overline A\cup B}=\overline{\overline A\cup C}\iff A\cap\overline B=A\cap\overline C ; or A∩B‾=A∖(A∩B)A\cap\overline B=A\setminus(A\cap B), donc A∩B‾=A∩C‾  ⟺  A∩B=A∩CA\cap\overline B=A\cap\overline C\iff A\cap B=A\cap C.

9) B∩(A Δ B)=B∩[(A∩B‾)∪(B∩A‾)]=∅∪(B∩A‾)=B∖AB\cap(A\,\Delta\,B)=B\cap\big[(A\cap\overline B)\cup(B\cap\overline A)\big]=\varnothing\cup(B\cap\overline A)=B\setminus A. x∈A‾ Δ B  ⟺  x\in\overline A\,\Delta\,B\iff (x∉Ax\notin A et x∉Bx\notin B) ou (x∈Ax\in A et x∈Bx\in B)   ⟺  x∈A Δ B‾\iff x\in A\,\Delta\,\overline B (même condition en échangeant les rôles). Donc A‾ Δ B=A Δ B‾\overline A\,\Delta\,B=A\,\Delta\,\overline B (=A Δ B‾)\big(=\overline{A\,\Delta\,B}\big).

10) (⇐\Leftarrow) évident. (⇒\Rightarrow) Si A Δ C=B Δ CA\,\Delta\,C=B\,\Delta\,C, alors (A Δ C) Δ C=(B Δ C) Δ C(A\,\Delta\,C)\,\Delta\,C=(B\,\Delta\,C)\,\Delta\,C ; par associativité de Δ\Delta (admise dans l’énoncé, démontrée à l’exercice 8.13) et C Δ C=∅C\,\Delta\,C=\varnothing : A Δ ∅=B Δ ∅A\,\Delta\,\varnothing=B\,\Delta\,\varnothing, soit A=BA=B.

11) A Δ B=(A∪B)∖(A∩B)A\,\Delta\,B=(A\cup B)\setminus(A\cap B). (⇐\Leftarrow) si A∩B=∅A\cap B=\varnothing, A Δ B=A∪BA\,\Delta\,B=A\cup B. (⇒\Rightarrow) si x∈A∩Bx\in A\cap B, alors x∈A∪B=A Δ Bx\in A\cup B=A\,\Delta\,B, donc x∉A∩Bx\notin A\cap B : contradiction ; donc A∩B=∅A\cap B=\varnothing.

12) (⇒\Rightarrow) Tout x∈Ex\in E est dans exactement un des deux ensembles : x∈B  ⟺  x∉Ax\in B\iff x\notin A, donc B=A‾B=\overline A. (⇐\Leftarrow) A Δ A‾=(A∩A)∪(A‾∩A‾)=A∪A‾=EA\,\Delta\,\overline A=(A\cap A)\cup(\overline A\cap\overline A)=A\cup\overline A=E.

13) A∖C=A∩A∩B‾‾=A∩(A‾∪B)=(A∩A‾)∪(A∩B)=A∩B=BA\setminus C=A\cap\overline{A\cap\overline B}=A\cap(\overline A\cup B)=(A\cap\overline A)\cup(A\cap B)=A\cap B=B (car B⊂AB\subset A).

14) Soit x∈A∖Cx\in A\setminus C. Si x∈Bx\in B : x∈Bx\in B et x∉Cx\notin C, donc x∈B∖C⊂Dx\in B\setminus C\subset D. Si x∉Bx\notin B : x∈A∖B⊂Dx\in A\setminus B\subset D. Dans les deux cas x∈Dx\in D.

15) Soit x∈Ax\in A. Comme B≠∅B\neq\varnothing, choisissons b∈Bb\in B. Alors (x;b)∈A×B⊂C×B(x;b)\in A\times B\subset C\times B, donc x∈Cx\in C.

16) (⇐\Leftarrow) Si A=BA=B, évident ; si A=∅A=\varnothing ou B=∅B=\varnothing, les deux produits sont vides. (⇒\Rightarrow) Supposons A≠∅A\neq\varnothing et B≠∅B\neq\varnothing ; soient a∈Aa\in A, b∈Bb\in B. Pour x∈Ax\in A : (x;b)∈A×B=B×A(x;b)\in A\times B=B\times A, donc x∈Bx\in B : A⊂BA\subset B. Pour y∈By\in B : (a;y)∈A×B=B×A(a;y)\in A\times B=B\times A, donc a∈Ba\in B et y∈Ay\in A : B⊂AB\subset A. Donc A=BA=B.

Exercice 8 — Classique — égalités Moyen ★★★☆☆

Soient AA, BB, CC et DD des parties de EE. Montrer les propriétés suivantes :

  1. A∪B=(A∖B)∪BA\cup B=(A\setminus B)\cup B
  2. A Δ B=(A∪B)∩(A‾∪B‾)A\,\Delta\,B=(A\cup B)\cap(\overline A\cup\overline B)
  3. (A∩B)∖C=(A∖C)∩B(A\cap B)\setminus C=(A\setminus C)\cap B
  4. (A∪B)∖C=(A∖C)∪(B∖C)(A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup(B\setminus C)
  5. A∖(B∪C)=(A∖B)∩(A∖C)A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus C)
  6. A∖(B∩C)=(A∖B)∪(A∖C)A\setminus(B\cap C)=(A\setminus B)\cup(A\setminus C)
  7. A∖(B∖C)=(A∖B)∪(A∩C)A\setminus(B\setminus C)=(A\setminus B)\cup(A\cap C)
  8. (A∖B)∖C=A∖(B∪C)=(A∖C)∖B(A\setminus B)\setminus C=A\setminus(B\cup C)=(A\setminus C)\setminus B
  9. A∩B=(A∪B) Δ (A Δ B)A\cap B=(A\cup B)\,\Delta\,(A\,\Delta\,B)
  10. A∖B=A Δ (A∩B)A\setminus B=A\,\Delta\,(A\cap B)
  11. A∩(B Δ C)=(A∩B) Δ (A∩C)A\cap(B\,\Delta\,C)=(A\cap B)\,\Delta\,(A\cap C)
  12. (A∪C) Δ (B∪C)=(A Δ B)∩C‾(A\cup C)\,\Delta\,(B\cup C)=(A\,\Delta\,B)\cap\overline C
  13. (A Δ B) Δ C=A Δ (B Δ C)(A\,\Delta\,B)\,\Delta\,C=A\,\Delta\,(B\,\Delta\,C)
  14. C×(A∪B)=(C×A)∪(C×B)C\times(A\cup B)=(C\times A)\cup(C\times B)
  15. (A×B)∩(C×D)=(A∩C)×(B∩D)(A\times B)\cap(C\times D)=(A\cap C)\times(B\cap D)
  16. C×(A∖B)=(C×A)∖(C×B)C\times(A\setminus B)=(C\times A)\setminus(C\times B)
  17. E2∖(A×B)=(A‾×E)∪(E×B‾)E^2\setminus(A\times B)=(\overline A\times E)\cup(E\times\overline B)
Voir la solution

On raisonne par équivalences sur l’appartenance, ou avec les règles de calcul.

  1. (A∖B)∪B=(A∩B‾)∪B=(A∪B)∩(B‾∪B)=(A∪B)∩E=A∪B(A\setminus B)\cup B=(A\cap\overline B)\cup B=(A\cup B)\cap(\overline B\cup B)=(A\cup B)\cap E=A\cup B.
  2. (A∪B)∩(A‾∪B‾)=(A∩A‾)∪(A∩B‾)∪(B∩A‾)∪(B∩B‾)=(A∖B)∪(B∖A)=A Δ B(A\cup B)\cap(\overline A\cup\overline B)=(A\cap\overline A)\cup(A\cap\overline B)\cup(B\cap\overline A)\cup(B\cap\overline B)=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)=A\,\Delta\,B.
  3. (A∩B)∖C=A∩B∩C‾=(A∩C‾)∩B=(A∖C)∩B(A\cap B)\setminus C=A\cap B\cap\overline C=(A\cap\overline C)\cap B=(A\setminus C)\cap B.
  4. (A∪B)∩C‾=(A∩C‾)∪(B∩C‾)(A\cup B)\cap\overline C=(A\cap\overline C)\cup(B\cap\overline C) (distributivité).
  5. A∩B∪C‾=A∩B‾∩C‾=(A∩B‾)∩(A∩C‾)A\cap\overline{B\cup C}=A\cap\overline B\cap\overline C=(A\cap\overline B)\cap(A\cap\overline C).
  6. A∩B∩C‾=A∩(B‾∪C‾)=(A∩B‾)∪(A∩C‾)A\cap\overline{B\cap C}=A\cap(\overline B\cup\overline C)=(A\cap\overline B)\cup(A\cap\overline C).
  7. A∩B∩C‾‾=A∩(B‾∪C)=(A∩B‾)∪(A∩C)A\cap\overline{B\cap\overline C}=A\cap(\overline B\cup C)=(A\cap\overline B)\cup(A\cap C).
  8. (A∩B‾)∩C‾=A∩(B‾∩C‾)=A∩B∪C‾(A\cap\overline B)\cap\overline C=A\cap(\overline B\cap\overline C)=A\cap\overline{B\cup C} et =(A∩C‾)∩B‾=(A∖C)∖B=(A\cap\overline C)\cap\overline B=(A\setminus C)\setminus B.
  9. A Δ B⊂A∪BA\,\Delta\,B\subset A\cup B, donc (A∪B) Δ (A Δ B)=(A∪B)∖(A Δ B)(A\cup B)\,\Delta\,(A\,\Delta\,B)=(A\cup B)\setminus(A\,\Delta\,B) ; or un élément de A∪BA\cup B qui n’est pas dans exactement un des deux ensembles est dans les deux : c’est A∩BA\cap B.
  10. A∩B⊂AA\cap B\subset A, donc A Δ (A∩B)=A∖(A∩B)=A∩(A‾∪B‾)=A∩B‾=A∖BA\,\Delta\,(A\cap B)=A\setminus(A\cap B)=A\cap(\overline A\cup\overline B)=A\cap\overline B=A\setminus B.
  11. Soit x∈Ex\in E. Si x∉Ax\notin A, xx n’est dans aucun des deux membres. Si x∈Ax\in A : x∈A∩(B Δ C)  ⟺  x∈B Δ C  ⟺  x\in A\cap(B\,\Delta\,C)\iff x\in B\,\Delta\,C\iff (xx est dans exactement un des ensembles BB, CC)   ⟺  \iff (xx est dans exactement un des ensembles A∩BA\cap B, A∩CA\cap C)   ⟺  x∈(A∩B) Δ (A∩C)\iff x\in(A\cap B)\,\Delta\,(A\cap C).
  12. Si x∈Cx\in C : xx appartient à A∪CA\cup C et à B∪CB\cup C, donc x∉(A∪C) Δ (B∪C)x\notin(A\cup C)\,\Delta\,(B\cup C), et x∉C‾x\notin\overline C. Si x∉Cx\notin C : x∈A∪C  ⟺  x∈Ax\in A\cup C\iff x\in A et x∈B∪C  ⟺  x∈Bx\in B\cup C\iff x\in B, donc x∈(A∪C) Δ (B∪C)  ⟺  x∈A Δ B  ⟺  x∈(A Δ B)∩C‾x\in(A\cup C)\,\Delta\,(B\cup C)\iff x\in A\,\Delta\,B\iff x\in(A\,\Delta\,B)\cap\overline C.
  13. Pour x∈Ex\in E, notons N(x)N(x) le nombre d’ensembles parmi A,B,CA,B,C contenant xx. On a x∈X Δ Y  ⟺  x\in X\,\Delta\,Y\iff xx appartient à exactement un des deux. On vérifie que x∈(A Δ B) Δ C  ⟺  N(x)x\in(A\,\Delta\,B)\,\Delta\,C\iff N(x) est impair   ⟺  x∈A Δ (B Δ C)\iff x\in A\,\Delta\,(B\,\Delta\,C) (par exemple : x∈(A Δ B) Δ Cx\in(A\,\Delta\,B)\,\Delta\,C ssi [x∈A Δ Bx\in A\,\Delta\,B et x∉Cx\notin C] ou [x∉A Δ Bx\notin A\,\Delta\,B et x∈Cx\in C], c’est-à-dire N(x)=1N(x)=1 avec x∉Cx\notin C, ou N(x)∈{1;3}N(x)\in\{1;3\} avec x∈Cx\in C ; même analyse pour l’autre membre).
  14. (x;y)∈C×(A∪B)  ⟺  x∈C(x;y)\in C\times(A\cup B)\iff x\in C et (y∈Ay\in A ou y∈By\in B)   ⟺  \iff (x∈Cx\in C et y∈Ay\in A) ou (x∈Cx\in C et y∈By\in B)   ⟺  (x;y)∈(C×A)∪(C×B)\iff(x;y)\in(C\times A)\cup(C\times B).
  15. (x;y)∈(A×B)∩(C×D)  ⟺  x∈A, y∈B, x∈C, y∈D  ⟺  x∈A∩C(x;y)\in(A\times B)\cap(C\times D)\iff x\in A,\ y\in B,\ x\in C,\ y\in D\iff x\in A\cap C et y∈B∩Dy\in B\cap D.
  16. (x;y)∈(C×A)∖(C×B)  ⟺  x∈C, y∈A(x;y)\in(C\times A)\setminus(C\times B)\iff x\in C,\ y\in A et non(x∈Cx\in C et y∈By\in B)   ⟺  x∈C, y∈A\iff x\in C,\ y\in A et (x∉Cx\notin C ou y∉By\notin B)   ⟺  x∈C, y∈A, y∉B\iff x\in C,\ y\in A,\ y\notin B (car x∈Cx\in C)   ⟺  (x;y)∈C×(A∖B)\iff(x;y)\in C\times(A\setminus B).
  17. Pour (x;y)∈E2(x;y)\in E^2 : (x;y)∉A×B  ⟺  x∈A et y∈B‾  ⟺  x∉A ou y∉B  ⟺  (x;y)∈(A‾×E)∪(E×B‾)(x;y)\notin A\times B\iff\overline{x\in A\text{ et }y\in B}\iff x\notin A\text{ ou }y\notin B\iff(x;y)\in(\overline A\times E)\cup(E\times\overline B).

Exercice 9 — Ensembles de réels Moyen ★★★☆☆

On considère les ensembles A={π10+2kπ5 / k∈Z}A=\left\{\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{2k\pi}{5}\ /\ k\in\Z\right\} et B={−π10+k′π5 / k′∈Z}B=\left\{-\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{k'\pi}{5}\ /\ k'\in\Z\right\}.

  1. Vérifier que π10∈B\dfrac{\pi}{10}\in B.
  2. Le nombre 3π10\dfrac{3\pi}{10} appartient-il à AA ?
  3. Montrer que A⊂BA\subset B et B⊄AB\not\subset A.
Voir la solution
  1. Pour k′=1k'=1 : −π10+π5=π10-\frac{\pi}{10}+\frac{\pi}{5}=\frac{\pi}{10}, donc π10∈B\frac\pi{10}\in B.
  2. π10+2kπ5=3π10  ⟺  2k5=15  ⟺  k=12∉Z\frac{\pi}{10}+\frac{2k\pi}{5}=\frac{3\pi}{10}\iff\frac{2k}{5}=\frac15\iff k=\frac12\notin\Z : 3π10∉A\frac{3\pi}{10}\notin A.
  3. Soit x∈Ax\in A : x=π10+2kπ5=−π10+2π10+2kπ5=−π10+(2k+1)π5x=\frac{\pi}{10}+\frac{2k\pi}{5}=-\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi}{10}+\frac{2k\pi}{5}=-\frac{\pi}{10}+\frac{(2k+1)\pi}{5} avec k′=2k+1∈Zk'=2k+1\in\Z : x∈Bx\in B. Donc A⊂BA\subset B. Pour k′=2k'=2 : −π10+2π5=3π10∈B-\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi}{5}=\frac{3\pi}{10}\in B, et 3π10∉A\frac{3\pi}{10}\notin A (question 2) : B⊄AB\not\subset A.

Exercice 10 — Extension / différence symétrique Moyen ★★★☆☆

On pose A={x∈N∖{3} / 2x+5x−3∈Z}A=\left\{x\in\N\setminus\{3\}\ /\ \dfrac{2x+5}{x-3}\in\Z\right\} et B={x∈N∖{2} / 4x+1x−2∈N}B=\left\{x\in\N\setminus\{2\}\ /\ \dfrac{4x+1}{x-2}\in\N\right\}.

  1. Écrire AA et BB en extension.
  2. Déterminer A Δ BA\,\Delta\,B.
  3. On considère C={4;5;6}C=\{4;5;6\}. Vérifier que (C∪A) Δ (C∪B)≠C∪(A Δ B)(C\cup A)\,\Delta\,(C\cup B)\neq C\cup(A\,\Delta\,B).
Voir la solution
  1. Pour x≠3x\neq3 : 2x+5x−3=2+11x−3\frac{2x+5}{x-3}=2+\frac{11}{x-3}, donc 2x+5x−3∈Z  ⟺  (x−3)∣11  ⟺  x−3∈{−11;−1;1;11}  ⟺  x∈{−8;2;4;14}\frac{2x+5}{x-3}\in\Z\iff(x-3)\mid 11\iff x-3\in\{-11;-1;1;11\}\iff x\in\{-8;2;4;14\}. Avec x∈Nx\in\N : A={2;4;14}A=\{2;4;14\}. Pour x≠2x\neq2 : 4x+1x−2=4+9x−2\frac{4x+1}{x-2}=4+\frac{9}{x-2}. Il faut d’abord (x−2)∣9(x-2)\mid 9, soit x−2∈{−9;−3;−1;1;3;9}x-2\in\{-9;-3;-1;1;3;9\}, d’où (avec x∈Nx\in\N) x∈{1;3;5;11}x\in\{1;3;5;11\}. Pour x=1x=1 : 5−1=−5∉N\frac{5}{-1}=-5\notin\N ; pour x=3,5,11x=3,5,11 : 1313, 77, 5∈N5\in\N. Donc B={3;5;11}B=\{3;5;11\}.
  2. A Δ B={2;3;4;5;11;14}A\,\Delta\,B=\{2;3;4;5;11;14\} (ici A∩B=∅A\cap B=\varnothing).
  3. C∪A={2;4;5;6;14}C\cup A=\{2;4;5;6;14\}, C∪B={3;4;5;6;11}C\cup B=\{3;4;5;6;11\}, donc (C∪A) Δ (C∪B)={2;3;11;14}(C\cup A)\,\Delta\,(C\cup B)=\{2;3;11;14\}, alors que C∪(A Δ B)={2;3;4;5;6;11;14}C\cup(A\,\Delta\,B)=\{2;3;4;5;6;11;14\}. Les deux ensembles sont différents.

Exercice 11 — Paramètre Moyen ★★★☆☆

Soit α∈R+∗\alpha\in\R_+^*. On pose E=[−3;3]E=[-3;3],  F={(x;y)∈R2 / x2+4y2≤9}\ F=\{(x;y)\in\R^2\ /\ x^2+4y^2\le 9\},  G={x∈R / ∣x−2∣<α}\ G=\{x\in\R\ /\ |x-2|<\alpha\} et H={x∈R / ∣x+1∣<52}H=\left\{x\in\R\ /\ |x+1|<\dfrac52\right\}.

  1. a. Montrer que F≠∅F\neq\varnothing et G≠∅G\neq\varnothing. b. Montrer que F⊂E2F\subset E^2.
  2. Déterminer, si elles existent, les valeurs de α\alpha telles que : a. G=HG=H ; \quad b. G∩H=∅G\cap H=\varnothing.
Voir la solution

1) a) (0;0)∈F(0;0)\in F car 0≤90\le 9, donc F≠∅F\neq\varnothing ; 2∈G2\in G car ∣2−2∣=0<α|2-2|=0<\alpha, donc G≠∅G\neq\varnothing. 1) b) Soit (x;y)∈F(x;y)\in F. Alors x2≤x2+4y2≤9x^2\le x^2+4y^2\le 9, donc ∣x∣≤3|x|\le 3 ; et 4y2≤94y^2\le 9, donc ∣y∣≤32≤3|y|\le\frac32\le 3. Ainsi x∈Ex\in E et y∈Ey\in E : (x;y)∈E2(x;y)\in E^2. Donc F⊂E2F\subset E^2.

2) G= ]2−α;2+α[G=\,]2-\alpha;2+\alpha[ et H=]−72;32[H=\left]-\frac72;\frac32\right[. a) Si G=HG=H, les bornes coïncident : 2−α=−722-\alpha=-\frac72 et 2+α=322+\alpha=\frac32, soit α=112\alpha=\frac{11}{2} et α=−12\alpha=-\frac12 : impossible. Aucune valeur de α\alpha ne convient. b) Comme 2−α<22-\alpha<2 et 32<2\frac32<2, les deux intervalles sont disjoints si et seulement si 2−α≥322-\alpha\ge\frac32, soit α≤12\alpha\le\frac12. Donc G∩H=∅  ⟺  α∈]0;12]G\cap H=\varnothing\iff\alpha\in\left]0;\frac12\right].

Exercice 12 — Ensembles de réels Moyen ★★★☆☆

  1. Déterminer l’ensemble [−2π;3π]∩{π3+kπ2 / k∈Z}[-2\pi;3\pi]\cap\left\{\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{k\pi}{2}\ /\ k\in\Z\right\}.
  2. On considère A={π2+2kπ / k∈Z}A=\left\{\dfrac\pi2+2k\pi\ /\ k\in\Z\right\} et B={−π6+2kπ3 / k∈Z}B=\left\{-\dfrac\pi6+\dfrac{2k\pi}{3}\ /\ k\in\Z\right\}. Montrer que A⊂BA\subset B.
  3. On considère C={π4+2kπ3 / k∈Z}C=\left\{\dfrac\pi4+\dfrac{2k\pi}{3}\ /\ k\in\Z\right\} et D={−π4+kπ3 / k∈Z}D=\left\{-\dfrac\pi4+\dfrac{k\pi}{3}\ /\ k\in\Z\right\}. Montrer que C∩D=∅C\cap D=\varnothing.
Voir la solution
  1. −2π≤π3+kπ2≤3π  ⟺  −73≤k2≤83  ⟺  −143≤k≤163  ⟺  k∈{−4;−3;…;5}-2\pi\le\frac\pi3+\frac{k\pi}{2}\le3\pi\iff-\frac73\le\frac k2\le\frac83\iff-\frac{14}{3}\le k\le\frac{16}{3}\iff k\in\{-4;-3;\ldots;5\} (k∈Zk\in\Z). L’ensemble est {−5π3;−7π6;−2π3;−π6;π3;5π6;4π3;11π6;7π3;17π6}\left\{-\frac{5\pi}{3};-\frac{7\pi}{6};-\frac{2\pi}{3};-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{3};\frac{5\pi}{6};\frac{4\pi}{3};\frac{11\pi}{6};\frac{7\pi}{3};\frac{17\pi}{6}\right\}.
  2. Soit x=π2+2kπ∈Ax=\frac\pi2+2k\pi\in A. Alors x=−π6+2π3+2kπ=−π6+2(3k+1)π3x=-\frac\pi6+\frac{2\pi}{3}+2k\pi=-\frac\pi6+\frac{2(3k+1)\pi}{3} avec 3k+1∈Z3k+1\in\Z : x∈Bx\in B.
  3. Par l’absurde : si x∈C∩Dx\in C\cap D, il existe k,k′∈Zk,k'\in\Z tels que π4+2kπ3=−π4+k′π3\frac\pi4+\frac{2k\pi}{3}=-\frac\pi4+\frac{k'\pi}{3}. En multipliant par 12π\frac{12}{\pi} : 3+8k=−3+4k′3+8k=-3+4k', soit 6=4k′−8k6=4k'-8k, d’où 3=2(k′−2k)3=2(k'-2k) : 33 serait pair, contradiction. Donc C∩D=∅C\cap D=\varnothing.

Exercice 13 — Divisibilité Moyen ★★★☆☆

Déterminer en extension les ensembles A={x∈N / 4x2+2x+92x−1∈Z}A=\left\{x\in\N\ /\ \dfrac{4x^2+2x+9}{2x-1}\in\Z\right\} et B={x∈N∖{4} / x+8x−4∈N}B=\left\{x\in\N\setminus\{4\}\ /\ \dfrac{x+8}{x-4}\in\N\right\}, puis déterminer A∩BA\cap B, A∪BA\cup B et A∖BA\setminus B.

Voir la solution

Pour x∈Nx\in\N, 2x−1≠02x-1\neq0 et 4x2+2x+9=(2x−1)(2x+2)+114x^2+2x+9=(2x-1)(2x+2)+11, donc 4x2+2x+92x−1=2x+2+112x−1∈Z  ⟺  (2x−1)∣11  ⟺  2x−1∈{−11;−1;1;11}  ⟺  x∈{−5;0;1;6}\frac{4x^2+2x+9}{2x-1}=2x+2+\frac{11}{2x-1}\in\Z\iff(2x-1)\mid11\iff 2x-1\in\{-11;-1;1;11\}\iff x\in\{-5;0;1;6\}. Donc A={0;1;6}A=\{0;1;6\}.

Pour x≠4x\neq4 : x+8x−4=1+12x−4\frac{x+8}{x-4}=1+\frac{12}{x-4}. Si x>4x>4 : il faut (x−4)∣12(x-4)\mid12, x−4∈{1;2;3;4;6;12}x-4\in\{1;2;3;4;6;12\}. Si 0≤x<40\le x<4 : x−4∈{−4;−3;−2;−1}x-4\in\{-4;-3;-2;-1\} et 1+12x−4≤1−3<01+\frac{12}{x-4}\le 1-3<0 : exclu. Donc B={5;6;7;8;10;16}B=\{5;6;7;8;10;16\}.

A∩B={6}A\cap B=\{6\} ;  A∪B={0;1;5;6;7;8;10;16}\ A\cup B=\{0;1;5;6;7;8;10;16\} ;  A∖B={0;1}\ A\setminus B=\{0;1\}.

Exercice 14 — Partie de R2\mathbb{R}^2 Moyen ★★★☆☆

On considère l’ensemble F={(x;y)∈R2 / x2≤2y  et  y2<2x}F=\{(x;y)\in\R^2\ /\ x^2\le 2y\ \text{ et }\ y^2<2x\}.

  1. Montrer que F≠∅F\neq\varnothing.
  2. Montrer que F⊂[0;2]×[0;2]F\subset[0;2]\times[0;2].
Voir la solution
  1. (1;1)∈F(1;1)\in F car 1≤21\le 2 et 1<21<2. Donc F≠∅F\neq\varnothing.
  2. Soit (x;y)∈F(x;y)\in F. De y2<2xy^2<2x on tire x>0x>0 ; de x2≤2yx^2\le 2y on tire y≥0y\ge0. Ensuite x4≤4y2<8xx^4\le 4y^2<8x, donc (x>0x>0) x3<8x^3<8 et x<2x<2. De même y4<4x2≤8yy^4<4x^2\le 8y ; si y>0y>0, y3<8y^3<8 et y<2y<2 ; si y=0y=0, y<2y<2. Ainsi 0≤x≤20\le x\le2 et 0≤y≤20\le y\le 2 : (x;y)∈[0;2]×[0;2](x;y)\in[0;2]\times[0;2].

Exercice 15 — Ensemble des parties Moyen ★★★☆☆

Soient EE et FF deux ensembles. Montrer que :

  1. E⊂F  ⟺  P(E)⊂P(F)E\subset F\iff\mathcal{P}(E)\subset\mathcal{P}(F).
  2. P(E)∪P(F)⊂P(E∪F)\mathcal{P}(E)\cup\mathcal{P}(F)\subset\mathcal{P}(E\cup F), et que cette inclusion peut être stricte.
Voir la solution
  1. (⇒\Rightarrow) Soit X∈P(E)X\in\mathcal{P}(E) : X⊂E⊂FX\subset E\subset F, donc X∈P(F)X\in\mathcal{P}(F). (⇐\Leftarrow) E∈P(E)⊂P(F)E\in\mathcal{P}(E)\subset\mathcal{P}(F), donc E⊂FE\subset F.
  2. Soit X∈P(E)∪P(F)X\in\mathcal{P}(E)\cup\mathcal{P}(F) : X⊂EX\subset E ou X⊂FX\subset F, donc X⊂E∪FX\subset E\cup F, i.e. X∈P(E∪F)X\in\mathcal{P}(E\cup F). Inclusion stricte : pour E={1}E=\{1\}, F={2}F=\{2\}, on a {1;2}∈P(E∪F)\{1;2\}\in\mathcal{P}(E\cup F) mais {1;2}∉P(E)∪P(F)\{1;2\}\notin\mathcal{P}(E)\cup\mathcal{P}(F).

Exercice 16 — Partie de R2\mathbb{R}^2 Difficile ★★★★☆

Soit E={(x;y)∈R2 / x2−xy−2y2=4}E=\{(x;y)\in\R^2\ /\ x^2-xy-2y^2=4\}.

  1. Vérifier que : (∀(x;y)∈R2)  x2−xy−2y2=(x−2y)(x+y)(\forall(x;y)\in\R^2)\ \ x^2-xy-2y^2=(x-2y)(x+y).
  2. Déterminer en extension l’ensemble F=E∩Z2F=E\cap\Z^2.
  3. Montrer que E={(t2+83t ; 4−t23t) / t∈R∗}E=\left\{\left(\dfrac{t^2+8}{3t}\ ;\ \dfrac{4-t^2}{3t}\right)\ /\ t\in\R^*\right\}.
Voir la solution
  1. (x−2y)(x+y)=x2+xy−2xy−2y2=x2−xy−2y2(x-2y)(x+y)=x^2+xy-2xy-2y^2=x^2-xy-2y^2.
  2. (x;y)∈F  ⟺  x,y∈Z(x;y)\in F\iff x,y\in\Z et (x−2y)(x+y)=4(x-2y)(x+y)=4. Posons u=x−2yu=x-2y, v=x+yv=x+y (entiers, uv=4uv=4) ; alors v−u=3yv-u=3y, donc u≡vu\equiv v modulo 33, puis y=v−u3y=\frac{v-u}{3}, x=u+2v3x=\frac{u+2v}{3}.
(u;v)(u;v)(1;4)(1;4)(4;1)(4;1)(2;2)(2;2)(−1;−4)(-1;-4)(−4;−1)(-4;-1)(−2;−2)(-2;-2)
(x;y)(x;y)(3;1)(3;1)(2;−1)(2;-1)(2;0)(2;0)(−3;−1)(-3;-1)(−2;1)(-2;1)(−2;0)(-2;0)

Toutes les paires conviennent (v−u∈{3;−3;0}v-u\in\{3;-3;0\}), donc F={(3;1);(2;−1);(2;0);(−3;−1);(−2;1);(−2;0)}F=\{(3;1);(2;-1);(2;0);(-3;-1);(-2;1);(-2;0)\}. 3. Notons GG l’ensemble paramétré. G⊂EG\subset E : pour t≠0t\neq0, x−2y=t2+8−8+2t23t=tx-2y=\frac{t^2+8-8+2t^2}{3t}=t et x+y=123t=4tx+y=\frac{12}{3t}=\frac4t, donc (x−2y)(x+y)=4(x-2y)(x+y)=4. E⊂GE\subset G : si (x;y)∈E(x;y)\in E, posons t=x−2yt=x-2y ; t(x+y)=4t(x+y)=4 donc t≠0t\neq0 et x+y=4tx+y=\frac4t. En résolvant : x=t+8t3=t2+83tx=\frac{t+\frac8t}{3}=\frac{t^2+8}{3t} et y=4t−t3=4−t23ty=\frac{\frac4t-t}{3}=\frac{4-t^2}{3t}. Donc (x;y)∈G(x;y)\in G, et E=GE=G.

Exercice 17 — Inclusions Moyen ★★★☆☆

Soient A,X,Y∈P(E)A,X,Y\in\mathcal{P}(E) tels que X∪A=Y∩AX\cup A=Y\cap A. Montrer que X⊂A⊂YX\subset A\subset Y.

Voir la solution

X⊂X∪A=Y∩A⊂AX\subset X\cup A=Y\cap A\subset A, donc X⊂AX\subset A. Et A⊂X∪A=Y∩A⊂YA\subset X\cup A=Y\cap A\subset Y, donc A⊂YA\subset Y. Ainsi X⊂A⊂YX\subset A\subset Y.

Exercice 18 — Équations dans P(E)\mathcal{P}(E) Difficile ★★★★☆

Soient A,B∈P(E)A,B\in\mathcal{P}(E). Résoudre dans P(E)\mathcal{P}(E) les équations suivantes :

  1. X∪A‾=BX\cup\overline A=B
  2. X∩A‾=BX\cap\overline A=B
Voir la solution

1) Condition nécessaire : si X∪A‾=BX\cup\overline A=B, alors A‾⊂B\overline A\subset B. Si A‾⊄B\overline A\not\subset B : pas de solution. Si A‾⊂B\overline A\subset B : X∪A‾=B  ⟺  X\cup\overline A=B\iff (X⊂BX\subset B et B∖A‾⊂XB\setminus\overline A\subset X)   ⟺  A∩B⊂X⊂B\iff A\cap B\subset X\subset B. En effet (⇒\Rightarrow) X⊂BX\subset B et tout x∈B∩Ax\in B\cap A n’est pas dans A‾\overline A, donc est dans XX ; (⇐\Leftarrow) X∪A‾⊂BX\cup\overline A\subset B et B=(B∩A)∪(B∩A‾)⊂X∪A‾B=(B\cap A)\cup(B\cap\overline A)\subset X\cup\overline A. S={X∈P(E) / A∩B⊂X⊂B}S=\{X\in\mathcal{P}(E)\ /\ A\cap B\subset X\subset B\} si A‾⊂B\overline A\subset B ; S=∅S=\varnothing sinon.

2) Condition nécessaire : B=X∩A‾⊂A‾B=X\cap\overline A\subset\overline A. Si B⊄A‾B\not\subset\overline A : S=∅S=\varnothing. Si B⊂A‾B\subset\overline A : X∩A‾=B  ⟺  X\cap\overline A=B\iff (B⊂XB\subset X et X∩A‾⊂BX\cap\overline A\subset B)   ⟺  B⊂X⊂B∪A\iff B\subset X\subset B\cup A. S={X∈P(E) / B⊂X⊂A∪B}S=\{X\in\mathcal{P}(E)\ /\ B\subset X\subset A\cup B\} si B∩A=∅B\cap A=\varnothing ; S=∅S=\varnothing sinon.

Exercice 19 — Équations dans P(E)\mathcal{P}(E) Difficile ★★★★☆

Soient A,B∈P(E)A,B\in\mathcal{P}(E) tels que A⊂BA\subset B. Pour tout X∈P(E)X\in\mathcal{P}(E), montrer que :

  1. A∪X=B  ⟺  B∖A⊂X⊂BA\cup X=B\iff B\setminus A\subset X\subset B
  2. B∖X=A  ⟺  B∖A⊂X⊂A‾B\setminus X=A\iff B\setminus A\subset X\subset\overline A
Voir la solution

1) (⇒\Rightarrow) X⊂A∪X=BX\subset A\cup X=B ; et si x∈B∖Ax\in B\setminus A, x∈A∪Xx\in A\cup X avec x∉Ax\notin A, donc x∈Xx\in X. (⇐\Leftarrow) A∪X⊂A∪B=BA\cup X\subset A\cup B=B et B=A∪(B∖A)⊂A∪XB=A\cup(B\setminus A)\subset A\cup X.

2) (⇒\Rightarrow) Si B∖X=AB\setminus X=A : soit x∈B∖Ax\in B\setminus A ; si x∉Xx\notin X, alors x∈B∖X=Ax\in B\setminus X=A, absurde ; donc x∈Xx\in X. Soit x∈Xx\in X ; si x∈Ax\in A, alors x∈B∖Xx\in B\setminus X (car A⊂BA\subset B) donc x∉Xx\notin X, absurde ; donc X⊂A‾X\subset\overline A. (⇐\Leftarrow) Si B∖A⊂X⊂A‾B\setminus A\subset X\subset\overline A : tout x∈Ax\in A est dans BB et pas dans XX, donc A⊂B∖XA\subset B\setminus X ; tout x∈B∖Xx\in B\setminus X n’est pas dans B∖AB\setminus A (sinon x∈Xx\in X), donc x∈Ax\in A. D’où B∖X=AB\setminus X=A.

Exercice 20 — Problème de synthèse Difficile ★★★★★

Soient A,B,C∈P(E)A,B,C\in\mathcal{P}(E).

  1. Montrer que, pour tout X∈P(E)X\in\mathcal{P}(E) : a. X=(X∖A)∪(X∩A)X=(X\setminus A)\cup(X\cap A) ; \quad b. X=(X∪A)∖(A∖X)X=(X\cup A)\setminus(A\setminus X).
  2. Résoudre dans P(E)\mathcal{P}(E) l’équation X∩A=X∪A‾X\cap A=X\cup\overline A (discuter selon AA).
  3. On suppose que B⊂AB\subset A et A∩C=∅A\cap C=\varnothing. Résoudre dans P(E)\mathcal{P}(E) le système {X∩A=BX∖A=C\begin{cases}X\cap A=B\\ X\setminus A=C\end{cases}.
  4. Sachant que A⊂BA\subset B, résoudre dans P(E)\mathcal{P}(E) l’équation X∖A=B∖AX\setminus A=B\setminus A.
  5. On suppose que B⊂A⊂CB\subset A\subset C. a. Résoudre dans P(E)\mathcal{P}(E) le système {A∪X=CA∩X=B\begin{cases}A\cup X=C\\ A\cap X=B\end{cases}. b. Résoudre dans P(E)\mathcal{P}(E) le système {A∖X=BX∪A=C\begin{cases}A\setminus X=B\\ X\cup A=C\end{cases}.
Voir la solution

1) a) (X∖A)∪(X∩A)=(X∩A‾)∪(X∩A)=X∩(A‾∪A)=X(X\setminus A)\cup(X\cap A)=(X\cap\overline A)\cup(X\cap A)=X\cap(\overline A\cup A)=X. 1) b) (X∪A)∖(A∖X)=(X∪A)∩A∩X‾‾=(X∪A)∩(A‾∪X)=X∪(A∩A‾)=X(X\cup A)\setminus(A\setminus X)=(X\cup A)\cap\overline{A\cap\overline X}=(X\cup A)\cap(\overline A\cup X)=X\cup(A\cap\overline A)=X.

2) Si XX est solution : A‾⊂X∪A‾=X∩A⊂A\overline A\subset X\cup\overline A=X\cap A\subset A, donc A‾⊂A\overline A\subset A, ce qui impose A‾=∅\overline A=\varnothing, i.e. A=EA=E. Si A≠EA\neq E : S=∅S=\varnothing. Si A=EA=E : l’équation s’écrit X=XX=X ; S=P(E)S=\mathcal{P}(E).

3) D’après 1) a), une solution vérifie X=(X∖A)∪(X∩A)=C∪BX=(X\setminus A)\cup(X\cap A)=C\cup B. Réciproquement, X=B∪CX=B\cup C convient : (B∪C)∩A=(B∩A)∪(C∩A)=B∪∅=B(B\cup C)\cap A=(B\cap A)\cup(C\cap A)=B\cup\varnothing=B et (B∪C)∖A=(B∖A)∪(C∖A)=∅∪C=C(B\cup C)\setminus A=(B\setminus A)\cup(C\setminus A)=\varnothing\cup C=C. S={B∪C}S=\{B\cup C\}.

4) X∖A=B∖A  ⟺  X∪A=B∪AX\setminus A=B\setminus A\iff X\cup A=B\cup A (X∪AX\cup A est la réunion disjointe de AA et X∖AX\setminus A)   ⟺  X∪A=B\iff X\cup A=B (car A⊂BA\subset B)   ⟺  B∖A⊂X⊂B\iff B\setminus A\subset X\subset B (exercice 19.1). S={X / B∖A⊂X⊂B}S=\{X\ /\ B\setminus A\subset X\subset B\}.

5) a) Si XX est solution : X∩A=BX\cap A=B et X∖A=(A∪X)∖A=C∖AX\setminus A=(A\cup X)\setminus A=C\setminus A, donc (1 a) X=(C∖A)∪BX=(C\setminus A)\cup B. Réciproquement, X=B∪(C∖A)X=B\cup(C\setminus A) vérifie A∪X=A∪(C∖A)=CA\cup X=A\cup(C\setminus A)=C (car B⊂A⊂CB\subset A\subset C) et A∩X=BA\cap X=B. S={B∪(C∖A)}S=\{B\cup(C\setminus A)\}. 5) b) Si XX est solution : X∩A=A∖(A∖X)=A∖BX\cap A=A\setminus(A\setminus X)=A\setminus B et X∖A=C∖AX\setminus A=C\setminus A, donc X=(A∖B)∪(C∖A)X=(A\setminus B)\cup(C\setminus A). Réciproquement ce XX vérifie A∖X=A∖(A∖B)=BA\setminus X=A\setminus(A\setminus B)=B (car B⊂AB\subset A) et X∪A=A∪(C∖A)=CX\cup A=A\cup(C\setminus A)=C. S={(A∖B)∪(C∖A)}S=\{(A\setminus B)\cup(C\setminus A)\}.

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