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Chapitre 11 — Dérivation

Semestre 2

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Cours

Plan du chapitre. I. Dérivabilité en un point — II. Interprétation géométrique : tangente — III. Approximation affine — IV. Dérivabilité à droite et à gauche — V. Fonction dérivée, dérivées usuelles — VI. Opérations sur les fonctions dérivées — VII. Dérivées successives — VIII. Dérivée et sens de variation — IX. Dérivée et extremums — X. L’équation différentielle $y''+\omega^2y=0$ — Résumé.

Prérequis. Fonctions numériques (Ch. 04), trigonométrie (Ch. 08), limites (Ch. 09). Les asymptotes et l’étude complète des branches infinies seront vues au chapitre 12.

I. Dérivabilité d’une fonction en un point

1) Activité

Activité 1

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2+x$ .

Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=5$ .
En déduire $\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$ .

Voir la solution

Pour $x\neq2$ : $f(x)-f(2)=x^2+x-6=(x-2)(x+3)$ , donc $\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=x+3\to5$ .
On pose $x=2+h$ : quand $h\to0$ , $x\to2$ , donc la limite vaut aussi $5$ .

2) Définition

Définition 1 : nombre dérivé

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ et $a\in I$ . On dit que $f$ est dérivable en $a$ s’il existe un réel $\ell$ tel que $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\ell .$ Le réel $\ell$ s’appelle le nombre dérivé de $f$ en $a$ ; on le note $f'(a)$ .

Remarque 1

En posant $h=x-a$ : $f$ est dérivable en $a$ de nombre dérivé $\ell$ si et seulement si $\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\ell$ . Si la limite est infinie ou n’existe pas, $f$ n’est pas dérivable en $a$ .

Exemple 1

Étudier la dérivabilité en $a$ dans chacun des cas : $f(x)=x^3$ , $a=-1$ ; $g(x)=\sqrt x$ , $a=0$ (à droite) ; $k(x)=\cos x$ , $a=0$ .

Voir la solution

$\frac{x^3+1}{x+1}=x^2-x+1\to3$ : $f$ est dérivable en $-1$ et $f'(-1)=3$ .
$\frac{\sqrt x-0}{x-0}=\frac1{\sqrt x}\to+\infty$ quand $x\to0^+$ : $g$ n’est pas dérivable (à droite) en $0$ .
$\frac{\cos x-1}{x}=-x\cdot\frac{1-\cos x}{x^2}\to0\times\frac12=0$ : $k$ est dérivable en $0$ et $k'(0)=0$ .

II. Interprétation géométrique du nombre dérivé

1) Tangente à une courbe

Propriété 1

Soit $f$ dérivable en $a$ et $(\mathcal C_f)$ sa courbe représentative. La tangente à $(\mathcal C_f)$ au point $A(a;f(a))$ est la droite passant par $A$ de coefficient directeur $f'(a)$ ; son équation est $(T):\ y=f'(a)(x-a)+f(a).$

Remarque 2

Si $f'(a)=0$ , la tangente en $A$ est horizontale.
Si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ sont deux points distincts de la tangente au point d’abscisse $a$ , alors $f'(a)=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ (lecture graphique).

2) Exemple

Exemple 2

Soit $f(x)=\sqrt{2x+5}$ . Déterminer une équation de la tangente à $(\mathcal C_f)$ au point d’abscisse $2$ .

Voir la solution

Pour $x\neq2$ , $x\ge-\frac52$ : $\frac{\sqrt{2x+5}-3}{x-2}=\frac{2(x-2)}{(x-2)(\sqrt{2x+5}+3)}=\frac{2}{\sqrt{2x+5}+3}\to\frac13$ . Donc $f'(2)=\frac13$ , $f(2)=3$ et $(T):\ y=\frac13(x-2)+3=\frac13x+\frac73$ .

III. Approximation affine

Propriété 2 : approximation affine

Soit $f$ dérivable en $a$ . Il existe une fonction $\varphi$ définie au voisinage de $0$ telle que $f(a+h)=f(a)+f'(a)h+h\varphi(h)\quad\text{avec}\quad\lim_{h\to0}\varphi(h)=0 .$ La fonction $x\mapsto f'(a)(x-a)+f(a)$ s’appelle l’approximation affine de $f$ au voisinage de $a$ ; pour $h$ proche de $0$ on écrit $f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h$ .

Exemple 3

Soit $f(x)=(1+x)^3$ . Montrer que $f'(0)=3$ , puis donner une valeur approchée de $(1{,}002)^3$ .

Voir la solution

$\frac{(1+x)^3-1}{x}=x^2+3x+3\to3$ , donc $f'(0)=3$ et $(1+h)^3\approx1+3h$ pour $h$ voisin de $0$ . Avec $h=0{,}002$ : $(1{,}002)^3\approx1{,}006$ (valeur exacte : $1{,}006012008$ ).

IV. Dérivabilité à droite, dérivabilité à gauche

1) Définitions

Définition 2

$f$ définie sur $[a;a+r[$ ( $r>0$ ) est dérivable à droite en $a$ si $\displaystyle\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\ell$ ( $\ell\in\R$ ) ; on note $f'_d(a)=\ell$ .
$f$ définie sur $]a-r;a]$ est dérivable à gauche en $a$ si $\displaystyle\lim_{x\to a^-}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\ell'$ ( $\ell'\in\R$ ) ; on note $f'_g(a)=\ell'$ .

Propriété 3

$f$ est dérivable en $a$ si et seulement si $f$ est dérivable à droite et à gauche en $a$ et $f'_d(a)=f'_g(a)$ .

2) Interprétation géométrique

Propriété 4 : demi-tangentes

Si $f'_d(a)$ existe, $(\mathcal C_f)$ admet au point $A(a;f(a))$ la demi-tangente : $y=f'_d(a)(x-a)+f(a)$ , $x\ge a$ .
Si $f'_g(a)$ existe : demi-tangente $y=f'_g(a)(x-a)+f(a)$ , $x\le a$ .
Si $f'_d(a)\neq f'_g(a)$ , le point $A$ est un point anguleux de $(\mathcal C_f)$ .
Si $\displaystyle\lim_{x\to a^\pm}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\pm\infty$ , $(\mathcal C_f)$ admet en $A$ une demi-tangente verticale (parallèle à l’axe des ordonnées), dirigée vers le haut ou vers le bas selon le signe de la limite et le côté considéré.

Exemple 4

Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=|x^2-4x|$ . Étudier la dérivabilité de $f$ en $0$ .

Voir la solution

$x^2-4x=x(x-4)$ est positif pour $x\le0$ et négatif pour $0\le x\le4$ .

Pour $x<0$ : $\frac{f(x)-f(0)}{x}=\frac{x^2-4x}{x}=x-4\to-4$ , donc $f'_g(0)=-4$ .
Pour $0<x<4$ : $\frac{f(x)-f(0)}{x}=\frac{-x^2+4x}{x}=4-x\to4$ , donc $f'_d(0)=4$ .

$f'_g(0)\neq f'_d(0)$ : $f$ n’est pas dérivable en $0$ ; le point $O(0;0)$ est un point anguleux, avec les demi-tangentes $y=-4x$ ( $x\le0$ ) et $y=4x$ ( $x\ge0$ ).

Application 1

Soit $f(x)=\sqrt{x-1}$ si $x\ge1$ et $f(x)=x^2-1$ si $x<1$ . Étudier la dérivabilité de $f$ à droite et à gauche en $1$ et interpréter.

Voir la solution

À droite : $\frac{\sqrt{x-1}}{x-1}=\frac1{\sqrt{x-1}}\to+\infty$ : pas dérivable à droite, demi-tangente verticale dirigée vers le haut. À gauche : $\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\to2$ : $f'_g(1)=2$ , demi-tangente $y=2(x-1)$ , $x\le1$ .

V. Dérivabilité sur un intervalle — fonction dérivée

1) Définitions

Définition 3

$f$ est dérivable sur l’intervalle ouvert $]a;b[$ si elle est dérivable en tout point de $]a;b[$ .
$f$ est dérivable sur $[a;b]$ si elle est dérivable sur $]a;b[$ , à droite en $a$ et à gauche en $b$ (de même pour $[a;b[$ , $]a;b]$ , avec $a,b$ finis ou infinis).
Si $f$ est dérivable sur $I$ , la fonction $f':x\mapsto f'(x)$ définie sur $I$ s’appelle la fonction dérivée de $f$ .

Exemple 5

Soit $f(x)=x^4$ . Montrer que $f$ est dérivable sur $\R$ et calculer $f'(x)$ .

Voir la solution

Soit $f(x)=x^4$ . Soit $t\in\R$ ; pour $x\neq t$ : $\frac{x^4-t^4}{x-t}=x^3+x^2t+xt^2+t^3\to4t^3$ . Ainsi $f$ est dérivable sur $\R$ et $f'(x)=4x^3$ .

2) Dérivées des fonctions usuelles

Propriété 5 (admise sauf exemples traités)

$a,b$ réels, $n\in\N^*$ .

$f(x)$	$f'(x)$	Intervalle(s) de dérivabilité
$c$ (constante)	$0$	$\R$
$ax+b$	$a$	$\R$
$x^n$	$nx^{n-1}$	$\R$
$\frac1x$	$-\frac1{x^2}$	$]-\infty;0[$ , $]0;+\infty[$
$\frac1{x^n}$	$-\frac{n}{x^{n+1}}$	$]-\infty;0[$ , $]0;+\infty[$
$\sqrt x$	$\frac1{2\sqrt x}$	$]0;+\infty[$
$\sin x$	$\cos x$	$\R$
$\cos x$	$-\sin x$	$\R$
$\tan x$	$1+\tan^2x=\frac1{\cos^2x}$	$\left]-\frac\pi2+k\pi;\frac\pi2+k\pi\right[$ , $k\in\Z$
$\sin(ax+b)$	$a\cos(ax+b)$	$\R$
$\cos(ax+b)$	$-a\sin(ax+b)$	$\R$

VI. Opérations sur les fonctions dérivées

Propriété 6

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ , $\alpha\in\R$ et $n\in\N^*$ .

Fonction	Dérivée	Condition
$u+v$	$u'+v'$	—
$\alpha u$	$\alpha u'$	—
$u\times v$	$u'v+uv'$	—
$u^n$	$nu'u^{n-1}$	—
$\frac1v$	$-\frac{v'}{v^2}$	$v(x)\neq0$ sur $I$
$\frac uv$	$\frac{u'v-uv'}{v^2}$	$v(x)\neq0$ sur $I$
$\sqrt u$	$\frac{u'}{2\sqrt u}$	$u(x)>0$ sur $I$

Propriété 7

Toute fonction polynôme est dérivable sur $\R$ .
Toute fonction rationnelle est dérivable sur chacun des intervalles de son domaine de définition.

Exemple 6

Calculer $f'(x)$ pour $f(x)=(2x^2-3)^4$ , $g(x)=\frac{x+1}{x^2+1}$ et $h(x)=\sqrt{x^2+x+1}$ .

Voir la solution

$f'(x)=4\times4x\times(2x^2-3)^3=16x(2x^2-3)^3$ sur $\R$ .
$g'(x)=\frac{(x^2+1)-(x+1)\times2x}{(x^2+1)^2}=\frac{-x^2-2x+1}{(x^2+1)^2}$ sur $\R$ .
$x^2+x+1=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34>0$ , donc $h$ est dérivable sur $\R$ et $h'(x)=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}$ .

Méthode calculer un nombre dérivé

Trois méthodes pour obtenir $f'(a)$ : (1) calculer $f'(x)$ puis remplacer $x$ par $a$ ; (2) calculer $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ ; (3) lire le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse $a$ . Inversement, une limite de la forme $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ se calcule en reconnaissant le nombre dérivé $f'(a)$ .

Application 2

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^{10}-1}{x-1}$ et $\displaystyle\lim_{x\to\frac\pi6}\frac{2\sin x-1}{6x-\pi}$ .

Voir la solution

Avec $f(x)=x^{10}$ : la première limite vaut $f'(1)=10$ . Avec $g(x)=2\sin x$ : $\frac{2\sin x-1}{6x-\pi}=\frac16\cdot\frac{g(x)-g(\frac\pi6)}{x-\frac\pi6}\to\frac16\times2\cos\frac\pi6=\frac{\sqrt3}6$ .

VII. Dérivées successives

Définition 4

Si $f$ est dérivable sur $I$ et si $f'$ est elle-même dérivable sur $I$ , la dérivée de $f'$ s’appelle la dérivée seconde de $f$ , notée $f''$ ou $f^{(2)}$ . Par itération, pour $n\ge2$ , $f^{(n)}=\left(f^{(n-1)}\right)'$ est la dérivée d’ordre $n$ de $f$ (lorsqu’elle existe). Si $y=f(x)$ , on note aussi $f'(x)=\frac{dy}{dx}$ .

Exemple 7

Soit $f(x)=\sin x$ . Montrer par récurrence que pour tout $n\in\N$ et tout $x\in\R$ : $f^{(n)}(x)=\sin\left(x+n\frac\pi2\right)$ (avec $f^{(0)}=f$ ).

Voir la solution

On raisonne par récurrence sur $n$ .

Initialisation. Pour $n=0$ , on a $f^{(0)}(x)=\sin x=\sin(x+0)$ : la propriété est vraie.
Hérédité. Soit $n\in\N$ ; supposons que $f^{(n)}(x)=\sin\left(x+n\frac\pi2\right)$ pour tout $x$ . Alors $f^{(n+1)}(x)=\cos\left(x+n\frac\pi2\right)=\sin\left(x+n\frac\pi2+\frac\pi2\right)=\sin\left(x+(n+1)\frac\pi2\right)$ .
Conclusion. D’après le principe du raisonnement par récurrence, pour tout $n\in\N$ : $f^{(n)}(x)=\sin\left(x+n\frac\pi2\right)$ .

VIII. Dérivée et sens de variation

Propriété 8

Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ .

$f$ est croissante sur $I$ $\iff$ $(\forall x\in I)\ f'(x)\ge0$ .
$f$ est décroissante sur $I$ $\iff$ $(\forall x\in I)\ f'(x)\le0$ .
$f$ est constante sur $I$ $\iff$ $(\forall x\in I)\ f'(x)=0$ .
Si $f'>0$ sur $I$ sauf en un nombre fini de points (ou en des points isolés) où elle s’annule, $f$ est strictement croissante sur $I$ (de même pour strictement décroissante avec $f'<0$ ).

Exemple 8

Dresser le tableau de variations de $f(x)=\frac{2x-1}{x+2}$ sur $D_f=\R\setminus\{-2\}$ .

Voir la solution

$f'(x)=\frac{2(x+2)-(2x-1)}{(x+2)^2}=\frac5{(x+2)^2}>0$ : $f$ est strictement croissante sur $]-\infty;-2[$ et sur $]-2;+\infty[$ . Limites : $\lim_{\pm\infty}f=2$ ; en $-2$ , le numérateur tend vers $-5$ , donc $\lim_{x\to-2^-}f(x)=+\infty$ et $\lim_{x\to-2^+}f(x)=-\infty$ .

$x$	$-\infty$		$-2$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	‖	$+$
$f(x)$	$2$	$\nearrow$	$+\infty$ ‖ $-\infty$	$\nearrow$	$2$

Attention : $f$ n’est pas croissante sur $D_f$ (qui n’est pas un intervalle) : $f(-3)=7>f(0)=-\frac12$ .

IX. Dérivée et extremums

Propriété 9

Soit $f$ dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $a\in I$ .

Si $f$ admet un extremum local en $a$ , alors $f'(a)=0$ (la tangente au point d’abscisse $a$ est horizontale).
Si $f'$ s’annule en $a$ en changeant de signe, alors $f(a)$ est un extremum local de $f$ .

Remarque 3

La réciproque du premier point est fausse : pour $f(x)=x^3$ , $f'(0)=0$ mais $f(0)$ n’est pas un extremum ( $f'$ ne change pas de signe). On rappelle : $f(a)$ est la valeur maximale (resp. minimale) de $f$ sur $I$ si $(\forall x\in I)\ f(x)\le f(a)$ (resp. $f(x)\ge f(a)$ ).

Exemple 9

Montrer que pour tout $x\in\R$ : $x^4-4x\ge-3$ .

Voir la solution

Soit $f(x)=x^4-4x$ ; $f'(x)=4(x^3-1)=4(x-1)(x^2+x+1)$ a le signe de $x-1$ (car $x^2+x+1>0$ ). $f$ est décroissante sur $]-\infty;1]$ et croissante sur $[1;+\infty[$ : $f(1)=-3$ est le minimum de $f$ sur $\R$ , d’où $x^4-4x\ge-3$ .

X. L’équation différentielle $y''+\omega^2y=0$

Définition 5

Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction $y$ et qui fait intervenir ses dérivées $y',y'',\dots$

Propriété 10 (admise)

Soit $\omega$ un réel non nul. Les solutions sur $\R$ de l’équation $y''+\omega^2y=0$ sont les fonctions $y(x)=\alpha\cos(\omega x)+\beta\sin(\omega x),\qquad(\alpha,\beta)\in\R^2 .$ Pour $x_0,y_0,y_1$ réels donnés, il existe une unique solution vérifiant $y(x_0)=y_0$ et $y'(x_0)=y_1$ .

Remarque 4

Les solutions de $y''=0$ ( $\omega=0$ ) sont les fonctions affines $x\mapsto ax+b$ .

Exemple 10

Déterminer la solution de $y''+9y=0$ vérifiant $y(0)=2$ et $y'(0)=-3$ .

Voir la solution

$\omega=3$ : $y(x)=\alpha\cos3x+\beta\sin3x$ et $y'(x)=-3\alpha\sin3x+3\beta\cos3x$ . $y(0)=\alpha=2$ et $y'(0)=3\beta=-3$ , donc $\beta=-1$ : $y(x)=2\cos3x-\sin3x$ .

Résumé

À retenir

$f$ dérivable en $a$ $\iff$ $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)\in\R$ ; tangente : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ .
Approximation affine : $f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h$ pour $h$ voisin de $0$ .
$f$ dérivable en $a$ $\iff$ $f'_d(a)$ et $f'_g(a)$ existent et sont égaux ; $f'_d(a)\neq f'_g(a)$ : point anguleux ; limite infinie : demi-tangente verticale.
$(uv)'=u'v+uv'$ , $\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ , $(u^n)'=nu'u^{n-1}$ , $(\sqrt u)'=\frac{u'}{2\sqrt u}$ .
Signe de $f'$ $\Rightarrow$ sens de variation ; $f'$ s’annule en changeant de signe en $a$ $\Rightarrow$ extremum local en $a$ .
$y''+\omega^2y=0$ ( $\omega\neq0$ ) : $y=\alpha\cos\omega x+\beta\sin\omega x$ .

Série d’exercices

Remarque — méthodes utilisées

Dérivabilité en $a$ : on calcule $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ ; si elle est réelle, c’est $f'(a)$ . Pour une fonction définie par morceaux, on étudie séparément la dérivabilité à droite et à gauche.
Interprétation : tangente $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ ; point anguleux si $f'_d(a)\neq f'_g(a)$ ; demi-tangente verticale si la limite du taux d’accroissement est infinie.
Variations : on factorise $f'(x)$ et on étudie son signe.
Tous les résultats ont été contrôlés avec Python/sympy (build/verif_lot2.py).

Cadre. Toute réponse doit être justifiée. Dans chaque exercice, $x$ désigne un réel appartenant au domaine de définition de l’expression étudiée, $h$ un réel non nul voisin de $0$ , $(\mathcal C_f)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O;\vec i;\vec j)$ . Les notions d’asymptote et de branche infinie (chapitre 12) ne sont pas utilisées. Difficulté : de $\bigstar$ à $\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar$ .

Exercice 1 — Dérivabilité en un point Facile ★☆☆☆☆

Étudier la dérivabilité de la fonction $f$ en $a$ et interpréter graphiquement le résultat dans chacun des cas suivants :

$f(x)=3x-4$ et $a=2$ ;
$f(x)=\sqrt{2x-1}$ et $a=5$ ;
$f(x)=1-\cos(2x)$ si $x\ge0$ et $f(x)=\sin(3x)$ si $x<0$ , et $a=0$ ;
$f(x)=x^3$ et $a=-2$ .

Voir la solution

1. $f$ est définie sur $\R$ . Pour $x\neq2$ : $\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{3x-4-2}{x-2}=\frac{3(x-2)}{x-2}=3$ . Donc $f$ est dérivable en $2$ et $f'(2)=3$ . Interprétation : $(\mathcal C_f)$ admet au point $A(2;2)$ une tangente de coefficient directeur $3$ : $y=3(x-2)+2=3x-4$ (c’est la droite elle-même).

2. $D_f=\left[\frac12;+\infty\right[$ et $5$ est intérieur à $D_f$ ; $f(5)=3$ . Pour $x\neq5$ (conjuguée) : $\frac{\sqrt{2x-1}-3}{x-5}=\frac{(2x-1)-9}{(x-5)(\sqrt{2x-1}+3)}=\frac{2}{\sqrt{2x-1}+3}\xrightarrow[x\to5]{}\frac26=\frac13 .$ $f$ est dérivable en $5$ , $f'(5)=\frac13$ ; tangente en $A(5;3)$ : $y=\frac13(x-5)+3=\frac13x+\frac43$ .

3. $f(0)=1-\cos0=0$ .

À droite : $\frac{f(x)-f(0)}{x}=\frac{1-\cos2x}{x}=4x\cdot\frac{1-\cos2x}{(2x)^2}\to0\times\frac12=0$ . Donc $f'_d(0)=0$ .
À gauche : $\frac{f(x)-f(0)}{x}=\frac{\sin3x}{x}=3\cdot\frac{\sin3x}{3x}\to3$ . Donc $f'_g(0)=3$ .

$f'_d(0)\neq f'_g(0)$ : $f$ n’est pas dérivable en $0$ . Interprétation : $O(0;0)$ est un point anguleux de $(\mathcal C_f)$ , avec les demi-tangentes $y=0$ ( $x\ge0$ ) et $y=3x$ ( $x\le0$ ).

4. $\frac{x^3-(-2)^3}{x+2}=\frac{(x+2)(x^2-2x+4)}{x+2}=x^2-2x+4\to12$ . $f$ est dérivable en $-2$ , $f'(-2)=12$ ; tangente en $A(-2;-8)$ : $y=12(x+2)-8=12x+16$ .

Exercice 2 — Approximation affine Facile ★★☆☆☆

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(1+x)^4$ . Montrer que $f$ est dérivable en $0$ , donner l’approximation affine de $f$ au voisinage de $0$ , puis en déduire une valeur approchée du nombre $(1{,}002)^4$ .
Montrer que, pour tout réel $h$ voisin de $0$ : $\displaystyle\frac{1}{1+2h}\approx1-2h$ et $\sqrt{1+4h}\approx1+2h$ .

Voir la solution

1. Pour $x\neq0$ : $\frac{(1+x)^4-1}{x}=\frac{\left((1+x)^2-1\right)\left((1+x)^2+1\right)}{x}=(x+2)(x^2+2x+2)\to2\times2=4$ . Donc $f$ est dérivable en $0$ et $f'(0)=4$ . L’approximation affine de $f$ au voisinage de $0$ est $x\mapsto f'(0)x+f(0)=1+4x$ ; ainsi $(1+h)^4\approx1+4h$ pour $h$ voisin de $0$ . Avec $h=0{,}002$ : $(1{,}002)^4\approx1{,}008$ .

2. Soit $u(x)=\frac1{1+2x}$ : $u(0)=1$ et $\frac{u(x)-1}{x}=\frac{-2x}{x(1+2x)}=\frac{-2}{1+2x}\to-2$ , donc $u'(0)=-2$ et $\frac1{1+2h}\approx1-2h$ .

Soit $v(x)=\sqrt{1+4x}$ : $\frac{v(x)-1}{x}=\frac{4x}{x(\sqrt{1+4x}+1)}\to\frac42=2$ , donc $v'(0)=2$ et $\sqrt{1+4h}\approx1+2h$ .

Exercice 3 — Dérivabilité et calcul de dérivées Facile ★☆☆☆☆

Préciser l’ensemble sur lequel la fonction $f$ est dérivable, puis calculer $f'(x)$ dans chacun des cas suivants :

$f(x)=x^4-3x^2+5x-2$ ;
$f(x)=\dfrac{3x-1}{x^2-x-6}$ ;
$f(x)=\sqrt{2x+6}$ ;
$f(x)=\dfrac{x^3}{x^2+3}$ ;
$f(x)=(x-1)\sqrt x$ ;
$f(x)=3-\dfrac{2}{\sqrt x}+\dfrac1{x^3}$ .

Voir la solution

1. Polynôme, dérivable sur $\R$ : $f'(x)=4x^3-6x+5$ .

2. $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$ : $f$ est rationnelle, dérivable sur $]-\infty;-2[$ , $]-2;3[$ et $]3;+\infty[$ . Avec $\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ : $f'(x)=\frac{3(x^2-x-6)-(3x-1)(2x-1)}{(x^2-x-6)^2}=\frac{-3x^2+2x-19}{(x^2-x-6)^2}.$

3. $u(x)=2x+6>0\iff x>-3$ : $f$ est dérivable sur $]-3;+\infty[$ et $f'(x)=\frac{2}{2\sqrt{2x+6}}=\frac1{\sqrt{2x+6}}$ .

4. $x^2+3>0$ : dérivable sur $\R$ , $f'(x)=\frac{3x^2(x^2+3)-x^3\cdot2x}{(x^2+3)^2}=\frac{x^2(x^2+9)}{(x^2+3)^2}$ .

5. $\sqrt{\ }$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ : $f'(x)=\sqrt x+(x-1)\frac1{2\sqrt x}=\frac{2x+x-1}{2\sqrt x}=\frac{3x-1}{2\sqrt x}$ pour $x>0$ .

6. Sur $]0;+\infty[$ : $\left(\frac1{\sqrt x}\right)'=-\frac{1}{2x\sqrt x}$ , donc $f'(x)=\frac{1}{x\sqrt x}-\frac3{x^4}$ .

Exercice 4 — Fonction définie par morceaux Facile ★★☆☆☆

Soit $c$ un réel et $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f(x)=4\sqrt{x+1}$ si $x\ge3$ et $f(x)=x^2-5x+c$ si $x<3$ .

Déterminer le réel $c$ pour que $\displaystyle\lim_{x\to3}f(x)=f(3)$ .
Pour cette valeur de $c$ , montrer que $f$ est dérivable en $3$ et préciser $f'(3)$ . Déterminer ensuite $f'(x)$ pour tout $x\in\R$ .

Voir la solution

1. $f(3)=4\sqrt4=8$ et $\displaystyle\lim_{x\to3^+}f(x)=8$ ; $\displaystyle\lim_{x\to3^-}f(x)=9-15+c=c-6$ . Donc $\lim_{x\to3}f(x)=f(3)\iff c-6=8\iff c=14$ .

2. Avec $c=14$ .

À droite : $\frac{4\sqrt{x+1}-8}{x-3}=\frac{4(x+1-4)}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}=\frac{4}{\sqrt{x+1}+2}\to1$ : $f'_d(3)=1$ .
À gauche : $\frac{x^2-5x+14-8}{x-3}=\frac{(x-3)(x-2)}{x-3}=x-2\to1$ : $f'_g(3)=1$ .

$f'_d(3)=f'_g(3)=1$ , donc $f$ est dérivable en $3$ et $f'(3)=1$ . Ainsi $f'(x)=2x-5$ si $x<3$ , $f'(3)=1$ et $f'(x)=\frac{2}{\sqrt{x+1}}$ si $x>3$ .

Exercice 5 — Limites et nombre dérivé Moyen ★★★☆☆

En utilisant la définition du nombre dérivé, calculer les limites suivantes :

$\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{(x-2)^{2027}+1}{x-1}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x\sqrt{x+7}-6}{x-2}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{\frac1{x+3}-\frac12}{x+1}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to\frac\pi3}\frac{2\cos x-1}{\tan x-\sqrt3}$ .

Voir la solution

On reconnaît à chaque fois un taux d’accroissement $\frac{g(x)-g(a)}{x-a}$ d’une fonction $g$ dérivable en $a$ ; la limite vaut $g'(a)$ .

1. $g(x)=(x-2)^{2027}$ , $g(1)=-1$ : la limite vaut $g'(1)=2027(1-2)^{2026}=2027$ .

2. $g(x)=x\sqrt{x+7}$ , $g(2)=6$ , $g'(x)=\sqrt{x+7}+\frac{x}{2\sqrt{x+7}}$ : la limite vaut $g'(2)=3+\frac26=\frac{10}3$ .

3. $g(x)=\frac1{x+3}$ , $g(-1)=\frac12$ , $g'(x)=-\frac1{(x+3)^2}$ : la limite vaut $g'(-1)=-\frac14$ .

4. Pour $x$ voisin de $\frac\pi3$ , $x\neq\frac\pi3$ : $\displaystyle\frac{2\cos x-1}{\tan x-\sqrt3}=\frac{\frac{2\cos x-2\cos\frac\pi3}{x-\frac\pi3}}{\frac{\tan x-\tan\frac\pi3}{x-\frac\pi3}}$ . Le numérateur tend vers $-2\sin\frac\pi3=-\sqrt3$ , le dénominateur vers $1+\tan^2\frac\pi3=4$ . La limite vaut $-\frac{\sqrt3}4$ .

Exercice 6 — Extremums d’un polynôme Facile ★☆☆☆☆

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^3-3x^2-9x+2$ .

Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\R$ .
En déduire que $f$ admet deux extremums locaux, dont on précisera la nature et l’intervalle ouvert sur lequel chacun est un extremum.

Voir la solution

1. $f'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x+1)(x-3)$ : $f'(x)>0$ sur $]-\infty;-1[\cup]3;+\infty[$ , $f'(x)<0$ sur $]-1;3[$ . $f(-1)=7$ , $f(3)=-25$ , $\lim_{-\infty}f=-\infty$ , $\lim_{+\infty}f=+\infty$ (terme $x^3$ ).

$x$	$-\infty$		$-1$		$3$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$-\infty$	$\nearrow$	$7$	$\searrow$	$-25$	$\nearrow$	$+\infty$

2. $f'$ s’annule en changeant de signe en $-1$ et en $3$ : $f(-1)=7$ est un maximum local (c’est le maximum de $f$ sur l’intervalle ouvert $]-\infty;3[$ ) et $f(3)=-25$ est un minimum local (minimum de $f$ sur $]-1;+\infty[$ ). Ce ne sont pas des extremums globaux puisque $f$ prend toutes les grandes valeurs positives et négatives.

Exercice 7 — Tableaux de variations Facile ★★☆☆☆

Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ dans les cas suivants :

$f(x)=2x+\dfrac1x$ ;
$f(x)=x^4-8x^2+3$ ;
$f(x)=\dfrac{3}{x^2+4x}$ ;
$f(x)=\dfrac{x^2+3x+3}{x+1}$ .

Voir la solution

1. $D_f=\R^*$ , $f'(x)=2-\frac1{x^2}=\frac{2x^2-1}{x^2}$ , nulle en $\pm\frac1{\sqrt2}$ ; $f\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)=2\sqrt2$ , $f\left(-\frac1{\sqrt2}\right)=-2\sqrt2$ . Limites : $-\infty$ en $-\infty$ , $+\infty$ en $+\infty$ , $-\infty$ en $0^-$ , $+\infty$ en $0^+$ .

$x$	$-\infty$		$-\frac{\sqrt2}2$		$0$		$\frac{\sqrt2}2$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	‖	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$-\infty$	$\nearrow$	$-2\sqrt2$	$\searrow$	$-\infty$ ‖ $+\infty$	$\searrow$	$2\sqrt2$	$\nearrow$	$+\infty$

2. $f'(x)=4x^3-16x=4x(x-2)(x+2)$ ; $f(\pm2)=-13$ , $f(0)=3$ , limites $+\infty$ aux bornes.

$x$	$-\infty$		$-2$		$0$		$2$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$+\infty$	$\searrow$	$-13$	$\nearrow$	$3$	$\searrow$	$-13$	$\nearrow$	$+\infty$

3. $x^2+4x=x(x+4)$ : $D_f=\R\setminus\{-4;0\}$ . $f'(x)=-\frac{3(2x+4)}{(x^2+4x)^2}=\frac{-6(x+2)}{(x^2+4x)^2}$ , du signe de $-(x+2)$ ; $f(-2)=-\frac34$ . Limites : $0$ en $\pm\infty$ ; $x^2+4x\to0^+$ quand $x\to-4^-$ ou $x\to0^+$ , et $\to0^-$ quand $x\to-4^+$ ou $x\to0^-$ .

$x$	$-\infty$		$-4$		$-2$		$0$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	‖	$+$	$0$	$-$	‖	$-$
$f(x)$	$0$	$\nearrow$	$+\infty$ ‖ $-\infty$	$\nearrow$	$-\frac34$	$\searrow$	$-\infty$ ‖ $+\infty$	$\searrow$	$0$

4. $D_f=\R\setminus\{-1\}$ . $f'(x)=\frac{(2x+3)(x+1)-(x^2+3x+3)}{(x+1)^2}=\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}=\frac{x(x+2)}{(x+1)^2}$ ; $f(-2)=-1$ , $f(0)=3$ . Limites : $\pm\infty$ en $\pm\infty$ (terme dominant $\frac{x^2}{x}=x$ ), et en $-1$ le numérateur tend vers $1$ : $-\infty$ à gauche, $+\infty$ à droite.

$x$	$-\infty$		$-2$		$-1$		$0$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	‖	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$-\infty$	$\nearrow$	$-1$	$\searrow$	$-\infty$ ‖ $+\infty$	$\searrow$	$3$	$\nearrow$	$+\infty$

Exercice 8 — Lecture graphique Facile ★★☆☆☆

La figure ci-dessous représente la courbe $(\mathcal C_f)$ d’une fonction $f$ définie sur $[-3;3]$ dans un repère orthonormé. La droite rouge passant par $A(-2;\frac32)$ est la tangente en $A$ ; la droite verte passant par $B(-1;2)$ est la tangente en $B$ ; au point $C(1;0)$ sont tracées deux demi-tangentes (rouge à gauche, verte à droite).

Déterminer $f(-2)$ , $f'(-2)$ et $f'(-1)$ .
Déterminer graphiquement $f'_g(1)$ et $f'_d(1)$ .
En déduire que $f$ n’est pas dérivable en $1$ .
Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-3;3]$ (on donne $f(3)=2$ ).
En déduire le tableau de signe de $f'$ sur $[-3;3]$ .

Voir la solution

1. $A(-2;\frac32)\in(\mathcal C_f)$ donc $f(-2)=\frac32$ . La tangente en $A$ passe par $(-3,2;0,3)$ et $(-0,8;2,7)$ : $f'(-2)=\frac{2{,}7-0{,}3}{-0{,}8+3{,}2}=1$ . La tangente en $B$ est horizontale : $f'(-1)=0$ .

2. La demi-tangente à gauche en $C$ passe par $C(1;0)$ et $(0;2)$ : $f'_g(1)=\frac{2-0}{0-1}=-2$ . La demi-tangente à droite est horizontale : $f'_d(1)=0$ .

3. $f'_g(1)=-2\neq0=f'_d(1)$ : $f$ n’est pas dérivable en $1$ ( $C$ est un point anguleux).

4. Lecture : $f(-3)=0$ , $f(-1)=2$ , $f(1)=0$ , $f(3)=2$ .

$x$	$-3$		$-1$		$1$		$3$
$f(x)$	$0$	$\nearrow$	$2$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$	$2$

5. $f$ croissante $\Rightarrow f'\ge0$ et décroissante $\Rightarrow f'\le0$ :

$x$	$-3$		$-1$		$1$		$3$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	‖	$+$

(En $1$ , $f'$ n’est pas définie.)

Exercice 9 — Une inégalité classique Moyen ★★★☆☆

Soient $p$ et $q$ deux réels strictement positifs. On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=x^3+p^3+q^3-3pqx$ .

Vérifier que $p^3+q^3-2pq\sqrt{pq}=\left(p\sqrt p-q\sqrt q\right)^2$ .
Vérifier que, pour tout $x\in]0;+\infty[$ : $f'(x)=3\left(x+\sqrt{pq}\right)\left(x-\sqrt{pq}\right)$ .
Étudier le signe de $f'(x)$ puis dresser le tableau de variations de $f$ .
En déduire que $f$ admet une valeur minimale positive sur $]0;+\infty[$ .
Déduire que, pour tous réels $a,b,c$ de $]0;+\infty[$ : $a^3+b^3+c^3\ge3abc$ .

Voir la solution

1. $\left(p\sqrt p-q\sqrt q\right)^2=p^3-2p\sqrt p\,q\sqrt q+q^3=p^3+q^3-2pq\sqrt{pq}$ .

2. $f'(x)=3x^2-3pq=3\left(x^2-\left(\sqrt{pq}\right)^2\right)=3\left(x+\sqrt{pq}\right)\left(x-\sqrt{pq}\right)$ .

3. Sur $]0;+\infty[$ , $x+\sqrt{pq}>0$ : $f'(x)$ a le signe de $x-\sqrt{pq}$ . $f$ est décroissante sur $\left]0;\sqrt{pq}\right]$ et croissante sur $\left[\sqrt{pq};+\infty\right[$ .

4. $f\left(\sqrt{pq}\right)=pq\sqrt{pq}+p^3+q^3-3pq\sqrt{pq}=p^3+q^3-2pq\sqrt{pq}=\left(p\sqrt p-q\sqrt q\right)^2\ge0$ : c’est la valeur minimale de $f$ et elle est positive.

5. Soient $a,b,c>0$ . On applique ce qui précède avec $p=b$ , $q=c$ et $x=a$ : $f(a)\ge f\left(\sqrt{bc}\right)\ge0$ , c’est-à-dire $a^3+b^3+c^3-3abc\ge0$ , d’où $a^3+b^3+c^3\ge3abc$ .

Exercice 10 — Optimisation Moyen ★★★☆☆

Un imprimeur doit produire des affiches rectangulaires. Sur chaque affiche, le texte imprimé doit occuper un rectangle d’aire $150\ \text{cm}^2$ ; les marges mesurent $3$ cm en haut et en bas et $2$ cm à gauche et à droite. Quelles dimensions faut-il donner à une affiche pour que la consommation de papier soit minimale ? (On notera $x>0$ la largeur, en cm, du rectangle imprimé.)

Voir la solution

Le rectangle imprimé mesure $x$ cm sur $\frac{150}x$ cm. L’affiche mesure $(x+4)$ cm sur $\left(\frac{150}x+6\right)$ cm ; son aire est $A(x)=(x+4)\left(\frac{150}x+6\right)=174+6x+\frac{600}x,\qquad x>0 .$ $A'(x)=6-\frac{600}{x^2}=\frac{6(x^2-100)}{x^2}=\frac{6(x-10)(x+10)}{x^2}$ , négative sur $]0;10]$ , positive sur $[10;+\infty[$ . $A$ admet donc un minimum en $x=10$ : $A(10)=294\ \text{cm}^2$ . Le texte mesure $10\times15$ et l’affiche $14$ cm de large sur $21$ cm de haut.

Exercice 11 — Fonction définie par morceaux Moyen ★★★☆☆

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f(x)=\dfrac{x^3-27}{x-3}$ si $x<3$ et $f(x)=\sqrt{x+1}+25$ si $x\ge3$ .

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ .
a. Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $3$ et interpréter graphiquement le résultat. b. Étudier la dérivabilité de $f$ à gauche en $3$ et interpréter graphiquement le résultat. c. $f$ est-elle dérivable en $3$ ?
a. Calculer $f'(x)$ pour tout $x\in]-\infty;3[$ (sans simplifier la fraction au préalable). b. Calculer $f'(x)$ pour tout $x\in]3;+\infty[$ . c. Montrer que, pour tout $x\in\R$ : $2x^3-9x^2+27=(x-3)^2(2x+3)$ . d. En déduire une autre expression de $f'(x)$ sur $]-\infty;3[$ , puis dresser le tableau de variations de $f$ .
Déterminer l’équation de la tangente à $(\mathcal C_f)$ au point d’abscisse $0$ .

Voir la solution

1. Pour $x<3$ : $f(x)=x^2+3x+9$ (car $x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)$ ), donc $\lim_{-\infty}f=\lim_{-\infty}x^2=+\infty$ . $\lim_{+\infty}\left(\sqrt{x+1}+25\right)=+\infty$ .

2. a. $f(3)=27$ . $\frac{f(x)-27}{x-3}=\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}=\frac1{\sqrt{x+1}+2}\to\frac14$ : $f'_d(3)=\frac14$ ; demi-tangente $y=\frac14(x-3)+27$ , $x\ge3$ .

b. $\frac{x^2+3x+9-27}{x-3}=\frac{(x-3)(x+6)}{x-3}=x+6\to9$ : $f'_g(3)=9$ ; demi-tangente $y=9(x-3)+27$ , $x\le3$ .

c. $f'_d(3)\neq f'_g(3)$ : $f$ n’est pas dérivable en $3$ ; le point $(3;27)$ est un point anguleux.

3. a. $f'(x)=\frac{3x^2(x-3)-(x^3-27)}{(x-3)^2}=\frac{2x^3-9x^2+27}{(x-3)^2}$ .

b. $f'(x)=\frac1{2\sqrt{x+1}}$ sur $]3;+\infty[$ .

c. $(x-3)^2(2x+3)=(x^2-6x+9)(2x+3)=2x^3+3x^2-12x^2-18x+18x+27=2x^3-9x^2+27$ .

d. Pour $x<3$ : $f'(x)=\frac{(x-3)^2(2x+3)}{(x-3)^2}=2x+3$ . $f'(x)<0$ sur $\left]-\infty;-\frac32\right[$ et $f'(x)>0$ sur $\left]-\frac32;3\right[$ ; $f'(x)>0$ sur $]3;+\infty[$ . $f\left(-\frac32\right)=\frac94-\frac92+9=\frac{27}4$ .

$x$	$-\infty$		$-\frac32$		$3$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$	‖	$+$
$f(x)$	$+\infty$	$\searrow$	$\frac{27}4$	$\nearrow$	$27$	$\nearrow$	$+\infty$

4. $f(0)=9$ , $f'(0)=3$ : $(T):\ y=3x+9$ .

Exercice 12 — Dérivabilité à droite et à gauche Facile ★★☆☆☆

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f(x)=x^2-2x-3$ si $x\le3$ et $f(x)=\sqrt{3x-9}$ si $x>3$ .

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ .
Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to3}f(x)=f(3)$ .
a. Étudier la dérivabilité de $f$ à gauche et à droite en $3$ . b. Interpréter graphiquement les résultats.
a. Calculer $f'(x)$ pour tout $x\in]-\infty;3[$ et pour tout $x\in]3;+\infty[$ . b. Dresser le tableau de variations de $f$ .

Voir la solution

1. $\lim_{-\infty}(x^2-2x-3)=\lim_{-\infty}x^2=+\infty$ ; $\lim_{+\infty}\sqrt{3x-9}=+\infty$ .

2. $f(3)=9-6-3=0$ ; $\lim_{x\to3^-}f(x)=0$ et $\lim_{x\to3^+}\sqrt{3x-9}=0$ . Donc $\lim_{x\to3}f(x)=0=f(3)$ .

3. a. À gauche : $\frac{x^2-2x-3}{x-3}=\frac{(x-3)(x+1)}{x-3}=x+1\to4$ : $f'_g(3)=4$ . À droite : $\frac{\sqrt{3x-9}}{x-3}=\frac{\sqrt3\sqrt{x-3}}{x-3}=\frac{\sqrt3}{\sqrt{x-3}}\to+\infty$ : $f$ n’est pas dérivable à droite en $3$ .

b. Au point $A(3;0)$ , $(\mathcal C_f)$ admet à gauche la demi-tangente $y=4(x-3)$ ( $x\le3$ ) et à droite une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.

4. a. $f'(x)=2x-2$ sur $]-\infty;3[$ ; $f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x-9}}>0$ sur $]3;+\infty[$ .

b. $f(1)=-4$ .

$x$	$-\infty$		$1$		$3$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$	‖	$+$
$f(x)$	$+\infty$	$\searrow$	$-4$	$\nearrow$	$0$	$\nearrow$	$+\infty$

Exercice 13 — Fonction auxiliaire Moyen ★★★☆☆

Partie 1. On considère la fonction $g$ définie sur $[0;+\infty[$ par $g(x)=3x-2x\sqrt x-1$ .

Montrer que, pour tout $x\in]0;+\infty[$ : $g'(x)=3\left(1-\sqrt x\right)$ .
Dresser le tableau de variations de $g$ (on admet que $\lim_{x\to+\infty}g(x)=-\infty$ ).
En déduire que, pour tout $x\in[0;+\infty[$ : $g(x)\le0$ .

Partie 2. On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=(2x-2)\sqrt x-x^2+1$ .

Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $0$ et interpréter graphiquement le résultat.
Montrer que, pour tout $x\in]0;+\infty[$ : $f'(x)=\dfrac{g(x)}{\sqrt x}$ .
Dresser le tableau de variations de $f$ (on admet que $\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$ ), puis en déduire le signe de $f(x)$ sur $[0;+\infty[$ .

Voir la solution

Partie 1. 1. Pour $x>0$ : $(x\sqrt x)'=\sqrt x+\frac{x}{2\sqrt x}=\frac32\sqrt x$ , donc $g'(x)=3-3\sqrt x=3(1-\sqrt x)$ .

2. $g'(x)>0\iff\sqrt x<1\iff x<1$ . $g(0)=-1$ , $g(1)=0$ .

$x$	$0$		$1$		$+\infty$
$g'(x)$		$+$	$0$	$-$
$g(x)$	$-1$	$\nearrow$	$0$	$\searrow$	$-\infty$

3. $g(1)=0$ est la valeur maximale de $g$ sur $[0;+\infty[$ , donc $g(x)\le0$ pour tout $x\ge0$ .

Partie 2. 1. $f(0)=1$ . Pour $x>0$ : $\frac{f(x)-f(0)}{x}=\frac{(2x-2)\sqrt x-x^2}{x}=\frac{2(x-1)}{\sqrt x}-x$ . Quand $x\to0^+$ : $\frac{2(x-1)}{\sqrt x}$ est de la forme $\frac{-2}{0^+}$ , donc la limite est $-\infty$ . $f$ n’est pas dérivable à droite en $0$ : $(\mathcal C_f)$ admet au point $(0;1)$ une demi-tangente verticale dirigée vers le bas (limite $-\infty$ à droite : la courbe part verticalement vers le bas).

2. Pour $x>0$ : $f'(x)=2\sqrt x+\frac{2x-2}{2\sqrt x}-2x=\frac{2x+x-1-2x\sqrt x}{\sqrt x}=\frac{3x-2x\sqrt x-1}{\sqrt x}=\frac{g(x)}{\sqrt x}$ .

3. $g(x)\le0$ et $g$ ne s’annule qu’en $1$ : $f'(x)<0$ sauf en $x=1$ , donc $f$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$ , de $f(0)=1$ à $-\infty$ , avec $f(1)=0$ .

$x$	$0$		$1$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$-$
$f(x)$	$1$	$\searrow$	$0$	$\searrow$	$-\infty$

Comme $f$ est strictement décroissante et $f(1)=0$ : $f(x)>0$ sur $[0;1[$ , $f(1)=0$ , $f(x)<0$ sur $]1;+\infty[$ . (Vérification : $f(x)=-(x-1)\left(\sqrt x-1\right)^2$ .)

Exercice 14 — Encadrements trigonométriques Difficile ★★★★☆

On pose $I=[0;+\infty[$ .

Montrer les inégalités suivantes (on pourra étudier, à chaque fois, la différence des deux membres) : a. $(\forall x\in I)\quad \sin x\le x$ ; b. $(\forall x\in I)\quad \cos x\ge1-\dfrac{x^2}2$ ; c. $(\forall x\in I)\quad \sin x\ge x-\dfrac{x^3}6$ ; d. $(\forall x\in I)\quad \cos x\le1-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^4}{24}$ ; e. $(\forall x\in I)\quad \sin x\le x-\dfrac{x^3}6+\dfrac{x^5}{120}$ .
a. Montrer que, pour tout $x\in]0;+\infty[$ : $\dfrac43-\dfrac{4x^2}{15}\le\dfrac{2x-\sin(2x)}{x^3}\le\dfrac43$ . b. En déduire $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{2x-\sin(2x)}{x^3}$ .
En posant $x=-t$ , en déduire $\displaystyle\lim_{x\to0^-}\frac{2x-\sin(2x)}{x^3}$ , puis $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2x-\sin(2x)}{x^3}$ .

Voir la solution

Méthode : pour montrer $A(x)\ge B(x)$ sur $I$ , on étudie $\varphi=A-B$ ; si $\varphi$ est croissante sur $I$ et $\varphi(0)=0$ , alors $\varphi(x)\ge\varphi(0)=0$ pour tout $x\in I$ . Chaque inégalité sert à établir la suivante.

1. a. $\varphi_1(x)=x-\sin x$ ; $\varphi_1'(x)=1-\cos x\ge0$ : $\varphi_1$ croissante, $\varphi_1(0)=0$ , donc $\varphi_1(x)\ge0$ , soit $\sin x\le x$ .

b. $\varphi_2(x)=\cos x-1+\frac{x^2}2$ ; $\varphi_2'(x)=x-\sin x=\varphi_1(x)\ge0$ : $\varphi_2$ croissante, $\varphi_2(0)=0$ , donc $\cos x\ge1-\frac{x^2}2$ .

c. $\varphi_3(x)=\sin x-x+\frac{x^3}6$ ; $\varphi_3'(x)=\cos x-1+\frac{x^2}2=\varphi_2(x)\ge0$ ; $\varphi_3(0)=0$ , donc $\sin x\ge x-\frac{x^3}6$ .

d. $\varphi_4(x)=1-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}-\cos x$ ; $\varphi_4'(x)=-x+\frac{x^3}6+\sin x=\varphi_3(x)\ge0$ ; $\varphi_4(0)=0$ , donc $\cos x\le1-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}$ .

e. $\varphi_5(x)=x-\frac{x^3}6+\frac{x^5}{120}-\sin x$ ; $\varphi_5'(x)=1-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}-\cos x=\varphi_4(x)\ge0$ ; $\varphi_5(0)=0$ , d’où l’inégalité.

2. a. Soit $x>0$ ; on applique c. et e. au réel $2x\in I$ : $2x-\frac{8x^3}6\le\sin(2x)\le2x-\frac{8x^3}6+\frac{32x^5}{120}\iff\frac43x^3-\frac4{15}x^5\le2x-\sin(2x)\le\frac43x^3 .$ En divisant par $x^3>0$ : $\frac43-\frac{4x^2}{15}\le\frac{2x-\sin2x}{x^3}\le\frac43$ .

b. $\lim_{x\to0^+}\left(\frac43-\frac{4x^2}{15}\right)=\frac43$ : par encadrement (gendarmes), $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{2x-\sin2x}{x^3}=\frac43$ .

3. Pour $x<0$ , on pose $t=-x>0$ : $\frac{2x-\sin2x}{x^3}=\frac{-2t+\sin2t}{-t^3}=\frac{2t-\sin2t}{t^3}$ ; quand $x\to0^-$ , $t\to0^+$ , donc la limite à gauche vaut aussi $\frac43$ . Les limites à droite et à gauche étant égales : $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2x-\sin2x}{x^3}=\frac43$ .

Exercice 15 — Tangentes et fonction par morceaux Moyen ★★★☆☆

On considère la fonction $f$ définie sur $\R\setminus\{1\}$ par $f(x)=x+6+\dfrac9{x-1}$ .

a. Calculer $f'(x)$ pour tout $x\in\R\setminus\{1\}$ . b. Déterminer les points $M(a;f(a))$ de $(\mathcal C_f)$ en lesquels la tangente est parallèle à l’axe des abscisses.
Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par : $h(x)=f(x)$ si $x<0$ ; $h(x)=x^2-4x-3$ si $0\le x<2$ ; $h(x)=\sqrt{x^2-4}-7$ si $x\ge2$ . Étudier la dérivabilité de $h$ en $0$ et interpréter graphiquement le résultat.
a. Étudier la dérivabilité de $h$ en $2$ et interpréter graphiquement les résultats. b. Montrer que $h$ est dérivable sur $]2;+\infty[$ et calculer $h'(x)$ pour tout $x\in]2;+\infty[$ . c. Écrire une équation de la tangente à la courbe $(\mathcal C_h)$ au point d’abscisse $2\sqrt2$ .

Voir la solution

1. a. $f'(x)=1-\frac9{(x-1)^2}=\frac{(x-1)^2-9}{(x-1)^2}=\frac{(x-4)(x+2)}{(x-1)^2}$ .

b. La tangente en $M(a;f(a))$ est parallèle à l’axe des abscisses $\iff f'(a)=0\iff a=4$ ou $a=-2$ . Les points sont $M_1(4;13)$ et $M_2(-2;1)$ .

2. $h(0)=-3$ et $\lim_{x\to0^-}f(x)=f(0)=0+6-9=-3$ . À gauche : $h$ coïncide avec $f$ , dérivable en $0$ , donc $h'_g(0)=f'(0)=1-9=-8$ . À droite : $\frac{x^2-4x-3+3}{x}=x-4\to-4$ : $h'_d(0)=-4$ . $h'_g(0)\neq h'_d(0)$ : $h$ n’est pas dérivable en $0$ ; le point $(0;-3)$ est un point anguleux (demi-tangentes $y=-8x-3$ , $x\le0$ et $y=-4x-3$ , $x\ge0$ ).

3. a. $h(2)=-7$ et $\lim_{x\to2^-}(x^2-4x-3)=-7$ . À gauche : $\frac{x^2-4x-3+7}{x-2}=\frac{(x-2)^2}{x-2}=x-2\to0$ : $h'_g(2)=0$ , demi-tangente horizontale $y=-7$ ( $x\le2$ ). À droite : $\frac{\sqrt{x^2-4}}{x-2}=\frac{\sqrt{(x-2)(x+2)}}{x-2}=\sqrt{\frac{x+2}{x-2}}\to+\infty$ : non dérivable à droite, demi-tangente verticale dirigée vers le haut.

b. Sur $]2;+\infty[$ , $x^2-4>0$ , donc $h$ est dérivable et $h'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2-4}}=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}$ .

c. $h(2\sqrt2)=\sqrt{8-4}-7=-5$ , $h'(2\sqrt2)=\frac{2\sqrt2}{2}=\sqrt2$ : $(T):\ y=\sqrt2\left(x-2\sqrt2\right)-5=\sqrt2\,x-9$ .

Exercice 16 — Étude avec une fonction auxiliaire Moyen ★★★☆☆

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=x^3+x+4$ .

Étudier les variations de $g$ sur $\R$ .
On admet que l’équation $g(x)=0$ possède une solution unique $\alpha$ dans $\R$ . Montrer que $-2<\alpha<-1$ , puis étudier le signe de $g(x)$ sur $]-\infty;\alpha[$ et sur $]\alpha;+\infty[$ .
Soit $f$ la fonction définie sur $\R^*$ par $f(x)=x-\dfrac1x-\dfrac2{x^2}$ . a. Montrer que, pour tout $x\in\R^*$ : $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^3}$ . b. En déduire les variations de $f$ sur chacun des intervalles $]-\infty;\alpha]$ , $[\alpha;0[$ et $]0;+\infty[$ . c. Écrire l’équation de la tangente à $(\mathcal C_f)$ au point d’abscisse $2$ .

Voir la solution

1. $g'(x)=3x^2+1>0$ : $g$ est strictement croissante sur $\R$ .

2. $g(-2)=-8-2+4=-6<0$ et $g(-1)=-1-1+4=2>0$ . Raisonnons par l’absurde : si $\alpha\le-2$ , comme $g$ est croissante, $0=g(\alpha)\le g(-2)=-6$ , absurde ; si $\alpha\ge-1$ , $0=g(\alpha)\ge g(-1)=2$ , absurde. Donc $-2<\alpha<-1$ . $g$ étant strictement croissante : $g(x)<g(\alpha)=0$ pour $x<\alpha$ et $g(x)>0$ pour $x>\alpha$ .

3. a. $f'(x)=1+\frac1{x^2}+\frac4{x^3}=\frac{x^3+x+4}{x^3}=\frac{g(x)}{x^3}$ .

b. Signe de $f'$ : sur $]-\infty;\alpha[$ : $g<0$ , $x^3<0$ donc $f'>0$ ; sur $]\alpha;0[$ : $g>0$ , $x^3<0$ , $f'<0$ ; sur $]0;+\infty[$ : $g>0$ , $x^3>0$ , $f'>0$ . Ainsi $f$ est croissante sur $]-\infty;\alpha]$ , décroissante sur $[\alpha;0[$ et croissante sur $]0;+\infty[$ .

c. $f(2)=2-\frac12-\frac12=1$ et $f'(2)=\frac{g(2)}8=\frac{14}8=\frac74$ : $(T):\ y=\frac74(x-2)+1=\frac74x-\frac52$ .

Exercice 17 — Limites et nombre dérivé (cas général) Moyen ★★★☆☆

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$ contenant un réel $a$ , telle que $f'(a)=-3$ .

Calculer : $\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(a+5h)-f(a)}{h}$ , $\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(a-2h)-f(a+h)}{h}$ et $\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(a+4h)-f(a-h)}{2h}$ .
Calculer, en fonction de $a$ et de $f(a)$ , la limite $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{x^2f(a)-a^2f(x)}{x-a}$ .

Voir la solution

1. On se ramène à la définition $\lim_{k\to0}\frac{f(a+k)-f(a)}{k}=f'(a)$ .

$\frac{f(a+5h)-f(a)}{h}=5\cdot\frac{f(a+5h)-f(a)}{5h}\to5f'(a)=-15$ (on a posé $k=5h\to0$ ).
$\frac{f(a-2h)-f(a+h)}{h}=-2\cdot\frac{f(a-2h)-f(a)}{-2h}-\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\to-2f'(a)-f'(a)=-3f'(a)=9$ .
$\frac{f(a+4h)-f(a-h)}{2h}=2\cdot\frac{f(a+4h)-f(a)}{4h}+\frac12\cdot\frac{f(a-h)-f(a)}{-h}\to2f'(a)+\frac12f'(a)=\frac52f'(a)=-\frac{15}2$ .

2. On fait apparaître des taux d’accroissement : $\frac{x^2f(a)-a^2f(x)}{x-a}=\frac{(x^2-a^2)f(a)-a^2\left(f(x)-f(a)\right)}{x-a}=(x+a)f(a)-a^2\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ qui tend, quand $x\to a$ , vers $2af(a)-a^2f'(a)=2af(a)+3a^2 .$

Exercice 18 — Inégalité de convexité (puissances) Difficile ★★★★☆

Soit $n$ un entier naturel tel que $n\ge2$ et $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{(1+x)^n}{1+x^n}$ .

Montrer que, pour tout $x\in]0;+\infty[$ : $f'(x)=\dfrac{n(1+x)^{n-1}\left(1-x^{n-1}\right)}{\left(1+x^n\right)^2}$ .
Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0;+\infty[$ (sans les limites).
En déduire que, pour tout $x\in]0;+\infty[$ : $(1+x)^n\le2^{n-1}\left(1+x^n\right)$ .
Montrer que, pour tous réels $a,b$ de $]0;+\infty[$ : $\left(\dfrac{a+b}2\right)^n\le\dfrac{a^n+b^n}2$ .

Voir la solution

1. Avec $u=(1+x)^n$ , $u'=n(1+x)^{n-1}$ , $v=1+x^n$ , $v'=nx^{n-1}$ : $f'(x)=\frac{n(1+x)^{n-1}(1+x^n)-(1+x)^n nx^{n-1}}{(1+x^n)^2}=\frac{n(1+x)^{n-1}\left(1+x^n-x^{n-1}-x^n\right)}{(1+x^n)^2}=\frac{n(1+x)^{n-1}\left(1-x^{n-1}\right)}{(1+x^n)^2}.$

2. Pour $x>0$ et $n-1\ge1$ : $x^{n-1}<1\iff x<1$ . Donc $f'>0$ sur $]0;1[$ , $f'(1)=0$ , $f'<0$ sur $]1;+\infty[$ ; $f(1)=\frac{2^n}2=2^{n-1}$ .

$x$	$0$		$1$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$
$f(x)$		$\nearrow$	$2^{n-1}$	$\searrow$

3. $f(1)=2^{n-1}$ est la valeur maximale de $f$ : pour tout $x>0$ , $\frac{(1+x)^n}{1+x^n}\le2^{n-1}$ , et comme $1+x^n>0$ : $(1+x)^n\le2^{n-1}(1+x^n)$ .

4. Soient $a,b>0$ ; on applique 3. avec $x=\frac ba$ : $\left(1+\frac ba\right)^n\le2^{n-1}\left(1+\frac{b^n}{a^n}\right)$ . En multipliant par $a^n>0$ : $(a+b)^n\le2^{n-1}(a^n+b^n)$ , puis en divisant par $2^n$ : $\left(\frac{a+b}2\right)^n\le\frac{a^n+b^n}2$ .

Exercice 19 — Problèmes d’optimisation Facile ★★☆☆☆

L’aire d’un rectangle est $81\ \text{m}^2$ . Déterminer les dimensions de ce rectangle pour que son périmètre soit minimal.
$x$ et $y$ sont deux réels strictement positifs tels que $xy=12$ . Déterminer $x$ et $y$ pour que la somme $x+3y$ soit minimale.

Voir la solution

1. Soit $x>0$ la longueur ; la largeur est $\frac{81}x$ et le périmètre $P(x)=2\left(x+\frac{81}x\right)$ . $P'(x)=2\left(1-\frac{81}{x^2}\right)=\frac{2(x-9)(x+9)}{x^2}$ : $P$ décroît sur $]0;9]$ et croît sur $[9;+\infty[$ . Le périmètre est minimal pour $x=9$ : le rectangle est un carré de côté $9$ m (périmètre $36$ m).

2. $y=\frac{12}x$ , donc $x+3y=S(x)=x+\frac{36}x$ , $x>0$ . $S'(x)=1-\frac{36}{x^2}=\frac{(x-6)(x+6)}{x^2}$ : minimum en $x=6$ , alors $y=2$ et $x+3y=12$ (valeur minimale).

Exercice 20 — Problème Difficile ★★★★☆

Partie 1. Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{x^2}{x^2+(2-x)^2}$ .

Vérifier que, pour tout $x\in\R$ : $x^2+(2-x)^2=2(x-1)^2+2$ , puis en déduire que $D_f=\R$ .
Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ .
a. Montrer que $f$ est dérivable sur $\R$ et que, pour tout $x\in\R$ : $f'(x)=\dfrac{-4x(x-2)}{\left(x^2+(2-x)^2\right)^2}$ . b. Dresser le tableau de variations de $f$ . c. En déduire les extremums de $f$ sur $\R$ . d. Calculer $f'(1)$ et interpréter le résultat graphiquement.
Déterminer $f([0;2])$ .

Partie 2. Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=\dfrac{\sqrt x}{\sqrt x+\sqrt{2-x}}$ .

Montrer par l’absurde que, pour tout $x\in[0;2]$ : $\sqrt x+\sqrt{2-x}\neq0$ .
Montrer soigneusement que $D_g=[0;2]$ .
a. Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to0}g(x)=g(0)$ . b. Montrer que, pour tout $x\in[0;2]$ : $g(2-x)=1-g(x)$ .
a. Étudier la dérivabilité de $g$ à droite en $0$ puis interpréter graphiquement le résultat. b. En déduire que $g$ n’est pas dérivable à gauche en $2$ .
a. Montrer que $g$ est dérivable sur $]0;2[$ et que : $(\forall x\in]0;2[)\quad g'(x)=\dfrac{1}{\sqrt x\sqrt{2-x}\left(\sqrt x+\sqrt{2-x}\right)^2}$ . b. Dresser le tableau de variations de $g$ sur $[0;2]$ . c. Déduire l’équation de la tangente à $(\mathcal C_g)$ au point d’abscisse $1$ .

Voir la solution

Partie 1. 1. $x^2+(2-x)^2=2x^2-4x+4=2(x^2-2x+1)+2=2(x-1)^2+2\ge2>0$ : le dénominateur ne s’annule jamais, donc $D_f=\R$ .

2. $f(x)=\frac{x^2}{2x^2-4x+4}$ : quotient des termes de plus haut degré $\frac{x^2}{2x^2}=\frac12$ . Donc $\lim_{\pm\infty}f(x)=\frac12$ .

3. a. $f$ est rationnelle définie sur $\R$ , donc dérivable sur $\R$ ; avec $v=2x^2-4x+4$ , $v'=4x-4$ : $f'(x)=\frac{2x(2x^2-4x+4)-x^2(4x-4)}{v^2}=\frac{-4x^2+8x}{v^2}=\frac{-4x(x-2)}{\left(x^2+(2-x)^2\right)^2}.$

b. $f'(x)>0\iff x(x-2)<0\iff0<x<2$ . $f(0)=0$ , $f(2)=\frac44=1$ .

$x$	$-\infty$		$0$		$2$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$\frac12$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$	$1$	$\searrow$	$\frac12$

c. D’après le tableau, $0\le f(x)\le1$ pour tout $x\in\R$ : $f(0)=0$ est le minimum absolu et $f(2)=1$ le maximum absolu de $f$ sur $\R$ .

d. $f'(1)=\frac{-4\times(-1)}{2^2}=1$ : la tangente au point $\left(1;\frac12\right)$ a pour coefficient directeur $1$ ; elle est parallèle à la première bissectrice : $y=x-\frac12$ .

4. $f$ est strictement croissante sur $[0;2]$ et (fonction rationnelle sans pôle) prend toutes les valeurs entre $f(0)$ et $f(2)$ : $f([0;2])=[0;1]$ .

Partie 2. 1. Raisonnement par l’absurde. Supposons qu’il existe $x\in[0;2]$ tel que $\sqrt x+\sqrt{2-x}=0$ . Une somme de deux réels positifs est nulle si et seulement si les deux sont nuls : $x=0$ et $2-x=0$ , soit $x=0$ et $x=2$ : contradiction. Donc $\sqrt x+\sqrt{2-x}\neq0$ pour tout $x\in[0;2]$ .

2. $x\in D_g\iff\left(x\ge0\ \text{et}\ 2-x\ge0\ \text{et}\ \sqrt x+\sqrt{2-x}\neq0\right)\iff x\in[0;2]$ (d’après 1.). Donc $D_g=[0;2]$ .

3. a. $\lim_{x\to0^+}\sqrt x=0$ et $\lim_{x\to0^+}\left(\sqrt x+\sqrt{2-x}\right)=\sqrt2$ , donc $\lim_{x\to0}g(x)=0=g(0)$ .

b. Soit $x\in[0;2]$ ; alors $2-x\in[0;2]$ et $g(2-x)=\frac{\sqrt{2-x}}{\sqrt{2-x}+\sqrt x}$ , d’où $1-g(x)=\frac{\sqrt x+\sqrt{2-x}-\sqrt x}{\sqrt x+\sqrt{2-x}}=g(2-x)$ .

4. a. Pour $0<x\le2$ : $\frac{g(x)-g(0)}{x}=\frac{1}{\sqrt x\left(\sqrt x+\sqrt{2-x}\right)}$ , forme $\frac1{0^+}$ : la limite est $+\infty$ . $g$ n’est pas dérivable à droite en $0$ : demi-tangente verticale (dirigée vers le haut) au point $O(0;0)$ .

b. Raisonnement par l’absurde. Si $g$ était dérivable à gauche en $2$ , alors d’après 3.b., $g(x)=1-g(2-x)$ ; pour $x\to0^+$ , $\frac{g(x)-g(0)}{x}=\frac{g(2-x)-g(2)}{-x}$ tendrait vers $g'_g(2)$ , réel ; or ce taux tend vers $+\infty$ . Contradiction : $g$ n’est pas dérivable à gauche en $2$ .

5. a. Sur $]0;2[$ , $u(x)=\sqrt x$ et $v(x)=\sqrt{2-x}$ sont dérivables, $u'=\frac1{2\sqrt x}$ , $v'=-\frac1{2\sqrt{2-x}}$ , et $u+v\neq0$ . Alors $g'=\frac{u'(u+v)-u(u'+v')}{(u+v)^2}=\frac{u'v-uv'}{(u+v)^2},\qquad u'v-uv'=\frac{\sqrt{2-x}}{2\sqrt x}+\frac{\sqrt x}{2\sqrt{2-x}}=\frac{(2-x)+x}{2\sqrt x\sqrt{2-x}}=\frac{1}{\sqrt x\sqrt{2-x}} .$ D’où $g'(x)=\dfrac{1}{\sqrt x\sqrt{2-x}\left(\sqrt x+\sqrt{2-x}\right)^2}$ .

b. $g'(x)>0$ sur $]0;2[$ : $g$ est strictement croissante sur $[0;2]$ , de $g(0)=0$ à $g(2)=1$ (demi-tangentes verticales aux deux extrémités).

c. $g(1)=\frac12$ et $g'(1)=\frac{1}{1\times1\times2^2}=\frac14$ : $(T):\ y=\frac14(x-1)+\frac12=\frac14x+\frac14$ .

Exercice 21 — Dérivabilité et partie entière Difficile ★★★★★

Soit $(a,b)\in\R^*\times\R$ et $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f(x)=\frac{x^2}{a}E\left(\frac2x\right)\ \text{si } x>0,\qquad f(0)=0,\qquad f(x)=\frac{3\cos(bx)-2\cos(2x)-1}{x}\ \text{si } x<0,$ où $E$ désigne la fonction partie entière.

a. Montrer que, pour tout $x\in]0;+\infty[$ : $\left|\dfrac xaE\left(\dfrac2x\right)-\dfrac2a\right|\le\left|\dfrac xa\right|$ . b. En déduire que $f$ est dérivable à droite en $0$ et que $f'_d(0)=\dfrac2a$ .
Montrer que $f$ est dérivable à gauche en $0$ et que $f'_g(0)=4-\dfrac{3b^2}2$ .
Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ pour que $f$ soit dérivable en $0$ et que la tangente à $(\mathcal C_f)$ au point d’abscisse $0$ soit perpendiculaire à la droite $(\Delta)$ d’équation $x+2y=0$ .

Voir la solution

1. a. Pour tout réel $X$ : $X-1<E(X)\le X$ . Avec $X=\frac2x$ ( $x>0$ ) : $\frac2x-1<E\left(\frac2x\right)\le\frac2x$ , et en multipliant par $x>0$ : $2-x<xE\left(\frac2x\right)\le2$ , soit $-x<xE\left(\frac2x\right)-2\le0$ . Donc $\left|xE\left(\frac2x\right)-2\right|\le x$ , puis en divisant par $|a|$ : $\left|\frac xaE\left(\frac2x\right)-\frac2a\right|\le\left|\frac xa\right|$ .

b. Pour $x>0$ : $\frac{f(x)-f(0)}{x}=\frac xaE\left(\frac2x\right)$ . Or $\left|\frac xa\right|\to0$ quand $x\to0^+$ ; par encadrement, $\frac xaE\left(\frac2x\right)\to\frac2a$ . Donc $f$ est dérivable à droite en $0$ et $f'_d(0)=\frac2a$ .

2. Pour $x<0$ : $3\cos(bx)-2\cos(2x)-1=-3\left(1-\cos bx\right)+2\left(1-\cos2x\right)$ , donc $\frac{f(x)-f(0)}{x}=\frac{-3(1-\cos bx)+2(1-\cos2x)}{x^2}=-3b^2\frac{1-\cos bx}{(bx)^2}+8\frac{1-\cos2x}{(2x)^2}\xrightarrow[x\to0^-]{}-\frac{3b^2}2+4$ (si $b=0$ , le premier terme est nul et le résultat reste $4$ ). Donc $f'_g(0)=4-\frac{3b^2}2$ .

3. $(\Delta):\ y=-\frac12x$ a pour coefficient directeur $-\frac12$ ; deux droites non verticales sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs vaut $-1$ . On veut donc $f'(0)=2$ , ce qui équivaut (chaîne d’équivalences) à : $f'_d(0)=f'_g(0)=2\iff\frac2a=2\ \text{et}\ 4-\frac{3b^2}2=2\iff a=1\ \text{et}\ b^2=\frac43\iff a=1\ \text{et}\ b\in\left\{-\frac{2\sqrt3}3;\frac{2\sqrt3}3\right\}.$

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20 questions tirées au hasard parmi 33.

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Chapitre 11 — Dérivation

Cours

I. Dérivabilité d’une fonction en un point

1) Activité

2) Définition

II. Interprétation géométrique du nombre dérivé

1) Tangente à une courbe

2) Exemple

III. Approximation affine

IV. Dérivabilité à droite, dérivabilité à gauche

1) Définitions

2) Interprétation géométrique

V. Dérivabilité sur un intervalle — fonction dérivée

1) Définitions

2) Dérivées des fonctions usuelles

VI. Opérations sur les fonctions dérivées

VII. Dérivées successives

VIII. Dérivée et sens de variation

IX. Dérivée et extremums

X. L’équation différentielle y′′+ω2y=0y''+\omega^2y=0y′′+ω2y=0

Résumé

Série d’exercices

Exercice 1 — Dérivabilité en un point Facile ★☆☆☆☆

Exercice 2 — Approximation affine Facile ★★☆☆☆

Exercice 3 — Dérivabilité et calcul de dérivées Facile ★☆☆☆☆

Exercice 4 — Fonction définie par morceaux Facile ★★☆☆☆

Exercice 5 — Limites et nombre dérivé Moyen ★★★☆☆

Exercice 6 — Extremums d’un polynôme Facile ★☆☆☆☆

Exercice 7 — Tableaux de variations Facile ★★☆☆☆

Exercice 8 — Lecture graphique Facile ★★☆☆☆

Exercice 9 — Une inégalité classique Moyen ★★★☆☆

Exercice 10 — Optimisation Moyen ★★★☆☆

Exercice 11 — Fonction définie par morceaux Moyen ★★★☆☆

Exercice 12 — Dérivabilité à droite et à gauche Facile ★★☆☆☆

Exercice 13 — Fonction auxiliaire Moyen ★★★☆☆

Exercice 14 — Encadrements trigonométriques Difficile ★★★★☆

Exercice 15 — Tangentes et fonction par morceaux Moyen ★★★☆☆

Exercice 16 — Étude avec une fonction auxiliaire Moyen ★★★☆☆

Exercice 17 — Limites et nombre dérivé (cas général) Moyen ★★★☆☆

Exercice 18 — Inégalité de convexité (puissances) Difficile ★★★★☆

Exercice 19 — Problèmes d’optimisation Facile ★★☆☆☆

Exercice 20 — Problème Difficile ★★★★☆

Exercice 21 — Dérivabilité et partie entière Difficile ★★★★★

Quiz — testez-vous

X. L’équation différentielle $y''+\omega^2y=0$