Accueil › 1BAC SM › Chapitre 13 — Dénombrement

Chapitre 13 — Dénombrement

Semestre 2

Chargement du PDF…

Cours

Plan du chapitre. I. Ensembles finis et cardinal — II. Principe fondamental du dénombrement — III. Arrangements et permutations — IV. Combinaisons — V. Cardinal d’un produit cartésien et de l’ensemble des parties — VI. Modèles de tirages — Résumé.

Prérequis. Ensembles et applications (Ch. 02), raisonnement par récurrence (Ch. 01), sommes ∑\sum.

I. Ensembles finis et cardinal

1) Activité d’introduction

Activité 1

Une classe compte 3030 élèves ; 1818 pratiquent le football, 1212 le basket et 55 les deux sports.

  1. Combien d’élèves pratiquent au moins un des deux sports ?
  2. Combien d’élèves ne pratiquent aucun de ces deux sports ?
Voir la solution
  1. En additionnant 18+1218+12, les 55 élèves qui pratiquent les deux sports sont comptés deux fois : 18+12−5=2518+12-5=25 élèves.
  2. 30−25=530-25=5 élèves.

2) Cardinal d’un ensemble fini

Définition 1

Soit EE un ensemble non vide. On dit que EE est fini s’il existe n∈N∗n\in\N^* et une bijection de [ ⁣[1;n] ⁣][\![1;n]\!] sur EE. L’entier nn est unique : c’est le cardinal de EE, noté Card⁡(E)\card(E) (ou ∣E∣|E|). Par convention Card⁡(∅)=0\card(\emptyset)=0.

Exemple 1

Pour n,m∈Nn,m\in\N avec n≤mn\le m, déterminer Card⁡([ ⁣[n;m] ⁣])\card\left([\![ n;m]\!]\right), puis calculer Card⁡([ ⁣[3;10] ⁣])\card\left([\![ 3;10]\!]\right).

Voir la solution

Card⁡([ ⁣[n;m] ⁣])=m−n+1\card\left([\![ n;m]\!]\right)=m-n+1 pour n,m∈Nn,m\in\N, n≤mn\le m. Par exemple Card⁡([ ⁣[3;10] ⁣])=8\card\left([\![ 3;10]\!]\right)=8.

3) Propriétés

Propriété 1 (admise)

Soient AA et BB deux parties d’un ensemble fini EE, et A‾=E∖A\overline{A}=E\setminus A le complémentaire de AA dans EE.

  • Si A∩B=∅A\cap B=\emptyset (parties disjointes) : Card⁡(A∪B)=Card⁡(A)+Card⁡(B)\card(A\cup B)=\card(A)+\card(B).
  • En général : Card⁡(A∪B)=Card⁡(A)+Card⁡(B)−Card⁡(A∩B)\card(A\cup B)=\card(A)+\card(B)-\card(A\cap B).
  • Card⁡(A‾)=Card⁡(E)−Card⁡(A)\card\left(\overline A\right)=\card(E)-\card(A).
  • Si A⊂BA\subset B alors Card⁡(A)≤Card⁡(B)\card(A)\le\card(B).
  • Si A1,…,ApA_1,\dots,A_p sont deux à deux disjointes : Card⁡(A1∪⋯∪Ap)=Card⁡(A1)+⋯+Card⁡(Ap)\card(A_1\cup\dots\cup A_p)=\card(A_1)+\dots+\card(A_p).

Remarque 2

La règle du complémentaire est très utile pour les événements « au moins un … » : on compte le contraire « aucun … » et on soustrait du total.

II. Principe fondamental du dénombrement

1) Arbre des choix

Activité 2

Un menu propose 33 entrées, 44 plats et 22 desserts. Un repas se compose d’une entrée, d’un plat et d’un dessert. Combien de repas différents peut-on composer ?

Voir la solution

On construit un arbre : 33 branches pour l’entrée, puis 44 pour le plat à partir de chaque entrée, puis 22 pour le dessert. Le nombre de chemins est 3×4×2=243\times4\times2=24.

2) Principe multiplicatif

Propriété 2 : principe fondamental du dénombrement

Si une situation comporte pp choix successifs (p∈N∗p\in\N^*) tels que le premier choix peut se faire de n1n_1 façons, le deuxième de n2n_2 façons (quel que soit le premier), …, le pp-ième de npn_p façons, alors le nombre total de possibilités est n1×n2×⋯×npn_1\times n_2\times\dots\times n_p.

Exemple 2

Combien de plaques peut-on former avec 22 lettres (parmi 2626) suivies de 33 chiffres ?

Voir la solution

Nombre de plaques formées de 22 lettres (parmi 2626) suivies de 33 chiffres : 262×103=676 00026^2\times10^3=676\,000.

III. Arrangements et permutations

1) Arrangements avec répétition (pp-listes)

Définition 2

Soient EE un ensemble à nn éléments et p∈N∗p\in\N^*. Une pp-liste (ou arrangement avec répétition) d’éléments de EE est un élément (x1;… ;xp)(x_1;\dots;x_p) de EpE^p.

Propriété 3

Le nombre de pp-listes d’un ensemble à nn éléments est npn^p.

2) Arrangements sans répétition

Définition 3

Soient n,p∈Nn,p\in\N avec 1≤p≤n1\le p\le n. Un arrangement de pp éléments d’un ensemble EE à nn éléments est une pp-liste d’éléments deux à deux distincts de EE.

Propriété 4

Le nombre d’arrangements de pp éléments parmi nn est Anp=n(n−1)(n−2)⋯(n−p+1)=n!(n−p)!(p facteurs),A_n^p=n(n-1)(n-2)\cdots(n-p+1)=\frac{n!}{(n-p)!}\quad(p\text{ facteurs}), où n!=1×2×⋯×nn!=1\times2\times\dots\times n pour n∈N∗n\in\N^* et 0!=10!=1.

Voir la solution

Preuve (principe multiplicatif). Le premier élément se choisit de nn façons, le deuxième de n−1n-1 façons (il doit être différent du premier), …, le pp-ième de n−(p−1)n-(p-1) façons.

3) Permutations

Définition 4

Une permutation d’un ensemble EE à nn éléments est un arrangement des nn éléments de EE. Leur nombre est Ann=n!A_n^n=n!.

Exemple 3

De combien de façons peut-on asseoir 55 personnes sur 55 chaises alignées ? Combien de mots de 33 lettres distinctes peut-on former avec A,B,C,D,EA,B,C,D,E ?

Voir la solution

Nombre de façons d’asseoir 55 personnes sur 55 chaises alignées : 5!=1205!=120. Nombre de mots de 33 lettres distinctes formés avec A,B,C,D,EA,B,C,D,E : A53=60A_5^3=60.

4) Applications injectives et bijectives

Propriété 5

Soient EE et FF deux ensembles finis avec Card⁡(E)=p\card(E)=p et Card⁡(F)=n\card(F)=n.

  • Le nombre d’applications de EE dans FF est npn^p.
  • Si p≤np\le n, le nombre d’applications injectives de EE dans FF est AnpA_n^p.
  • Si p=np=n, le nombre de bijections de EE sur FF est n!n!.

5) Permutations avec répétition

Propriété 6

Le nombre de mots (anagrammes) que l’on peut former avec nn lettres dont une lettre est répétée k1k_1 fois, une autre k2k_2 fois, …, une autre krk_r fois (k1+⋯+kr=nk_1+\dots+k_r=n) est n!k1! k2!⋯kr!\dfrac{n!}{k_1!\,k_2!\cdots k_r!}.

Exemple 4

Combien d’anagrammes le mot « RADAR » possède-t-il ?

Voir la solution

Anagrammes de « RADAR » : 5!2! 2! 1!=30\frac{5!}{2!\,2!\,1!}=30.

IV. Combinaisons

1) Définition et nombre de combinaisons

Définition 5

Soient n,p∈Nn,p\in\N avec p≤np\le n. Une combinaison de pp éléments d’un ensemble EE à nn éléments est une partie de EE ayant pp éléments (l’ordre ne compte pas).

Propriété 7

Le nombre de combinaisons de pp éléments parmi nn est Cnp=Anpp!=n!p! (n−p)!.C_n^p=\frac{A_n^p}{p!}=\frac{n!}{p!\,(n-p)!}.

Voir la solution

Preuve. À chaque partie à pp éléments correspondent exactement p!p! arrangements (ses permutations) ; donc Anp=p! CnpA_n^p=p!\,C_n^p.

2) Propriétés des CnpC_n^p

Propriété 8

Pour n∈Nn\in\N et p∈Np\in\N :

  • Cn0=Cnn=1C_n^0=C_n^n=1, Cn1=nC_n^1=n ;
  • si p≤np\le n : Cnp=Cnn−pC_n^p=C_n^{n-p} (symétrie) ;
  • si 1≤p≤n−11\le p\le n-1 : Cnp=Cn−1p−1+Cn−1pC_n^p=C_{n-1}^{p-1}+C_{n-1}^p (formule de Pascal).

Théorème 1 : formule du binôme de Newton

Pour tous a,b∈Ra,b\in\R et tout n∈Nn\in\N : (a+b)n=∑k=0nCnk an−kbk\displaystyle(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC_n^k\,a^{n-k}b^k.

Voir la solution

Preuve (raisonnement par récurrence). Initialisation : pour n=0n=0, on a (a+b)0=1=C00a0b0(a+b)^0=1=C_0^0a^0b^0. Hérédité : soit n∈Nn\in\N, on suppose que (a+b)n=∑k=0nCnkan−kbk(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^k. Alors (a+b)n+1=(a+b)(a+b)n=∑k=0nCnkan+1−kbk+∑k=1n+1Cnk−1an+1−kbk(a+b)^{n+1}=(a+b)(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC_n^ka^{n+1-k}b^k+\sum_{k=1}^{n+1}C_n^{k-1}a^{n+1-k}b^k et, d’après la formule de Pascal, cette somme vaut ∑k=0n+1Cn+1kan+1−kbk\sum_{k=0}^{n+1}C_{n+1}^ka^{n+1-k}b^k. Conclusion : d’après le principe du raisonnement par récurrence, la formule est vraie pour tout n∈Nn\in\N.

Exemple 5

Calculer ∑k=0nCnk\displaystyle\sum_{k=0}^nC_n^k et, pour n≥1n\ge1, ∑k=0n(−1)kCnk\displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^kC_n^k.

Voir la solution

∑k=0nCnk=(1+1)n=2n\displaystyle\sum_{k=0}^nC_n^k=(1+1)^n=2^n et, pour n≥1n\ge1, ∑k=0n(−1)kCnk=(1−1)n=0\displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^kC_n^k=(1-1)^n=0.

V. Cardinal d’un produit cartésien et de l’ensemble des parties

1) Produit cartésien

Propriété 9

Si E1,…,EpE_1,\dots,E_p sont finis : Card⁡(E1×⋯×Ep)=Card⁡(E1)×⋯×Card⁡(Ep)\card(E_1\times\dots\times E_p)=\card(E_1)\times\dots\times\card(E_p). En particulier Card⁡(Ep)=Card⁡(E)p\card(E^p)=\card(E)^p.

2) Ensemble des parties

Propriété 10

Si Card⁡(E)=n\card(E)=n, l’ensemble P(E)\mathcal P(E) des parties de EE a pour cardinal ∑p=0nCnp=2n\displaystyle\sum_{p=0}^nC_n^p=2^n.

VI. Modèles de tirages

1) Trois types de tirages

Propriété 11 : tirage de pp objets parmi nn

Type de tirageL’ordre compte ?Répétition ?Nombre de tirages
Successif avec remiseouiouinpn^p
Successif sans remiseouinonAnpA_n^p
SimultanénonnonCnpC_n^p

2) Exemple type

Exemple 6

Une urne contient 55 boules rouges et 33 vertes. On tire simultanément 33 boules. Déterminer le nombre de tirages possibles, le nombre de tirages avec exactement 22 rouges, et le nombre de tirages avec au moins une verte.

Voir la solution

Une urne contient 55 boules rouges et 33 vertes. On tire simultanément 33 boules. Nombre de tirages : C83=56C_8^3=56. Tirages avec exactement 22 rouges : C52C31=30C_5^2C_3^1=30. Tirages avec au moins une verte : 56−C53=4656-C_5^3=46.

Remarque 3 : tirage successif et ordre des couleurs

Pour un tirage successif sans remise donnant 22 rouges et 11 verte, il faut multiplier par le nombre de places possibles de la verte : 3×A52×A31=1803\times A_5^2\times A_3^1=180.

Résumé

Remarque — l’essentiel

  • Card⁡(A∪B)=Card⁡A+Card⁡B−Card⁡(A∩B)\card(A\cup B)=\card A+\card B-\card(A\cap B) ; Card⁡A‾=Card⁡E−Card⁡A\card\overline A=\card E-\card A.
  • Principe multiplicatif : n1×⋯×npn_1\times\dots\times n_p.
  • npn^p (ordre, répétition) ; Anp=n!(n−p)!A_n^p=\frac{n!}{(n-p)!} (ordre, sans répétition) ; n!n! (permutations) ; Cnp=n!p!(n−p)!C_n^p=\frac{n!}{p!(n-p)!} (parties).
  • Cnp=Cnn−pC_n^p=C_n^{n-p}, Cnp=Cn−1p−1+Cn−1pC_n^p=C_{n-1}^{p-1}+C_{n-1}^p, (a+b)n=∑Cnkan−kbk(a+b)^n=\sum C_n^ka^{n-k}b^k, Card⁡P(E)=2n\card\mathcal P(E)=2^n.

Série d’exercices

Remarque — méthode générale

Pour chaque question : 1) on identifie le type de tirage ; 2) on se demande si l’ordre compte et si les répétitions sont possibles ; 3) on applique le modèle : successif avec remise →np\to n^p ; successif sans remise →Anp\to A_n^p ; simultané →Cnp\to C_n^p ; on utilise le principe multiplicatif (« et ») et le principe additif pour des cas disjoints (« ou »), ou le complémentaire pour « au moins ». Tous les résultats ont été contrôlés par Python/sympy, par énumération exhaustive (build/verif_lot3.py).

Cadre. Toute réponse doit être justifiée : préciser le type de tirage (successif avec ou sans remise, simultané), dire si l’ordre compte, puis utiliser le modèle adapté (npn^p, AnpA_n^p, CnpC_n^p, n!n!). Dans toute la série, les boules sont indiscernables au toucher, mais on les considère comme des objets distincts (on peut imaginer qu’elles sont numérotées) pour compter les tirages. Difficulté : de ★\bigstar à ★★★★★\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar.

Exercice 1 — Tirage successif sans remise Facile ★☆☆☆☆

Un sac contient 44 boules blanches, 33 boules jaunes et 11 boule noire, indiscernables au toucher. On extrait du sac, l’une après l’autre et sans les remettre, 33 boules. Combien de tirages différents peut-on obtenir ?

Voir la solution

Le sac contient 4+3+1=84+3+1=8 boules. Tirage successif sans remise de 33 boules : l’ordre compte, pas de répétition. Le nombre de tirages est A83=8×7×6=336A_8^3=8\times7\times6=336.

Exercice 2 — Tirage simultané Facile ★☆☆☆☆

Un sac contient 44 boules rouges et 33 boules vertes. On prend en même temps 33 boules.

  1. Combien y a-t-il de tirages possibles ?
  2. Combien de tirages comportent exactement une boule rouge ?
  3. Combien de tirages comportent au moins une boule verte ?
Voir la solution

77 boules, tirage simultané : on compte des parties.

1. C73=7×6×53!=35C_7^3=\frac{7\times6\times5}{3!}=35.

2. « exactement une rouge » == « une rouge et deux vertes » : C41×C32=4×3=12C_4^1\times C_3^2=4\times3=12.

3. Raisonnement par le complémentaire : le contraire de « au moins une verte » est « aucune verte », c’est-à-dire « trois rouges » : C43=4C_4^3=4 tirages. Donc 35−4=3135-4=31 tirages.

Exercice 3 — Tirage successif avec remise Facile ★☆☆☆☆

On reprend le sac de l’exercice 1 (44 blanches, 33 jaunes, 11 noire). On tire successivement 33 boules en remettant chaque boule tirée avant le tirage suivant. Combien de tirages différents peut-on obtenir ?

Voir la solution

Successif avec remise : 33-listes de l’ensemble des 88 boules : 83=5128^3=512.

Exercice 4 — Arbre des choix ; avec ou sans remise Facile ★★☆☆☆

Une urne contient 55 boules noires et 1212 boules blanches. On tire successivement et sans remise 22 boules.

  1. Représenter la situation par un arbre des choix (couleurs) et donner le nombre total de tirages.
  2. Combien de tirages donnent 22 boules de même couleur ?
  3. Combien de tirages donnent 22 boules de couleurs différentes ?
  4. Reprendre les questions 1, 2 et 3 lorsque le tirage est successif avec remise.
Voir la solution

1717 boules (55 N, 1212 B).

1. Arbre : premier tirage N ou B, puis second tirage N ou B ; les quatre branches sont NN, NB, BN, BB. Nombre total (sans remise) : A172=17×16=272A_{17}^2=17\times16=272.

2. Même couleur == NN ou BB (cas disjoints) : A52+A122=20+132=152A_5^2+A_{12}^2=20+132=152.

3. Couleurs différentes == NB ou BN : 5×12+12×5=1205\times12+12\times5=120. Contrôle : 152+120=272152+120=272.

4. Avec remise : total 172=28917^2=289 ; même couleur : 52+122=1695^2+12^2=169 ; couleurs différentes : 2×5×12=1202\times5\times12=120 (contrôle : 169+120=289169+120=289).

Exercice 5 — Mots Facile ★☆☆☆☆

Combien de mots de trois lettres deux à deux distinctes (ayant un sens ou non) peut-on écrire avec les lettres AA, BB, CC, DD, EE, FF ?

Voir la solution

Mots de 33 lettres distinctes, l’ordre compte : A63=6×5×4=120A_6^3=6\times5\times4=120.

Exercice 6 — Parking Facile ★☆☆☆☆

Un parking possède sept places libres numérotées de 11 à 77. De combien de façons peut-on y garer :

  1. une voiture ?
  2. trois voitures (distinctes) ?
  3. sept voitures (distinctes) ?
Voir la solution

Les voitures sont distinctes et chacune occupe une place différente : l’ordre compte, pas de répétition.

1. 77 façons. 2. A73=7×6×5=210A_7^3=7\times6\times5=210. 3. 7!=50407!=5040.

Exercice 7 — Placement autour d’une table Facile ★★☆☆☆

Une table est entourée de douze chaises numérotées de 11 à 1212.

  1. De combien de façons peut-on y installer six personnes (une personne par chaise) ?
  2. De combien de façons peut-on y installer douze personnes ?
Voir la solution

1. On associe à chaque personne une chaise, deux personnes n’ayant pas la même chaise : A126=12×11×10×9×8×7=665 280A_{12}^6=12\times11\times10\times9\times8\times7=665\,280.

2. C’est une permutation des 1212 chaises : 12!=479 001 60012!=479\,001\,600.

Exercice 8 — Constitution de groupes Facile ★★☆☆☆

Une classe compte 44 filles et 66 garçons. Le professeur choisit 33 élèves pour préparer un exposé.

  1. Combien de groupes différents peut-il former ?
  2. Combien de groupes ne contiennent que des garçons ?
  3. Combien de groupes contiennent exactement deux filles ?
  4. Combien de groupes contiennent au moins un garçon ?
  5. Combien de groupes contiennent au plus une fille ?
Voir la solution

Un groupe est une partie à 33 élèves parmi 1010 : l’ordre ne compte pas.

1. C103=120C_{10}^3=120. 2. C63=20C_6^3=20. 3. Deux filles et un garçon : C42×C61=6×6=36C_4^2\times C_6^1=6\times6=36.

4. Complémentaire : « aucun garçon » == « trois filles » : C43=4C_4^3=4. Donc 120−4=116120-4=116.

5. « au plus une fille » == « zéro fille » ou « une fille » (cas disjoints) : C63+C41C62=20+60=80C_6^3+C_4^1C_6^2=20+60=80.

Exercice 9 — Codes Facile ★★☆☆☆

On dispose des chiffres 11, 33, 44, 55, 77 et 88.

  1. Combien de codes de 33 chiffres deux à deux distincts peut-on former avec ces chiffres ?
  2. Combien de codes pairs de 44 chiffres (répétitions permises) peut-on former ?
  3. Combien de codes pairs de 33 chiffres deux à deux distincts peut-on former ?
Voir la solution

1. L’ordre compte, chiffres distincts : A63=120A_6^3=120.

2. Un code est pair si et seulement si son dernier chiffre est pair, donc égal à 44 ou 88 : 22 choix pour le dernier chiffre et 66 choix pour chacun des trois autres : 63×2=4326^3\times2=432.

3. Dernier chiffre : 22 choix (44 ou 88) ; puis les deux premiers chiffres, distincts entre eux et du dernier, parmi les 55 restants : A52=20A_5^2=20. Total : 2×20=402\times20=40.

Exercice 10 — Principe multiplicatif Facile ★☆☆☆☆

Une personne possède trois chemises, deux cravates et trois pantalons. Une tenue est formée d’une chemise, d’une cravate et d’un pantalon. Combien de tenues différentes peut-elle porter ?

Voir la solution

Principe multiplicatif : 3×2×3=183\times2\times3=18 tenues.

Exercice 11 — Principe multiplicatif Facile ★☆☆☆☆

Dans un restaurant d’entreprise, un repas se compose d’un plat et d’un dessert. Le menu propose deux plats et trois desserts. Combien de repas différents peut-on composer ?

Voir la solution

2×3=62\times3=6 repas.

Exercice 12 — Tirage simultané : événements Moyen ★★★☆☆

Un sac contient 66 boules blanches, 33 boules rouges et 44 boules noires. On tire simultanément 33 boules.

  1. Déterminer le nombre de tirages possibles.
  2. Déterminer le nombre de tirages réalisant chacun des événements suivants :
    • AA : « obtenir une boule de chaque couleur » ;
    • BB : « obtenir deux boules blanches et une boule noire » ;
    • CC : « obtenir trois boules noires » ;
    • DD : « obtenir trois boules blanches » ;
    • EE : « obtenir exactement une boule rouge » ;
    • FF : « n’obtenir aucune boule rouge » ;
    • GG : « obtenir au moins une boule rouge » ;
    • HH : « obtenir au moins deux boules blanches » ;
    • II : « obtenir au plus deux boules blanches » ;
    • KK : « les trois boules sont de la même couleur » ;
    • LL : « les boules tirées présentent exactement deux couleurs » ;
    • MM : « les trois boules ne sont pas toutes de la même couleur » ;
    • NN : « obtenir exactement deux boules noires » ;
    • RR : « obtenir au moins une boule blanche et au moins une boule noire » ;
    • SS : « les boules tirées présentent au plus deux couleurs ».
Voir la solution

1313 boules (66 B, 33 R, 44 N), tirage simultané.

1. C133=286C_{13}^3=286.

2.

  • AA : C61C31C41=72C_6^1C_3^1C_4^1=72.
  • BB : C62C41=15×4=60C_6^2C_4^1=15\times4=60.
  • CC : C43=4C_4^3=4. DD : C63=20C_6^3=20.
  • EE : une rouge et deux non rouges : C31C102=3×45=135C_3^1C_{10}^2=3\times45=135.
  • FF : trois non rouges : C103=120C_{10}^3=120. GG est le contraire de FF : 286−120=166286-120=166.
  • HH : deux blanches et une non blanche, ou trois blanches : C62C71+C63=105+20=125C_6^2C_7^1+C_6^3=105+20=125.
  • II est le contraire de DD : 286−20=266286-20=266.
  • KK : trois B ou trois R ou trois N : 20+1+4=2520+1+4=25.
  • LL : on retire les tirages unicolores (KK) et tricolores (AA) : 286−25−72=189286-25-72=189.
  • MM est le contraire de KK : 286−25=261286-25=261.
  • NN : C42C91=6×9=54C_4^2C_9^1=6\times9=54.
  • RR : on utilise Card⁡(X‾∪Y‾)=Card⁡X‾+Card⁡Y‾−Card⁡(X‾∩Y‾)\card(\overline{X}\cup\overline{Y})=\card\overline X+\card\overline Y-\card(\overline X\cap\overline Y) avec XX « au moins une blanche », YY « au moins une noire ». Sans blanche : C73=35C_7^3=35 ; sans noire : C93=84C_9^3=84 ; ni blanche ni noire : C33=1C_3^3=1. Donc Card⁡R=286−(35+84−1)=168\card R=286-(35+84-1)=168.
  • SS est le contraire de AA : 286−72=214286-72=214.

Exercice 13 — Podium Facile ★☆☆☆☆

Vingt athlètes prennent le départ d’un 15001500 m ; seules les trois premières places sont récompensées (or, argent, bronze). En supposant qu’il n’y a pas d’ex æquo, combien de podiums différents sont possibles ?

Voir la solution

Un podium est une liste ordonnée de 33 athlètes distincts : A203=20×19×18=6840A_{20}^3=20\times19\times18=6840.

Exercice 14 — Boules numérotées Facile ★☆☆☆☆

Une urne contient cinq boules numérotées de 11 à 55. On tire successivement trois boules et on note la suite des numéros obtenus. Combien de résultats sont possibles :

  1. si le tirage est effectué avec remise ?
  2. si le tirage est effectué sans remise ?
Voir la solution

1. Avec remise : 53=1255^3=125. 2. Sans remise : A53=60A_5^3=60.

Exercice 15 — Salle d’attente Facile ★☆☆☆☆

Quatre patients entrent dans une salle d’attente contenant dix chaises numérotées. De combien de façons peuvent-ils s’asseoir (une personne par chaise) ?

Voir la solution

À chaque patient on associe une chaise, deux patients ayant des chaises différentes : A104=5040A_{10}^4=5040.

Exercice 16 — Applications, permutations Facile ★★☆☆☆

  1. De combien de façons peut-on distribuer 44 romans différents à 44 lecteurs, sachant qu’un lecteur peut recevoir plusieurs romans (ou aucun) ?
  2. Combien de mots (ayant un sens ou non) peut-on écrire en utilisant une et une seule fois chacune des lettres du mot « MAISON » ?
  3. Soit n∈N∗n\in\N^*. Une urne contient nn boules numérotées de 11 à nn ; on les tire toutes, l’une après l’autre, sans remise. Combien de résultats (suites de numéros) sont possibles ?
Voir la solution

1. Une distribution est une application de l’ensemble des 44 romans dans l’ensemble des 44 lecteurs : 44=2564^4=256.

2. Les 66 lettres de « MAISON » sont distinctes : 6!=7206!=720 mots.

3. Un résultat est une permutation de {1;… ;n}\{1;\dots;n\} : n!n! résultats.

Exercice 17 — Anagrammes Facile ★★☆☆☆

Combien d’anagrammes (mots ayant un sens ou non obtenus en permutant les lettres) possède le mot « ANANAS » ? Même question pour le mot « CELLULE ».

Voir la solution

« ANANAS » : 66 lettres dont A trois fois, N deux fois, S une fois : 6!3! 2! 1!=60\frac{6!}{3!\,2!\,1!}=60.

« CELLULE » : 77 lettres dont L trois fois, E deux fois, C et U une fois : 7!3! 2!=420\frac{7!}{3!\,2!}=420.

Exercice 18 — Sommes de coefficients binomiaux Difficile ★★★★☆

Soit n∈N∗n\in\N^* et ff la fonction définie sur R\R par f(x)=(1+x)nf(x)=(1+x)^n.

  1. En utilisant ff, calculer les sommes S1=∑k=0nCnk\displaystyle S_1=\sum_{k=0}^nC_n^k, S2=∑k=0n(−1)kCnk\displaystyle S_2=\sum_{k=0}^n(-1)^kC_n^k et S3=∑k=0nk Cnk\displaystyle S_3=\sum_{k=0}^nk\,C_n^k.
  2. En déduire la valeur de S4=∑k=0n(k+1)Cnk\displaystyle S_4=\sum_{k=0}^n(k+1)C_n^k.
Voir la solution

1. D’après la formule du binôme, pour tout x∈Rx\in\R : f(x)=∑k=0nCnkxkf(x)=\sum_{k=0}^nC_n^kx^k.

  • S1=f(1)=2nS_1=f(1)=2^n.
  • S2=f(−1)=0n=0S_2=f(-1)=0^n=0 (car n≥1n\ge1).
  • ff est dérivable sur R\R (Ch. 11) : d’une part f′(x)=n(1+x)n−1f'(x)=n(1+x)^{n-1}, d’autre part f′(x)=∑k=1nk Cnkxk−1f'(x)=\sum_{k=1}^nk\,C_n^kx^{k-1}. Pour x=1x=1 : S3=∑k=0nk Cnk=f′(1)=n 2n−1S_3=\sum_{k=0}^nk\,C_n^k=f'(1)=n\,2^{n-1}.

2. Par linéarité : S4=S3+S1=n2n−1+2n=(n+2) 2n−1S_4=S_3+S_1=n2^{n-1}+2^n=(n+2)\,2^{n-1}.

Exercice 19 — Anagrammes avec contraintes Moyen ★★★☆☆

On forme des anagrammes du mot « PORTABLE » (mots ayant un sens ou non utilisant chacune des 88 lettres une fois).

  1. Combien y a-t-il d’anagrammes ?
  2. Combien se terminent par la lettre E ?
  3. Dans combien d’anagrammes la lettre T est-elle immédiatement suivie de la lettre A ?
  4. Combien ne commencent pas par la lettre B ?
  5. Dans combien d’anagrammes les lettres P et L sont-elles séparées par exactement deux lettres ?
Voir la solution

Les 88 lettres de « PORTABLE » sont distinctes.

1. 8!=40 3208!=40\,320. 2. La dernière lettre est imposée, on permute les 77 autres : 7!=50407!=5040.

3. On colle le bloc « TA », qu’on traite comme une seule lettre : on permute 77 objets : 7!=50407!=5040.

4. Complémentaire : 8!−7!=40 320−5040=35 2808!-7!=40\,320-5040=35\,280.

5. Si P et L sont séparées par exactement deux lettres, leurs positions sont ii et i+3i+3 avec 1≤i≤51\le i\le5 : 55 paires de positions, 22 ordres (P avant L ou L avant P), puis 6!6! façons de placer les 66 autres lettres : 5×2×720=72005\times2\times720=7200.

Exercice 20 — Équipes Moyen ★★★☆☆

Ilias et Rabab font partie d’une classe de 1818 élèves qui doit désigner une équipe de cinq élèves pour une compétition locale.

  1. Combien d’équipes sont possibles ?
  2. Combien d’équipes contiennent Ilias ?
  3. Ilias et Rabab refusent de faire partie de la même équipe : combien d’équipes sont alors possibles ?
  4. Combien d’équipes ne contiennent ni Ilias ni Rabab ?
Voir la solution

1. C185=8568C_{18}^5=8568. 2. Ilias est choisi ; on complète avec 44 élèves parmi les 1717 autres : C174=2380C_{17}^4=2380.

3. Complémentaire : équipes contenant Ilias et Rabab : C163=560C_{16}^3=560. Donc 8568−560=80088568-560=8008.

4. 55 élèves parmi les 1616 autres : C165=4368C_{16}^5=4368.

Exercice 21 — Deux urnes Moyen ★★★☆☆

L’urne UU contient trois boules rouges et une boule noire ; l’urne VV contient deux boules rouges et deux boules noires. On tire simultanément deux boules de UU, puis une boule de VV.

  1. Quel est le nombre de résultats possibles ?
  2. Déterminer le nombre de résultats permettant d’obtenir : a. trois boules de la même couleur ; b. exactement deux boules rouges.
Voir la solution

1. Principe multiplicatif : C42×C41=6×4=24C_4^2\times C_4^1=6\times4=24.

2. a. Trois noires est impossible (UU ne contient qu’une noire). Trois rouges : C32×C21=3×2=6C_3^2\times C_2^1=3\times2=6. Donc 66 résultats.

2. b. Cas 1 : deux rouges de UU et une noire de VV : C32×2=6C_3^2\times2=6. Cas 2 : une rouge et la noire de UU, une rouge de VV : 3×1×2=63\times1\times2=6. Les cas sont disjoints : 6+6=126+6=12.

Exercice 22 — Partie entière et cardinal Difficile ★★★★☆

On note E(x)E(x) la partie entière d’un réel xx.

  1. a. Soit n∈N∗n\in\N^*. Montrer que si n>12n>12 alors E(12n)=0E\left(\dfrac{12}n\right)=0. b. Déterminer le cardinal de l’ensemble {E(12n) ; n∈N∗}\left\{E\left(\dfrac{12}n\right)\ ;\ n\in\N^*\right\}.
  2. Soit n∈Nn\in\N. Déterminer le cardinal de l’ensemble En={(p;q)∈N2 / p+q=n}E_n=\left\{(p;q)\in\N^2\ /\ p+q=n\right\}.
Voir la solution

1. a. Raisonnement direct. Soit n∈N∗n\in\N^* tel que n>12n>12. Alors n>12>0⟹0<12n<1⟹E(12n)=0n>12>0\Longrightarrow0<\frac{12}n<1\Longrightarrow E\left(\frac{12}n\right)=0.

1. b. Pour n∈{1;… ;12}n\in\{1;\dots;12\}, E(12n)E\left(\frac{12}n\right) prend les valeurs 12,6,4,3,2,2,1,1,1,1,1,112,6,4,3,2,2,1,1,1,1,1,1 et, d’après a., la valeur 00 pour n>12n>12. L’ensemble est donc {0;1;2;3;4;6;12}\{0;1;2;3;4;6;12\}, de cardinal 77.

2. L’application φ:{0;1;… ;n}→En\varphi:\{0;1;\dots;n\}\to E_n, p↦(p;n−p)p\mapsto(p;n-p) est bien définie (si 0≤p≤n0\le p\le n, alors n−p∈Nn-p\in\N) et bijective : si (p;q)∈En(p;q)\in E_n, alors p≤np\le n et q=n−pq=n-p, donc (p;q)=φ(p)(p;q)=\varphi(p), et pp est unique. Ainsi Card⁡(En)=n+1\card(E_n)=n+1.

Quiz — testez-vous

20 questions tirées au hasard parmi 37.

← Retour aux chapitres 1BAC SM