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Chapitre 16 — Analytique de l’espace

Semestre 2

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Cours

Plan du chapitre. I. Coordonnées d’un point, coordonnées d’un vecteur — II. Colinéarité de deux vecteurs — III. Coplanarité de trois vecteurs (déterminant) — IV. Étude analytique d’une droite — V. Étude analytique d’un plan — VI. Positions relatives — Résumé.

Prérequis. Vecteurs de l’espace (Ch. 15), droites du plan, systèmes linéaires. Dans tout le chapitre, l’espace est muni d’un repère $(O;\vec i;\vec j;\vec k)$ (non nécessairement orthonormé).

I. Coordonnées d’un point — coordonnées d’un vecteur

1) Base et repère

Définition 1

Trois vecteurs non coplanaires $(\vec i;\vec j;\vec k)$ forment une base de l’ensemble $\mathcal V_3$ des vecteurs de l’espace ; avec un point $O$ , ils forment un repère $(O;\vec i;\vec j;\vec k)$ . Pour tout vecteur $\vec u$ , il existe un unique triplet $(x;y;z)\in\R^3$ tel que $\vec u=x\vec i+y\vec j+z\vec k$ : ce sont les coordonnées de $\vec u$ . Les coordonnées d’un point $M$ sont celles de $\overrightarrow{OM}$ .

2) Règles de calcul

Propriété 1

Soient $\vec u(x;y;z)$ , $\vec v(x';y';z')$ , $\alpha\in\R$ , $A(x_A;y_A;z_A)$ , $B(x_B;y_B;z_B)$ .

$\vec u+\vec v(x+x';y+y';z+z')$ , $\alpha\vec u(\alpha x;\alpha y;\alpha z)$ ; $\vec u=\vec v\iff x=x'$ , $y=y'$ et $z=z'$ .
$\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)$ ; le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(\frac{x_A+x_B}2;\frac{y_A+y_B}2;\frac{z_A+z_B}2\right)$ .

Exemple 1

Soient $A(1;0;2)$ et $B(3;-2;4)$ . Déterminer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et du milieu $I$ de $[AB]$ .

Voir la solution

$A(1;0;2)$ , $B(3;-2;4)$ : $\overrightarrow{AB}(2;-2;2)$ et le milieu de $[AB]$ est $I(2;-1;3)$ .

II. Colinéarité de deux vecteurs

Définition 2

Les déterminants extraits de $\vec u(x;y;z)$ et $\vec v(x';y';z')$ sont $\begin{vmatrix}x&x'\\y&y'\end{vmatrix}$ , $\begin{vmatrix}x&x'\\z&z'\end{vmatrix}$ , $\begin{vmatrix}y&y'\\z&z'\end{vmatrix}$ , où $\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}=ad-bc$ .

Propriété 2

$\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires $\iff$ leurs trois déterminants extraits sont nuls. En conséquence, $A$ , $B$ , $C$ sont alignés $\iff$ les déterminants extraits de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont tous nuls.

Exemple 2

Les vecteurs $\vec u(2;-1;3)$ et $\vec v(-4;2;-6)$ sont-ils colinéaires ?

Voir la solution

$\vec u(2;-1;3)$ et $\vec v(-4;2;-6)$ : les trois déterminants valent $2\times2-(-1)(-4)=0$ , $2(-6)-3(-4)=0$ , $(-1)(-6)-3\times2=0$ ; ils sont colinéaires ( $\vec v=-2\vec u$ ).

III. Coplanarité de trois vecteurs

Définition 3

Le déterminant de $\vec u(x;y;z)$ , $\vec v(x';y';z')$ , $\vec w(x'';y'';z'')$ est $\det(\vec u;\vec v;\vec w)=\begin{vmatrix}x&x'&x''\\y&y'&y''\\z&z'&z''\end{vmatrix}=x\begin{vmatrix}y'&y''\\z'&z''\end{vmatrix}-y\begin{vmatrix}x'&x''\\z'&z''\end{vmatrix}+z\begin{vmatrix}x'&x''\\y'&y''\end{vmatrix}.$

Propriété 3

$\vec u$ , $\vec v$ , $\vec w$ sont coplanaires $\iff\det(\vec u;\vec v;\vec w)=0$ . Quatre points $A,B,C,D$ sont coplanaires $\iff\det(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD})=0$ . Trois vecteurs forment une base $\iff$ leur déterminant est non nul.

Exemple 3

Montrer que les vecteurs $\vec i+\vec j$ , $\vec j+\vec k$ et $\vec i+\vec k$ forment une base.

Voir la solution

Pour $\vec i+\vec j$ , $\vec j+\vec k$ , $\vec i+\vec k$ : $\begin{vmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{vmatrix}=1(1-0)-1(0-1)+0=2\neq0$ : ces trois vecteurs forment une base.

IV. Étude analytique d’une droite

1) Représentation paramétrique

Propriété 4

La droite $D(A;\vec u)$ , avec $A(x_A;y_A;z_A)$ et $\vec u(a;b;c)\neq\vec0$ , a pour représentation paramétrique $\begin{cases}x=x_A+at\\y=y_A+bt\\z=z_A+ct\end{cases}$ $(t\in\R)$ .

2) Équations cartésiennes d’une droite

Propriété 5

En éliminant $t$ : si $abc\neq0$ , $D:\ \frac{x-x_A}a=\frac{y-y_A}b=\frac{z-z_A}c$ ; si $c=0$ et $ab\neq0$ , $D:\ \frac{x-x_A}a=\frac{y-y_A}b$ et $z=z_A$ ; si $a=b=0$ , $D:\ x=x_A$ et $y=y_A$ . Une droite est toujours définie par deux équations cartésiennes (intersection de deux plans).

Exemple 4

Donner une représentation paramétrique, puis un système d’équations cartésiennes, de la droite passant par $A(1;0;-2)$ et dirigée par $\vec u(2;-1;3)$ .

Voir la solution

La droite passant par $A(1;0;-2)$ dirigée par $\vec u(2;-1;3)$ : $x=1+2t$ , $y=-t$ , $z=-2+3t$ $(t\in\R)$ , soit $\frac{x-1}2=\frac{y}{-1}=\frac{z+2}3$ .

V. Étude analytique d’un plan

1) Représentation paramétrique

Propriété 6

Le plan $P(A;\vec u;\vec v)$ , avec $\vec u(a;b;c)$ et $\vec v(a';b';c')$ non colinéaires, a pour représentation paramétrique $x=x_A+a\alpha+a'\beta$ , $y=y_A+b\alpha+b'\beta$ , $z=z_A+c\alpha+c'\beta$ $((\alpha;\beta)\in\R^2)$ .

2) Équation cartésienne

Théorème 1

$M(x;y;z)\in P(A;\vec u;\vec v)\iff\det(\overrightarrow{AM};\vec u;\vec v)=0$ . En développant, tout plan a une équation de la forme $\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta=0$ avec $(\alpha;\beta;\gamma)\neq(0;0;0)$ ; réciproquement, une telle équation définit un plan. Le vecteur $\vec w(p;q;r)$ est un vecteur du plan (directeur) $\iff\alpha p+\beta q+\gamma r=0$ .

Exemple 5

Déterminer une équation cartésienne du plan passant par $A(1;0;0)$ et dirigé par $\vec u(1;1;0)$ et $\vec v(0;1;1)$ .

Voir la solution

Plan passant par $A(1;0;0)$ dirigé par $\vec u(1;1;0)$ et $\vec v(0;1;1)$ : $\begin{vmatrix}x-1&1&0\\y&1&1\\z&0&1\end{vmatrix}=(x-1)-y+z=0$ , soit $x-y+z-1=0$ .

VI. Positions relatives

1) Deux droites

Propriété 7

Soient $D(A;\vec u)$ et $D'(B;\vec v)$ . Si $\vec u,\vec v$ colinéaires : $D$ et $D'$ sont confondues si $A\in D'$ , strictement parallèles sinon. Si $\vec u,\vec v$ non colinéaires : elles sont sécantes si $\det(\overrightarrow{AB};\vec u;\vec v)=0$ , non coplanaires sinon.

2) Une droite et un plan

Propriété 8

Soient $D(A;\vec u)$ et $P(B;\vec v;\vec w)$ . Si $\det(\vec u;\vec v;\vec w)\neq0$ , $D$ et $P$ sont sécants en un point ; si $\det(\vec u;\vec v;\vec w)=0$ , $D$ est parallèle à $P$ : $D\subset P$ si $A\in P$ , $D\cap P=\varnothing$ sinon. Avec une équation $\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta=0$ de $P$ : $D\parallel P\iff\alpha a+\beta b+\gamma c=0$ .

3) Deux plans

Propriété 9

$P:\ ax+by+cz+d=0$ et $P':\ a'x+b'y+c'z+d'=0$ . Si $(a;b;c)$ et $(a';b';c')$ sont proportionnels, $P$ et $P'$ sont parallèles (confondus si $(a;b;c;d)$ et $(a';b';c';d')$ sont proportionnels, strictement parallèles sinon) ; sinon ils sont sécants suivant une droite.

Méthode

Pour l’intersection d’une droite (paramétrée) et d’un plan (équation cartésienne), on remplace $x,y,z$ par leurs expressions en $t$ : on obtient une équation du premier degré en $t$ . Pour l’intersection de deux plans sécants, on exprime deux inconnues en fonction de la troisième, prise comme paramètre.

Résumé

À retenir

Colinéarité : déterminants extraits nuls. Coplanarité : $\det=0$ . Droite : $1$ paramètre ou $2$ équations. Plan : $2$ paramètres ou $1$ équation $ax+by+cz+d=0$ . Positions relatives : par colinéarité des vecteurs directeurs et calcul de déterminants.

Série d’exercices

Remarque — méthodes utilisées

Colinéarité : trois déterminants extraits nuls ; il suffit d’un déterminant extrait non nul pour conclure à la non-colinéarité.
Coplanarité : $\det(\vec u;\vec v;\vec w)=0$ , développé selon la première colonne.
Positions relatives : on compare d’abord les vecteurs directeurs, puis on résout un système ; un système sans solution est une contradiction qui prouve l’absence de point commun.
Tous les résultats ont été contrôlés par calcul exact (Python/sympy, build/verif_lot4.py).

Cadre. Dans toute la série, l’espace est rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec i;\vec j;\vec k)$ . Les paramètres $t$ , $k$ , $\alpha$ , $\beta$ , $\alpha'$ , $\beta'$ décrivent $\R$ ; $m$ désigne un réel. Toute réponse doit être justifiée. Difficulté : de $\bigstar$ à $\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar$ .

Exercice 1 — Coordonnées Facile ★☆☆☆☆

On considère les points $A(3;-4;0)$ , $B(-5;2;4)$ et $C(1;4;-1)$ .

Placer les points $A$ , $B$ , $C$ dans le repère.
Déterminer les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ .
Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vec u=\overrightarrow{AB}$ , $\vec v=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ et $\vec w=\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}$ .
Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.

Voir la solution

1. Construction : on place le point de coordonnées $(x;y)$ dans le plan $(O;\vec i;\vec j)$ puis on se déplace de $z\vec k$ .

2. $I\left(\frac{3-5}2;\frac{-4+2}2;\frac{0+4}2\right)=I(-1;-1;2)$ .

3. $\vec u=\overrightarrow{AB}(-8;6;4)$ ; $\vec v(3-5;-4+2;0+4)=(-2;-2;4)$ ; $\overrightarrow{AC}(-2;8;-1)$ , $\overrightarrow{BC}(6;2;-5)$ , donc $\vec w(-8+4-6;\ 6-16-2;\ 4+2+5)=(-10;-12;11)$ .

4. $ABCD$ parallélogramme $\iff\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\iff D=A+\overrightarrow{BC}$ , soit $D(3+6;-4+2;0-5)=D(9;-2;-5)$ .

Exercice 2 — Colinéarité — alignement Facile ★★☆☆☆

Étudier la colinéarité de $\vec u$ et $\vec v$ dans chacun des cas : a. $\vec u(6;-1;-3)$ et $\vec v\left(-2;\frac13;1\right)$ ; b. $\vec u\left(2;-1;\frac12\right)$ et $\vec v\left(-1;\frac12;2\right)$ .
Étudier l’alignement des points $A$ , $B$ , $C$ dans chacun des cas : a. $A(1;2;3)$ , $B(2;0;-1)$ , $C\left(\frac32;1;1\right)$ ; b. $A(-1;1;1)$ , $B(0;-2;3)$ , $C(1;2;-1)$ ; c. $A(1;1;0)$ , $B(2;0;-1)$ , $C(3;-1;m)$ (discuter selon $m$ ).

Voir la solution

1. a. $\begin{vmatrix}6&-2\\-1&\frac13\end{vmatrix}=2-2=0$ , $\begin{vmatrix}6&-2\\-3&1\end{vmatrix}=6-6=0$ , $\begin{vmatrix}-1&\frac13\\-3&1\end{vmatrix}=-1+1=0$ : colinéaires ( $\vec u=-3\vec v$ ).

1. b. $\begin{vmatrix}-1&\frac12\\\frac12&2\end{vmatrix}=-2-\frac14=-\frac94\neq0$ : non colinéaires.

2. a. $\overrightarrow{AB}(1;-2;-4)$ , $\overrightarrow{AC}\left(\frac12;-1;-2\right)$ : $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AC}$ , donc $A$ , $B$ , $C$ alignés.

2. b. $\overrightarrow{AB}(1;-3;2)$ , $\overrightarrow{AC}(2;1;-2)$ : $\begin{vmatrix}1&2\\-3&1\end{vmatrix}=7\neq0$ : non alignés.

2. c. $\overrightarrow{AB}(1;-1;-1)$ , $\overrightarrow{AC}(2;-2;m)$ . Le premier déterminant extrait vaut $-2+2=0$ ; les deux autres valent $m+2$ et $-m-2$ . Donc $A,B,C$ alignés $\iff m+2=0\iff m=-2$ .

Exercice 3 — Coplanarité Facile ★★☆☆☆

Étudier la coplanarité de $\vec u$ , $\vec v$ , $\vec w$ dans chacun des cas : a. $\vec u(2;1;0)$ , $\vec v(1;0;-1)$ , $\vec w(0;1;2)$ ; b. $\vec u(1;0;1)$ , $\vec v(2;4;1)$ , $\vec w(2;1;-1)$ .
Étudier la coplanarité des points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ dans chacun des cas : a. $A(1;1;1)$ , $B(1;-3;4)$ , $C(2;5;1)$ , $D(-1;2;3)$ ; b. $A(2;-4;-1)$ , $B(-3;-1;1)$ , $C(0;-2;-1)$ , $D(1;-2;2)$ ; c. $A(m;1;-1)$ , $B(-3;-1;0)$ , $C(3;-3;1)$ , $D(0;1;2)$ (discuter selon $m$ ).

Voir la solution

1. a. $\begin{vmatrix}2&1&0\\1&0&1\\0&-1&2\end{vmatrix}=2(0+1)-1(2-0)+0=0$ : coplanaires (d’ailleurs $\vec w=\vec u-2\vec v$ ).

1. b. $\begin{vmatrix}1&2&2\\0&4&1\\1&1&-1\end{vmatrix}=1(-4-1)-0+1(2-8)=-11\neq0$ : non coplanaires.

2. a. $\overrightarrow{AB}(0;-4;3)$ , $\overrightarrow{AC}(1;4;0)$ , $\overrightarrow{AD}(-2;1;2)$ : $\det=35\neq0$ : non coplanaires.

2. b. $\overrightarrow{AB}(-5;3;2)$ , $\overrightarrow{AC}(-2;2;0)$ , $\overrightarrow{AD}(-1;2;3)$ : $\det=-16\neq0$ : non coplanaires.

2. c. $\overrightarrow{AB}(-3-m;-2;1)$ , $\overrightarrow{AC}(3-m;-4;2)$ , $\overrightarrow{AD}(-m;0;3)$ ; en développant : $\det=6m+54=6(m+9)$ . Donc $A,B,C,D$ coplanaires $\iff m=-9$ .

Exercice 4 — Représentation paramétrique et équations cartésiennes d’une droite Facile ★★☆☆☆

Donner une représentation paramétrique et un système de deux équations cartésiennes de la droite $(D)$ dans chacun des cas :

$(D)$ passe par $A(2;3;1)$ et est dirigée par $\vec v(1;2;-1)$ ;
$(D)$ passe par $A(1;-1;0)$ et $B(1;2;3)$ ;
$(D)$ passe par $A(2;3;1)$ et est parallèle à $(\Delta):\ x=-2+3t$ , $y=2t$ , $z=1$ $(t\in\R)$ .

Voir la solution

1. $x=2+t$ , $y=3+2t$ , $z=1-t$ $(t\in\R)$ ; en éliminant $t$ : $\frac{x-2}1=\frac{y-3}2=\frac{z-1}{-1}$ , soit $2x-y-1=0$ et $x+z-3=0$ .

2. $\overrightarrow{AB}(0;3;3)$ dirige $(D)$ ; on prend $\vec v(0;1;1)$ : $x=1$ , $y=-1+t$ , $z=t$ $(t\in\R)$ ; équations : $x=1$ et $y-z+1=0$ .

3. $(\Delta)$ est dirigée par $(3;2;0)$ : $x=2+3t$ , $y=3+2t$ , $z=1$ ; équations : $\frac{x-2}3=\frac{y-3}2$ et $z=1$ , soit $2x-3y+5=0$ et $z=1$ .

Exercice 5 — Positions relatives de deux droites Moyen ★★★☆☆

Étudier la position relative des droites $(D)$ et $(D')$ (et préciser leur intersection éventuelle) :

$(D):\ x=1-t,\ y=2+t,\ z=3t$ $(t\in\R)$ et $(D'):\ x=-1+2k,\ y=-k,\ z=3+k$ $(k\in\R)$ ;
$(D):\ \frac{x-3}2=\frac{y+2}2=z-1$ et $(D'):\ \frac{x+2}4=\frac{y-2}4=\frac z2$ ;
$(D):\ x=1-t,\ y=2,\ z=3+2t$ $(t\in\R)$ et $(D'):\ x-y+3=0$ et $21x+14y-z=0$ ;
$(D):\ x-y=0$ et $3x-z-2=0$ ; $(D'):\ x-z+1=0$ et $y+1=0$ ;
$(D):\ \frac{x+1}3=\frac{z+3}2$ et $y=-1$ ; $(D'):\ \frac{x-1}2=y+1=\frac{z+2}3$ .

Voir la solution

1. $\vec u(-1;1;3)$ , $\vec v(2;-1;1)$ non colinéaires ( $\begin{vmatrix}-1&2\\1&-1\end{vmatrix}=-1\neq0$ ). Avec $A(1;2;0)$ , $B(-1;0;3)$ : $\det(\overrightarrow{AB};\vec u;\vec v)=-25\neq0$ : $(D)$ et $(D')$ ne sont pas coplanaires.

2. $(D)$ : $A(3;-2;1)$ , $\vec u(2;2;1)$ ; $(D')$ : $B(-2;2;0)$ , $\vec v(4;4;2)=2\vec u$ : parallèles. $B\in(D)$ ? $\frac{-2-3}2=-\frac52$ et $\frac{2+2}2=2$ : différents, donc $B\notin(D)$ : strictement parallèles.

3. $(D')$ : on cherche un vecteur $(p;q;r)$ vérifiant $p-q=0$ et $21p+14q-r=0$ : $\vec v(1;1;35)$ , et $B(0;3;42)\in(D')$ . $\vec u(-1;0;2)$ et $\vec v$ non colinéaires. On remplace la paramétrisation de $(D)$ dans les équations de $(D')$ : $(1-t)-2+3=0\iff t=2$ , et $21(1-t)+28-(3+2t)=46-23t=0\iff t=2$ . Les deux équations sont compatibles : sécantes au point $(-1;2;7)$ .

4. $(D)$ : $x=t$ , $y=t$ , $z=3t-2$ (vecteur $(1;1;3)$ ) ; $(D')$ : $x=k$ , $y=-1$ , $z=k+1$ (vecteur $(1;0;1)$ ), non colinéaires. Un point commun vérifierait $t=k$ , $t=-1$ , $3t-2=k+1$ , soit $-5=0$ : contradiction. Pas de point commun et non parallèles : non coplanaires (contrôle : $\det=-5\neq0$ ).

5. $(D)$ : $A(-1;-1;-3)$ , $\vec u(3;0;2)$ ; $(D')$ : $B(1;-1;-2)$ , $\vec v(2;1;3)$ non colinéaires ; $\det(\overrightarrow{AB};\vec u;\vec v)=-1\neq0$ : non coplanaires.

Exercice 6 — Équation cartésienne et représentation paramétrique d’un plan Moyen ★★★☆☆

Déterminer une équation cartésienne du plan $(P)$ passant par $A$ et dirigé par $\vec u$ et $\vec v$ : a. $A(-1;3;4)$ , $\vec u(-1;0;1)$ , $\vec v(3;-4;2)$ ; b. $A(0;2;1)$ , $\vec u=\vec i$ , $\vec v=\vec k$ ; c. $A(0;-1;0)$ , $\vec u=\vec i+\vec j$ , $\vec v=\vec i-\vec j-\vec k$ .
Déterminer une équation cartésienne et une représentation paramétrique du plan $(ABC)$ : a. $A(0;2;1)$ , $B(1;-1;1)$ , $C(-3;1;0)$ ; b. $A(0;0;1)$ , $B\left(-1;\frac12;0\right)$ , $C\left(\frac12;1;\frac12\right)$ .
Déterminer une équation cartésienne du plan contenant les droites $(D):\ x=1+3t,\ y=2+2t,\ z=-3-2t$ $(t\in\R)$ et $(D'):\ x=-2+3\beta,\ y=-1+2\beta,\ z=3-2\beta$ $(\beta\in\R)$ , après avoir justifié qu’il existe.
Déterminer une équation cartésienne du plan passant par $A(2;2;1)$ et contenant la droite $x=1+2t,\ y=2-3t,\ z=-3+2t$ $(t\in\R)$ .

Voir la solution

1. a. $\det(\overrightarrow{AM};\vec u;\vec v)=\begin{vmatrix}x+1&-1&3\\y-3&0&-4\\z-4&1&2\end{vmatrix}=4(x+1)+5(y-3)+4(z-4)$ , d’où $(P):\ 4x+5y+4z-27=0$ .

1. b. $(P)$ contient $A$ et est dirigé par $\vec i,\vec k$ : $(P):\ y=2$ .

1. c. $\begin{vmatrix}x&1&1\\y+1&1&-1\\z&0&-1\end{vmatrix}=-x+(y+1)-2z$ : $(P):\ x-y+2z-1=0$ .

2. a. $\overrightarrow{AB}(1;-3;0)$ , $\overrightarrow{AC}(-3;-1;-1)$ : $(ABC):\ 3x+y-10z+8=0$ ; représentation : $x=\alpha-3\beta$ , $y=2-3\alpha-\beta$ , $z=1-\beta$ $((\alpha;\beta)\in\R^2)$ .

2. b. $\overrightarrow{AB}\left(-1;\frac12;-1\right)$ , $\overrightarrow{AC}\left(\frac12;1;-\frac12\right)$ : $(ABC):\ 3x-4y-5z+5=0$ ; représentation : $x=-\alpha+\frac12\beta$ , $y=\frac12\alpha+\beta$ , $z=1-\alpha-\frac12\beta$ .

3. Les deux droites sont dirigées par $\vec u(3;2;-2)$ : elles sont parallèles, et $B(-2;-1;3)\notin(D)$ ( $t=-1$ par $x$ donne $y=0\neq-1$ ). Deux droites strictement parallèles définissent un unique plan, dirigé par $\vec u$ et $\overrightarrow{AB}(-3;-3;6)$ avec $A(1;2;-3)$ : $(P):\ 2x-4y-z+3=0$ .

4. La droite passe par $B(1;2;-3)$ , dirigée par $\vec u(2;-3;2)$ ; $\overrightarrow{AB}(-1;0;-4)$ non colinéaire à $\vec u$ ( $A$ hors de la droite). Plan $P(A;\vec u;\overrightarrow{AB})$ : $4x+2y-z-11=0$ .

Exercice 7 — Position relative d’une droite et d’un plan Moyen ★★★☆☆

Étudier la position relative de $(D)$ et $(P)$ : a. $(D):\ x=1+3t,\ y=-1+t,\ z=2+t$ $(t\in\R)$ et $(P):\ x=3+\alpha+2\beta,\ y=-1+2\alpha+\beta,\ z=2+3\alpha+\beta$ $((\alpha;\beta)\in\R^2)$ ; b. $(D):\ x-y+1=0$ et $2x-z+1=0$ ; $(P):\ 3x+y-z+5=0$ ; c. $(D):\ \frac{x-1}2=\frac{y+1}1=\frac{z+2}4$ et $(P):\ x=3+\alpha+\beta,\ y=-1+\alpha-2\beta,\ z=1+\alpha+3\beta$ $((\alpha;\beta)\in\R^2)$ .
a. Déterminer une équation cartésienne du plan $(P)$ passant par $A(-1;0;3)$ et contenant la droite $(D):\ \frac{x+1}3=y-2=\frac{z-1}3$ . b. Étudier l’intersection de $(P)$ et de $(\Delta):\ x=1-2t,\ y=3,\ z=4+t$ $(t\in\R)$ .

Voir la solution

1. a. $\det\big((3;1;1);(1;2;3);(2;1;1)\big)=3(2-3)-1(1-6)+1(1-4)=-1\neq0$ : sécants. En résolvant $1+3t=3+\alpha+2\beta$ , $-1+t=-1+2\alpha+\beta$ , $2+t=2+3\alpha+\beta$ , on trouve $\alpha=0$ , $\beta=2$ , $t=2$ : point $(7;1;4)$ .

1. b. $(D)$ : $y=x+1$ , $z=2x+1$ ; vecteur $(1;1;2)$ ; $\vec n(3;1;-1)$ : $3+1-2=2\neq0$ : sécants. $3x+(x+1)-(2x+1)+5=0\iff x=-\frac52$ : point $\left(-\frac52;-\frac32;-4\right)$ .

1. c. $\det\big((2;1;4);(1;1;1);(1;-2;3)\big)=-4\neq0$ : sécants, en $t=-\frac14$ : point $\left(\frac12;-\frac54;-3\right)$ .

2. a. $(D)$ passe par $B(-1;2;1)$ , dirigée par $\vec u(3;1;3)$ ; $\overrightarrow{AB}(0;2;-2)$ . $(P)=P(A;\vec u;\overrightarrow{AB}):\ 4x-3y-3z+13=0$ .

2. b. $4(1-2t)-9-3(4+t)+13=0\iff-4-11t=0\iff t=-\frac4{11}$ : $(P)\cap(\Delta)=\left\{\left(\frac{19}{11};3;\frac{40}{11}\right)\right\}$ .

Exercice 8 — Positions relatives de deux plans Moyen ★★★☆☆

Étudier la position relative des plans $(P)$ et $(Q)$ ; s’ils sont sécants, donner une représentation paramétrique de leur droite d’intersection.

$(P):\ 2x-y+z+1=0$ et $(Q):\ x+2y+z=0$ ;
$(P):\ 4x-2y+2z-1=0$ et $(Q):\ -2x+y-z+1=0$ ;
$(P):\ \sqrt2x-\sqrt3y+z-2\sqrt2=0$ et $(Q):\ -2x+\sqrt6y-\sqrt2z+4=0$ ;
$(P):\ x+y-z+1=0$ et $(Q):\ 3x-y-2z-2=0$ ;
$(P):\ -2x+2y+z+1=0$ et $(Q):\ x=1+2\alpha-\beta,\ y=-2-\alpha,\ z=\alpha+\beta$ $((\alpha;\beta)\in\R^2)$ ;
$(P):\ x=5+5\beta',\ y=3+\alpha'+\beta',\ z=2+\alpha'+3\beta'$ et $(Q):\ x=1+2\alpha+\beta,\ y=2+\alpha+\beta,\ z=-1-\beta$ .

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1. $(2;-1;1)$ et $(1;2;1)$ non proportionnels : sécants. En posant $z=5t$ : $x=-\frac25-3t$ , $y=\frac15-t$ , $z=5t$ $(t\in\R)$ .

2. $(4;-2;2)=-2(-2;1;-1)$ mais $-1\neq-2\times1$ : strictement parallèles.

3. $(Q)$ est obtenue en multipliant l’équation de $(P)$ par $-\sqrt2$ (y compris le terme constant : $-\sqrt2\times(-2\sqrt2)=4$ ) : confondus.

4. Sécants ; $x=\frac14+3t$ , $y=-\frac54+t$ , $z=4t$ $(t\in\R)$ .

5. $(Q)=P\big((1;-2;0);(2;-1;1);(-1;0;1)\big)$ a pour équation $x+3y+z+5=0$ ; $(-2;2;1)$ et $(1;3;1)$ non proportionnels : sécants. $x=-\frac78+t$ , $y=-\frac{11}8-3t$ , $z=8t$ $(t\in\R)$ .

6. $(P):\ 2x+5y-5z-15=0$ , $(Q):\ x-2y-z+2=0$ ; non proportionnels : sécants. $x=\frac{20}9+5t$ , $y=\frac{19}9+t$ , $z=3t$ $(t\in\R)$ .

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