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Chapitre 9 — Trigonométrie 1

Semestre 1

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Cours

Plan du chapitre. I. Le radian et le cercle trigonométrique — II. Angles orientés de deux vecteurs — III. Lignes trigonométriques d’un réel — IV. Relations trigonométriques.

Dans tout le chapitre, le plan est muni d’un repère orthonormé (O;ı⃗;ȷ⃗)(O;\vec\imath;\vec\jmath) ; xx et yy désignent des nombres réels.

I. Le radian et le cercle trigonométrique

1. Le radian

Définition 1

On considère un cercle de centre OO et de rayon 11. Le radian (rad) est la mesure d’un angle géométrique de sommet OO qui intercepte sur ce cercle un arc de longueur 11.

Propriété 1 : Conversions

Un angle plat mesure 180∘180^\circ, π\pi rad et 200200 grades. Si un angle mesure DD degrés, RR radians et GG grades, alors D180=Rπ=G200.\frac{D}{180}=\frac R\pi=\frac G{200}.

Exemple 1

Calculer la mesure en radians et en grades d’un angle de 60∘60^\circ, puis la mesure en degrés et en grades d’un angle de 3π4\dfrac{3\pi}4 rad.

Voir la solution

60∘=π360^\circ=\dfrac\pi3 rad =2003=\dfrac{200}3 gr ;  3π4\ \dfrac{3\pi}4 rad =135∘=150=135^\circ=150 gr.

Remarque

Sur un cercle de rayon rr, un angle au centre de θ\theta radians intercepte un arc de longueur rθr\theta et délimite un secteur d’aire 12r2θ\dfrac12r^2\theta.

2. Cercle trigonométrique

Définition 2

On note I(1;0)I(1;0) et J(0;1)J(0;1). Le cercle trigonométrique est le cercle (C)(\mathcal C) de centre OO, de rayon 11, orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d’une montre), avec l’origine II.

3. Abscisses curvilignes

Définition 3

On considère un point MM de (C)(\mathcal C). Si xx est la longueur (comptée positivement dans le sens direct, négativement sinon) d’un arc allant de II à MM, on dit que xx est une abscisse curviligne de MM.

  • Si xx est une abscisse curviligne de MM, les abscisses curvilignes de MM sont les réels x+2kπx+2k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}.
  • Une seule appartient à l’intervalle ]−π;π]]-\pi;\pi] : c’est l’abscisse curviligne principale de MM.

Définition 4 : Congruence modulo 2π2\pi

On dit que xx et yy sont congrus modulo 2π2\pi, et on note x≡y [2π]x\equiv y\ [2\pi], s’il existe k∈Zk\in\mathbb{Z} tel que x−y=2kπx-y=2k\pi.

Exemple 2

Déterminer l’abscisse curviligne principale du point MM d’abscisse curviligne 29π6\dfrac{29\pi}6.

Voir la solution

29π6=29π6−4π+4π=5π6+2×2π\dfrac{29\pi}6=\dfrac{29\pi}6-4\pi+4\pi=\dfrac{5\pi}6+2\times2\pi, et 5π6∈ ]−π;π]\dfrac{5\pi}6\in\,]-\pi;\pi]. L’abscisse curviligne principale est 5π6\dfrac{5\pi}6.

Méthode

Pour trouver l’abscisse principale de pπq\dfrac{p\pi}q : on écrit pq\dfrac pq sous la forme 2k+r2k+r avec −1<r≤1-1<r\le1 (on enlève le plus proche multiple pair de π\pi).

II. Angles orientés de deux vecteurs

1. Définition

Définition 5

On considère deux vecteurs non nuls u⃗\vec u et v⃗\vec v, et les points MM et NN de (C)(\mathcal C) tels que OM→\overrightarrow{OM} et ON→\overrightarrow{ON} soient de même sens que u⃗\vec u et v⃗\vec v. Si xx et yy sont des abscisses curvilignes de MM et NN, on dit que y−xy-x est une mesure de l’angle orienté (u⃗;v⃗)(\vec u;\vec v).

  • Les mesures de (u⃗;v⃗)(\vec u;\vec v) sont les réels y−x+2kπy-x+2k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z} ; on note (u⃗;v⃗^)≡y−x [2π](\widehat{\vec u;\vec v})\equiv y-x\ [2\pi].
  • La mesure appartenant à ]−π;π]]-\pi;\pi] est la mesure principale de (u⃗;v⃗)(\vec u;\vec v).

2. Propriétés

Propriété 2

Pour tous vecteurs non nuls u⃗\vec u, v⃗\vec v, w⃗\vec w :

  • (u⃗;u⃗^)≡0 [2π](\widehat{\vec u;\vec u})\equiv0\ [2\pi] et (u⃗;−u⃗^)≡π [2π](\widehat{\vec u;-\vec u})\equiv\pi\ [2\pi] ;
  • (v⃗;u⃗^)≡−(u⃗;v⃗^) [2π](\widehat{\vec v;\vec u})\equiv-(\widehat{\vec u;\vec v})\ [2\pi] ;
  • relation de Chasles : (u⃗;v⃗^)+(v⃗;w⃗^)≡(u⃗;w⃗^) [2π](\widehat{\vec u;\vec v})+(\widehat{\vec v;\vec w})\equiv(\widehat{\vec u;\vec w})\ [2\pi] ;
  • (−u⃗;v⃗^)≡(u⃗;−v⃗^)≡(u⃗;v⃗^)+π [2π](\widehat{-\vec u;\vec v})\equiv(\widehat{\vec u;-\vec v})\equiv(\widehat{\vec u;\vec v})+\pi\ [2\pi] et (−u⃗;−v⃗^)≡(u⃗;v⃗^) [2π](\widehat{-\vec u;-\vec v})\equiv(\widehat{\vec u;\vec v})\ [2\pi] ;
  • pour tous réels aa, bb strictement positifs : (au⃗;bv⃗^)≡(u⃗;v⃗^) [2π](\widehat{a\vec u;b\vec v})\equiv(\widehat{\vec u;\vec v})\ [2\pi].

Application 1

On considère deux vecteurs non nuls u⃗\vec u et v⃗\vec v tels que (u⃗;v⃗^)≡π6 [2π](\widehat{\vec u;\vec v})\equiv\dfrac{\pi}6\ [2\pi]. Déterminer la mesure principale de (v⃗;u⃗^)(\widehat{\vec v;\vec u}), (3u⃗;−v⃗^)(\widehat{3\vec u;-\vec v}) et (−v⃗;−2u⃗^)(\widehat{-\vec v;-2\vec u}).

Voir la solution
  • (v⃗;u⃗^)≡−π6 [2π](\widehat{\vec v;\vec u})\equiv-\dfrac\pi6\ [2\pi] : mesure principale −π6-\dfrac\pi6.
  • (3u⃗;−v⃗^)≡π6+π=7π6≡−5π6 [2π](\widehat{3\vec u;-\vec v})\equiv\dfrac\pi6+\pi=\dfrac{7\pi}6\equiv-\dfrac{5\pi}6\ [2\pi] : mesure principale −5π6-\dfrac{5\pi}6.
  • (−v⃗;−2u⃗^)≡(v⃗;u⃗^)≡−π6 [2π](\widehat{-\vec v;-2\vec u})\equiv(\widehat{\vec v;\vec u})\equiv-\dfrac\pi6\ [2\pi].

III. Lignes trigonométriques d’un réel

1. Cosinus et sinus

Définition 6

On considère un réel xx et le point MM de (C)(\mathcal C) d’abscisse curviligne xx. Le cosinus et le sinus de xx sont respectivement l’abscisse et l’ordonnée de MM : M(cos⁡x;sin⁡x).M(\cos x;\sin x).

Figure

Propriété 3

Pour tout réel xx et tout entier relatif kk :

  • −1≤cos⁡x≤1-1\le\cos x\le1 et −1≤sin⁡x≤1-1\le\sin x\le1 ;
  • cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2x+\sin^2x=1 ;
  • cos⁡(x+2kπ)=cos⁡x\cos(x+2k\pi)=\cos x et sin⁡(x+2kπ)=sin⁡x\sin(x+2k\pi)=\sin x.

2. Tangente

Définition 7

Pour tout réel xx tel que cos⁡x≠0\cos x\neq0 (c’est-à-dire x≠π2+kπx\neq\dfrac\pi2+k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}), la tangente de xx est tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}.

Propriété 4

Pour tout réel xx tel que cos⁡x≠0\cos x\neq0 :  1+tan⁡2x=1cos⁡2x\ 1+\tan^2x=\dfrac1{\cos^2x} et tan⁡(x+kπ)=tan⁡x\tan(x+k\pi)=\tan x pour tout k∈Zk\in\mathbb{Z}.

3. Valeurs remarquables

xx00π6\frac\pi6π4\frac\pi4π3\frac\pi3π2\frac\pi2
cos⁡x\cos x1132\frac{\sqrt3}222\frac{\sqrt2}212\frac1200
sin⁡x\sin x0012\frac1222\frac{\sqrt2}232\frac{\sqrt3}211
tan⁡x\tan x0033\frac{\sqrt3}3113\sqrt3non défini
Figure

IV. Relations trigonométriques

1. Angles associés

Propriété 5

Pour tout réel xx :

−x-xπ−x\pi-xπ+x\pi+xπ2−x\frac\pi2-xπ2+x\frac\pi2+x
cos⁡\coscos⁡x\cos x−cos⁡x-\cos x−cos⁡x-\cos xsin⁡x\sin x−sin⁡x-\sin x
sin⁡\sin−sin⁡x-\sin xsin⁡x\sin x−sin⁡x-\sin xcos⁡x\cos xcos⁡x\cos x

Lorsque les tangentes sont définies : tan⁡(−x)=−tan⁡x\tan(-x)=-\tan x, tan⁡(π−x)=−tan⁡x\tan(\pi-x)=-\tan x, tan⁡(π+x)=tan⁡x\tan(\pi+x)=\tan x et tan⁡(π2−x)=1tan⁡x\tan\left(\dfrac\pi2-x\right)=\dfrac1{\tan x}.

Exemple 3

Calculer cos⁡5π6\cos\dfrac{5\pi}6, sin⁡(−2π3)\sin\left(-\dfrac{2\pi}3\right) et tan⁡7π4\tan\dfrac{7\pi}4.

Voir la solution
  • cos⁡5π6=cos⁡(π−π6)=−cos⁡π6=−32\cos\dfrac{5\pi}6=\cos\left(\pi-\dfrac\pi6\right)=-\cos\dfrac\pi6=-\dfrac{\sqrt3}2.
  • sin⁡(−2π3)=−sin⁡(π−π3)=−sin⁡π3=−32\sin\left(-\dfrac{2\pi}3\right)=-\sin\left(\pi-\dfrac\pi3\right)=-\sin\dfrac\pi3=-\dfrac{\sqrt3}2.
  • tan⁡7π4=tan⁡(−π4+2π)=tan⁡(−π4)=−1\tan\dfrac{7\pi}4=\tan\left(-\dfrac\pi4+2\pi\right)=\tan\left(-\dfrac\pi4\right)=-1.

2. Calculer une ligne à partir d’une autre

Application 2

On considère un réel xx de l’intervalle ]π2;π[\left]\dfrac\pi2;\pi\right[ tel que sin⁡x=35\sin x=\dfrac35. Calculer cos⁡x\cos x et tan⁡x\tan x.

Voir la solution

cos⁡2x=1−sin⁡2x=1−925=1625\cos^2x=1-\sin^2x=1-\dfrac9{25}=\dfrac{16}{25}. Comme x∈]π2;π[x\in\left]\dfrac\pi2;\pi\right[, le point MM est dans le deuxième quadrant et cos⁡x<0\cos x<0 : cos⁡x=−45\cos x=-\dfrac45. Puis tan⁡x=3/5−4/5=−34\tan x=\dfrac{3/5}{-4/5}=-\dfrac34.

Application 3

Simplifier A=cos⁡(π−x)+sin⁡(π2+x)+sin⁡(3π+x)−cos⁡(π2−x)A=\cos(\pi-x)+\sin\left(\dfrac\pi2+x\right)+\sin(3\pi+x)-\cos\left(\dfrac\pi2-x\right).

Voir la solution

cos⁡(π−x)=−cos⁡x\cos(\pi-x)=-\cos x ; sin⁡(π2+x)=cos⁡x\sin\left(\frac\pi2+x\right)=\cos x ; sin⁡(3π+x)=sin⁡(π+x)=−sin⁡x\sin(3\pi+x)=\sin(\pi+x)=-\sin x ; cos⁡(π2−x)=sin⁡x\cos\left(\frac\pi2-x\right)=\sin x. Donc A=−2sin⁡xA=-2\sin x.

À retenir — l’essentiel du chapitre

  • D180=Rπ=G200\frac D{180}=\frac R\pi=\frac G{200} ; abscisse principale dans ]−π;π]]-\pi;\pi] ; x≡y [2π]  ⟺  x−y=2kπx\equiv y\ [2\pi]\iff x-y=2k\pi.
  • Chasles : (u⃗;v⃗^)+(v⃗;w⃗^)≡(u⃗;w⃗^) [2π](\widehat{\vec u;\vec v})+(\widehat{\vec v;\vec w})\equiv(\widehat{\vec u;\vec w})\ [2\pi].
  • cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2x+\sin^2x=1 ; 1+tan⁡2x=1cos⁡2x1+\tan^2x=\frac1{\cos^2x} ; angles associés : tableau du IV.

Série d’exercices

Exercice 1 — Cercle trigonométrique Facile ★☆☆☆☆

Placer sur le cercle trigonométrique les points dont les abscisses curvilignes sont : π ; 2π3 ; −π4 ; 5π6 ; −π2 ; 7π6 ; 11π3 ; 17π4 ; 23π6 ; −15π2.\pi\ ;\ \frac{2\pi}3\ ;\ -\frac\pi4\ ;\ \frac{5\pi}6\ ;\ -\frac\pi2\ ;\ \frac{7\pi}6\ ;\ \frac{11\pi}3\ ;\ \frac{17\pi}4\ ;\ \frac{23\pi}6\ ;\ -\frac{15\pi}2.

Voir la solution

On ramène chaque abscisse à sa valeur principale, puis on place le point :

  • π\pi ;  2π3\ \frac{2\pi}3 ;  −π4\ -\frac\pi4 ;  5π6\ \frac{5\pi}6 ;  −π2\ -\frac\pi2 (déjà principales) ;
  • 7π6≡−5π6\frac{7\pi}6\equiv-\frac{5\pi}6 ;  11π3≡−π3\ \frac{11\pi}3\equiv-\frac\pi3 ;  17π4≡π4\ \frac{17\pi}4\equiv\frac\pi4 ;  23π6≡−π6\ \frac{23\pi}6\equiv-\frac\pi6 ;  −15π2≡π2\ -\frac{15\pi}2\equiv\frac\pi2  [2π]\ [2\pi].
Figure

Exercice 2 — Abscisse curviligne principale Facile ★☆☆☆☆

On considère un point MM du cercle trigonométrique d’abscisse curviligne xx. Déterminer l’abscisse curviligne principale de MM dans chacun des cas :

  1. x=37π6x=\dfrac{37\pi}6.
  2. x=−125π4x=-\dfrac{125\pi}4.
  3. x=19πx=19\pi.
  4. x=103π3x=\dfrac{103\pi}3.
  5. x=−47π5x=-\dfrac{47\pi}5.
  6. x=89π7x=\dfrac{89\pi}7.
Voir la solution
  1. 37π6=π6+6π\frac{37\pi}6=\frac\pi6+6\pi :  π6\ \dfrac\pi6.
  2. −125π4=3π4−32π-\frac{125\pi}4=\frac{3\pi}4-32\pi :  3π4\ \dfrac{3\pi}4.
  3. 19π=π+18π19\pi=\pi+18\pi :  π\ \pi.
  4. 103π3=π3+34π\frac{103\pi}3=\frac\pi3+34\pi :  π3\ \dfrac\pi3.
  5. −47π5=3π5−10π-\frac{47\pi}5=\frac{3\pi}5-10\pi :  3π5\ \dfrac{3\pi}5.
  6. 89π7=5π7+12π\frac{89\pi}7=\frac{5\pi}7+12\pi :  5π7\ \dfrac{5\pi}7.

Exercice 3 — Congruence modulo 2π2\pi Facile ★☆☆☆☆

Déterminer si x≡y [2π]x\equiv y\ [2\pi] dans chacun des cas :

  1. x=53π12x=\dfrac{53\pi}{12} et y=−19π12y=-\dfrac{19\pi}{12}.
  2. x=−11π8x=-\dfrac{11\pi}8 et y=29π8y=\dfrac{29\pi}8.
Voir la solution
  1. x−y=72π12=6π=2×3πx-y=\dfrac{72\pi}{12}=6\pi=2\times3\pi : x≡y [2π]x\equiv y\ [2\pi].
  2. x−y=−40π8=−5πx-y=-\dfrac{40\pi}8=-5\pi, qui n’est pas un multiple pair de π\pi : x≢y [2π]x\not\equiv y\ [2\pi].

Exercice 4 — Unités d’angle Facile ★☆☆☆☆

Compléter le tableau suivant :

En degrés3030135135
En radians2π5\frac{2\pi}5π10\frac\pi{10}
En grades180180250250
Voir la solution

On utilise D180=Rπ=G200\dfrac D{180}=\dfrac R\pi=\dfrac G{200}.

En degrés303072721351351621621818225225
En radiansπ6\frac\pi62π5\frac{2\pi}53π4\frac{3\pi}49π10\frac{9\pi}{10}π10\frac\pi{10}5π4\frac{5\pi}4
En grades1003\frac{100}380801501501801802020250250

Exercice 5 — Angles orientés Facile ★★☆☆☆

On considère un carré ABCDABCD de centre OO tel que (AB→;AD→^)≡π2 [2π](\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD}})\equiv\dfrac\pi2\ [2\pi]. Déterminer la mesure principale de chacun des angles orientés : (OA→;OC→^) ;(DC→;DA→^) ;(AB→;AC→^) ;(BA→;BD→^).(\widehat{\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OC}})\ ;\quad(\widehat{\overrightarrow{DC};\overrightarrow{DA}})\ ;\quad(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}})\ ;\quad(\widehat{\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BD}}).

Voir la solution
  • OC→=−OA→\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA} : (OA→;OC→^)≡π(\widehat{\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OC}})\equiv\pi.
  • DC→=AB→\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB} et DA→=−AD→\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{AD} : (DC→;DA→^)≡π2+π≡−π2(\widehat{\overrightarrow{DC};\overrightarrow{DA}})\equiv\frac\pi2+\pi\equiv-\dfrac\pi2.
  • La diagonale [AC][AC] est bissectrice de l’angle droit BAD^\widehat{BAD} : (AB→;AC→^)≡π4(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}})\equiv\dfrac\pi4.
  • (BA→;BD→^)(\widehat{\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BD}}) : la diagonale [BD][BD] est bissectrice de ABC^\widehat{ABC}, et on tourne de BA→\overrightarrow{BA} vers BD→\overrightarrow{BD} dans le sens indirect : −π4-\dfrac\pi4.

Exercice 6 — Angles orientés Facile ★★☆☆☆

On considère un triangle équilatéral ABCABC tel que (AB→;AC→^)≡π3 [2π](\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}})\equiv\dfrac\pi3\ [2\pi], et les milieux II, JJ, KK respectifs des segments [BC][BC], [AC][AC] et [AB][AB]. Déterminer la mesure principale de chacun des angles orientés suivants :

  1. (BC→;CA→^)(\widehat{\overrightarrow{BC};\overrightarrow{CA}}).
  2. (BC→;JK→^)(\widehat{\overrightarrow{BC};\overrightarrow{JK}}).
  3. (AI→;CA→^)(\widehat{\overrightarrow{AI};\overrightarrow{CA}}).
Voir la solution

Dans un triangle équilatéral direct : (AB→;AC→^)≡(BC→;BA→^)≡(CA→;CB→^)≡π3(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}})\equiv(\widehat{\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BA}})\equiv(\widehat{\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB}})\equiv\frac\pi3.

  1. (BC→;CA→^)≡(BC→;BA→^)+(BA→;CA→^)(\widehat{\overrightarrow{BC};\overrightarrow{CA}})\equiv(\widehat{\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BA}})+(\widehat{\overrightarrow{BA};\overrightarrow{CA}}). Or CA→=−AC→\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC}, donc (BA→;CA→^)≡(AB→;AC→^)≡π3(\widehat{\overrightarrow{BA};\overrightarrow{CA}})\equiv(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}})\equiv\frac\pi3 (les deux vecteurs sont changés en leurs opposés). Ainsi (BC→;CA→^)≡2π3(\widehat{\overrightarrow{BC};\overrightarrow{CA}})\equiv\dfrac{2\pi}3.
  2. (JK)∥(BC)(JK)\parallel(BC) (droite des milieux) avec JK→=12CB→=−12BC→\overrightarrow{JK}=\frac12\overrightarrow{CB}=-\frac12\overrightarrow{BC} : (BC→;JK→^)≡π(\widehat{\overrightarrow{BC};\overrightarrow{JK}})\equiv\pi.
  3. (AI)(AI) est la bissectrice de BAC^\widehat{BAC} : (AI→;AC→^)≡π6(\widehat{\overrightarrow{AI};\overrightarrow{AC}})\equiv\frac\pi6. Puis (AI→;CA→^)≡π6+π=7π6≡−5π6(\widehat{\overrightarrow{AI};\overrightarrow{CA}})\equiv\frac\pi6+\pi=\frac{7\pi}6\equiv-\dfrac{5\pi}6.

Exercice 7 — Propriétés des angles orientés Facile ★★☆☆☆

On considère deux vecteurs non nuls u⃗\vec u et v⃗\vec v tels que (u⃗;v⃗^)≡π3 [2π](\widehat{\vec u;\vec v})\equiv\dfrac\pi3\ [2\pi]. Déterminer la mesure principale de chacun des angles orientés : (v⃗;u⃗^) ; (2u⃗;3v⃗^) ; (u⃗;−v⃗^) ; (−2v⃗;5u⃗^) ; (−u⃗;−v⃗^) ; (−3v⃗;−12u⃗^).(\widehat{\vec v;\vec u})\ ;\ (\widehat{2\vec u;3\vec v})\ ;\ (\widehat{\vec u;-\vec v})\ ;\ (\widehat{-2\vec v;5\vec u})\ ;\ (\widehat{-\vec u;-\vec v})\ ;\ \left(\widehat{-3\vec v;-\tfrac12\vec u}\right).

Voir la solution
  • (v⃗;u⃗^)≡−π3(\widehat{\vec v;\vec u})\equiv-\dfrac\pi3 ;  (2u⃗;3v⃗^)≡π3\ (\widehat{2\vec u;3\vec v})\equiv\dfrac\pi3 ;  (u⃗;−v⃗^)≡π3+π≡−2π3\ (\widehat{\vec u;-\vec v})\equiv\frac\pi3+\pi\equiv-\dfrac{2\pi}3 ;
  • (−2v⃗;5u⃗^)≡−π3+π=2π3(\widehat{-2\vec v;5\vec u})\equiv-\frac\pi3+\pi=\dfrac{2\pi}3 ;  (−u⃗;−v⃗^)≡π3\ (\widehat{-\vec u;-\vec v})\equiv\dfrac\pi3 ;  (−3v⃗;−12u⃗^)≡−π3\ \left(\widehat{-3\vec v;-\tfrac12\vec u}\right)\equiv-\dfrac\pi3.

Exercice 8 — Valeurs remarquables Moyen ★★★☆☆

On considère les points MM et M′M' du cercle trigonométrique d’abscisses curvilignes π6\dfrac\pi6 et −π6-\dfrac\pi6. En étudiant le triangle OMM′OMM', montrer que sin⁡π6=12\sin\dfrac\pi6=\dfrac12, puis que cos⁡π6=32\cos\dfrac\pi6=\dfrac{\sqrt3}2.

Voir la solution

OM=OM′=1OM=OM'=1 et l’angle MOM′^\widehat{MOM'} mesure π6+π6=π3\frac\pi6+\frac\pi6=\frac\pi3 : le triangle isocèle OMM′OMM' a un angle de 60∘60^\circ, il est donc équilatéral et MM′=1MM'=1.

Par symétrie par rapport à l’axe des abscisses, M(cos⁡π6;sin⁡π6)M\left(\cos\frac\pi6;\sin\frac\pi6\right) et M′(cos⁡π6;−sin⁡π6)M'\left(\cos\frac\pi6;-\sin\frac\pi6\right), donc MM′=2sin⁡π6MM'=2\sin\frac\pi6 (le sinus étant positif). Ainsi sin⁡π6=12\sin\dfrac\pi6=\dfrac12.

Enfin cos⁡2π6=1−14=34\cos^2\frac\pi6=1-\frac14=\frac34 et cos⁡π6>0\cos\frac\pi6>0, d’où cos⁡π6=32\cos\dfrac\pi6=\dfrac{\sqrt3}2.

Exercice 9 — Calculs Facile ★☆☆☆☆

Calculer cos⁡25π3\cos\dfrac{25\pi}3,  sin⁡(−31π4)\ \sin\left(-\dfrac{31\pi}4\right) et tan⁡17π6\tan\dfrac{17\pi}6.

Voir la solution
  • cos⁡25π3=cos⁡(π3+8π)=12\cos\frac{25\pi}3=\cos\left(\frac\pi3+8\pi\right)=\dfrac12.
  • sin⁡(−31π4)=sin⁡(π4−8π)=22\sin\left(-\frac{31\pi}4\right)=\sin\left(\frac\pi4-8\pi\right)=\dfrac{\sqrt2}2.
  • tan⁡17π6=tan⁡(−π6+3π)=tan⁡(−π6)=−33\tan\frac{17\pi}6=\tan\left(-\frac\pi6+3\pi\right)=\tan\left(-\frac\pi6\right)=-\dfrac{\sqrt3}3.

Exercice 10 — Lignes trigonométriques Moyen ★★★☆☆

  1. On considère un réel xx de l’intervalle [0;π2[\left[0;\dfrac\pi2\right[ tel que tan⁡x=2−3\tan x=2-\sqrt3. Calculer cos⁡x\cos x.
  2. On considère un réel yy de l’intervalle ]−π;−π2[\left]-\pi;-\dfrac\pi2\right[ tel que sin⁡y=−23\sin y=-\dfrac23. Calculer cos⁡y\cos y et tan⁡y\tan y.
  3. Déterminer les réels zz de l’intervalle ]−π2;π2[\left]-\dfrac\pi2;\dfrac\pi2\right[ tels que tan⁡2z−(1+3)tan⁡z+3=0\tan^2z-\big(1+\sqrt3\big)\tan z+\sqrt3=0.
Voir la solution

1) 1cos⁡2x=1+(2−3)2=8−43\dfrac1{\cos^2x}=1+(2-\sqrt3)^2=8-4\sqrt3, donc cos⁡2x=18−43=8+4364−48=2+34\cos^2x=\dfrac1{8-4\sqrt3}=\dfrac{8+4\sqrt3}{64-48}=\dfrac{2+\sqrt3}4. Comme x∈[0;π2[x\in\left[0;\frac\pi2\right[, cos⁡x>0\cos x>0 : cos⁡x=2+32\cos x=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt3}}2.

2) cos⁡2y=1−49=59\cos^2y=1-\frac49=\frac59. Pour y∈]−π;−π2[y\in\left]-\pi;-\frac\pi2\right[, le point est dans le troisième quadrant : cos⁡y<0\cos y<0, donc cos⁡y=−53\cos y=-\dfrac{\sqrt5}3. Puis tan⁡y=−2/3−5/3=25=255\tan y=\dfrac{-2/3}{-\sqrt5/3}=\dfrac2{\sqrt5}=\dfrac{2\sqrt5}5.

3) On pose X=tan⁡zX=\tan z : X2−(1+3)X+3=(X−1)(X−3)=0X^2-(1+\sqrt3)X+\sqrt3=(X-1)(X-\sqrt3)=0, donc tan⁡z=1\tan z=1 ou tan⁡z=3\tan z=\sqrt3. Dans ]−π2;π2[\left]-\frac\pi2;\frac\pi2\right[ : z=π4z=\dfrac\pi4 ou z=π3z=\dfrac\pi3.

Exercice 11 — Relations Facile ★★☆☆☆

On considère un réel xx tel que cos⁡x≠0\cos x\neq0.

  1. Montrer que 1+tan⁡2x=1cos⁡2x1+\tan^2x=\dfrac1{\cos^2x}.
  2. On suppose de plus que sin⁡x≠0\sin x\neq0. Montrer que 1sin⁡2x=1+1tan⁡2x\dfrac1{\sin^2x}=1+\dfrac1{\tan^2x}.
Voir la solution

1) 1+tan⁡2x=1+sin⁡2xcos⁡2x=cos⁡2x+sin⁡2xcos⁡2x=1cos⁡2x1+\tan^2x=1+\dfrac{\sin^2x}{\cos^2x}=\dfrac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\dfrac1{\cos^2x}.

2) 1+1tan⁡2x=1+cos⁡2xsin⁡2x=sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡2x=1sin⁡2x1+\dfrac1{\tan^2x}=1+\dfrac{\cos^2x}{\sin^2x}=\dfrac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin^2x}=\dfrac1{\sin^2x}.

Exercice 12 — Angles associés Facile ★★☆☆☆

On considère un réel xx. Montrer, par deux méthodes, que sin⁡(3π2+x)=−cos⁡x\sin\left(\dfrac{3\pi}2+x\right)=-\cos x.

Voir la solution

Méthode 1. sin⁡(3π2+x)=sin⁡(π+(π2+x))=−sin⁡(π2+x)=−cos⁡x\sin\left(\frac{3\pi}2+x\right)=\sin\left(\pi+\left(\frac\pi2+x\right)\right)=-\sin\left(\frac\pi2+x\right)=-\cos x.

Méthode 2. sin⁡(3π2+x)=sin⁡(x−π2+2π)=sin⁡(−(π2−x))=−sin⁡(π2−x)=−cos⁡x\sin\left(\frac{3\pi}2+x\right)=\sin\left(x-\frac\pi2+2\pi\right)=\sin\left(-\left(\frac\pi2-x\right)\right)=-\sin\left(\frac\pi2-x\right)=-\cos x.

Exercice 13 — Calculs Facile ★★☆☆☆

Calculer cos⁡(π4+7π)\cos\left(\dfrac\pi4+7\pi\right),  sin⁡(π6−51π)\ \sin\left(\dfrac\pi6-51\pi\right),  cos⁡(5π2−2027π)\ \cos\left(\dfrac{5\pi}2-2027\pi\right) et tan⁡(π3+2026π)\tan\left(\dfrac\pi3+2026\pi\right).

Voir la solution
  • cos⁡(π4+7π)=cos⁡(π4+π)=−cos⁡π4=−22\cos\left(\frac\pi4+7\pi\right)=\cos\left(\frac\pi4+\pi\right)=-\cos\frac\pi4=-\dfrac{\sqrt2}2.
  • sin⁡(π6−51π)=sin⁡(π6+π−52π)=sin⁡(π+π6)=−12\sin\left(\frac\pi6-51\pi\right)=\sin\left(\frac\pi6+\pi-52\pi\right)=\sin\left(\pi+\frac\pi6\right)=-\dfrac12.
  • cos⁡(5π2−2027π)=cos⁡(π2+π−2028π+2π)=cos⁡(3π2)=0\cos\left(\frac{5\pi}2-2027\pi\right)=\cos\left(\frac\pi2+\pi-2028\pi+2\pi\right)=\cos\left(\frac{3\pi}2\right)=0.
  • tan⁡(π3+2026π)=tan⁡π3=3\tan\left(\frac\pi3+2026\pi\right)=\tan\frac\pi3=\sqrt3.

Exercice 14 — Simplifications Moyen ★★★☆☆

On considère un réel xx.

  1. Exprimer en fonction de cos⁡x\cos x et de sin⁡x\sin x :
    • A=cos⁡(π+x)+sin⁡(5π−x)−cos⁡(−x)+sin⁡(x+4π)A=\cos(\pi+x)+\sin(5\pi-x)-\cos(-x)+\sin(x+4\pi) ;
    • B=sin⁡(π2−x)+cos⁡(π2+x)+sin⁡(3π+x)B=\sin\left(\dfrac\pi2-x\right)+\cos\left(\dfrac\pi2+x\right)+\sin(3\pi+x) ;
    • C=cos⁡(x−7π2)+sin⁡(x+5π2)C=\cos\left(x-\dfrac{7\pi}2\right)+\sin\left(x+\dfrac{5\pi}2\right).
  2. Exprimer en fonction de tan⁡x\tan x, pour les valeurs de xx où ces expressions sont définies :
    • E=tan⁡(9π−x)+tan⁡(5π+x)E=\tan(9\pi-x)+\tan(5\pi+x) ;
    • F=tan⁡(7π2−x)×tan⁡(x−3π)F=\tan\left(\dfrac{7\pi}2-x\right)\times\tan(x-3\pi).
Voir la solution

1)

  • A=−cos⁡x+sin⁡(π−x)−cos⁡x+sin⁡x=−cos⁡x+sin⁡x−cos⁡x+sin⁡x=2sin⁡x−2cos⁡xA=-\cos x+\sin(\pi-x)-\cos x+\sin x=-\cos x+\sin x-\cos x+\sin x=2\sin x-2\cos x.
  • B=cos⁡x−sin⁡x+sin⁡(π+x)=cos⁡x−2sin⁡xB=\cos x-\sin x+\sin(\pi+x)=\cos x-2\sin x.
  • cos⁡(x−7π2)=cos⁡(x+π2−4π)=−sin⁡x\cos\left(x-\frac{7\pi}2\right)=\cos\left(x+\frac\pi2-4\pi\right)=-\sin x et sin⁡(x+5π2)=sin⁡(x+π2)=cos⁡x\sin\left(x+\frac{5\pi}2\right)=\sin\left(x+\frac\pi2\right)=\cos x : C=cos⁡x−sin⁡xC=\cos x-\sin x.

2)

  • tan⁡(9π−x)=tan⁡(−x)=−tan⁡x\tan(9\pi-x)=\tan(-x)=-\tan x et tan⁡(5π+x)=tan⁡x\tan(5\pi+x)=\tan x : E=0E=0.
  • tan⁡(7π2−x)=tan⁡(π2−x+3π)=1tan⁡x\tan\left(\frac{7\pi}2-x\right)=\tan\left(\frac\pi2-x+3\pi\right)=\dfrac1{\tan x} et tan⁡(x−3π)=tan⁡x\tan(x-3\pi)=\tan x : F=1F=1.

Exercice 15 — Arcs et secteurs Moyen ★★★☆☆

On considère un cercle de centre OO et de rayon 33, et les sommets AA, BB, CC, DD, EE, FF (dans cet ordre) d’un hexagone régulier inscrit dans ce cercle.

  1. Calculer la longueur du petit arc AB⌢\overset{\frown}{AB}.
  2. Calculer la longueur du petit arc BF⌢\overset{\frown}{BF}.
  3. Calculer l’aire du secteur angulaire de sommet OO limité par le petit arc AB⌢\overset{\frown}{AB}.
Voir la solution

Les six sommets partagent le cercle en six arcs égaux : chaque angle au centre AOB^\widehat{AOB}, BOC^\widehat{BOC}, … mesure 2π6=π3\dfrac{2\pi}6=\dfrac\pi3.

  1. Longueur de AB⌢\overset{\frown}{AB} : rθ=3×π3=πr\theta=3\times\dfrac\pi3=\pi.
  2. BB et FF sont séparés par deux arcs (FF, AA, BB) : BOF^=2π3\widehat{BOF}=\dfrac{2\pi}3, longueur 3×2π3=2π3\times\dfrac{2\pi}3=2\pi.
  3. Aire du secteur : 12r2θ=12×9×π3=3π2\dfrac12r^2\theta=\dfrac12\times9\times\dfrac\pi3=\dfrac{3\pi}2.

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