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Devoir surveillé n°1

Arithmétique, calcul vectoriel et projection

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Remarque — barème

Exercice 1 sur 12 points, exercice 2 sur 5 points, exercice 3 sur 3 points (total 20 points). Les points de chaque question sont indiqués entre crochets. Deux questions bonus (+0,5 pt chacune) permettent de compenser une erreur ; la note est plafonnée à 20.

Exercice 1 — Notions d’arithmétique — 12 points Moyen ★★★☆☆

On considère les entiers naturels $a=4200$ et $b=4410$ . a) En utilisant la méthode de décomposition, montrer que $a=2^3\times3\times5^2\times7$ et que $b=2\times3^2\times5\times7^2$ . [2 pts] b) En déduire $\operatorname{PGCD}(a;b)$ et $\operatorname{PPCM}(a;b)$ . [2 pts] c) Écrire $\dfrac ab$ sous forme irréductible, calculer $\dfrac ab+\dfrac1{21}$ et simplifier $\sqrt{a\times b}$ . [2 pts]
On considère un entier naturel $n$ , et les nombres $A=3^{n+2}+3^n$ et $B=5\times2^{n+1}+2^{n+3}$ . Montrer que $A$ est un multiple de $10$ et que $9$ divise $B$ . [2,5 pts]
Le nombre $337$ est-il premier ? Justifier. [1,5 pt]
On considère un entier impair $n$ . Montrer que $n^2+7$ est un multiple de $8$ . [2 pts]

Bonus [+0,5 pt]. En déduire que, pour tout entier impair $n$ , le nombre $n^4-1$ est un multiple de $16$ .

Voir la correction

1) a) [2 pts] Divisions successives [1 pt par décomposition] :

Quotients de $a$	$4200$	$2100$	$1050$	$525$	$175$	$35$	$7$	$1$
Diviseurs premiers	$2$	$2$	$2$	$3$	$5$	$5$	$7$

Quotients de $b$	$4410$	$2205$	$735$	$245$	$49$	$7$	$1$
Diviseurs premiers	$2$	$3$	$3$	$5$	$7$	$7$

Donc $a=2^3\times3\times5^2\times7$ et $b=2\times3^2\times5\times7^2$ .

1) b) [2 pts] $\operatorname{PGCD}(a;b)=2\times3\times5\times7=210$ [1] ; $\ \operatorname{PPCM}(a;b)=2^3\times3^2\times5^2\times7^2=88\,200$ [1].

1) c) [2 pts] $\dfrac ab=\dfrac{2^3\times3\times5^2\times7}{2\times3^2\times5\times7^2}=\dfrac{2^2\times5}{3\times7}=\dfrac{20}{21}$ [0,5] ; $\ \dfrac ab+\dfrac1{21}=\dfrac{21}{21}=1$ [0,5].

$a\times b=2^4\times3^3\times5^3\times7^3=(2^2\times3\times5\times7)^2\times3\times5\times7$ , donc $\sqrt{a\times b}=420\sqrt{105}$ [1].

2) [2,5 pts] $A=3^n\times3^2+3^n=3^n(9+1)=10\times3^n$ , avec $3^n\in\mathbb{N}$ : $A$ est un multiple de $10$ [1,25].

$B=5\times2\times2^n+2^3\times2^n=(10+8)\times2^n=9\times(2\times2^n)$ , avec $2^{n+1}\in\mathbb{N}$ : $9$ divise $B$ [1,25].

3) [1,5 pt] $18\times18=324\le337<361=19\times19$ : on teste les nombres premiers $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ , $13$ , $17$ [0,5].

$337$ est impair ; la somme de ses chiffres vaut $13$ (non divisible par $3$ ) ; il ne se termine ni par $0$ ni par $5$ ; $337=7\times48+1=11\times30+7=13\times25+12=17\times19+14$ [0,5]. Aucun ne divise $337$ : il est premier [0,5].

4) [2 pts] $n=2k+1$ avec $k\in\mathbb{N}$ [0,5] : $n^2+7=4k^2+4k+8=4k(k+1)+8$ [0,5]. Le produit $k(k+1)$ de deux entiers consécutifs est pair : $k(k+1)=2m$ avec $m\in\mathbb{N}$ [0,5]. Donc $n^2+7=8m+8=8(m+1)$ est un multiple de $8$ [0,5].

Bonus [+0,5 pt]. D’après le calcul précédent, $n^2-1=4k(k+1)=8m$ . De plus $n^2+1=4k^2+4k+2=2(2k^2+2k+1)$ est pair. Donc $n^4-1=(n^2-1)(n^2+1)=8m\times2(2k^2+2k+1)=16\,m(2k^2+2k+1)$ est un multiple de $16$ .

Exercice 2 — Calcul vectoriel — 5 points Facile ★★☆☆☆

On considère un parallélogramme $ABCD$ et les points $M$ et $N$ définis par $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}\qquad\text{et}\qquad\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{AD}.$

Faire une figure. [1 pt]
Montrer que $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$ et que $\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$ . [1 pt]
En déduire que $C$ est le milieu de $[MN]$ . [0,5 pt]
On considère le point $K$ défini par $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}$ . Montrer que $C$ est le milieu de $[AK]$ . [1 pt]
Montrer que les droites $(BD)$ et $(MN)$ sont parallèles. [1,5 pt]

Bonus [+0,5 pt]. On considère le point $G$ défini par $\overrightarrow{AG}=\tfrac23\overrightarrow{AC}$ . Montrer que $G$ appartient à la fois à la droite $(MD)$ et à la droite $(BN)$ .

Voir la correction

1) [1 pt] $M$ est le symétrique de $A$ par rapport à $B$ , et $N$ celui de $A$ par rapport à $D$ .

2) [1 pt] $\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$ (parallélogramme). Donc :

$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}=-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}$ [0,5] ; $\ \overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DN}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ [0,5].

3) [0,5 pt] $\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{CN}=\vec0$ , donc $C$ est le milieu de $[MN]$ [0,5].

4) [1 pt] $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{AD}$ , donc $\overrightarrow{AK}=2\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)=2\overrightarrow{AC}$ [0,5]. Ainsi $\overrightarrow{AC}=\tfrac12\overrightarrow{AK}$ : $C$ est le milieu de $[AK]$ [0,5].

5) [1,5 pt] $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AD}-2\overrightarrow{AB}$ [0,5] $=2\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\right)=2\overrightarrow{BD}$ [0,5] : vecteurs colinéaires, donc $(BD)\parallel(MN)$ [0,5].

Bonus [+0,5 pt]. $\overrightarrow{AG}=\tfrac23\overrightarrow{AB}+\tfrac23\overrightarrow{AD}$ .

$\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AM}=-\tfrac43\overrightarrow{AB}+\tfrac23\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{MD}=-2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ : $\overrightarrow{MG}=\tfrac23\overrightarrow{MD}$ , donc $G\in(MD)$ .
$\overrightarrow{BG}=-\tfrac13\overrightarrow{AB}+\tfrac23\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{BN}=-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}$ : $\overrightarrow{BG}=\tfrac13\overrightarrow{BN}$ , donc $G\in(BN)$ .

Exercice 3 — Projection — 3 points Facile ★★☆☆☆

On considère un triangle $ABC$ et le point $E$ défini par $\overrightarrow{CE}=\tfrac14\overrightarrow{CB}$ . On note $F$ le projeté de $E$ sur $(AB)$ parallèlement à $(AC)$ , et $J$ le projeté de $E$ sur $(AC)$ parallèlement à $(AB)$ .

Faire une figure. [0,5 pt]
En utilisant une projection, montrer que $\overrightarrow{BF}=\tfrac34\overrightarrow{BA}$ . [1 pt]
a) Montrer que $\overrightarrow{CJ}=\tfrac14\overrightarrow{CA}$ . [0,5 pt] b) Montrer que $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AJ}$ . [0,5 pt] c) Quelle est la nature du quadrilatère $AFEJ$ ? Justifier. [0,5 pt]

Voir la correction

1) [0,5 pt] Figure :

2) [1 pt] Projection sur $(AB)$ parallèlement à $(AC)$ : $B\mapsto B$ , $C\mapsto A$ , $E\mapsto F$ [0,5]. Or $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}=\tfrac34\overrightarrow{BC}$ , donc $\overrightarrow{BF}=\tfrac34\overrightarrow{BA}$ [0,5].

3) a) [0,5 pt] Projection sur $(AC)$ parallèlement à $(AB)$ : $C\mapsto C$ , $B\mapsto A$ , $E\mapsto J$ . De $\overrightarrow{CE}=\tfrac14\overrightarrow{CB}$ on tire $\overrightarrow{CJ}=\tfrac14\overrightarrow{CA}$ .

b) [0,5 pt] $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=\tfrac14\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CJ}=\tfrac34\overrightarrow{AC}$ . D’autre part, $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\tfrac14\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AC}+\tfrac14\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)=\tfrac14\overrightarrow{AB}+\tfrac34\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AJ}.$

c) [0,5 pt] D’après la règle du parallélogramme, $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AJ}$ signifie que $AFEJ$ est un parallélogramme (les vecteurs $\overrightarrow{AF}$ et $\overrightarrow{AJ}$ ne sont pas colinéaires, il n’est pas aplati).

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