Devoir maison n°3 Polynômes, équations, trigonométrie et statistiques

Exercice 1 — Polynômes Facile ★★☆☆☆

On considère un réel $m$ et le polynôme $P(x)=2x^3+mx^2-5x+2$ .

Déterminer la valeur de $m$ pour que $1$ soit une racine de $P$ .
Dans la suite, on suppose que $m=1$ . a) En déduire qu’il existe un polynôme $Q$ , à déterminer, tel que $P(x)=(x-1)Q(x)$ . b) Vérifier que $-2$ est une racine de $Q$ . c) En déduire une factorisation du polynôme $Q(x)$ . d) Donner une factorisation de $P(x)$ en produit de trois binômes. e) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $P(x)=0$ . f) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $P(x)\ge0$ .

Voir la correction

1) $P(1)=2+m-5+2=m-1$ : $1$ est une racine de $P$ si et seulement si $m=1$ .

2) a) Pour $m=1$ , $P(1)=0$ , donc $P$ est divisible par $x-1$ . Horner avec $a=1$ : $2$ ; $1+2=3$ ; $-5+3=-2$ ; $2-2=0$ . Donc $Q(x)=2x^2+3x-2$ .

b) $Q(-2)=8-6-2=0$ .

c) D’après b), $Q$ est divisible par $x+2$ : $Q(x)=(x+2)(2x-1)$ (identification : $(x+2)(2x+c)=2x^2+(c+4)x+2c$ avec $c=-1$ ).

d) $P(x)=(x-1)(x+2)(2x-1)$ .

e) $S=\left\{-2;\dfrac12;1\right\}$ .

f)

$x$		$-2$		$\frac12$		$1$
$x+2$	$-$	$0$	$+$		$+$		$+$
$2x-1$	$-$		$-$	$0$	$+$		$+$
$x-1$	$-$		$-$		$-$	$0$	$+$
$P(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

$S=\left[-2;\dfrac12\right]\cup[1;+\infty[$ .

Exercice 2 — Équations, inéquations et systèmes Moyen ★★★☆☆

a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations $2x^2-7x+3=0$ et $x^2(x-4)=0$ . b) En déduire les solutions de l’équation $2x^4-7x^2+3=0$ . c) À l’aide d’un tableau de signes, résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $\dfrac{2x^2-7x+3}{x^2(x-4)}\ge0$ .
a) Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ , par la méthode des déterminants, le système $(S_1):\begin{cases}3x+2y=7\\ x-4y=-7\end{cases}$ . b) En déduire les solutions des systèmes $(S_2):\begin{cases}3x^2+2y^2=7\\ x^2-4y^2=-7\end{cases}$ et $(S_3):\begin{cases}3|x|+2|y-1|=7\\ |x|-4|y-1|=-7\end{cases}$ .
Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Résoudre graphiquement dans $\mathbb{R}^2$ l’inéquation $2x-y+1\ge0$ .
On considère l’équation $(E):\ 3x^2-8x+5=0$ . a) Vérifier que $1$ est une racine de $3x^2-8x+5$ . b) En déduire, à l’aide du produit des racines, l’autre solution de $(E)$ . c) En déduire une factorisation de $3x^2-8x+5$ .
Factoriser le trinôme $x^2-6x+8$ , puis en déduire une factorisation du polynôme $x^4-6x^2+8$ en produit de quatre binômes.
On admet la propriété suivante : on considère deux réels $s$ et $p$ ; le système $\begin{cases}u+v=s\\ uv=p\end{cases}$ admet une solution $(u;v)$ dans $\mathbb{R}^2$ si et seulement si $s^2-4p\ge0$ , et $u$ et $v$ sont alors les solutions de l’équation $t^2-st+p=0$ . Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ les systèmes : a) $\begin{cases}x+y=7\\ xy=12\end{cases}$ ; b) $\begin{cases}x+y=-1\\ xy=-20\end{cases}$ .

Voir la correction

1) a) $2x^2-7x+3=0$ : $\Delta=49-24=25$ , $x=\dfrac{7\pm5}4$ , $S=\left\{\dfrac12;3\right\}$ . $\ x^2(x-4)=0$ : $S=\{0;4\}$ .

b) Avec $X=x^2\ge0$ : $2X^2-7X+3=0$ , donc $x^2=\dfrac12$ ou $x^2=3$ . $S=\left\{-\sqrt3;-\dfrac{\sqrt2}2;\dfrac{\sqrt2}2;\sqrt3\right\}$ .

c) Valeurs interdites $0$ et $4$ .

$x$		$0$		$\frac12$		$3$		$4$
$2x^2-7x+3$	$+$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$		$+$
$x^2$	$+$	$0$	$+$		$+$		$+$		$+$
$x-4$	$-$		$-$		$-$		$-$	$0$	$+$
quotient	$-$	$\Vert$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$\Vert$	$+$

$S=\left[\dfrac12;3\right]\cup\,]4;+\infty[$ .

2) a) $D=-12-2=-14$ , $D_x=-28+14=-14$ , $D_y=-21-7=-28$ : $S_1=\{(1;2)\}$ .

b) $(S_2)$ : avec $X=x^2$ , $Y=y^2$ , on obtient $(S_1)$ , donc $x^2=1$ et $y^2=2$ : $S_2=\{(1;\sqrt2);(1;-\sqrt2);(-1;\sqrt2);(-1;-\sqrt2)\}.$

$(S_3)$ : avec $X=|x|$ , $Y=|y-1|$ : $|x|=1$ et $|y-1|=2$ , donc $x=\pm1$ et $y=3$ ou $y=-1$ : $S_3=\{(1;3);(1;-1);(-1;3);(-1;-1)\}$ .

3) On trace $(D):2x-y+1=0$ , soit $y=2x+1$ . $O$ vérifie $1\ge0$ : l’ensemble des solutions est le demi-plan fermé de bord $(D)$ contenant $O$ .

4) a) $3-8+5=0$ : $1$ est une racine.

b) Le produit des racines vaut $\dfrac53$ ; l’autre solution est donc $\dfrac53$ : $S=\left\{1;\dfrac53\right\}$ .

c) $3x^2-8x+5=3(x-1)\left(x-\dfrac53\right)=(x-1)(3x-5)$ .

5) $x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$ (racines $2$ et $4$ ). Donc $x^4-6x^2+8=(x^2-2)(x^2-4)=(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)(x-2)(x+2)$ .

6) a) $49-48=1\ge0$ ; $t^2-7t+12=(t-3)(t-4)$ : $S=\{(3;4);(4;3)\}$ .

b) $1+80=81\ge0$ ; $t^2+t-20=(t-4)(t+5)$ : $S=\{(4;-5);(-5;4)\}$ .

Exercice 3 — Trigonométrie Moyen ★★★☆☆

On considère les points $A$ , $B$ et $C$ du cercle trigonométrique de centre $O$ d’abscisses curvilignes respectives $\dfrac{31\pi}6$ , $-\dfrac{47\pi}3$ et $\dfrac{37\pi}4$ . a) Déterminer l’abscisse curviligne principale de chacun des points $A$ , $B$ et $C$ . b) Placer les points $A$ , $B$ et $C$ sur le cercle trigonométrique. c) Déterminer la mesure principale de l’angle orienté $(\widehat{\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}})$ et en déduire $\cos(\widehat{\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}})$ . d) Déterminer la mesure principale de l’angle orienté $(\widehat{\overrightarrow{OC};\overrightarrow{OA}})$ . e) En déduire la mesure principale de l’angle orienté $(\widehat{\overrightarrow{OC};\overrightarrow{OB}})$ .
Calculer $\sin\dfrac{23\pi}6$ , $\ \cos\left(-\dfrac{22\pi}3\right)$ et $\tan\dfrac{19\pi}4$ .
On considère, pour tout réel $x$ , le nombre $A(x)=\sin(-x)\sin(x+\pi)-\cos x\cos(2\pi-x)$ . a) Montrer que, pour tout réel $x$ , $A(x)=1-2\cos^2x$ . b) On admet que $\cos\dfrac\pi8=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}2$ . Calculer $A\left(\dfrac\pi8\right)$ et $A\left(\dfrac{7\pi}8\right)$ .
On considère un réel $\alpha$ de l’intervalle $\left]\dfrac\pi2;\pi\right[$ tel que $\tan\alpha=-2$ . Calculer $\cos\alpha$ et $\sin\alpha$ .
On considère un réel $y$ tel que $\sin y\neq0$ et $\cos y\neq0$ . Montrer que $\tan y+\dfrac1{\tan y}=\dfrac1{\sin y\cos y}$ .

Voir la correction

1) a) $\dfrac{31\pi}6=-\dfrac{5\pi}6+6\pi$ ; $\ -\dfrac{47\pi}3=\dfrac\pi3-16\pi$ ; $\ \dfrac{37\pi}4=-\dfrac{3\pi}4+10\pi$ . Abscisses principales : $A:-\dfrac{5\pi}6$ , $B:\dfrac\pi3$ , $C:-\dfrac{3\pi}4$ .

b) On place $A$ , $B$ , $C$ à l’aide des valeurs remarquables (figure du cours).

c) $(\widehat{\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}})\equiv\dfrac\pi3+\dfrac{5\pi}6=\dfrac{7\pi}6\equiv-\dfrac{5\pi}6\ [2\pi]$ ; $\cos\left(-\dfrac{5\pi}6\right)=-\cos\dfrac\pi6=-\dfrac{\sqrt3}2$ .

d) $(\widehat{\overrightarrow{OC};\overrightarrow{OA}})\equiv-\dfrac{5\pi}6+\dfrac{3\pi}4=-\dfrac\pi{12}$ .

e) Chasles : $(\widehat{\overrightarrow{OC};\overrightarrow{OB}})\equiv-\dfrac\pi{12}-\dfrac{5\pi}6=-\dfrac{11\pi}{12}$ , qui est dans $]-\pi;\pi]$ .

2) $\sin\dfrac{23\pi}6=\sin\left(-\dfrac\pi6\right)=-\dfrac12$ ; $\ \cos\left(-\dfrac{22\pi}3\right)=\cos\dfrac{22\pi}3=\cos\dfrac{4\pi}3=-\cos\dfrac\pi3=-\dfrac12$ ; $\ \tan\dfrac{19\pi}4=\tan\dfrac{3\pi}4=-1$ .

3) a) $\sin(-x)=-\sin x$ , $\sin(x+\pi)=-\sin x$ et $\cos(2\pi-x)=\cos(-x)=\cos x$ . Donc $A(x)=\sin^2x-\cos^2x=1-2\cos^2x$ .

b) $\cos^2\dfrac\pi8=\dfrac{2+\sqrt2}4$ , donc $A\left(\dfrac\pi8\right)=1-\dfrac{2+\sqrt2}2=-\dfrac{\sqrt2}2$ . Comme $\cos\dfrac{7\pi}8=\cos\left(\pi-\dfrac\pi8\right)=-\cos\dfrac\pi8$ , les carrés sont égaux : $A\left(\dfrac{7\pi}8\right)=-\dfrac{\sqrt2}2$ .

4) $\dfrac1{\cos^2\alpha}=1+4=5$ , donc $\cos^2\alpha=\dfrac15$ . Dans $\left]\frac\pi2;\pi\right[$ , $\cos\alpha<0$ : $\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt5}5$ . Puis $\sin\alpha=\tan\alpha\times\cos\alpha=\dfrac{2\sqrt5}5$ .

5) $\tan y+\dfrac1{\tan y}=\dfrac{\sin y}{\cos y}+\dfrac{\cos y}{\sin y}=\dfrac{\sin^2y+\cos^2y}{\sin y\cos y}=\dfrac1{\sin y\cos y}$ .

Exercice 4 — Statistiques Moyen ★★★☆☆

On a relevé la durée (en minutes) du trajet domicile-lycée de deux groupes de $10$ élèves :

Groupe A	$8$	$9$	$9$	$10$	$10$	$10$	$12$	$12$	$13$	$15$
Groupe B	$9$	$10$	$10$	$10$	$11$	$11$	$12$	$12$	$12$	$13$

Pour chaque groupe, dresser un tableau des durées, des effectifs, des effectifs cumulés et des fréquences.
Représenter les durées du groupe A par un diagramme en bâtons.
Déterminer la médiane de chaque série.
Calculer la moyenne de chaque série.
Calculer l’écart moyen, la variance et l’écart-type de chaque série.
Dans quel groupe les durées sont-elles le plus dispersées autour de la moyenne ?

Voir la correction

1)

Groupe A	$8$	$9$	$10$	$12$	$13$	$15$
Effectif	$1$	$2$	$3$	$2$	$1$	$1$
Eff. cumulé	$1$	$3$	$6$	$8$	$9$	$10$
Fréquence	$0{,}1$	$0{,}2$	$0{,}3$	$0{,}2$	$0{,}1$	$0{,}1$

Groupe B	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$
Effectif	$1$	$3$	$2$	$3$	$1$
Eff. cumulé	$1$	$4$	$6$	$9$	$10$
Fréquence	$0{,}1$	$0{,}3$	$0{,}2$	$0{,}3$	$0{,}1$

2)

3) Valeurs de rangs $5$ et $6$ : groupe A, $10$ et $10$ , médiane $10$ ; groupe B, $11$ et $11$ , médiane $11$ .

4) $\overline x_A=\dfrac{108}{10}=10{,}8$ ; $\ \overline x_B=\dfrac{110}{10}=11$ .

5)

Groupe A : $e=\dfrac{2{,}8+3{,}6+2{,}4+2{,}4+2{,}2+4{,}2}{10}=1{,}76$ ;
$V=\dfrac{7{,}84+2\times3{,}24+3\times0{,}64+2\times1{,}44+4{,}84+17{,}64}{10}=4{,}16$ ; $\sigma\approx2{,}04$ .
Groupe B : $e=\dfrac{2+3+0+3+2}{10}=1$ ; $V=\dfrac{4+3+0+3+4}{10}=1{,}4$ ; $\sigma\approx1{,}18$ .

6) L’écart-type du groupe A est le plus grand : les durées du groupe A sont les plus dispersées autour de la moyenne.