Devoir maison n°1 Arithmétique, calcul vectoriel et projection

Exercice 1 — Notions d’arithmétique Facile ★★☆☆☆

On note $a\wedge b$ le PGCD et $a\vee b$ le PPCM de deux entiers naturels non nuls $a$ et $b$ . Pour chacune des questions 1) à 16), choisir la ou les réponses justes.

N°	Énoncé	A	B	C	D
1)	$2027$ est un nombre…	pair	impair	premier	multiple de $3$
2)	Pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $6n+15$ est…	pair	impair	multiple de $3$	multiple de $5$
3)	$0$ est…	multiple de $7$	diviseur de $7$	pair	premier
4)	Nombre de diviseurs de $18$	$4$	$5$	$6$	$9$
5)	$a,b\in\mathbb{N}$ et $a+b$ impair. Alors…	$a$ , $b$ pairs	$a$ , $b$ impairs	$ab$ pair	$ab$ impair
6)	Pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $n(n+1)(n+2)$ est…	pair	impair	multiple de $3$	premier
7)	$\operatorname{PGCD}(84;126)=$	$6$	$14$	$42$	$252$
8)	$\operatorname{PPCM}(84;126)=$	$252$	$504$	$42$	$10\,584$
9)	Pour $a,b\in\mathbb{N}^*$ : $\operatorname{PGCD}(a;b)\times\operatorname{PPCM}(a;b)=$	$a+b$	$ab$	$\frac ab$	$1$
10)	Pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $2^{n+3}+2^n$ est un multiple de…	$3$	$9$	$7$	$2$
11)	Pour $a\in\mathbb{N}^*$ : $\operatorname{PGCD}(a;1)=$	$0$	$1$	$a$	$a+1$
12)	Pour $a\in\mathbb{N}^*$ : $\operatorname{PPCM}(a;a)=$	$1$	$a$	$a^2$	$2a$
13)	$a,b\in\mathbb{N}^*$ et $a$ divise $b$ . Alors…	$a\wedge b=a$	$a\wedge b=b$	$a\vee b=a$	$a\vee b=b$
14)	$391$ est…	premier	divisible par $17$	divisible par $23$	divisible par $3$
15)	$a,b\in\mathbb{N}^*$ et $d=\operatorname{PGCD}(a;b)$ . Alors…	$d$ divise $a+b$	$d=ab$	$\frac ad$ et $\frac bd$ premiers entre eux	$d=1$
16)	$p$ , $q$ premiers distincts. Alors…	$p\wedge q=1$	$p\vee q=pq$	$p+q$ premier	$pq$ premier

Déterminer le chiffre $c$ pour lequel le nombre $\overline{7c32}$ est divisible par $2$ et par $9$ .
On considère un entier impair $a$ . Montrer que $a^2+a+1$ est impair.
Déterminer les couples d’entiers naturels $(a;b)$ , avec $a<b$ , tels que $a+b=96$ et $\operatorname{PGCD}(a;b)=12$ .
Montrer que la somme de quatre entiers naturels consécutifs n’est jamais un multiple de $4$ .

Voir la correction

Réponses du QCM (avec une brève justification) :

N°	Réponses	Justification
1)	B, C	impair ; aucun premier $p\le43$ ne le divise ( $46^2>2027$ , et $44$ , $45$ ne sont pas premiers)
2)	B, C	$6n+15=2(3n+7)+1=3(2n+5)$ ; pour $n=1$ , $21$ n’est pas multiple de $5$
3)	A, C	$0=7\times0=2\times0$ ; $0$ ne divise pas $7$ ; $0$ n’est pas premier
4)	C	$1$ , $2$ , $3$ , $6$ , $9$ , $18$
5)	C	l’un est pair, l’autre impair
6)	A, C	trois entiers consécutifs : un pair, un multiple de $3$
7)	C	$84=2^2\times3\times7$ , $126=2\times3^2\times7$ , PGCD $=2\times3\times7$
8)	A	$2^2\times3^2\times7=252$
9)	B	propriété du cours
10)	A, B	$2^{n+3}+2^n=9\times2^n$ ; pour $n=0$ on obtient $9$
11)	B	seul diviseur commun : $1$
12)	B	$a$ est multiple de $a$
13)	A, D	$a$ divise $a$ et $b$ ; $b$ est multiple de $a$ et de $b$
14)	B, C	$391=17\times23$
15)	A, C	$a=d\alpha$ , $b=d\beta$ , $\alpha\wedge\beta=1$
16)	A, B	leurs seuls diviseurs sont $1$ et eux-mêmes

17) $\overline{7c32}$ se termine par $2$ : il est pair. La somme des chiffres est $12+c$ , comprise entre $12$ et $21$ ; le seul multiple de $9$ possible est $18$ , donc $c=6$ . Vérification : $7632=9\times848$ .

18) $a=2k+1$ avec $k\in\mathbb{N}$ : $a^2+a+1=4k^2+4k+1+2k+1+1=2(2k^2+3k+1)+1$ est impair.

(Autre méthode : $a^2+a=a(a+1)$ est pair, donc $a^2+a+1$ est impair.)

19) $a=12\alpha$ , $b=12\beta$ avec $\alpha,\beta\in\mathbb{N}^*$ , $\alpha<\beta$ , $\operatorname{PGCD}(\alpha;\beta)=1$ et $\alpha+\beta=8$ . Les couples $(1;7)$ et $(3;5)$ conviennent ; $(2;6)$ est exclu ( $\operatorname{PGCD}=2$ ). Donc $(a;b)\in\{(12;84);(36;60)\}$ .

20) On considère quatre entiers consécutifs $n$ , $n+1$ , $n+2$ , $n+3$ ( $n\in\mathbb{N}$ ). Leur somme vaut $4n+6=4(n+1)+2.$ Si elle était un multiple de $4$ , soit $4m$ , alors $2=4m-4(n+1)=4\big(m-n-1\big)$ serait un multiple de $4$ , ce qui est faux. La somme n’est donc jamais un multiple de $4$ .

Exercice 2 — Calcul vectoriel Moyen ★★★☆☆

On considère un triangle $ABC$ et les points $E$ , $F$ et $P$ définis par $\overrightarrow{AE}=\tfrac12\overrightarrow{AB}\ ;\qquad\overrightarrow{AF}=\tfrac14\overrightarrow{AC}\ ;\qquad\overrightarrow{AP}=\tfrac32\overrightarrow{AB}-\tfrac12\overrightarrow{AC}.$

Faire une figure.
Montrer que $\overrightarrow{BP}=\tfrac12\overrightarrow{CB}$ .
Montrer que $\overrightarrow{EF}=-\tfrac12\overrightarrow{AB}+\tfrac14\overrightarrow{AC}$ et que $\overrightarrow{EP}=\overrightarrow{AB}-\tfrac12\overrightarrow{AC}$ .
En déduire que les points $E$ , $F$ et $P$ sont alignés.
On note $M$ le milieu de $[AC]$ . Montrer que les droites $(EF)$ et $(BM)$ sont parallèles.

Voir la correction

1) Figure :

2) $\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AP}=-\overrightarrow{AB}+\tfrac32\overrightarrow{AB}-\tfrac12\overrightarrow{AC}=\tfrac12\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)=\tfrac12\overrightarrow{CB}$ .

3) $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AF}=-\tfrac12\overrightarrow{AB}+\tfrac14\overrightarrow{AC}$ .

$\overrightarrow{EP}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AP}=-\tfrac12\overrightarrow{AB}+\tfrac32\overrightarrow{AB}-\tfrac12\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}-\tfrac12\overrightarrow{AC}$ .

4) $-2\,\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AB}-\tfrac12\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{EP}$ : les vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{EP}$ sont colinéaires, donc $E$ , $F$ et $P$ sont alignés.

5) $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AB}+\tfrac12\overrightarrow{AC}$ . Donc $\overrightarrow{EF}=\tfrac12\overrightarrow{BM}$ : les vecteurs sont colinéaires et $(EF)\parallel(BM)$ .

Exercice 3 — Projection Moyen ★★★☆☆

On considère un parallélogramme $ABCD$ , le point $E$ défini par $\overrightarrow{AE}=\tfrac34\overrightarrow{AC}$ et le projeté $H$ de $E$ sur $(BC)$ parallèlement à $(AB)$ .

Montrer que $\overrightarrow{CH}=\tfrac14\overrightarrow{CB}$ et que $\overrightarrow{EH}=\tfrac14\overrightarrow{AB}$ .
On considère le point $F$ défini par $\overrightarrow{FB}=\tfrac14\overrightarrow{AB}$ . Montrer que les droites $(EF)$ et $(BC)$ sont parallèles.

Voir la correction

1) Projection sur $(BC)$ parallèlement à $(AB)$ : $A\mapsto B$ (la droite $(AB)$ coupe $(BC)$ en $B$ ), $C\mapsto C$ , $E\mapsto H$ .

Comme $\overrightarrow{AE}=\tfrac34\overrightarrow{AC}$ , on a $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AE}=\tfrac14\overrightarrow{CA}$ , donc $\overrightarrow{CH}=\tfrac14\overrightarrow{CB}$ .

Ensuite : $\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CH}=\tfrac14\overrightarrow{AC}+\tfrac14\overrightarrow{CB}=\tfrac14\overrightarrow{AB}$ .

2) $\overrightarrow{FB}=\tfrac14\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EH}$ , donc $EHBF$ est un parallélogramme (éventuellement aplati) : $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{HB}$ .

Comme $H$ et $B$ sont sur $(BC)$ et $H\neq B$ , le vecteur $\overrightarrow{HB}$ est colinéaire à $\overrightarrow{BC}$ ; donc $\overrightarrow{EF}$ aussi, et $(EF)\parallel(BC)$ .

(Précisément : $\overrightarrow{HB}=\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{CB}=\tfrac34\overrightarrow{CB}$ , donc $\overrightarrow{EF}=-\tfrac34\overrightarrow{BC}$ .)