Examen blanc du semestre 1 Programme du semestre 1

Exercice 1 — Suites numériques — 3 points Facile ★★☆☆☆

On considère la suite $(u_{n})_{n \in {\mathbb{N}}}$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout $n \in {\mathbb{N}}$ , $u_{n + 1} = \frac{1}{3}u_{n} + 2$ , et la suite $(v_{n})_{n \in {\mathbb{N}}}$ définie par $v_{n} = u_{n} - 3$ .

Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. [1 pt]
Exprimer $v_{n}$ , puis $u_{n}$ , en fonction de $n$ , et en déduire $\lim_{n \rightarrow + \infty}u_{n}$ . [1 pt]
On considère, pour tout $n \in {\mathbb{N}}$ , la somme $S_{n} = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n}$ . Montrer que $S_{n} = 3n + \left( \frac{1}{3} \right)^{n}$ . [1 pt]

Bonus [+0,5 pt]. Déterminer, à l’aide de la fonction $\ln$ , le plus petit entier naturel $n$ tel que $|u_{n} - 3| < 10^{- 3}$ .

Voir la correction

1) [1 pt] Pour tout $n \in {\mathbb{N}}$ : $v_{n + 1} = u_{n + 1} - 3 = \frac{1}{3}u_{n} + 2 - 3 = \frac{1}{3}(u_{n} - 3) = \frac{1}{3}v_{n}$ [0,5]. Donc $(v_{n})$ est géométrique de raison $\frac{1}{3}$ [0,25] et de premier terme $v_{0} = u_{0} - 3 = - 2$ [0,25].

2) [1 pt] $v_{n} = - 2\left( \frac{1}{3} \right)^{n}$ [0,25], donc $u_{n} = v_{n} + 3 = 3 - 2\left( \frac{1}{3} \right)^{n}$ [0,25]. Comme $- 1 < \frac{1}{3} < 1$ , $\lim_{n \rightarrow + \infty}\left( \frac{1}{3} \right)^{n} = 0$ , donc $\lim_{n \rightarrow + \infty}u_{n} = 3$ [0,5].

3) [1 pt] $S_{n} = \sum_{k = 0}^{n}\left( 3 + v_{k} \right) = 3(n + 1) + (v_{0} + \cdots + v_{n})$ [0,25]. Somme des termes d’une suite géométrique :

$v_{0} + \cdots + v_{n} = - 2 \times \frac{1 - \left( \frac{1}{3} \right)^{n + 1}}{1 - \frac{1}{3}} = - 3\left( 1 - \left( \frac{1}{3} \right)^{n + 1} \right) = - 3 + \left( \frac{1}{3} \right)^{n}\ \text{[0,5]}.$

Donc $S_{n} = 3n + 3 - 3 + \left( \frac{1}{3} \right)^{n} = 3n + \left( \frac{1}{3} \right)^{n}$ [0,25].

Bonus [+0,5 pt]. $|u_{n} - 3| = 2\left( \frac{1}{3} \right)^{n} < 10^{- 3} \Leftrightarrow 3^{n} > 2000 \Leftrightarrow n\ln 3 > \ln 2000 \Leftrightarrow n > \frac{\ln 2000}{\ln 3} \approx 6,92$ (la fonction $\ln$ est strictement croissante et $\ln 3 > 0$ , donc chaque étape est réversible). Le plus petit entier est $n = 7$ (vérification : $3^{6} = 729 < 2000 < 2187 = 3^{7}$ ).

Exercice 2 — Suites numériques — 3,5 points Moyen ★★★☆☆

On considère la suite $(u_{n})_{n \in {\mathbb{N}}}$ définie par $u_{0} = 2$ et, pour tout $n \in {\mathbb{N}}$ , $u_{n + 1} = \frac{3u_{n} + 2}{u_{n} + 4}$ .

Montrer par récurrence que, pour tout $n \in {\mathbb{N}}$ , $u_{n} > 1$ . [1 pt]
a) Montrer que, pour tout $n \in {\mathbb{N}}$ , $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{- (u_{n} - 1)(u_{n} + 2)}{u_{n} + 4}$ . [0,5 pt] b) En déduire que la suite $(u_{n})$ est décroissante, puis qu’elle est convergente. [0,5 pt]
On considère la suite $(v_{n})_{n \in {\mathbb{N}}}$ définie par $v_{n} = \frac{u_{n} - 1}{u_{n} + 2}$ . Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $\frac{2}{5}$ , et calculer $v_{0}$ . [0,75 pt]
Exprimer $v_{n}$ , puis $u_{n}$ , en fonction de $n$ , et calculer $\lim_{n \rightarrow + \infty}u_{n}$ . [0,75 pt]

Voir la correction

1) [1 pt] Pour tout $n \in {\mathbb{N}}$ , on note $P(n)$ la propriété « $u_{n} > 1$ » [0,25].

Initialisation : $u_{0} = 2 > 1$ , donc $P(0)$ est vraie [0,25].
Hérédité : on suppose que $P(n)$ est vraie pour un entier naturel $n$ donné, c’est-à-dire $u_{n} > 1$ . Alors $u_{n + 1} - 1 = \frac{3u_{n} + 2 - u_{n} - 4}{u_{n} + 4} = \frac{2(u_{n} - 1)}{u_{n} + 4}$ . Comme $u_{n} - 1 > 0$ et $u_{n} + 4 > 0$ , on obtient $u_{n + 1} - 1 > 0$ : $P(n + 1)$ est vraie [0,25].
Conclusion : d’après le principe de récurrence, pour tout $n \in {\mathbb{N}}$ , $u_{n} > 1$ [0,25].

2) a) [0,5 pt] $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{3u_{n} + 2 - u_{n}(u_{n} + 4)}{u_{n} + 4} = \frac{- u_{n}^{2} - u_{n} + 2}{u_{n} + 4} = \frac{- (u_{n} - 1)(u_{n} + 2)}{u_{n} + 4}$ .

b) [0,5 pt] Puisque $u_{n} > 1$ : $u_{n} - 1 > 0$ , $u_{n} + 2 > 0$ et $u_{n} + 4 > 0$ , donc $u_{n + 1} - u_{n} < 0$ : la suite $(u_{n})$ est décroissante [0,25]. Elle est décroissante et minorée par $1$ , donc elle est convergente [0,25].

3) [0,75 pt] $u_{n + 1} + 2 = \frac{3u_{n} + 2 + 2u_{n} + 8}{u_{n} + 4} = \frac{5(u_{n} + 2)}{u_{n} + 4}$ [0,25]. Donc

$v_{n + 1} = \frac{u_{n + 1} - 1}{u_{n + 1} + 2} = \frac{2(u_{n} - 1)}{5(u_{n} + 2)} = \frac{2}{5}v_{n}\ \text{[0,25]}.$

$(v_{n})$ est géométrique de raison $\frac{2}{5}$ et de premier terme $v_{0} = \frac{2 - 1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$ [0,25].

4) [0,75 pt] $v_{n} = \frac{1}{4}\left( \frac{2}{5} \right)^{n}$ [0,25]. De $v_{n}(u_{n} + 2) = u_{n} - 1$ , on tire $u_{n}(1 - v_{n}) = 1 + 2v_{n}$ ; or $v_{n} \leq \frac{1}{4} < 1$ , donc

$u_{n} = \frac{1 + 2v_{n}}{1 - v_{n}} = \frac{1 + \frac{1}{2}\left( \frac{2}{5} \right)^{n}}{1 - \frac{1}{4}\left( \frac{2}{5} \right)^{n}}\ \text{[0,25]}.$

Comme $- 1 < \frac{2}{5} < 1$ , $\lim_{n \rightarrow + \infty}\left( \frac{2}{5} \right)^{n} = 0$ , donc $\lim_{n \rightarrow + \infty}u_{n} = 1$ [0,25].

Exercice 3 — Nombres complexes — 3 points Facile ★★☆☆☆

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $z^{2} - 2\sqrt{3}\, z + 4 = 0$ . [1 pt]

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ . On considère les points $A$ et $C$ d’affixes respectives $a = \sqrt{3} + i$ et $c = 2i$ .

Écrire $a$ sous forme trigonométrique. [0,5 pt]
En déduire, à l’aide de la formule de Moivre, que $a^{6}$ est un nombre réel que l’on calculera. [0,5 pt]
Calculer le module et un argument de $\frac{c}{a}$ , puis en déduire la nature du triangle $OAC$ . [1 pt]

Voir la correction

1) [1 pt] $\Delta = (2\sqrt{3})^{2} - 16 = - 4 = (2i)^{2}$ [0,5]. Les solutions sont $z_{1} = \sqrt{3} - i$ et $z_{2} = \sqrt{3} + i$ [0,5].

2) [0,5 pt] $|a| = \sqrt{3 + 1} = 2$ et $a = 2\left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i \right) = 2\left( \cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6} \right)$ .

3) [0,5 pt] D’après la formule de Moivre, $a^{6} = 2^{6}\left( \cos\pi + i\sin\pi \right) = - 64$ , qui est réel.

4) [1 pt] $\frac{c}{a} = \frac{2i(\sqrt{3} - i)}{(\sqrt{3} + i)(\sqrt{3} - i)} = \frac{2 + 2\sqrt{3}\, i}{4} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}$ [0,5]. Donc $\left| \frac{c}{a} \right| = 1$ , soit $OC = OA$ , et $(\widehat{\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OC}}) \equiv \frac{\pi}{3}\ \lbrack 2\pi\rbrack$ [0,25]. Le triangle $OAC$ est isocèle en $O$ avec un angle de $\frac{\pi}{3}$ : il est équilatéral [0,25].

Exercice 4 — Nombres complexes — 3 points Facile ★★☆☆☆

Écrire $1 + i$ sous forme trigonométrique, puis calculer $(1 + i)^{8}$ à l’aide de la formule de Moivre. [0,5 pt]
Écrire le nombre complexe $z_{1} = \frac{1 + i}{1 - i}$ sous forme algébrique. [0,5 pt]
Déterminer le module et un argument du nombre complexe $w = 1 - i\sqrt{3}$ . [0,5 pt]
En déduire la forme algébrique de $w^{3}$ . [0,5 pt]
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct. Déterminer l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tels que $|z - 2i| = |z + 2|$ . [0,5 pt]
Déterminer l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tels que $|z - 1 + i| = 2$ . [0,5 pt]

Voir la correction

1) [0,5 pt] $|1 + i| = \sqrt{2}$ et $1 + i = \sqrt{2}\left( \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} \right)$ [0,25]. Moivre : $(1 + i)^{8} = \left( \sqrt{2} \right)^{8}\left( \cos 2\pi + i\sin 2\pi \right) = 16$ [0,25].

2) [0,5 pt] $z_{1} = \frac{(1 + i)^{2}}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{2i}{2} = i$ .

3) [0,5 pt] $|w| = \sqrt{1 + 3} = 2$ et $w = 2\left( \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \right) = 2\left( \cos\left( - \frac{\pi}{3} \right) + i\sin\left( - \frac{\pi}{3} \right) \right)$ : un argument de $w$ est $- \frac{\pi}{3}$ .

4) [0,5 pt] Moivre : $w^{3} = 8\left( \cos( - \pi) + i\sin( - \pi) \right) = - 8$ .

5) [0,5 pt] On note $E(2i)$ et $F( - 2)$ : $|z - 2i| = |z + 2| \Leftrightarrow ME = MF$ . L’ensemble cherché est la médiatrice du segment $\lbrack EF\rbrack$ , c’est-à-dire la droite d’équation $y = - x$ (en écrivant $z = x + iy$ : $x^{2} + (y - 2)^{2} = (x + 2)^{2} + y^{2} \Leftrightarrow - 4y = 4x$ ).

6) [0,5 pt] $|z - 1 + i| = |z - (1 - i)| = 2$ : en notant $\Omega(1 - i)$ , $\Omega M = 2$ . L’ensemble cherché est le cercle de centre $\Omega(1; - 1)$ et de rayon $2$ .

Exercice 5 — Problème : étude de fonction — 7,5 points Difficile ★★★★☆

Partie A. On considère la fonction $g$ définie sur $\rbrack 0; + \infty\lbrack$ par $g(x) = x - 2\ln x$ .

Calculer $\lim_{x \rightarrow 0^{+}}g(x)$ et $\lim_{x \rightarrow + \infty}g(x)$ . [0,5 pt]
Calculer $g'(x)$ pour tout $x \in \,\rbrack 0; + \infty\lbrack$ . [0,5 pt]
Dresser le tableau de variations de $g$ . [0,5 pt]
En déduire que $g(x) > 0$ pour tout $x \in \,\rbrack 0; + \infty\lbrack$ (on admet que $\ln 2 < 1$ ). [0,5 pt]

Partie B. On considère la fonction $f$ définie sur $\rbrack 0; + \infty\lbrack$ par $f(x) = x - (\ln x)^{2}$ , et on note $(C_{f})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath})$ , et $(\Delta)$ la droite d’équation $y = x$ .

a) Calculer $\lim_{x \rightarrow 0^{+}}f(x)$ , puis interpréter graphiquement le résultat. [0,25 pt] b) Montrer que $\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{(\ln x)^{2}}{x} = 0$ (on pourra écrire $\frac{(\ln x)^{2}}{x} = 4\left( \frac{\ln\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \right)^{2}$ ), puis calculer $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x)$ . [0,25 pt] c) Calculer $\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{f(x)}{x}$ et $\lim_{x \rightarrow + \infty}\left( f(x) - x \right)$ , puis interpréter graphiquement les résultats. [0,5 pt] d) Étudier la position relative de $(C_{f})$ et de $(\Delta)$ . [0,5 pt]
a) Montrer que, pour tout $x \in \,\rbrack 0; + \infty\lbrack$ , $f'(x) = \frac{g(x)}{x}$ . [0,5 pt] b) Dresser le tableau de variations de $f$ . [0,5 pt] c) Montrer que $(\Delta)$ est la tangente à $(C_{f})$ au point $A$ d’abscisse $1$ . [0,5 pt]
a) Montrer que, pour tout $x \in \,\rbrack 0; + \infty\lbrack$ , $f''(x) = \frac{2(\ln x - 1)}{x^{2}}$ , puis en déduire que $(C_{f})$ admet un unique point d’inflexion $I$ , dont on précisera les coordonnées. [0,75 pt] b) Tracer $(\Delta)$ et $(C_{f})$ dans le repère $(O;\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath})$ (on prendra $e \approx 2,7$ ). [1 pt]
a) Montrer que $f$ est une bijection de $\rbrack 0; + \infty\lbrack$ sur un intervalle $J$ à déterminer. [0,25 pt] b) Montrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\beta$ dans $\rbrack 0; + \infty\lbrack$ , et que $\frac{1}{e} < \beta < 1$ . [0,5 pt]

Bonus [+0,5 pt]. Montrer que $\ln\beta = - \sqrt{\beta}$ .

Voir la correction

Partie A (2 points)

1) [0,5 pt] $\lim_{x \rightarrow 0^{+}}\ln x = - \infty$ , donc $\lim_{x \rightarrow 0^{+}}g(x) = + \infty$ [0,25]. Pour $x > 0$ , $g(x) = x\left( 1 - 2\frac{\ln x}{x} \right)$ et $\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{\ln x}{x} = 0$ , donc $\lim_{x \rightarrow + \infty}g(x) = + \infty$ [0,25].

2) [0,5 pt] $g'(x) = 1 - \frac{2}{x} = \frac{x - 2}{x}$ .

3) [0,5 pt] Sur $\rbrack 0; + \infty\lbrack$ , $g'(x)$ a le signe de $x - 2$ .

$x$

$0$

$2$

$+ \infty$

$g'(x)$

$-$

$0$

$+$

$g$

$+ \infty$

$\searrow$

$2 - 2\ln 2$

$\nearrow$

$+ \infty$

4) [0,5 pt] Le minimum de $g$ est $g(2) = 2(1 - \ln 2)$ , strictement positif car $\ln 2 < 1$ . Donc $g(x) > 0$ pour tout $x > 0$ .

Partie B (5,5 points)

1) a) [0,25 pt] $\lim_{x \rightarrow 0^{+}}(\ln x)^{2} = + \infty$ , donc $\lim_{x \rightarrow 0^{+}}f(x) = - \infty$ : la droite d’équation $x = 0$ est une asymptote verticale à $(C_{f})$ .

b) [0,25 pt] Pour $x > 0$ , $\ln x = 2\ln\sqrt{x}$ , donc $\frac{(\ln x)^{2}}{x} = 4\left( \frac{\ln\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \right)^{2}$ . Quand $x \rightarrow + \infty$ , $\sqrt{x} \rightarrow + \infty$ et $\frac{\ln X}{X} \rightarrow 0$ ( $X = \sqrt{x}$ ), donc $\frac{(\ln x)^{2}}{x} \rightarrow 0$ . Ainsi $f(x) = x\left( 1 - \frac{(\ln x)^{2}}{x} \right) \rightarrow + \infty$ .

c) [0,5 pt] $\frac{f(x)}{x} = 1 - \frac{(\ln x)^{2}}{x} \rightarrow 1$ et $f(x) - x = - (\ln x)^{2} \rightarrow - \infty$ [0,25]. Donc $(C_{f})$ admet au voisinage de $+ \infty$ une branche parabolique de direction la droite $(\Delta):y = x$ [0,25].

d) [0,5 pt] $f(x) - x = - (\ln x)^{2} \leq 0$ , avec égalité si et seulement si $x = 1$ : $(C_{f})$ est en dessous de $(\Delta)$ et la touche au seul point $A(1;1)$ .

2) a) [0,5 pt] $f'(x) = 1 - 2\ln x \times \frac{1}{x} = \frac{x - 2\ln x}{x} = \frac{g(x)}{x}$ .

b) [0,5 pt] D’après la partie A, $f'(x) > 0$ : $f$ est strictement croissante sur $\rbrack 0; + \infty\lbrack$ .

$x$

$0$

$+ \infty$

$f'(x)$

$+$

$f$

$- \infty$

$\nearrow$

$+ \infty$

c) [0,5 pt] $f(1) = 1$ et $f'(1) = \frac{g(1)}{1} = 1$ : la tangente en $A$ a pour équation $y = 1 \times (x - 1) + 1$ , soit $y = x$ ; c’est $(\Delta)$ .

3) a) [0,75 pt] $f'(x) = 1 - \frac{2\ln x}{x}$ , donc $f''(x) = - 2 \times \frac{\frac{1}{x} \times x - \ln x}{x^{2}} = \frac{2(\ln x - 1)}{x^{2}}$ [0,25]. $f''(x)$ a le signe de $\ln x - 1$ , qui s’annule et change de signe en $x = e$ [0,25] : $(C_{f})$ est concave sur $\rbrack 0;e\rbrack$ , convexe sur $\lbrack e; + \infty\lbrack$ , et admet un unique point d’inflexion $I(e;e - 1)$ [0,25].

b) [1 pt]

4) a) [0,25 pt] $f$ est continue et strictement croissante sur $\rbrack 0; + \infty\lbrack$ : c’est une bijection de $\rbrack 0; + \infty\lbrack$ sur $J = \left\rbrack \lim_{0^{+}}f;\lim_{+ \infty}f \right\lbrack = {\mathbb{R}}$ .

b) [0,5 pt] $0 \in J$ , donc l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\beta$ [0,25]. De plus $f\left( \frac{1}{e} \right) = \frac{1}{e} - 1 < 0$ et $f(1) = 1 > 0$ , et $f$ est continue et strictement croissante sur $\left\lbrack \frac{1}{e};1 \right\rbrack$ : d’après le théorème des valeurs intermédiaires, $\frac{1}{e} < \beta < 1$ [0,25].

Bonus [+0,5 pt]. $f(\beta) = 0$ donne $(\ln\beta)^{2} = \beta$ . Comme $0 < \beta < 1$ , $\ln\beta < 0$ ; donc $\ln\beta = - \sqrt{(\ln\beta)^{2}} = - \sqrt{\beta}$ .