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Devoir surveillé n°2

Étude de fonctions, suites et primitives

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Remarque — barème

Exercice 1 : 8 points ; exercice 2 : 9 points ; exercice 3 : 3 points ; total sur 20. Le barème de chaque question est indiqué entre crochets. Deux questions bonus (+0,5 pt chacune) ; la note est plafonnée à 20.

Exercice 1 — Étude de fonction — 8 points Moyen ★★★☆☆

On considère la fonction $f$ définie sur $D_f=]-\infty;0]\cup]2;+\infty[$ par $f(x)=x-2-\sqrt{\dfrac{x}{x-2}}$ .

Calculer $\lim\limits_{x\to2^+}f(x)$ , puis interpréter graphiquement le résultat obtenu. [0,5 pt]
a. Vérifier que, pour tout $x\in D_f$ , $f(x)-(x-3)=\dfrac{-2}{x-2}\times\dfrac1{1+\sqrt{\frac{x}{x-2}}}$ . [0,25 pt] b. Montrer que la droite $(D)$ d’équation $y=x-3$ est une asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ et de $-\infty$ . [0,75 pt] c. Étudier la position relative de $(C_f)$ et de $(D)$ sur $]-\infty;0]$ et sur $]2;+\infty[$ . [1 pt]
a. Vérifier que, pour tout $x\in]-\infty;0[$ , $-\dfrac1x=\sqrt{\dfrac1{x^2}}$ et $\dfrac{f(x)+2}x=1+\sqrt{\dfrac1{x(x-2)}}$ . [0,5 pt] b. Étudier la dérivabilité de $f$ à gauche en $0$ , puis interpréter graphiquement le résultat obtenu. [0,75 pt]
Montrer que, pour tout $x\in D_f\setminus\{0\}$ , $f'(x)=1+\dfrac1{(x-2)^2\sqrt{\frac{x}{x-2}}}$ , puis dresser le tableau de variations de $f$ . [1 pt]
a. Montrer que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ , et que $\alpha\in]3;4[$ . [0,5 pt] b. Vérifier que $(\alpha-2)^2=\dfrac{\alpha}{\alpha-2}$ . [0,25 pt]
Tracer $(C_f)$ dans un repère orthonormé $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$ . [1,25 pt]
On considère la restriction $g$ de $f$ à l’intervalle $I=]2;+\infty[$ . a. Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à déterminer. [0,25 pt] b. Montrer que $\left(g^{-1}\right)'(0)=\dfrac{(\alpha-2)^3}{1+(\alpha-2)^3}$ . [0,5 pt]
Tracer $(C_{g^{-1}})$ dans le même repère. [0,5 pt]
Bonus. Montrer que $\alpha^3-6\alpha^2+11\alpha-8=0$ . [+0,5 pt]

Voir la correction

1. [0,5 pt] Quand $x\to2^+$ : $\dfrac x{x-2}\to+\infty$ , donc $\sqrt{\dfrac x{x-2}}\to+\infty$ et $\lim\limits_{x\to2^+}f(x)=-\infty$ . La droite d’équation $x=2$ est une asymptote verticale à $(C_f)$ .

2. a. [0,25 pt] $f(x)-(x-3)=1-\sqrt{\dfrac x{x-2}}=\dfrac{1-\frac x{x-2}}{1+\sqrt{\frac x{x-2}}}=\dfrac{-2}{x-2}\times\dfrac1{1+\sqrt{\frac x{x-2}}}$ .

2. b. [0,75 pt] En $\pm\infty$ : $\dfrac{-2}{x-2}\to0$ et $\sqrt{\dfrac x{x-2}}\to1$ , donc $f(x)-(x-3)\to0$ : $(D)$ est une asymptote oblique au voisinage de $+\infty$ et de $-\infty$ .

2. c. [1 pt] Le second facteur est positif. Sur $]-\infty;0]$ , $x-2<0$ donc $f(x)-(x-3)>0$ : $(C_f)$ est au-dessus de $(D)$ . Sur $]2;+\infty[$ , $f(x)-(x-3)<0$ : $(C_f)$ est en dessous de $(D)$ .

3. a. [0,5 pt] Pour $x<0$ : $\sqrt{\frac1{x^2}}=\frac1{|x|}=-\frac1x$ . Puis $\dfrac{f(x)+2}x=1-\dfrac1x\sqrt{\dfrac x{x-2}}=1+\sqrt{\dfrac1{x^2}\times\dfrac x{x-2}}=1+\sqrt{\dfrac1{x(x-2)}}$ .

3. b. [0,75 pt] $f(0)=-2$ . Quand $x\to0^-$ , $x(x-2)\to0^+$ , donc $\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}\to+\infty$ : $f$ n’est pas dérivable à gauche en $0$ ; $(C_f)$ admet au point $(0;-2)$ une demi-tangente verticale (dirigée vers le bas, la courbe arrivant par la gauche en montant).

4. [1 pt] La dérivée de $x\mapsto\frac x{x-2}$ est $x\mapsto\frac{-2}{(x-2)^2}$ , donc $f'(x)=1-\dfrac{\frac{-2}{(x-2)^2}}{2\sqrt{\frac x{x-2}}}=1+\dfrac1{(x-2)^2\sqrt{\frac x{x-2}}}>0$ . $f$ est strictement croissante sur $]-\infty;0]$ et sur $]2;+\infty[$ ; $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty$ .

5. a. [0,5 pt] Sur $]-\infty;0]$ , $f(x)\le-2<0$ : pas de solution. Sur $]2;+\infty[$ , $f$ est continue, strictement croissante et $f(]2;+\infty[)=\mathbb{R}$ : une unique solution $\alpha$ . $f(3)=1-\sqrt3<0$ et $f(4)=2-\sqrt2>0$ : $\alpha\in]3;4[$ ( $\alpha\approx3{,}52$ ).

5. b. [0,25 pt] $f(\alpha)=0$ donne $\alpha-2=\sqrt{\frac\alpha{\alpha-2}}$ , d’où $(\alpha-2)^2=\dfrac\alpha{\alpha-2}$ .

6. et 8. [1,25 + 0,5 pt]

7. a. [0,25 pt] $g$ est continue et strictement croissante sur $]2;+\infty[$ : réciproque définie sur $J=\mathbb{R}$ .

7. b. [0,5 pt] $g(\alpha)=0$ et $g'(\alpha)\neq0$ : $\left(g^{-1}\right)'(0)=\dfrac1{g'(\alpha)}$ . Or $\sqrt{\frac\alpha{\alpha-2}}=\alpha-2$ , donc $g'(\alpha)=1+\dfrac1{(\alpha-2)^3}=\dfrac{(\alpha-2)^3+1}{(\alpha-2)^3}$ , d’où $\left(g^{-1}\right)'(0)=\dfrac{(\alpha-2)^3}{1+(\alpha-2)^3}$ .

9. Bonus [+0,5 pt] D’après 5. b, $(\alpha-2)^3=\alpha$ , soit $\alpha^3-6\alpha^2+12\alpha-8=\alpha$ , d’où $\alpha^3-6\alpha^2+11\alpha-8=0$ .

Exercice 2 — Suites numériques — 9 points Facile ★★☆☆☆

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\dfrac12u_n+2$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ .

Montrer par récurrence que $u_n<4$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ . [1,5 pt]
a. Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante. [1,5 pt] b. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente. [1 pt]
On considère la suite $(v_n)$ définie par $v_n=u_n-4$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ . a. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac12$ , puis exprimer $v_n$ en fonction de $n$ . [2 pts] b. Montrer que $u_n=4-3\left(\dfrac12\right)^n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ , puis déterminer $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n$ . [2 pts]
Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n>3{,}99$ . [1 pt]
Bonus. Calculer $S_n=u_0+u_1+\dots+u_n$ en fonction de $n$ , puis $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{S_n}n$ . [+0,5 pt]

Voir la correction

1. [1,5 pt] Montrons par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_n<4$ .

Initialisation : $u_0=1<4$ .
Hérédité : soit $n\in\mathbb{N}$ tel que $u_n<4$ . Alors $u_{n+1}=\frac12u_n+2<2+2=4$ .

D’après le principe du raisonnement par récurrence, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_n<4$ .

2. a. [1,5 pt] $u_{n+1}-u_n=2-\dfrac12u_n=\dfrac{4-u_n}2>0$ : $(u_n)$ est strictement croissante.

2. b. [1 pt] Croissante et majorée par $4$ : $(u_n)$ converge.

3. a. [2 pts] $v_{n+1}=\frac12u_n+2-4=\frac12(u_n-4)=\frac12v_n$ ; $v_0=-3$ , donc $v_n=-3\left(\frac12\right)^n$ .

3. b. [2 pts] $u_n=v_n+4=4-3\left(\frac12\right)^n$ ; comme $0<\frac12<1$ , $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=4$ .

4. [1 pt] $u_n>3{,}99\iff3\left(\frac12\right)^n<0{,}01\iff2^n>300$ . Or $2^8=256$ et $2^9=512$ : $n=9$ .

5. Bonus [+0,5 pt] $S_n=4(n+1)-3\times\dfrac{1-\left(\frac12\right)^{n+1}}{1-\frac12}=4n-2+3\left(\dfrac12\right)^n$ , donc $\dfrac{S_n}n=4-\dfrac2n+\dfrac3n\left(\dfrac12\right)^n\to4$ .

Exercice 3 — Primitives — 3 points Facile ★☆☆☆☆

Déterminer, dans chaque cas, une primitive $F$ de $f$ sur l’intervalle $I$ indiqué. [1 pt chacune]

$f(x)=x^9$ , $I=\mathbb{R}$ .
$f(x)=x\left(x^2+1\right)^3$ , $I=\mathbb{R}$ .
$f(x)=\dfrac{4x+8}{\sqrt{x^2+4x+1}}$ , $I=]0;+\infty[$ .

Voir la correction

$F(x)=\dfrac{x^{10}}{10}$ .
$f=\dfrac12u'u^3$ avec $u(x)=x^2+1$ : $F(x)=\dfrac{(x^2+1)^4}8$ .
$f=2\times\dfrac{u'}{\sqrt u}$ avec $u(x)=x^2+4x+1>0$ sur $]0;+\infty[$ : $F(x)=4\sqrt{x^2+4x+1}$ .

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