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Devoir surveillé n°1

Continuité et dérivation

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Remarque — barème

Exercice 1 : 5 points ; exercice 2 : 5 points ; exercice 3 : 10 points ; total sur 20. Le barème de chaque question est indiqué entre crochets. Deux questions bonus (+0,5 pt chacune) figurent à la fin de l’exercice 3 ; la note est plafonnée à 20.

Exercice 1 — Racines, limites et continuité — 5 points Facile ★★☆☆☆

Ranger dans l’ordre croissant les nombres $\sqrt[6]{10}$ , $\sqrt[3]3$ et $\sqrt[4]5$ . [1 pt]
Calculer les limites suivantes : $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\sqrt[3]{x+7}-2}{x-1}$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2+1}-x\right)$ . [2 pts]
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{x^3-4x^2+5x-2}{x-2}$ si $x\neq2$ et $f(2)=2$ .

Vérifier que, pour tout $x\in\mathbb{R}$ , $x^3-4x^2+5x-2=(x-2)(x^2-2x+1)$ , puis étudier la continuité de $f$ en $2$ . [1 pt]
On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\sqrt{x^2+16}$ . Calculer $\lim\limits_{x\to3}\dfrac{g(x)-5}{x-3}$ , puis interpréter géométriquement le résultat obtenu. [1 pt]

Voir la correction

1. [1 pt] Avec l’indice $12$ : $\sqrt[6]{10}=\sqrt[12]{100}$ , $\sqrt[3]3=\sqrt[12]{81}$ , $\sqrt[4]5=\sqrt[12]{125}$ [0,5]. Donc $\sqrt[3]3<\sqrt[6]{10}<\sqrt[4]5$ [0,5].

2. [2 pts] • $\sqrt[3]{x+7}-2=\dfrac{x-1}{\sqrt[3]{(x+7)^2}+2\sqrt[3]{x+7}+4}$ , d’où $\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\sqrt[3]{x+7}-2}{x-1}=\dfrac1{12}$ [1].

• Avec $A=\sqrt[3]{x^3+3x^2+1}$ : $A-x=\dfrac{3x^2+1}{A^2+Ax+x^2}=\dfrac{3+\frac1{x^2}}{\left(\frac Ax\right)^2+\frac Ax+1}$ et $\dfrac Ax=\sqrt[3]{1+\frac3x+\frac1{x^3}}\to1$ : la limite vaut $1$ [1].

3. [1 pt] $(x-2)(x^2-2x+1)=x^3-2x^2+x-2x^2+4x-2=x^3-4x^2+5x-2$ [0,25]. Pour $x\neq2$ : $f(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2\xrightarrow[x\to2]{}1$ [0,5]. Comme $1\neq f(2)=2$ , $f$ n’est pas continue en $2$ [0,25].

4. [1 pt] $\dfrac{g(x)-5}{x-3}=\dfrac{x^2+16-25}{(x-3)(\sqrt{x^2+16}+5)}=\dfrac{x+3}{\sqrt{x^2+16}+5}\xrightarrow[x\to3]{}\dfrac6{10}=\dfrac35$ [0,5]. Donc $g$ est dérivable en $3$ et $g'(3)=\frac35$ : $(C_g)$ admet au point $(3;5)$ une tangente de coefficient directeur $\frac35$ , d’équation $y=\frac35x+\frac{16}5$ [0,5].

Exercice 2 — Théorème des valeurs intermédiaires — 5 points Facile ★★☆☆☆

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^3-9x^2+12x-6$ .

Étudier les variations de $f$ (on donne $f(1)=-1$ et $f(2)=-2$ ). [1 pt]
Montrer que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ , et que $\alpha\in]2;3[$ . [1 pt]
Vérifier que, pour tout $x\in\mathbb{R}$ , $f(x)-f(1)=(x-1)^2(2x-5)$ , puis dresser le tableau de signe de $f(x)$ et celui de $f(x)-f(1)$ sur $\mathbb{R}$ . [1 pt]
Déterminer un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $0{,}5$ (on donne $f\left(\frac52\right)=-1$ ). [1 pt]
Montrer que $2\left(\alpha-\dfrac94\right)^2+\dfrac{15}8=\dfrac6\alpha$ . [1 pt]

Voir la correction

1. [1 pt] $f'(x)=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2)$ [0,5] : $f$ est strictement croissante sur $]-\infty;1]$ et sur $[2;+\infty[$ , strictement décroissante sur $[1;2]$ ; $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ , $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ [0,5].

2. [1 pt] Sur $]-\infty;2]$ , $f(x)\le f(1)=-1<0$ : pas de solution [0,5]. Sur $[2;+\infty[$ , $f$ est continue, strictement croissante, $f(2)=-2<0$ et $f(3)=54-81+36-6=3>0$ : une unique solution, située dans $]2;3[$ [0,5].

3. [1 pt] D’après 2 : $f(x)<0$ pour $x<\alpha$ , $f(\alpha)=0$ , $f(x)>0$ pour $x>\alpha$ [0,5]. Ensuite $(x-1)^2(2x-5)=(x^2-2x+1)(2x-5)=2x^3-9x^2+12x-5=f(x)+1=f(x)-f(1)$ . Comme $(x-1)^2\ge0$ , $f(x)-f(1)$ a le signe de $2x-5$ (et s’annule en $1$ ) : $f(x)-f(1)\le0$ sur $\left]-\infty;\frac52\right]$ , $f(x)-f(1)>0$ sur $\left]\frac52;+\infty\right[$ [0,5].

4. [1 pt] $f\left(\frac52\right)=-1<0$ et $f(3)>0$ : $\dfrac52<\alpha<3$ .

5. [1 pt] $\alpha\neq0$ ; en divisant $2\alpha^3-9\alpha^2+12\alpha-6=0$ par $\alpha$ : $2\alpha^2-9\alpha+12=\dfrac6\alpha$ [0,5]. Or $2\alpha^2-9\alpha+12=2\left(\alpha-\frac94\right)^2-\frac{81}8+12=2\left(\alpha-\frac94\right)^2+\frac{15}8$ [0,5].

Exercice 3 — Fonction définie par morceaux et réciproque — 10 points Moyen ★★★☆☆

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-4x+5\ \text{ si } x<3\qquad\text{et}\qquad f(x)=2-\sqrt{x^2-9}\ \text{ si } x\ge3 .$

Calculer les limites $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ et $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)$ . [0,5 pt]
Montrer que $f$ est continue en $3$ . [1 pt]
En déduire que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ (on remarquera que $\mathbb{R}=]-\infty;3]\cup[3;+\infty[$ ). [1 pt]
a. Vérifier que, pour tout $x>3$ , $\sqrt{x^2-9}=(x-3)\times\sqrt{\dfrac{x+3}{x-3}}$ . [0,25 pt] b. Montrer que $f$ n’est pas dérivable à droite en $3$ , puis interpréter géométriquement le résultat obtenu. [1,25 pt]
a. Montrer que $f'(x)=2(x-2)$ pour tout $x\in]-\infty;3[$ et $f'(x)=\dfrac{-x}{\sqrt{x^2-9}}$ pour tout $x\in]3;+\infty[$ . [1,25 pt] b. Étudier le signe de $f'(x)$ (cas $x<2$ , $2<x<3$ et $x>3$ ), puis dresser le tableau de variations de $f$ . [1,5 pt]
On considère la restriction $g$ de $f$ à l’intervalle $]3;+\infty[$ . a. Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à déterminer. [1 pt] b. Calculer $g(5)$ , puis montrer que $g^{-1}$ est dérivable en $-2$ et calculer $\left(g^{-1}\right)'(-2)$ . [0,75 pt] c. Déterminer une équation de la tangente à $(C_{g^{-1}})$ au point d’abscisse $-2$ . [0,5 pt] d. Dresser le tableau de variations de $g^{-1}$ . [0,5 pt] e. Déterminer $g^{-1}(x)$ pour tout $x\in J$ . [0,5 pt]

Bonus.

Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}\big(f(x)+x\big)$ . [+0,5 pt]
Déterminer le nombre de solutions dans $\mathbb{R}$ de l’équation $f(x)=\dfrac32$ . [+0,5 pt]

Voir la correction

1. [0,5 pt] $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(2-\sqrt{x^2-9}\right)=-\infty$ ; $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}x^2=+\infty$ .

2. [1 pt] $f(3)=2-0=2$ . À gauche : $\lim\limits_{x\to3^-}f(x)=\lim\limits_{x\to3^-}(x^2-4x+5)=9-12+5=2=f(3)$ [0,5]. À droite : $\lim\limits_{x\to3^+}f(x)=\lim\limits_{x\to3^+}\left(2-\sqrt{x^2-9}\right)=2=f(3)$ [0,5]. Donc $f$ est continue à gauche et à droite en $3$ : $f$ est continue en $3$ .

3. [1 pt] Sur $]-\infty;3[$ , $f$ coïncide avec une fonction polynôme, donc elle y est continue ; sur $]3;+\infty[$ , $f(x)=2-\sqrt{x^2-9}$ est continue ( $x^2-9>0$ ). Avec la continuité en $3$ (question 2), $f$ est continue sur $]-\infty;3]$ et sur $[3;+\infty[$ , donc sur $\mathbb{R}=]-\infty;3]\cup[3;+\infty[$ .

4. a. [0,25 pt] Pour $x>3$ : $(x-3)\sqrt{\dfrac{x+3}{x-3}}=\sqrt{(x-3)^2\times\dfrac{x+3}{x-3}}=\sqrt{(x-3)(x+3)}=\sqrt{x^2-9}$ (car $x-3>0$ ).

4. b. [1,25 pt] Pour $x>3$ : $\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}=-\dfrac{\sqrt{x^2-9}}{x-3}=-\sqrt{\dfrac{x+3}{x-3}}\xrightarrow[x\to3^+]{}-\infty$ [0,75]. $f$ n’est pas dérivable à droite en $3$ : $(C_f)$ admet au point $(3;2)$ une demi-tangente verticale dirigée vers le bas [0,5].

5. a. [1,25 pt] Sur $]-\infty;3[$ : $f'(x)=2x-4=2(x-2)$ [0,5]. Sur $]3;+\infty[$ : $f'(x)=-\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2-9}}=\dfrac{-x}{\sqrt{x^2-9}}$ [0,75].

5. b. [1,5 pt] Si $x<2$ : $f'(x)<0$ ; si $2<x<3$ : $f'(x)>0$ ; si $x>3$ : $f'(x)<0$ [0,75]. Avec $f(2)=1$ et $f(3)=2$ [0,75] :

6. a. [1 pt] $g$ est continue et strictement décroissante sur $]3;+\infty[$ : elle admet une réciproque définie sur $J=\left]\lim\limits_{x\to+\infty}g(x);\lim\limits_{x\to3^+}g(x)\right[=]-\infty;2[$ .

6. b. [0,75 pt] $g(5)=2-\sqrt{16}=-2$ [0,25]. $g$ est dérivable en $5$ et $g'(5)=-\frac54\neq0$ , donc $g^{-1}$ est dérivable en $-2$ et $\left(g^{-1}\right)'(-2)=\dfrac1{g'(5)}=-\dfrac45$ [0,5].

6. c. [0,5 pt] $y=\left(g^{-1}\right)'(-2)(x+2)+g^{-1}(-2)=-\frac45(x+2)+5$ , soit $y=-\dfrac45x+\dfrac{17}5$ .

6. d. [0,5 pt] $g^{-1}$ est strictement décroissante sur $J=]-\infty;2[$ , de $+\infty$ (en $-\infty$ ) à $3$ (en $2^-$ ).

6. e. [0,5 pt] Pour $x\in J$ et $y>3$ : $g(y)=x\iff\sqrt{y^2-9}=2-x\iff y^2=9+(2-x)^2$ (car $2-x>0$ ) $\iff y=\sqrt{9+(2-x)^2}$ (car $y>0$ ). Donc $g^{-1}(x)=\sqrt{9+(2-x)^2}$ .

Bonus 7. [+0,5 pt] Pour $x\ge3$ : $f(x)+x=2+\left(x-\sqrt{x^2-9}\right)=2+\dfrac9{x+\sqrt{x^2-9}}\xrightarrow[x\to+\infty]{}2$ .

Bonus 8. [+0,5 pt] D’après le tableau de variations : sur $]-\infty;2]$ , $f$ décroît strictement de $+\infty$ à $1$ ; sur $[2;3]$ , elle croît strictement de $1$ à $2$ ; sur $[3;+\infty[$ , elle décroît strictement de $2$ à $-\infty$ . Comme $\frac32\in]1;2[$ , l’équation $f(x)=\frac32$ a exactement une solution dans chacun de ces trois intervalles : trois solutions (à savoir $2-\frac{\sqrt2}2$ , $2+\frac{\sqrt2}2$ et $\frac{\sqrt{37}}2$ ).

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