Devoir maison n°2 Étude de fonctions, suites et primitives

Exercice 1 — Étude de fonction Moyen ★★★☆☆

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=x\left(\sqrt x-3\right)^2$ .

Étudier la continuité de $f$ sur $[0;+\infty[$ .
Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $0$ , puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
a. Montrer que, pour tout $x\in]0;+\infty[$ , $f'(x)=\left(\sqrt x-3\right)\left(2\sqrt x-3\right)$ . b. Dresser le tableau de variations de $f$ . c. Dresser le tableau de signe de $f(x)$ sur $[0;+\infty[$ . d. Montrer que l’équation $f(x)=x-3$ admet une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle $\left]\frac94;9\right[$ .
On considère la restriction $g$ de $f$ à l’intervalle $[9;+\infty[$ . a. Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à déterminer. b. Dresser le tableau de variations de $g^{-1}$ . c. Calculer $g(16)$ , puis en déduire $\left(g^{-1}\right)'(16)$ .
a. Montrer que, pour tout $x\in J$ , $g^{-1}(x)=\left(\dfrac{3+\sqrt{9+4\sqrt x}}2\right)^2$ . b. Déterminer, par deux méthodes, l’expression de $\left(g^{-1}\right)'(x)$ pour tout $x\in J\setminus\{0\}$ .
Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x$ , puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
Étudier la concavité de $(C_f)$ et montrer que $(C_f)$ admet un unique point d’inflexion $I$ à déterminer.
Déterminer les points d’intersection de $(C_f)$ avec les axes du repère.
Tracer $(C_f)$ et la droite $(\Delta)$ d’équation $y=x$ dans un même repère orthonormé (on donne $f(16)=16$ ).
Tracer $(C_{g^{-1}})$ dans le même repère.
Résoudre graphiquement : $f(x)=x$ ; $f(x)\le x$ ; $g^{-1}(x)=16$ .

Voir la correction

1. $x\mapsto\sqrt x$ est continue sur $[0;+\infty[$ ; par somme, produit et puissance, $f$ est continue sur $[0;+\infty[$ .

2. $f(0)=0$ et, pour $x>0$ : $\dfrac{f(x)-f(0)}x=\left(\sqrt x-3\right)^2\xrightarrow[x\to0^+]{}9$ . $f$ est dérivable à droite en $0$ et $f'_d(0)=9$ : $(C_f)$ admet à l’origine une demi-tangente d’équation $y=9x$ ( $x\ge0$ ).

3. a. Pour $x>0$ : $f'(x)=\left(\sqrt x-3\right)^2+x\times2\left(\sqrt x-3\right)\times\dfrac1{2\sqrt x}=\left(\sqrt x-3\right)\left[\left(\sqrt x-3\right)+\sqrt x\right]=\left(\sqrt x-3\right)\left(2\sqrt x-3\right)$ .

3. b. $2\sqrt x-3=0\iff x=\frac94$ et $\sqrt x-3=0\iff x=9$ . $f\left(\frac94\right)=\frac94\times\left(\frac32-3\right)^2=\frac{81}{16}$ ; $f(9)=0$ ; $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ .

3. c. $f(x)=x\left(\sqrt x-3\right)^2\ge0$ sur $[0;+\infty[$ , avec égalité seulement en $0$ et en $9$ .

3. d. On pose $\varphi(x)=f(x)-x+3$ sur $\left[\frac94;9\right]$ . $\varphi$ est continue et strictement décroissante (somme de deux fonctions strictement décroissantes). $\varphi\left(\frac94\right)=\frac{81}{16}-\frac94+3=\frac{93}{16}>0$ et $\varphi(9)=-6<0$ : l’équation $\varphi(x)=0$ , c’est-à-dire $f(x)=x-3$ , admet une unique solution $\alpha\in\left]\frac94;9\right[$ ( $\alpha\approx5{,}43$ ).

4. a. $g$ est continue et strictement croissante sur $[9;+\infty[$ : elle admet une réciproque définie sur $J=[g(9);+\infty[=[0;+\infty[$ .

4. b. $g^{-1}$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$ , de $g^{-1}(0)=9$ à $+\infty$ .

4. c. $g(16)=16\times(4-3)^2=16$ . $g$ est dérivable en $16$ et $g'(16)=(4-3)(8-3)=5\neq0$ : $\left(g^{-1}\right)'(16)=\dfrac1{g'(16)}=\dfrac15$ .

5. a. Soit $x\in J$ et $y\ge9$ ; on pose $s=\sqrt y\ge3$ . Alors $g(y)=x\iff\left(s(s-3)\right)^2=x\iff s(s-3)=\sqrt x$ (car $s(s-3)\ge0$ ) $\iff s^2-3s-\sqrt x=0$ . Les racines sont $\dfrac{3\pm\sqrt{9+4\sqrt x}}2$ ; seule $\dfrac{3+\sqrt{9+4\sqrt x}}2$ est supérieure ou égale à $3$ . Donc $g^{-1}(x)=s^2=\left(\dfrac{3+\sqrt{9+4\sqrt x}}2\right)^2$ .

5. b. On note $W=\sqrt{9+4\sqrt x}$ (pour $x>0$ ).

Méthode 1 (dérivation directe). $W'=\dfrac{\frac4{2\sqrt x}}{2W}=\dfrac1{\sqrt xW}$ , donc $\left(g^{-1}\right)'(x)=2\times\dfrac{3+W}2\times\dfrac{W'}2=\dfrac{3+W}{2\sqrt x\,W}$ .

Méthode 2 (formule de la réciproque). Avec $s=\frac{3+W}2$ : $\left(g^{-1}\right)'(x)=\dfrac1{g'(s^2)}=\dfrac1{(s-3)(2s-3)}=\dfrac1{\frac{W-3}2\times W}=\dfrac2{W(W-3)}$ . Comme $(W+3)(W-3)=W^2-9=4\sqrt x$ , les deux expressions sont égales : $\left(g^{-1}\right)'(x)=\dfrac{3+\sqrt{9+4\sqrt x}}{2\sqrt x\sqrt{9+4\sqrt x}}$ (contrôle : $x=16$ donne $W=5$ et $\frac15$ ).

6. $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ et $\dfrac{f(x)}x=\left(\sqrt x-3\right)^2\to+\infty$ : branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.

7. $f'(x)=2x-9\sqrt x+9$ , donc $f''(x)=2-\dfrac9{2\sqrt x}=\dfrac{4\sqrt x-9}{2\sqrt x}$ . $f''(x)<0$ sur $\left]0;\frac{81}{16}\right[$ (concave) et $f''(x)>0$ sur $\left]\frac{81}{16};+\infty\right[$ (convexe). Unique point d’inflexion : $I\left(\dfrac{81}{16};\dfrac{729}{256}\right)$ , car $f\left(\frac{81}{16}\right)=\frac{81}{16}\left(\frac94-3\right)^2=\frac{729}{256}$ .

8. $f(x)=0\iff x=0$ ou $x=9$ : $(C_f)$ coupe $(Ox)$ en $O(0;0)$ et $(9;0)$ , et coupe $(Oy)$ en $O$ .

9. et 10.

11. $f(x)=x\iff x=0$ ou $\left(\sqrt x-3\right)^2=1\iff x\in\{0;4;16\}$ (abscisses des points communs à $(C_f)$ et $(\Delta)$ ). $f(x)\le x\iff x\in\{0\}\cup[4;16]$ ( $(C_f)$ sous $(\Delta)$ ). $g^{-1}(x)=16\iff x=g(16)=16$ : $S=\{16\}$ .

Exercice 2 — Suites numériques Difficile ★★★★☆

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et $u_{n+1}=\dfrac{3u_n-2}{u_n}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ .

Partie I

Calculer $u_1$ et $u_2$ .
Montrer par récurrence que $u_n>2$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ .
Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_{n+1}-u_n=-\dfrac{(u_n-1)(u_n-2)}{u_n}$ .
Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante, puis en déduire qu’elle est convergente.

Partie II

Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_{n+1}-2\le\dfrac12(u_n-2)$ .
Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_n-2\le\left(\dfrac12\right)^n$ .
Déterminer $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n$ .

Partie III. Pour tout $n\in\mathbb{N}$ , on pose $v_n=\dfrac{u_n-2}{u_n-1}$ .

Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique et préciser sa raison et son premier terme.
Exprimer $v_n$ , puis $u_n$ , en fonction de $n$ .
Retrouver la limite de la suite $(u_n)$ .

Partie IV. On considère la fonction $h$ définie sur $I=[2;+\infty[$ par $h(x)=\dfrac{3x-2}x$ .

Étudier les variations de $h$ sur $I$ .
Vérifier que $u_{n+1}=h(u_n)$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ .
Montrer par récurrence que $u_n\in I$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ .
Vérifier que $h(I)\subset I$ .
Retrouver la limite de la suite $(u_n)$ .

Voir la correction

I. 1. $u_1=3-\dfrac23=\dfrac73$ et $u_2=3-\dfrac67=\dfrac{15}7$ .

I. 2. Montrons par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_n>2$ .

Initialisation : $u_0=3>2$ .
Hérédité : soit $n\in\mathbb{N}$ tel que $u_n>2$ . Alors $u_{n+1}-2=\dfrac{3u_n-2-2u_n}{u_n}=\dfrac{u_n-2}{u_n}>0$ .

D’après le principe du raisonnement par récurrence, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_n>2$ .

I. 3. $u_{n+1}-u_n=\dfrac{3u_n-2-u_n^2}{u_n}=-\dfrac{u_n^2-3u_n+2}{u_n}=-\dfrac{(u_n-1)(u_n-2)}{u_n}$ .

I. 4. Comme $u_n>2$ , $u_{n+1}-u_n<0$ : $(u_n)$ est décroissante ; minorée par $2$ , elle converge.

II. 1. $u_{n+1}-2=\dfrac{u_n-2}{u_n}$ avec $u_n-2>0$ et $\dfrac1{u_n}<\dfrac12$ : $u_{n+1}-2\le\dfrac12(u_n-2)$ .

II. 2. Montrons par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_n-2\le\left(\frac12\right)^n$ .

Initialisation : $u_0-2=1=\left(\frac12\right)^0$ .
Hérédité : soit $n\in\mathbb{N}$ tel que $u_n-2\le\left(\frac12\right)^n$ . D’après II.1 : $u_{n+1}-2\le\frac12(u_n-2)\le\left(\frac12\right)^{n+1}$ .

D’après le principe du raisonnement par récurrence, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_n-2\le\left(\frac12\right)^n$ .

II. 3. $0<u_n-2\le\left(\frac12\right)^n\to0$ : $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=2$ .

III. 1. $u_{n+1}-1=\dfrac{2(u_n-1)}{u_n}$ et $u_{n+1}-2=\dfrac{u_n-2}{u_n}$ , donc $v_{n+1}=\dfrac{u_n-2}{2(u_n-1)}=\dfrac12v_n$ : géométrique de raison $\frac12$ , de premier terme $v_0=\frac12$ .

III. 2. $v_n=\left(\frac12\right)^{n+1}$ ; de $v_n(u_n-1)=u_n-2$ on tire $u_n=\dfrac{2-v_n}{1-v_n}=\dfrac{2-\left(\frac12\right)^{n+1}}{1-\left(\frac12\right)^{n+1}}$ .

III. 3. $\left(\frac12\right)^{n+1}\to0$ : $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=2$ .

IV. 1. $h(x)=3-\dfrac2x$ , $h'(x)=\dfrac2{x^2}>0$ : $h$ est strictement croissante sur $I$ .

IV. 2. $h(u_n)=\dfrac{3u_n-2}{u_n}=u_{n+1}$ .

IV. 3. D’après I.2, $u_n>2$ , donc $u_n\in I$ .

IV. 4. $h(I)=\left[h(2);\lim\limits_{x\to+\infty}h(x)\right[=[2;3[\subset I$ .

IV. 5. $(u_n)$ converge vers $\ell\in I$ ; $h$ est continue sur $I$ et $h(I)\subset I$ , donc $h(\ell)=\ell$ , soit $\ell^2-3\ell+2=0$ : $\ell=1$ ou $\ell=2$ . Comme $1\notin I$ : $\ell=2$ .

Exercice 3 — Primitives Facile ★★☆☆☆

Déterminer une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $I$ indiqué, dans chacun des cas suivants.


1. $f(x)=6x^2-4x+1$ , $I=\mathbb{R}$	2. $f(x)=\sqrt[3]{x+2}$ , $I=]-2;+\infty[$
3. $f(x)=\dfrac4{x^2}$ , $I=]0;+\infty[$	4. $f(x)=\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}$ , $I=\mathbb{R}$
5. $f(x)=\sin x\cos^2x$ , $I=\mathbb{R}$	6. $f(x)=-\tan^2x$ , $I=\left]-\frac\pi2;\frac\pi2\right[$
7. $f(x)=\dfrac2{(1-2x)^2}$ , $I=\left]\frac12;+\infty\right[$	8. $f(x)=\dfrac1{x^2\sqrt x}$ , $I=]0;+\infty[$
9. $f(x)=\sqrt[3]x-\sqrt x$ , $I=]0;+\infty[$	10. $f(x)=x\sqrt{x^2+9}$ , $I=\mathbb{R}$
11. $f(x)=\dfrac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+4}}$ , $I=\mathbb{R}$	12. $f(x)=\cos(3x)+\sin\left(\dfrac x2\right)$ , $I=\mathbb{R}$
13. $f(x)=\dfrac3{x^3}-\dfrac2{x^2}$ , $I=]0;+\infty[$	14. $f(x)=\dfrac{2x}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}$ , $I=\mathbb{R}$
15. $f(x)=\dfrac{3x^2+2x}{(x^3+x^2+5)^2}$ , $I=]0;+\infty[$	16. $f(x)=\dfrac{x}{(x^2-1)^2}$ , $I=]1;+\infty[$

Voir la correction


1. $F(x)=2x^3-2x^2+x$	2. $F(x)=\dfrac34(x+2)\sqrt[3]{x+2}$
3. $F(x)=-\dfrac4x$	4. $F(x)=-\dfrac1{x^2+1}$
5. $F(x)=-\dfrac{\cos^3x}3$	6. $F(x)=x-\tan x$ (car $-\tan^2x=1-(1+\tan^2x)$ )
7. $F(x)=\dfrac1{1-2x}$	8. $F(x)=-\dfrac2{3x\sqrt x}$ (car $f(x)=x^{-\frac52}$ )
9. $F(x)=\dfrac34x\sqrt[3]x-\dfrac23x\sqrt x$	10. $F(x)=\dfrac13(x^2+9)\sqrt{x^2+9}$
11. $F(x)=2\sqrt{x^2+x+4}$	12. $F(x)=\dfrac{\sin(3x)}3-2\cos\left(\dfrac x2\right)$
13. $F(x)=-\dfrac3{2x^2}+\dfrac2x$	14. $F(x)=-\dfrac2{\sqrt{x^2+1}}$
15. $F(x)=-\dfrac1{x^3+x^2+5}$	16. $F(x)=-\dfrac1{2(x^2-1)}$