Devoir maison n°1

1. Équation. Elle est définie pour $x\ge0$, et alors $\sqrt[3]x+1\ge1>0$. Donc $\left(\sqrt[3]x+1\right)^3=27\iff\sqrt[3]x+1=\sqrt[3]{27}=3\iff\sqrt[3]x=2\iff x=8$. $S=\{8\}$.

Inéquation. Elle est définie sur $\mathbb{R}$ ($x^2+23>0$) et s’écrit $\sqrt[3]{x^2+23}<x+1$.

• Si $x\le-1$ : $x+1\le0<\sqrt[3]{x^2+23}$ : l’inéquation n’est pas vérifiée.
• Si $x>-1$ : les deux membres sont positifs, donc l’inéquation équivaut à $x^2+23<(x+1)^3$, soit $x^3+2x^2+3x-22>0$. Or $2$ est racine et $x^3+2x^2+3x-22=(x-2)(x^2+4x+11)$, avec $x^2+4x+11=(x+2)^2+7>0$. L’inéquation équivaut donc à $x>2$.

$S=]2;+\infty[$.

2. • $\sqrt[3]{x+5}-2=\dfrac{(x+5)-8}{\sqrt[3]{(x+5)^2}+2\sqrt[3]{x+5}+4}$, donc $\dfrac{\sqrt[3]{x+5}-2}{x-3}=\dfrac1{\sqrt[3]{(x+5)^2}+2\sqrt[3]{x+5}+4}\xrightarrow[x\to3]{}\dfrac1{12}$.

• Pour $x>0$ : $\sqrt[3]{x^3+1}-2x=x\left(\sqrt[3]{1+\frac1{x^3}}-2\right)$ et la parenthèse tend vers $-1$ : la limite vaut $-\infty$.

• Avec $A=\sqrt[3]{x^3+1}$ : $A-x=\dfrac{A^3-x^3}{A^2+Ax+x^2}=\dfrac1{A^2+Ax+x^2}$, et le dénominateur tend vers $+\infty$ : la limite vaut $0$.

3. $\sqrt[4]5=\sqrt[12]{5^3}=\sqrt[12]{125}$ et $\sqrt[3]3=\sqrt[12]{3^4}=\sqrt[12]{81}$. Comme $81<125$ : $\sqrt[3]3<\sqrt[4]5$.

4. Avec l’indice $12$ : $\sqrt2=\sqrt[12]{64}$, $\sqrt[3]2=\sqrt[12]{16}$, $\sqrt[6]6=\sqrt[12]{36}$, $\sqrt[4]3=\sqrt[12]{27}$. Donc $\sqrt[3]2<\sqrt[4]3<\sqrt[6]6<\sqrt2$.

1. Pour $x\ge0$, $x^2+2x=x(x+2)\ge0$ ; $x\mapsto x^2+2x$ est continue et positive sur $[0;+\infty[$, donc $x\mapsto\sqrt{x^2+2x}$ y est continue. Par somme avec $x\mapsto x^2-2$, $f$ est continue sur $[0;+\infty[$.

2. a. $f(0)=-2$. Pour $x>0$ : $\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\dfrac{x^2+\sqrt{x^2+2x}}x=x+\sqrt{\dfrac{x^2+2x}{x^2}}=x+\sqrt{\dfrac{x+2}x}\xrightarrow[x\to0^+]{}+\infty$. $f$ n’est pas dérivable à droite en $0$ : $(C_f)$ admet au point $A(0;-2)$ une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.

2. b. Sur $]0;+\infty[$, $x^2+2x>0$ : $f$ est dérivable et $f'(x)=2x+\dfrac{2x+2}{2\sqrt{x^2+2x}}=2x+\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}}$.

2. c. Pour $x>0$, $f'(x)>0$ : $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$, avec $f(0)=-2$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

3. $f$ est continue et strictement croissante sur $[0;+\infty[$ : elle admet une réciproque définie sur $f([0;+\infty[)=\left[f(0);\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\right[=[-2;+\infty[$.

4. a. $0\in[-2;+\infty[$ : d’après le théorème de la bijection, l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha\in[0;+\infty[$. Comme $f(0)=-2<0$ et $f(1)=-1+\sqrt3>0$, on a $\alpha\in]0;1[$.

4. b. $f(\alpha)=0$ s’écrit $\alpha^2-2+\sqrt{\alpha^2+2\alpha}=0$, d’où $\sqrt{\alpha^2+2\alpha}=2-\alpha^2$.

5. $f^{-1}$ a le même sens de variation que $f$ : $f^{-1}$ est strictement croissante sur $[-2;+\infty[$.

6. $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $f'(x)>0$ (donc $f'(x)\neq0$) sur cet intervalle ; ainsi $f^{-1}$ est dérivable sur $f(]0;+\infty[)=]-2;+\infty[$.

I. 1. a. $f'(x)=3x^2+2>0$ pour tout réel $x$ : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

1. b. $f$ est continue, strictement croissante, $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ : $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$.

2. a. $0\in f(\mathbb{R})$ : l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$. $f(-2)=-8-4+4=-8<0$ et $f(-1)=-1-2+4=1>0$ : $-2<\alpha<-1$.

2. b. $f\left(-\frac32\right)=-\frac{27}8-3+4=-\frac{27}8+1=-\frac{19}8<0$ et $f(-1)>0$ : $-\dfrac32<\alpha<-1$ (amplitude $\frac12$).

2. c. $f(\alpha)=0$ donne $-\alpha^3=2\alpha+4$. Or $-\alpha>0$ et $2\alpha+4>0$ (car $\alpha>-2$) : $-\alpha$ est le réel positif dont le cube est $2\alpha+4$, c’est-à-dire $-\alpha=\sqrt[3]{2\alpha+4}$. Donc $\alpha=-\sqrt[3]{2\alpha+4}$.

3. $f$ est strictement croissante et $f(\alpha)=0$ : $f(x)<0$ pour $x<\alpha$, $f(\alpha)=0$, $f(x)>0$ pour $x>\alpha$.

II. 1. a. $g'(x)=\frac14\times4x^3+2x+4=x^3+2x+4=f(x)$.

1. b. $g'$ a le signe de $f$ : $g$ est strictement décroissante sur $]-\infty;\alpha]$ et strictement croissante sur $[\alpha;+\infty[$. En $\pm\infty$ : $g(x)=x^4\left(\frac14+\frac1{x^2}+\frac4{x^3}\right)\to+\infty$.

2. a. De $\alpha^3=-2\alpha-4$ on tire $\alpha^4=\alpha\times\alpha^3=-2\alpha^2-4\alpha$. Donc $g(\alpha)=\frac{-2\alpha^2-4\alpha}4+\alpha^2+4\alpha=\frac{\alpha^2}2+3\alpha=\frac{\alpha(\alpha+6)}2 .$

2. b. $\alpha<0$ et $\alpha+6>0$ (car $\alpha>-2$) : $g(\alpha)<0$.

2. c. Sur $]-\infty;\alpha]$, $g$ est continue, strictement décroissante, et $g(]-\infty;\alpha])=[g(\alpha);+\infty[$ contient $0$ : une unique solution. Sur $[\alpha;+\infty[$, de même $g([\alpha;+\infty[)=[g(\alpha);+\infty[$ : une unique solution (c’est $0$, car $g(0)=0$). L’équation $g(x)=0$ admet exactement deux solutions dans $\mathbb{R}$.