Devoir surveillé n°3 — Semestre 2

1. [0,5 pt] $3500=2200\times1+1300$ ; $2200=1300\times1+900$ ; $1300=900\times1+400$ ; $900=400\times2+100$ ; $400=100\times4+0$. Dernier reste non nul : $a\wedge b=100$.

2. [0,5 pt] $(a\wedge b)(a\vee b)=ab$ donc $a\vee b=\frac{3500\times2200}{100}=77\,000$.

3. [1 pt] $a=3500=2^2\times5^3\times7$ [0,5] ; $b=2200=2^3\times5^2\times11$ [0,5].

4. [1 pt] Facteurs communs avec le plus petit exposant : $a\wedge b=2^2\times5^2=100$ [0,5] ; tous les facteurs avec le plus grand exposant : $a\vee b=2^3\times5^3\times7\times11=77\,000$ [0,5].

5. [0,5 pt] $a$ : $(2+1)(3+1)(1+1)=24$ diviseurs ; $b$ : $(3+1)(2+1)(1+1)=24$ diviseurs.

6. a. [1 pt] $n^2+4n+8=(n+3)(n+1)+5$ [0,5], donc $(n^2+4n+8)\wedge(n+3)=(n+3)\wedge5$ (propriété $u\wedge v=v\wedge(u-kv)$) [0,5].

6. b. [1,5 pt] $n+3$ divise $n^2+4n+8$ $\iff(n^2+4n+8)\wedge(n+3)=n+3\iff(n+3)\wedge5=n+3\iff n+3$ divise $5$ [0,75]. Or $n+3\ge3$, donc $n+3=5$, soit $n=2$ [0,5]. Vérification : $4+8+8=20=5\times4$ [0,25].

1. a. [0,25 pt] $\delta=n\wedge(2n+1)$ divise $(2n+1)-2n=1$, donc $\delta=1$.

1. b. [0,25 pt] $(n+1)\wedge(2n+1)=(n+1)\wedge\big((2n+1)-(n+1)\big)=(n+1)\wedge n=1$ (deux entiers consécutifs).

2. a. [1 pt] $2\alpha-\beta=2n+6-2n-1=5$ [0,5]. $d$ divise $\alpha$ et $\beta$, donc $d$ divise $2\alpha-\beta=5$ ; $5$ est premier, donc $d\in\{1;5\}$ [0,5].

2. b. [0,5 pt] Raisonnement direct : $5$ divise $\alpha=n+3$ $\Longrightarrow$ $5$ divise $(n+3)-5=n-2$.

3. [1 pt] $a=n(n^2+2n-3)=n(n-1)(n+3)$ et $b=(n-1)(2n+1)$ [0,5]. Donc $a=(n-1)\times n(n+3)$ et $b=(n-1)\times(2n+1)$ avec $n(n+3)$, $2n+1\in\Z$ : $n-1$ divise $a$ et $n-1$ divise $b$ [0,5].

4. a. [0,5 pt] $y-2x=5a+2b-4a-2b=a$ et $5x-2y=10a+5b-10a-4b=b$.

4. b. [0,5 pt] $x\wedge y$ divise $x$ et $y$, donc divise $y-2x=a$ et $5x-2y=b$ ; il divise donc $a\wedge b$ (un diviseur commun divise le PGCD).

4. c. [0,5 pt] $a\wedge b$ divise $a$ et $b$, donc divise $x=2a+b$ et $y=5a+2b$ ; il divise donc $x\wedge y$. (Ainsi $x\wedge y=a\wedge b$, car ce sont deux entiers positifs qui se divisent mutuellement.)

5. a. [0,25 pt] $377=13\times29$ ($13$ et $29$ premiers).

5. b. [1,25 pt] Soit $d=a\wedge b$. Comme $(a\wedge b)(a\vee b)=ab$, la 1re équation donne $d\,(a\vee b)=2(a\vee b)$, donc $d=2$ [0,25]. D’après 4., $x\wedge y=2$ avec $x=2a+b$, $y=5a+2b$ et $xy=1508$ ; on écrit $x=2x'$, $y=2y'$ avec $x'\wedge y'=1$ et $4x'y'=1508$, soit $x'y'=377=13\times29$ [0,5]. De plus $3\le x<y$ (car $a,b\ge1$), donc $x'<y'$ et $x'\ge2$ : $(x';y')=(13;29)$, d’où $x=26$, $y=58$ [0,25]. Alors $a=y-2x=6$ et $b=5x-2y=14$. Vérification : $6\wedge14=2$, $6\vee14=42$, $ab=84=2\times42$ et $26\times58=1508$. $S=\{(6;14)\}$ [0,25].

1. a. [0,25 pt] $2^3=8=7+1\equiv1\,[7]$.

1. b. [0,25 pt] Division euclidienne de $n$ par $3$ : $n=3k+r$ avec $k\in\N$ et $r\in\{0;1;2\}$.

2. a. [0,5 pt] Disjonction de cas : Cas 1 : $n=3k$ : $2^n=(2^3)^k\equiv1\,[7]$. Cas 2 : $n=3k+1$ : $2^n\equiv2\,[7]$. Cas 3 : $n=3k+2$ : $2^n\equiv4\,[7]$.

2. b. [0,5 pt] $p$ est premier et $p\ge5$, donc $3$ ne divise pas $p$ : $p\equiv1$ ou $p\equiv2\,[3]$. Cas 1 : $p\equiv1$ : $p^2\equiv1\,[3]$. Cas 2 : $p\equiv2$ : $p^2\equiv4\equiv1\,[3]$. Dans les deux cas $3$ divise $p^2-1$.

3. a. [0,5 pt] $2\equiv-1\,[3]$ donc $2^{2n+1}\equiv(-1)^{2n+1}=-1\,[3]$ et $3$ divise $2^{2n+1}+1$.

3. b. [0,5 pt] $p$ est premier et $p\ge5$, donc impair : $p=2n+1$ avec $n\in\N$, et d’après a., $3$ divise $2^p+1$.

3. c. [0,5 pt] $2^p+p^2=(2^p+1)+(p^2-1)$ : d’après 2.b et 3.b, $3$ divise $2^p+p^2$ [0,25]. Comme $2^p+p^2>3$, il possède le diviseur $3$ différent de $1$ et de lui-même : il n’est pas premier [0,25].

4. [0,5 pt] $3^{n+6}-3^n=3^n(3^6-1)=3^n\times728=3^n\times7\times104$ : $7$ divise $3^{n+6}-3^n$.

5. [0,5 pt] $10\equiv3\,[7]$ ; d’après 4. avec $n=0$, $3^6\equiv1\,[7]$ ; $10^{36}\equiv3^{36}=(3^6)^6\equiv1\,[7]$ : le reste est $1$.

6. [1 pt] $(E_1)$ : $\overline2\times\overline3=\overline6=\overline1$, et $\overline2x$ vaut $\overline0,\overline2,\overline4,\overline1,\overline3$ pour $x=\overline0,\dots,\overline4$ : $S_1=\{\overline3\}$ [0,5]. $(E_2)$ : $x^2-\overline3x+\overline2=(x-\overline1)(x-\overline2)$ ; le test des cinq classes donne $\overline2,\overline0,\overline0,\overline2,\overline1$ : $S_2=\{\overline1;\overline2\}$ [0,5].

7. a. [1 pt] ($\Longrightarrow$) $a$ divise $b$ et $b\neq0$ $\Longrightarrow|a|\le|b|$ ; de même $|b|\le|a|$ ; donc $|a|=|b|$ [0,5]. ($\Longleftarrow$) Si $|a|=|b|$, alors $b=a$ ou $b=-a$, donc $b=(\pm1)a$ et $a=(\pm1)b$ : chacun divise l’autre [0,5].

7. b. [1 pt] $(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$ et $3$ divise $3ab(a+b)$ [0,5]. Donc $(a+b)^3\equiv a^3+b^3\,[3]$, et $3$ divise $(a+b)^3\iff3$ divise $a^3+b^3$ [0,5].

7. c. [1 pt] Si $|a|=1$ ou $|b|=1$, c’est immédiat. Sinon on écrit $|a|=\prod p_i^{\alpha_i}$ et $|b|=\prod p_i^{\beta_i}$ (mêmes nombres premiers $p_i$, exposants éventuellement nuls) [0,25]. Alors $a\wedge b=\prod p_i^{\min(\alpha_i;\beta_i)}$ et $a\vee b=\prod p_i^{\max(\alpha_i;\beta_i)}$ [0,25] ; comme $\min(\alpha_i;\beta_i)+\max(\alpha_i;\beta_i)=\alpha_i+\beta_i$, le produit vaut $\prod p_i^{\alpha_i+\beta_i}=|a|\,|b|=|ab|$ [0,5].

1. [+0,5 pt] Soient $A$ (multiples de $6$) et $B$ (multiples de $15$) dans $\{1;\dots;1000\}$ : $\card A=E\left(\frac{1000}6\right)=166$, $\card B=E\left(\frac{1000}{15}\right)=66$ ; $A\cap B$ est l’ensemble des multiples de $6\vee15=30$ : $\card(A\cap B)=33$. Donc $\card(A\cup B)=166+66-33=199$.

2. [+0,5 pt] Soit $d=(n!+1)\wedge((n+1)!+1)$. $d$ divise $(n+1)(n!+1)-\big((n+1)!+1\big)=n$. Comme $d$ divise $n$ et $n$ divise $n!$, $d$ divise $n!$ ; or $d$ divise $n!+1$, donc $d$ divise $1$ : $d=1$.