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Devoir surveillé n°1 — Semestre 2

Limites et rotation

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Remarque — barème

Exercice 1 : 12 pts (1 pt par limite en 1 et 2 ; 1 pt par limite en 3 ; 0,5 pt par limite en 4) ; Exercice 2 : 8 pts (1 pt par question) ; total 20 pts, plus 2 bonus de 0,5 pt (note plafonnée à 20). Résultats contrôlés avec Python/sympy (build/verif_lot1.py, build/verif_lot1_geo.py), barème recompté par le script.

Remarque — consignes et barème

Durée : 2 heures. Le soin et la rédaction sont pris en compte. Barème indiqué entre crochets : exercice 1 sur 12 points, exercice 2 sur 8 points ; total sur 20. Deux questions bonus (+0,5 pt chacune) figurent à la fin ; la note est plafonnée à 20. Programme : chapitres 09 (limites) et 10 (rotation).

Exercice 1 — Limites — 12 points Moyen ★★★☆☆

Calculer les limites suivantes.

[4 pts] a. $\displaystyle\lim_{x\to2^-}\frac{3}{x^2-5x+6}$ ; b. $\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^3-3x^2+5x-6}{2x-4}$ ; c. $\displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{x^2-1}{1+x^3}$ ; d. $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(x-3x^4+5x^2\right)$ .
[4 pts] a. $\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{\sqrt{x+7}-3}{x^2-3x+2}$ ; b. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x\,(1-\cos 2x)}{\sin^3x}$ ; c. $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{\sqrt x}{\tan(3x)}$ ; d. $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(3x+\cos x\right)$ .
[2 pts] a. $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{9x^2+x+1}-3x\right)$ ; b. $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{4x^2+x+1}+2x-1\right)$ .
[2 pts] a. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x^2+x+4}-\sqrt{3x+4}}{\sin(2x)+\tan(3x)}$ ; b. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(x+\tan x)}{3x^2-2\sin x}$ ; c. $\displaystyle\lim_{x\to\frac\pi3}\frac{2\cos x-1}{4\sin^2x-3}$ ; d. $\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{\sqrt{3x-2}+\sqrt{3x+3}-5}{x-2}$ .

Voir la correction

1. a. [1 pt] $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ ; pour $x\to2^-$ : $x-2<0$ , $x-3<0$ , donc le dénominateur tend vers $0^+$ : la limite est $+\infty$ .

1. b. [1 pt] $x^3-3x^2+5x-6=(x-2)(x^2-x+3)$ [0,5], donc la limite vaut $\frac{4-2+3}2=\frac52$ [0,5].

1. c. [1 pt] $\frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)}=\frac{x-1}{x^2-x+1}\to-\frac23$ .

1. d. [1 pt] Terme de plus haut degré : $\lim_{-\infty}(-3x^4)=-\infty$ .

2. a. [1 pt] $\frac{x-2}{(\sqrt{x+7}+3)(x-1)(x-2)}=\frac1{(\sqrt{x+7}+3)(x-1)}\to\frac16$ .

2. b. [1 pt] $\frac{\tan x}{x}\cdot\frac{1-\cos2x}{x^2}\cdot\left(\frac{x}{\sin x}\right)^3\to1\times2\times1=2$ (car $\frac{1-\cos2x}{x^2}=4\frac{1-\cos2x}{(2x)^2}\to2$ ).

2. c. [1 pt] $\frac{\sqrt x}{\tan3x}=\frac{3x}{\tan3x}\cdot\frac{1}{3\sqrt x}$ : forme $1\times(+\infty)$ , la limite est $+\infty$ .

2. d. [1 pt] $3x+\cos x\le3x+1\to-\infty$ : la limite est $-\infty$ .

3. a. [1 pt] $\frac{x+1}{\sqrt{9x^2+x+1}+3x}=\frac{1+\frac1x}{\sqrt{9+\frac1x+\frac1{x^2}}+3}\to\frac16$ .

3. b. [1 pt] Pour $x<0$ : $\sqrt{4x^2+x+1}+2x=\frac{x+1}{-x\left(\sqrt{4+\frac1x+\frac1{x^2}}+2\right)}\to-\frac14$ ; la limite vaut $-\frac14-1=-\frac54$ .

4. a. [0,5 pt] Numérateur : $\frac{x^2-2x}{\sqrt{x^2+x+4}+\sqrt{3x+4}}$ ; dénominateur : $x\left(2\frac{\sin2x}{2x}+3\frac{\tan3x}{3x}\right)$ . Le quotient vaut $\frac{x-2}{\sqrt{x^2+x+4}+\sqrt{3x+4}}\cdot\frac1{2\frac{\sin2x}{2x}+3\frac{\tan3x}{3x}}\to\frac{-2}{4}\cdot\frac15=-\frac1{10}$ .

4. b. [0,5 pt] $u=x+\tan x\to0$ : $\frac{\sin u}{u}\to1$ et $\frac{x+\tan x}{3x^2-2\sin x}=\frac{1+\frac{\tan x}x}{3x-2\frac{\sin x}x}\to\frac2{-2}=-1$ . La limite est $-1$ .

4. c. [0,5 pt] $h=x-\frac\pi3$ : $2\cos x-1=\cos h-1-\sqrt3\sin h$ et $4\sin^2x-3=(2\sin x-\sqrt3)(2\sin x+\sqrt3)$ avec $2\sin x-\sqrt3=\sqrt3(\cos h-1)+\sin h$ . En divisant par $h$ : $\frac{-h\frac{1-\cos h}{h^2}-\sqrt3\frac{\sin h}h}{-\sqrt3h\frac{1-\cos h}{h^2}+\frac{\sin h}h}\to-\sqrt3$ , et $2\sin x+\sqrt3\to2\sqrt3$ : la limite vaut $-\frac{\sqrt3}{2\sqrt3}=-\frac12$ .

4. d. [0,5 pt] $\frac{\sqrt{3x-2}-2}{x-2}+\frac{\sqrt{3x+3}-3}{x-2}=\frac3{\sqrt{3x-2}+2}+\frac3{\sqrt{3x+3}+3}\to\frac34+\frac12=\frac54$ .

Exercice 2 — Rotation — 8 points Moyen ★★★☆☆

Soit $ABC$ un triangle équilatéral tel que $\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB}\right)\equiv\frac\pi3\,[2\pi]$ . Soient $M$ et $N$ les points tels que $\overrightarrow{AM}=\frac13\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AN}=\frac13\overrightarrow{AC}$ , et $r=r\left(A;\frac\pi3\right)$ .

Montrer que $r(C)=B$ et $r(N)=M$ . [1 pt]
À l’extérieur du triangle $ABC$ , on construit les points $I$ et $J$ tels que les triangles $AIM$ et $AJN$ soient équilatéraux. a. Vérifier que $r(M)=I$ et $r(J)=N$ . [1 pt] b. En déduire que $MJ=IN$ . [1 pt] c. Déterminer l’image du triangle $ACM$ par $r$ . [1 pt]
Soit $D$ le milieu de $[CM]$ et $K=r(D)$ . Montrer que $K$ est le milieu de $[BI]$ . [1 pt]
La droite $(MN)$ coupe $(CJ)$ en $E$ et la droite $(IM)$ coupe $(BN)$ en $F$ . a. Montrer que $r(E)=F$ . [1 pt] b. En déduire la nature du triangle $AEF$ . [1 pt]
Montrer que l’image d’un carré par une rotation est un carré. [1 pt]

Voir la correction

1. [1 pt] $AC=AB$ et $\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB}\right)\equiv\frac\pi3$ : $r(C)=B$ [0,5]. $AN=\frac13AC=\frac13AB=AM$ et $\left(\overrightarrow{AN};\overrightarrow{AM}\right)\equiv\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB}\right)\equiv\frac\pi3$ : $r(N)=M$ [0,5].

2. a. [1 pt] $AIM$ équilatéral, $I$ à l’extérieur (côté opposé à $C$ par rapport à $(AB)$ ) : $AI=AM$ et $\left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AI}\right)\equiv\frac\pi3$ , donc $r(M)=I$ . De même $AJ=AN$ et $\left(\overrightarrow{AJ};\overrightarrow{AN}\right)\equiv\frac\pi3$ , donc $r(J)=N$ .

2. b. [1 pt] $r(J)=N$ et $r(M)=I$ ; la rotation conserve les distances : $JM=NI$ .

2. c. [1 pt] $r(A)=A$ , $r(C)=B$ , $r(M)=I$ : l’image du triangle $ACM$ est le triangle $ABI$ .

3. [1 pt] La rotation conserve le milieu : $D$ milieu de $[CM]$ $\Longrightarrow$ $K=r(D)$ milieu de $[r(C)r(M)]=[BI]$ .

4. a. [1 pt] $r((MN))=(r(M)r(N))=(IM)$ et $r((CJ))=(r(C)r(J))=(BN)$ [0,5]. La rotation conserve l’intersection : $r(E)=(IM)\cap(BN)=F$ [0,5].

4. b. [1 pt] $r(E)=F$ et $r(A)=A$ : $AE=AF$ et $\left(\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AF}\right)\equiv\frac\pi3$ . Le triangle $AEF$ est isocèle en $A$ avec un angle de $60^\circ$ : il est équilatéral.

5. [1 pt] Soit $MNPQ$ un carré et $M',N',P',Q'$ les images. La rotation conserve les distances : $M'N'=N'P'=P'Q'=Q'M'$ ; elle conserve les angles orientés : $\left(\overrightarrow{M'N'};\overrightarrow{M'Q'}\right)\equiv\left(\overrightarrow{MN};\overrightarrow{MQ}\right)\equiv\pm\frac\pi2$ . Un losange ayant un angle droit est un carré : $M'N'P'Q'$ est un carré.

Exercice 3 — Questions bonus (+0,5 pt chacune) Difficile ★★★★★

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x\cos(2x)}{x^2}$ . [+0,5 pt]
Déterminer une droite $(\Delta)$ telle que $r=S_{(\Delta)}\circ S_{(AC)}$ . [+0,5 pt]

Voir la correction

1. [+0,5] $1-\cos x\cos2x=(1-\cos x)+\cos x(1-\cos2x)$ , donc $\frac{1-\cos x\cos2x}{x^2}=\frac{1-\cos x}{x^2}+\cos x\cdot4\cdot\frac{1-\cos2x}{(2x)^2}\to\frac12+4\times\frac12=\frac52$ .

2. [+0,5] D’après le théorème de décomposition, $S_{(\Delta)}\circ S_{(AC)}=r\left(A;2\left(\overrightarrow{AC};\vec u\right)\right)$ si $(\Delta)$ passe par $A$ et a pour vecteur directeur $\vec u$ . Il faut $\left(\overrightarrow{AC};\vec u\right)\equiv\frac\pi6\,[\pi]$ : $(\Delta)$ est la bissectrice de l’angle $\widehat{CAB}$ , c’est-à-dire la droite $(AA_1)$ où $A_1$ est le milieu de $[BC]$ .

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