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Devoir maison n°1 — Semestre 2

Limites et rotation

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Remarque — méthodes

Les méthodes sont celles du cours et de la série du chapitre 09 (factorisation, conjuguée, limites trigonométriques usuelles, encadrement) et du chapitre 10 (propriétés de conservation, composition et décomposition). Toutes les valeurs ont été contrôlées avec Python/sympy (build/verif_lot1.py, build/verif_lot1_geo.py).

Programme couvert. Chapitre 09 (Limite d’une fonction) et chapitre 10 (Rotation). Toute réponse doit être justifiée.

Exercice 1 — Calcul de limites Moyen ★★★☆☆

Calculer les limites suivantes ( $x$ désigne un réel du domaine de définition de chaque expression).

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2+5x+2}{-2x^3+x^2+1}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^2-5x+4}{-3x^2+4x-1}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(3x^2-4x^3-x^5\right)$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to-2}\left(x^2+2x^3-1\right)$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to3^+}\frac{x^2-2x}{x^2-x-6}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to5}\frac{x^2-25}{\sqrt x-\sqrt5}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{5x+4}-3}{x-1}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt{3x-2}-2}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{3x+1}-\sqrt{x+3}}{\sqrt{x+8}-3}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{3-\sqrt{x+7}}{2-\sqrt{3x-2}}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(7x)}{x}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{3x}{\tan(5x)}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(6x)}{\tan(4x)}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{\sin^2x}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^2\left(1-\cos\frac3x\right)$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\tan\frac2x$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to\left(\frac\pi2\right)^+}\tan x$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2-4x+1}+x-3\right)$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{4x^2+x+3}+3x\right)$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{4x^2-x}-2x\right)$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2+\cos x}{x^2+1}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^2+x+1}-x}{\sqrt{x^2+1}+3x}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\,E\!\left(\frac2x\right)$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{E(x)+\cos x}{x}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to\frac\pi4}\frac{1-\tan x}{\cos(2x)}$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt x\,E\!\left(\frac1{\sqrt x}\right)$ ;
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x+1}-ax\right)$ , suivant les valeurs du réel $a$ .

Voir la correction

1. $\frac{3x^2}{-2x^3}=-\frac3{2x}\to0$ . 2. $\frac{(x-1)(x-4)}{-(x-1)(3x-1)}=\frac{x-4}{-(3x-1)}\to\frac{-3}{-2}=\frac32$ . 3. $\lim_{+\infty}(-x^5)=-\infty$ . 4. $4-16-1=-13$ .

5. $x^2-x-6=(x-3)(x+2)\to0^+$ quand $x\to3^+$ et $x^2-2x\to3$ : la limite est $+\infty$ .

6. $(x+5)(\sqrt x+\sqrt5)\to10\times2\sqrt5=20\sqrt5$ . 7. $\frac{5(x-1)}{(x-1)(\sqrt{5x+4}+3)}\to\frac56$ .

8. $\frac{x-2}{\sqrt{x+2}+2}\cdot\frac{\sqrt{3x-2}+2}{3(x-2)}\to\frac14\cdot\frac43=\frac13$ . 9. $\frac{2(x-1)}{\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+3}}\cdot\frac{\sqrt{x+8}+3}{x-1}\to\frac24\times6=3$ .

10. $\frac{2-x}{3+\sqrt{x+7}}\cdot\frac{2+\sqrt{3x-2}}{3(2-x)}\to\frac16\cdot\frac43=\frac29$ .

11. $7\frac{\sin7x}{7x}\to7$ . 12. $\frac35\cdot\frac{5x}{\tan5x}\to\frac35$ . 13. $\frac{\sin6x}{6x}\cdot\frac{4x}{\tan4x}\cdot\frac32\to\frac32$ . 14. $\frac{1-\cos x}{x^2}\cdot\left(\frac{x}{\sin x}\right)^2\to\frac12$ . 15. $x\cdot\frac{1-\cos x}{x^2}\to0$ .

16. $X=\frac3x\to0^+$ : $x^2(1-\cos X)=9\frac{1-\cos X}{X^2}\to\frac92$ . 17. $X=\frac2x$ : $2\frac{\tan X}X\to2$ .

18. Pour $x\in\left]\frac\pi2;\pi\right[$ : $\sin x\to1$ et $\cos x\to0^-$ , donc $\tan x\to-\infty$ .

19. Pour $x<0$ : $\sqrt{x^2-4x+1}+x=\frac{-4x+1}{-x\left(\sqrt{1-\frac4x+\frac1{x^2}}+1\right)}\to2$ ; la limite vaut $2-3=-1$ .

20. $x\left(-\sqrt{4+\frac1x+\frac3{x^2}}+3\right)$ , parenthèse $\to1$ : la limite est $-\infty$ . 21. Forme $+\infty+\infty$ : $+\infty$ .

22. $\frac{2x^2-1}{x^2+1}\le\frac{2x^2+\cos x}{x^2+1}\le\frac{2x^2+1}{x^2+1}$ : gendarmes, la limite est $2$ .

23. $\frac{-x\left(\sqrt{1+\frac1x+\frac1{x^2}}+1\right)}{x\left(-\sqrt{1+\frac1{x^2}}+3\right)}\to\frac{-2}{2}=-1$ .

24. $\frac2x-1<E\left(\frac2x\right)\le\frac2x$ , donc pour $x>0$ : $2-x<xE\left(\frac2x\right)\le2$ ; la limite est $2$ .

25. $\frac{x-2}x<\frac{E(x)+\cos x}x\le\frac{x+1}x$ ( $x>0$ ) : la limite est $1$ .

26. $h=x-\frac\pi4$ : $1-\tan x=\frac{-2\tan h}{1-\tan h}$ et $\cos2x=\cos\left(\frac\pi2+2h\right)=-\sin2h$ . Le quotient vaut $\frac{2\tan h}{(1-\tan h)\sin2h}=\frac{\tan h}{h}\cdot\frac{2h}{\sin2h}\cdot\frac1{1-\tan h}\to1$ .

27. Pour $x>1$ : $0<\frac1{\sqrt x}<1$ , donc $E\left(\frac1{\sqrt x}\right)=0$ ; la limite est $0$ .

28. $\sqrt{x^2+x+1}-ax=x\left(\sqrt{1+\frac1x+\frac1{x^2}}-a\right)$ .

Cas 1 : $a<1$ : la parenthèse tend vers $1-a>0$ , la limite est $+\infty$ .
Cas 2 : $a>1$ : la parenthèse tend vers $1-a<0$ , la limite est $-\infty$ .
Cas 3 : $a=1$ : forme indéterminée ; $\sqrt{x^2+x+1}-x=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1}+x}\to\frac12$ .

Exercice 2 — Définition de la limite Moyen ★★★☆☆

Factoriser le polynôme $x^2-3x+2$ ( $x\in\R$ ).
En utilisant la définition de la limite, montrer que $\displaystyle\lim_{x\to2}\left(x^2-3x+5\right)=3$ .

Voir la correction

1. $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ .

2. Soit $\varepsilon>0$ ; posons $f(x)=x^2-3x+5$ . On a $|f(x)-3|=|x-1|\,|x-2|$ . Si $|x-2|<1$ , alors $1<x<3$ , donc $0<x-1<2$ et $|f(x)-3|<2|x-2|$ . On pose $\alpha=\min\left(1;\frac\varepsilon2\right)$ : si $|x-2|<\alpha$ , alors $|f(x)-3|<2\alpha\le\varepsilon$ . Donc $\lim_{x\to2}f(x)=3$ .

Exercice 3 — Rotation et barycentre Moyen ★★★☆☆

Soit $ABCD$ un carré de centre $O$ tel que $\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD}\right)\equiv\frac\pi2\,[2\pi]$ . Soient $I$ et $J$ les points définis par $\overrightarrow{AI}=\frac32\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BJ}=\frac32\overrightarrow{BC}$ . Les droites $(IC)$ et $(JD)$ coupent respectivement $(BD)$ et $(AC)$ en $M$ et $N$ . Soit $r=r\left(O;\frac\pi2\right)$ .

Construire une figure et déterminer $r(A)$ , $r(B)$ , $r(C)$ et $r(D)$ .
a. Montrer que $I$ est le barycentre de $(A;1)$ et $(B;-3)$ , et que $J$ est le barycentre de $(B;1)$ et $(C;-3)$ . b. En déduire que $r(I)=J$ .
a. Déterminer les images des droites $(BD)$ et $(IC)$ par $r$ . b. En déduire que $r(M)=N$ . c. En déduire que $IM=JN$ .
Montrer que $(CM)\perp(DN)$ .

Voir la correction

1. Les diagonales du carré direct donnent $r(A)=B$ , $r(B)=C$ , $r(C)=D$ , $r(D)=A$ .

2. a. $\overrightarrow{AI}=\frac32\overrightarrow{AB}=\frac{-3}{1+(-3)}\overrightarrow{AB}$ : c’est la relation caractérisant $G=\mathrm{Bar}\{(A;1);(B;-3)\}$ ( $\overrightarrow{AG}=\frac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}$ ). De même pour $J$ .

2. b. La rotation conserve le barycentre : $r(I)=\mathrm{Bar}\{(r(A);1);(r(B);-3)\}=\mathrm{Bar}\{(B;1);(C;-3)\}=J$ .

3. a. $r((BD))=(r(B)r(D))=(CA)$ et $r((IC))=(r(I)r(C))=(JD)$ .

3. b. $M=(IC)\cap(BD)$ ; la rotation conserve l’intersection : $r(M)=(JD)\cap(AC)=N$ .

3. c. $r(I)=J$ et $r(M)=N$ : $IM=JN$ .

4. $r(C)=D$ et $r(M)=N$ : $\left(\overrightarrow{CM};\overrightarrow{DN}\right)\equiv\frac\pi2$ , donc $(CM)\perp(DN)$ .

Exercice 4 — Composée de rotations et symétries Difficile ★★★★☆

Soit $ABC$ un triangle rectangle et isocèle en $A$ tel que $\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\equiv\frac\pi2\,[2\pi]$ . On considère les rotations $R_A=r\left(A;\frac\pi2\right)$ et $R_C=r\left(C;\frac\pi4\right)$ , et on pose $f=R_C\circ R_A$ .

Déterminer $f(B)$ , puis montrer que $f$ est une rotation dont on précisera l’angle.
Soit $I$ le point d’intersection des bissectrices intérieures du triangle $ABC$ . a. Montrer que $R_A=S_{(AC)}\circ S_{(AI)}$ et $R_C=S_{(CI)}\circ S_{(AC)}$ . b. En déduire que $I$ est le centre de $f$ . c. Soit $A'=f(A)$ . Montrer que $\left(\overrightarrow{IA};\overrightarrow{IA'}\right)\equiv\frac{3\pi}4\,[2\pi]$ .

Voir la correction

1. $R_A(B)=C$ ( $AB=AC$ , angle $\frac\pi2$ ) et $R_C(C)=C$ , donc $f(B)=C$ . Les centres sont distincts et $\frac\pi2+\frac\pi4=\frac{3\pi}4\not\equiv0\,[2\pi]$ : $f$ est une rotation d’angle $\frac{3\pi}4$ .

2. a. $(AI)$ est la bissectrice de l’angle droit en $A$ : $\left(\overrightarrow{AI};\overrightarrow{AC}\right)\equiv\frac\pi4$ , donc $S_{(AC)}\circ S_{(AI)}=r\left(A;2\times\frac\pi4\right)=R_A$ . L’angle $\widehat{ACB}$ mesure $\frac\pi4$ , et $(CI)$ en est la bissectrice : $\left(\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CI}\right)\equiv\frac\pi8$ , donc $S_{(CI)}\circ S_{(AC)}=r\left(C;\frac\pi4\right)=R_C$ .

2. b. $f=S_{(CI)}\circ S_{(AC)}\circ S_{(AC)}\circ S_{(AI)}=S_{(CI)}\circ S_{(AI)}$ (car $S_{(AC)}\circ S_{(AC)}=\mathrm{Id}$ ). Les droites $(AI)$ et $(CI)$ se coupent en $I$ : $f$ est la rotation de centre $I$ .

2. c. $f=r\left(I;\frac{3\pi}4\right)$ et $f(A)=A'$ , donc $IA'=IA$ et $\left(\overrightarrow{IA};\overrightarrow{IA'}\right)\equiv\frac{3\pi}4\,[2\pi]$ .

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