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Devoir surveillé n°4 — Semestre 1

Suites numériques et trigonométrie

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Remarque — barème

Exercice 1 : 9 pts ; Exercice 2 : 5 pts ; Exercice 3 : 6 pts ; total 20 pts, plus 2 bonus de 0,5 pt (note plafonnée à 20). Les points de chaque question sont indiqués entre crochets, avec leur répartition. Tous les résultats ont été contrôlés avec Python/sympy (build/verif_lot4.py).

Remarque — barème

Le barème est indiqué entre crochets : exercice 1 sur 9 points, exercice 2 sur 5 points, exercice 3 sur 6 points ; total sur 20. Deux questions bonus (+0,5 pt chacune) figurent à la fin ; la note totale est plafonnée à 20.

Exercice 1 — Suites numériques — 9 points Moyen ★★★☆☆

On considère la suite numérique (un)(u_n) définie par u0=4u_0=4 et, pour tout n∈Nn\in\N, un+1=4−3unu_{n+1}=4-\dfrac3{u_n}.

  1. Calculer u1u_1 et u2u_2. [0,5 pt]
  2. Montrer par récurrence que, pour tout n∈Nn\in\N, 3≤un≤43\le u_n\le4. [1 pt]
  3. a. Montrer que, pour tout n∈Nn\in\N, un+1−un=(un−1)(3−un)unu_{n+1}-u_n=\dfrac{(u_n-1)(3-u_n)}{u_n}. [1 pt] b. En déduire la monotonie de la suite (un)(u_n). [0,5 pt]
  4. a. Montrer que, pour tout n∈Nn\in\N, 0≤un+1−3≤13(un−3)0\le u_{n+1}-3\le\dfrac13(u_n-3). [1 pt] b. En déduire que, pour tout n∈Nn\in\N, 0≤un−3≤(13)n0\le u_n-3\le\left(\dfrac13\right)^n. [0,5 pt]
  5. Pour tout n∈Nn\in\N, on pose vn=un−3un−1v_n=\dfrac{u_n-3}{u_n-1}. a. Calculer v0v_0, puis montrer que (vn)(v_n) est une suite géométrique de raison 13\frac13. [1 pt] b. Exprimer vnv_n, puis unu_n, en fonction de nn. [1,5 pt] c. Soit n∈N∗n\in\N^* ; on pose Sn=∑k=0n−1vkS_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}v_k et Tn=∑k=0n−11uk−1T_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{u_k-1}. Montrer que Sn=12(1−13n)S_n=\dfrac12\left(1-\dfrac1{3^n}\right), puis calculer TnT_n en fonction de nn. [2 pt]
Voir la correction

1. [0,5 pt] u1=4−34=134u_1=4-\frac34=\frac{13}4 [0,25] ; u2=4−1213=4013u_2=4-\frac{12}{13}=\frac{40}{13} [0,25].

2. [1 pt] Initialisation : 3≤u0=4≤43\le u_0=4\le4 [0,25]. Hérédité : si 3≤un≤43\le u_n\le4, alors un>0u_n>0 et 34≤3un≤1\frac34\le\frac3{u_n}\le1, d’où 3≤4−3un≤134≤43\le4-\frac3{u_n}\le\frac{13}4\le4 [0,5]. Conclusion : (∀n∈N) 3≤un≤4(\forall n\in\N)\ 3\le u_n\le4 [0,25].

3.a. [1 pt] un+1−un=4un−3−un2unu_{n+1}-u_n=\dfrac{4u_n-3-u_n^2}{u_n} [0,5] =−(un2−4un+3)un=(un−1)(3−un)un=\dfrac{-(u_n^2-4u_n+3)}{u_n}=\dfrac{(u_n-1)(3-u_n)}{u_n} [0,5].

3.b. [0,5 pt] un−1>0u_n-1>0, 3−un≤03-u_n\le0, un>0u_n>0 : un+1−un≤0u_{n+1}-u_n\le0, la suite est décroissante.

4.a. [1 pt] un+1−3=1−3un=un−3un≥0u_{n+1}-3=1-\dfrac3{u_n}=\dfrac{u_n-3}{u_n}\ge0 [0,5]. Comme un≥3u_n\ge3, 1un≤13\dfrac1{u_n}\le\dfrac13 et un−3≥0u_n-3\ge0, donc un−3un≤13(un−3)\dfrac{u_n-3}{u_n}\le\dfrac13(u_n-3) [0,5].

4.b. [0,5 pt] Récurrence : 0≤u0−3=1=(13)00\le u_0-3=1=\left(\frac13\right)^0 ; si 0≤un−3≤(13)n0\le u_n-3\le\left(\frac13\right)^n, alors 0≤un+1−3≤13(13)n=(13)n+10\le u_{n+1}-3\le\frac13\left(\frac13\right)^n=\left(\frac13\right)^{n+1}.

5.a. [1 pt] v0=4−34−1=13v_0=\frac{4-3}{4-1}=\frac13 [0,25]. un+1−1=3(un−1)unu_{n+1}-1=\dfrac{3(u_n-1)}{u_n} et un+1−3=un−3unu_{n+1}-3=\dfrac{u_n-3}{u_n}, donc vn+1=un−33(un−1)=13vnv_{n+1}=\dfrac{u_n-3}{3(u_n-1)}=\dfrac13v_n [0,75].

5.b. [1,5 pt] vn=13(13)n=(13)n+1v_n=\frac13\left(\frac13\right)^n=\left(\frac13\right)^{n+1} [0,5]. De vn(un−1)=un−3v_n(u_n-1)=u_n-3 : un(1−vn)=3−vnu_n(1-v_n)=3-v_n, avec vn≠1v_n\neq1 [0,5], donc un=3−vn1−vn=3n+2−13n+1−1u_n=\dfrac{3-v_n}{1-v_n}=\dfrac{3^{n+2}-1}{3^{n+1}-1} [0,5]. (Contrôle : u1=268=134u_1=\frac{26}8=\frac{13}4.)

5.c. [2 pt] Sn=13×1−(1/3)n1−1/3=12(1−13n)S_n=\frac13\times\dfrac{1-(1/3)^n}{1-1/3}=\dfrac12\left(1-\dfrac1{3^n}\right) [0,75]. Puis vk=(uk−1)−2uk−1=1−2uk−1v_k=\dfrac{(u_k-1)-2}{u_k-1}=1-\dfrac2{u_k-1}, donc 1uk−1=1−vk2\dfrac1{u_k-1}=\dfrac{1-v_k}2 [0,75], et Tn=12∑k=0n−1(1−vk)=n−Sn2=n2−14(1−13n) [0,5].T_n=\frac12\sum_{k=0}^{n-1}(1-v_k)=\frac{n-S_n}2=\frac n2-\frac14\left(1-\frac1{3^n}\right)\ \textbf{[0,5]}.

Exercice 2 — Suites couplées — 5 points Moyen ★★★☆☆

On considère les suites (un)n≥1(u_n)_{n\ge1} et (vn)n≥1(v_n)_{n\ge1} définies par u1=1u_1=1, v1=11v_1=11 et, pour tout n∈N∗n\in\N^* : un+1=un+vn2u_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}2 et vn+1=un+2vn3v_{n+1}=\dfrac{u_n+2v_n}3. Pour tout n∈N∗n\in\N^*, on pose tn=2un+3vnt_n=2u_n+3v_n et wn=vn−unw_n=v_n-u_n.

  1. Montrer que (wn)n≥1(w_n)_{n\ge1} est une suite géométrique, puis en déduire que, pour tout n∈N∗n\in\N^*, wn=10(16)n−1w_n=10\left(\dfrac16\right)^{n-1}. [1 pt]
  2. Montrer que, pour tout n∈N∗n\in\N^*, vn>unv_n>u_n. [0,5 pt]
  3. Montrer que la suite (un)n≥1(u_n)_{n\ge1} est croissante et que la suite (vn)n≥1(v_n)_{n\ge1} est décroissante. [1 pt]
  4. Montrer que la suite (tn)n≥1(t_n)_{n\ge1} est constante, puis en déduire que, pour tout n∈N∗n\in\N^*, tn=35t_n=35. [1 pt]
  5. Montrer que, pour tout n∈N∗n\in\N^*, un=7−6(16)n−1u_n=7-6\left(\dfrac16\right)^{n-1} et vn=7+4(16)n−1v_n=7+4\left(\dfrac16\right)^{n-1}. [1,5 pt]
Voir la correction

1. [1 pt] wn+1=un+2vn3−un+vn2=2un+4vn−3un−3vn6=16(vn−un)=16wnw_{n+1}=\dfrac{u_n+2v_n}3-\dfrac{u_n+v_n}2=\dfrac{2u_n+4v_n-3u_n-3v_n}6=\dfrac16(v_n-u_n)=\dfrac16w_n [0,5] ; w1=10w_1=10, donc wn=10(16)n−1w_n=10\left(\frac16\right)^{n-1} [0,5].

2. [0,5 pt] vn−un=wn>0v_n-u_n=w_n>0.

3. [1 pt] un+1−un=vn−un2=wn2>0u_{n+1}-u_n=\dfrac{v_n-u_n}2=\dfrac{w_n}2>0 [0,5] ; vn+1−vn=un−vn3=−wn3<0v_{n+1}-v_n=\dfrac{u_n-v_n}3=-\dfrac{w_n}3<0 [0,5].

4. [1 pt] tn+1=(un+vn)+(un+2vn)=2un+3vn=tnt_{n+1}=(u_n+v_n)+(u_n+2v_n)=2u_n+3v_n=t_n [0,5] ; donc tn=t1=2+33=35t_n=t_1=2+33=35 [0,5].

5. [1,5 pt] De 2un+3vn=352u_n+3v_n=35 et vn=un+wnv_n=u_n+w_n : 5un+3wn=355u_n+3w_n=35 [0,5], d’où un=7−35wn=7−6(16)n−1u_n=7-\frac35w_n=7-6\left(\frac16\right)^{n-1} [0,5] et vn=un+wn=7+4(16)n−1v_n=u_n+w_n=7+4\left(\frac16\right)^{n-1} [0,5].

Exercice 3 — Trigonométrie — 6 points Moyen ★★★☆☆

  1. a. Soient aa et bb deux réels de ]−π2;0[\left]-\frac\pi2;0\right[ tels que cos⁡a=1213\cos a=\frac{12}{13} et sin⁡b=−35\sin b=-\frac35. Montrer que sin⁡a=−513\sin a=-\frac5{13} et cos⁡b=45\cos b=\frac45. [0,5 pt] b. Calculer cos⁡(a+b)\cos(a+b), sin⁡(a−b)\sin(a-b), sin⁡2a\sin2a et cos⁡2b\cos2b. [2 pt]
  2. Soit x∈Rx\in\R. Transformer en produits les expressions sin⁡x+sin⁡5x\sin x+\sin5x et cos⁡x−cos⁡5x\cos x-\cos5x. [1 pt]
  3. Montrer, sans utiliser la calculatrice, que cos⁡π12×cos⁡5π12=14\cos\frac\pi{12}\times\cos\frac{5\pi}{12}=\frac14. [1 pt]
  4. Soit y∈]0;π[y\in]0;\pi[. Pour tout n∈N∗n\in\N^*, on pose Pn=∏k=1ncos⁡y2k=cos⁡y2×cos⁡y4×⋯×cos⁡y2nP_n=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\cos\frac y{2^k}=\cos\frac y2\times\cos\frac y4\times\cdots\times\cos\frac y{2^n}. Vérifier que, pour tout k∈N∗k\in\N^*, cos⁡y2k=sin⁡y2k−12sin⁡y2k\cos\dfrac y{2^k}=\dfrac{\sin\frac y{2^{k-1}}}{2\sin\frac y{2^k}}, puis montrer que, pour tout n∈N∗n\in\N^*, Pn=sin⁡y2nsin⁡y2nP_n=\dfrac{\sin y}{2^n\sin\frac y{2^n}}. [1,5 pt]
Voir la correction

1.a. [0,5 pt] Sur ]−π2;0[\left]-\frac\pi2;0\right[, sin⁡<0\sin<0 et cos⁡>0\cos>0 : sin⁡a=−1−144169=−513\sin a=-\sqrt{1-\frac{144}{169}}=-\frac5{13} [0,25] et cos⁡b=1−925=45\cos b=\sqrt{1-\frac9{25}}=\frac45 [0,25].

1.b. [2 pt] (0,5 par résultat) cos⁡(a+b)=1213⋅45−(−513)(−35)=48−1565=3365\cos(a+b)=\frac{12}{13}\cdot\frac45-\left(-\frac5{13}\right)\left(-\frac35\right)=\frac{48-15}{65}=\frac{33}{65} ; sin⁡(a−b)=(−513)45−1213(−35)=−20+3665=1665\sin(a-b)=\left(-\frac5{13}\right)\frac45-\frac{12}{13}\left(-\frac35\right)=\frac{-20+36}{65}=\frac{16}{65} ; sin⁡2a=2(−513)1213=−120169\sin2a=2\left(-\frac5{13}\right)\frac{12}{13}=-\frac{120}{169} ; cos⁡2b=1−2⋅925=725\cos2b=1-2\cdot\frac9{25}=\frac7{25}.

2. [1 pt] sin⁡x+sin⁡5x=2sin⁡3xcos⁡2x\sin x+\sin5x=2\sin3x\cos2x [0,5] ; cos⁡x−cos⁡5x=−2sin⁡3xsin⁡(−2x)=2sin⁡3xsin⁡2x\cos x-\cos5x=-2\sin3x\sin(-2x)=2\sin3x\sin2x [0,5].

3. [1 pt] cos⁡π12cos⁡5π12=12(cos⁡π2+cos⁡π3)\cos\frac\pi{12}\cos\frac{5\pi}{12}=\frac12\left(\cos\frac\pi2+\cos\frac\pi3\right) [0,5] =12(0+12)=14=\frac12\left(0+\frac12\right)=\frac14 [0,5].

4. [1,5 pt] Pour k∈N∗k\in\N^*, y2k∈]0;π2[\frac y{2^k}\in\left]0;\frac\pi2\right[, donc sin⁡y2k>0\sin\frac y{2^k}>0 ; et sin⁡y2k−1=sin⁡(2⋅y2k)=2sin⁡y2kcos⁡y2k\sin\frac y{2^{k-1}}=\sin\left(2\cdot\frac y{2^k}\right)=2\sin\frac y{2^k}\cos\frac y{2^k}, d’où l’égalité [0,5]. Le produit est alors télescopique : Pn=∏k=1nsin⁡y2k−12sin⁡y2k=12n×sin⁡ysin⁡y2×sin⁡y2sin⁡y4×⋯×sin⁡y2n−1sin⁡y2n=sin⁡y2nsin⁡y2n [1].P_n=\prod_{k=1}^n\frac{\sin\frac y{2^{k-1}}}{2\sin\frac y{2^k}}=\frac1{2^n}\times\frac{\sin y}{\sin\frac y2}\times\frac{\sin\frac y2}{\sin\frac y4}\times\cdots\times\frac{\sin\frac y{2^{n-1}}}{\sin\frac y{2^n}}=\frac{\sin y}{2^n\sin\frac y{2^n}}\ \textbf{[1]}. (On peut aussi raisonner par récurrence : Pn+1=Pncos⁡y2n+1P_{n+1}=P_n\cos\frac y{2^{n+1}}.)

Questions bonus

  • Bonus 1. On reprend la suite (un)(u_n) de l’exercice 1. Montrer que, pour tout n∈N∗n\in\N^* :  3n≤∑k=0n−1uk<3n+32\ 3n\le\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}u_k<3n+\frac32.
  • Bonus 2. Résoudre dans [0;π][0;\pi] l’inéquation cos⁡x+cos⁡3x>0\cos x+\cos3x>0.
Voir la correction

Bonus 1. [+0,5] D’après 4.b : pour tout kk, 0≤uk−3≤(13)k0\le u_k-3\le\left(\frac13\right)^k. En sommant pour kk de 00 à n−1n-1 : 0≤∑k=0n−1uk−3n≤∑k=0n−1(13)k=32(1−13n)<320\le\sum_{k=0}^{n-1}u_k-3n\le\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac13\right)^k=\frac32\left(1-\frac1{3^n}\right)<\frac32. D’où 3n≤∑k=0n−1uk<3n+323n\le\sum_{k=0}^{n-1}u_k<3n+\frac32.

Bonus 2. [+0,5] cos⁡x+cos⁡3x=2cos⁡2xcos⁡x\cos x+\cos3x=2\cos2x\cos x. Sur [0;π][0;\pi] : cos⁡x>0  ⟺  x∈[0;π2[\cos x>0\iff x\in\left[0;\frac\pi2\right[ et cos⁡2x>0  ⟺  x∈[0;π4[∪]3π4;π]\cos2x>0\iff x\in\left[0;\frac\pi4\right[\cup\left]\frac{3\pi}4;\pi\right]. Le produit est strictement positif lorsque les deux facteurs sont de même signe, non nuls : S=[0;π4[∪]π2;3π4[S=\left[0;\frac\pi4\right[\cup\left]\frac\pi2;\frac{3\pi}4\right[.

Bon courage !

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