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Devoir maison n°3 — Semestre 1

Barycentre et produit scalaire analytique

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Remarque — méthodes utilisées

Barycentre : propriété caractéristique $a\V{MA}+b\V{MB}=(a+b)\V{MG}$ pour tout point $M$ ; associativité (barycentres partiels) ; homogénéité.
Analytique : expression analytique du produit scalaire et du déterminant ; vecteur normal ; distance d’un point à une droite ; équations de cercles ; tangentes ; inégalités de Cauchy-Schwarz et triangulaire.
Tous les résultats ont été contrôlés avec Python/sympy (build/verif_lot3.py).

Remarque — consignes

Devoir à rendre sur copie double, rédigé avec soin. Toute réponse doit être justifiée.
Le symbole $\iff$ ne doit être employé que si chaque étape est réversible ; sinon, utiliser $\Longrightarrow$ et vérifier la réciproque.
Dans les exercices 2 et 3, le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec\imath;\vec\jmath)$ ; $x$ , $y$ , $\theta$ désignent des réels et $m$ un paramètre réel.

Exercice 1 — Barycentre — parallélogramme et centre Moyen ★★★☆☆

On considère un triangle $ABC$ et le point $K$ du plan défini par $5\V{KA}=\V{AC}-6\V{AB}$ .

Montrer que $B=\bary{(C;1);(K;5)}$ .
On pose $J=\bary{(A;4);(C;1);(K;5)}$ . a. Montrer que $J=\bary{(A;4);(B;6)}$ . b. En déduire que $J=\bary{(A;2);(B;3)}$ . $\quad[\alpha]$
On pose $I=\bary{(A;4);(C;1)}$ . a. Montrer que $\V{CI}=\frac45\V{CA}$ . b. Montrer que $J$ est le milieu du segment $[KI]$ .
Soit $N$ le milieu du segment $[CK]$ . a. Justifier que $5\V{NC}+5\V{NK}=\vec0$ . b. En appliquant la propriété caractéristique du barycentre $B$ (question 1), montrer que $5\V{NK}=6\V{NB}-\V{NC}$ . c. En déduire que $N=\bary{(B;3);(C;2)}$ et que $3\V{NB}=2\V{CN}$ . $\quad[\beta]$
Soit $L$ le milieu du segment $[CI]$ . a. Justifier que $\V{IL}=\frac12\V{IC}$ . b. En déduire que $\V{IL}=\frac25\V{AC}$ .
a. En appliquant la propriété caractéristique du barycentre à la relation $[\alpha]$ , montrer que $3\V{NB}=5\V{NJ}-2\V{NA}$ . $\quad[\delta]$ b. En déduire, à l’aide de $[\beta]$ et $[\delta]$ , que $\V{JN}=\frac25\V{AC}$ . c. En déduire que le quadrilatère $ILNJ$ est un parallélogramme.
Soit $O$ le centre du parallélogramme $ILNJ$ . a. Justifier que $\V{OI}+\V{OL}+\V{ON}+\V{OJ}=\vec0$ . b. En appliquant la propriété caractéristique du barycentre aux points $I$ , $L$ , $N$ et $J$ , montrer que : $4\V{OA}+\V{OC}=5\V{OI}$ ; $\ 5\V{OC}+5\V{OI}=10\V{OL}$ ; $\ 3\V{OB}+2\V{OC}=5\V{ON}$ ; $\ 2\V{OA}+3\V{OB}=5\V{OJ}$ . c. En déduire que $O=\bary{(A;4);(B;3);(C;3)}$ .

Voir la correction

1. $5\V{KA}=\V{AC}-6\V{AB}$ s’écrit, avec Chasles ( $\V{AC}=\V{AK}+\V{KC}$ , $\V{AB}=\V{AK}+\V{KB}$ ) : $5\V{KA}=\V{AK}+\V{KC}-6\V{AK}-6\V{KB}=5\V{KA}+\V{KC}-6\V{KB}$ . Donc $\V{KC}=6\V{KB}$ , soit $\V{KC}+5\V{KK}=6\V{KB}$ : c’est la propriété caractéristique de $\bary{(C;1);(K;5)}$ au point $K$ ; ainsi $B=\bary{(C;1);(K;5)}$ (poids $6\neq0$ ).

2. a. $B$ est le barycentre partiel de $(C;1)$ et $(K;5)$ , de poids $6$ ; par associativité : $J=\bary{(A;4);(B;6)}$ .

2. b. Par homogénéité (on divise les poids par $2$ ) : $J=\bary{(A;2);(B;3)}$ .

3. a. $I=\bary{(A;4);(C;1)}$ : propriété caractéristique au point $C$ : $4\V{CA}+\V{CC}=5\V{CI}$ , d’où $\V{CI}=\frac45\V{CA}$ .

3. b. $I$ est le barycentre partiel de $(A;4)$ et $(C;1)$ , de poids $5$ ; par associativité, $J=\bary{(I;5);(K;5)}$ : poids égaux, $J$ est le milieu de $[KI]$ .

4. a. $N$ milieu de $[CK]$ : $\V{NC}+\V{NK}=\vec0$ , puis on multiplie par $5$ .

4. b. Propriété caractéristique de $B=\bary{(C;1);(K;5)}$ au point $N$ : $\V{NC}+5\V{NK}=6\V{NB}$ , d’où $5\V{NK}=6\V{NB}-\V{NC}$ .

4. c. On reporte dans 4.a : $5\V{NC}+6\V{NB}-\V{NC}=\vec0$ , soit $6\V{NB}+4\V{NC}=\vec0$ , ou $3\V{NB}+2\V{NC}=\vec0$ : $N=\bary{(B;3);(C;2)}$ . Et $3\V{NB}=-2\V{NC}=2\V{CN}$ .

5. a. $L$ milieu de $[CI]$ : $\V{IL}=\frac12\V{IC}$ .

5. b. $\V{IC}=-\V{CI}=-\frac45\V{CA}=\frac45\V{AC}$ (3.a), donc $\V{IL}=\frac25\V{AC}$ .

6. a. Propriété caractéristique de $J=\bary{(A;2);(B;3)}$ au point $N$ : $2\V{NA}+3\V{NB}=5\V{NJ}$ , d’où $3\V{NB}=5\V{NJ}-2\V{NA}$ .

6. b. Avec $[\beta]$ : $5\V{NJ}-2\V{NA}=2\V{CN}$ , donc $5\V{NJ}=2(\V{CN}+\V{NA})=2\V{CA}$ , soit $\V{NJ}=\frac25\V{CA}$ et $\V{JN}=\frac25\V{AC}$ .

6. c. $\V{IL}=\V{JN}$ (5.b et 6.b) ; de plus $I$ , $L\in(AC)$ alors que $J\in(AB)$ , $J\neq A$ , n’est pas sur $(AC)$ : les quatre points ne sont pas alignés. Donc $ILNJ$ est un parallélogramme.

7. a. Les diagonales $[IN]$ et $[LJ]$ ont pour milieu commun $O$ : $\V{OI}+\V{ON}=\vec0$ et $\V{OL}+\V{OJ}=\vec0$ ; on additionne.

7. b. Propriété caractéristique au point $O$ : de $I=\bary{(A;4);(C;1)}$ : $4\V{OA}+\V{OC}=5\V{OI}$ ; de $L=\bary{(C;1);(I;1)}$ : $\V{OC}+\V{OI}=2\V{OL}$ , multiplié par $5$ ; de $N=\bary{(B;3);(C;2)}$ : $3\V{OB}+2\V{OC}=5\V{ON}$ ; de $J=\bary{(A;2);(B;3)}$ : $2\V{OA}+3\V{OB}=5\V{OJ}$ .

7. c. D’après 7.a, $5\V{OI}+5\V{OL}+5\V{ON}+5\V{OJ}=\vec0$ . Or $5\V{OL}=\frac12(5\V{OC}+5\V{OI})=\frac12(5\V{OC}+4\V{OA}+\V{OC})=2\V{OA}+3\V{OC}$ . En remplaçant : $(4\V{OA}+\V{OC})+(2\V{OA}+3\V{OC})+(3\V{OB}+2\V{OC})+(2\V{OA}+3\V{OB})=\vec0$ , soit $8\V{OA}+6\V{OB}+6\V{OC}=\vec0$ , ou $4\V{OA}+3\V{OB}+3\V{OC}=\vec0$ . Comme $4+3+3\neq0$ : $O=\bary{(A;4);(B;3);(C;3)}$ .

Exercice 2 — Analytique du produit scalaire — triangle, droites, cercles Moyen ★★★☆☆

On considère les points $A(0;-1)$ , $B\left(1+\sqrt3;-\sqrt3\right)$ , $C(2;1)$ et $D(2;-3)$ .

Montrer que $AC=AB=2\sqrt2$ , $\ \det(\V{AC};\V{AB})=-4\sqrt3$ et $\ \V{AC}\cdot\V{AB}=4$ .
Calculer $\cos\ang{\V{AC}}{\V{AB}}$ et $\sin\ang{\V{AC}}{\V{AB}}$ .
En déduire la mesure principale de l’angle orienté $\ang{\V{AC}}{\V{AB}}$ .
Déterminer la nature du triangle $ABC$ .
Calculer l’aire du triangle $ABC$ .
Déterminer une équation cartésienne de la droite $(\Delta)$ passant par $C$ et perpendiculaire à $(DA)$ .
Montrer que la droite $(D')$ d’équation $y=-x+4$ est perpendiculaire à la droite $(\Delta)$ .
Montrer que $2\sqrt2$ est la distance du point $E(5;0)$ à la droite $(\Delta)$ .
Déterminer une équation cartésienne du cercle $(C_1)$ de représentation paramétrique $\begin{cases}x=-1+2\cos\theta\\y=3+2\sin\theta\end{cases}$ , $\theta\in\R$ .
Déterminer, par deux méthodes, une équation cartésienne du cercle $(C_2)$ de diamètre $[AC]$ .
Déterminer une représentation paramétrique du cercle $(C_2)$ .
Déterminer l’ensemble $(C_3)$ des points $M(x;y)$ du plan tels que $x^2+y^2+2x-4y-4=0$ .
Résoudre graphiquement le système $\begin{cases}x-2y+5\ge0\\x^2+y^2+2x-4y-4\le0\end{cases}$ .
Déterminer, par deux méthodes, une équation cartésienne du cercle $(C_4)$ circonscrit au triangle $ACD$ .

Voir la correction

1. $\V{AC}(2;2)$ , $\V{AB}\left(1+\sqrt3;1-\sqrt3\right)$ . $AC=\sqrt8=2\sqrt2$ ; $AB^2=(4+2\sqrt3)+(4-2\sqrt3)=8$ , $AB=2\sqrt2$ . $\det(\V{AC};\V{AB})=2(1-\sqrt3)-2(1+\sqrt3)=-4\sqrt3$ ; $\V{AC}\cdot\V{AB}=2(1+\sqrt3)+2(1-\sqrt3)=4$ .

2. $\cos\ang{\V{AC}}{\V{AB}}=\frac48=\frac12$ ; $\sin\ang{\V{AC}}{\V{AB}}=\frac{-4\sqrt3}8=-\frac{\sqrt3}2$ .

3. Mesure principale : $-\frac\pi3$ .

4. $AB=AC$ et l’angle en $A$ mesure $\frac\pi3$ (en valeur absolue) : $ABC$ est équilatéral.

5. $S=\frac12|\det(\V{AC};\V{AB})|=2\sqrt3$ .

6. $\V{DA}(-2;2)$ , ou $(1;-1)$ , est normal à $(\Delta)$ : $(x-2)-(y-1)=0\iff x-y-1=0$ .

7. $(D'):x+y-4=0$ a pour vecteur normal $(1;1)$ , et $(1;1)\cdot(1;-1)=0$ : $(D')\perp(\Delta)$ .

8. $d(E;(\Delta))=\frac{|5-0-1|}{\sqrt2}=\frac4{\sqrt2}=2\sqrt2$ .

9. $(x+1)^2+(y-3)^2=4(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=4$ : $(C_1)$ est le cercle de centre $(-1;3)$ , de rayon $2$ ; $(C_1):x^2+y^2+2x-6y+6=0$ .

10. Méthode 1 : $M\in(C_2)\iff\V{AM}\cdot\V{CM}=0\iff x(x-2)+(y+1)(y-1)=0\iff x^2+y^2-2x-1=0$ . Méthode 2 : centre $\Omega_2(1;0)$ (milieu de $[AC]$ ), rayon $\frac{AC}2=\sqrt2$ : $(x-1)^2+y^2=2$ , même équation.

11. $\begin{cases}x=1+\sqrt2\cos\theta\\y=\sqrt2\sin\theta\end{cases}$ , $\theta\in\R$ .

12. $(x+1)^2+(y-2)^2=1+4+4=9$ : cercle de centre $\Omega_3(-1;2)$ et de rayon $3$ .

13. La seconde inéquation : disque fermé de bord $(C_3)$ . La droite $x-2y+5=0$ passe par $\Omega_3$ ( $-1-4+5=0$ ) ; $O$ vérifie $5\ge0$ : on garde le demi-plan fermé contenant $O$ . Solution : le demi-disque fermé coloré (bords compris).

14. Méthode 1 : $x^2+y^2+ax+by+c=0$ passant par $A$ , $C$ , $D$ : $-b+c=-1$ ; $2a+b+c=-5$ ; $2a-3b+c=-13$ . Par différences : $4b=8$ , $b=2$ , $c=1$ , $a=-4$ : $(C_4):x^2+y^2-4x+2y+1=0$ . Méthode 2 : $\V{AC}(2;2)$ et $\V{AD}(2;-2)$ : $\V{AC}\cdot\V{AD}=0$ , le triangle $ACD$ est rectangle en $A$ , donc $(C_4)$ est le cercle de diamètre $[CD]$ : centre $(2;-1)$ , rayon $2$ , $(x-2)^2+(y+1)^2=4$ , même équation.

Exercice 3 — Famille de cercles, tangentes, inégalités Difficile ★★★★☆

Étudier l’intersection de la droite $(\Delta):x+y-1=0$ et du cercle $(C):x^2+y^2-5=0$ .
Pour $m\in\R$ , soit $(C_m)$ l’ensemble des points $M(x;y)$ du plan tels que $x^2+y^2+2mx+2my-2m-5=0$ . Montrer que $(C_m)$ est un cercle et préciser son centre $\Omega_m$ et son rayon $R_m$ .
Déterminer l’ensemble $(D)$ des centres $\Omega_m$ lorsque $m$ décrit $\R$ .
Montrer que tous les cercles $(C_m)$ passent par deux points fixes $I$ et $J$ .
Montrer que $(D)\perp(IJ)$ .
Soit $A(x_0;y_0)$ un point du plan. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $(x_0;y_0)$ pour que $A$ appartienne à au moins un cercle $(C_m)$ .
Vérifier que le point $B(2;3)$ est extérieur au cercle $(C_1)$ (obtenu pour $m=1$ ), puis déterminer les équations cartésiennes des tangentes à $(C_1)$ passant par $B$ .
Soit $n\in\N^*$ . a. À l’aide de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que pour tous réels non nuls $a_1$ et $a_2$ : $\ (a_1^2+a_2^2)\left(\dfrac1{a_1^2}+\dfrac4{a_2^2}\right)\ge9$ . b. À l’aide de l’inégalité triangulaire, montrer que pour tous réels $a_1,a_2,\dots,a_n$ : $\ \displaystyle\sum_{i=1}^n\sqrt{a_i^2+1}\ge\sqrt{\Big(\sum_{i=1}^na_i\Big)^2+n^2}$ .

Voir la correction

1. $d(O;(\Delta))=\frac1{\sqrt2}<\sqrt5$ : sécante. Avec $y=1-x$ : $2x^2-2x-4=0\iff(x-2)(x+1)=0$ . Points : $(2;-1)$ et $(-1;2)$ .

2. $a^2+b^2-4c=4m^2+4m^2+8m+20=4(2m^2+2m+5)$ , et $2m^2+2m+5$ a pour discriminant $4-40<0$ : il est strictement positif. $(C_m)$ est le cercle de centre $\Omega_m(-m;-m)$ et de rayon $R_m=\sqrt{2m^2+2m+5}$ .

3. $\Omega_m$ vérifie $y=x$ ; réciproquement, tout point $(t;t)$ est $\Omega_{-t}$ . Donc $(D):x-y=0$ .

4. L’équation s’écrit $(x^2+y^2-5)+2m(x+y-1)=0$ . $M$ est sur tous les $(C_m)$ $\iff$ $x^2+y^2-5=0$ et $x+y-1=0$ (polynôme en $m$ nul pour tout $m$ ) $\iff M\in(C)\cap(\Delta)$ . D’après 1 : $I(2;-1)$ et $J(-1;2)$ .

5. $\V{IJ}(-3;3)$ et $\vec u(1;1)$ dirige $(D)$ : $\V{IJ}\cdot\vec u=0$ .

6. $A\in(C_m)\iff(x_0^2+y_0^2-5)+2m(x_0+y_0-1)=0$ . Si $x_0+y_0\neq1$ , la valeur $m=-\frac{x_0^2+y_0^2-5}{2(x_0+y_0-1)}$ convient. Si $x_0+y_0=1$ , l’équation devient $x_0^2+y_0^2-5=0$ : elle a une solution (et alors toutes) si et seulement si $A\in(C)\cap(\Delta)=\{I;J\}$ . Condition : $x_0+y_0\neq1$ , ou $A\in\{I;J\}$ (autrement dit, $A\notin(\Delta)$ ou $A=I$ ou $A=J$ ).

7. $(C_1):x^2+y^2+2x+2y-7=0$ , soit $(x+1)^2+(y+1)^2=9$ : $\Omega_1(-1;-1)$ , $R=3$ . $\Omega_1B^2=9+16=25>9$ : $B$ est extérieur. La droite $x=2$ est à la distance $|2+1|=3=R$ de $\Omega_1$ : c’est une tangente. Les autres droites passant par $B$ : $mx-y+3-2m=0$ , tangentes $\iff\frac{|-3m+4|}{\sqrt{m^2+1}}=3\iff(4-3m)^2=9m^2+9\iff m=\frac7{24}$ . Tangentes : $x-2=0$ et $7x-24y+58=0$ .

8. a. Soient $\vec u(a_1;a_2)$ et $\vec v\left(\frac1{a_1};\frac2{a_2}\right)$ : $\vec u\cdot\vec v=1+2=3$ . Cauchy-Schwarz : $9=(\vec u\cdot\vec v)^2\le\nv{\vec u}^2\nv{\vec v}^2=(a_1^2+a_2^2)\left(\frac1{a_1^2}+\frac4{a_2^2}\right)$ .

8. b. Soient $\vec u_i(a_i;1)$ : $\nv{\vec u_i}=\sqrt{a_i^2+1}$ et $\sum_{i=1}^n\vec u_i=\left(\sum a_i;n\right)$ . L’inégalité triangulaire généralisée donne $\nv{\sum\vec u_i}\le\sum\nv{\vec u_i}$ , c’est-à-dire le résultat.

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