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Chapitre 10 — Statistiques

Semestre 1

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Cours

Plan du chapitre. I. Vocabulaire statistique — II. Représentations graphiques — III. Paramètres de position — IV. Paramètres de dispersion.

I. Vocabulaire statistique

1. Population, caractère

Définition 1

La population est l’ensemble étudié ; ses éléments sont les individus ; une partie de la population est un échantillon.
Le caractère (ou variable statistique) est la propriété étudiée sur chaque individu. Il est :
- qualitatif s’il n’est pas mesurable (couleur, groupe sanguin, sport préféré…) ;
- quantitatif discret s’il prend des valeurs isolées (nombre d’enfants, note entière…) ;
- quantitatif continu s’il peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle ; les valeurs sont alors regroupées en classes $[a;b[$ .

2. Effectifs et fréquences

Définition 2

On considère une série statistique de valeurs $x_1$ , …, $x_p$ d’effectifs $n_1$ , …, $n_p$ .

L’effectif total est $N=n_1+n_2+\cdots+n_p$ .
La fréquence de la valeur $x_i$ est $f_i=\dfrac{n_i}N$ ; souvent exprimée en pourcentage ( $100f_i\,\%$ ). On a $f_1+\cdots+f_p=1$ .
L’effectif cumulé croissant de $x_i$ est la somme des effectifs des valeurs inférieures ou égales à $x_i$ (on définit de même les fréquences cumulées).

Exemple 1

Les notes de $20$ élèves sont données par le tableau :

Note $x_i$	$8$	$10$	$12$	$14$	$16$
Effectif $n_i$	$3$	$5$	$7$	$4$	$1$

Déterminer les effectifs cumulés croissants et les fréquences de cette série, puis préciser la population et la nature du caractère étudié.

Voir la solution

Notes de $20$ élèves :

Note $x_i$	$8$	$10$	$12$	$14$	$16$
Effectif $n_i$	$3$	$5$	$7$	$4$	$1$
Effectif cumulé	$3$	$8$	$15$	$19$	$20$
Fréquence $f_i$	$0{,}15$	$0{,}25$	$0{,}35$	$0{,}2$	$0{,}05$

La population est la classe de $20$ élèves, le caractère (la note) est quantitatif discret.

II. Représentations graphiques

1. Diagramme en bâtons

Définition 3

Pour un caractère discret : chaque valeur $x_i$ est représentée par un bâton vertical de hauteur proportionnelle à son effectif $n_i$ .

2. Histogramme

Définition 4

Pour un caractère continu : chaque classe est représentée par un rectangle dont la base est la classe et dont l’aire est proportionnelle à l’effectif. Si toutes les classes ont la même amplitude, les hauteurs sont proportionnelles aux effectifs.

Exemple 2

Le tableau donne les tailles de 30 élèves : classes $[150;160[$ , $[160;165[$ , $[165;170[$ , $[170;180[$ d’effectifs $6$ , $9$ , $12$ , $3$ . On prend 1 cm pour 5 cm de taille en abscisse et 1 cm² pour un élève. Déterminer la hauteur du rectangle de chaque classe.

Voir la solution

Tailles de $30$ élèves : classes $[150;160[$ , $[160;165[$ , $[165;170[$ , $[170;180[$ d’effectifs $6$ , $9$ , $12$ , $3$ . Les classes n’ont pas la même amplitude ; avec $1$ cm pour $5$ cm de taille, les largeurs des rectangles sont $2$ cm, $1$ cm, $1$ cm et $2$ cm ; comme $1$ cm² représente un élève, la hauteur est $\dfrac{\text{effectif}}{\text{largeur}}$ . La classe $[150;160[$ , d’amplitude $10$ , est représentée par un rectangle de hauteur $\dfrac{6}{2}=3$ cm ( $6$ élèves sur une largeur double), la classe $[160;165[$ par $\dfrac{9}{1}=9$ cm, la classe $[165;170[$ par $\dfrac{12}{1}=12$ cm et la classe $[170;180[$ par $\dfrac{3}{2}=1{,}5$ cm.

3. Diagramme circulaire

Définition 5

Pour un caractère (souvent qualitatif) : chaque valeur est représentée par un secteur angulaire d’angle $\alpha_i=360^\circ\times f_i=360^\circ\times\dfrac{n_i}N$ .

Exemple 3

Le sport préféré de $24$ élèves est : Football $9$ , Basket $6$ , Natation $3$ , Athlétisme $6$ . Calculer les angles des secteurs du diagramme circulaire.

Voir la solution

Sport préféré de $24$ élèves : Football $9$ , Basket $6$ , Natation $3$ , Athlétisme $6$ . Angles : $135^\circ$ , $90^\circ$ , $45^\circ$ , $90^\circ$ .

III. Paramètres de position

1. Mode

Définition 6

Le mode d’une série discrète est la valeur de plus grand effectif ; pour une série continue, on parle de classe modale.

2. Moyenne

Définition 7

La moyenne de la série est $\overline x=\frac{n_1x_1+n_2x_2+\cdots+n_px_p}{N}=f_1x_1+f_2x_2+\cdots+f_px_p.$ Pour une série continue, on remplace chaque classe $[a;b[$ par son centre $\dfrac{a+b}2$ .

3. Médiane

Définition 8

La médiane $Me$ est un nombre qui partage la série, rangée dans l’ordre croissant, en deux parties de même effectif.

Si $N$ est impair, $Me$ est la valeur de rang $\dfrac{N+1}2$ .
Si $N$ est pair, $Me$ est la moyenne des valeurs de rangs $\dfrac N2$ et $\dfrac N2+1$ .

Pour une série continue, la classe médiane est la première classe dont l’effectif cumulé croissant atteint ou dépasse $\dfrac N2$ .

Exemple 4

Pour la série de l’exemple 1, déterminer le mode, calculer la moyenne $\overline x$ et déterminer la médiane $Me$ .

Voir la solution

Pour la série de l’exemple 1 : le mode est $12$ ; $\ \overline x=\dfrac{24+50+84+56+16}{20}=\dfrac{230}{20}=11{,}5$ ; $N=20$ est pair, les valeurs de rangs $10$ et $11$ valent toutes deux $12$ (effectif cumulé $8<10\le15$ ), donc $Me=12$ .

IV. Paramètres de dispersion

1. Étendue et écart moyen

Définition 9

L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur.
L’écart moyen est $\ e=\dfrac{n_1|x_1-\overline x|+\cdots+n_p|x_p-\overline x|}{N}$ .

2. Variance et écart-type

Définition 10

La variance est $V=\dfrac{n_1(x_1-\overline x)^2+\cdots+n_p(x_p-\overline x)^2}{N}$ , et l’écart-type est $\sigma=\sqrt V$ .

Propriété 1

$V=\dfrac{n_1x_1^2+\cdots+n_px_p^2}{N}-\overline x^{\,2}$ : la variance est la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne.

Remarque

Plus l’écart moyen, la variance et l’écart-type sont grands, plus les valeurs sont dispersées autour de la moyenne.

Application 1

Calculer l’étendue, l’écart moyen, la variance et l’écart-type de la série de l’exemple 1.

Voir la solution

Étendue : $16-8=8$ . Avec $\overline x=11{,}5$ :

$e=\dfrac{3\times3{,}5+5\times1{,}5+7\times0{,}5+4\times2{,}5+1\times4{,}5}{20}=\dfrac{36}{20}=1{,}8$ ;
moyenne des carrés : $\dfrac{3\times64+5\times100+7\times144+4\times196+256}{20}=\dfrac{2740}{20}=137$ , donc $V=137-11{,}5^2=4{,}75$ et $\sigma=\sqrt{4{,}75}\approx2{,}18$ .

À retenir — l’essentiel du chapitre

$f_i=\frac{n_i}N$ ; diagramme en bâtons (discret), histogramme (continu, aire $\propto$ effectif), diagramme circulaire ( $\alpha_i=360^\circ f_i$ ).
Position : mode, moyenne $\overline x=\frac1N\sum n_ix_i$ , médiane.
Dispersion : étendue, écart moyen, $V=\frac1N\sum n_i(x_i-\overline x)^2$ , $\sigma=\sqrt V$ .

Série d’exercices

Exercice 1 — Généralités Facile ★☆☆☆☆

On a relevé les notes obtenues par $20$ élèves d’une classe à un contrôle : $12-8-14-10-12-16-8-12-14-10-6-12-18-10-14-12-8-16-12-10.$

Présenter ces notes dans un tableau statistique (valeurs et effectifs).
Compléter ce tableau par la ligne des effectifs cumulés croissants.
Dresser le tableau des fréquences et des fréquences cumulées croissantes.

Voir la solution

Note	$6$	$8$	$10$	$12$	$14$	$16$	$18$
Effectif	$1$	$3$	$4$	$6$	$3$	$2$	$1$
Eff. cumulé	$1$	$4$	$8$	$14$	$17$	$19$	$20$
Fréquence	$0{,}05$	$0{,}15$	$0{,}2$	$0{,}3$	$0{,}15$	$0{,}1$	$0{,}05$
Fréq. cumulée	$0{,}05$	$0{,}2$	$0{,}4$	$0{,}7$	$0{,}85$	$0{,}95$	$1$

Les questions 1), 2) et 3) correspondent respectivement aux lignes 1–2, 3 et 4–5. On vérifie que l’effectif total vaut $20$ et que la somme des fréquences vaut $1$ .

Exercice 2 — Généralités Facile ★☆☆☆☆

Un centre de transfusion a relevé le groupe sanguin de $25$ donneurs : $A\,;O\,;B\,;A\,;AB\,;O\,;O\,;A\,;B\,;O\,;A\,;A\,;O\,;AB\,;O\,;B\,;A\,;O\,;O\,;A\,;B\,;O\,;A\,;O\,;AB.$

Présenter ces données dans un tableau statistique.
Calculer la fréquence de chaque groupe sanguin.
Calculer les pourcentages des groupes $A$ et $O$ .

Voir la solution

Groupe	$A$	$B$	$AB$	$O$	Total
Effectif	$8$	$4$	$3$	$10$	$25$
Fréquence	$0{,}32$	$0{,}16$	$0{,}12$	$0{,}4$	$1$

Groupe $A$ : $32\,\%$ ; groupe $O$ : $40\,\%$ .

Exercice 3 — Généralités Facile ★★☆☆☆

On a relevé le nombre d’enfants de $30$ familles d’un quartier : $2-1-0-3-2-2-1-4-0-2-3-1-2-0-1-2-3-2-1-0-2-5-1-2-3-0-2-1-2-4.$

Organiser ces données dans un tableau statistique.
Quel est le caractère étudié ? Préciser sa nature.
Déterminer l’effectif total de cette série.
Donner l’effectif des familles de deux enfants et calculer sa fréquence.
Calculer le pourcentage des familles ayant au moins trois enfants.
Compléter le tableau par les effectifs cumulés croissants.

Voir la solution

1) et 6)

Nombre d’enfants	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Effectif	$5$	$7$	$11$	$4$	$2$	$1$
Eff. cumulé	$5$	$12$	$23$	$27$	$29$	$30$

2) Le caractère est le nombre d’enfants par famille : quantitatif discret.

3) $N=30$ .

4) $11$ familles ont deux enfants ; fréquence $\dfrac{11}{30}\approx0{,}37$ .

5) $4+2+1=7$ familles : $\dfrac7{30}\times100\approx23{,}3\,\%$ .

Exercice 4 — Représentations graphiques Facile ★☆☆☆☆

Le tableau donne le sport préféré des $40$ élèves d’un club :

Football	Basket	Handball	Athlétisme	Natation	Tennis
$14$	$6$	$4$	$8$	$4$	$4$

Représenter cette série par un diagramme en bâtons.
Représenter cette série par un diagramme circulaire.

Voir la solution

Angles : $\alpha_i=360^\circ\times\dfrac{n_i}{40}=9^\circ\times n_i$ , soit $126^\circ$ , $54^\circ$ , $36^\circ$ , $72^\circ$ , $36^\circ$ , $36^\circ$ (total $360^\circ$ ).

\ \

Exercice 5 — Représentations graphiques Facile ★★☆☆☆

On a mesuré la durée (en minutes) du trajet domicile-lycée de $40$ élèves :

Durée	$[0;4[$	$[4;8[$	$[8;12[$	$[12;16[$
Effectif	$5$	$12$	$15$	$8$

Représenter cette série par un histogramme.
Tracer le polygone des effectifs cumulés croissants.

Voir la solution

1) Les classes ont la même amplitude $4$ : les hauteurs des rectangles sont proportionnelles aux effectifs.

2) Effectifs cumulés : $5$ , $17$ , $32$ , $40$ aux bornes supérieures $4$ , $8$ , $12$ , $16$ ; on joint les points $(0;0)$ , $(4;5)$ , $(8;17)$ , $(12;32)$ , $(16;40)$ .

\ \

Exercice 6 — Paramètres de position Facile ★★☆☆☆

On considère la série statistique suivante :

Valeur	$5$	$7$	$9$	$11$	$14$	$18$
Effectif	$3$	$5$	$8$	$6$	$4$	$4$

Déterminer le mode de cette série.
Calculer sa moyenne.
Déterminer sa médiane.

Voir la solution

1) Le mode est $9$ (effectif $8$ ).

2) $N=30$ et $\overline x=\dfrac{15+35+72+66+56+72}{30}=\dfrac{316}{30}=\dfrac{158}{15}\approx10{,}53$ .

3) Effectifs cumulés : $3$ , $8$ , $16$ , $22$ , $26$ , $30$ . $N$ est pair : les valeurs de rangs $15$ et $16$ valent $9$ . $Me=9$ .

Exercice 7 — Paramètres de position Facile ★★☆☆☆

On considère la série statistique suivante :

Classe	$[0;2[$	$[2;4[$	$[4;6[$	$[6;8[$	$[8;10[$
Effectif	$8$	$14$	$20$	$12$	$6$

Déterminer la classe modale.
Déterminer la classe médiane.
Calculer la moyenne à l’aide des centres des classes.

Voir la solution

1) Classe modale : $[4;6[$ (effectif $20$ ).

2) $N=60$ , $\dfrac N2=30$ ; effectifs cumulés : $8$ , $22$ , $42$ … La classe médiane est $[4;6[$ .

3) Centres $1$ , $3$ , $5$ , $7$ , $9$ : $\overline x=\dfrac{8+42+100+84+54}{60}=\dfrac{288}{60}=4{,}8$ .

Exercice 8 — Paramètres de dispersion Moyen ★★★☆☆

On considère la série statistique suivante :

Valeur	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Effectif	$4$	$6$	$10$	$6$	$4$

Calculer la moyenne.
Calculer l’écart moyen.
Calculer la variance et l’écart-type.

Voir la solution

1) $N=30$ ; $\overline x=\dfrac{4+12+30+24+20}{30}=\dfrac{90}{30}=3$ .

2) $e=\dfrac{4\times2+6\times1+10\times0+6\times1+4\times2}{30}=\dfrac{28}{30}=\dfrac{14}{15}\approx0{,}93$ .

3) $V=\dfrac{4\times4+6\times1+0+6\times1+4\times4}{30}=\dfrac{44}{30}=\dfrac{22}{15}\approx1{,}47$ et $\sigma=\sqrt{\dfrac{22}{15}}\approx1{,}21$ .

Exercice 9 — Synthèse Difficile ★★★★☆

Voici les notes obtenues en mathématiques et en physique par $10$ élèves d’une classe de Tronc Commun Sciences :

Maths	$8$	$12$	$15$	$8$	$11$	$14$	$12$	$9$	$12$	$9$
Physique	$10$	$11$	$13$	$9$	$12$	$11$	$10$	$12$	$11$	$11$

Pour chaque matière, dresser un tableau des notes, des effectifs, des effectifs cumulés et des fréquences.
Représenter les notes de mathématiques par un diagramme en bâtons.
Déterminer la médiane de chaque série.
Calculer la moyenne de chaque série.
Calculer l’écart moyen, la variance et l’écart-type de chaque série.
Dans quelle matière les notes sont-elles le plus dispersées autour de la moyenne ?

Voir la solution

Maths	$8$	$9$	$11$	$12$	$14$	$15$
Effectif	$2$	$2$	$1$	$3$	$1$	$1$
Eff. cumulé	$2$	$4$	$5$	$8$	$9$	$10$
Fréquence	$0{,}2$	$0{,}2$	$0{,}1$	$0{,}3$	$0{,}1$	$0{,}1$

Physique	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$
Effectif	$1$	$2$	$4$	$2$	$1$
Eff. cumulé	$1$	$3$	$7$	$9$	$10$
Fréquence	$0{,}1$	$0{,}2$	$0{,}4$	$0{,}2$	$0{,}1$

3) $N=10$ : médiane = moyenne des valeurs de rangs $5$ et $6$ . Maths : $\dfrac{11+12}2=11{,}5$ ; physique : $\dfrac{11+11}2=11$ .

4) Maths : $\dfrac{16+18+11+36+14+15}{10}=11$ ; physique : $\dfrac{9+20+44+24+13}{10}=11$ .

Maths : $e=\dfrac{2\times3+2\times2+0+3\times1+3+4}{10}=2$ ; $V=\dfrac{2\times9+2\times4+0+3\times1+9+16}{10}=5{,}4$ ; $\sigma\approx2{,}32$ .
Physique : $e=\dfrac{2+2\times1+0+2\times1+2}{10}=0{,}8$ ; $V=\dfrac{4+2+0+2+4}{10}=1{,}2$ ; $\sigma\approx1{,}10$ .

6) Les moyennes sont égales, mais l’écart-type des notes de mathématiques est plus grand : ce sont les notes de mathématiques qui sont le plus dispersées autour de la moyenne.

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