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Devoir surveillé n°3

Polynômes, équations et statistiques

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Remarque — barème

Exercice 1 sur 8 points, exercice 2 sur 9 points, exercice 3 sur 3 points (total 20 points). Les points de chaque question sont indiqués entre crochets. Deux questions bonus (+0,5 pt chacune) permettent de compenser une erreur ; la note est plafonnée à 20.

Exercice 1 — Polynômes — 8 points Facile ★★☆☆☆

On considère le polynôme $P(x)=-2x^3+3x^2+11x-6$ .

Vérifier que $3$ est une racine de $P$ . [1 pt]
En déduire qu’il existe un polynôme $Q$ , à déterminer, tel que $P(x)=(x-3)Q(x)$ . [2 pts]
Montrer que $\dfrac12$ et $-2$ sont les solutions de l’équation $Q(x)=0$ . [1 pt]
Donner une factorisation de $P(x)$ en produit de trois binômes. [1 pt]
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $P(x)=0$ . [1 pt]
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $-2x^3+3x^2+11x-6+(x-3)(x+2)=0$ . [2 pts]

Bonus [+0,5 pt]. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $P(x)\ge0$ .

Voir la correction

1) [1 pt] $P(3)=-54+27+33-6=0$ .

2) [2 pts] $3$ est racine, donc $P$ est divisible par $x-3$ [0,5]. Horner avec $a=3$ : $-2$ ; $3-6=-3$ ; $11-9=2$ ; $-6+6=0$ [1]. Donc $Q(x)=-2x^2-3x+2$ [0,5].

3) [1 pt] $Q\left(\frac12\right)=-\frac12-\frac32+2=0$ et $Q(-2)=-8+6+2=0$ [0,5] ; $Q$ est de degré $2$ et a donc au plus deux racines : ce sont $\frac12$ et $-2$ [0,5].

4) [1 pt] $Q(x)=-2\left(x-\frac12\right)(x+2)=-(2x-1)(x+2)$ , donc $P(x)=-(x-3)(2x-1)(x+2)$ .

5) [1 pt] $S=\left\{-2;\dfrac12;3\right\}$ .

6) [2 pts] L’équation s’écrit $(x-3)Q(x)+(x-3)(x+2)=0$ , soit $(x-3)\big(-2x^2-2x+4\big)=0$ [1]. Or $-2x^2-2x+4=-2(x^2+x-2)=-2(x-1)(x+2)$ [0,5]. $S=\{-2;1;3\}$ [0,5].

Bonus [+0,5 pt]. $P(x)=-(x-3)(2x-1)(x+2)$ : coefficient dominant négatif, racines $-2<\frac12<3$ ; le signe alterne en partant de $+$ sur $]-\infty;-2[$ : $S=\,]-\infty;-2]\cup\left[\dfrac12;3\right]$ .

Exercice 2 — Équations, inéquations et systèmes — 9 points Moyen ★★★☆☆

a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations $x^2-2x-3=0$ et $2x^4-7x^2-4=0$ . [2 pts] b) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $\dfrac{(-3x+6)(x^2-2x-3)}{2x+8}\ge0$ . [2 pts]
Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Résoudre graphiquement dans $\mathbb{R}^2$ l’inéquation $2x+y-4<0$ . [2 pts]
a) Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système $(S_1):\begin{cases}2x+3y=5\\ x-y=5\end{cases}$ . [1 pt] b) En déduire les solutions du système $(S_2):\begin{cases}2(x-1)^2+\dfrac3y=5\\ (x-1)^2-\dfrac1y=5\end{cases}$ . [2 pts]

Voir la correction

1) a) [2 pts] $x^2-2x-3=0$ : $\Delta=16$ , $x=\dfrac{2\pm4}2$ , $S=\{-1;3\}$ [1]. Pour $2x^4-7x^2-4=0$ , on pose $X=x^2\ge0$ : $2X^2-7X-4=0$ , $\Delta=81$ , $X=4$ ou $X=-\dfrac12$ (rejeté, car $X\ge0$ ) [0,5] ; donc $x^2=4$ et $S=\{-2;2\}$ [0,5].

b) [2 pts] On a $-3x+6=0\iff x=2$ et $2x+8=0\iff x=-4$ (valeur interdite). Tableau de signes [1,5] :

$x$		$-4$		$-1$		$2$		$3$
$-3x+6$	$+$		$+$		$+$	$0$	$-$		$-$
$x^2-2x-3$	$+$		$+$	$0$	$-$		$-$	$0$	$+$
$2x+8$	$-$	$0$	$+$		$+$		$+$		$+$
quotient	$-$	$\Vert$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

$S=\,]-4;-1]\cup[2;3]$ [0,5].

2) [2 pts] Droite $(D):2x+y-4=0$ , soit $y=4-2x$ , tracée en pointillés (inégalité stricte) [1]. $O$ vérifie $-4<0$ : l’ensemble des solutions est le demi-plan ouvert de bord $(D)$ contenant $O$ [1].

3) a) [1 pt] $D=-2-3=-5$ , $D_x=-5-15=-20$ , $D_y=10-5=5$ : $S_1=\{(4;-1)\}$ .

b) [2 pts] On pose $X=(x-1)^2$ et $Y=\frac1y$ (avec $y\neq0$ ) : $(S_2)$ s’écrit $\begin{cases}2X+3Y=5\\ X-Y=5\end{cases}$ , c’est-à-dire $(S_1)$ en $(X;Y)$ [0,5]. Donc $X=4$ et $Y=-1$ , qui conviennent car $X\ge0$ et $Y\neq0$ [0,5]. $(x-1)^2=4\iff x=3$ ou $x=-1$ ; $\ \frac1y=-1\iff y=-1$ [0,5]. $S_2=\{(3;-1);(-1;-1)\}$ [0,5].

Exercice 3 — Statistiques — 3 points Facile ★★☆☆☆

On considère les deux séries statistiques suivantes :

Série 1 : valeur	$2$	$5$	$8$	$11$	$14$
Effectif	$2$	$5$	$6$	$5$	$2$

Série 2 : valeur	$4$	$6$	$8$	$10$	$12$
Effectif	$3$	$4$	$6$	$4$	$3$

Montrer que les deux séries ont le même effectif total et la même moyenne. [1 pt]
Calculer la variance de chaque série. [1 pt]
Quelle est la série qui présente le moins de dispersion autour de la moyenne ? [1 pt]

Bonus [+0,5 pt]. On multiplie par $2$ chaque valeur de la série 2. Déterminer, en justifiant, la moyenne et la variance de la nouvelle série.

Voir la correction

1) [1 pt] Effectifs totaux : $2+5+6+5+2=20$ et $3+4+6+4+3=20$ [0,5]. Moyennes : $\overline x_1=\dfrac{4+25+48+55+28}{20}=\dfrac{160}{20}=8$ et $\overline x_2=\dfrac{12+24+48+40+36}{20}=\dfrac{160}{20}=8$ [0,5].

2) [1 pt] $V_1=\dfrac{2\times36+5\times9+0+5\times9+2\times36}{20}=\dfrac{234}{20}=11{,}7$ [0,5] ;
$V_2=\dfrac{3\times16+4\times4+0+4\times4+3\times16}{20}=\dfrac{128}{20}=6{,}4$ [0,5].

3) [1 pt] $V_2<V_1$ (donc $\sigma_2<\sigma_1$ ) : la série 2 est la moins dispersée autour de la moyenne.

Bonus [+0,5 pt]. Chaque valeur est multipliée par $2$ : la moyenne devient $2\times8=16$ . Chaque écart $x_i-\overline x$ est multiplié par $2$ , donc chaque carré par $4$ : la variance devient $4\times6{,}4=25{,}6$ .

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