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Devoir surveillé n°2

Ensembles de nombres, ordre dans ℝ et droites

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Remarque — barème

Exercice 1 sur 6 points, exercice 2 sur 8 points, exercice 3 sur 6 points (total 20 points). Les points de chaque question sont indiqués entre crochets. Deux questions bonus (+0,5 pt chacune) permettent de compenser une erreur ; la note est plafonnée à 20.

Exercice 1 — Ensembles de nombres — 6 points Facile ★★☆☆☆

  1. Donner l’écriture scientifique du nombre A=0,6×1012×2,5×10−5×4103×15A=\dfrac{0{,}6\times10^{12}\times2{,}5\times10^{-5}\times4}{10^3\times15}. [1 pt]
  2. On considère les nombres a=11+62a=\sqrt{11+6\sqrt2} et b=11−62b=\sqrt{11-6\sqrt2}. a) Montrer que a2+b2=22a^2+b^2=22 et que ab=7ab=7. [2 pts] b) En déduire que (a+b)2=36(a+b)^2=36 et que (a−b)2=8(a-b)^2=8. [1 pt] c) En déduire la valeur de a+ba+b et celle de a−ba-b. [1 pt]
  3. On considère deux réels xx et yy. Montrer que (x+y)3−(x−y)3=2y(3x2+y2)(x+y)^3-(x-y)^3=2y\big(3x^2+y^2\big). [1 pt]
Voir la correction

1) [1 pt] Numérateur : 0,6×2,5×4=60{,}6\times2{,}5\times4=6, donc il vaut 6×1076\times10^{7} [0,5]. A=6×10715×103=0,4×104=4×103A=\dfrac{6\times10^7}{15\times10^3}=0{,}4\times10^4=4\times10^3 [0,5].

2) a) [2 pts] a2+b2=(11+62)+(11−62)=22a^2+b^2=(11+6\sqrt2)+(11-6\sqrt2)=22 [1]. ab=(11+62)(11−62)=121−72=49=7ab=\sqrt{(11+6\sqrt2)(11-6\sqrt2)}=\sqrt{121-72}=\sqrt{49}=7 [1].

b) [1 pt] (a+b)2=a2+b2+2ab=22+14=36(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=22+14=36 [0,5] ; (a−b)2=22−14=8(a-b)^2=22-14=8 [0,5].

c) [1 pt] a+b>0a+b>0, donc a+b=6a+b=6 [0,5]. 11+62>11−6211+6\sqrt2>11-6\sqrt2 donne a>ba>b, donc a−b=8=22a-b=\sqrt8=2\sqrt2 [0,5].

3) [1 pt] (x+y)3−(x−y)3=(x3+3x2y+3xy2+y3)−(x3−3x2y+3xy2−y3)(x+y)^3-(x-y)^3=(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3)-(x^3-3x^2y+3xy^2-y^3) [0,5] =6x2y+2y3=2y(3x2+y2)=6x^2y+2y^3=2y(3x^2+y^2) [0,5].

Exercice 2 — Ordre dans R\mathbb{R} — 8 points Moyen ★★★☆☆

  1. Résoudre dans R\mathbb{R} l’équation ∣2x−1∣=∣x+4∣|2x-1|=|x+4| et l’inéquation ∣x−3∣≥5|x-3|\ge5. [2 pts]
  2. On considère deux réels aa et bb tels que ∣a−2∣≤12|a-2|\le\dfrac12 et b∈[1;3]b\in[1;3]. a) Montrer que 32≤a≤52\dfrac32\le a\le\dfrac52. [1 pt] b) Montrer que −32≤a−b≤32-\dfrac32\le a-b\le\dfrac32 et que 12≤ab≤52\dfrac12\le\dfrac ab\le\dfrac52. [2 pts] c) Montrer que 12\dfrac12 est une valeur approchée de 1a\dfrac1a à 16\dfrac16 près. [2 pts]
  3. On considère deux réels aa et bb. Comparer ∣a∣+∣b∣|a|+|b| et ∣a+b∣|a+b| (on pourra comparer leurs carrés). [1 pt]

Bonus [+0,5 pt]. En déduire que, pour tous réels aa et bb : ∣∣a∣−∣b∣∣≤∣a−b∣\big||a|-|b|\big|\le|a-b|.

Voir la correction

1) [2 pts] ∣2x−1∣=∣x+4∣  ⟺  2x−1=x+4|2x-1|=|x+4|\iff2x-1=x+4 ou 2x−1=−x−4  ⟺  x=52x-1=-x-4\iff x=5 ou x=−1x=-1 : S={−1;5}S=\{-1;5\} [1].

∣x−3∣≥5  ⟺  x−3≤−5|x-3|\ge5\iff x-3\le-5 ou x−3≥5  ⟺  x≤−2x-3\ge5\iff x\le-2 ou x≥8x\ge8 : S= ]−∞;−2]∪[8;+∞[S=\,]-\infty;-2]\cup[8;+\infty[ [1].

2) a) [1 pt] ∣a−2∣≤12  ⟺  2−12≤a≤2+12  ⟺  32≤a≤52|a-2|\le\dfrac12\iff2-\dfrac12\le a\le2+\dfrac12\iff\dfrac32\le a\le\dfrac52.

b) [2 pts] −3≤−b≤−1-3\le-b\le-1 ; en additionnant avec a) : −32≤a−b≤32-\dfrac32\le a-b\le\dfrac32 [1].

13≤1b≤1\dfrac13\le\dfrac1b\le1 et 32≤a≤52\dfrac32\le a\le\dfrac52 (réels positifs) : 12≤ab≤52\dfrac12\le\dfrac ab\le\dfrac52 [1].

c) [2 pts] D’après a) : 25≤1a≤23\dfrac25\le\dfrac1a\le\dfrac23 [1]. Donc −110≤1a−12≤16-\dfrac1{10}\le\dfrac1a-\dfrac12\le\dfrac16, et ∣1a−12∣≤16\left|\dfrac1a-\dfrac12\right|\le\dfrac16 : 12\dfrac12 est une valeur approchée de 1a\dfrac1a à 16\dfrac16 près [1].

3) [1 pt] (∣a∣+∣b∣)2−∣a+b∣2=a2+2∣a∣∣b∣+b2−(a2+2ab+b2)=2(∣ab∣−ab)≥0(|a|+|b|)^2-|a+b|^2=a^2+2|a||b|+b^2-(a^2+2ab+b^2)=2\big(|ab|-ab\big)\ge0 [0,5]. Les deux nombres étant positifs : ∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣|a+b|\le|a|+|b| [0,5].

Bonus [+0,5 pt]. D’après 3) appliqué à a−ba-b et bb : ∣a∣=∣(a−b)+b∣≤∣a−b∣+∣b∣|a|=|(a-b)+b|\le|a-b|+|b|, donc ∣a∣−∣b∣≤∣a−b∣|a|-|b|\le|a-b|. En échangeant les rôles : ∣b∣−∣a∣≤∣b−a∣=∣a−b∣|b|-|a|\le|b-a|=|a-b|. Le réel ∣a∣−∣b∣|a|-|b| et son opposé sont inférieurs à ∣a−b∣|a-b|, donc ∣∣a∣−∣b∣∣≤∣a−b∣\big||a|-|b|\big|\le|a-b|.

Exercice 3 — Droites dans le plan — 6 points Facile ★★☆☆☆

Le plan est rapporté à un repère (O;ı⃗;ȷ⃗)(O;\vec\imath;\vec\jmath). On considère les points M(3;2)M(3;2), N(7;1)N(7;1) et P(−5;3)P(-5;3).

  1. Montrer qu’une équation cartésienne de la droite (MN)(MN) est x+4y−11=0x+4y-11=0. [1 pt]
  2. Le point PP appartient-il à la droite (MN)(MN) ? Justifier. [1 pt]
  3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D)(D) passant par PP et de vecteur directeur u⃗(2;−1)\vec u(2;-1). [1 pt]
  4. Montrer que les droites (MN)(MN) et (D)(D) sont sécantes en un point EE que l’on déterminera. [2 pts]
  5. Déterminer les coordonnées du point QQ tel que le quadrilatère MNQPMNQP soit un parallélogramme. [1 pt]

Bonus [+0,5 pt]. Déterminer le réel mm pour lequel le point R(m;m)R(m;m) appartient à la droite (D)(D).

Voir la correction

1) [1 pt] 3+4×2−11=03+4\times2-11=0 et 7+4×1−11=07+4\times1-11=0 : MM et NN, distincts, vérifient l’équation, qui est celle d’une droite. C’est donc une équation de (MN)(MN).

2) [1 pt] −5+4×3−11=−4≠0-5+4\times3-11=-4\neq0 : P∉(MN)P\notin(MN).

3) [1 pt] (D):{x=−5+2ty=3−t(D):\begin{cases}x=-5+2t\\ y=3-t\end{cases} (t∈R)(t\in\mathbb{R}).

4) [2 pts] (MN)(MN) a pour vecteur directeur (−4;1)(-4;1) et det⁡((−4;1);(2;−1))=4−2=2≠0\det\big((-4;1);(2;-1)\big)=4-2=2\neq0 : sécantes [1]. (−5+2t)+4(3−t)−11=0(-5+2t)+4(3-t)-11=0 donne −2t−4=0-2t-4=0, t=−2t=-2 : E(−9;5)E(-9;5) [1].

5) [1 pt] MNQPMNQP parallélogramme   ⟺  PQ→=MN→\iff\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{MN}. MN→(4;−1)\overrightarrow{MN}(4;-1), donc Q(−5+4;3−1)=Q(−1;2)Q(-5+4;3-1)=Q(-1;2).

Bonus [+0,5 pt]. R(m;m)∈(D)R(m;m)\in(D) s’il existe tt avec m=−5+2tm=-5+2t et m=3−tm=3-t : −5+2t=3−t-5+2t=3-t, t=83t=\tfrac83, d’où m=13m=\tfrac13.

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