Devoir maison n°2 Ensembles de nombres, ordre dans ℝ et droites

Exercice 1 — Ensembles de nombres Facile ★★☆☆☆

Compléter par $\in$ $\in$ ou $\notin$ $\in /$ :
- $\dfrac{35}{7}\ \ldots\ \mathbb{N}$ ; $\ \dfrac{-3}{9}\ \ldots\ \mathbb{Z}$ ; $\ \dfrac{21}{8}\ \ldots\ \mathbb{D}$ ;
- $\dfrac{4}{15}\ \ldots\ \mathbb{D}$ ; $\ \sqrt3\ \ldots\ \mathbb{Q}$ ; $\ -\sqrt{49}\ \ldots\ \mathbb{Z}$ .
On considère le nombre $A=\sqrt{7-2\sqrt{10}}-\sqrt{7+2\sqrt{10}}$ . Calculer $A^2$ , puis en déduire une écriture simplifiée de $A$ .
Donner l’écriture scientifique du nombre $B=\dfrac{36\times10^4\times5\times\big(10^{-3}\big)^2}{\big(3\times10^{-2}\big)^2}$ .
On considère un réel $x$ . Développer et réduire $C=(x-2)^3-(x+1)(x^2-x+1)+6x^2$ .
On considère un réel $x$ . Factoriser $D=8x^3-1+(2x-1)(x+3)$ .
Montrer que $\dfrac{33}{75}\in\mathbb{D}$ , que $\dfrac{14}{21}\notin\mathbb{D}$ et que $\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{50}}\in\mathbb{Q}$ .

Voir la correction

1)

$\dfrac{35}7=5\in\mathbb{N}$ ; $\ \dfrac{-3}9=-\dfrac13\notin\mathbb{Z}$ ; $\ \dfrac{21}8=2{,}625\in\mathbb{D}$ ;
$\dfrac4{15}\notin\mathbb{D}$ (dénominateur $3\times5$ ) ; $\ \sqrt3\notin\mathbb{Q}$ ; $\ -\sqrt{49}=-7\in\mathbb{Z}$ .

2) $A^2=(7-2\sqrt{10})+(7+2\sqrt{10})-2\sqrt{(7-2\sqrt{10})(7+2\sqrt{10})}=14-2\sqrt{49-40}=14-6=8$ .

Comme $7-2\sqrt{10}<7+2\sqrt{10}$ , on a $\sqrt{7-2\sqrt{10}}<\sqrt{7+2\sqrt{10}}$ , donc $A<0$ . Ainsi $A=-\sqrt8=-2\sqrt2$ .

3) $B=\dfrac{36\times5\times10^{4-6}}{9\times10^{-4}}=20\times10^{-2+4}=20\times10^2=2\times10^3$ .

4) $C=(x^3-6x^2+12x-8)-(x^3+1)+6x^2=12x-9$ .

5) $8x^3-1=(2x-1)(4x^2+2x+1)$ , donc $D=(2x-1)(4x^2+2x+1+x+3)=(2x-1)(4x^2+3x+4)$ .

6) $\dfrac{33}{75}=\dfrac{11}{25}=\dfrac{44}{100}\in\mathbb{D}$ ; $\ \dfrac{14}{21}=\dfrac23$ : fraction irréductible dont le dénominateur est $3$ , donc $\dfrac{14}{21}\notin\mathbb{D}$ ; $\ \dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{50}}=\sqrt{\dfrac{9}{25}}=\dfrac35\in\mathbb{Q}$ .

Exercice 2 — Ordre dans $\mathbb{R}$ Moyen ★★★☆☆

On considère deux réels $x$ et $y$ tels que $|x-2|<\dfrac13$ et $y\in[1;3]$ , et on pose $A=\dfrac{3y+1}{y+1}$ . a) Montrer que $x\in\left]\dfrac53;\dfrac73\right[$ . b) Montrer que $\dfrac{11}6$ est une valeur approchée de $x$ à $\dfrac12$ près. c) Vérifier que $A=3-\dfrac2{y+1}$ , puis en déduire que $A\in\left[2;\dfrac52\right]$ .
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations : $\ |3x-1|=|x+5|$ ; $\ |2x+3|=7$ ; $\ |x-4|=-2$ .
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations : $\ |x+1|\le4$ ; $\ |2x-3|>5$ ; $\ 1<|x-2|\le3$ ; $\ |4x+1|<3$ .
Écrire sous forme d’un intervalle : $\ [-3;5]\cap\,]1;7]$ ; $\ ]-\infty;2[\,\cap[-4;+\infty[$ ; $\ ]-\infty;0]\cup[-2;+\infty[$ .
On considère trois réels positifs $a$ , $b$ et $c$ . Comparer $\sqrt{ab}$ et $\dfrac{a+b}2$ , puis en déduire que $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\le a+b+c$ .

Voir la correction

1) a) $|x-2|<\dfrac13\iff2-\dfrac13<x<2+\dfrac13\iff x\in\left]\dfrac53;\dfrac73\right[$ .

b) $x-\dfrac{11}6\in\left]\dfrac53-\dfrac{11}6;\dfrac73-\dfrac{11}6\right[=\left]-\dfrac16;\dfrac12\right[$ , donc $\left|x-\dfrac{11}6\right|<\dfrac12$ .

c) $3-\dfrac2{y+1}=\dfrac{3y+3-2}{y+1}=A$ . Comme $2\le y+1\le4$ : $\dfrac12\le\dfrac2{y+1}\le1$ , donc $-1\le-\dfrac2{y+1}\le-\dfrac12$ et $2\le A\le\dfrac52$ .

2)

$|3x-1|=|x+5|\iff3x-1=x+5$ ou $3x-1=-x-5\iff x=3$ ou $x=-1$ : $S=\{-1;3\}$ .
$|2x+3|=7\iff2x+3=7$ ou $2x+3=-7$ : $S=\{-5;2\}$ .
$|x-4|=-2$ : $S=\varnothing$ (une valeur absolue est positive).

3)

$|x+1|\le4\iff-5\le x\le3$ : $S=[-5;3]$ .
$|2x-3|>5\iff x<-1$ ou $x>4$ : $S=\,]-\infty;-1[\,\cup\,]4;+\infty[$ .
$1<|x-2|\le3\iff$ ( $|x-2|\le3$ et $|x-2|>1$ ). D’une part $|x-2|\le3\iff-1\le x\le5$ ; d’autre part $|x-2|>1\iff x<1$ ou $x>3$ . Donc $S=[-1;1[\,\cup\,]3;5]$ .
$|4x+1|<3\iff-3<4x+1<3\iff-1<x<\dfrac12$ : $S=\left]-1;\dfrac12\right[$ .

4) $]1;5]$ ; $\ [-4;2[$ ; $\ \mathbb{R}$ .

5) $\dfrac{a+b}2-\sqrt{ab}=\dfrac{\big(\sqrt a-\sqrt b\big)^2}2\ge0$ , donc $\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}2$ . De même $\sqrt{bc}\le\dfrac{b+c}2$ et $\sqrt{ca}\le\dfrac{c+a}2$ ; en additionnant : $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\le\frac{2a+2b+2c}2=a+b+c.$

Exercice 3 — Droites dans le plan Moyen ★★★☆☆

Le plan est rapporté à un repère $(O;\vec\imath;\vec\jmath)$ . On considère les points $A(2;1)$ , $B(5;-1)$ et $C(2;2)$ .

a) Déterminer une équation cartésienne de la droite $(D)$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec u(3;-2)$ . b) Vérifier que $B\in(D)$ .
On considère la droite $(\Delta):\begin{cases}x=-1+3t\\ y=4-2t\end{cases}$ $(t\in\mathbb{R})$ . a) Le point $C$ appartient-il à $(\Delta)$ ? Justifier. b) Montrer que $(D)\parallel(\Delta)$ .
On considère la droite $(D')$ d’équation $x+2y-1=0$ . Montrer que $(D)$ et $(D')$ sont sécantes en un point $E$ que l’on déterminera.
Déterminer les coordonnées du point $F$ tel que le quadrilatère $ABCF$ soit un parallélogramme.
On note $F'$ le symétrique du point $F$ par rapport à $O$ . a) Déterminer les coordonnées de $F'$ . b) Déterminer une équation cartésienne de la droite $(F'C)$ .

Voir la correction

1) a) $M(x;y)\in(D)\iff-2(x-2)-3(y-1)=0\iff2x+3y-7=0$ .

b) $2\times5+3\times(-1)-7=0$ : $B\in(D)$ .

2) a) $x=2$ donne $t=1$ , et alors $y=4-2=2$ : $C\in(\Delta)$ .

b) $(\Delta)$ a pour vecteur directeur $(3;-2)=\vec u$ : $(D)\parallel(\Delta)$ (strictement, car $C\notin(D)$ : $4+6-7\neq0$ ).

3) $\det=2\times2-1\times3=1\neq0$ : sécantes. De $(D')$ : $x=1-2y$ ; dans $(D)$ : $2-4y+3y-7=0$ , $y=-5$ , $x=11$ . Donc $E(11;-5)$ .

4) $ABCF$ parallélogramme $\iff\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{BC}$ . $\overrightarrow{BC}(-3;3)$ , donc $F(2-3;1+3)=F(-1;4)$ .

5) a) $F'(1;-4)$ .

b) $\overrightarrow{F'C}(1;6)$ : $6(x-1)-(y+4)=0$ , soit $(F'C):6x-y-10=0$ .

Devoir maison n°2

Exercice 1 — Ensembles de nombres Facile ★★☆☆☆

Exercice 2 — Ordre dans R\mathbb{R}R Moyen ★★★☆☆

Exercice 3 — Droites dans le plan Moyen ★★★☆☆

Exercice 2 — Ordre dans $\mathbb{R}$ Moyen ★★★☆☆