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Chapitre 6 — Trigonometrie

Cours

Plan du chapitre. I. Rappels — II. Formules d’addition et de duplication — III. Tangente et linéarisation — IV. Produits et sommes — V. Transformation de acos⁡x+bsin⁡xa\cos x+b\sin x — VI. Équations et inéquations trigonométriques.

I. Rappels

Valeurs usuelles.

xx00π6\frac{\pi}{6}π4\frac{\pi}{4}π3\frac{\pi}{3}π2\frac{\pi}{2}
cos⁡x\cos x1132\frac{\sqrt3}{2}22\frac{\sqrt2}{2}12\frac1200
sin⁡x\sin x0012\frac1222\frac{\sqrt2}{2}32\frac{\sqrt3}{2}11
tan⁡x\tan x0033\frac{\sqrt3}{3}113\sqrt3non définie
Le cercle trigonométrique et les valeurs usuelles

Identités fondamentales. Pour tout x∈Rx\in\mathbb{R} : cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2x+\sin^2x=1 ; si cos⁡x≠0\cos x\neq0 : tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} et 1+tan⁡2x=1cos⁡2x1+\tan^2x=\dfrac1{\cos^2x}.

Parité. cos⁡\cos et sin⁡\sin sont définies sur R\mathbb{R}, tan⁡\tan sur R∖{π2+kπ ; k∈Z}\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\ ;\ k\in\mathbb{Z}\right\} ; cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x)=\cos x, sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x)=-\sin x, tan⁡(−x)=−tan⁡x\tan(-x)=-\tan x.

Angles associés (pour k∈Zk\in\mathbb{Z}, lorsque les expressions sont définies) :

x+2kπx+2k\pi−x-xπ−x\pi-xπ+x\pi+xπ2−x\frac{\pi}{2}-xπ2+x\frac{\pi}{2}+x
cos⁡\coscos⁡x\cos xcos⁡x\cos x−cos⁡x-\cos x−cos⁡x-\cos xsin⁡x\sin x−sin⁡x-\sin x
sin⁡\sinsin⁡x\sin x−sin⁡x-\sin xsin⁡x\sin x−sin⁡x-\sin xcos⁡x\cos xcos⁡x\cos x
tan⁡\tantan⁡x\tan x−tan⁡x-\tan x−tan⁡x-\tan xtan⁡x\tan x1tan⁡x\frac1{\tan x}−1tan⁡x-\frac1{\tan x}

Exercice de révision 1 — Valeurs remarquables Facile ★☆☆☆☆

  1. Donner cos⁡π3\cos\frac{\pi}{3}, sin⁡π3\sin\frac{\pi}{3}, cos⁡π6\cos\frac{\pi}{6}, tan⁡π6\tan\frac{\pi}{6}, tan⁡π4\tan\frac{\pi}{4} et cos⁡π2\cos\frac{\pi}{2}.
  2. Calculer cos⁡3π4\cos\frac{3\pi}{4}, sin⁡5π6\sin\frac{5\pi}{6}, cos⁡(−5π6)\cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right), sin⁡(−3π4)\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right), tan⁡4π3\tan\frac{4\pi}{3} et tan⁡(−5π6)\tan\left(-\frac{5\pi}{6}\right).
Voir la solution

1) cos⁡π3=12\cos\frac{\pi}{3}=\frac12 ; sin⁡π3=32\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}2 ; cos⁡π6=32\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}2 ; tan⁡π6=33\tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}3 ; tan⁡π4=1\tan\frac{\pi}{4}=1 ; cos⁡π2=0\cos\frac{\pi}{2}=0.

2) cos⁡3π4=cos⁡(π−π4)=−22\cos\frac{3\pi}4=\cos\left(\pi-\frac{\pi}4\right)=-\frac{\sqrt2}2 ; sin⁡5π6=sin⁡(π−π6)=12\sin\frac{5\pi}6=\sin\left(\pi-\frac{\pi}6\right)=\frac12 ; cos⁡(−5π6)=cos⁡5π6=−32\cos\left(-\frac{5\pi}6\right)=\cos\frac{5\pi}6=-\frac{\sqrt3}2 ; sin⁡(−3π4)=−sin⁡3π4=−22\sin\left(-\frac{3\pi}4\right)=-\sin\frac{3\pi}4=-\frac{\sqrt2}2 ; tan⁡4π3=tan⁡(π+π3)=3\tan\frac{4\pi}3=\tan\left(\pi+\frac{\pi}3\right)=\sqrt3 ; tan⁡(−5π6)=−tan⁡(π−π6)=tan⁡π6=33\tan\left(-\frac{5\pi}6\right)=-\tan\left(\pi-\frac{\pi}6\right)=\tan\frac{\pi}6=\frac{\sqrt3}3.

Exercice de révision 2 — Abscisse curviligne principale Facile ★☆☆☆☆

  1. Déterminer l’abscisse curviligne principale de chacun des points A(−97π6)A\left(-\frac{97\pi}{6}\right) et B(45π4)B\left(\frac{45\pi}{4}\right).
  2. Placer AA et BB sur un même cercle trigonométrique.
  3. En déduire la mesure principale de chacun des angles orientés (OI→,OA→)\left(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OA}\right) et (OI→,OB→)\left(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OB}\right).
Voir la solution

1) −97π6=−π6−16π=−π6+2×(−8)π-\frac{97\pi}6=-\frac{\pi}6-16\pi=-\frac{\pi}6+2\times(-8)\pi et −π6∈]−π;π]-\frac{\pi}6\in\left]-\pi;\pi\right] : l’abscisse principale de AA est −π6-\frac{\pi}6. 45π4=−3π4+12π=−3π4+2×6π\frac{45\pi}4=-\frac{3\pi}4+12\pi=-\frac{3\pi}4+2\times6\pi et −3π4∈]−π;π]-\frac{3\pi}4\in\left]-\pi;\pi\right] : l’abscisse principale de BB est −3π4-\frac{3\pi}4.

2) Voir la figure. 3) (OI→,OA→)\left(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OA}\right) a pour mesure principale −π6-\frac{\pi}6, et (OI→,OB→)\left(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OB}\right) a pour mesure principale −3π4-\frac{3\pi}4.

Figure

Exercice de révision 3 — Identités fondamentales Facile ★★☆☆☆

  1. Calculer cos⁡x\cos x sachant que sin⁡x=−13\sin x=-\frac13 et x∈]−π2;0[x\in\left]-\frac{\pi}2;0\right[.
  2. Calculer sin⁡y\sin y et tan⁡y\tan y sachant que cos⁡y=−23\cos y=-\frac23 et y∈]−π;−π2[y\in\left]-\pi;-\frac{\pi}2\right[.
  3. Soit α∈]0;π2[\alpha\in\left]0;\frac{\pi}2\right[ tel que tan⁡α=3\tan\alpha=3. Calculer cos⁡α\cos\alpha et sin⁡α\sin\alpha.
Voir la solution

1) cos⁡2x=1−19=89\cos^2x=1-\frac19=\frac89 et cos⁡x>0\cos x>0 sur ]−π2;0[\left]-\frac{\pi}2;0\right[, donc cos⁡x=223\cos x=\frac{2\sqrt2}3.

2) sin⁡2y=1−49=59\sin^2y=1-\frac49=\frac59 et sin⁡y<0\sin y<0 sur ]−π;−π2[\left]-\pi;-\frac{\pi}2\right[, donc sin⁡y=−53\sin y=-\frac{\sqrt5}3 et tan⁡y=−5/3−2/3=52\tan y=\dfrac{-\sqrt5/3}{-2/3}=\frac{\sqrt5}2.

3) cos⁡2α=11+tan⁡2α=110\cos^2\alpha=\dfrac1{1+\tan^2\alpha}=\frac1{10} et cos⁡α>0\cos\alpha>0, donc cos⁡α=1010\cos\alpha=\frac{\sqrt{10}}{10} ; puis sin⁡α=tan⁡αcos⁡α=31010\sin\alpha=\tan\alpha\cos\alpha=\frac{3\sqrt{10}}{10}.

Exercice de révision 4 — Angles associés Facile ★★☆☆☆

Écrire en fonction de cos⁡x\cos x et de sin⁡x\sin x : A=3sin⁡(x+5π)−sin⁡(11π−x)+cos⁡(7π2−x)A=3\sin(x+5\pi)-\sin(11\pi-x)+\cos\left(\frac{7\pi}2-x\right) ; B=cos⁡(π2−x)sin⁡(31π−x)−sin⁡(π2+x)cos⁡(17π+x)B=\cos\left(\frac{\pi}2-x\right)\sin(31\pi-x)-\sin\left(\frac{\pi}2+x\right)\cos(17\pi+x) ; C=sin⁡2(x+15π)+cos⁡2(7π−x)+sin⁡2(x−5π2)C=\sin^2(x+15\pi)+\cos^2(7\pi-x)+\sin^2\left(x-\frac{5\pi}2\right).

Voir la solution
  • sin⁡(x+5π)=sin⁡(x+π)=−sin⁡x\sin(x+5\pi)=\sin(x+\pi)=-\sin x ; sin⁡(11π−x)=sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(11\pi-x)=\sin(\pi-x)=\sin x ; cos⁡(7π2−x)=cos⁡(π2+x)\cos\left(\frac{7\pi}2-x\right)=\cos\left(\frac{\pi}2+x\right) car 7π2−x=−(π2+x)+4π\frac{7\pi}2-x=-\left(\frac{\pi}2+x\right)+4\pi, donc cos⁡(7π2−x)=−sin⁡x\cos\left(\frac{7\pi}2-x\right)=-\sin x. Ainsi A=−3sin⁡x−sin⁡x−sin⁡x=−5sin⁡xA=-3\sin x-\sin x-\sin x=-5\sin x.
  • cos⁡(π2−x)=sin⁡x\cos\left(\frac{\pi}2-x\right)=\sin x ; sin⁡(31π−x)=sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(31\pi-x)=\sin(\pi-x)=\sin x ; sin⁡(π2+x)=cos⁡x\sin\left(\frac{\pi}2+x\right)=\cos x ; cos⁡(17π+x)=cos⁡(π+x)=−cos⁡x\cos(17\pi+x)=\cos(\pi+x)=-\cos x. Donc B=sin⁡2x+cos⁡2x=1B=\sin^2x+\cos^2x=1.
  • sin⁡2(x+15π)=sin⁡2x\sin^2(x+15\pi)=\sin^2x ; cos⁡2(7π−x)=cos⁡2x\cos^2(7\pi-x)=\cos^2x ; sin⁡(x−5π2)=sin⁡(x−π2)=−cos⁡x\sin\left(x-\frac{5\pi}2\right)=\sin\left(x-\frac{\pi}2\right)=-\cos x. Donc C=1+cos⁡2xC=1+\cos^2x.

Exercice de révision 5 — Sommes de carrés Moyen ★★★☆☆

On pose A=cos⁡2π8+cos⁡23π8+cos⁡25π8+cos⁡27π8A=\cos^2\frac{\pi}8+\cos^2\frac{3\pi}8+\cos^2\frac{5\pi}8+\cos^2\frac{7\pi}8 et B=sin⁡2π10+sin⁡2π5+sin⁡23π10+sin⁡22π5+sin⁡2π2B=\sin^2\frac{\pi}{10}+\sin^2\frac{\pi}{5}+\sin^2\frac{3\pi}{10}+\sin^2\frac{2\pi}{5}+\sin^2\frac{\pi}{2}.

  1. Montrer que A=2A=2 (on pourra remarquer que 3π8=π2−π8\frac{3\pi}8=\frac{\pi}2-\frac{\pi}8, 5π8=π−3π8\frac{5\pi}8=\pi-\frac{3\pi}8 et 7π8=π−π8\frac{7\pi}8=\pi-\frac{\pi}8).
  2. Montrer que B=3B=3.
Voir la solution

1) cos⁡7π8=−cos⁡π8\cos\frac{7\pi}8=-\cos\frac{\pi}8 et cos⁡5π8=−cos⁡3π8\cos\frac{5\pi}8=-\cos\frac{3\pi}8, donc A=2(cos⁡2π8+cos⁡23π8)A=2\left(\cos^2\frac{\pi}8+\cos^2\frac{3\pi}8\right). Or cos⁡3π8=cos⁡(π2−π8)=sin⁡π8\cos\frac{3\pi}8=\cos\left(\frac{\pi}2-\frac{\pi}8\right)=\sin\frac{\pi}8, d’où A=2(cos⁡2π8+sin⁡2π8)=2A=2\left(\cos^2\frac{\pi}8+\sin^2\frac{\pi}8\right)=2.

2) 2π5=π2−π10\frac{2\pi}5=\frac{\pi}2-\frac{\pi}{10} et 3π10=π2−π5\frac{3\pi}{10}=\frac{\pi}2-\frac{\pi}5, donc sin⁡2π5=cos⁡π10\sin\frac{2\pi}5=\cos\frac{\pi}{10} et sin⁡3π10=cos⁡π5\sin\frac{3\pi}{10}=\cos\frac{\pi}5. B=(sin⁡2π10+cos⁡2π10)+(sin⁡2π5+cos⁡2π5)+1=1+1+1=3B=\left(\sin^2\frac{\pi}{10}+\cos^2\frac{\pi}{10}\right)+\left(\sin^2\frac{\pi}5+\cos^2\frac{\pi}5\right)+1=1+1+1=3.

II. Formules d’addition et de duplication

Activité 1

  1. Montrer que les propositions « (∀(x;y)∈R2) cos⁡(x+y)=cos⁡x+cos⁡y(\forall (x;y)\in\mathbb{R}^2)\ \cos(x+y)=\cos x+\cos y » et « (∀(x;y)∈R2) sin⁡(x+y)=sin⁡x+sin⁡y(\forall (x;y)\in\mathbb{R}^2)\ \sin(x+y)=\sin x+\sin y » sont fausses.
  2. Dans un repère orthonormé direct (O;ı⃗,ȷ⃗)(O;\vec\imath,\vec\jmath), soient a,b∈Ra,b\in\mathbb{R} et AA, BB les points du cercle trigonométrique (U)(\mathcal{U}) tels que (ı⃗,OA→)≡a [2π](\vec\imath,\overrightarrow{OA})\equiv a\ [2\pi] et (ı⃗,OB→)≡b [2π](\vec\imath,\overrightarrow{OB})\equiv b\ [2\pi]. a) Montrer que OB→⋅OA→=cos⁡(a−b)\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OA}=\cos(a-b). b) En utilisant les coordonnées OA→(cos⁡a;sin⁡a)\overrightarrow{OA}(\cos a;\sin a) et OB→(cos⁡b;sin⁡b)\overrightarrow{OB}(\cos b;\sin b), en déduire cos⁡(a−b)\cos(a-b), puis cos⁡(a+b)\cos(a+b), sin⁡(a−b)\sin(a-b), sin⁡(a+b)\sin(a+b), cos⁡2a\cos 2a et sin⁡2a\sin 2a.
Figure
Voir la solution

1) Pour x=y=π2x=y=\frac{\pi}2 : cos⁡(x+y)=cos⁡π=−1\cos(x+y)=\cos\pi=-1 alors que cos⁡x+cos⁡y=0\cos x+\cos y=0 ; et sin⁡(x+y)=0\sin(x+y)=0 alors que sin⁡x+sin⁡y=2\sin x+\sin y=2.

2) a) (OB→,OA→)≡(OB→,ı⃗)+(ı⃗,OA→)≡a−b [2π](\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OA})\equiv(\overrightarrow{OB},\vec\imath)+(\vec\imath,\overrightarrow{OA})\equiv a-b\ [2\pi] et OA=OB=1OA=OB=1, donc OB→⋅OA→=1×1×cos⁡(a−b)\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OA}=1\times1\times\cos(a-b).

b) Dans le repère orthonormé : OB→⋅OA→=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OA}=\cos a\cos b+\sin a\sin b, d’où cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b. En remplaçant bb par −b-b : cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b. sin⁡(a−b)=cos⁡(π2−a+b)=cos⁡((π2−a)+b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b\sin(a-b)=\cos\left(\frac{\pi}2-a+b\right)=\cos\left(\left(\frac{\pi}2-a\right)+b\right)=\sin a\cos b-\cos a\sin b, puis (avec −b-b) sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b. Avec b=ab=a : cos⁡2a=cos⁡2a−sin⁡2a=2cos⁡2a−1=1−2sin⁡2a\cos2a=\cos^2a-\sin^2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a et sin⁡2a=2sin⁡acos⁡a\sin2a=2\sin a\cos a.

Propriété 1 : formules d’addition et de duplication

Pour tous réels aa et bb :

  • cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b et cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b ;
  • sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b et sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b ;
  • cos⁡2a=cos⁡2a−sin⁡2a=2cos⁡2a−1=1−2sin⁡2a\cos 2a=\cos^2a-\sin^2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a et sin⁡2a=2sin⁡acos⁡a\sin 2a=2\sin a\cos a.

Exemple 1

Calculer cos⁡7π12\cos\frac{7\pi}{12}, sin⁡7π12\sin\frac{7\pi}{12}, cos⁡π12\cos\frac{\pi}{12} et sin⁡π12\sin\frac{\pi}{12} (on remarquera que 7π12=π3+π4\frac{7\pi}{12}=\frac{\pi}3+\frac{\pi}4 et π12=π3−π4\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}3-\frac{\pi}4), puis vérifier, à l’aide de cos⁡π6=2cos⁡2π12−1\cos\frac{\pi}6=2\cos^2\frac{\pi}{12}-1, que cos⁡π12=2+32\cos\frac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt3}}2.

Voir la solution

cos⁡7π12=12⋅22−32⋅22=2−64\cos\frac{7\pi}{12}=\frac12\cdot\frac{\sqrt2}2-\frac{\sqrt3}2\cdot\frac{\sqrt2}2=\frac{\sqrt2-\sqrt6}4 ;  sin⁡7π12=32⋅22+12⋅22=6+24\ \sin\frac{7\pi}{12}=\frac{\sqrt3}2\cdot\frac{\sqrt2}2+\frac12\cdot\frac{\sqrt2}2=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4.

cos⁡π12=12⋅22+32⋅22=6+24\cos\frac{\pi}{12}=\frac12\cdot\frac{\sqrt2}2+\frac{\sqrt3}2\cdot\frac{\sqrt2}2=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4 ;  sin⁡π12=32⋅22−12⋅22=6−24\ \sin\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt3}2\cdot\frac{\sqrt2}2-\frac12\cdot\frac{\sqrt2}2=\frac{\sqrt6-\sqrt2}4.

cos⁡2π12=1+cos⁡π62=2+34\cos^2\frac{\pi}{12}=\dfrac{1+\cos\frac{\pi}6}2=\dfrac{2+\sqrt3}4 et cos⁡π12>0\cos\frac{\pi}{12}>0, donc cos⁡π12=2+32\cos\frac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt3}}2. Contrôle : (6+24)2=8+21216=2+34\left(\frac{\sqrt6+\sqrt2}4\right)^2=\frac{8+2\sqrt{12}}{16}=\frac{2+\sqrt3}4.

III. Tangente et formules de linéarisation

Activité 2

Soient aa et bb deux réels.

  1. Montrer que cos⁡2a=1+cos⁡2a2\cos^2a=\dfrac{1+\cos2a}2 et sin⁡2a=1−cos⁡2a2\sin^2a=\dfrac{1-\cos2a}2.
  2. On suppose cos⁡a≠0\cos a\neq0, cos⁡b≠0\cos b\neq0 et cos⁡(a+b)≠0\cos(a+b)\neq0. En divisant sin⁡(a+b)\sin(a+b) et cos⁡(a+b)\cos(a+b) par cos⁡acos⁡b\cos a\cos b, montrer que tan⁡(a+b)=tan⁡a+tan⁡b1−tan⁡atan⁡b\tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}, puis en déduire tan⁡2a\tan2a et tan⁡(a−b)\tan(a-b) (sous des conditions à préciser).
Voir la solution

1) cos⁡2a=2cos⁡2a−1\cos2a=2\cos^2a-1 donne cos⁡2a=1+cos⁡2a2\cos^2a=\frac{1+\cos2a}2 ; cos⁡2a=1−2sin⁡2a\cos2a=1-2\sin^2a donne sin⁡2a=1−cos⁡2a2\sin^2a=\frac{1-\cos2a}2.

2) tan⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡bcos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b=sin⁡acos⁡a+sin⁡bcos⁡b1−sin⁡acos⁡a⋅sin⁡bcos⁡b=tan⁡a+tan⁡b1−tan⁡atan⁡b\tan(a+b)=\dfrac{\sin a\cos b+\cos a\sin b}{\cos a\cos b-\sin a\sin b}=\dfrac{\frac{\sin a}{\cos a}+\frac{\sin b}{\cos b}}{1-\frac{\sin a}{\cos a}\cdot\frac{\sin b}{\cos b}}=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}. Avec b=ab=a (si cos⁡2a≠0\cos 2a\neq0) : tan⁡2a=2tan⁡a1−tan⁡2a\tan2a=\dfrac{2\tan a}{1-\tan^2a}. Avec −b-b à la place de bb (si cos⁡(a−b)≠0\cos(a-b)\neq0), et comme tan⁡(−b)=−tan⁡b\tan(-b)=-\tan b : tan⁡(a−b)=tan⁡a−tan⁡b1+tan⁡atan⁡b\tan(a-b)=\dfrac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}.

Propriété 2 : linéarisation et tangente

  • Pour tout réel aa : cos⁡2a=1+cos⁡2a2\cos^2a=\dfrac{1+\cos2a}2 et sin⁡2a=1−cos⁡2a2\sin^2a=\dfrac{1-\cos2a}2.
  • Si aa, bb, a+ba+b et a−ba-b sont différents de π2+kπ\frac{\pi}2+k\pi (k∈Zk\in\mathbb{Z}) : tan⁡(a+b)=tan⁡a+tan⁡b1−tan⁡atan⁡b\tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b} et tan⁡(a−b)=tan⁡a−tan⁡b1+tan⁡atan⁡b\tan(a-b)=\dfrac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}.
  • Si aa et 2a2a sont différents de π2+kπ\frac{\pi}2+k\pi (k∈Zk\in\mathbb{Z}) : tan⁡2a=2tan⁡a1−tan⁡2a\tan2a=\dfrac{2\tan a}{1-\tan^2a}.

Exemple 2

  1. Calculer tan⁡7π12\tan\frac{7\pi}{12} et tan⁡π12\tan\frac{\pi}{12}.
  2. Montrer, de deux manières, que pour tout réel xx : 2cos⁡2x2−cos⁡x=12\cos^2\frac{x}2-\cos x=1.
Voir la solution

1) tan⁡7π12=tan⁡(π3+π4)=3+11−3=(3+1)21−3=−2−3\tan\frac{7\pi}{12}=\tan\left(\frac{\pi}3+\frac{\pi}4\right)=\dfrac{\sqrt3+1}{1-\sqrt3}=\dfrac{(\sqrt3+1)^2}{1-3}=-2-\sqrt3 ;  tan⁡π12=tan⁡(π3−π4)=3−11+3=(3−1)22=2−3\ \tan\frac{\pi}{12}=\tan\left(\frac{\pi}3-\frac{\pi}4\right)=\dfrac{\sqrt3-1}{1+\sqrt3}=\dfrac{(\sqrt3-1)^2}{2}=2-\sqrt3.

2) Méthode 1 : cos⁡2x2=1+cos⁡x2\cos^2\frac x2=\dfrac{1+\cos x}2 (linéarisation avec a=x2a=\frac x2), donc 2cos⁡2x2−cos⁡x=1+cos⁡x−cos⁡x=12\cos^2\frac x2-\cos x=1+\cos x-\cos x=1. Méthode 2 : cos⁡x=cos⁡(2×x2)=2cos⁡2x2−1\cos x=\cos\left(2\times\frac x2\right)=2\cos^2\frac x2-1, d’où le résultat.

IV. Des produits aux sommes, et réciproquement

Activité 3

Soient aa et bb deux réels.

  1. En additionnant ou en soustrayant les formules d’addition, exprimer cos⁡acos⁡b\cos a\cos b, sin⁡asin⁡b\sin a\sin b, sin⁡acos⁡b\sin a\cos b et cos⁡asin⁡b\cos a\sin b à l’aide de sommes.
  2. On pose p=a+bp=a+b et q=a−bq=a-b. Exprimer aa et bb en fonction de pp et qq, puis en déduire cos⁡p+cos⁡q\cos p+\cos q, cos⁡p−cos⁡q\cos p-\cos q, sin⁡p+sin⁡q\sin p+\sin q et sin⁡p−sin⁡q\sin p-\sin q sous forme de produits.
Voir la solution

1) cos⁡(a+b)+cos⁡(a−b)=2cos⁡acos⁡b\cos(a+b)+\cos(a-b)=2\cos a\cos b ; cos⁡(a+b)−cos⁡(a−b)=−2sin⁡asin⁡b\cos(a+b)-\cos(a-b)=-2\sin a\sin b ; sin⁡(a+b)+sin⁡(a−b)=2sin⁡acos⁡b\sin(a+b)+\sin(a-b)=2\sin a\cos b ; sin⁡(a+b)−sin⁡(a−b)=2cos⁡asin⁡b\sin(a+b)-\sin(a-b)=2\cos a\sin b. On en tire les formules de la propriété 3.

2) a=p+q2a=\frac{p+q}2 et b=p−q2b=\frac{p-q}2. En remplaçant dans les quatre égalités du 1) : cos⁡p+cos⁡q=2cos⁡p+q2cos⁡p−q2\cos p+\cos q=2\cos\frac{p+q}2\cos\frac{p-q}2, cos⁡p−cos⁡q=−2sin⁡p+q2sin⁡p−q2\cos p-\cos q=-2\sin\frac{p+q}2\sin\frac{p-q}2, sin⁡p+sin⁡q=2sin⁡p+q2cos⁡p−q2\sin p+\sin q=2\sin\frac{p+q}2\cos\frac{p-q}2, sin⁡p−sin⁡q=2cos⁡p+q2sin⁡p−q2\sin p-\sin q=2\cos\frac{p+q}2\sin\frac{p-q}2.

Propriété 3 : produits et sommes

Pour tous réels aa, bb, pp et qq :

  • cos⁡acos⁡b=12[cos⁡(a+b)+cos⁡(a−b)]\cos a\cos b=\frac12\left[\cos(a+b)+\cos(a-b)\right] ;  sin⁡asin⁡b=−12[cos⁡(a+b)−cos⁡(a−b)]\ \sin a\sin b=-\frac12\left[\cos(a+b)-\cos(a-b)\right] ;
  • sin⁡acos⁡b=12[sin⁡(a+b)+sin⁡(a−b)]\sin a\cos b=\frac12\left[\sin(a+b)+\sin(a-b)\right] ;  cos⁡asin⁡b=12[sin⁡(a+b)−sin⁡(a−b)]\ \cos a\sin b=\frac12\left[\sin(a+b)-\sin(a-b)\right] ;
  • cos⁡p+cos⁡q=2cos⁡p+q2cos⁡p−q2\cos p+\cos q=2\cos\frac{p+q}2\cos\frac{p-q}2 ;  cos⁡p−cos⁡q=−2sin⁡p+q2sin⁡p−q2\ \cos p-\cos q=-2\sin\frac{p+q}2\sin\frac{p-q}2 ;
  • sin⁡p+sin⁡q=2sin⁡p+q2cos⁡p−q2\sin p+\sin q=2\sin\frac{p+q}2\cos\frac{p-q}2 ;  sin⁡p−sin⁡q=2cos⁡p+q2sin⁡p−q2\ \sin p-\sin q=2\cos\frac{p+q}2\sin\frac{p-q}2.

Exemple 3

  1. Transformer en sommes : A(x)=cos⁡2xcos⁡4xA(x)=\cos2x\cos4x, B(x)=sin⁡3xcos⁡xB(x)=\sin3x\cos x, C(x)=sin⁡(x+π6)sin⁡(x−π6)C(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}6\right)\sin\left(x-\frac{\pi}6\right).
  2. Transformer en produits : D(x)=sin⁡5x−sin⁡xD(x)=\sin5x-\sin x et E(x)=cos⁡x+cos⁡2x+cos⁡3xE(x)=\cos x+\cos2x+\cos3x.
  3. Montrer que cos⁡5π12+cos⁡π12=62\cos\frac{5\pi}{12}+\cos\frac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt6}2.
Voir la solution

1) A(x)=12(cos⁡6x+cos⁡2x)A(x)=\frac12(\cos6x+\cos2x) ;  B(x)=12(sin⁡4x+sin⁡2x)\ B(x)=\frac12(\sin4x+\sin2x) ;  C(x)=−12(cos⁡2x−cos⁡π3)=14−12cos⁡2x\ C(x)=-\frac12\left(\cos2x-\cos\frac{\pi}3\right)=\frac14-\frac12\cos2x.

2) D(x)=2cos⁡3xsin⁡2xD(x)=2\cos3x\sin2x.  cos⁡3x+cos⁡x=2cos⁡2xcos⁡x\ \cos3x+\cos x=2\cos2x\cos x, donc E(x)=2cos⁡2xcos⁡x+cos⁡2x=cos⁡2x (2cos⁡x+1)E(x)=2\cos2x\cos x+\cos2x=\cos2x\,(2\cos x+1).

3) cos⁡5π12+cos⁡π12=2cos⁡π4cos⁡π6=2×22×32=62\cos\frac{5\pi}{12}+\cos\frac{\pi}{12}=2\cos\frac{\pi}4\cos\frac{\pi}6=2\times\frac{\sqrt2}2\times\frac{\sqrt3}2=\frac{\sqrt6}2.

V. Transformation de acos⁡x+bsin⁡xa\cos x+b\sin x

Activité 4

Soient aa et bb deux réels tels que (a;b)≠(0;0)(a;b)\neq(0;0), et r=a2+b2r=\sqrt{a^2+b^2}.

  1. Vérifier que (ar)2+(br)2=1\left(\frac ar\right)^2+\left(\frac br\right)^2=1 et en déduire qu’il existe un réel α\alpha tel que cos⁡α=ar\cos\alpha=\frac ar et sin⁡α=br\sin\alpha=\frac br.
  2. En déduire que, pour tout réel xx, acos⁡x+bsin⁡x=rcos⁡(x−α)a\cos x+b\sin x=r\cos(x-\alpha).
Voir la solution

1) a2r2+b2r2=a2+b2a2+b2=1\frac{a^2}{r^2}+\frac{b^2}{r^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=1 : le point M(ar;br)M\left(\frac ar;\frac br\right) est sur le cercle trigonométrique, donc il existe α\alpha tel que cos⁡α=ar\cos\alpha=\frac ar et sin⁡α=br\sin\alpha=\frac br.

2) acos⁡x+bsin⁡x=r(arcos⁡x+brsin⁡x)=r(cos⁡αcos⁡x+sin⁡αsin⁡x)=rcos⁡(x−α)a\cos x+b\sin x=r\left(\frac ar\cos x+\frac br\sin x\right)=r(\cos\alpha\cos x+\sin\alpha\sin x)=r\cos(x-\alpha).

Propriété 4

Si (a;b)≠(0;0)(a;b)\neq(0;0), il existe un réel α\alpha tel que, pour tout x∈Rx\in\mathbb{R} : acos⁡x+bsin⁡x=rcos⁡(x−α),avec r=a2+b2, cos⁡α=ar, sin⁡α=br.a\cos x+b\sin x=r\cos(x-\alpha),\quad\text{avec } r=\sqrt{a^2+b^2},\ \cos\alpha=\frac ar,\ \sin\alpha=\frac br.

Remarque

On peut aussi écrire acos⁡x+bsin⁡x=rsin⁡(x+β)a\cos x+b\sin x=r\sin(x+\beta) avec cos⁡β=br\cos\beta=\frac br et sin⁡β=ar\sin\beta=\frac ar ; on choisit la forme la plus commode.

Exemple 4

  1. Écrire sous la forme rcos⁡(x−α)r\cos(x-\alpha), avec r>0r>0 : A(x)=3cos⁡x+sin⁡xA(x)=\sqrt3\cos x+\sin x et B(x)=cos⁡x−sin⁡xB(x)=\cos x-\sin x.
  2. Montrer que 3cos⁡x+sin⁡x=2  ⟺  cos⁡(x−π6)=cos⁡π4\sqrt3\cos x+\sin x=\sqrt2\iff\cos\left(x-\frac{\pi}6\right)=\cos\frac{\pi}4.
Voir la solution

1) Pour AA : r=3+1=2r=\sqrt{3+1}=2, cos⁡α=32\cos\alpha=\frac{\sqrt3}2, sin⁡α=12\sin\alpha=\frac12, donc α=π6\alpha=\frac{\pi}6 et A(x)=2cos⁡(x−π6)A(x)=2\cos\left(x-\frac{\pi}6\right). Pour BB : r=2r=\sqrt2, cos⁡α=22\cos\alpha=\frac{\sqrt2}2, sin⁡α=−22\sin\alpha=-\frac{\sqrt2}2, donc α=−π4\alpha=-\frac{\pi}4 et B(x)=2cos⁡(x+π4)B(x)=\sqrt2\cos\left(x+\frac{\pi}4\right).

2) 3cos⁡x+sin⁡x=2  ⟺  2cos⁡(x−π6)=2  ⟺  cos⁡(x−π6)=22=cos⁡π4\sqrt3\cos x+\sin x=\sqrt2\iff2\cos\left(x-\frac{\pi}6\right)=\sqrt2\iff\cos\left(x-\frac{\pi}6\right)=\frac{\sqrt2}2=\cos\frac{\pi}4.

VI. Équations et inéquations trigonométriques

Propriété 5 : équations de référence ; méthode pour les inéquations

Soit α∈R\alpha\in\mathbb{R}. Pour x∈Rx\in\mathbb{R} :

  • cos⁡x=cos⁡α  ⟺  x=α+2kπ\cos x=\cos\alpha\iff x=\alpha+2k\pi ou x=−α+2kπx=-\alpha+2k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z} ;
  • sin⁡x=sin⁡α  ⟺  x=α+2kπ\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2k\pi ou x=π−α+2kπx=\pi-\alpha+2k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z} ;
  • si α∉{π2+kπ ; k∈Z}\alpha\notin\left\{\frac{\pi}2+k\pi\ ;\ k\in\mathbb{Z}\right\} : tan⁡x=tan⁡α  ⟺  x=α+kπ\tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}.

Pour résoudre une inéquation élémentaire sur un intervalle, on place sur le cercle trigonométrique les points associés aux solutions de l’équation correspondante, on repère l’arc qui convient, puis on lit les solutions dans l’intervalle (en excluant les valeurs où l’expression n’est pas définie).

Exemple 5

Résoudre dans R\mathbb{R} : cos⁡x=22\cos x=\frac{\sqrt2}2 ; sin⁡x=32\sin x=\frac{\sqrt3}2 ; tan⁡x=3\tan x=\sqrt3 ; cos⁡x=−32\cos x=-\frac{\sqrt3}2 ; sin⁡x=−22\sin x=-\frac{\sqrt2}2 ; tan⁡x=−33\tan x=-\frac{\sqrt3}3.

Voir la solution

Pour tout k∈Zk\in\mathbb{Z} :

  • cos⁡x=cos⁡π4  ⟺  x=π4+2kπ\cos x=\cos\frac{\pi}4\iff x=\frac{\pi}4+2k\pi ou x=−π4+2kπx=-\frac{\pi}4+2k\pi ;
  • sin⁡x=sin⁡π3  ⟺  x=π3+2kπ\sin x=\sin\frac{\pi}3\iff x=\frac{\pi}3+2k\pi ou x=2π3+2kπx=\frac{2\pi}3+2k\pi ;
  • tan⁡x=tan⁡π3  ⟺  x=π3+kπ\tan x=\tan\frac{\pi}3\iff x=\frac{\pi}3+k\pi ;
  • cos⁡x=cos⁡5π6  ⟺  x=5π6+2kπ\cos x=\cos\frac{5\pi}6\iff x=\frac{5\pi}6+2k\pi ou x=−5π6+2kπx=-\frac{5\pi}6+2k\pi ;
  • sin⁡x=sin⁡(−π4)  ⟺  x=−π4+2kπ\sin x=\sin\left(-\frac{\pi}4\right)\iff x=-\frac{\pi}4+2k\pi ou x=5π4+2kπx=\frac{5\pi}4+2k\pi ;
  • tan⁡x=tan⁡(−π6)  ⟺  x=−π6+kπ\tan x=\tan\left(-\frac{\pi}6\right)\iff x=-\frac{\pi}6+k\pi.

Exemple 6

Résoudre dans R\mathbb{R}, puis dans ]−π;π]\left]-\pi;\pi\right], l’équation cos⁡2x=cos⁡(x−π3)\cos2x=\cos\left(x-\frac{\pi}3\right).

Voir la solution

cos⁡2x=cos⁡(x−π3)  ⟺  2x=x−π3+2kπ\cos2x=\cos\left(x-\frac{\pi}3\right)\iff 2x=x-\frac{\pi}3+2k\pi ou 2x=−x+π3+2kπ2x=-x+\frac{\pi}3+2k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}, c’est-à-dire x=−π3+2kπx=-\frac{\pi}3+2k\pi ou x=π9+2kπ3x=\frac{\pi}9+\frac{2k\pi}3.

Dans ]−π;π]\left]-\pi;\pi\right] : la première famille donne −π3-\frac{\pi}3 ; la seconde donne π9\frac{\pi}9 (k=0k=0), 7π9\frac{7\pi}9 (k=1k=1) et −5π9-\frac{5\pi}9 (k=−1k=-1). S={−5π9 ; −π3 ; π9 ; 7π9}S=\left\{-\frac{5\pi}9\ ;\ -\frac{\pi}3\ ;\ \frac{\pi}9\ ;\ \frac{7\pi}9\right\}.

Exemple 7

Résoudre dans I=]−π;π]I=\left]-\pi;\pi\right] : (a) cos⁡x⩾12\cos x\geqslant\frac12 ; (b) sin⁡x>−12\sin x>-\frac12 ; (c) tan⁡x<1\tan x<1 ; (d) (2cos⁡x−1)sin⁡x<0(2\cos x-1)\sin x<0 ; (e) 0⩽tan⁡x⩽30\leqslant\tan x\leqslant\sqrt3.

Voir la solution

(a) cos⁡x=12\cos x=\frac12 pour x=±π3x=\pm\frac{\pi}3 : S=[−π3;π3]S=\left[-\frac{\pi}3;\frac{\pi}3\right]. (b) sin⁡x=−12\sin x=-\frac12 pour x=−π6x=-\frac{\pi}6 ou x=−5π6x=-\frac{5\pi}6 : S=]−π;−5π6[∪]−π6;π]S=\left]-\pi;-\frac{5\pi}6\right[\cup\left]-\frac{\pi}6;\pi\right] (voir la figure).

(c) tan⁡\tan n’est pas définie en ±π2\pm\frac{\pi}2 et tan⁡x=1\tan x=1 pour x=π4x=\frac{\pi}4 ou x=−3π4x=-\frac{3\pi}4 : S=]−π;−3π4[∪]−π2;π4[∪]π2;π]S=\left]-\pi;-\frac{3\pi}4\right[\cup\left]-\frac{\pi}2;\frac{\pi}4\right[\cup\left]\frac{\pi}2;\pi\right].

(d) 2cos⁡x−1>0  ⟺  x∈]−π3;π3[2\cos x-1>0\iff x\in\left]-\frac{\pi}3;\frac{\pi}3\right[ et sin⁡x>0  ⟺  x∈]0;π[\sin x>0\iff x\in\left]0;\pi\right[. Le produit est strictement négatif lorsque les facteurs sont de signes contraires : S=]−π3;0[∪]π3;π[S=\left]-\frac{\pi}3;0\right[\cup\left]\frac{\pi}3;\pi\right[.

(e) tan⁡x=0\tan x=0 pour x=0x=0 ou x=πx=\pi, tan⁡x=3\tan x=\sqrt3 pour x=π3x=\frac{\pi}3 ou x=−2π3x=-\frac{2\pi}3 : S=]−π;−2π3]∪[0;π3]∪{π}S=\left]-\pi;-\frac{2\pi}3\right]\cup\left[0;\frac{\pi}3\right]\cup\{\pi\}.

Figure

Exemple 8

  1. Résoudre dans R\mathbb{R}, puis dans [0;2π][0;2\pi], l’équation 3cos⁡x−sin⁡x=2\sqrt3\cos x-\sin x=\sqrt2.
  2. Résoudre dans [0;2π][0;2\pi] l’inéquation 3cos⁡x−sin⁡x>2\sqrt3\cos x-\sin x>\sqrt2.
Voir la solution

1) r=2r=2, cos⁡α=32\cos\alpha=\frac{\sqrt3}2, sin⁡α=−12\sin\alpha=-\frac12 : 3cos⁡x−sin⁡x=2cos⁡(x+π6)\sqrt3\cos x-\sin x=2\cos\left(x+\frac{\pi}6\right). L’équation équivaut à cos⁡(x+π6)=cos⁡π4\cos\left(x+\frac{\pi}6\right)=\cos\frac{\pi}4, soit x=π12+2kπx=\frac{\pi}{12}+2k\pi ou x=−5π12+2kπx=-\frac{5\pi}{12}+2k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}. Dans [0;2π][0;2\pi] : S={π12 ; 19π12}S=\left\{\frac{\pi}{12}\ ;\ \frac{19\pi}{12}\right\}.

2) On pose X=x+π6X=x+\frac{\pi}6 ; si x∈[0;2π]x\in[0;2\pi], alors X∈[π6;13π6]X\in\left[\frac{\pi}6;\frac{13\pi}6\right] et l’on cherche cos⁡X>22\cos X>\frac{\sqrt2}2, soit X∈[π6;π4[∪]7π4;13π6]X\in\left[\frac{\pi}6;\frac{\pi}4\right[\cup\left]\frac{7\pi}4;\frac{13\pi}6\right]. Donc S=[0;π12[∪]19π12;2π]S=\left[0;\frac{\pi}{12}\right[\cup\left]\frac{19\pi}{12};2\pi\right].

Figure

Série d’exercices

Exercice 1 — Formules d’addition Facile ★★☆☆☆

  1. Soit x∈Rx\in\mathbb{R}. Démontrer de deux manières différentes (formules d’addition, puis transformation d’une somme en produit) : a) sin⁡(x+π4)+sin⁡(x−π4)=2sin⁡x\sin\left(x+\frac{\pi}4\right)+\sin\left(x-\frac{\pi}4\right)=\sqrt2\sin x ; b) cos⁡(x+π6)+cos⁡(x−π6)=3cos⁡x\cos\left(x+\frac{\pi}6\right)+\cos\left(x-\frac{\pi}6\right)=\sqrt3\cos x.
  2. Soient aa et bb deux réels tels que 0<a<π20<a<\frac{\pi}2, 0<b<π20<b<\frac{\pi}2 et cos⁡a=sin⁡b=35\cos a=\sin b=\frac35. a) Calculer sin⁡a\sin a et cos⁡b\cos b. b) Calculer sin⁡(a+b)\sin(a+b), puis en déduire a+ba+b.
Voir la solution

1) a) Méthode 1 : sin⁡xcos⁡π4+cos⁡xsin⁡π4+sin⁡xcos⁡π4−cos⁡xsin⁡π4=2⋅22sin⁡x=2sin⁡x\sin x\cos\frac{\pi}4+\cos x\sin\frac{\pi}4+\sin x\cos\frac{\pi}4-\cos x\sin\frac{\pi}4=2\cdot\frac{\sqrt2}2\sin x=\sqrt2\sin x. Méthode 2 : sin⁡p+sin⁡q=2sin⁡p+q2cos⁡p−q2=2sin⁡xcos⁡π4=2sin⁡x\sin p+\sin q=2\sin\frac{p+q}2\cos\frac{p-q}2=2\sin x\cos\frac{\pi}4=\sqrt2\sin x.

b) Méthode 1 : 2cos⁡xcos⁡π6=3cos⁡x2\cos x\cos\frac{\pi}6=\sqrt3\cos x (les termes en sin⁡xsin⁡π6\sin x\sin\frac{\pi}6 s’éliminent). Méthode 2 : cos⁡p+cos⁡q=2cos⁡xcos⁡π6=3cos⁡x\cos p+\cos q=2\cos x\cos\frac{\pi}6=\sqrt3\cos x.

2) a) sin⁡a>0\sin a>0 et sin⁡2a=1−925=1625\sin^2a=1-\frac9{25}=\frac{16}{25}, donc sin⁡a=45\sin a=\frac45 ; de même cos⁡b=45\cos b=\frac45. b) sin⁡(a+b)=45⋅45+35⋅35=1\sin(a+b)=\frac45\cdot\frac45+\frac35\cdot\frac35=1. Comme 0<a+b<π0<a+b<\pi et que, sur ]0;π[]0;\pi[, sin⁡t=1\sin t=1 seulement pour t=π2t=\frac{\pi}2 : a+b=π2a+b=\frac{\pi}2.

Exercice 2 — Tangente Facile ★★☆☆☆

  1. Soit x∈Rx\in\mathbb{R} tel que x≠π2+kπx\neq\frac{\pi}2+k\pi et x≠π4+kπx\neq\frac{\pi}4+k\pi pour tout k∈Zk\in\mathbb{Z}. a) Montrer que tan⁡(π4+x)=1+tan⁡x1−tan⁡x\tan\left(\frac{\pi}4+x\right)=\dfrac{1+\tan x}{1-\tan x}. b) On suppose de plus x≠−π4+kπx\neq-\frac{\pi}4+k\pi. Montrer que 1+sin⁡2xcos⁡2x=tan⁡(π4+x)\dfrac{1+\sin2x}{\cos2x}=\tan\left(\frac{\pi}4+x\right).
  2. Soit x∈Rx\in\mathbb{R} tel que x≠kπx\neq k\pi pour tout k∈Zk\in\mathbb{Z}. Montrer que 1+cos⁡xsin⁡x=1tan⁡x2\dfrac{1+\cos x}{\sin x}=\dfrac1{\tan\frac x2}.
Voir la solution

1) a) tan⁡(π4+x)=tan⁡π4+tan⁡x1−tan⁡π4tan⁡x=1+tan⁡x1−tan⁡x\tan\left(\frac{\pi}4+x\right)=\dfrac{\tan\frac{\pi}4+\tan x}{1-\tan\frac{\pi}4\tan x}=\dfrac{1+\tan x}{1-\tan x}. b) 1+sin⁡2x=(cos⁡x+sin⁡x)21+\sin2x=(\cos x+\sin x)^2 et cos⁡2x=(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)\cos2x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x), avec cos⁡x+sin⁡x≠0\cos x+\sin x\neq0 (car tan⁡x≠−1\tan x\neq-1). Donc 1+sin⁡2xcos⁡2x=cos⁡x+sin⁡xcos⁡x−sin⁡x=1+tan⁡x1−tan⁡x\dfrac{1+\sin2x}{\cos2x}=\dfrac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}=\dfrac{1+\tan x}{1-\tan x} (en divisant par cos⁡x≠0\cos x\neq0), d’où le résultat par a).

2) 1+cos⁡x=2cos⁡2x21+\cos x=2\cos^2\frac x2 et sin⁡x=2sin⁡x2cos⁡x2\sin x=2\sin\frac x2\cos\frac x2, avec sin⁡x2≠0\sin\frac x2\neq0 et cos⁡x2≠0\cos\frac x2\neq0 (car x≠kπx\neq k\pi). Donc 1+cos⁡xsin⁡x=cos⁡x2sin⁡x2=1tan⁡x2\dfrac{1+\cos x}{\sin x}=\dfrac{\cos\frac x2}{\sin\frac x2}=\dfrac1{\tan\frac x2}.

Exercice 3 — Produits et sommes Facile ★★☆☆☆

  1. Transformer en sommes : A(x)=cos⁡2xsin⁡3xA(x)=\cos2x\sin3x, B(x)=cos⁡xcos⁡3xB(x)=\cos x\cos3x, C(x)=sin⁡(x+π4)sin⁡(x−π4)C(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}4\right)\sin\left(x-\frac{\pi}4\right), D(x)=cos⁡(x+π6)sin⁡(x−π6)D(x)=\cos\left(x+\frac{\pi}6\right)\sin\left(x-\frac{\pi}6\right).
  2. Transformer en produits : E(x)=sin⁡5x+sin⁡3xE(x)=\sin5x+\sin3x et F(x)=sin⁡x+sin⁡3x+sin⁡5x+sin⁡7xF(x)=\sin x+\sin3x+\sin5x+\sin7x.
  3. Démontrer que cos⁡π12−cos⁡5π12=22\cos\frac{\pi}{12}-\cos\frac{5\pi}{12}=\dfrac{\sqrt2}2 et que cos⁡π12cos⁡5π12=14\cos\frac{\pi}{12}\cos\frac{5\pi}{12}=\dfrac14.
Voir la solution

1) A(x)=12(sin⁡5x+sin⁡x)A(x)=\frac12(\sin5x+\sin x) ; B(x)=12(cos⁡4x+cos⁡2x)B(x)=\frac12(\cos4x+\cos2x) ; C(x)=−12(cos⁡2x−cos⁡π2)=−12cos⁡2xC(x)=-\frac12\left(\cos2x-\cos\frac{\pi}2\right)=-\frac12\cos2x ; D(x)=12(sin⁡2x−sin⁡π3)=12sin⁡2x−34D(x)=\frac12\left(\sin2x-\sin\frac{\pi}3\right)=\frac12\sin2x-\frac{\sqrt3}4.

2) E(x)=2sin⁡4xcos⁡xE(x)=2\sin4x\cos x.  sin⁡7x+sin⁡x=2sin⁡4xcos⁡3x\ \sin7x+\sin x=2\sin4x\cos3x et sin⁡5x+sin⁡3x=2sin⁡4xcos⁡x\sin5x+\sin3x=2\sin4x\cos x, donc F(x)=2sin⁡4x(cos⁡3x+cos⁡x)=4sin⁡4xcos⁡2xcos⁡xF(x)=2\sin4x(\cos3x+\cos x)=4\sin4x\cos2x\cos x.

3) cos⁡π12−cos⁡5π12=−2sin⁡π4sin⁡(−π6)=2×22×12=22\cos\frac{\pi}{12}-\cos\frac{5\pi}{12}=-2\sin\frac{\pi}4\sin\left(-\frac{\pi}6\right)=2\times\frac{\sqrt2}2\times\frac12=\frac{\sqrt2}2 ;  cos⁡π12cos⁡5π12=12(cos⁡π2+cos⁡π3)=14\ \cos\frac{\pi}{12}\cos\frac{5\pi}{12}=\frac12\left(\cos\frac{\pi}2+\cos\frac{\pi}3\right)=\frac14.

Exercice 4 — Linéarisation et équation Moyen ★★★☆☆

On considère, pour x∈Rx\in\mathbb{R}, A(x)=cos⁡2(π12+x)+cos⁡2(π12−x)−1A(x)=\cos^2\left(\frac{\pi}{12}+x\right)+\cos^2\left(\frac{\pi}{12}-x\right)-1.

  1. Calculer A(π12)A\left(\frac{\pi}{12}\right) et A(π4)A\left(\frac{\pi}4\right).
  2. Démontrer que 2cos⁡2(π12+x)=1+32cos⁡2x−12sin⁡2x2\cos^2\left(\frac{\pi}{12}+x\right)=1+\frac{\sqrt3}2\cos2x-\frac12\sin2x et 2cos⁡2(π12−x)=1+32cos⁡2x+12sin⁡2x2\cos^2\left(\frac{\pi}{12}-x\right)=1+\frac{\sqrt3}2\cos2x+\frac12\sin2x.
  3. En déduire que A(x)=32cos⁡2xA(x)=\frac{\sqrt3}2\cos2x.
  4. Résoudre dans R\mathbb{R} l’équation A(x)=34A(x)=\frac{\sqrt3}4.
Voir la solution

1) A(π12)=cos⁡2π6+cos⁡20−1=34A\left(\frac{\pi}{12}\right)=\cos^2\frac{\pi}6+\cos^20-1=\frac34 ;  A(π4)=cos⁡2π3+cos⁡2(−π6)−1=14+34−1=0\ A\left(\frac{\pi}4\right)=\cos^2\frac{\pi}3+\cos^2\left(-\frac{\pi}6\right)-1=\frac14+\frac34-1=0.

2) 2cos⁡2(π12+x)=1+cos⁡(π6+2x)=1+cos⁡π6cos⁡2x−sin⁡π6sin⁡2x=1+32cos⁡2x−12sin⁡2x2\cos^2\left(\frac{\pi}{12}+x\right)=1+\cos\left(\frac{\pi}6+2x\right)=1+\cos\frac{\pi}6\cos2x-\sin\frac{\pi}6\sin2x=1+\frac{\sqrt3}2\cos2x-\frac12\sin2x ; de même avec −x-x pour la seconde.

3) En additionnant : 2A(x)+2=2+3cos⁡2x2A(x)+2=2+\sqrt3\cos2x, donc A(x)=32cos⁡2xA(x)=\frac{\sqrt3}2\cos2x (on retrouve 34\frac34 et 00 au 1).

4) A(x)=34  ⟺  cos⁡2x=12=cos⁡π3  ⟺  2x=±π3+2kπ  ⟺  x=±π6+kπA(x)=\frac{\sqrt3}4\iff\cos2x=\frac12=\cos\frac{\pi}3\iff2x=\pm\frac{\pi}3+2k\pi\iff x=\pm\frac{\pi}6+k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}.

Exercice 5 — Identités Facile ★★☆☆☆

Soient xx et yy deux réels. Démontrer les identités suivantes, lorsque toutes les expressions sont définies :

  1. cos⁡3x=4cos⁡3x−3cos⁡x\cos3x=4\cos^3x-3\cos x et sin⁡3x=3sin⁡x−4sin⁡3x\sin3x=3\sin x-4\sin^3x ;
  2. cos⁡(x−y)cos⁡(x+y)=1+tan⁡xtan⁡y1−tan⁡xtan⁡y\dfrac{\cos(x-y)}{\cos(x+y)}=\dfrac{1+\tan x\tan y}{1-\tan x\tan y} ;
  3. tan⁡x+tan⁡y=sin⁡(x+y)cos⁡xcos⁡y\tan x+\tan y=\dfrac{\sin(x+y)}{\cos x\cos y} ;
  4. cos⁡(x+y)cos⁡(x−y)=cos⁡2x−sin⁡2y\cos(x+y)\cos(x-y)=\cos^2x-\sin^2y.
Voir la solution

1) cos⁡3x=cos⁡2xcos⁡x−sin⁡2xsin⁡x=(2cos⁡2x−1)cos⁡x−2sin⁡2xcos⁡x=(2cos⁡2x−1)cos⁡x−2(1−cos⁡2x)cos⁡x=4cos⁡3x−3cos⁡x\cos3x=\cos2x\cos x-\sin2x\sin x=(2\cos^2x-1)\cos x-2\sin^2x\cos x=(2\cos^2x-1)\cos x-2(1-\cos^2x)\cos x=4\cos^3x-3\cos x. sin⁡3x=sin⁡2xcos⁡x+cos⁡2xsin⁡x=2sin⁡xcos⁡2x+(1−2sin⁡2x)sin⁡x=2sin⁡x(1−sin⁡2x)+sin⁡x−2sin⁡3x=3sin⁡x−4sin⁡3x\sin3x=\sin2x\cos x+\cos2x\sin x=2\sin x\cos^2x+(1-2\sin^2x)\sin x=2\sin x(1-\sin^2x)+\sin x-2\sin^3x=3\sin x-4\sin^3x.

2) On divise numérateur et dénominateur par cos⁡xcos⁡y≠0\cos x\cos y\neq0 : cos⁡xcos⁡y+sin⁡xsin⁡ycos⁡xcos⁡y−sin⁡xsin⁡y=1+tan⁡xtan⁡y1−tan⁡xtan⁡y\dfrac{\cos x\cos y+\sin x\sin y}{\cos x\cos y-\sin x\sin y}=\dfrac{1+\tan x\tan y}{1-\tan x\tan y}.

3) tan⁡x+tan⁡y=sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡ycos⁡xcos⁡y=sin⁡(x+y)cos⁡xcos⁡y\tan x+\tan y=\dfrac{\sin x\cos y+\cos x\sin y}{\cos x\cos y}=\dfrac{\sin(x+y)}{\cos x\cos y}.

4) cos⁡(x+y)cos⁡(x−y)=cos⁡2xcos⁡2y−sin⁡2xsin⁡2y=cos⁡2x(1−sin⁡2y)−(1−cos⁡2x)sin⁡2y=cos⁡2x−sin⁡2y\cos(x+y)\cos(x-y)=\cos^2x\cos^2y-\sin^2x\sin^2y=\cos^2x(1-\sin^2y)-(1-\cos^2x)\sin^2y=\cos^2x-\sin^2y.

Exercice 6 — Trigonométrie dans un triangle Moyen ★★★☆☆

Dans le triangle ABCABC ci-dessous, HH est le pied de la hauteur issue de CC, h=CHh=CH, BAC^=α\widehat{BAC}=\alpha et ABC^=β\widehat{ABC}=\beta, avec α,β∈]0;π2[\alpha,\beta\in\left]0;\frac{\pi}2\right[.

Figure
  1. Montrer que AB=htan⁡α+htan⁡βAB=\dfrac h{\tan\alpha}+\dfrac h{\tan\beta}.
  2. En déduire que AB=hsin⁡(α+β)sin⁡αsin⁡βAB=\dfrac{h\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\sin\beta}.
  3. On prend α=π6\alpha=\frac{\pi}6, β=π4\beta=\frac{\pi}4 et AB=4AB=4. Calculer hh.
Voir la solution

1) Dans les triangles rectangles AHCAHC et BHCBHC : tan⁡α=hAH\tan\alpha=\frac h{AH} et tan⁡β=hHB\tan\beta=\frac h{HB} ; comme H∈[AB]H\in[AB] (angles aigus), AB=AH+HB=htan⁡α+htan⁡βAB=AH+HB=\dfrac h{\tan\alpha}+\dfrac h{\tan\beta}.

2) 1tan⁡α+1tan⁡β=cos⁡αsin⁡β+sin⁡αcos⁡βsin⁡αsin⁡β=sin⁡(α+β)sin⁡αsin⁡β\dfrac1{\tan\alpha}+\dfrac1{\tan\beta}=\dfrac{\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta}=\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\sin\beta}.

3) 1tan⁡π6+1tan⁡π4=3+1\dfrac1{\tan\frac{\pi}6}+\dfrac1{\tan\frac{\pi}4}=\sqrt3+1, donc h=43+1=4(3−1)2=2(3−1)h=\dfrac4{\sqrt3+1}=\dfrac{4(\sqrt3-1)}{2}=2(\sqrt3-1).

Exercice 7 — Identités dans un triangle Difficile ★★★★☆

Soient AA, BB et CC les mesures, en radians, des angles d’un triangle, de sorte que A+B+C=πA+B+C=\pi.

  1. Démontrer que cos⁡A+cos⁡B+cos⁡C=1+4sin⁡A2sin⁡B2sin⁡C2\cos A+\cos B+\cos C=1+4\sin\frac A2\sin\frac B2\sin\frac C2.
  2. On suppose qu’aucun des angles n’est droit. Démontrer que tan⁡A+tan⁡B+tan⁡C=tan⁡Atan⁡Btan⁡C\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C.
Voir la solution

1) cos⁡A+cos⁡B=2cos⁡A+B2cos⁡A−B2=2sin⁡C2cos⁡A−B2\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}2\cos\frac{A-B}2=2\sin\frac C2\cos\frac{A-B}2, car A+B2=π2−C2\frac{A+B}2=\frac{\pi}2-\frac C2. cos⁡C=1−2sin⁡2C2\cos C=1-2\sin^2\frac C2 et sin⁡C2=cos⁡A+B2\sin\frac C2=\cos\frac{A+B}2. Donc cos⁡A+cos⁡B+cos⁡C=1+2sin⁡C2(cos⁡A−B2−cos⁡A+B2)=1+2sin⁡C2×2sin⁡A2sin⁡B2\cos A+\cos B+\cos C=1+2\sin\frac C2\left(\cos\frac{A-B}2-\cos\frac{A+B}2\right)=1+2\sin\frac C2\times2\sin\frac A2\sin\frac B2.

2) C=π−(A+B)C=\pi-(A+B), donc tan⁡C=−tan⁡(A+B)=−tan⁡A+tan⁡B1−tan⁡Atan⁡B\tan C=-\tan(A+B)=-\dfrac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B} (ici A+B≠π2A+B\neq\frac{\pi}2 car CC n’est pas droit, donc tan⁡Atan⁡B≠1\tan A\tan B\neq1). Ainsi tan⁡C(1−tan⁡Atan⁡B)=−(tan⁡A+tan⁡B)\tan C(1-\tan A\tan B)=-(\tan A+\tan B), soit tan⁡A+tan⁡B+tan⁡C=tan⁡Atan⁡Btan⁡C\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C.

Exercice 8 — Équations trigonométriques Difficile ★★★★☆

Résoudre chaque équation dans R\mathbb{R}, puis dans l’intervalle II indiqué :

  • (E1)(E_1) : 2cos⁡(2x−π4)=22\cos\left(2x-\frac{\pi}4\right)=\sqrt2,  I=[0;2π[\ I=[0;2\pi[ ;
  • (E2)(E_2) : cos⁡2x−sin⁡2x=1\cos2x-\sin2x=1,  I=[−π;π[\ I=[-\pi;\pi[ ;
  • (E3)(E_3) : sin⁡x+sin⁡2x+sin⁡3x=0\sin x+\sin2x+\sin3x=0,  I=R\ I=\mathbb{R} ;
  • (E4)(E_4) : 2sin⁡2x−(1+2)sin⁡x+22=02\sin^2x-(1+\sqrt2)\sin x+\frac{\sqrt2}2=0,  I=[−2π;0[\ I=[-2\pi;0[.
Voir la solution

Dans tout l’exercice, k∈Zk\in\mathbb{Z}.

(E1)(E_1) cos⁡(2x−π4)=cos⁡π4  ⟺  2x−π4=±π4+2kπ  ⟺  x=π4+kπ\cos\left(2x-\frac{\pi}4\right)=\cos\frac{\pi}4\iff2x-\frac{\pi}4=\pm\frac{\pi}4+2k\pi\iff x=\frac{\pi}4+k\pi ou x=kπx=k\pi. Dans II : {0 ; π4 ; π ; 5π4}\left\{0\ ;\ \frac{\pi}4\ ;\ \pi\ ;\ \frac{5\pi}4\right\}.

(E2)(E_2) cos⁡2x−sin⁡2x=2cos⁡(2x+π4)\cos2x-\sin2x=\sqrt2\cos\left(2x+\frac{\pi}4\right) ; l’équation équivaut à cos⁡(2x+π4)=cos⁡π4\cos\left(2x+\frac{\pi}4\right)=\cos\frac{\pi}4, soit x=kπx=k\pi ou x=−π4+kπx=-\frac{\pi}4+k\pi. Dans II : {−π ; −π4 ; 0 ; 3π4}\left\{-\pi\ ;\ -\frac{\pi}4\ ;\ 0\ ;\ \frac{3\pi}4\right\}.

(E3)(E_3) sin⁡x+sin⁡3x=2sin⁡2xcos⁡x\sin x+\sin3x=2\sin2x\cos x, donc l’équation s’écrit sin⁡2x(2cos⁡x+1)=0\sin2x(2\cos x+1)=0 : sin⁡2x=0  ⟺  x=kπ2\sin2x=0\iff x=\frac{k\pi}2 ; cos⁡x=−12  ⟺  x=±2π3+2kπ\cos x=-\frac12\iff x=\pm\frac{2\pi}3+2k\pi.

(E4)(E_4) En posant s=sin⁡xs=\sin x : 2s2−(1+2)s+22=(2s−2)(s−12)2s^2-(1+\sqrt2)s+\frac{\sqrt2}2=(2s-\sqrt2)\left(s-\frac12\right), donc sin⁡x=22\sin x=\frac{\sqrt2}2 ou sin⁡x=12\sin x=\frac12, soit x∈{π4+2kπ ; 3π4+2kπ ; π6+2kπ ; 5π6+2kπ}x\in\left\{\frac{\pi}4+2k\pi\ ;\ \frac{3\pi}4+2k\pi\ ;\ \frac{\pi}6+2k\pi\ ;\ \frac{5\pi}6+2k\pi\right\}. Dans II : {−11π6 ; −7π4 ; −5π4 ; −7π6}\left\{-\frac{11\pi}6\ ;\ -\frac{7\pi}4\ ;\ -\frac{5\pi}4\ ;\ -\frac{7\pi}6\right\}.

Exercice 9 — Inéquations trigonométriques Facile ★★☆☆☆

Résoudre chaque inéquation dans l’intervalle II indiqué :

  1. sin⁡x⩾12\sin x\geqslant\frac12,  I=]−π;π]\ I=\left]-\pi;\pi\right] ;
  2. cos⁡x>−22\cos x>-\frac{\sqrt2}2,  I=[0;2π]\ I=[0;2\pi] ;
  3. tan⁡x<3\tan x<\sqrt3,  I=[0;2π]\ I=[0;2\pi] ;
  4. cos⁡x⩽32\cos x\leqslant\frac{\sqrt3}2,  I=[−π;π]\ I=[-\pi;\pi] ;
  5. sin⁡x<−12\sin x<-\frac12,  I=[0;2π]\ I=[0;2\pi].
Voir la solution

1) S=[π6;5π6]S=\left[\frac{\pi}6;\frac{5\pi}6\right]. 2) S=[0;3π4[∪]5π4;2π]S=\left[0;\frac{3\pi}4\right[\cup\left]\frac{5\pi}4;2\pi\right] (voir la figure).

3) tan⁡\tan n’est pas définie en π2\frac{\pi}2 et 3π2\frac{3\pi}2 ; tan⁡x=3\tan x=\sqrt3 pour x=π3x=\frac{\pi}3 ou x=4π3x=\frac{4\pi}3 : S=[0;π3[∪]π2;4π3[∪]3π2;2π]S=\left[0;\frac{\pi}3\right[\cup\left]\frac{\pi}2;\frac{4\pi}3\right[\cup\left]\frac{3\pi}2;2\pi\right].

4) S=[−π;−π6]∪[π6;π]S=\left[-\pi;-\frac{\pi}6\right]\cup\left[\frac{\pi}6;\pi\right]. 5) S=]7π6;11π6[S=\left]\frac{7\pi}6;\frac{11\pi}6\right[.

Figure

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