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Chapitre 5 — Suites

Cours

Plan du chapitre. I. Suites numériques : définition et bornes — II. Monotonie d’une suite — III. Suites arithmétiques — IV. Suites géométriques — Exercice de synthèse.

I. Suites numériques : définition et bornes

Activité 1

On considère la fonction $g$ définie sur $I=\mathbb{N}$ par $g(x)=3x-\dfrac14$ . Calculer, lorsque c’est possible, $g(0)$ , $g(3)$ , $g\left(\dfrac12\right)$ , $g(-2)$ et $g(n)$ pour $n\in\mathbb{N}$ .

Voir la solution

$g(0)=-\dfrac14$ et $g(3)=9-\dfrac14=\dfrac{35}4$ .

$\dfrac12\notin\mathbb{N}$ et $-2\notin\mathbb{N}$ : $g\left(\dfrac12\right)$ et $g(-2)$ n’existent pas, car $g$ n’est définie que sur $\mathbb{N}$ .

Pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $g(n)=3n-\dfrac14$ . La fonction $g$ associe un réel à chaque entier naturel : c’est une suite numérique.

Définition 1

Une suite numérique $u$ est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ ou sur une partie $I$ de $\mathbb{N}$ , à valeurs dans $\mathbb{R}$ .
Pour $n\in I$ , l’image de $n$ par $u$ se note $u_n$ (on lit « $u$ indice $n$ ») ; c’est le terme de rang $n$ de la suite, et $u_n$ est appelé terme général.

Remarque

La suite se note $(u_n)_{n\in I}$ . Si $I=\mathbb{N}$ , on écrit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ , $(u_n)_{n\geqslant0}$ ou simplement $(u_n)$ ; si $I=\mathbb{N}^*$ , on écrit $(u_n)_{n\geqslant1}$ .
Attention : $u_{n+1}$ est le terme de rang $n+1$ , alors que $u_n+1$ est le terme de rang $n$ augmenté de $1$ .

Exemple 1

On considère la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $u_n=\dfrac{3n+1}{n+2}$ . Calculer $u_0$ , $u_1$ , $u_2$ et $u_3$ , exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $n$ , puis montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_n<3$ .

Voir la solution

$u_0=\dfrac12$ , $\ u_1=\dfrac43$ , $\ u_2=\dfrac74$ , $\ u_3=\dfrac{10}5=2$ .

$u_{n+1}=\dfrac{3(n+1)+1}{(n+1)+2}=\dfrac{3n+4}{n+3}$ .

$3-u_n=\dfrac{3(n+2)-(3n+1)}{n+2}=\dfrac{5}{n+2}>0$ , donc $u_n<3$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ .

Remarque

Une suite peut être définie explicitement, par une formule $u_n=f(n)$ , ou par récurrence, par son (ou ses) premier(s) terme(s) et une relation qui donne chaque terme à partir du (ou des) précédent(s), par exemple $u_{n+1}=f(u_n)$ .
Raisonnement par récurrence. Pour montrer qu’une propriété $P(n)$ $P (n)$ est vraie pour tout entier $n\geqslant n_0$ $n ⩾ n_{0}$ :
1. Initialisation : on vérifie que $P(n_0)$ est vraie ;
2. Hérédité : on suppose que $P(n)$ est vraie pour un entier $n\geqslant n_0$ quelconque (hypothèse de récurrence) et on montre que $P(n+1)$ est vraie ;
3. Conclusion : $P(n)$ est vraie pour tout entier $n\geqslant n_0$ .

Exemple 2

On considère la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $u_0=4$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_{n+1}=4-\dfrac4{u_n}$ . Calculer $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ et $u_4$ , puis montrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_n\geqslant2$ .

Voir la solution

$u_1=4-1=3$ ; $\ u_2=4-\dfrac43=\dfrac83$ ; $\ u_3=4-\dfrac{12}8=\dfrac52$ ; $\ u_4=4-\dfrac85=\dfrac{12}5$ .

Soit $P(n)$ : « $u_n\geqslant2$ ».

Initialisation : $u_0=4\geqslant2$ , donc $P(0)$ est vraie.
Hérédité : soit $n\in\mathbb{N}$ ; supposons $u_n\geqslant2$ . Alors $u_n>0$ et $\dfrac4{u_n}\leqslant\dfrac42=2$ , donc $u_{n+1}=4-\dfrac4{u_n}\geqslant4-2=2$ : $P(n+1)$ est vraie.
Conclusion : pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_n\geqslant2$ (en particulier $u_n\neq0$ , donc la suite est bien définie).

Définition 2

La suite $(u_n)_{n\in I}$ est majorée s’il existe un réel $M$ tel que, pour tout $n\in I$ , $u_n\leqslant M$ .
Elle est minorée s’il existe un réel $m$ tel que, pour tout $n\in I$ , $u_n\geqslant m$ .
Elle est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Exemple 3

On considère la suite $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $v_n=\dfrac{2n}{n+1}$ . Montrer que $(v_n)$ est bornée. Que peut-on dire des suites des exemples 1 et 2 ?

Voir la solution

Pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $v_n\geqslant0$ (quotient de deux nombres positifs) et $2-v_n=\dfrac{2(n+1)-2n}{n+1}=\dfrac2{n+1}>0$ . Donc $0\leqslant v_n<2$ : $(v_n)$ est minorée par $0$ , majorée par $2$ , donc bornée.

La suite de l’exemple 1 est majorée par $3$ ; celle de l’exemple 2 est minorée par $2$ .

II. Monotonie d’une suite

Dans la suite, l’ensemble des indices est de la forme $I=\{p\,;\,p+1\,;\,p+2\,;\dots\}$ avec $p\in\mathbb{N}$ .

Définition 3

La suite $(u_n)_{n\in I}$ est :

croissante si, pour tous $m,n\in I$ , $n>m\implies u_n\geqslant u_m$ ;
décroissante si, pour tous $m,n\in I$ , $n>m\implies u_n\leqslant u_m$ ;
constante si, pour tous $m,n\in I$ , $u_n=u_m$ .

Remarque

Une suite croissante $(u_n)_{n\geqslant p}$ est minorée par son premier terme $u_p$ ; une suite décroissante $(u_n)_{n\geqslant p}$ est majorée par $u_p$ .

Propriété 1

$(u_n)_{n\in I}$ est croissante $\iff$ pour tout $n\in I$ , $u_{n+1}\geqslant u_n$ ;
$(u_n)_{n\in I}$ est décroissante $\iff$ pour tout $n\in I$ , $u_{n+1}\leqslant u_n$ ;
$(u_n)_{n\in I}$ est constante $\iff$ pour tout $n\in I$ , $u_{n+1}=u_n$ .

Remarque

Pour étudier le sens de variation de $(u_n)$ , on peut :

étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ ;
si tous les termes sont strictement positifs, comparer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ .

Exemple 4

Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $u_n=5-2n$ , puis de la suite $(v_n)_{n\geqslant1}$ définie par $v_n=\dfrac{4n-1}n$ .

Voir la solution

$u_{n+1}-u_n=5-2(n+1)-(5-2n)=-2<0$ : $(u_n)$ est décroissante.

$v_n=4-\dfrac1n$ , donc $v_{n+1}-v_n=\dfrac1n-\dfrac1{n+1}=\dfrac1{n(n+1)}>0$ : $(v_n)_{n\geqslant1}$ est croissante.

Exemple 5

On considère la suite $(w_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $w_0=\dfrac13$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $w_{n+1}=w_n^2+\dfrac12w_n$ . Calculer $w_1$ et $w_2$ , montrer par récurrence que $0<w_n<\dfrac12$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ , puis vérifier que $w_{n+1}-w_n=w_n\left(w_n-\dfrac12\right)$ et en déduire le sens de variation de $(w_n)$ .

Voir la solution

$w_1=\dfrac19+\dfrac16=\dfrac5{18}$ ; $\ w_2=\dfrac{25}{324}+\dfrac5{36}=\dfrac{25+45}{324}=\dfrac{35}{162}$ .

Soit $P(n)$ : « $0<w_n<\dfrac12$ ».

Initialisation : $0<\dfrac13<\dfrac12$ , donc $P(0)$ est vraie.
Hérédité : soit $n\in\mathbb{N}$ ; supposons $0<w_n<\dfrac12$ . On a $w_{n+1}=w_n\left(w_n+\dfrac12\right)$ avec $0<w_n<\dfrac12$ et $0<w_n+\dfrac12<1$ , donc $0<w_{n+1}<\dfrac12\times1=\dfrac12$ : $P(n+1)$ est vraie.
Conclusion : pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $0<w_n<\dfrac12$ .

$w_{n+1}-w_n=w_n^2+\dfrac12w_n-w_n=w_n^2-\dfrac12w_n=w_n\left(w_n-\dfrac12\right)$ . Comme $w_n>0$ et $w_n-\dfrac12<0$ , $w_{n+1}-w_n<0$ : $(w_n)$ est décroissante.

III. Suites arithmétiques

Définition 4

Une suite $(u_n)_{n\in I}$ est arithmétique s’il existe un réel $r$ tel que, pour tout $n\in I$ , $u_{n+1}=u_n+r$ . Le réel $r$ est la raison de la suite.

Exemple 6

On considère la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $u_n=7-3n$ . Montrer que $(u_n)$ est arithmétique et préciser sa raison et son premier terme.

Voir la solution

$u_{n+1}-u_n=7-3(n+1)-(7-3n)=-3$ : $(u_n)$ est arithmétique de raison $r=-3$ et de premier terme $u_0=7$ .

Propriété 2

Si $(u_n)_{n\in I}$ est arithmétique de raison $r$ , alors, pour tous $n,p\in I$ : $\ u_n=u_p+(n-p)r$ .

En particulier $u_n=u_0+nr$ (premier terme $u_0$ ) et $u_n=u_1+(n-1)r$ (premier terme $u_1$ ).

Propriété 3

Si $(u_n)_{n\in I}$ est arithmétique, alors, pour tous $p,n\in I$ tels que $n\geqslant p$ : $u_p+u_{p+1}+\dots+u_n=\dfrac{n-p+1}2\,(u_p+u_n)$ (nombre de termes $\times$ demi-somme du premier et du dernier terme).

Exemple 7

Pour la suite $u_n=7-3n$ de l’exemple 6, calculer $u_{10}$ et la somme $S=u_0+u_1+\dots+u_{10}$ .

Voir la solution

$u_{10}=7-30=-23$ . La somme compte $11$ termes : $S=\dfrac{11}2\,(7-23)=\dfrac{11}2\times(-16)=-88$ .

Exemple 8

On considère la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $u_0=3$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_{n+1}=\dfrac{4u_n-4}{u_n}$ , et l’on pose $v_n=\dfrac1{u_n-2}$ . Calculer $u_1$ et $u_2$ , montrer par récurrence que $u_n>2$ , montrer que $(v_n)$ est arithmétique, exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$ , et calculer $S_n=v_0+v_1+\dots+v_n$ .

Voir la solution

$u_1=\dfrac{12-4}3=\dfrac83$ ; $\ u_2=\dfrac{\frac{32}3-4}{\frac83}=\dfrac{20}3\times\dfrac38=\dfrac52$ .

Soit $P(n)$ : « $u_n>2$ ».

Initialisation : $u_0=3>2$ .
Hérédité : supposons $u_n>2$ pour un $n\in\mathbb{N}$ . Alors $u_{n+1}-2=\dfrac{4u_n-4-2u_n}{u_n}=\dfrac{2(u_n-2)}{u_n}>0$ (numérateur et dénominateur strictement positifs), donc $u_{n+1}>2$ .
Conclusion : pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_n>2$ ; ainsi $u_n\neq0$ et $u_n\neq2$ , et $(u_n)$ , $(v_n)$ sont bien définies.

$v_{n+1}=\dfrac1{u_{n+1}-2}=\dfrac{u_n}{2(u_n-2)}=\dfrac{(u_n-2)+2}{2(u_n-2)}=\dfrac12+\dfrac1{u_n-2}=v_n+\dfrac12$ : $(v_n)$ est arithmétique de raison $\dfrac12$ et de premier terme $v_0=\dfrac1{3-2}=1$ .

$v_n=1+\dfrac n2=\dfrac{n+2}2$ ; $\ u_n=2+\dfrac1{v_n}=2+\dfrac2{n+2}=\dfrac{2n+6}{n+2}$ .

$S_n=\dfrac{n+1}2\left(1+\dfrac{n+2}2\right)=\dfrac{(n+1)(n+4)}4$ .

Propriété 4

Une suite $(u_n)_{n\in I}$ est arithmétique si et seulement si, pour tout $n\in I$ , $\ 2u_{n+1}=u_n+u_{n+2}$ .

En particulier, si $a$ , $b$ , $c$ sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d’une suite arithmétique, alors $2b=a+c$ .

Exemple 9

On considère une suite arithmétique $(u_n)$ telle que $u_1+u_2+u_3=21$ et $u_5=13$ . Calculer $u_2$ , puis la raison $r$ et $u_1$ .

Voir la solution

$u_1+u_3=2u_2$ , donc $u_1+u_2+u_3=3u_2=21$ et $u_2=7$ .

$u_5=u_2+3r$ , donc $13=7+3r$ et $r=2$ ; $\ u_1=u_2-r=5$ .

IV. Suites géométriques

Définition 5

Une suite $(u_n)_{n\in I}$ est géométrique s’il existe un réel $q$ tel que, pour tout $n\in I$ , $u_{n+1}=q\,u_n$ . Le réel $q$ est la raison de la suite.

Exemple 10

On considère la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $u_n=5\times3^n$ . Montrer que $(u_n)$ est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.

Voir la solution

$u_{n+1}=5\times3^{n+1}=3\times(5\times3^n)=3u_n$ : $(u_n)$ est géométrique de raison $q=3$ et de premier terme $u_0=5$ .

Propriété 5

Si $(u_n)_{n\in I}$ est géométrique de raison $q$ , alors, pour tous $n,p\in I$ tels que $n\geqslant p$ : $\ u_n=u_p\,q^{\,n-p}$ .

En particulier $u_n=u_0\,q^n$ (premier terme $u_0$ ) et $u_n=u_1\,q^{n-1}$ (premier terme $u_1$ ).

Propriété 6

Si $(u_n)_{n\in I}$ est géométrique de raison $q\neq1$ , alors, pour tous $p,n\in I$ tels que $n\geqslant p$ : $u_p+u_{p+1}+\dots+u_n=u_p\times\dfrac{1-q^{\,n-p+1}}{1-q}$ (premier terme $\times\dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$ ). Si $q=1$ , la somme vaut $(n-p+1)\,u_p$ .

Exemple 11

On considère les suites $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définies par $u_0=2$ , $u_{n+1}=\dfrac23u_n+1$ et $v_n=u_n-3$ . Calculer $u_1$ , $u_2$ , $v_0$ et $v_1$ , montrer que $(v_n)$ est géométrique, exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$ , et calculer $v_0+v_1+\dots+v_9$ et $u_0+u_1+\dots+u_9$ .

Voir la solution

$u_1=\dfrac43+1=\dfrac73$ ; $\ u_2=\dfrac{14}9+1=\dfrac{23}9$ ; $\ v_0=-1$ ; $\ v_1=\dfrac73-3=-\dfrac23$ .

$v_{n+1}=u_{n+1}-3=\dfrac23u_n-2=\dfrac23(u_n-3)=\dfrac23v_n$ : $(v_n)$ est géométrique de raison $q=\dfrac23$ et de premier terme $v_0=-1$ .

$v_n=-\left(\dfrac23\right)^n$ et $u_n=v_n+3=3-\left(\dfrac23\right)^n$ .

$v_0+\dots+v_9=-1\times\dfrac{1-\left(\frac23\right)^{10}}{1-\frac23}=-3\left(1-\left(\dfrac23\right)^{10}\right)$ .

$u_0+\dots+u_9=(v_0+\dots+v_9)+10\times3=27+3\left(\dfrac23\right)^{10}$ .

Propriété 7

Une suite $(u_n)_{n\in I}$ dont tous les termes sont non nuls est géométrique si et seulement si, pour tout $n\in I$ , $\ u_{n+1}^2=u_n\times u_{n+2}$ .

En particulier, si $a$ , $b$ , $c$ sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d’une suite géométrique, alors $b^2=ac$ .

Exemple 12

Les réels $a$ , $b$ et $c$ sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d’une suite géométrique tels que $a+b+c=14$ et $abc=64$ . Déterminer $a$ , $b$ et $c$ .

Voir la solution

$ac=b^2$ , donc $abc=b^3=64$ et $b=4$ . Alors $a+c=10$ et $ac=16$ : $a$ et $c$ sont les solutions de $X^2-10X+16=0$ , soit $(X-2)(X-8)=0$ .

Donc $(a;b;c)=(2;4;8)$ (raison $2$ ) ou $(a;b;c)=(8;4;2)$ (raison $\dfrac12$ ).

Exercice de synthèse

Exercice de synthèse — Suite récurrente et suite auxiliaire Difficile ★★★★☆

On considère la suite $(u_n)_{n\geqslant1}$ définie par $u_1=2$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ , $u_{n+1}=\dfrac{5u_n+4}{u_n+2}$ .

Calculer $u_2$ et $u_3$ .
Montrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ , $-1<u_n<4$ .
a) Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ , $u_{n+1}-u_n=-\dfrac{(u_n-4)(u_n+1)}{u_n+2}$ . b) En déduire le sens de variation de $(u_n)_{n\geqslant1}$ .
Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ , on pose $v_n=\dfrac{u_n-4}{u_n+1}$ . a) Montrer que $(v_n)_{n\geqslant1}$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. b) Exprimer $v_n$ , puis $u_n$ , en fonction de $n$ . c) Montrer que $v_1+v_2+\dots+v_n=-\dfrac45\left(1-\left(\dfrac16\right)^n\right)$ .

Voir la solution

1) $u_2=\dfrac{10+4}{4}=\dfrac72$ ; $\ u_3=\dfrac{\frac{35}2+4}{\frac72+2}=\dfrac{43}2\times\dfrac2{11}=\dfrac{43}{11}$ .

2) Soit $P(n)$ : « $-1<u_n<4$ ».

Initialisation : $-1<u_1=2<4$ .
Hérédité : supposons $-1<u_n<4$ pour un $n\in\mathbb{N}^*$ . Alors $u_n+2>1>0$ et $u_{n+1}-4=\dfrac{5u_n+4-4u_n-8}{u_n+2}=\dfrac{u_n-4}{u_n+2}<0$ , $\quad u_{n+1}+1=\dfrac{6u_n+6}{u_n+2}=\dfrac{6(u_n+1)}{u_n+2}>0$ . Donc $-1<u_{n+1}<4$ .
Conclusion : pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ , $-1<u_n<4$ .

3) a) $u_{n+1}-u_n=\dfrac{5u_n+4-u_n^2-2u_n}{u_n+2}=\dfrac{-(u_n^2-3u_n-4)}{u_n+2}=-\dfrac{(u_n-4)(u_n+1)}{u_n+2}$ . b) $u_n-4<0$ , $u_n+1>0$ et $u_n+2>0$ , donc $u_{n+1}-u_n>0$ : $(u_n)$ est croissante.

4) a) D’après les calculs du 2) : $v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}-4}{u_{n+1}+1}=\dfrac{u_n-4}{u_n+2}\times\dfrac{u_n+2}{6(u_n+1)}=\dfrac16v_n$ . $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac16$ et de premier terme $v_1=\dfrac{2-4}{2+1}=-\dfrac23$ . b) $v_n=-\dfrac23\left(\dfrac16\right)^{n-1}$ . De $v_n(u_n+1)=u_n-4$ on tire $u_n(1-v_n)=4+v_n$ , et $v_n\neq1$ (car $v_n<0$ ), donc $u_n=\dfrac{4+v_n}{1-v_n}$ . c) $v_1+\dots+v_n=-\dfrac23\times\dfrac{1-\left(\frac16\right)^n}{1-\frac16}=-\dfrac23\times\dfrac65\left(1-\left(\dfrac16\right)^n\right)=-\dfrac45\left(1-\left(\dfrac16\right)^n\right)$ .

Série d’exercices

Exercice 1 — Suite récurrente, suite auxiliaire arithmétique Facile ★★☆☆☆

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_{n+1}=\dfrac{3u_n-1}{u_n+1}$ .

Calculer $u_1$ et $u_2$ .
Montrer par récurrence que $u_n>1$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ .
a) Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_{n+1}-u_n=-\dfrac{(u_n-1)^2}{u_n+1}$ . b) En déduire le sens de variation de $(u_n)$ , puis que $(u_n)$ est majorée par $3$ .
Pour tout $n\in\mathbb{N}$ , on pose $v_n=\dfrac1{u_n-1}$ . a) Montrer que $(v_n)$ est arithmétique ; préciser sa raison et son premier terme. b) Exprimer $v_n$ , puis $u_n$ , en fonction de $n$ . c) Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $v_0+v_1+\dots+v_n=\dfrac{(n+1)(n+2)}4$ .

Voir la solution

1) $u_1=\dfrac{8}{4}=2$ ; $\ u_2=\dfrac{5}{3}$ .

2) Soit $P(n)$ : « $u_n>1$ ».

Initialisation : $u_0=3>1$ .
Hérédité : supposons $u_n>1$ pour un $n\in\mathbb{N}$ . Alors $u_n+1>0$ et $u_{n+1}-1=\dfrac{3u_n-1-u_n-1}{u_n+1}=\dfrac{2(u_n-1)}{u_n+1}>0$ , donc $u_{n+1}>1$ .
Conclusion : pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_n>1$ .

3) a) $u_{n+1}-u_n=\dfrac{3u_n-1-u_n^2-u_n}{u_n+1}=\dfrac{-(u_n^2-2u_n+1)}{u_n+1}=-\dfrac{(u_n-1)^2}{u_n+1}$ . b) Ce nombre est négatif (car $u_n+1>0$ ) : $(u_n)$ est décroissante, donc majorée par son premier terme $u_0=3$ .

4) a) $v_{n+1}=\dfrac{u_n+1}{2(u_n-1)}=\dfrac{(u_n-1)+2}{2(u_n-1)}=\dfrac12+v_n$ : $(v_n)$ est arithmétique de raison $\dfrac12$ , de premier terme $v_0=\dfrac12$ . b) $v_n=\dfrac12+\dfrac n2=\dfrac{n+1}2$ et $u_n=1+\dfrac1{v_n}=1+\dfrac2{n+1}=\dfrac{n+3}{n+1}$ . c) $v_0+\dots+v_n=\dfrac{n+1}2\left(\dfrac12+\dfrac{n+1}2\right)=\dfrac{(n+1)(n+2)}4$ .

Exercice 2 — Suite récurrente, suite auxiliaire géométrique Moyen ★★★☆☆

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=\dfrac32$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_{n+1}=\dfrac{4u_n-2}{u_n+1}$ .

Calculer $u_1$ et $u_2$ .
Montrer par récurrence que $1<u_n<2$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ .
a) Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_{n+1}-u_n=-\dfrac{(u_n-1)(u_n-2)}{u_n+1}$ . b) En déduire le sens de variation de $(u_n)$ .
Pour tout $n\in\mathbb{N}$ , on pose $v_n=\dfrac{u_n-2}{u_n-1}$ . a) Montrer que $(v_n)$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. b) Exprimer $v_n$ , puis $u_n$ , en fonction de $n$ . c) Montrer que, pour tout entier $n\geqslant1$ , $v_1+v_2+\dots+v_n=-2\left(1-\left(\dfrac23\right)^n\right)$ .

Voir la solution

1) $u_1=\dfrac{6-2}{\frac52}=\dfrac85$ ; $\ u_2=\dfrac{\frac{32}5-2}{\frac{13}5}=\dfrac{22}{13}$ .

2) Soit $P(n)$ : « $1<u_n<2$ ».

Initialisation : $1<\dfrac32<2$ .
Hérédité : supposons $1<u_n<2$ pour un $n\in\mathbb{N}$ . Alors $u_n+1>0$ , $u_{n+1}-1=\dfrac{3(u_n-1)}{u_n+1}>0$ et $u_{n+1}-2=\dfrac{2(u_n-2)}{u_n+1}<0$ , donc $1<u_{n+1}<2$ .
Conclusion : pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $1<u_n<2$ .

3) a) $u_{n+1}-u_n=\dfrac{4u_n-2-u_n^2-u_n}{u_n+1}=-\dfrac{u_n^2-3u_n+2}{u_n+1}=-\dfrac{(u_n-1)(u_n-2)}{u_n+1}$ . b) $(u_n-1)(u_n-2)<0$ et $u_n+1>0$ , donc $u_{n+1}-u_n>0$ : $(u_n)$ est croissante.

4) a) D’après 2) : $v_{n+1}=\dfrac{2(u_n-2)}{u_n+1}\times\dfrac{u_n+1}{3(u_n-1)}=\dfrac23v_n$ : raison $\dfrac23$ , premier terme $v_0=\dfrac{-\frac12}{\frac12}=-1$ . b) $v_n=-\left(\dfrac23\right)^n$ . De $v_n(u_n-1)=u_n-2$ : $u_n(1-v_n)=2-v_n$ , d’où $u_n=\dfrac{2-v_n}{1-v_n}=\dfrac{2+\left(\frac23\right)^n}{1+\left(\frac23\right)^n}$ . c) $v_1+\dots+v_n=v_1\times\dfrac{1-\left(\frac23\right)^n}{1-\frac23}=-\dfrac23\times3\left(1-\left(\dfrac23\right)^n\right)=-2\left(1-\left(\dfrac23\right)^n\right)$ .

Exercice 3 — Suite récurrente, somme à partir d’un rang Moyen ★★★☆☆

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_{n+1}=\dfrac{u_n-4}{u_n+5}$ .

Montrer que $u_1=-\dfrac12$ et $u_2=-1$ .
Montrer par récurrence que $u_n>-2$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ .
a) Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_{n+1}-u_n=-\dfrac{(u_n+2)^2}{u_n+5}$ . b) En déduire le sens de variation de $(u_n)$ .
Pour tout $n\in\mathbb{N}$ , on pose $v_n=\dfrac1{u_n+2}$ . a) Calculer $v_0$ , puis montrer que $(v_n)$ est arithmétique de raison $\dfrac13$ . b) Exprimer $v_n$ , puis $u_n$ , en fonction de $n$ . c) Montrer que, pour tout entier $n\geqslant4$ , $v_4+v_5+\dots+v_n=\dfrac{(n-3)(n+6)}6$ .

Voir la solution

1) $u_1=\dfrac{1-4}{6}=-\dfrac12$ ; $\ u_2=\dfrac{-\frac92}{\frac92}=-1$ .

2) Soit $P(n)$ : « $u_n>-2$ ».

Initialisation : $u_0=1>-2$ .
Hérédité : supposons $u_n>-2$ pour un $n\in\mathbb{N}$ . Alors $u_n+5>3>0$ et $u_{n+1}+2=\dfrac{u_n-4+2u_n+10}{u_n+5}=\dfrac{3(u_n+2)}{u_n+5}>0$ , donc $u_{n+1}>-2$ .
Conclusion : pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_n>-2$ .

3) a) $u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n-4-u_n^2-5u_n}{u_n+5}=-\dfrac{u_n^2+4u_n+4}{u_n+5}=-\dfrac{(u_n+2)^2}{u_n+5}$ . b) Ce nombre est négatif : $(u_n)$ est décroissante.

4) a) $v_0=\dfrac13$ . $v_{n+1}=\dfrac{u_n+5}{3(u_n+2)}=\dfrac{(u_n+2)+3}{3(u_n+2)}=\dfrac13+v_n$ . b) $v_n=\dfrac13+\dfrac n3=\dfrac{n+1}3$ et $u_n=\dfrac1{v_n}-2=\dfrac3{n+1}-2=\dfrac{1-2n}{n+1}$ . c) Il y a $n-3$ termes : $v_4+\dots+v_n=\dfrac{n-3}2\left(\dfrac53+\dfrac{n+1}3\right)=\dfrac{(n-3)(n+6)}6$ .

Exercice 4 — Suite récurrente, suite auxiliaire géométrique Moyen ★★★☆☆

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=-1$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{2-3u_n}$ .

Montrer par récurrence que $u_n<0$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ .
Étudier le sens de variation de $(u_n)$ .
Pour tout $n\in\mathbb{N}$ , on pose $v_n=\dfrac{1-3u_n}{u_n}$ . a) Montrer que $(v_n)$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. b) Exprimer $v_n$ , puis $u_n$ , en fonction de $n$ . c) Calculer, en fonction de $n$ , la somme $S_n=v_0+v_1+\dots+v_n$ .

Voir la solution

1) Soit $P(n)$ : « $u_n<0$ ».

Initialisation : $u_0=-1<0$ .
Hérédité : supposons $u_n<0$ pour un $n\in\mathbb{N}$ . Alors $2-3u_n>2>0$ , donc $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{2-3u_n}<0$ .
Conclusion : pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_n<0$ (et $2-3u_n\neq0$ , la suite est bien définie).

2) $u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n-2u_n+3u_n^2}{2-3u_n}=\dfrac{u_n(3u_n-1)}{2-3u_n}$ . Or $u_n<0$ et $3u_n-1<0$ , donc le numérateur est positif, et $2-3u_n>0$ : $(u_n)$ est croissante.

3) a) $v_n=\dfrac1{u_n}-3$ et $\dfrac1{u_{n+1}}=\dfrac{2-3u_n}{u_n}=\dfrac2{u_n}-3$ , donc $v_{n+1}=\dfrac2{u_n}-6=2\left(\dfrac1{u_n}-3\right)=2v_n$ : raison $2$ , premier terme $v_0=\dfrac{1+3}{-1}=-4$ . b) $v_n=-4\times2^n=-2^{n+2}$ ; $\ \dfrac1{u_n}=v_n+3$ , d’où $u_n=\dfrac1{3-2^{n+2}}$ (on vérifie $u_1=-\dfrac15$ ). c) $S_n=-4\times\dfrac{1-2^{n+1}}{1-2}=-4\left(2^{n+1}-1\right)$ .

Exercice 5 — Suites arithmétiques Facile ★☆☆☆☆

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ . Traiter les cas suivants indépendamment.

$u_0=-4$ et $r=3$ . Calculer $u_7$ et $u_{15}$ .
$u_2=9$ et $u_{14}=3$ . Calculer $r$ .
$u_{25}=8$ et $r=\dfrac25$ . Calculer $u_0$ , puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .

Voir la solution

1) $u_7=-4+21=17$ ; $\ u_{15}=-4+45=41$ .

2) $u_{14}=u_2+12r$ , donc $12r=-6$ et $r=-\dfrac12$ .

3) $u_0=u_{25}-25r=8-10=-2$ et $u_n=-2+\dfrac25n$ .

Exercice 6 — Suites géométriques Facile ★☆☆☆☆

Soit $(v_n)$ une suite géométrique de raison $q$ . Traiter les cas suivants indépendamment.

$v_0=81$ et $q=\dfrac13$ . Calculer $v_3$ et $v_5$ .
$v_4=2$ et $v_6=50$ . Déterminer les valeurs possibles de $q$ .
$v_3=\dfrac1{16}$ et $q=2$ . Calculer $v_0$ , puis exprimer $v_n$ en fonction de $n$ .

Voir la solution

1) $v_3=81\times\dfrac1{27}=3$ ; $\ v_5=81\times\dfrac1{243}=\dfrac13$ .

2) $v_6=v_4q^2$ , donc $q^2=25$ et $q=5$ ou $q=-5$ .

3) $v_0=\dfrac{v_3}{q^3}=\dfrac1{16\times8}=\dfrac1{128}$ et $v_n=\dfrac{2^n}{128}=2^{n-7}$ .

Exercice 7 — Termes consécutifs d’une suite géométrique Facile ★★☆☆☆

Les réels $a$ , $b$ et $c$ sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d’une suite géométrique tels que $a+b+c=21$ et $abc=216$ . Déterminer $a$ , $b$ et $c$ .

Voir la solution

$b^2=ac$ , donc $b^3=216$ et $b=6$ . Alors $a+c=15$ et $ac=36$ : $a$ et $c$ sont les solutions de $X^2-15X+36=0$ , soit $(X-3)(X-12)=0$ .

$(a;b;c)=(3;6;12)$ (raison $2$ ) ou $(12;6;3)$ (raison $\dfrac12$ ).

Exercice 8 — Termes consécutifs d’une suite arithmétique Facile ★★☆☆☆

Les réels $a$ , $b$ et $c$ sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison $r$ tels que $a+b+c=24$ et $2c-a=23$ . Déterminer $a$ , $b$ , $c$ et $r$ .

Voir la solution

$a+c=2b$ , donc $3b=24$ et $b=8$ . Avec $a=8-r$ et $c=8+r$ : $2(8+r)-(8-r)=8+3r=23$ , donc $r=5$ .

$a=3$ , $b=8$ , $c=13$ et $r=5$ .

Exercice 9 — Rang inconnu, somme arithmétique Facile ★★☆☆☆

Soit $(u_n)_{n\geqslant1}$ une suite arithmétique de raison $r=3$ telle que $u_4=5$ et $u_p=41$ .

Déterminer l’entier $p$ .
Calculer $u_4+u_5+\dots+u_p$ .

Voir la solution

1) $u_p=u_4+(p-4)\times3$ , donc $3(p-4)=36$ et $p=16$ .

2) Il y a $16-4+1=13$ termes : $u_4+\dots+u_{16}=\dfrac{13}2(5+41)=299$ .

Exercice 10 — Rang inconnu, somme géométrique Facile ★★☆☆☆

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $\dfrac12$ telle que $u_3=40$ et $u_p=5$ . Déterminer l’entier $p$ , puis calculer, pour tout entier $n\geqslant3$ , la somme $u_3+u_4+\dots+u_n$ en fonction de $n$ .

Voir la solution

$u_p=u_3\left(\dfrac12\right)^{p-3}$ , donc $\left(\dfrac12\right)^{p-3}=\dfrac18=\left(\dfrac12\right)^3$ et $p=6$ .

Il y a $n-2$ termes : $u_3+\dots+u_n=40\times\dfrac{1-\left(\frac12\right)^{n-2}}{1-\frac12}=80\left(1-\left(\dfrac12\right)^{n-2}\right)$ .

Exercice 11 — Somme géométrique et récurrence Facile ★★☆☆☆

En utilisant une somme de termes d’une suite géométrique, montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $1+3+3^2+\dots+3^n=\dfrac{3^{n+1}-1}2.$
Retrouver ce résultat par récurrence.

Voir la solution

1) C’est la somme des $n+1$ premiers termes de la suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $3\neq1$ : $1\times\dfrac{1-3^{n+1}}{1-3}=\dfrac{3^{n+1}-1}2$ .

2) Soit $P(n)$ : « $1+3+\dots+3^n=\dfrac{3^{n+1}-1}2$ ».

Initialisation : pour $n=0$ , le membre de gauche vaut $1$ et celui de droite $\dfrac{3-1}2=1$ .
Hérédité : supposons $P(n)$ vraie pour un $n\in\mathbb{N}$ . Alors $1+3+\dots+3^n+3^{n+1}=\dfrac{3^{n+1}-1}2+3^{n+1}=\dfrac{3\times3^{n+1}-1}2=\dfrac{3^{n+2}-1}2$ : $P(n+1)$ est vraie.
Conclusion : $P(n)$ est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$ .

Exercice 12 — Sommes de termes consécutifs Facile ★★☆☆☆

Calculer les sommes suivantes : $S_1=7+12+17+\dots+502\ ;\qquad S_2=\dfrac14+\dfrac12+\dfrac34+1+\dots+\dfrac{39}4+10.$

Voir la solution

$S_1$ : termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison $5$ , de premier terme $7$ ; $502=7+5k$ donne $k=99$ , soit $100$ termes. $S_1=\dfrac{100}2(7+502)=25450$ .

$S_2$ : suite arithmétique de raison $\dfrac14$ , de premier terme $\dfrac14$ ; $10=\dfrac{40}4$ est le $40^{\text{e}}$ terme. $S_2=\dfrac{40}2\left(\dfrac14+10\right)=205$ .

Exercice 13 — Suite récurrente et seuil Difficile ★★★★☆

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_{n+1}=\dfrac{3u_n+2}{u_n+4}$ .

Montrer par récurrence que $0\leqslant u_n\leqslant1$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ .
Étudier le sens de variation de $(u_n)$ .
Pour tout $n\in\mathbb{N}$ , on pose $v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+2}$ . a) Montrer que $(v_n)$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. b) Exprimer $v_n$ , puis $u_n$ , en fonction de $n$ .
a) Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $1-u_n\leqslant\dfrac32\left(\dfrac25\right)^n$ . b) En déduire un entier $N$ tel que $u_n>0{,}99$ pour tout entier $n\geqslant N$ .

Voir la solution

1) Soit $P(n)$ : « $0\leqslant u_n\leqslant1$ ».

Initialisation : $u_0=0$ convient.
Hérédité : supposons $0\leqslant u_n\leqslant1$ pour un $n\in\mathbb{N}$ . Alors $u_n+4>0$ , $u_{n+1}=\dfrac{3u_n+2}{u_n+4}>0$ et $u_{n+1}-1=\dfrac{2(u_n-1)}{u_n+4}\leqslant0$ . Donc $0\leqslant u_{n+1}\leqslant1$ .
Conclusion : pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $0\leqslant u_n\leqslant1$ .

2) $u_{n+1}-u_n=\dfrac{3u_n+2-u_n^2-4u_n}{u_n+4}=-\dfrac{(u_n-1)(u_n+2)}{u_n+4}\geqslant0$ : $(u_n)$ est croissante.

3) a) $u_{n+1}+2=\dfrac{5(u_n+2)}{u_n+4}$ , donc $v_{n+1}=\dfrac{2(u_n-1)}{5(u_n+2)}=\dfrac25v_n$ : raison $\dfrac25$ , premier terme $v_0=-\dfrac12$ . b) $v_n=-\dfrac12\left(\dfrac25\right)^n$ . De $v_n(u_n+2)=u_n-1$ : $u_n=\dfrac{1+2v_n}{1-v_n}=\dfrac{1-\left(\frac25\right)^n}{1+\frac12\left(\frac25\right)^n}$ .

4) a) $1-u_n=\dfrac{(1-v_n)-(1+2v_n)}{1-v_n}=\dfrac{-3v_n}{1-v_n}$ . Comme $-v_n>0$ et $1-v_n\geqslant1$ , $1-u_n\leqslant-3v_n=\dfrac32\left(\dfrac25\right)^n$ . b) Il suffit que $\dfrac32\left(\dfrac25\right)^n<0{,}01$ , c’est-à-dire $\left(\dfrac25\right)^n<\dfrac1{150}$ . Or $\left(\dfrac25\right)^6=\dfrac{64}{15625}<\dfrac1{150}$ (car $64\times150=9600<15625$ ), et $\left(\dfrac25\right)^n\leqslant\left(\dfrac25\right)^6$ pour $n\geqslant6$ . Donc $N=6$ convient.

Exercice 14 — Suite définie par une somme Difficile ★★★★☆

Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ , on pose $u_n=\dfrac1n+\dfrac1{n+1}+\dots+\dfrac1{2n}$ (somme de $n+1$ termes).

Calculer $u_1$ et $u_2$ .
Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ , $\dfrac{n+1}{2n}\leqslant u_n\leqslant\dfrac{n+1}n$ ; en déduire que $(u_n)$ est minorée par $\dfrac12$ et majorée par $2$ .
a) Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ , $u_{n+1}-u_n=-\dfrac{3n+2}{n(2n+1)(2n+2)}$ . b) En déduire le sens de variation de $(u_n)$ et un meilleur majorant.

Voir la solution

1) $u_1=1+\dfrac12=\dfrac32$ ; $\ u_2=\dfrac12+\dfrac13+\dfrac14=\dfrac{13}{12}$ .

2) Pour $n\leqslant k\leqslant2n$ : $\dfrac1{2n}\leqslant\dfrac1k\leqslant\dfrac1n$ . En sommant les $n+1$ inégalités : $\dfrac{n+1}{2n}\leqslant u_n\leqslant\dfrac{n+1}n$ . Or $\dfrac{n+1}{2n}=\dfrac12+\dfrac1{2n}\geqslant\dfrac12$ et $\dfrac{n+1}n=1+\dfrac1n\leqslant2$ .

3) a) $u_{n+1}=\dfrac1{n+1}+\dots+\dfrac1{2n}+\dfrac1{2n+1}+\dfrac1{2n+2}$ , donc $u_{n+1}-u_n=\dfrac1{2n+1}+\dfrac1{2n+2}-\dfrac1n=\dfrac{n(2n+2)+n(2n+1)-(2n+1)(2n+2)}{n(2n+1)(2n+2)}=\dfrac{-3n-2}{n(2n+1)(2n+2)}$ . b) $u_{n+1}-u_n<0$ : $(u_n)$ est décroissante, donc majorée par $u_1=\dfrac32$ .

Exercice 15 — Caractérisations et applications Moyen ★★★☆☆

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ . Montrer que, pour tout $n$ , $2u_{n+1}=u_n+u_{n+2}$ .
Soit $(v_n)$ une suite géométrique de raison $q$ . Montrer que, pour tout $n$ , $v_{n+1}^2=v_n\times v_{n+2}$ .
Déterminer le réel $x$ pour que $x-1$ , $2x$ et $4x+5$ soient, dans cet ordre, trois termes consécutifs d’une suite arithmétique.
Déterminer les réels $x$ pour que $x$ , $x+3$ et $4x$ soient, dans cet ordre, trois termes consécutifs d’une suite géométrique, et préciser la raison dans chaque cas.

Voir la solution

1) $u_n=u_{n+1}-r$ et $u_{n+2}=u_{n+1}+r$ , donc $u_n+u_{n+2}=2u_{n+1}$ .

2) $v_{n+1}=qv_n$ et $v_{n+2}=q^2v_n$ , donc $v_nv_{n+2}=q^2v_n^2=(qv_n)^2=v_{n+1}^2$ .

3) Condition $2\times2x=(x-1)+(4x+5)$ , soit $4x=5x+4$ et $x=-4$ : termes $-5$ , $-8$ , $-11$ (raison $-3$ ).

4) Condition $(x+3)^2=x\times4x$ , soit $(x+3)^2=(2x)^2$ , donc $x+3=2x$ ou $x+3=-2x$ : $x=3$ ou $x=-1$ .

$x=3$ : $3$ , $6$ , $12$ (raison $2$ ) ;
$x=-1$ : $-1$ , $2$ , $-4$ (raison $-2$ ).

Exercice 16 — Problème : une suite récurrente d’ordre 2 Difficile ★★★★★

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ , $u_1=1$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_{n+2}=u_{n+1}+2u_n$ .

Calculer les termes $u_2$ à $u_{10}$ .
Montrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_{n+1}=2u_n+(-1)^n$ .
a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $x^2=x+2$ . b) Soient $\alpha$ et $\beta$ deux réels ; on pose $w_n=\alpha\times2^n+\beta\times(-1)^n$ . Vérifier que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $w_{n+2}=w_{n+1}+2w_n$ . c) Déterminer $\alpha$ et $\beta$ pour que $w_0=0$ et $w_1=1$ .
Pour tout $n\in\mathbb{N}$ , on pose $t_n=u_{n+1}+u_n$ . Montrer que $(t_n)$ est géométrique et exprimer $t_n$ en fonction de $n$ , puis, à l’aide de 2), montrer que $u_n=\dfrac{2^n-(-1)^n}3$ (on retrouve $w_n$ ).
En déduire que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $3$ divise $2^n-(-1)^n$ , puis calculer $u_0+u_1+\dots+u_n$ .

Voir la solution

1) $u_2=1$ , $u_3=3$ , $u_4=5$ , $u_5=11$ , $u_6=21$ , $u_7=43$ , $u_8=85$ , $u_9=171$ , $u_{10}=341$ .

2) Soit $P(n)$ : « $u_{n+1}=2u_n+(-1)^n$ ».

Initialisation : $u_1=1=2\times0+(-1)^0$ .
Hérédité : supposons $P(n)$ vraie pour un $n\in\mathbb{N}$ . Alors $u_{n+2}=u_{n+1}+2u_n=u_{n+1}+\big(u_{n+1}-(-1)^n\big)=2u_{n+1}+(-1)^{n+1}$ : $P(n+1)$ est vraie.
Conclusion : pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_{n+1}=2u_n+(-1)^n$ .

3) a) $x^2-x-2=(x-2)(x+1)=0$ : $x=2$ ou $x=-1$ . b) $w_{n+1}+2w_n=\alpha2^n(2+2)+\beta(-1)^n(-1+2)=\alpha2^{n+2}+\beta(-1)^{n+2}=w_{n+2}$ (car $4=2^2$ et $1=(-1)^2$ ). c) $\alpha+\beta=0$ et $2\alpha-\beta=1$ : $\alpha=\dfrac13$ , $\beta=-\dfrac13$ .

4) $t_{n+1}=u_{n+2}+u_{n+1}=(u_{n+1}+2u_n)+u_{n+1}=2(u_{n+1}+u_n)=2t_n$ : $(t_n)$ est géométrique de raison $2$ et de premier terme $t_0=u_1+u_0=1$ , donc $t_n=2^n$ .

Ainsi $u_{n+1}+u_n=2^n$ et, d’après 2), $u_{n+1}-2u_n=(-1)^n$ . Par soustraction : $3u_n=2^n-(-1)^n$ , soit $u_n=\dfrac{2^n-(-1)^n}3=w_n$ .

5) $2^n-(-1)^n=3u_n$ et $u_n$ est un entier (récurrence : $u_0$ , $u_1$ sont entiers et, si $u_n$ et $u_{n+1}$ le sont, $u_{n+2}=u_{n+1}+2u_n$ l’est aussi) : $3$ divise $2^n-(-1)^n$ .

$u_0+\dots+u_n=\dfrac13\left(\dfrac{2^{n+1}-1}{2-1}-\dfrac{1-(-1)^{n+1}}{2}\right)=\dfrac{2^{n+2}-3+(-1)^{n+1}}6$ .

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