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Chapitre 1 — Notions de logique

Cours

Plan du chapitre. I. Propositions et quantificateurs — II. Négation — III. Connecteurs logiques — IV. Lois logiques — V. Raisonnements mathématiques.

I. Propositions, fonctions propositionnelles et quantificateurs

1. Propositions

Définition 1 : proposition

Une proposition (ou assertion) est une phrase mathématique dont on peut dire, sans ambiguïté, si elle est vraie ou si elle est fausse, mais jamais les deux à la fois.

On note les propositions par des lettres majuscules $P$ , $Q$ , $R$ , … Une proposition vraie a pour valeur de vérité $V$ (ou $1$ ), une proposition fausse a pour valeur de vérité $F$ (ou $0$ ).

Exemple 1

Donner la valeur de vérité de chacune des propositions : $P_1$ : « $\sqrt{16+9}=\sqrt{16}+\sqrt9$ » ; $\ P_2$ : « $91$ est un nombre premier » ; $\ P_3$ : « $\dfrac38\in\mathbb{D}$ » ; $\ P_4$ : « Tout rectangle est un losange ».

Voir la solution

$\sqrt{25}=5$ alors que $\sqrt{16}+\sqrt9=7$ : $P_1$ est fausse.
$91=7\times13$ : $P_2$ est fausse.
$\dfrac38=\dfrac{375}{1000}=0{,}375$ : $P_3$ est vraie.
Un rectangle de côtés $2$ et $5$ n’a pas ses quatre côtés égaux : $P_4$ est fausse.

2. Fonctions propositionnelles

Définition 2 : fonction propositionnelle

Une fonction propositionnelle est une phrase mathématique qui contient une ou plusieurs variables, chacune prise dans un ensemble donné. Elle devient une proposition dès qu’on remplace chaque variable par un élément de son ensemble. On la note $P(x)$ , $Q(x\,;y)$ , …

Exemple 2

Pour $x\in\mathbb{R}$ , la phrase $P(x)$ : « $x^2-5x+6=0$ » est une fonction propositionnelle. Elle n’est ni vraie ni fausse tant que $x$ n’est pas fixé : $P(2)$ est vraie car $4-10+6=0$ , et $P(0)$ est fausse car $6\neq0$ .

3. Quantificateurs

Définition 3 : quantificateurs

Soit $P(x)$ une fonction propositionnelle, où $x$ décrit un ensemble $E$ .

« $(\forall x\in E)\ P(x)$ » se lit « pour tout $x$ de $E$ , $P(x)$ ». Elle est vraie lorsque $P(x)$ est vraie pour chaque élément de $E$ . Le symbole $\forall$ est le quantificateur universel.
« $(\exists x\in E)\ P(x)$ » se lit « il existe au moins un $x$ de $E$ tel que $P(x)$ ». Elle est vraie dès qu’un élément de $E$ rend $P(x)$ vraie. Le symbole $\exists$ est le quantificateur existentiel.
« $(\exists!\, x\in E)\ P(x)$ » se lit « il existe un unique $x$ de $E$ tel que $P(x)$ ».

Exemple 3

Donner la valeur de vérité de : $P$ : « $(\forall x\in\mathbb{R})\ x^2+1>0$ » ; $\ Q$ : « $(\exists n\in\mathbb{N})\ 2n+1=6$ » ; $\ R$ : « $(\exists!\, x\in\mathbb{R})\ 3x-1=5$ ».

Voir la solution

Pour tout réel $x$ , $x^2\ge0$ donc $x^2+1\ge1>0$ : $P$ est vraie.
$2n+1=6\iff n=\dfrac52$ et $\dfrac52\notin\mathbb{N}$ : $Q$ est fausse.
$3x-1=5\iff x=2$ : l’équation a une seule solution réelle, donc $R$ est vraie.

Remarque

On peut échanger deux quantificateurs de même nature : $(\forall x)(\forall y)$ et $(\forall y)(\forall x)$ ont le même sens.
On ne peut pas, en général, échanger un « $\forall$ » et un « $\exists$ ». Dans $(\exists y)(\forall x)$ , le même $y$ doit convenir pour tous les $x$ , alors que dans $(\forall x)(\exists y)$ , $y$ peut dépendre de $x$ .

Exemple 4

Comparer les valeurs de vérité de $P$ : « $(\forall x\in\mathbb{R})(\exists y\in\mathbb{R})\ x+y=0$ » et de $Q$ : « $(\exists y\in\mathbb{R})(\forall x\in\mathbb{R})\ x+y=0$ ».

Voir la solution

$P$ est vraie : pour un réel $x$ donné, le réel $y=-x$ vérifie $x+y=0$ .
$Q$ est fausse : si un réel $y$ convenait pour tout $x$ , on aurait $0+y=0$ et $1+y=0$ , d’où $y=0$ et $y=-1$ , ce qui est impossible.

L’ordre des quantificateurs change donc le sens de la phrase.

Application

Donner la valeur de vérité de chacune des propositions suivantes : $P_1$ : « $(\forall x\in\mathbb{R})\ (x-3)^2\ge0$ » ; $\ P_2$ : « $(\exists x\in\mathbb{Z})\ x^2=7$ » ; $\ P_3$ : « $(\forall n\in\mathbb{N})\ n^2\ge n$ » ; $\ P_4$ : « $(\exists!\, x\in\mathbb{R})\ x^2=9$ ».

Voir la solution

$P_1$ est vraie : un carré est toujours positif ou nul.
$P_2$ est fausse : $2^2=4<7<9=3^2$ , donc aucun entier relatif n’a pour carré $7$ .
$P_3$ est vraie : $n^2-n=n(n-1)$ ; pour $n=0$ on obtient $0$ , et pour $n\ge1$ les deux facteurs sont positifs.
$P_4$ est fausse : $3$ et $-3$ sont deux solutions distinctes.

II. Négation d’une proposition

Définition 4 : négation

La négation d’une proposition $P$ , notée $\overline{P}$ (ou « non $P$ »), est la proposition qui est vraie lorsque $P$ est fausse et fausse lorsque $P$ est vraie.

$P$	$\overline{P}$
$V$	$F$
$F$	$V$

Propriété

La négation de « $(\forall x\in E)\ P(x)$ » est « $(\exists x\in E)\ \overline{P(x)}$ ».
La négation de « $(\exists x\in E)\ P(x)$ » est « $(\forall x\in E)\ \overline{P(x)}$ ».
La négation de « $a=b$ » est « $a\neq b$ » ; celle de « $a<b$ » est « $a\ge b$ » ; celle de « $a\le b$ » est « $a>b$ » ; celle de « $x\in A$ » est « $x\notin A$ ».

Méthode

Pour nier une proposition quantifiée, on remplace chaque $\forall$ par $\exists$ , chaque $\exists$ par $\forall$ , et on nie la phrase finale, sans changer les ensembles.

Exemple 5

Écrire la négation de $P$ : « $(\forall x\in\mathbb{R})\ x^2\ge x$ » et de $Q$ : « $(\exists n\in\mathbb{N})\ n^2=2n+3$ », puis préciser laquelle de chaque couple est vraie.

Voir la solution

$\overline{P}$ : « $(\exists x\in\mathbb{R})\ x^2<x$ ». Pour $x=\dfrac12$ : $x^2=\dfrac14<\dfrac12$ , donc $\overline{P}$ est vraie et $P$ est fausse.
$\overline{Q}$ : « $(\forall n\in\mathbb{N})\ n^2\neq2n+3$ ». Or $n^2-2n-3=(n-3)(n+1)$ s’annule pour $n=3\in\mathbb{N}$ ; donc $Q$ est vraie et $\overline{Q}$ est fausse.

Attention

La négation de « $x>0$ » n’est pas « $x<0$ » mais « $x\le0$ ».

Application

Écrire la négation de chacune des propositions suivantes : $A$ : « $(\forall x\in\mathbb{R})(\exists y\in\mathbb{R})\ y>x$ » ; $\ B$ : « $(\exists a\in\mathbb{R}^+)(\forall x\in\mathbb{R})\ |x|\le a$ » ; $\ C$ : « $(\forall n\in\mathbb{N})\ n+1\neq0$ ».

Voir la solution

$\overline{A}$ : « $(\exists x\in\mathbb{R})(\forall y\in\mathbb{R})\ y\le x$ ».
$\overline{B}$ : « $(\forall a\in\mathbb{R}^+)(\exists x\in\mathbb{R})\ |x|>a$ ».
$\overline{C}$ : « $(\exists n\in\mathbb{N})\ n+1=0$ ».

III. Opérations logiques sur deux propositions

Définition 5 : connecteurs logiques

Soient $P$ et $Q$ deux propositions.

La conjonction « $P$ et $Q$ » (notée $P\wedge Q$ ) est vraie seulement lorsque $P$ et $Q$ sont vraies toutes les deux.
La disjonction « $P$ ou $Q$ » (notée $P\vee Q$ ) est vraie dès que l’une au moins des deux est vraie.
L’implication « $P\Rightarrow Q$ » est la proposition « $\overline{P}$ ou $Q$ » : elle n’est fausse que lorsque $P$ est vraie et $Q$ fausse.
L’équivalence « $P\Leftrightarrow Q$ » est vraie lorsque $P$ et $Q$ ont la même valeur de vérité.

$P$	$Q$	$P$ et $Q$	$P$ ou $Q$	$P\Rightarrow Q$	$P\Leftrightarrow Q$
$V$	$V$	$V$	$V$	$V$	$V$
$V$	$F$	$F$	$V$	$F$	$F$
$F$	$V$	$F$	$V$	$V$	$F$
$F$	$F$	$F$	$F$	$V$	$V$

Remarque

$P\Rightarrow Q$ se lit « $P$ implique $Q$ », « si $P$ alors $Q$ », « pour avoir $Q$ , il suffit d’avoir $P$ » ou « pour avoir $P$ , il faut avoir $Q$ ».
L’implication $Q\Rightarrow P$ est la réciproque de $P\Rightarrow Q$ ; elles n’ont pas toujours la même valeur de vérité.
$P\Leftrightarrow Q$ se lit « $P$ si et seulement si $Q$ » ou « $P$ est une condition nécessaire et suffisante pour $Q$ ».

Exemple 6

Donner la valeur de vérité de : $A$ : « $(2<3)$ et $(\sqrt2\in\mathbb{Q})$ » ; $\ B$ : « $(2<3)$ ou $(\sqrt2\in\mathbb{Q})$ » ; $\ C$ : « $(1=2)\Rightarrow(\pi>4)$ » ; $\ D$ : « $(4$ est pair $)\Leftrightarrow(9$ est premier $)$ ».

Voir la solution

« $2<3$ » est vraie et « $\sqrt2\in\mathbb{Q}$ » est fausse : $A$ est fausse et $B$ est vraie.
« $1=2$ » est fausse ; une implication dont la première partie est fausse est vraie : $C$ est vraie.
« $4$ est pair » est vraie et « $9$ est premier » est fausse ( $9=3\times3$ ) : $D$ est fausse.

IV. Lois logiques

Définition 6 : loi logique

Une loi logique est une proposition composée à partir de propositions $P$ , $Q$ , $R$ , … qui est vraie quelles que soient les valeurs de vérité de $P$ , $Q$ , $R$ , …

Propriété

Pour toutes propositions $P$ , $Q$ et $R$ , les propositions suivantes sont des lois logiques :

$\overline{\overline{P}}\Leftrightarrow P$ ; $\quad P$ ou $\overline P$ (tiers exclu) ;
$\overline{(P\text{ et }Q)}\Leftrightarrow(\overline P\text{ ou }\overline Q)$ et $\overline{(P\text{ ou }Q)}\Leftrightarrow(\overline P\text{ et }\overline Q)$ (lois de Morgan) ;
$(P\Rightarrow Q)\Leftrightarrow(\overline Q\Rightarrow\overline P)$ (contraposée) ;
$\overline{(P\Rightarrow Q)}\Leftrightarrow(P\text{ et }\overline Q)$ ;
$(P\Leftrightarrow Q)\Leftrightarrow\big[(P\Rightarrow Q)\text{ et }(Q\Rightarrow P)\big]$ ;
$\big[(P\Rightarrow Q)\text{ et }(Q\Rightarrow R)\big]\Rightarrow(P\Rightarrow R)$ (transitivité) ;
$\big[P\text{ et }(Q\text{ ou }R)\big]\Leftrightarrow\big[(P\text{ et }Q)\text{ ou }(P\text{ et }R)\big]$ et $\big[P\text{ ou }(Q\text{ et }R)\big]\Leftrightarrow\big[(P\text{ ou }Q)\text{ et }(P\text{ ou }R)\big]$ (distributivité) ;
« et » et « ou » sont commutatifs et associatifs.

Exemple 7

À l’aide d’un tableau de vérité, montrer que $(P\Rightarrow Q)\Leftrightarrow(\overline Q\Rightarrow\overline P)$ est une loi logique.

Voir la solution

$P$	$Q$	$\overline P$	$\overline Q$	$P\Rightarrow Q$	$\overline Q\Rightarrow\overline P$
$V$	$V$	$F$	$F$	$V$	$V$
$V$	$F$	$F$	$V$	$F$	$F$
$F$	$V$	$V$	$F$	$V$	$V$
$F$	$F$	$V$	$V$	$V$	$V$

Les deux dernières colonnes sont identiques : l’équivalence est vraie dans tous les cas, c’est une loi logique.

Application

Montrer, à l’aide d’un tableau de vérité, que $\overline{(P\Rightarrow Q)}\Leftrightarrow(P\text{ et }\overline Q)$ est une loi logique. En déduire la négation de « $(\forall x\in\mathbb{R})\ x>1\Rightarrow x^2>1$ ».

Voir la solution

$P$	$Q$	$P\Rightarrow Q$	$\overline{(P\Rightarrow Q)}$	$\overline Q$	$P$ et $\overline Q$
$V$	$V$	$V$	$F$	$F$	$F$
$V$	$F$	$F$	$V$	$V$	$V$
$F$	$V$	$V$	$F$	$F$	$F$
$F$	$F$	$V$	$F$	$V$	$F$

Les colonnes 4 et 6 coïncident : c’est une loi logique.

Négation demandée : « $(\exists x\in\mathbb{R})\ x>1$ et $x^2\le1$ ».

V. Raisonnements mathématiques

1. Raisonnement par contre-exemple

Méthode

Pour montrer que « $(\forall x\in E)\ P(x)$ » est fausse, il suffit de trouver un élément $x_0$ de $E$ tel que $P(x_0)$ soit fausse : c’est un contre-exemple.

Exemple 8

Montrer que la proposition « $(\forall x\in\mathbb{R})\ \sqrt{x^2}=x$ » est fausse.

Voir la solution

Pour $x=-4$ : $\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4\neq-4$ . Ce contre-exemple montre que la proposition est fausse (en fait $\sqrt{x^2}=|x|$ ).

2. Raisonnement direct (déductif)

Méthode

Pour montrer que $P\Rightarrow Q$ est vraie, on suppose que $P$ est vraie et, par une suite de déductions, on prouve que $Q$ est vraie.

Exemple 9

Montrer que, pour tout réel $x$ : $|x-1|\le1\Rightarrow|2x+3|\le7$ .

Voir la solution

Soit $x\in\mathbb{R}$ tel que $|x-1|\le1$ . On écrit $2x+3=2(x-1)+5$ . Par l’inégalité triangulaire : $|2x+3|\le2|x-1|+5\le2\times1+5=7.$

3. Raisonnement par contraposée

Méthode

Puisque $(P\Rightarrow Q)\Leftrightarrow(\overline Q\Rightarrow\overline P)$ , pour montrer $P\Rightarrow Q$ on peut montrer que $\overline Q\Rightarrow\overline P$ .

Exemple 10

Soient $x$ et $y$ deux réels. Montrer que : $(x\neq y$ et $x+y\neq2)\Rightarrow x^2-2x\neq y^2-2y$ .

Voir la solution

On montre la contraposée : $x^2-2x=y^2-2y\Rightarrow(x=y$ ou $x+y=2)$ .

Si $x^2-2x=y^2-2y$ , alors $x^2-y^2-2(x-y)=0$ , soit $(x-y)(x+y-2)=0$ . Donc $x=y$ ou $x+y=2$ . La contraposée est vraie, donc l’implication l’est aussi.

Application

Soit $n\in\mathbb{N}$ . Montrer, par contraposée, que si $n^2$ est pair alors $n$ est pair.

Voir la solution

Contraposée : si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair.

Si $n=2k+1$ avec $k\in\mathbb{N}$ , alors $n^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$ , qui est impair. Donc « $n^2$ pair $\Rightarrow n$ pair ».

4. Raisonnement par équivalence

Méthode

Pour montrer que $P\Leftrightarrow Q$ , on peut :

montrer $P\Rightarrow Q$ puis la réciproque $Q\Rightarrow P$ ;
ou passer de $P$ à $Q$ par une chaîne d’équivalences $P\Leftrightarrow P_1\Leftrightarrow\cdots\Leftrightarrow Q$ , en vérifiant que chaque étape est réversible.

Exemple 11

Montrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}^*$ : $|x-2|<1\iff\dfrac13<\dfrac1x<1$ .

Voir la solution

$|x-2|<1\iff-1<x-2<1\iff1<x<3$ .
Si $1<x<3$ , alors $x>0$ et, la fonction inverse étant décroissante sur $]0\,;+\infty[$ : $\dfrac13<\dfrac1x<1$ .
Réciproquement, si $\dfrac13<\dfrac1x<1$ , alors $\dfrac1x>0$ donc $x>0$ , et en passant aux inverses : $1<x<3$ .

D’où l’équivalence.

5. Raisonnement par disjonction des cas

Méthode

Pour montrer une propriété, on peut séparer l’étude en plusieurs cas qui couvrent toutes les situations possibles et la démontrer dans chacun d’eux (loi : $[(P\Rightarrow R)$ et $(Q\Rightarrow R)]\Leftrightarrow[(P$ ou $Q)\Rightarrow R]$ ).

Exemple 12

Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , l’entier $n^2+3n$ est pair.

Voir la solution

On a $n^2+3n=n(n+3)$ .

Si $n$ est pair, le produit $n(n+3)$ est pair.
Si $n$ est impair, $n=2k+1$ et $n+3=2k+4=2(k+2)$ est pair, donc le produit est pair.

Dans tous les cas, $n^2+3n$ est pair.

6. Raisonnement par l’absurde

Méthode

Pour montrer que $P$ est vraie, on suppose que $\overline P$ est vraie et on en déduit une contradiction (une proposition à la fois vraie et fausse). Donc $P$ est vraie.

Exemple 13

Soit $n\in\mathbb{N}^*$ . Montrer par l’absurde que $\sqrt{n^2+1}\notin\mathbb{N}$ .

Voir la solution

Supposons que $m=\sqrt{n^2+1}\in\mathbb{N}$ . Comme $n^2<n^2+1<n^2+2n+1$ (car $n\ge1$ ), on a $n^2<m^2<(n+1)^2$ , donc $n<m<n+1$ .

Il n’existe aucun entier strictement compris entre deux entiers consécutifs : c’est une contradiction. Donc $\sqrt{n^2+1}\notin\mathbb{N}$ .

7. Raisonnement par récurrence

Propriété

Soit $P(n)$ une fonction propositionnelle de variable $n\in\mathbb{N}$ et $n_0\in\mathbb{N}$ . Si :

(initialisation) $P(n_0)$ est vraie ;
(hérédité) pour tout entier $n\ge n_0$ , $P(n)\Rightarrow P(n+1)$ ;

alors $P(n)$ est vraie pour tout entier $n\ge n_0$ .

Exemple 14

Montrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ : $1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$ .

Voir la solution

Initialisation. Pour $n=1$ : le membre de gauche vaut $1$ et $1^2=1$ .
Hérédité. Soit $n\ge1$ ; on suppose $1+3+\cdots+(2n-1)=n^2$ . Alors $1+3+\cdots+(2n-1)+(2n+1)=n^2+2n+1=(n+1)^2.$
Conclusion. Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ , $1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$ .

Application

Montrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $4^n-1$ est divisible par $3$ .

Voir la solution

Pour $n=0$ : $4^0-1=0=3\times0$ .
Soit $n\in\mathbb{N}$ tel que $4^n-1=3k$ avec $k\in\mathbb{N}$ . Alors $4^{n+1}-1=4\times4^n-1=4(3k+1)-1=12k+3=3(4k+1)$ , qui est divisible par $3$ .
Donc, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $3$ divise $4^n-1$ .

À retenir

$\overline{(\forall x)\,P(x)}\Leftrightarrow(\exists x)\,\overline{P(x)}$ et $\overline{(\exists x)\,P(x)}\Leftrightarrow(\forall x)\,\overline{P(x)}$ .
$P\Rightarrow Q$ n’est fausse que si $P$ est vraie et $Q$ fausse ; sa négation est « $P$ et $\overline Q$ ».
Choisir le raisonnement adapté : contre-exemple (réfuter un « pour tout »), direct, contraposée, équivalence, disjonction des cas, absurde, récurrence (propriété d’un entier $n$ ).

Série d’exercices

Exercice 1 — Quantificateurs et négation Facile ★☆☆☆☆

On considère les propositions suivantes :

$P_1$ : « $(\forall x\in\mathbb{R})\ x^2-2x+1\ge0$ » ; $\quad P_2$ : « $(\exists x\in\mathbb{Z})\ x^2=5$ » ;
$P_3$ : « $(\forall n\in\mathbb{N})\ n^2+n+41$ est un nombre premier » ; $\quad P_4$ : « $(\forall x\in\mathbb{R})(\exists y\in\mathbb{R})\ y^2=x$ » ;
$P_5$ : « $(\exists y\in\mathbb{R})(\forall x\in\mathbb{R})\ x+y>x$ » ; $\quad P_6$ : « $(\exists!\, x\in\mathbb{R})\ x^3=8$ ».

Donner la valeur de vérité de chacune de ces propositions, en justifiant.
Écrire la négation de chacune d’elles.

Voir la solution

$P_1$ est vraie : $x^2-2x+1=(x-1)^2\ge0$ pour tout réel $x$ .
$P_2$ est fausse : $2^2=4<5<9=3^2$ , aucun entier n’a pour carré $5$ .
$P_3$ est fausse : pour $n=40$ , $40^2+40+41=1681=41^2$ n’est pas premier.
$P_4$ est fausse : pour $x=-1$ , aucun réel $y$ ne vérifie $y^2=-1$ .
$P_5$ est vraie : $y=1$ convient, car $x+1>x$ pour tout réel $x$ .
$P_6$ est vraie : $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$ et $x^2+2x+4=(x+1)^2+3>0$ , donc $x=2$ est l’unique solution.

$\overline{P_1}$ : « $(\exists x\in\mathbb{R})\ x^2-2x+1<0$ » ; $\ \overline{P_2}$ : « $(\forall x\in\mathbb{Z})\ x^2\neq5$ » ;
$\overline{P_3}$ : « $(\exists n\in\mathbb{N})\ n^2+n+41$ n’est pas premier » ; $\ \overline{P_4}$ : « $(\exists x\in\mathbb{R})(\forall y\in\mathbb{R})\ y^2\neq x$ » ;
$\overline{P_5}$ : « $(\forall y\in\mathbb{R})(\exists x\in\mathbb{R})\ x+y\le x$ » ;
$\overline{P_6}$ : « l’équation $x^3=8$ n’a aucune solution réelle, ou en a au moins deux ».

Exercice 2 — Connecteurs logiques Facile ★☆☆☆☆

Donner la valeur de vérité de chacune des propositions :
- $A$ : « $(\sqrt9=3)$ et $(-2>-3)$ » ; $\ B$ : « $(\pi\in\mathbb{Q})$ ou $(0\in\mathbb{N}^*)$ » ;
- $C$ : « $(2+2=5)\Rightarrow(7$ est pair $)$ » ; $\ D$ : « $(15$ est multiple de $5)\Rightarrow(15$ est multiple de $10)$ » ;
- $E$ : « $(x^2=4)\Leftrightarrow(x=2)$ », pour $x=-2$ .
Soit $x\in\mathbb{R}$ . Écrire la réciproque et la contraposée de l’implication « $x>2\Rightarrow x^2>4$ », puis donner la valeur de vérité de chacune d’elles pour tout $x$ réel.

Voir la solution

$A$ : « $\sqrt9=3$ » et « $-2>-3$ » sont vraies, donc $A$ est vraie.
$B$ : $\pi\notin\mathbb{Q}$ et $0\notin\mathbb{N}^*$ , donc $B$ est fausse.
$C$ : « $2+2=5$ » est fausse, donc l’implication $C$ est vraie.
$D$ : « $15$ est multiple de $5$ » est vraie et « $15$ est multiple de $10$ » est fausse, donc $D$ est fausse.
$E$ : pour $x=-2$ , « $x^2=4$ » est vraie et « $x=2$ » est fausse, donc $E$ est fausse.

Réciproque : « $x^2>4\Rightarrow x>2$ ». Elle est fausse pour certains $x$ : pour $x=-3$ , on a $x^2=9>4$ mais $-3\le2$ .
Contraposée : « $x^2\le4\Rightarrow x\le2$ ». Elle est vraie pour tout $x$ , comme l’implication de départ : si $x>2$ , alors $x^2>2x>4$ .

Exercice 3 — Lois logiques Facile ★★☆☆☆

Soient $P$ , $Q$ et $R$ trois propositions. À l’aide de tableaux de vérité, montrer que les propositions suivantes sont des lois logiques :

$\big[P\text{ et }(P\Rightarrow Q)\big]\Rightarrow Q$ ;
$\big[(P\text{ ou }Q)\text{ et }\overline P\big]\Rightarrow Q$ ;
$\big[(P\Rightarrow R)\text{ et }(Q\Rightarrow R)\big]\Leftrightarrow\big[(P\text{ ou }Q)\Rightarrow R\big]$ .

Voir la solution

$P$	$Q$	$P\Rightarrow Q$	$P$ et $(P\Rightarrow Q)$	$[P$ et $(P\Rightarrow Q)]\Rightarrow Q$
$V$	$V$	$V$	$V$	$V$
$V$	$F$	$F$	$F$	$V$
$F$	$V$	$V$	$F$	$V$
$F$	$F$	$V$	$F$	$V$

La dernière colonne ne contient que $V$ : c’est une loi logique.

$P$	$Q$	$P$ ou $Q$	$\overline P$	$(P$ ou $Q)$ et $\overline P$	Implication
$V$	$V$	$V$	$F$	$F$	$V$
$V$	$F$	$V$	$F$	$F$	$V$
$F$	$V$	$V$	$V$	$V$	$V$
$F$	$F$	$F$	$V$	$F$	$V$

C’est une loi logique.

3) On note $S$ : « $(P\Rightarrow R)$ et $(Q\Rightarrow R)$ » et $T$ : « $(P$ ou $Q)\Rightarrow R$ ».

$P$	$Q$	$R$	$P\Rightarrow R$	$Q\Rightarrow R$	$S$	$P$ ou $Q$	$T$
$V$	$V$	$V$	$V$	$V$	$V$	$V$	$V$
$V$	$V$	$F$	$F$	$F$	$F$	$V$	$F$
$V$	$F$	$V$	$V$	$V$	$V$	$V$	$V$
$V$	$F$	$F$	$F$	$V$	$F$	$V$	$F$
$F$	$V$	$V$	$V$	$V$	$V$	$V$	$V$
$F$	$V$	$F$	$V$	$F$	$F$	$V$	$F$
$F$	$F$	$V$	$V$	$V$	$V$	$F$	$V$
$F$	$F$	$F$	$V$	$V$	$V$	$F$	$V$

Les colonnes $S$ et $T$ sont identiques, donc $S\Leftrightarrow T$ est une loi logique (c’est le principe de la disjonction des cas).

Exercice 4 — Contre-exemple Facile ★☆☆☆☆

Montrer que chacune des propositions suivantes est fausse :

$(\forall a\in\mathbb{R})(\forall b\in\mathbb{R})\ a^2=b^2\Rightarrow a=b$ ;
$(\forall x\in\mathbb{R})\ x<1\Rightarrow x^2<1$ ;
$(\forall n\in\mathbb{N})\ 2^n>n^2$ ;
$(\forall x\in\mathbb{R}^*)\ x+\dfrac1x\ge2$ .

Voir la solution

1) Pour $a=1$ et $b=-1$ : $a^2=b^2=1$ , mais $a\neq b$ .

2) Pour $x=-2$ : $x<1$ , mais $x^2=4\ge1$ .

3) Pour $n=3$ : $2^3=8$ et $3^2=9$ , donc $2^n>n^2$ est fausse (c’est aussi le cas pour $n=2$ , où $4>4$ est faux).

4) Pour $x=-1$ : $x+\dfrac1x=-2<2$ .

Exercice 5 — Raisonnement direct Facile ★★☆☆☆

Montrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}$ : $x^2+x+1>0$ .
a) Montrer que, pour tous réels $a$ et $b$ : $a^2+b^2\ge2ab$ . b) En déduire que, pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$ : $\dfrac ab+\dfrac ba\ge2$ .
Montrer que, pour tout $x\in[1\,;3]$ : $|x^2-4x+3|\le1$ .

Voir la solution

1) Pour tout réel $x$ : $x^2+x+1=\left(x+\dfrac12\right)^2+\dfrac34\ge\dfrac34>0$ .

2) a) $a^2+b^2-2ab=(a-b)^2\ge0$ , donc $a^2+b^2\ge2ab$ .

b) Soient $a>0$ et $b>0$ . D’après a), $a^2+b^2\ge2ab$ . En divisant par $ab>0$ : $\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac ab+\frac ba\ge2.$

3) On a $x^2-4x+3=(x-2)^2-1$ . Si $1\le x\le3$ , alors $-1\le x-2\le1$ , donc $0\le(x-2)^2\le1$ , d’où $-1\le x^2-4x+3\le0,$ et par suite $|x^2-4x+3|\le1$ .

Exercice 6 — Contraposée Facile ★★☆☆☆

Soit $n\in\mathbb{N}$ . Montrer que si $n^2$ est un multiple de $3$ , alors $n$ est un multiple de $3$ .
Soient $x$ et $y$ deux réels de $[1\,;+\infty[$ . Montrer que : $x\neq y\Rightarrow x^2-2x\neq y^2-2y$ .
Soit $a\in\mathbb{R}$ . Montrer que : si $|a|\le\varepsilon$ pour tout réel $\varepsilon>0$ , alors $a=0$ .

Voir la solution

1) Contraposée : si $n$ n’est pas un multiple de $3$ , alors $n^2$ n’en est pas un.

Si $n$ n’est pas multiple de $3$ , alors $n=3k+1$ ou $n=3k+2$ , avec $k\in\mathbb{N}$ .

$n=3k+1$ : $n^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1$ .
$n=3k+2$ : $n^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1$ .

Dans les deux cas, le reste de la division de $n^2$ par $3$ est $1$ : $n^2$ n’est pas multiple de $3$ .

2) Contraposée : si $x^2-2x=y^2-2y$ , alors $x=y$ .

On a $x^2-2x-(y^2-2y)=(x-y)(x+y-2)=0$ , donc $x=y$ ou $x+y=2$ .

Or $x\ge1$ et $y\ge1$ , donc $x+y\ge2$ ; l’égalité $x+y=2$ impose $x=y=1$ . Dans tous les cas $x=y$ .

3) Contraposée : si $a\neq0$ , il existe $\varepsilon>0$ tel que $|a|>\varepsilon$ .

Si $a\neq0$ , on prend $\varepsilon=\dfrac{|a|}{2}>0$ : on a bien $|a|>\dfrac{|a|}2=\varepsilon$ .

Exercice 7 — Équivalence Facile ★★☆☆☆

Montrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}$ : $|x-3|\le2\iff(x-1)(x-5)\le0$ .
Soient $a$ et $b$ deux réels positifs. Montrer que : $a+b=2\sqrt{ab}\iff a=b$ .
Montrer que, pour tout $x\in\,]0\,;+\infty[$ : $x+\dfrac4x=4\iff x=2$ .

Voir la solution

$|x-3|\le2\iff-2\le x-3\le2\iff1\le x\le5$ .
Le trinôme $(x-1)(x-5)$ a pour racines $1$ et $5$ et pour coefficient dominant $1>0$ ; il est négatif ou nul exactement entre ses racines : $(x-1)(x-5)\le0\iff1\le x\le5$ .

D’où l’équivalence.

2) Comme $a\ge0$ et $b\ge0$ : $a+b=2\sqrt{ab}\iff(\sqrt a)^2-2\sqrt a\sqrt b+(\sqrt b)^2=0\iff(\sqrt a-\sqrt b)^2=0\iff\sqrt a=\sqrt b\iff a=b.$

3) Pour $x>0$ : $x+\frac4x=4\iff x^2+4=4x\iff x^2-4x+4=0\iff(x-2)^2=0\iff x=2.$

Exercice 8 — Disjonction des cas Facile ★★☆☆☆

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $|x-2|=2x-1$ .
Montrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}$ : $|x-1|+|x+1|\ge2$ .
Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , l’entier $n(n+1)(2n+1)$ est divisible par $3$ .

Voir la solution

Cas $x\ge2$ : l’équation devient $x-2=2x-1$ , soit $x=-1$ . Or $-1<2$ : pas de solution dans ce cas.
Cas $x<2$ : l’équation devient $2-x=2x-1$ , soit $x=1$ , qui vérifie bien $1<2$ .

Donc $S=\{1\}$ . Vérification : $|1-2|=1=2\times1-1$ .

Si $x\ge1$ : $|x-1|+|x+1|=(x-1)+(x+1)=2x\ge2$ .
Si $-1\le x<1$ : $|x-1|+|x+1|=(1-x)+(x+1)=2$ .
Si $x<-1$ : $|x-1|+|x+1|=(1-x)+(-x-1)=-2x>2$ .

Dans tous les cas, $|x-1|+|x+1|\ge2$ .

3) On distingue les trois restes possibles de la division de $n$ par $3$ ( $k\in\mathbb{N}$ ) :

$n=3k$ : le facteur $n$ est divisible par $3$ .
$n=3k+1$ : $2n+1=6k+3=3(2k+1)$ est divisible par $3$ .
$n=3k+2$ : $n+1=3k+3=3(k+1)$ est divisible par $3$ .

Dans tous les cas, $3$ divise $n(n+1)(2n+1)$ .

Exercice 9 — Raisonnement par l’absurde Moyen ★★★☆☆

On admet que $\sqrt2\notin\mathbb{Q}$ .

Montrer que $3-2\sqrt2\notin\mathbb{Q}$ .
Soit $n\in\mathbb{N}^*$ . Montrer que $\sqrt{n^2+2n}\notin\mathbb{N}$ .
Soient $a$ et $b$ deux réels positifs tels que $\dfrac{a}{1+b}=\dfrac{b}{1+a}$ . Montrer par l’absurde que $a=b$ .

Voir la solution

1) Supposons que $r=3-2\sqrt2\in\mathbb{Q}$ . Alors $\sqrt2=\dfrac{3-r}{2}$ serait rationnel (différence et quotient de rationnels), ce qui contredit $\sqrt2\notin\mathbb{Q}$ . Donc $3-2\sqrt2\notin\mathbb{Q}$ .

2) Supposons que $m=\sqrt{n^2+2n}\in\mathbb{N}$ . Comme $n\ge1$ : $n^2<n^2+2n<n^2+2n+1=(n+1)^2,$ donc $n^2<m^2<(n+1)^2$ , puis $n<m<n+1$ (tous ces nombres sont positifs). Aucun entier n’est strictement compris entre $n$ et $n+1$ : contradiction. Donc $\sqrt{n^2+2n}\notin\mathbb{N}$ .

3) Supposons $a\neq b$ . L’égalité donne $a(1+a)=b(1+b)$ , soit $a^2-b^2+a-b=0\iff(a-b)(a+b+1)=0.$ Comme $a\neq b$ , on aurait $a+b+1=0$ , ce qui est impossible car $a+b+1\ge1$ . Donc $a=b$ .

Exercice 10 — Récurrence Moyen ★★★☆☆

Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ : $1^2+2^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ .
Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $5^n-1$ est divisible par $4$ .
Montrer que, pour tout entier $n\ge4$ : $2^n\ge n^2$ .

Voir la solution

1) Soit $P(n)$ : « $1^2+2^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6$ ».

Pour $n=1$ : $1^2=1$ et $\dfrac{1\times2\times3}6=1$ .
Supposons $P(n)$ vraie pour un $n\ge1$ . Alors $1^2+\cdots+n^2+(n+1)^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6+(n+1)^2=\frac{(n+1)\big(2n^2+7n+6\big)}{6}=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6},$ ce qui est $P(n+1)$ .
Donc $P(n)$ est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ .

Pour $n=0$ : $5^0-1=0$ est divisible par $4$ .
Supposons $5^n-1=4k$ avec $k\in\mathbb{N}$ . Alors $5^{n+1}-1=5(4k+1)-1=20k+4=4(5k+1)$ .
Donc $4$ divise $5^n-1$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ .

Pour $n=4$ : $2^4=16=4^2$ .
Supposons $2^n\ge n^2$ pour un entier $n\ge4$ . Alors $2^{n+1}\ge2n^2$ . Or $2n^2-(n+1)^2=n^2-2n-1=(n-1)^2-2\ge3^2-2>0,$ donc $2^{n+1}\ge2n^2>(n+1)^2$ .
Donc $2^n\ge n^2$ pour tout entier $n\ge4$ .

Exercice 11 — Approfondissement Moyen ★★★☆☆

Soit $a\ge0$ . Montrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $(1+a)^n\ge1+na$ .
En déduire que $(1{,}01)^{100}\ge2$ .
Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ : $\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}.$
En déduire que la proposition « $(\exists n\in\mathbb{N}^*)\ \dfrac{1}{1\times2}+\cdots+\dfrac{1}{n(n+1)}\ge1$ » est fausse.

Voir la solution

Pour $n=0$ : $(1+a)^0=1=1+0\times a$ .
Supposons $(1+a)^n\ge1+na$ . Comme $1+a>0$ : $(1+a)^{n+1}\ge(1+na)(1+a)=1+(n+1)a+na^2\ge1+(n+1)a.$
Donc $(1+a)^n\ge1+na$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ .

2) Avec $a=0{,}01$ et $n=100$ : $(1{,}01)^{100}\ge1+100\times0{,}01=2$ .

Pour $n=1$ : $\dfrac1{1\times2}=\dfrac12=\dfrac1{1+1}$ .
Supposons la formule vraie au rang $n$ . Alors $\frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}=\frac{(n+1)^2}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1}{n+2}.$
La formule est donc vraie pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ .

4) Sa négation est « $(\forall n\in\mathbb{N}^*)\ \dfrac1{1\times2}+\cdots+\dfrac1{n(n+1)}<1$ ». Elle est vraie, car d’après 3) cette somme vaut $\dfrac{n}{n+1}<1$ . La proposition donnée est donc fausse.

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$P$	$Q$	$P$ et $Q$	$P$ ou $Q$	$P\Rightarrow Q$	$P\Leftrightarrow Q$
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$P$	$Q$	$\overline P$	$\overline Q$	$P\Rightarrow Q$	$\overline Q\Rightarrow\overline P$
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