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Chapitre 2 — Généralités sur les fonctions numériques

Cours

Plan du chapitre. I. Ensemble de définition — II. Parité — III. Variations — IV. Fonctions majorées, minorées, extremums — V. Fonctions de référence — VI. Résolution graphique — VII. Image d’un intervalle — VIII. Composée de deux fonctions — IX. Fonctions périodiques.

I. Ensemble de définition d’une fonction numérique

Définition 1

Une fonction numérique $f$ d’une variable réelle associe à chaque réel $x$ d’un ensemble $D_f$ un unique réel noté $f(x)$ , appelé image de $x$ . Si $f(x)=y$ , on dit que $x$ est un antécédent de $y$ .

L’ensemble $D_f$ des réels $x$ pour lesquels $f(x)$ existe est l’ensemble de définition de $f$ .

Propriété

Soient $P$ et $Q$ deux fonctions polynômes.

Forme de $f(x)$	Condition d’existence	Ensemble de définition
$P(x)$	aucune	$D_f=\mathbb{R}$
$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$	$Q(x)\neq0$	$D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ Q(x)\neq0\}$
$\sqrt{P(x)}$	$P(x)\ge0$	$D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ P(x)\ge0\}$
$\dfrac{P(x)}{\sqrt{Q(x)}}$	$Q(x)>0$	$D_f=\{x\in\mathbb{R}\ /\ Q(x)>0\}$

Exemple 1

Déterminer l’ensemble de définition de chacune des fonctions : $f(x)=\dfrac{2x+1}{x^2-9}$ ; $\quad g(x)=\sqrt{4-2x}$ ; $\quad h(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-x}}$ .

Voir la solution

$x^2-9=0\iff x=3$ ou $x=-3$ , donc $D_f=\mathbb{R}\setminus\{-3\,;3\}$ .
$4-2x\ge0\iff x\le2$ , donc $D_g=\,]-\infty\,;2]$ .
$x^2-x=x(x-1)>0\iff x<0$ ou $x>1$ (tableau de signes), donc $D_h=\,]-\infty\,;0[\,\cup\,]1\,;+\infty[$ .

Application

Déterminer l’ensemble de définition de : $f(x)=\dfrac{x-1}{|x|-3}$ ; $\ g(x)=\sqrt{x^2-4}$ ; $\ h(x)=\dfrac{\sqrt{x+2}}{x-1}$ .

Voir la solution

$|x|-3=0\iff x=\pm3$ : $D_f=\mathbb{R}\setminus\{-3\,;3\}$ .
$x^2-4\ge0\iff x\le-2$ ou $x\ge2$ : $D_g=\,]-\infty\,;-2]\cup[2\,;+\infty[$ .
Il faut $x+2\ge0$ et $x-1\neq0$ : $D_h=[-2\,;1[\,\cup\,]1\,;+\infty[$ .

II. Fonctions paires, fonctions impaires

Définition 2

Soit $f$ une fonction d’ensemble de définition $D_f$ .

$f$ est paire si : pour tout $x\in D_f$ , $-x\in D_f$ et $f(-x)=f(x)$ .
$f$ est impaire si : pour tout $x\in D_f$ , $-x\in D_f$ et $f(-x)=-f(x)$ .

Propriété

Dans un repère orthogonal :

$f$ est paire si et seulement si sa courbe $(C_f)$ est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ;
$f$ est impaire si et seulement si $(C_f)$ est symétrique par rapport à l’origine $O$ .

Attention

La première condition (« $D_f$ symétrique par rapport à $0$ ») est à vérifier en premier : la fonction $x\mapsto x^2$ définie sur $[-1\,;2]$ n’est ni paire ni impaire.

Exemple 2

Étudier la parité des fonctions $f(x)=x^4-3x^2$ , $\ g(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$ et $\ h(x)=x^2+x$ .

Voir la solution

$D_f=\mathbb{R}$ et $f(-x)=(-x)^4-3(-x)^2=x^4-3x^2=f(x)$ : $f$ est paire.
$D_g=\mathbb{R}$ et $g(-x)=\dfrac{-x}{x^2+1}=-g(x)$ : $g$ est impaire.
$h(1)=2$ et $h(-1)=0$ : on a $h(-1)\neq h(1)$ et $h(-1)\neq-h(1)$ , donc $h$ n’est ni paire ni impaire.

Application

Étudier la parité de : $f(x)=\sqrt{9-x^2}$ ; $\ g(x)=x|x|$ ; $\ h(x)=\dfrac{1}{x-1}$ .

Voir la solution

$D_f=[-3\,;3]$ est symétrique et $f(-x)=\sqrt{9-x^2}=f(x)$ : $f$ est paire.
$D_g=\mathbb{R}$ et $g(-x)=-x|-x|=-x|x|=-g(x)$ : $g$ est impaire.
$D_h=\mathbb{R}\setminus\{1\}$ : $-1\in D_h$ mais $1\notin D_h$ , donc $D_h$ n’est pas symétrique et $h$ n’est ni paire ni impaire.

III. Variations d’une fonction numérique

Définition 3

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ .

$f$ est croissante sur $I$ si : pour tous $a,b\in I$ , $a<b\Rightarrow f(a)\le f(b)$ ;
$f$ est décroissante sur $I$ si : pour tous $a,b\in I$ , $a<b\Rightarrow f(a)\ge f(b)$ ;
$f$ est constante sur $I$ si : pour tous $a,b\in I$ , $f(a)=f(b)$ .

On parle de fonction strictement croissante (ou décroissante) avec des inégalités strictes. Une fonction croissante sur $I$ ou décroissante sur $I$ est dite monotone sur $I$ .

Propriété

Le taux de variation de $f$ entre deux réels distincts $a$ et $b$ de $I$ est $T(a\,;b)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ .

Si $T(a\,;b)\ge0$ (resp. $>0$ ) pour tous $a\neq b$ de $I$ , $f$ est croissante (resp. strictement croissante) sur $I$ .
Si $T(a\,;b)\le0$ (resp. $<0$ ) pour tous $a\neq b$ de $I$ , $f$ est décroissante (resp. strictement décroissante) sur $I$ .

Exemple 3

À l’aide du taux de variation, étudier les variations de $f(x)=x^2-2x$ sur $]-\infty\,;1]$ et sur $[1\,;+\infty[$ .

Voir la solution

Pour $a\neq b$ : $T(a\,;b)=\dfrac{(b^2-2b)-(a^2-2a)}{b-a}=\dfrac{(b-a)(b+a)-2(b-a)}{b-a}=a+b-2$ .

Si $a,b\in\,]-\infty\,;1]$ avec $a\neq b$ , alors $a+b<2$ , donc $T<0$ : $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;1]$ .
Si $a,b\in[1\,;+\infty[$ avec $a\neq b$ , alors $a+b>2$ , donc $T>0$ : $f$ est strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$ .

$x$	$-\infty$		$1$		$+\infty$
$f(x)$		$\searrow$	$-1$	$\nearrow$

Propriété

Soit $f$ une fonction paire ou impaire et $I$ un intervalle inclus dans $[0\,;+\infty[$ . On note $I'$ le symétrique de $I$ par rapport à $0$ .

Si $f$ est paire, ses variations sur $I'$ sont contraires à ses variations sur $I$ .
Si $f$ est impaire, elle a les mêmes variations sur $I$ et sur $I'$ .

Application

Étudier les variations de $f(x)=\dfrac{1}{x+2}$ sur chacun des intervalles $]-2\,;+\infty[$ et $]-\infty\,;-2[$ .

Voir la solution

Pour $a\neq b$ dans $D_f$ : $f(b)-f(a)=\dfrac{(a+2)-(b+2)}{(a+2)(b+2)}=\dfrac{a-b}{(a+2)(b+2)}$ , donc $T(a\,;b)=\dfrac{-1}{(a+2)(b+2)}$ .

Sur chacun des deux intervalles, $a+2$ et $b+2$ ont le même signe, donc $(a+2)(b+2)>0$ et $T<0$ : $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;-2[$ et sur $]-2\,;+\infty[$ .

IV. Fonctions majorées, minorées, bornées — Extremums

Définition 4

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ .

$f$ est majorée sur $I$ s’il existe un réel $M$ tel que $f(x)\le M$ pour tout $x\in I$ ;
$f$ est minorée sur $I$ s’il existe un réel $m$ tel que $f(x)\ge m$ pour tout $x\in I$ ;
$f$ est bornée sur $I$ si elle est à la fois majorée et minorée sur $I$ .
$f(a)$ , avec $a\in I$ , est le maximum de $f$ sur $I$ si $f(x)\le f(a)$ pour tout $x\in I$ , et le minimum si $f(x)\ge f(a)$ pour tout $x\in I$ . Un maximum ou un minimum est un extremum.

Exemple 4

Soit $f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$ , définie sur $\mathbb{R}$ . Montrer que $f$ est bornée par $-1$ et $1$ , et que $1$ est le maximum et $-1$ le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

Voir la solution

Pour tout réel $x$ : $1-f(x)=\frac{x^2-2x+1}{x^2+1}=\frac{(x-1)^2}{x^2+1}\ge0\quad\text{et}\quad f(x)+1=\frac{(x+1)^2}{x^2+1}\ge0.$ Donc $-1\le f(x)\le1$ . De plus $f(1)=1$ et $f(-1)=-1$ : $1$ est le maximum de $f$ (atteint en $1$ ) et $-1$ son minimum (atteint en $-1$ ).

Application

Montrer que $f(x)=x^2-4x+5$ admet un minimum sur $\mathbb{R}$ que l’on précisera.
Montrer que $g(x)=\sqrt{9-x^2}$ est bornée sur $[-3\,;3]$ .

Voir la solution

1) $f(x)=(x-2)^2+1\ge1$ et $f(2)=1$ : le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$ est $1$ , atteint en $x=2$ .

2) Pour $x\in[-3\,;3]$ : $0\le9-x^2\le9$ , donc $0\le g(x)\le3$ . $g$ est bornée ; son minimum est $0=g(\pm3)$ et son maximum est $3=g(0)$ .

V. Fonctions de référence

1. La fonction $x\mapsto ax^2+bx+c$ ( $a\neq0$ )

Propriété

Soit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$ . On peut l’écrire sous la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$ .

Sa courbe est une parabole de sommet $S(\alpha\,;\beta)$ et d’axe de symétrie la droite d’équation $x=\alpha$ .
Si $a>0$ : $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;\alpha]$ , croissante sur $[\alpha\,;+\infty[$ , et $\beta$ est son minimum.
Si $a<0$ : $f$ est croissante sur $]-\infty\,;\alpha]$ , décroissante sur $[\alpha\,;+\infty[$ , et $\beta$ est son maximum.

Exemple 5

Soit $f(x)=x^2-4x+3$ . Écrire $f(x)$ sous forme canonique, dresser le tableau de variations de $f$ et tracer sa courbe.

Voir la solution

$f(x)=(x-2)^2-4+3=(x-2)^2-1$ . Ici $a=1>0$ , $\alpha=2$ et $\beta=-1$ .

$x$	$-\infty$		$2$		$+\infty$
$f(x)$		$\searrow$	$-1$	$\nearrow$

La parabole a pour sommet $S(2\,;-1)$ et pour axe $x=2$ ; elle coupe l’axe des abscisses en $1$ et $3$ ( $f(x)=(x-1)(x-3)$ ) et l’axe des ordonnées en $3$ .

2. La fonction homographique $x\mapsto\dfrac{ax+b}{cx+d}$ ( $c\neq0$ , $ad-bc\neq0$ )

Propriété

Soit $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ avec $c\neq0$ et $ad-bc\neq0$ . On a $D_f=\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac dc\right\}$ et $f(x)$ s’écrit $f(x)=\beta+\dfrac{k}{x-\alpha}$ , avec $\alpha=-\dfrac dc$ et $\beta=\dfrac ac$ .

Sa courbe est une hyperbole de centre de symétrie $\Omega(\alpha\,;\beta)$ et d’asymptotes les droites d’équations $x=\alpha$ et $y=\beta$ .
Si $ad-bc>0$ , $f$ est strictement croissante sur chacun des intervalles $]-\infty\,;\alpha[$ et $]\alpha\,;+\infty[$ ; si $ad-bc<0$ , elle est strictement décroissante sur chacun d’eux.

Exemple 6

Soit $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$ . Montrer que $f(x)=2+\dfrac{3}{x-1}$ , puis donner le centre de sa courbe, ses variations et tracer cette courbe.

Voir la solution

Pour $x\neq1$ : $2+\dfrac3{x-1}=\dfrac{2(x-1)+3}{x-1}=\dfrac{2x+1}{x-1}=f(x)$ .

Centre : $\Omega(1\,;2)$ ; asymptotes : $x=1$ et $y=2$ . Ici $ad-bc=2\times(-1)-1\times1=-3<0$ : $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;1[$ et sur $]1\,;+\infty[$ .

$x$	$-\infty$		$1$		$+\infty$
$f(x)$		$\searrow$	$\Vert$	$\searrow$

3. Les fonctions $x\mapsto\sqrt{x+a}$ et $x\mapsto ax^3$

Propriété

La fonction $x\mapsto\sqrt{x+a}$ est définie et strictement croissante sur $[-a\,;+\infty[$ ; sa courbe s’obtient à partir de celle de $x\mapsto\sqrt x$ par la translation de vecteur $-a\,\vec\imath$ .
La fonction $x\mapsto ax^3$ ( $a\neq0$ ) est impaire. Elle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ si $a>0$ , strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ si $a<0$ .

4. Les fonctions $f+c$ et $c\,f$

Propriété

Soit $f$ une fonction monotone sur un intervalle $I$ et $c$ un réel.

$x\mapsto f(x)+c$ a les mêmes variations que $f$ sur $I$ ; sa courbe est l’image de $(C_f)$ par la translation de vecteur $c\,\vec\jmath$ .
Si $c>0$ , $x\mapsto c\,f(x)$ a les mêmes variations que $f$ sur $I$ ; si $c<0$ , elle a les variations contraires.

Exemple 7

Sachant que $u:x\mapsto x^2$ est décroissante sur $]-\infty\,;0]$ et croissante sur $[0\,;+\infty[$ , déterminer les variations de $f(x)=-3x^2+2$ .

Voir la solution

$f=-3u+2$ . Comme $-3<0$ , $-3u$ est croissante sur $]-\infty\,;0]$ et décroissante sur $[0\,;+\infty[$ ; ajouter $2$ ne change pas les variations. Donc $f$ est croissante sur $]-\infty\,;0]$ et décroissante sur $[0\,;+\infty[$ , avec un maximum $f(0)=2$ .

VI. Résolution graphique d’équations et d’inéquations

Propriété

Soient $f$ et $g$ deux fonctions de courbes $(C_f)$ et $(C_g)$ , et $k$ un réel.

Les solutions de $f(x)=k$ sont les abscisses des points d’intersection de $(C_f)$ avec la droite d’équation $y=k$ .
Les solutions de $f(x)=g(x)$ sont les abscisses des points d’intersection de $(C_f)$ et $(C_g)$ .
Les solutions de $f(x)\le g(x)$ sont les abscisses des points de $(C_f)$ situés sous ou sur $(C_g)$ ; celles de $f(x)<g(x)$ , des points strictement en dessous.

Exemple 8

Soient $f(x)=x^2-2x-3$ et $g(x)=x-3$ . Résoudre algébriquement puis graphiquement $f(x)=g(x)$ et $f(x)\le g(x)$ .

Voir la solution

$f(x)-g(x)=x^2-3x=x(x-3)$ .

$f(x)=g(x)\iff x=0$ ou $x=3$ : $S=\{0\,;3\}$ .
$f(x)\le g(x)\iff x(x-3)\le0\iff0\le x\le3$ : $S=[0\,;3]$ .

Graphiquement, la parabole $(C_f)$ et la droite $(\Delta)$ d’équation $y=x-3$ se coupent aux points d’abscisses $0$ et $3$ , et $(C_f)$ est sous $(\Delta)$ entre ces deux abscisses (segment vert).

VII. Image d’un intervalle par une fonction

Définition

L’image d’un intervalle $I\subset D_f$ par $f$ est l’ensemble $f(I)=\{f(x)\ /\ x\in I\}$ .

Propriété

Soit $f$ une fonction continue (courbe tracée sans lever le crayon) et monotone sur $[a\,;b]$ .

Si $f$ est croissante sur $[a\,;b]$ , alors $f([a\,;b])=[f(a)\,;f(b)]$ .
Si $f$ est décroissante sur $[a\,;b]$ , alors $f([a\,;b])=[f(b)\,;f(a)]$ .

Exemple 9

Soit $f(x)=x^2-4x+3$ (exemple 5). Déterminer $f([2\,;5])$ , $f([0\,;2])$ et $f([0\,;5])$ .

Voir la solution

$f(0)=3$ , $f(2)=-1$ , $f(5)=8$ .

$f$ est croissante sur $[2\,;5]$ : $f([2\,;5])=[-1\,;8]$ .
$f$ est décroissante sur $[0\,;2]$ : $f([0\,;2])=[-1\,;3]$ .
$f([0\,;5])=f([0\,;2])\cup f([2\,;5])=[-1\,;8]$ .

VIII. Composée de deux fonctions

Définition 5

Soient $f$ et $g$ deux fonctions. La composée de $f$ par $g$ est la fonction $g\circ f$ définie par $(g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big),\qquad D_{g\circ f}=\{x\in\mathbb{R}\ /\ x\in D_f\ \text{et}\ f(x)\in D_g\}.$

Exemple 10

Soient $f(x)=x-1$ et $g(x)=\sqrt x$ . Déterminer $g\circ f$ et $f\circ g$ ainsi que leurs ensembles de définition.

Voir la solution

$(g\circ f)(x)=\sqrt{x-1}$ , définie si $x-1\ge0$ : $D_{g\circ f}=[1\,;+\infty[$ .
$(f\circ g)(x)=\sqrt x-1$ , définie si $x\ge0$ : $D_{f\circ g}=[0\,;+\infty[$ .

En général, $g\circ f\neq f\circ g$ .

Propriété

Soit $f$ monotone sur un intervalle $I$ et $g$ monotone sur un intervalle $J$ tel que $f(I)\subset J$ .

Si $f$ et $g$ ont la même monotonie, $g\circ f$ est croissante sur $I$ .
Si $f$ et $g$ ont des monotonies contraires, $g\circ f$ est décroissante sur $I$ .

Exemple 11

Étudier les variations de $h(x)=\sqrt{x^2+1}$ sur $]-\infty\,;0]$ et sur $[0\,;+\infty[$ .

Voir la solution

$h=g\circ u$ avec $u(x)=x^2+1$ et $g(x)=\sqrt x$ , $g$ croissante sur $[1\,;+\infty[$ , qui contient $u(\mathbb{R})$ .

$u$ est décroissante sur $]-\infty\,;0]$ : $h$ est décroissante sur $]-\infty\,;0]$ .
$u$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$ : $h$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$ .

Application

Étudier les variations de $k(x)=\dfrac{1}{x^2+1}$ sur $\mathbb{R}$ et en déduire son maximum.

Voir la solution

$k=v\circ u$ avec $u(x)=x^2+1$ et $v(x)=\dfrac1x$ , décroissante sur $]0\,;+\infty[$ , qui contient $u(\mathbb{R})=[1\,;+\infty[$ .

Sur $]-\infty\,;0]$ , $u$ décroît : $k$ est croissante.
Sur $[0\,;+\infty[$ , $u$ croît : $k$ est décroissante.

Le maximum de $k$ sur $\mathbb{R}$ est $k(0)=1$ .

IX. Fonctions périodiques

Définition 6

Soit $T>0$ . Une fonction $f$ est périodique de période $T$ si, pour tout $x\in D_f$ : $x+T\in D_f$ , $x-T\in D_f$ et $f(x+T)=f(x)$ .

Sa courbe est alors invariante par la translation de vecteur $T\,\vec\imath$ : il suffit de l’étudier sur un intervalle de longueur $T$ .

Exemple 12

Montrer que $f(x)=\sin(2x)$ est périodique de période $\pi$ et que $g(x)=\cos\left(\dfrac x3\right)$ est périodique de période $6\pi$ .

Voir la solution

$D_f=D_g=\mathbb{R}$ .

$f(x+\pi)=\sin(2x+2\pi)=\sin(2x)=f(x)$ .
$g(x+6\pi)=\cos\left(\dfrac x3+2\pi\right)=\cos\left(\dfrac x3\right)=g(x)$ .

À retenir

Ensemble de définition : dénominateurs non nuls, quantités sous une racine positives ou nulles.
Parité : vérifier d’abord que $D_f$ est symétrique par rapport à $0$ .
$ax^2+bx+c$ : sommet $\left(-\dfrac b{2a}\,;f\!\left(-\dfrac b{2a}\right)\right)$ ; $\dfrac{ax+b}{cx+d}$ : variations données par le signe de $ad-bc$ .
Composée : même monotonie $\Rightarrow g\circ f$ croissante ; monotonies contraires $\Rightarrow g\circ f$ décroissante.

Série d’exercices

Exercice 1 — Ensemble de définition Facile ★☆☆☆☆

Déterminer l’ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes : $f_1(x)=\frac{x+3}{x^2-5x+6}\ ;\quad f_2(x)=\sqrt{3x-6}\ ;\quad f_3(x)=\frac{x}{|x|-2}\ ;$ $f_4(x)=\sqrt{x^2-1}\ ;\quad f_5(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x-3}\ ;\quad f_6(x)=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}.$

Voir la solution

1) $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ : $D_{f_1}=\mathbb{R}\setminus\{2\,;3\}$ .

$3x-6\ge0\iff x\ge2$ : $D_{f_2}=[2\,;+\infty[$ .

$|x|=2\iff x=\pm2$ : $D_{f_3}=\mathbb{R}\setminus\{-2\,;2\}$ .

$x^2-1\ge0\iff x\le-1$ ou $x\ge1$ : $D_{f_4}=\,]-\infty\,;-1]\cup[1\,;+\infty[$ .

Il faut $x+1\ge0$ et $x\neq3$ : $D_{f_5}=[-1\,;3[\,\cup\,]3\,;+\infty[$ .

$4-x^2>0\iff-2<x<2$ : $D_{f_6}=\,]-2\,;2[$ .

Exercice 2 — Parité Facile ★☆☆☆☆

Étudier la parité de chacune des fonctions suivantes : $f(x)=x^3-5x\ ;\quad g(x)=\frac{x^2+1}{|x|}\ ;\quad h(x)=\sqrt{1-x^2}+x^2\ ;\quad k(x)=\frac{x^2}{x-1}\ ;\quad m(x)=\frac{x}{x^2-4}.$

Voir la solution

$D_f=\mathbb{R}$ et $f(-x)=-x^3+5x=-f(x)$ : $f$ est impaire.
$D_g=\mathbb{R}^*$ (symétrique) et $g(-x)=\dfrac{x^2+1}{|x|}=g(x)$ : $g$ est paire.
$D_h=[-1\,;1]$ (symétrique) et $h(-x)=h(x)$ : $h$ est paire.
$D_k=\mathbb{R}\setminus\{1\}$ n’est pas symétrique ( $-1\in D_k$ , $1\notin D_k$ ) : $k$ n’est ni paire ni impaire.
$D_m=\mathbb{R}\setminus\{-2\,;2\}$ (symétrique) et $m(-x)=\dfrac{-x}{x^2-4}=-m(x)$ : $m$ est impaire.

Exercice 3 — Taux de variation Facile ★★☆☆☆

À l’aide du taux de variation, étudier les variations de chacune des fonctions suivantes, puis dresser son tableau de variations :

$f(x)=-2x^2+4x+1$ sur $\mathbb{R}$ ;
$g(x)=\dfrac{x-1}{x+1}$ sur $]-\infty\,;-1[$ et sur $]-1\,;+\infty[$ ;
$h(x)=\sqrt{x+2}$ sur $[-2\,;+\infty[$ .

Voir la solution

1) Pour $a\neq b$ : $f(b)-f(a)=-2(b^2-a^2)+4(b-a)=(b-a)\big(-2(a+b)+4\big)$ , donc $T(a\,;b)=-2(a+b-2)$ .

Sur $]-\infty\,;1]$ : $a+b<2$ , $T>0$ : $f$ est strictement croissante.
Sur $[1\,;+\infty[$ : $a+b>2$ , $T<0$ : $f$ est strictement décroissante.

$x$	$-\infty$		$1$		$+\infty$
$f(x)$		$\nearrow$	$3$	$\searrow$

2) $g(b)-g(a)=\dfrac{(b-1)(a+1)-(a-1)(b+1)}{(a+1)(b+1)}=\dfrac{2(b-a)}{(a+1)(b+1)}$ , donc $T(a\,;b)=\dfrac{2}{(a+1)(b+1)}$ .

Sur chacun des intervalles $]-\infty\,;-1[$ et $]-1\,;+\infty[$ , $a+1$ et $b+1$ ont le même signe, donc $T>0$ : $g$ est strictement croissante sur chacun d’eux.

$x$	$-\infty$		$-1$		$+\infty$
$g(x)$		$\nearrow$	$\Vert$	$\nearrow$

3) Pour $a\neq b$ dans $[-2\,;+\infty[$ (on multiplie par la quantité conjuguée) : $T(a\,;b)=\frac{\sqrt{b+2}-\sqrt{a+2}}{b-a}=\frac{(b+2)-(a+2)}{(b-a)\big(\sqrt{b+2}+\sqrt{a+2}\big)}=\frac{1}{\sqrt{b+2}+\sqrt{a+2}}>0.$ Donc $h$ est strictement croissante sur $[-2\,;+\infty[$ , avec $h(-2)=0$ .

Exercice 4 — Fonctions bornées, extremums Facile ★★☆☆☆

Soit $f(x)=\dfrac{x}{x^2+4}$ , définie sur $\mathbb{R}$ . a) Montrer que, pour tout réel $x$ : $-\dfrac14\le f(x)\le\dfrac14$ . b) En déduire les extremums de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
Montrer que $g(x)=x^2+2x-3$ est minorée sur $\mathbb{R}$ et donner son minimum.
Soit $h(x)=\dfrac{3x+1}{x+1}$ sur $[0\,;+\infty[$ . a) Vérifier que $h(x)=3-\dfrac{2}{x+1}$ . b) Montrer que $1\le h(x)<3$ pour tout $x\ge0$ . La fonction $h$ admet-elle un maximum sur $[0\,;+\infty[$ ?

Voir la solution

1) a) Pour tout réel $x$ : $\frac14-f(x)=\frac{x^2-4x+4}{4(x^2+4)}=\frac{(x-2)^2}{4(x^2+4)}\ge0\quad\text{et}\quad f(x)+\frac14=\frac{(x+2)^2}{4(x^2+4)}\ge0.$

b) $f(2)=\dfrac28=\dfrac14$ et $f(-2)=-\dfrac14$ : le maximum de $f$ est $\dfrac14$ (en $2$ ) et son minimum est $-\dfrac14$ (en $-2$ ).

2) $g(x)=(x+1)^2-4\ge-4$ et $g(-1)=-4$ : $g$ est minorée par $-4$ , qui est son minimum, atteint en $x=-1$ .

3) a) $3-\dfrac2{x+1}=\dfrac{3x+3-2}{x+1}=\dfrac{3x+1}{x+1}=h(x)$ .

b) Pour $x\ge0$ : $x+1\ge1$ , donc $0<\dfrac2{x+1}\le2$ , d’où $1\le h(x)<3$ .

$h(0)=1$ est le minimum. En revanche $h(x)=3$ est impossible, et $h(x)$ prend des valeurs aussi proches de $3$ que l’on veut ( $h(999)=2{,}998$ ) : $h$ n’admet pas de maximum sur $[0\,;+\infty[$ , bien qu’elle soit majorée par $3$ .

Exercice 5 — Fonction trinôme Facile ★★☆☆☆

Soit $f(x)=-x^2+2x+3$ .

Écrire $f(x)$ sous forme canonique et en déduire les éléments caractéristiques de la parabole $(C_f)$ .
Dresser le tableau de variations de $f$ .
Déterminer les points d’intersection de $(C_f)$ avec les axes du repère, puis tracer $(C_f)$ .
Résoudre algébriquement puis graphiquement l’inéquation $f(x)\ge0$ .

Voir la solution

1) $f(x)=-(x^2-2x)+3=-(x-1)^2+4$ . Parabole de sommet $S(1\,;4)$ , d’axe $x=1$ , tournée vers le bas ( $a=-1<0$ ).

$x$	$-\infty$		$1$		$+\infty$
$f(x)$		$\nearrow$	$4$	$\searrow$

3) $f(0)=3$ : point $(0\,;3)$ . $f(x)=0\iff(x-1)^2=4\iff x=-1$ ou $x=3$ : points $(-1\,;0)$ et $(3\,;0)$ .

4) $f(x)=-(x+1)(x-3)\ge0\iff-1\le x\le3$ : $S=[-1\,;3]$ . Graphiquement, ce sont les abscisses des points de $(C_f)$ situés sur ou au-dessus de l’axe des abscisses.

Exercice 6 — Fonction homographique Facile ★★☆☆☆

Soit $f(x)=\dfrac{x+2}{x-2}$ .

Déterminer $D_f$ et montrer que $f(x)=1+\dfrac{4}{x-2}$ pour tout $x\in D_f$ .
Préciser le centre de symétrie et les asymptotes de la courbe $(C_f)$ .
Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations.
Déterminer les points d’intersection de $(C_f)$ avec les axes, puis tracer $(C_f)$ .
Résoudre dans $D_f$ l’inéquation $f(x)\ge3$ .

Voir la solution

1) $D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}$ et $1+\dfrac4{x-2}=\dfrac{x-2+4}{x-2}=\dfrac{x+2}{x-2}$ .

2) Centre $\Omega(2\,;1)$ ; asymptotes d’équations $x=2$ et $y=1$ .

3) $ad-bc=1\times(-2)-2\times1=-4<0$ : $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;2[$ et sur $]2\,;+\infty[$ .

$x$	$-\infty$		$2$		$+\infty$
$f(x)$		$\searrow$	$\Vert$	$\searrow$

4) $f(0)=-1$ : point $(0\,;-1)$ ; $f(x)=0\iff x=-2$ : point $(-2\,;0)$ .

5) $f(x)\ge3\iff\dfrac4{x-2}\ge2\iff\dfrac{4-2(x-2)}{x-2}\ge0\iff\dfrac{-2(x-4)}{x-2}\ge0$ .

Tableau de signes : le quotient est positif ou nul pour $2<x\le4$ . Donc $S=\,]2\,;4]$ .

Exercice 7 — Lecture graphique Facile ★★☆☆☆

La courbe ci-dessous est celle d’une fonction $f$ définie sur $[-2\,;2]$ .

Lire $f(-2)$ , $f(0)$ , $f(1)$ et $f(2)$ .
Dresser le tableau de variations de $f$ .
Déterminer les extremums de $f$ sur $[-2\,;2]$ et préciser en quels points ils sont atteints.
Déterminer graphiquement $f([-1\,;1])$ et $f([1\,;2])$ .
Donner le nombre de solutions de l’équation $f(x)=1$ .
On admet que $f(x)=x^3-3x$ . Résoudre algébriquement $f(x)=0$ , puis graphiquement $f(x)>0$ .

Voir la solution

1) $f(-2)=-2$ ; $f(0)=0$ ; $f(1)=-2$ ; $f(2)=2$ .

$x$	$-2$		$-1$		$1$		$2$
$f(x)$	$-2$	$\nearrow$	$2$	$\searrow$	$-2$	$\nearrow$	$2$

3) Le maximum de $f$ sur $[-2\,;2]$ est $2$ , atteint en $-1$ et en $2$ ; le minimum est $-2$ , atteint en $-2$ et en $1$ .

4) $f$ est décroissante sur $[-1\,;1]$ : $f([-1\,;1])=[f(1)\,;f(-1)]=[-2\,;2]$ . $\ f$ est croissante sur $[1\,;2]$ : $f([1\,;2])=[-2\,;2]$ .

5) La droite $y=1$ coupe la courbe en trois points (un sur chacun des intervalles $]-2\,;-1[$ , $]-1\,;1[$ et $]1\,;2[$ ) : l’équation a trois solutions.

6) $x^3-3x=x(x^2-3)=0\iff x=0$ ou $x=-\sqrt3$ ou $x=\sqrt3$ .

La courbe est strictement au-dessus de l’axe des abscisses pour $x\in\,]-\sqrt3\,;0[\,\cup\,]\sqrt3\,;2]$ : c’est l’ensemble des solutions de $f(x)>0$ .

Exercice 8 — Opérations et composée Facile ★★☆☆☆

Soit $u(x)=x^2-2x$ .

Étudier les variations de $u$ sur $\mathbb{R}$ .
En déduire les variations de $f=u+3$ et de $g=-2u$ .
Soit $h(x)=\sqrt{x^2-2x}$ . Déterminer $D_h$ , puis étudier les variations de $h$ sur chacun des intervalles qui composent $D_h$ .
Soit $k(x)=\dfrac{1}{x^2-2x+2}$ . a) Vérifier que $k=v\circ u$ , où $v(x)=\dfrac{1}{x+2}$ . b) Étudier les variations de $k$ et déterminer son maximum.

Voir la solution

1) $u(x)=(x-1)^2-1$ : $u$ est décroissante sur $]-\infty\,;1]$ et croissante sur $[1\,;+\infty[$ , de minimum $u(1)=-1$ .

2) $f=u+3$ a les mêmes variations que $u$ (minimum $f(1)=2$ ). $\ g=-2u$ a les variations contraires : croissante sur $]-\infty\,;1]$ , décroissante sur $[1\,;+\infty[$ (maximum $g(1)=2$ ).

3) $x^2-2x=x(x-2)\ge0\iff x\le0$ ou $x\ge2$ : $D_h=\,]-\infty\,;0]\cup[2\,;+\infty[$ .

$h=\sqrt{\ }\circ u$ et $\sqrt{\ }$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$ .

Sur $]-\infty\,;0]$ (inclus dans $]-\infty\,;1]$ ), $u$ décroît et $u(x)\ge0$ : $h$ est décroissante.
Sur $[2\,;+\infty[$ , $u$ croît et $u(x)\ge0$ : $h$ est croissante.

4) a) $v(u(x))=\dfrac{1}{x^2-2x+2}=k(x)$ , et $u(x)+2=(x-1)^2+1\ge1>0$ , donc $D_k=\mathbb{R}$ .

b) $v$ est décroissante sur $]-2\,;+\infty[$ , qui contient $u(\mathbb{R})=[-1\,;+\infty[$ .

Sur $]-\infty\,;1]$ , $u$ décroît : $k$ est croissante.
Sur $[1\,;+\infty[$ , $u$ croît : $k$ est décroissante.

Le maximum de $k$ est $k(1)=\dfrac{1}{1}=1$ .

Exercice 9 — Résolution graphique et image d’un intervalle Facile ★★☆☆☆

Soient $f(x)=x^2-2x$ et $g(x)=-x+2$ .

Résoudre algébriquement l’équation $f(x)=g(x)$ et l’inéquation $f(x)\le g(x)$ .
Tracer $(C_f)$ et $(C_g)$ dans un même repère et interpréter graphiquement les résultats de 1).
Déterminer $f([0\,;1])$ , $f([1\,;3])$ et $f([0\,;3])$ .

Voir la solution

1) $f(x)-g(x)=x^2-x-2=(x+1)(x-2)$ .

$f(x)=g(x)\iff x=-1$ ou $x=2$ : $S=\{-1\,;2\}$ . $\ f(x)\le g(x)\iff-1\le x\le2$ : $S=[-1\,;2]$ .

2) Les courbes se coupent en $A(-1\,;3)$ et $B(2\,;0)$ ; la parabole $(C_f)$ est sous la droite $(C_g)$ entre les abscisses $-1$ et $2$ .

3) $f(x)=(x-1)^2-1$ : décroissante sur $[0\,;1]$ , croissante sur $[1\,;3]$ . $f(0)=0$ , $f(1)=-1$ , $f(3)=3$ .

$f([0\,;1])=[-1\,;0]$ ; $\ f([1\,;3])=[-1\,;3]$ ; $\ f([0\,;3])=[-1\,;0]\cup[-1\,;3]=[-1\,;3]$ .

Exercice 10 — Composée et périodicité Moyen ★★★☆☆

Soient $f(x)=2x+1$ et $g(x)=x^2-1$ . a) Déterminer $g\circ f$ et $f\circ g$ . A-t-on $g\circ f=f\circ g$ ? b) Étudier les variations de $g\circ f$ en utilisant les variations de $f$ et de $g$ .
Montrer que $\varphi(x)=\cos(2x)+\sin(4x)$ est périodique de période $\pi$ .
Montrer que $\psi(x)=\cos\left(\dfrac{\pi x}{3}\right)$ est périodique de période $6$ , puis calculer $\psi(2027)$ .

Voir la solution

1) a) $(g\circ f)(x)=(2x+1)^2-1=4x^2+4x$ ; $\ (f\circ g)(x)=2(x^2-1)+1=2x^2-1$ .

Pour $x=0$ : $(g\circ f)(0)=0\neq-1=(f\circ g)(0)$ , donc $g\circ f\neq f\circ g$ .

b) $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ ; $g$ est décroissante sur $]-\infty\,;0]$ et croissante sur $[0\,;+\infty[$ .

$f(x)\le0\iff x\le-\dfrac12$ .

Sur $\left]-\infty\,;-\dfrac12\right]$ : $f$ croissante, à valeurs dans $]-\infty\,;0]$ où $g$ décroît : $g\circ f$ est décroissante.
Sur $\left[-\dfrac12\,;+\infty\right[$ : $f$ croissante, à valeurs dans $[0\,;+\infty[$ où $g$ croît : $g\circ f$ est croissante.

Le minimum de $g\circ f$ est $(g\circ f)\!\left(-\dfrac12\right)=-1$ .

2) $D_\varphi=\mathbb{R}$ et $\varphi(x+\pi)=\cos(2x+2\pi)+\sin(4x+4\pi)=\cos(2x)+\sin(4x)=\varphi(x)$ .

3) $\psi(x+6)=\cos\left(\dfrac{\pi x}3+2\pi\right)=\psi(x)$ : $\psi$ est $6$ -périodique.

$2027=6\times337+5$ , donc $\psi(2027)=\psi(5)=\cos\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)=\dfrac12$ .

Quiz — testez-vous

20 questions tirées au hasard parmi 35.

Ton prénom (facultatif)

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Chapitre 2 — Généralités sur les fonctions numériques

Cours

I. Ensemble de définition d’une fonction numérique

II. Fonctions paires, fonctions impaires

III. Variations d’une fonction numérique

IV. Fonctions majorées, minorées, bornées — Extremums

V. Fonctions de référence

1. La fonction x↦ax2+bx+cx\mapsto ax^2+bx+cx↦ax2+bx+c (a≠0a\neq0a=0)

2. La fonction homographique x↦ax+bcx+dx\mapsto\dfrac{ax+b}{cx+d}x↦cx+dax+b​ (c≠0c\neq0c=0, ad−bc≠0ad-bc\neq0ad−bc=0)

3. Les fonctions x↦x+ax\mapsto\sqrt{x+a}x↦x+a​ et x↦ax3x\mapsto ax^3x↦ax3

4. Les fonctions f+cf+cf+c et c fc\,fcf

VI. Résolution graphique d’équations et d’inéquations

VII. Image d’un intervalle par une fonction

VIII. Composée de deux fonctions

IX. Fonctions périodiques

Série d’exercices

Exercice 1 — Ensemble de définition Facile ★☆☆☆☆

Exercice 2 — Parité Facile ★☆☆☆☆

Exercice 3 — Taux de variation Facile ★★☆☆☆

Exercice 4 — Fonctions bornées, extremums Facile ★★☆☆☆

Exercice 5 — Fonction trinôme Facile ★★☆☆☆

Exercice 6 — Fonction homographique Facile ★★☆☆☆

Exercice 7 — Lecture graphique Facile ★★☆☆☆

Exercice 8 — Opérations et composée Facile ★★☆☆☆

Exercice 9 — Résolution graphique et image d’un intervalle Facile ★★☆☆☆

Exercice 10 — Composée et périodicité Moyen ★★★☆☆

Quiz — testez-vous

1. La fonction $x\mapsto ax^2+bx+c$ ( $a\neq0$ )

2. La fonction homographique $x\mapsto\dfrac{ax+b}{cx+d}$ ( $c\neq0$ , $ad-bc\neq0$ )

3. Les fonctions $x\mapsto\sqrt{x+a}$ et $x\mapsto ax^3$

4. Les fonctions $f+c$ et $c\,f$